3 De duale vectorruimte

3
De duale vectorruimte
We brengen de volgende definitie in de herinnering.
Definitie 3.1 (homK (V, W )) Gegeven twee vectorruimtes (V, K) en (W, K) over K noteren
we de verzameling van alle lineaire afbeeldingen V → W met homK (V, W ).
Lemma 3.2 De verzameling homK (V, W ) is een vectorruimte over K indien voorzien van de
gebruikelijke optelling van L, K ∈ homK (V, W ) middels
L+K :V →W :
v 7→ L(v) + K(v)
en de gebruikelijke vermenigvuldiging met scalairen k ∈ K middels
k·L:V →W :
v 7→ k · L(v)
waarbij de + en de · in de rechterleden de vectorruimtebewerkingen op W zijn.
Als speciaal geval van deze definitie en dit lemma bekijken we de keuze W = K.
Definitie 3.3 (Duale vectorruimte (V ∗ , K) van (V, K)) De vectorruimte homK (V, K) noteren we met (V ∗ , K) of kortweg met V ∗ en noemen we de duale vectorruimte van V .
Elementen uit de duale vectorruimte staan bekend onder een veelvoud van namen.
Definitie 3.4 (Lineaire functionaal, covector, 1-vorm) Een element v ∗ ∈ V ∗ wordt afhankelijk van context ook wel een lineaire functionaal genoemd, of een covector, of een 1-vorm.
3.1
Voorbeelden en eerste oriëntatie
We geven hier voorbeelden van elementen uit de duale vectorruimte, en daarnaast ook wat
resultaten die we verderop in meer algemeenheid zullen bewijzen. Eerst bekijken we (Kn )∗ .
Voorbeeld 3.5 Beschouw de vectorruimte (Kn , K). Dan is voor iedere vast gekozen y ∈ Kn
de afbeelding
`y : Kn → K : x 7→ y > x
(1)
een lineaire functionaal op Kn en daarmee dus een element van (Kn )∗ .
Opmerking 3.6 In Voorbeeld 3.5 is `y ∈ (Kn )∗ . De matrix y > is geen element van (Kn )∗ .
Het is slechts de matrix van de lineaire afbeelding `y ten opzichte van de standaardbasis.
Stelling 3.7 De afbeelding
L : Kn → (Kn )∗ : y 7→ `y
(2)
met `y als in Voorbeeld 3.5 is een lineaire bijectie.
Bewijs. De lineariteit is eenvoudig na te gaan. Omdat er voor iedere y 6= 0 een x ∈ Kn
bestaat met y > x 6= 0, geldt dat `y = 0 ⇔ y = 0. Dus is ker(L) = {0}, en is L injectief. Ook
is L surjectief, immers, laat ` : Kn → K gegeven zijn en laat z ∈ K1×n de matrix zijn van `
ten opzichte van de standaardbases van Kn en van K. Dan is dus `(x) = zx voor alle x ∈ K
en dus geldt met y = z > dat ` = `y . Dus iedere ` ∈ (Kn )∗ is van de vorm `y voor zekere y.
1
Gevolg 3.8 Er geldt dat (Kn )∗ ∼
= Kn . In het bijzonder is dim(Kn )∗ = n.
Bewijs. De afbeelding L uit Stelling 3.7 is een lineaire bijectie en dus een isomorfisme. Opmerking 3.9 Het voorgaande kan geherformuleerd worden als dat
(Kn )∗ = {`y | y ∈ Kn },
(3)
waarbij iedere ` ∈ (Kn )∗ precies één y ∈ Kn bestaat zo, dat ` = `y .
Opmerking 3.10 Als K = R dan is `y (x) = y > x = hy, xi het standaardinproduct op Rn
met een vast gekozen vector y ∈ Rn . Ook als K = C is `y (x) = y > x = y ∗ x = hy, xi het
standaardinproduct op Cn met een vast gekozen vector, alleen nu is dat met y.
Lineaire functionalen op een eindigdimensionale vectorruimte laten zich beschrijven middels
de combinatie van Stelling 3.7 en de coördinaatafbeelding horende bij een basis β van V .
Opmerking 3.11 In het vervolg zullen we een willekeurig element uit V ∗ vaak aanduiden
met v ∗ . Dit is slechts een notatie, in het bijzonder is de asterisk hier geen bewerking op v.
Stelling 3.12 Gegeven een vectorruimte (V, K) met basis β = {v1 , . . . , vn }. Dan bestaat er
voor iedere v ∗ ∈ V ∗ precies één y ∈ Kn zodat
v ∗ = `y ◦ coβ
(4)
waarbij `y de afbeelding Kn → K : x 7→ y > x is. De toevoeging Kn → V ∗ : y 7→ v ∗ is lineair.
Bewijs. Laat v ∗ : V → K gegeven zijn en beschouw daarnaast de coördinaatafbeelding
coβ : V → Kn . Zie nu het diagram in Figuur 3.1.
∼
=
coβ
v∗
K
n
v ∗ ◦ co−1
β :K →K
=
V
`y
`y : Kn → K
Kn
Figuur 3.1 Factorisatie van een element v ∗ ∈ V ∗ .
n
De samenstelling v ∗ ◦ co−1
β is een lineaire afbeelding K → K. Volgens Stelling 3.7 bestaat er
∗
een unieke y ∈ Kn zo, dat v ∗ ◦ co−1
β = `y , en dus zo, dat v = `y ◦ coβ . Omdat volgens Stelling
3.7 de toevoeging y 7→ `y lineair is, is de samenstelling y 7→ `y ◦ coβ = v ∗ dat ook.
Gevolg 3.13 Er geldt dat V ∗ ∼
= Kn , en in het bijzonder dat V ∗ ∼
=V.
We eindigen deze sectie met enkele explicietere voorbeelden van lineaire functionalen. Een
bekend element uit de duale van de ruimte van vierkante matrices is het spoor.
2
Voorbeeld 3.14 De lineaire afbeelding
Sp : Kn×n → K :
A 7→ Sp(A)
(5)
waarbij Sp(A) staat voor het spoor van A, is een covector uit (Kn×n )∗ . Daarnaast is voor
gegeven vast gekozen v, w ∈ Kn ook
A 7→ v > Aw
Kn×n → K :
(6)
een lineaire functionaal op Kn×n en daarmee een element uit (Kn×n )∗ .
Oneindigdimensionale vectorruimtes leveren doorgaans interessantere duale vectorruimtes.
Voorbeeld 3.15 Beschouw de vectorruimte (C(I), R) van continue functies op het interval
I = [a, b] met a, b ∈ R. Dan is de afbeelding
Z
Iab : C(I) → R :
b
f 7→
f (x)dx,
(7)
a
Rb
waar a de Riemann-integraal is, een lineaire functionaal op C(I), en dus is Iab ∈ C(I)∗ .
Daarnaast is de functie-evaluatie
ex : C(I) → R :
f 7→ f (x)
(8)
ook een element van C(I)∗ voor iedere vast gekozen x ∈ I. In het bijzonder is ook
Tab : C(I) → R :
f 7→ (b − a)
f (a) + f (b)
2
(9)
een element van C(I)∗ , het is immers een lineaire combinatie van ea en eb uit (8).
De lineaire functionalen Iab en Tab uit vorig voorbeeld zijn als volgt aan elkaar gerelateerd.
Opmerking 3.16 Definieer de zogeheten interpolatie-afbeelding
π : C(I) → R[X]≤1 :
f 7→ π(f )
(10)
die aan f ∈ C(I) toevoegt het unieke lineaire polynoom π(f ) ∈ R[X]≤1 dat waarde f (a)
aanneemt in a en f (b) in b. Zie ook Figuur 3.2. Het polynoom π(f ) heet de lineaire interpolant
van f . Het is eenvoudig na te gaan dat dan voor alle f ∈ C(I),
Tab (f ) = Iab (π(f )),
(11)
dus Tab (f ) is een approximatie van Iab (f ) berekend door π(f ) te integreren in plaats van f zelf.
Definitie 3.17 (Trapeziumregel) Tab (f ) heet de trapeziumregel-approximatie van Iab (f ).
De trapeziumregel is een voorbeeld van een zogeheten kwadratuurformule.
3
f
f (b)
f (b)
1
2 (f (a)
π(f )
f (a)
+ f (b))
f (a)
Tab (f )
Tab (f )
a
a
b
b
Figuur 3.2 De trapeziumregel Tab (f ) = 12 (f (a) + f (b))(b − a) benadert Iab (f ).
3.2
De duale basis β ∗ van V ∗ behorende bij een basis β van V
Veronderstel dat (V, K) een vectorruimte is van eindige dimensie. In Sectie 3.1 zagen we dat
V ∗ isomorf is met V . We definiëren nu een basis voor V ∗ , gegeven een basis β van V .
Definitie 3.18 (Duale basis) Zij (V, K) een vectorruimte met basis β = {v1 , . . . , vn }. Laat
voor iedere j ∈ {1, . . . , n}
v j : V → K : v 7→ e>
(12)
j coβ (v).
Hiermee is β ∗ = {v 1 , . . . , v n } een basis voor V ∗ , de duale basis genaamd.
Opmerking 3.19 In Figuur 3.3 zien we hoe v j wordt gedefinieerd in termen van Figuur 3.1.
V
∼
=
coβ
vj
K
v j = `ej ◦ coβ
`ej
Kn
Figuur 3.3 De functionalen v j ∈ V ∗ uit Definitie 3.18 in termen van `ej uit Voorbeeld 3.5.
Opmerking 3.20 Met Definitie 3.18 laat de coördinaatafbeelding zich als volgt herschrijven,
 1

