fasige stroming

Hoofdstuk 3
Convectiecoëfficiënten en ladingsverliezen bij éénfasige stroming
3.1 Inleiding
Eén-fasige stroming is de meest voorkomende stroming in een warmtewisselaar. Zelfs bij
een condensor of een verdamper treedt aan de ene zijde nog steeds een één-fase-stroming
op.
Dit hoofdstuk bevat een overzicht van de belangrijkste correlaties voor de bepaling van de
convectiecoëfficiënt voor stromingen zoals die vaak optreden in warmtewisselaars. Voor de
theoretische afleiding van de correlaties wordt verwezen naar de cursus Warmteoverdracht
1. Het is duidelijk dat in deze cursus slechts een beperkt overzicht kan worden gegeven.
Voor meer details en specifieke gevallen wordt verwezen naar de literatuur [3][4][5][6].
In een tweede deel worden de belangrijkste correlaties behandeld voor de bepaling van het
ladingsverlies in het geval van een één-fase-stroming. Hierbij wordt zowel de stroming in een
buis als in bochten, kleppen, ... behandeld. Voor de gedetailleerde bespreking wordt
verwezen naar de cursus Stromingsleer 1 en naar [3][5].
3.2 Kengetallen voor
warmtewisselaars
stromingen
en
warmteoverdracht
in
Bij warmtewisselaars zijn de meeste stromingen op een of andere wijze verwant met een
stroming in een pijp. De belangrijkste correlaties voor warmtewisselaars zijn dan ook deze
voor laminaire en turbulente gedwongen convectie in en rond buizen.
Als een viskeuze vloeistof in een buis binnenstroomt, zal een grenslaag gevormd worden
langsheen de wand. De grenslaag zal geleidelijk de volledige doorsnede van de buis vullen,
waarbij men dan spreekt over volledig ontwikkelde stroming. De afstand waar het
snelheidsprofiel volledig ontwikkeld is, noemt men de hydrodynamische instroomlengte. Als
een wand wordt verwarmd of gekoeld zal er ook een thermische grenslaag ontstaan
langsheen de wand. Men kan eveneens spreken van een thermische instroomlengte, waar
het temperatuursprofiel volledig is ontwikkeld.
Als verwarming of koeling van bij de intrede in buis begint, zullen de hydrodynamische en de
thermische grenslaag zich tegelijkertijd ontwikkelen. Er kunnen dan ook 4 verschillende
regimes worden onderscheiden die bepalend zijn voor de warmteoverdracht. Deze regimes
zijn samengevat in tabel 3.1.
38
hydrodynamisch niet ontwikkeld
thermisch niet ontwikkeld
hydrodynamisch niet ontwikkeld
thermisch volledig ontwikkeld
hydrodynamisch volledig ontwikkeld
thermisch niet ontwikkeld
hydrodynamisch volledig ontwikkeld
thermisch volledig ontwikkeld
Tabel 3.1. De stromingsregimes in en buis
De ontwikkeling van de grenslagen en karakteristieken van de stroming hangen samen met
een aantal kengetallen:
Het Reynolds-getal:
Re =
vd
ν
met v de snelheid van de stroming, d de diameter van de buis en ν de kinematische
viscositeit.
Het Prandtl-getal:
Pr =
µcp
λ
met µ de dynamische viscositeit, cp de warmtecapaciteit en λ de warmtegeleidbaarheid van
het fluïdum.
Het Nusselt-getal:
Nu =
hd
λ
met h de convectiecoëfficiënt.
Als Pr hoog is (zoals bij oliën), wordt het snelheidsprofiel sneller ingesteld dan het
temperatuurprofiel. Bij een laag Prandtl-getal, zoals bij vloeibare metalen, wordt het
temperatuurprofiel het eerst gerealiseerd. Bij Pr = 1 (zoals bij gassen) stellen beide profielen
zich tegelijk in.
