Algemene natuurkunde

Algemene natuurkunde
Daniël Slenders
Faculteit Ingenieurswetenschappen
Katholieke Universiteit Leuven
Academiejaar 2009 - 2010
Inhoudsopgave
Hoofdstuk 13 - fluı̈da
6
Oefening 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Oefening 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
Oefening 41 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
Oefening 54 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
Oefening 59 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
Oefening 61 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Hoofdstuk 14 - trillingen
14
Oefening 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Oefening 39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Oefening 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Oefening 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Hoofdstuk 15 - golven
19
Oefening 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Oefening 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Oefening 39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Oefening 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Oefening 89 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Oefening 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Hoofdstuk 16 - geluid
25
Oefening 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Oefening 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Oefening 104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2
Hoofdstuk 21 - elektrische lading en elektrisch veld
27
Oefening 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Oefening 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Oefening 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Oefening 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Oefening 41 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Oefening 49 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Oefening 50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Oefening 51 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Oefening 53 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Oefening 54 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Oefening 61 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Oefening 67 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Oefening 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Hoofdstuk 22 - wet van Gauss
40
Question 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Question 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Question 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Question 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Question 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Oefening 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Oefening 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Oefening 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Oefening 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Oefening 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Oefening 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Oefening 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Oefening 43 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Oefening 49 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Oefening 61 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3
Hoofdstuk 23 - elektrische potentiaal
54
Oefening 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Oefening 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Oefening 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Oefening 39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Oefening 41 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Oefening 53 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Oefening 83 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Hoofdstuk 24 - condensatoren en diëlektrica
62
Oefening 39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Oefening 59 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Oefening 61 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Oefening 63 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Oefening 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Hoofdstuk 25 - elektrische stromen en weerstand
67
Oefening 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Oefening 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Oefening 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Oefening 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Oefening 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Oefening 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Oefening 55 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Oefening 59 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Oefening 83 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Hoofdstuk 27 - magnetisme
74
Oefening 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Oefening 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Oefening 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Oefening 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Oefening 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Oefening 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Oefening 66 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Oefening 74 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4
Hoofdstuk 28 - bronnen van magnetisch veld
83
Oefening 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Oefening 43 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Hoofdstuk 29 - elektromagnetische inductie en wet van Faraday
87
Oefening 39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Oefening 55 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Oefening 75 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Hoofdstuk 31 - wetten van Maxwell en elektromagnetische golven
90
Oefening 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Oefening 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5
Hoofdstuk 13 - fluı̈da
Oefening 20
Vraag
A hydraulic press for compacting powdered samples has a large cylinder which is 10.0 cm in
diameter. A lever is attached to the small cylinder as shown. The sample. whisch is placed
on the large cylinder, has an area of 4.0 cm2 . What is the pressure on the sample if 350 N is
applied to the lever?
Oplossing
Aangezien de plaats waar de kracht wordt aangebracht dubbel zo ver van de scharnier is als de
positie van de kleine cilinder, is de kracht die daar aangrijpt het dubbele van de uitgeoefende
kracht (om hetzelfde moment op de scharnier te hebben). Deze kracht is dus gelijk aan 700/N .
De druk in de vloeistof is dan gelijk aan:
P =
F
A
700
Pa
0.012 ∗ π
P = 2, 23 ∗ 106 P a
P =
(1)
De kracht op de grote cilinder is dan gelijk aan:
F 0 = P ∗ A0
F 0 = 2, 23 ∗ 106 ∗ 0.052 ∗ π N
F 0 = 17500 N
(2)
6
De druk op het monster is dan gelijk aan:
F0
A00
17500
Pa
P0 =
0.0004
P 0 = 4, 375 ∗ 107 P a
P0 =
(3)
Oefening 38
Vraag
A cube of side lenght 10 cm and made of unknown material floates at the surface between
water and oil. The oil has a density of 810 kg/m3 . If the cube floats so that it is 72% in the
water and 28% in the oil, what is the mass of the cube and what is the buyant force on the
cube.