v (v)


coβ : V → Kn : v 7→  ...  .
(13)
v n (v)
In het bijzonder zien we dus dat voor alle v ∈ V,
v = v 1 (v)v1 + · · · + v n (v)vn ,
en tevens dat
j
v (vi ) = δij =
1 als i = j
.
0 als i 6= j
Merk op dat de karakterisering van v 1 , . . . , v n in (15) equivalent is met Definitie 3.18.
4
(14)
(15)
We bewijzen nu dat β ∗ inderdaad een basis is. Omdat we in Gevolg 3.13 al zagen dat
dim(V ∗ ) = dim(V ) = n volstaat het om de lineaire onafhankelijkheid van β ∗ aan te tonen.
Lemma 3.21 De covectoren v 1 , . . . , v n zijn lineair onafhankelijk.
Bewijs. Laat α1 , . . . , αn ∈ K zodanig zijn dat
α1 v 1 + · · · + αn v n = 0 ∈ V ∗ ,
(16)
waarbij het rechterlid het neutrale element van V ∗ is, oftewel de nulfunctionaal 0 : V → K :
v 7→ 0 ∈ K. Laat nu j ∈ {1, . . . , n} en evalueer (16) in vj ∈ V . Wegens (15) is v j (vi ) = δij en
dus impliceert (16) dat
K 3 0 = 0(vj ) = α1 v 1 (vj ) + · · · + αn v n (vj ) = αj v j (vj ) = αj .
Omdat j willekeurig was, is α1 = · · · = αn = 0 en zijn v 1 , . . . , v n dus lineair onafhankelijk. We kunnen vervolgens de bij β ∗ horende coördinaatafbeelding coβ ∗ : V ∗ → Kn onderzoeken.
Lemma 3.22 Zij V een vectorruimte met basis β = {v1 , . . . , vn } en laat β ∗ = {v 1 , . . . , v n }
de bij β horende duale basis zijn voor V ∗ . Dan geldt dat
 ∗

v (v1 )


..
coβ ∗ : V ∗ → Kn : v ∗ 7→ 
(17)
,
.
v ∗ (vn )
oftewel, met andere woorden, dat
v ∗ = v ∗ (v1 )v 1 + · · · + v ∗ (vn )v n
(18)
voor alle v ∗ ∈ V ∗ .
Bewijs.
Evalueer de beide lineaire functionalen in het linker- en rechterlid van (18) in
v1 , . . . , vn met behulp van relatie (15) en concludeer gelijkheid.
We illustreren de duale basis en Lemma 3.22 met twee voorbeelden.
Voorbeeld 3.23 Beschouw R2 voorzien van de standaardbasis ε = {e1 , e2 }. De duale vectorruimte (R2 )∗ bestaat volgens Stelling 3.7 uit alle afbeeldingen
x1
x1
2
`y : R → R :
7→ [y1 , y2 ]
, met y1 , y2 ∈ R.
x2
x2
We zien in het bijzonder dat `y = y1 e1 + y2 e2 , waarbij
e1 : R2 → R :
x 7→ e>
1 x en
e2 : R2 → R :
x 7→ e>
2x
de individuele-coördinaatfunctionalen zijn. Het tupel {e1 , e2 } is de duale basis ε∗ voor (R2 )∗ .
Merk op dat `y = `y (e1 )e1 + `y (e2 )e2 , wat Lemma 3.22 illustreert.
Het volgende voorbeeld speelt zich af in een polynoomruimte.
5
Voorbeeld 3.24 Beschouw de vectorruimte (R[X]≤2 , R). Laat β = {φ0 , φ1 , φ2 }, waarbij
φ0 : R → R :
X 7→ 1,
φ1 : R → R :
X 7→ X,
φ2 : R → R :
X 7→ X 2 .
De duale basis β ∗ = {φ0 , φ1 , φ2 } voor (R[X]≤2 )∗ bestaat per Definitie 3.18 en Opmerking 3.20
uit de individuele-coördinaatfunctionalen, die samen de coördinaatafbeelding coβ bepalen,
 0