Het Reynolds-getal bepaalt het laminair of turbulent zijn van de stroming. Als Re ≤ 2300
spreekt men van laminaire stroming. Eens het Reynoldsgetal groter dan 2300 is, ontstaan er
wervels in de stroming. Naarmate de snelheid toeneemt, neemt het aantal wervels toe. Als
Re ≥ 104 is de stroming volledig turbulent.
Tenslotte kan de warmteflux tussen de wand en het fluïdum worden uitgedrukt op ieder punt
als
&
δQ
= h x (Tw − Tb ) x
dA
met hx de lokale warmteoverdrachtscoëfficiënt, gedefinieerd aan de binnenzijde van de buis,
gebruik makend van de convectieve randvoorwaarde als:
∂T
)x
∂y
hx =
(Tw − Tb ) x
−λ (
39
met T de temperatuursverdeling volgens de richting y loodrecht op de wand, Tw de
wandtemperatuur en Tb de temperatuur in de hoofdstroming (E: bulk). Voor een
onsamendrukbaar fluïdum is Tb gedefinieerd als
Tb =
1
uTdA c
A c u m ∫A c
Wat betekent dat Tb de gemiddelde temperatuur is over de sectie gewogen met de snelheid
u en de gemiddelde snelheid um op positie x.
3.3 Laminaire, gedwongen convectie in buizen
Voor laminaire stroming in buizen (Red < 2300) gelden volgende correlaties:
Voor volledig ontwikkelde stroming (hydrodynamisch en thermisch) (L > 0.0575 Redd):
1/ 3
3
⎡
Re Pr di 1/ 3
⎡
⎤ ⎤
Nu L = ⎢3.663 + 0.73 + ⎢1.615( d
) − 0.7 ⎥ ⎥
L
⎣
⎦ ⎥⎦
⎢⎣
(3.1)
Voor korte buizen, kan een niet-ontwikkelde stroming ontstaan. De vergelijking wordt dan
voor 0.5 < Pr < 500:
Nu L = 0.664 Pr1/ 3 (
Red Pr di 1/ 2
)
L
(3.2)
3.4 Turbulente, gedwongen convectie in buizen
Voor turbulente stroming (ontwikkeld en niet-ontwikkeld) (Red > 2300 en 0.5 < Pr < 2000)
geldt de vergelijking van Gnielinski [7]:
f
(Red − 1000) Pr
di 2 / 3 ⎤
⎡
2
Nu T =
⎢1 + ( L ) ⎥
f 1/ 2 2 / 3
⎦
1 + 12.7( ) (Pr − 1) ⎣
2
(3.3)
f = (1.58ln(Red ) − 3.28)−2
(3.4_
3.5 Gedwongen convectie over bundels
Een van de meest ingewikkelde en tegelijk meest voorkomende warmtewisselende
oppervlakken is de buizenbundel. De schikking van de buizen in een bundel kan parallel zijn
of in een zigzagpatroon. Bundels worden gekenmerkt door de buisdiameter du, de buissteek
Xt in transversale richting en de buissteek in de longitudinale richting Xl of de diagonale
richting Xd. In figuur 3.1 worden de verschillende schikkingen gegeven.
40
Figuur 3.1. Verschillend schikkingen van de pijpen in de bundel
Een goed overzicht wordt gegeven door Zukauskas [8]. Algemeen kan de warmteoverdracht
over een bundel van gladde buizen worden bepaald met een vergelijking van de vorm:
Nu = c Reb Prb (
Prb p
)
Prw
Waarbij de index b staat voor de hoofdstroming en w voor de eigenschappen op de wand
(zie ook 3.7). De gaseigenschappen worden bepaald respectievelijk in de hoofdstroming of
op de wand en voor het Reynolds-getal wordt de uitwendige diameter van de buizen du
gebruikt. De snelheid waarbij Re wordt bepaald is de maximale gemiddelde snelheid die
optreedt in de bundel, of met andere woorden de snelheid in de smalste sectie van de
bundel.