Oplossing
Het volume van de kubus is 1 L. 720 mL hiervan zit in het water, 280 mL in de olie. De
massa van het verplaatste water is dus gelijk aan 0.72 kg. De massa van de verplaatste olie
0.28 ∗ 0.810 = 0.2268 kg. De opwaartse stuwkracht is dan gelijk aan:
Fstuw = g ∗ (0.72 + 0.2268) N
Fstuw = 9.469 N
(4)
Het voorwerp is in evenwicht als het gewicht van het voorwerp gelijk is aan de opwaartse
stuwkracht. De massa ervan is dus gelijk aan:
9.469
g
m = 0.9468 kg
m=
(5)
Oefening 41
Vraag
If an object floats in water, its density can be determined by tying a sinker to it so that both the
object and the sinker are submergerd. Show that the specific gravity is given by w/(w1 − w2 ),
where w is the weight of the object alone in air, w1 is the apparent weight when a sinker is tied
to it and the sinker only is submerged, and w2 is the apparent weight when both the object
and the sinker are submerged.
7
Oplossing
Het schijnbare gewicht wordt gegeven door:
w 0 = w − Fb
(6)
w1 = w + ws0
(7)
met Fb de opwaartse stuwkracht.
w1 is dan gelijk aan:
met ws0 het schijnbare gewicht van de ondergedompelde zinker.
w2 is dan gelijk aan:
w2 = w0 + ws0
(8)
Dit geeft dus:
w
w1 − w2
w
w1 − w2
w
w1 − w2
w
w1 − w2
=
ws0
w+
w
=
w − w0
w
− (w0 + ws0 )
ρ∗V ∗g
ρ ∗ V ∗ g − (ρ ∗ V ∗ g − ρL ∗ V ∗ g)
ρ
=
ρL
(9)
=
Oefening 54
Vraag
Water at a gauge presssure of 3.8 atm at street level flows into an office building at a speed
of 0.68 m/s through a pipe 5.0 cm in diameter. The pipe tapers down to 2.8 cm in diameter
by the top floor, 18 m above, where the faucet has been left open. Calculate the flow velocity
and the gauge pressure in the pipe on the top floor. Assume no branch pipes and ignore
viscosity.
8
Oplossing
Volgens de wet van Bernouilli geldt:
P1 +
1
1
∗ ρ ∗ v12 + ρ ∗ g ∗ y1 = P2 + ∗ ρ ∗ v22 + ρ ∗ g ∗ y2
2
2
(10)
met P1 de begindruk van 3.8 atm, v1 de beginsnelheid van 0.68 m/s en y1 gelijk aan 0. y2 is
18 m en P2 en v2 zijn gevraagd.
Volgens de wet van continuı̈teit geldt:
A1 ∗ v1 = A2 ∗ v2
(11)
met A1 de begindoorsnede, v1 de beginsnelheid, A2 de einddoorsnede en v2 gevraagd.
Dit stelsel oplossen geeft voor de eindsnelheid:
A1 ∗ v1
A2
0.0252 ∗ π ∗ 0.68
v2 =
m/s
0.0142 ∗ π
v2 = 2.17 m/s
v2 =
(12)
En voor de einddruk:
1
1
∗ ρ ∗ v12 − ( ∗ ρ ∗ v22 + ρ ∗ g ∗ y2 )
2
2
P2 = 3.8 ∗ 101325 + 0.5 ∗ 1000 ∗ 0.682 − 0.5 ∗ 1000 ∗ 2.172 − 1000 ∗ 10 ∗ 18 P a
P2 = 202911.75 P a
P2 = 2 atm
P2 = P1 +
(13)
Oefening 59
Vraag
1. Show that Bernouilli’s principle predicts that the level of the liquid, h = y2 − y1 drops
at a rate
s
2 ∗ g ∗ h ∗ A21
dh
=−
,
(14)
dt
A22 − A21
where A1 and A2 are the areas of the opening and the top surface, respectively, assuming
A1 << A2 , and viscosity is ignored.