φ (·)
coβ (·) =  φ1 (·)  .
φ2 (·)
Beschouw nu de integratie-afbeelding
Z
I01 : R[X]≤2 → R :
1
p→
p(X)dX.
0
Dan is I01 ∈ (R[X]≤2 )∗ en vertelt Lemma 3.22 dat
1
1
I01 = I01 (φ0 )φ0 + I01 (φ1 )φ1 + I01 (φ2 )φ2 = φ0 + φ1 + φ2 .
2
3
Hiermee hebben we de integratie-functionaal I01 dus expliciet geschreven als lineaire combinatie
van de individuele-coördinaatfunctionalen φ1 , φ2 , φ3 .
Opmerking 3.25 In het voorgaande voorbeeld hebben we in feite niets anders laten zien
dan dat
Z 1
1
1
(19)
a + bX + cX 2 dX = a + b + c
2
3
0
oftewel, we hebben de integraal uitgedrukt als lineaire combinatie van de coördinaten a, b, c.
3.3
De dubbelduale vectorruimte V ∗∗ en het natuurlijke isomorfisme
In deze sectie bestuderen we de duale van de duale vectorruimte V ∗ , oftwel de dubbelduale
vectorruimte V ∗∗ = (V ∗ )∗ van V . Volgens Definitie 3.3 is
V ∗∗ = homK (V ∗ , K)
(20)
en deze vectorruimte bestaat dus uit alle lineaire functionalen V ∗ → K.
Opmerking 3.26 Als V = R bestaat V ∗ = R∗ uit de lineaire afbeeldingen van R naar R, en
V ∗∗ uit de lineaire afbeeldingen, die aan dergelijke lineaire afbeeldingen scalairen toevoegen.
Dus V ∗∗ lijkt doorgaans niet hetzelfde als V , tenzij we onze interpretatie van V subtiel herzien.
Definitie 3.27 (Duale koppeling) Zij V een vectorruimte met duale V ∗ . Schrijf voor alle
v ∗ ∈ V en v ∈ V
hv ∗ , vi = v ∗ (v).
(21)
De afbeelding h·, ·i : V ∗ × V → K heet de duale koppeling van het duale paar V, V ∗ .
Opmerking 3.28 De uitdrukking hv ∗ , vi is geen inproduct. Als V een inproductruimte is,
zullen we verschillende notaties nodig hebben voor inproduct en duale koppeling.
6
De charme van de notatie hv ∗ , vi en van het hele concept van duale koppeling is, dat het een
perfecte symmetrie suggereert tussen wat v ∗ doet met v, en omgekeerd, wat v doet met v ∗ .
Opmerking 3.29 Het is gebruikelijk om v ∗ (v) en dus hv ∗ , vi te lezen als v ∗ geëvalueerd in v.
De symmetrie in de notatie hv ∗ , vi moedigt echter aan om dit ook te lezen als v geëvalueerd
in v ∗ . Dit interpreteert v als lineaire functionaal V ∗ → K : v ∗ 7→ hv ∗ , vi, als element van V ∗∗ .
In Figuur 3.4 illustreren we de symmetrie tussen de gebruikelijke werking van V ∗ op V en de
hier nieuw te beschouwen werking van V op V ∗ .
v1
v2
vn
v1
1
0
0
v2
0
1
v ∗ (v) = hv ∗ , vi = v(v ∗ )
v ∗ : V → K : v 7→ hv ∗ , vi
vn
0
1
0
0
1
v : V ∗ → K : v ∗ 7→ hv ∗ , vi
Figuur 3.4. Dualiteit: het symbool v is zowel een element van V , als een element van V ∗∗ .
We gebruiken in Figuur 3.4 voor de lineaire functionaal V ∗ → K : v ∗ 7→ hv ∗ , vi uit de
vectorruimte V ∗∗ hetzelfde symbool v als voor het element v uit V . De motivatie hiervoor is
dat we voor de lineaire functionaal V → K : v 7→ hv ∗ , vi standaard het symbool v ∗ gebruiken.
Opmerking 3.30 Om de vraag te beantwoorden of het gebruik van het symbool v voor
de afbeelding V ∗ → K : v ∗ 7→ hv ∗ , vi geen mathematische inconsistentie oplevert, zullen we
aantonen dat iedere v ∈ V op deze manier precies één element uit V ∗∗ voorstelt, en omgekeerd,
dat ieder element uit V ∗∗ voor is te stellen middels precies één element uit V .
In de volgende stelling gebruiken we daarom vooralsnog niet het symbool v maar H(v).
Stelling 3.31 (Natuurlijk isomorfisme) Zij V, V ∗ een duaal paar met duale koppeling
h·, ·i : V ∗ × V → K. Laat H : V → V ∗∗ de afbeelding zijn die aan v ∈ V de lineaire
functionaal
H(v) : V ∗ → K : v ∗ 7→ hv ∗ , vi
(22)
uit V ∗∗ toevoegt. Dan is H een lineaire bijectie tussen V en V ∗∗ , het natuurlijke isomorfisme.
Opmerking 3.32 We schrijven H(v)(v ∗ ) voor de functionaal H(v) ∈ V ∗∗ geëvalueerd in v ∗ .
Het alternatief is om de duale koppeling tussen V ∗ en V ∗∗ te gebruiken, maar dat is wellicht
verwarrend. In het bijzonder is dus H(v)(v ∗ ) = hv ∗ , vi.
