WI2608 sheets week 1..

Project Management
(H 9.8 + H 22 op CD-ROM)
CPM (Critical Path Method)
Activiteiten met afhankelijkheden en vaste duur zijn
gegeven.
CPM bepaalt de minimale doorlooptijd van het
project.
PERT (Program Evaluation and Review Technique)
Houdt rekening met onzekerheden in duur.
Met PERT kunnen bv. kansen op tijdoverschrijding
worden berekend.
Beide methoden zijn ontwikkeld eind 1950.
Representatie van een project als netwerk kan als
Activity On Arc (AOA) netwerk
Een activiteit correspondeert met een tak.
Activity On Node (AON) netwerk
Een activiteit correspondeert met een knoop.
Bijvoorbeeld: B na A, D na B, C na B, E na C en D, F
na A, G na C en F, H na E en G.
als AON
als AOA
Een projectnetwerk is op beide manieren te
representeren. Eventueel zijn dummy takken
(gestippeld) nodig om de juiste afhankelijkheden te
krijgen.
AON is eenvoudiger te maken en te begrijpen en te
onderhouden (wijzigen) dan AOA.
Voorbeeld: Reliable Construction Co. (8.9)
In de tabel staan activiteiten in een bouwproject, met
voorgangers en geschatte tijdsduur.
Bouwproject als AON netwerk (met tijdsduur)
CPM methode
Forward sweep: Bepaal de Earliest Start Times (ES)
en Earliest Finish Times (EF) van Start naar Finish
Backward sweep: Bepaal Latest Start Times (LS) en
Latest Finish Times (LF) van Finish naar Start
Resultaat van het CPM algoritme:
Activiteiten met ES = LS liggen op het kritieke pad.
Zo’n pad bepaalt de minimale tijdsduur van een
project. Activiteiten op het kritieke pad moeten op
een vast tijdstip beginnen en als zo’n activiteit
uitloopt, loopt het project uit.
Kritieke pad in dit voorbeeld: ABCEFJLN.
Een kritiek pad is een langste pad in het netwerk van
Start naar Finish en hoeft niet uniek te zijn.
Crashen van projecten
Neem aan dat de kosten van het versnellen van
projectonderdelen lineair is in de tijdsduur.
Alle mogelijke paden door het project
Het verkorten (crashen) van een taak met kosten
Verkorten van 44 naar 40 weken kan door per week
de goedkoopste taak in het kritieke pad te crashen:
Dus: J en F met 2 weken verkorten. Kosten: $140.000
Als je nóg een week wil verkorten moet je drie
kritieke paden verkorten: ABCDGHM, ABCEFJLN en
ABCIJLN.
Dit kan door één taak te verkorten: B is dan het
goedkoopst, kosten $50.000
Als crashen van B en C $100.000 zou kosten, dan
kun je B of C verkorten ($100.000), maar beter L en
(D of G) ($50.000 + $40.000). Het hoeft dus niet
optimaal te zijn om telkens één activiteit te crashen
Project na crashen van 2 weken J en 2 weken F,
nu met 3 kritieke paden (ABCDGHM, ABCEFJLN,
ABCIJLN).
Crashen met lineair programmeren
xj is de reductie in tijd van activiteit j.
yj is de starttijd van activiteit j.
F is de opvolger van E (F na E)
De duur van E na reductie met xE is 4 – xE.
F komt na E:
Maximale crashduur:
Project moet binnen 40 weken:
Niet-negativiteit:
yF  yE + (4 – xE)
xj  xj, max
yfinish  40
xj, yj  0
Minimaliseer de crashkosten:
Min Z = 100xA + 50xB + … + 60xN
Alle voorwaarden zijn lineair, dus dit is een LP
probleem.
De LP formulering levert als oplossing:
xF = xJ = 2,
rest = 0,
Z = $140.000
Nadeel van LP t.o.v. CPM is dat er één oplossing uit
komt en het langste pad niet gevonden wordt. Een
kritiek pad kun je vinden m.b.v. het duale probleem.
Voorbeeld:
5 activiteiten op de takken met benodigde tijd t12, t13,
t23, t24, t34. Tijdstippen waarop je in de knopen bent:
x1, x2, x3, x4
Min
z.d.d.
en
x4 – x1
x2 – x1  t12
x3 – x2  t23
x3 – x1  t13
x4 – x2  t24
x4 – x3  t34
xj  0
-1
0
-1
0
0
1
-1
0
-1
0
0
1
1
0
-1
0
0
0
1
1
Duale probleem (schaduwprijzen x12, x23, x13, x24, x34):
Max
z.d.d.
en
t12x12 + t23x23 + t13x13 + t24x24 + t34x34
– x12 – x13  –1
-1 0 -1
x12 – x23 – x34  0
1 -1 0
x23 + x13 – x34  0
0 1 1
x24 + x34  1
0 0 0
xij  0
0
-1
0
1
0
0
-1
1
Tel alle ongelijkheden op: 0  0. Dit betekent dat alle
ongelijkheden gelijkheden moeten zijn:
Max
z.d.d.
en
t12x12 + t23x23 + t13x13 + t24x24 + t34x34
– x12 – x13 = –1
x12 – x23 – x34 = 0
x23 + x13 – x34 = 0
x23 +x13 – x34 = 0
x24 + x34 = 1
xij  0
Dit is een netwerkstromingsprobleem in het
bovenstaande netwerk, waarbij xij over tak ij
stroomt, 1 eenheid in knoop 1 in gaat en bij knoop 4
eruit komt.
Vanwege de geheeltalligheidseigenschap is er een
optimale binaire oplossing: een pad van 1 naar 4.
Gemaximaliseerd wordt de totale tijdsduur langs dit
pad. De optimale oplossing is dus een langste pad.
De schaduwprijzen xij geven aan of tak ij in dit
langste pad zit (1) of niet (0).
Je vindt zo één mogelijk kritiek pad.
Voordeel van de LP aanpak is dat het altijd werkt en
je niet hoeft na te denken over hoe je moet crashen,
en dat je niet telkens alle langste paden hoeft te
bepalen.
CPM Methode met Excel Solver
PERT
Tijdsduren worden geschat met drie parameters:
o = optimistische (minimale) schatting voor tijdsduur
m = meest waarschijnlijke tijdsduur
p = pessimistische (maximale) schatting
Er wordt uitgegaan van een Betaverdeling:
Verwachtingswaarde:
Variantie:

o  4m  p
6
 po
2 

 6 
2
De verwachte tijdsduur is een gewogen gemiddelde
van m, o en p, waarin de meest waarschijnlijke
waarde m (top van de verdeling) het zwaarst telt.
Met de meest pessimistische schatting duurt het
project 69 weken, i.p.v. 44. Met de meest
optimistische schatting gaat het in 26 weken.
Aangenomen dat de activiteiten op het kritieke pad
onafhankelijk zijn kun je de variantie van de
doorlooptijd berekenen als som van de varianties
van de onderdelen.
Met de aanname dat de projectduur normaal
verdeeld is (wet van de “grote” aantallen) kun je de
kans schatten dat het project binnen de deadline van
47 weken blijft:
De afwijking is 1 standaarddeviatie.
De kans om hoogstens één standaarddeviatie boven
het gemiddelde te zitten is:
P(T  d) = P(standaard normaal   + 1) =
= 1 – P(standaard normaal >  + 1) =
= 1 – 0.1587 = 0.8413
Bandbreedte in de kosten tijdens het doorlopen van
het project als gevolg van taken die kunnen
schuiven