2. Determine h as a function of time by integrating. Let h − h0 at t = 0.
3. How long would it take to empty a 10.6 cm-tall cylinder filled with 1.3 L of water if the
opening is at the bottom and has a 0.50 cm-diameter.
9
Oplossing - 1
Het is een open systeem dus de druk is aan beide openingen gelijk. De wet van Bernouilli
wordt dan:
1
1
(15)
∗ ρ ∗ v12 + ρ ∗ g ∗ y1 = ∗ ρ ∗ v22 + ρ ∗ g ∗ y2
2
2
Volgens de wet van continuı̈teit geldt:
A1 ∗ v1 = A2 ∗ v2
(16)
De verandering van de hoogte is gelijk aan de snelheid v2 naar beneden gericht. Dit wordt
dus:
dh
= −v2
(17)
dt
Als we dit stelsel oplossen geeft dat:
1
1
∗ ρ ∗ v12 + ρ ∗ g ∗ y1 = ∗ ρ ∗ v22 + ρ ∗ g ∗ y2
2
2
v2 ∗ A2 2
) = v22 + 2 ∗ g ∗ (y2 − y1 )
(
A1
A2 A2
v22 ∗ ( 22 − 12 ) = 2 ∗ g ∗ h
A1 A1
2 ∗ g ∗ h ∗ A21
v22 =
A2 − A21
s2
2 ∗ g ∗ h ∗ A21
−v2 = −
A22 − A21
s
dh
2 ∗ g ∗ h ∗ A21
=−
dt
A22 − A21
(18)
10
Oplossing - 2
Als we dit integreren geeft dat:
s
2 ∗ g ∗ h ∗ A21
dh
=−
dt
A22 − A21
s
dh
2 ∗ g ∗ A21
√ =−
dt
A22 − A21
h
s
Z
Z
2 ∗ g ∗ A21
−0.5
h
dh = −
∗ dt
A22 − A21
s
√
2 ∗ g ∗ A21
∗t
2∗ h=−
A22 − A21
Als we hierbij de gegeven grenzen invullen geeft dat:
s
Z h
Z t
2 ∗ g ∗ A21
−0.5
h
dh = −
∗
dt
A22 − A21
hmax
0
s
p
√
2 ∗ g ∗ A21
2 ∗ h − 2 ∗ hmax = −
∗t
A22 − A21
(19)
(20)
Oplossing - 3
Als we de waarden invullen in de formule uit deel 2 geeft dat:
√
√
2 ∗ h − 2 ∗ hmax
q
t=
2∗g∗A2
− A2 −A12
2
1
√
2 ∗ 0.106
t= q
2
(21)
2∗g∗A1
A22 −A21
met A1 :
0.25 2
) ∗ π m2
100
A1 = 1.96 ∗ 10−5 m2
(22)
V
h
1.3 ∗ 10−3 2
A2 =
m
0.106
A2 = 0.012 m2
(23)
A1 = (
en A2 :
A2 =
11
De nodige tijd wordt dan:
√
2 ∗ 0.106
t= q
2
2∗g∗A1
A22 −A21
t= q
2∗
√
0.106
(24)
2∗10∗(1.96∗10−5 )2
0.0122 −(1.96∗10−5 )2
t = 91 s
Oefening 61
Vraag
Thrust of a rocket. (a) Use Bernouilli’s equation and the equation of continuity to show that
the emission speed of the propelling gases of a rocket is
s
2 ∗ (P − P0 )
(25)
v=
ρ
where ρ is de density of the gas, P is the pressure of the gas inside the rocket, and Po
is the atmospheric pressure just outside the exit orifice. Assume that the gas density stays
approximately constant, and that the area of the exit orifice, A0 , is much smaller than the
cross-sectional area, A, of the inside of the rocket (take it to be a large cylinder). Assume
also that the gas speed is not so high that significant turbulence or nonsteady flow sets in.