Bewijs. We bewijzen eerst de lineariteit van H. Laat α, β ∈ K en v, w ∈ V . Dan geldt voor
alle v ∗ ∈ V ∗ dat
H(αv + βw)(v ∗ ) = hv ∗ , αv + βwi = αhv ∗ , vi + βhv ∗ , wi = αH(v)(v ∗ ) + βH(w)(v ∗ ),
7
en dus zijn H(αv + βw) en αH(v) + βH(w) gelijk als afbeeldingen op V ∗ . Vervolgens laten
we zien dat H injectief is. Veronderstel hiertoe dat H(v) = 0. Dit betekent dat
H(v)(v ∗ ) = hv ∗ , vi = 0 ∈ K
voor alle v ∗ ∈ V ∗ , en dus in het bijzonder voor de elementen v 1 , . . . , v n van de duale basis β ∗
van V ∗ horende bij een gekozen basis β = {v1 , . . . , vn } van V . Dus is hv j , vi = v j (v) = 0 voor
alle j ∈ {1, . . . , n}, en volgt met behulp van Opmerking 3.20 dat coβ (v) = 0 en dus is v = 0.
Dus is H injectief, en omdat dim(V ) = dim(V ∗∗ ) = n is H bijectief.
Opmerking 3.33 Als we het symbool v gebruiken voor zowel het element uit V als voor het
element V ∗ → K : v ∗ 7→ hv ∗ , vi uit V ∗∗ dan valt te verdedigen dat V ∗∗ = V .
3.4
Het isomorfisme van Riesz
In Opmerking 3.9 zagen we dat iedere lineaire functionaal ` op Rn op precies één manier
kan worden geschreven als het nemen van het inproduct met een vast gekozen y ∈ Rn . We
bewijzen nu een overeenkomstig resultaat voor iedere eindigdimensionale inproductruimte.
Opmerking 3.34 Ter onderscheid van de duale koppeling noteren we een inproduct als (·, ·).
Stelling 3.35 (Riesz) Laat (V, R, (·, ·)) een inproductruimte zijn van dimensie n ∈ N. Dan
is voor iedere u ∈ V de afbeelding
`u : V → R :
v 7→ (u, v)
(23)
u 7→ `u
(24)
een element uit V ∗ . Definieer nu
J :V →V∗ :
dan is J een lineaire bijectie en dus een isomorfisme, het Riesz-isomorfisme genaamd.
Bewijs. De lineariteit van `u en van J volgen eenvoudig. Om injectiviteit van J te bewijzen,
merk op dat `u (u) = (u, u) = kuk2 en dus volgt uit een inproductaxioma dat `u = 0 ⇒ u = 0.
Dus ker(J ) = {0} en is J injectief. Gevolg 3.13 laat zien dat dim(V ∗ ) = dim(V ) = n en dus
is J zelfs bijectief. We concluderen dat J een isomorfisme is.
Opmerking 3.36 In de overeenkomstige Stelling 3.7 was nog niet bewezen dat dim(V ∗ ) =
dim(V ) en dus moest daar de surjectiviteit van L nog expliciet worden bewezen.
Frigyes Riesz (1880-1956)
8
Definitie 3.37 (Riesz-representant) Het unieke element v ∈ V zo, dat (v, w) = v ∗ (w)
voor alle w ∈ V heet de Riesz-representant van v ∗ in V .
Voorbeeld 3.38 Opmerking 3.9 laat zien dat y de Riesz-representant van `y is.
Voorbeeld 3.39 Beschouw voor zekere a < b het standaardinproduct
Z b
q(X)r(X)dX
(q, r) =
a
op de vectorruimte (R[X]≤n , R) van polynomen van graad ten hoogste n. De Riesz-representant
van de integratie-afbeelding Iab ∈ (R[X]≤n )∗ gedefinieerd door
Z b
b
Ia : R[X]≤n → R : r 7→
r(X)dX
a
is het polynoom R → R : X 7→ 1. Immers, Iab (r) = (1, r) voor alle r ∈ R[X]≤n .
Voorbeeld 3.40 Op de ruimte (Rn×n , R) definiëren we het inproduct
(X, Y ) = Sp(X > Y ).
De Riesz-representant van de lineaire functionaal
Sp : Rn×n → R :
Y 7→ Sp(Y )
is de identiteitsmatrix I ∈ Rn×n . Immers, Sp(Y ) = Sp(I > Y ) = (I, Y ) voor alle Y ∈ Rn×n .
Het volgende voorbeeld is wellicht wat verrassender.
Voorbeeld 3.41 Laat A ∈ GLn (R) gegeven zijn met A> = A. Definieer voor alle y, z ∈ Rn ,
(y, z)A = y > Az.
(25)
Dan is (·, ·)A een inproduct op Rn . Beschouw nu het stelsel Ax = b van lineaire vergelijkingen
voor gegeven b ∈ Rn . Omdat geldt dat
(x, z)A = x> Az = x> A> z = (Ax)> z = b> z
(26)
is de oplossing x van Ax = b de Riesz-representant van de lineaire functionaal z 7→ b> z.
Het Riesz-isomorfisme
J is een lineaire afbeelding tussen vectorruimtes, en dus kunnen we
∗
de matrix Jββ van J beschouwen ten opzichte van bases β en β ∗ .
Lemma 3.42 Zij (V, R, (·, ·)) een inproductruimte met basis
{v 1 , . . . , v n } voor de bijbehorende duale basis van V ∗ . Dan is