Voor bundels met parallelle schikking gelden volgende vergelijkingen
Prb 0.25
)
voor Reb = 1 − 102
Prw
(3.6)
Prb 0.25
)
voor Reb = 102 − 103
Prw
(3.7)
Prb 0.25
)
voor Reb = 103 − 2 105
Prw
(3.8)
Prb 0.25
)
voor Reb = 2 105 − 2 106
Prw
(3.9)
0.36
Nu = 0.9cn Re0.4
(
b Prb
0.36
Nu = 0.52cn Re0.5
b Prb (
0.36
Nu = 0.27cn Re0.63
(
b Prb
0.4
Nu = 0.033cn Re0.8
b Prb (
De correctiefactor cn is nodig bij korte bundels. Voor het aantal rijen n >16 is het effect van
het aantal buizen verwaarloosbaar, zoals getoond in figuur 3.2. Deze figuur geeft ook de
waarde voor cn.
41
Figuur 3.2. Correctiefactor voor bundels
Voor bundels met zigzagschikking gelden volgende vergelijkingen
Prb 0.25
)
voor Reb = 1 − 500
Prw
(3.10)
Prb 0.25
)
voor Reb = 500 − 103
Prw
(3.11)
Prb 0.25 x t 0,2
)
( ) voor Reb = 103 − 2 105
Prw
xl
(3.12)
Prb 0.25 x t 0,2
)
( ) voor Reb = 2 105 − 2 106
Prw
xl
(3.13)
0.36
Nu = 1.04cn Re0.4
(
b Prb
0.36
Nu = 0.71cn Re0.5
(
b Prb
0.36
Nu = 0.35cn Re0.6
(
b Prb
0.4
Nu = 0.031cn Re0.8
b Prb (
3.6 Ladingsverlies
3.6.1 Stroming in buizen
Voor een volontwikkelde stroming in een buis kan voor het ladingsverlies (∆p) de volgende
relatie voor zowel laminaire en turbulente stroming worden geschreven:
∆p
= φ(u m , di , ρ, µ, e)
L
(3.14)
waarbij L de lengte en di de inwendige diameter van de buis voorstellen en e een maat voor
de oppervlakteruwheid van de buiswand uitgedrukt in meter.
42
Op basis van de gelijkvormigheidstheorie kan een Fanning-wrijvingscoëfficiënt worden
afgeleid:
f=
∆p
L ρu 2
4( )( m )
di
= φ(Re,
e
)
di
(3.15)
2
In figuur 3.3 wordt de laatste relatie grafisch weergegeven, zoals die door Moody werd
afgeleid uit verschillende experimentele gegevens.
Figuur 3.3. Diagram van Moody
Voor laminaire stroming in buizen geldt dat
f=
16
Re
(3.16)
Voor turbulente stromingen staan een aantal correlaties in tabel 3.2. In de hierboven
vermelde correlatie van Gnielinski voor turbulente warmteoverdracht, geeft de f eveneens de
wrijvingsfactor.
Bron
Blasius
Drew, Koo en McAdams
Karman-Nikuradse
Filionenko
Correlatie
f = 0.079 Re
−0.25
f = 0.0014 + 0.125 Re−0.32
1
− 1.737 ln(Re f ) − 0.4
f
f = (3.64 log10 Re− 3.28)−2
Tabel 3.2. Fanning-factoren voor turbulente stroming
43
Beperkingen
4 103 < Re < 105
4 103 < Re < 5105
4 103 < Re < 3105
103 < Re < 105
3.6.2 Stroming over buizen en buizenbundels
Bundels zijn veel voorkomende geometrieën in warmtewisselaars. De schikking van de
buizen in een bundel kan parallel zijn of in een zigzagpatroon. Bundels worden gekenmerkt
door de buisdiameter du en de verhouding van de buissteek en de buisdiameter in de
transversale (X*t =
(X*d =
Xt
X
) , de longitudinale richting (X*l = l ) of de diagonale richting
du
du
Xd
) . Het ladingsverlies over een bundel kan worden uitgedrukt door
du
Eu 1
∆p = ( )χ ρu 02 n
χ 2
met het Euler-getal Eu =
2∆p
ρu 02 n
(3.17)
gedefinieerd per rij, u0 de gemiddelde snelheid in de
minimale sectie tussen de buizen en n het aantal rijen buizen in de stromingsrichting.
u d ρ
In figuren 3.4 en 3.5 wordt het Euler-getal gegeven als functie van Re = 0 u
en
µ
(X*l
= X*t ) [8]. Voor het geval dat
(X*l
≠ X*t ) , wordt er een correctiefactor χ bepaald via de
inzet in figuren 3.4 en 3.5.