(v1 , v1 ) . . . (vn , v1 )

β∗
..
..
Jβ = 
.
.
(v1 , vn ) . . .
β = {v1 , . . . , vn }. Schrijf β ∗ =



(vn , vn )
de matrix van het Riesz-isomorfisme J : V → V ∗ ten opzichte van β en β ∗ .
9
(27)
∗
Bewijs. Per definitie is Jββ de matrix waarvoor geldt dat
∗
coβ ∗ (J (v)) = Jββ · coβ (v)
(28)
∗
voor alle v ∈ V , zoals afgebeeld in Figuur 3.5. Dus is de j-de kolom van Jββ gelijk aan

 

J (vj )(v1 )
(vj , v1 )

 

..
..
coβ ∗ (J (vj )) = 
(29)
=
,
.
.
J (vj )(vn )
(vj , vn )
waar we gebruik maakten van Lemma 3.22 en de definitie van J uit Stelling 3.35.
In Figuur 3.5 vatten we één en ander schematisch samen. Definitie 3.18 van duale basis
β ∗ = {v 1 , . . . , v n }, Opmerking 3.20 over de vorm van coβ in termen van v 1 , . . . , v n , Lemma
3.22 voor de coördinaten ten opzichte van β, en bovenstaand Lemma 3.42 voor de matrix van
het Riesz-isomorfisme ten opzichte van β en β ∗ .
β ∗ = {v 1 , . . . , v n }
β = {v1 , . . . , vn }
j

coβ (v) = 
V∗
v∗ =
hv , vivj
coβ
j=1

J
V
hv 1 , vi
Rn


..

.
n
hv , vi
coβ ∗
∗
Jββ
Rn

(v1 , v1 ) . . .

..

.
(v1 , vn ) . . .
n
X
hv ∗ , vj iv j
j=1

hv ∗ , v1 i


..
coβ ∗ (v ∗ ) = 

.
∗
hv , vn i

=
v=
n
X

(vn , v1 )

..

.
(vn , vn )
Figuur 3.5 Matrix van het Riesz-isomorfisme ten opzichte van basis en duale basis.
Opmerking 3.43 De coördinaatvector coβ (J −1 (v ∗ )) van de Riesz-representant J −1 (v ∗ ) van
v ∗ kan dus worden uitgerekend als oplossing x van het stelsel lineaire vergelijkingen
∗
Jββ x = coβ ∗ (v ∗ ),
(30)
∗
waarbij de matrix Jββ is als in Lemma 3.42.
Voorbeeld 3.44 Beschouw nogmaals Voorbeeld 3.39, met voor het gemak de expliciete keuzes
n = 2 en verder a = 0 en b = 1. We gaan de Riesz-representant p = J −1 (I01 ) van I01
uitrekenen. Kies hiertoe β = {1, X, X 2 }. De coördinaten van I01 ten opzichte van β ∗ hebben
we reeds uitgerekend in Voorbeeld 3.24. Dan geeft Lemma 3.42 dat




1 21 31
1
∗
Jββ coβ (p) =  12 13 41  coβ (p) =  21  = coβ ∗ (I01 ).
(31)
1
3
1
4
1
5
1
3
Hieruit volgt dat coβ (p) = e1 ∈ R3 en dus dat p = I, in overeenstemming met Voorbeeld 3.39.
10
∗
Opmerking 3.45 Als β in Lemma 3.42 orthonormaal is, is Jββ = I, de identiteitsmatrix.
In dat geval geldt kennelijk coβ ∗ (J (v)) = coβ (v), oftewel,
v=
n
X
αj vj
⇔
J (v) =
j=1
n
X
αj v j .
(32)
j=1
In dat geval kan de Riesz-representant v = J −1 (v ∗ ) van v ∗ het eenvoudigst worden bepaald.
We geven nu een voorbeeld waaruit blijkt dat als de vectorruimte V geen eindige dimensie
heeft, de representatiestelling van Riesz niet zonder meer geldig blijft.
Voorbeeld 3.46 Beschouw de inproductruimte (C(I), R, (·, ·)) van continue functies op het
interval I = [0, 1], voorzien van het standaardinproduct
1
Z
(f, g) =
f (x)g(x)dx.
(33)
0
We bekijken weer de lineaire functionaal I01 ∈ C(I)∗ . Net als in Voorbeeld 3.39 geldt ook hier
dat
(1, g) = I01 (g)
(34)
voor alle g ∈ C(I). Dus I01 heeft een Riesz-representant in C(I). Bekijk nu echter de functieevaluatie in x = 0,
ε0 : C(I) → R : g 7→ g(0).
(35)
Deze functionaal is lineair en dus ε0 ∈ C(I)∗ . Veronderstel nu dat er een f ∈ C(I) bestaat
met de eigenschap dat
(f, g) = ε0 (g) voor alle g ∈ C(I).
(36)
Dan is f niet de nulfunctie. Omdat f continu is, bestaat er een niet-leeg open interval
K = (a, b) ⊂ [0, 1] zo, dat f (x) 6= 0 voor alle x ∈ K. Laat nu g(x) = (x − a)(b − x)
voor alle x ∈ K en g(x) = 0 voor alle x 6∈ [a, b]. Zie Figuur 3.6.
f
f (x)g(x) > 0 op K
f (x)g(x) = 0 op I \ K
g
0
a
K
b
⇒
(f, g) > 0
ε0 (g) = 0
1
Figuur 3.6 Voor iedere f ∈ C(I) is er een g ∈ C(I) met g(0) = 0 en (f, g) 6= 0.
Dan is g ∈ C(I) met ε0 (g) = 0. Ook is f (x)g(x) = 0 voor alle x 6∈ K. Omdat voor alle
x ∈ K óf f (x)g(x) > 0, óf f (x)g(x) < 0 is (f, g) 6= 0. Uit deze tegenspraak volgt dat er geen
f ∈ C(I) bestaat zo, dat (f, g) = ε0 (g) voor alle g ∈ C(I).
Opmerking 3.47 Dualiteit heeft in oneindig veel dimensies veel meer onverwachte wendingen dan in eidig veel dimensies. De representatiestelling van Riesz, maar bijvoorbeeld ook
het natuurlijk isomorfisme hoeven daar niet meer van toepassing te zijn.
Functie-evaluatie heeft wel een Riesz-representant op iedere polynoomruimte (R[X]≤n , R).
11
Voorbeeld 3.48 Beschouw de vectorruimte (R[X]≤1 , R) van lineaire polynomen voorzien van
het standaardinproduct
Z
1
(q, r) =
q(X)r(X)dX.
−1
We bepalen de Riesz-representant van de evaluatie-functionaal ε0 : R[X]≤1 → R : p 7→ p(0).
Hietoe kiezen we de basis β = {1, X} voor R[X]≤1 . We vinden middels Lemma 3.22 dat