Figuur 3.4. Ladingsverlies in een bundel
44
Figuur 3.5. Ladingsverlies in een bundel
3.6.3 Ladingsverlies in bochten en toebehoren
Voor het bepalen van het pompvermogen vereist om fluïda doorheen de warmtewisselaar te
pompen is het nodig om ook de ladingsverliezen in de toevoer- en afvoerleidingen te
begroten. Voor meer details wordt verwezen naar de cursus Stromingsleer 1.
De eenvoudigste wijze om het ladingsverlies te beschrijven, is het bepalen van een
equivalente lengte Le. Vergelijkingen (3.14) en (3.15) kunnen worden toegepast, waarbij bij
de lengte L van de leidingen, de lengte Le voor iedere bocht of toebehoren wordt bijgeteld.
Voor veel voorkomende stukken worden in figuur 3.6 de nodige waarden gegeven.
45
Figuur 3.6. Ladingsverlies in een bundel
46
3.7 Fysische eigenschappen
De bepaling van de fysische eigenschappen van de fluïda die door de warmtewisselaar
stromen dient met zorg te gebeuren. Meestal worden constante eigenschappen
aangenomen doorheen de warmtewisselaar. Dit wil zeggen dat de variatie met de
temperatuur van de stofeigenschappen wordt verwaarloosd. Een goede keuze van de
temperatuur waarbij de stofeigenschappen worden bepaald is van groot belang. Er wordt
steeds gewerkt met de eigenschappen bij de bulktemperatuur. Een goede benadering van
de bulktemperatuur is het gemiddelde nemen van de ingangs- en uitgangstemperatuur van
het fluïdum [3]. Indien de uitgangstemperatuur aanvankelijk niet gekend is, is iteratie
noodzakelijk.
Indien er grote temperatuurverschillen zijn tussen het ene en het andere fluïdum, zal de
grote temperatuursgradiënt over de wand ervoor zorgen dat de veronderstelling van
constante stofeigenschappen niet opgaat. Om hiervoor te corrigeren wordt een correctieterm
toegevoegd aan de correlaties met constante stofeigenschappen. Voor vloeistoffen is vooral
de verandering met de temperatuur van de viscositeit van de hoofdstroming naar de wand
van belang. Voor het Nusselt-getal en de wrijvingscoëfficiënten worden de volgende
correcties gebruikt
µ
Nu
= ( b )n
Nu c
µw
(3.18)
µ
f
= ( b )m
fc
µw
(3.19)
Hierin staat de index c voor het het resultaat met constante stofeigenschappen, b voor de
hoofdstroming en w voor de wand.
Voor gassen varieert de viscositeit met de absolute temperatuur (K). De correcties worden
dan ook:
T
Nu
= ( w )n
Nu c
Tw
(3.20)
De machten n en m hangen af van het stromingstype en de condities waaronder wordt
gewerkt. In tabel 3.3 staan de condities en waarden vermeld.
Voor stromingen door bundels kan gecorrigeerd worden voor variabele gaseigenschappen
door [8]:
µ
Eu c = Eu( w )p
µb
(3.22)
p ≈ 0 voor Re > 103
(3.23)
p = −0.0018 Re + 0.28 voor vloeistoffen bij Re ≤ 103
(3.24)
p = −0.0026 Re + 0.43 voor gassen bij Re ≤ 103
(3.25)
47
Tabel 3.3. De exponenten n en m voor vergelijkingen (3.18), (3.19), (3.20) en (3.21)
48