ε0 (1)
1
∗
coβ (ε0 ) =
=
.
(37)
ε0 (X)
0
Vervolgens berekenen we expliciet de matrix
∗
Jββ
=
2
0
0
(38)
2
3
met als gevolg dat
coβ (J
en dus dat r = J −1 (ε0 ) =
Z
1
(r, p) =
−1
1
2
−1
(ε0 )) =
h
∗
Jββ
i−1
coβ ∗ (ε0 ) =
1
2
0
,
(39)
· 1 + 0 · X. En inderdaad, met p(X) = a + bX vinden we dat
1
1
1 2 1
(a + bX)dX = (aX + bX ) = a = p(0) = ε0 (p).
2
2
2
−1
(40)
Dit bevestigt dat r de Riesz-representant is van ε0 ∈ (R[X]≤1 )∗ .
3.5
De duale L∗ van een lineaire afbeelding L
Laat (V, K) en (W, K) vectorruimtes zijn over een lichaam K. Dan induceert iedere lineaire
afbeelding L : V → W op natuurlijke wijze een zogeheten duale afbeelding L∗ : W ∗ → V ∗ .
Definitie 3.49 (Duale afbeelding en pull-back) Voor iedere L ∈ homK (V, W ) definiëren
we de duale afbeelding L∗ ∈ homK (W ∗ , V ∗ ) middels
L∗ : W ∗ → V ∗ :
w∗ 7→ w∗ ◦ L.
De functionaal L∗ (w∗ ) heet de pull-back van w∗ in V ∗ onder L.
Het is eenvoudig na te gaan dat L∗ goedgedefinieerd en linear is.
V
∗
V 3
w∗
L
W
w∗
◦L
∈
L∗ : W ∗ → V ∗ : w∗ 7→ w∗ ◦ L
W∗
K
L∗
Figuur 3.6 Definitie van de duale afbeelding L∗ en de pull-back w∗ ◦ L van w∗ .
12
(41)
Opmerking 3.50 In de context van complexe inproductruimtes gebruikten we de notatie L∗
voor de geadjungeerde van een lineaire afbeelding L : V → W . Dit is de afbeelding zo, dat
(v, L∗ (w))V = (L(v), w)W
(42)
voor alle v ∈ V en w ∈ W . Hier is (·, ·)V het inproduct op V en (·, ·)W het inproduct op W .
Ondanks dat we de duale van een afbeelding L ook met L∗ aanduiden, is dit niet hetzelfde.
Opmerking 3.51 De asterisk in L∗ is een bewerking ∗ : homK (V, W ) → homK (W ∗ , V ∗ ).
Voorbeeld 3.52 Laat L : R → R : x 7→ 2x. Dan beeldt L∗ een functionaal w∗ op R af op de
functionaal v ∗ = L∗ (w∗ ) gedefinieerd door
v∗ : R → R :
x 7→ w∗ (2x).
(43)
Deze v ∗ is dan de pull-back van w∗ onder L.
Voorbeeld 3.53 Laat (C(I), R) de vectorruimte van continue functies op I = [a, b] zijn.
Beschouw de lineaire afbeelding
π : C(I) → R[X]≤1 :
f 7→ π(f ),
(44)
waarbij π(p) de lineaire interpolant is van f , oftewel, het unieke polynoom in R[X]≤1 dat
waarde f (a) aanneemt in a en waarde f (b) in b. Laat vervolgens
Z b
Iab : R[X]≤1 → R : g 7→
g(x)dx.
(45)
a
Dan is Iab ∈ (R[X]≤1 )∗ en is L∗ (Iab ) gelijk aan de lineaire functionaal Iab ◦ L, die we herkennen
als
Z b
1
b
(46)
Ta : C(I) → R : f 7→
π(f )(x)dx = (f (a) + f (b)) (b − a),
2
a
oftewel, de trapeziumregel Tab ∈ (C(I))∗ is de pull-back van Iab onder π. Zie Figuur 3.7.
C(I)
π
R[X]≤1
Iab ∈ (R[X]≤1 )∗
C(I)∗ 3 Tab
π ∗ (Iab ) = Tab
R
π∗
Figuur 3.7 Relatie tussen Iab en Tab via de duale π ∗ van de lineaire-interpolatieafbeelding.
De duale L∗ van een lineaire afbeelding is zoals gezegd niet gelijk aan de geadjungeerde. Wel
kunnen we het volgende onmiddellijk inzien. Vergelijk dit met Opmerking 3.50.
Stelling 3.54 Laat L∗ ∈ homK (W ∗ , V ∗ ) de duale zijn van L ∈ homK (V, W ). Dan geldt voor
alle v ∈ V en w∗ ∈ W ∗ ,
hL∗ (w∗ ), viV = hw∗ , L(v)iW
(47)
waarbij h·, ·iV de duale koppeling tussen V ∗ en V en h·, ·iW die tussen W ∗ en W is.
13
Bewijs. Er geldt per definitie van duale koppeling en van L∗ dat
hw∗ , L(v)iW = w∗ (L(v)) = (w∗ ◦ L)(v) = L∗ (w∗ )(v) = hL∗ (w∗ ), viV .
Dit bewijst de bewering.
(48)
De matrix van L∗ blijkt eenvoudigweg de getransponeerde te zijn van die van L, indien we
V ∗ en W ∗ voorzien van de duale bases van die van V en W .
Stelling 3.55 Laat βV = {v1 , . . . , vn } een basis zijn van V en βW = {w1 , . . . , wk } een basis
voor W . Laat L∗ ∈ homK (W ∗ , V ∗ ) de duale zijn van L ∈ homK (V, W ). Dan is
β∗
(L∗ )βV∗ = (LββW
)> ,
V
(49)
W
∗ de duale bases van β en β
waarbij βV∗ en βW
V
W zijn.
Bewijs. Per definitie van de beide matrices geldt
β∗
∗
∗ (w )
coβV∗ (L∗ (w∗ )) = (L∗ )βV∗ coβW
(50)
W
voor alle w∗ ∈ W ∗ , en tevens dat voor alle v ∈ V ,
coβV (v).
coβW (L(v)) = LββW
V
(51)
Laat nu i ∈ {1, . . . , k} en j ∈ {1, . . . , n} gegeven zijn. Dan geldt dat
β∗
β∗
j
>
∗
j
∗
j
>
∗ V
∗ V
∗ (w ) = e coβ ∗ (L (w )) = hL (w ), vi iV ,
e>
i
i (L )β ∗ ej = ei (L )β ∗ coβW
V
W
W
waar de tweede gelijkheid (50) gebruikt en de derde gelijkheid Lemma 3.22. Idem vinden we
βW
>
j
> βW
e>
j LβV ei = ej LβV coβV (vi ) = ej coβW (L(vi )) = hw , L(vi )iW ,
waarbij de tweede gelijkheid (51) gebruikt en de derde Opmerking 3.20. Omdat wegens
Stelling 3.55 geldt dat hwj , L(vi )iW = hL∗ (wj ), vi iV vinden we dat
β∗
∗ V
> βW
e>
i (L )β ∗ ej = ej LβV ei .
(52)
W
Dit bewijst de bewering.
3.6
De annihilator van een deelverzameling van V
Het begrip annihilator in de duale vectorruimte is gerelateerd aan het begrip orthogonaal
complement in een inproductruimte.
Definitie 3.56 (Annihilator) Zij (V, K) een vectorruimte en S ⊂ V . Dan heet de verzameling
S ◦ = {v ∗ ∈ V ∗ | v ∗ (s) = 0 voor alle s ∈ S}
(53)
de annihilator van S in V ∗ .
In het bijzonder geldt dus dat v ∗ ∈ S ◦ als en alleen als S ⊂ ker(v ∗ ).
14
Opmerking 3.57 Als v ∗ nul is op S, is v ∗ ook nul op de deelruimte van V opgespannen door
de elementen van S. In het bijzonder is S ◦ dus een lineaire deelruimte van V ∗ , ook als S dat
niet is. Tot slot is eenvoudig in te zien dat V ◦ = {0} en {0}◦ = V ∗ .
Annihilatoren worden uiteraard kleiner naarmate de te annihileren verzameling groter wordt.
Lemma 3.58 Laat (V, K) een vectorruimte zijn met duale V ∗ . Dan geldt
S⊂T ⊂V
⇒
T ◦ ⊂ S◦ ⊂ V ∗.
Bewijs. Als v ∗ (t) = 0 voor alle t ∈ T dan is v ∗ (s) = 0 voor alle s ∈ S.
(54)
De omgekeerde implicatie in (54) is niet geldig.
De Canadese band Annihilator (1984)
Voorbeeld 3.59 Beschouw de deelverzameling {e1 } ⊂ R3 . Ieder element van (R3 )∗ is te
schrijven als `y : R3 → R : x 7→ y > x, en `y (e1 ) = 0 als en alleen als e>
1 y = 0. Dus,
{e1 }◦ = {`y : R3 → R : x 7→ y > x | e>
1 y = 0}.
(55)
Merk op dat {e1 }◦ ook gelijk is aan het opspansel van {e2 , e3 }, waarbij ε∗ = {e1 , e2 , e3 } de
duale basis is van de standaardbasis ε = {e1 , e2 , e3 }.
Het voorgaande voorbeeld illustreert het aangekondigde verband tussen orthogonale complementen en annihilatoren. Dit verband wordt expliciet gemaakt middels het Riesz-isomorfisme.
Stelling 3.60 Zij (V, R, (·, ·)) een inproductruimte en S ⊂ V . Dan geldt
span(S)⊥ = J −1 (S ◦ ),
(56)
waarbij J : V → V ∗ het Riesz-isomorfisme is.
Bewijs. Laat v ∗ ∈ S ◦ . Dan is v ∗ (s) = 0 voor alle s ∈ S. Per definitie van Riesz-representant
is J −1 (v ∗ ) de vector uit V waarvoor geldt dat
(J −1 (v ∗ ), v) = v ∗ (v) voor alle v ∈ V ,
(57)
en dus staat J −1 (v ∗ ) loodrecht op alle s ∈ S en daarmee ook loodrecht op alle lineaire
combinaties van vectoren uit S. Dus J −1 (v ∗ ) ∈ span(S)⊥ . Omgekeerd, laat w ∈ span(S)⊥ ,
dan geldt in het bijzonder dat (w, s) = 0 voor alle s ∈ S, en dus is
J (w) : V → R :
een element is van S ◦ . Dit bewijst de bewering.
15
v 7→ (w, v)
(58)