(b) Show that the thrust force on the rocket dus to the emitted gases is
F = 2 ∗ A0 ∗ (P − P0 )
(26)
Oplossing
(a) uitstroomsnelheid
Volgens de wet van Bernouilli geldt:
P1 + 0.5 ∗ ρ ∗ v12 = P0 ∗ 0.5 ∗ ρ ∗ v02
(27)
Als A0 A1 geldt volgens de continuı̈teitsvergelijking dat v1 verwaarloosbaar klein is ten
opzicht van v0 . Dit invullen in de wet van Bernouilli geeft:
P1 = P0 ∗ 0.5 ∗ ρ ∗ v02
2 ∗ (P1 − P0 )
v02 =
ρ
s
2 ∗ (P1 − P0 )
v0 =
ρ
(28)
12
(b) stuwkracht
De stuwkracht van uitstromende gasses wordt gegeven door:
F =ρ∗Q∗v
(29)
met Q het volumedebiet van de gassen. Dit wordt dus:
F =ρ∗Q∗v
F = ρ ∗ A0 ∗ v ∗ v
2 ∗ (P1 − P0 )
F = ρ ∗ A0 ∗
ρ
F = A0 ∗ 2 ∗ (P1 − P0 )
(30)
13
Hoofdstuk 14 - trillingen
Oefening 25
Vraag
A mass m is connected in two springs, with spring constants k1 and k2 in two different ways
as shown in the figure. Show that the period for the configuration shwon in part (a) is given
by
r
1
1
(31)
T = 2π ∗ m ∗ ( + )
k1 k2
and for that in part (b) is given by
r
T = 2π ∗
m
k1 + k2
(32)
Ignore friction.
Oplossing
De resulterende veerconstante bij het in serie schakelen van twee veren is gelijk aan:
k=
k1 ∗ k2
k1 + k2
(33)
14
De formule voor de periode is gelijk aan:
r
T = 2π ∗
m
k
(34)
De formule voor k invullen geeft:
r
T = 2π ∗
T = 2π ∗
m
k
s
m
k1 ∗k2
k1 +k2
(35)
r
k1 + k2
T = 2π ∗ m ∗
k1 ∗ k2
r
1
1
T = 2π ∗ m ∗ ( + )
k1 k2
Stel voor deel (b) de uitweiking van het blok gelijk aan |x1 | = |x2 | = x. De resulterende
kracht die op het blok werkt is dan gelijk aan:
F = k1 ∗ x1 − k2 ∗ (−x2 )
F = x ∗ (k1 + k2 )
(36)
De totale veerconstante is dan gelijk aan:
k = k1 + k2
Dit invullen in de formule voor de periode geeft:
r
m
T = 2π ∗
k
r
m
T = 2π ∗
k1 + k2
(37)
(38)
Oefening 39
Vraag
At t = 0, a 785-g mass at rest on the end of a horizontal spring (k − 184 N/m) is struck
by a hammer which gives it an initial speed of 2.26 m/s Determine the period and frequency
of the motion, the amplitude, the maximum acceleration, the positions as a function of time,
the total energy, and the kinetic energy when x = 0.40A where A is the amplitude.
Oplossing
De cirkelfrequentie van de massa is gegeven door:
r
k
ω=
m
ω = 15.3 Hz
(39)
15
De frequentie is dan gelijk aan:
ω
2∗π
f = 2.44 Hz
(40)
1
f
T = 0.41 s
(41)
vmax = ω ∗ A
A = 0.148 m
(42)
f=
De periode is dan gelijk aan:
T =
De amplitude is gegeven door:
De maximale versnelling is gegeven door:
amax = ω 2 ∗ A
amax = 34.7 m/s2
(43)
De positie van de massa als functie van de tijd is gegeven door:
x(t) = A ∗ cos(ω ∗ t + φ)
(44)
met φ de faseverschuiving. Deze is gelijk aan:
x0 = 0 = A ∗ cos(φ)
π
φ=
2
(45)
x(t) = A ∗ cos(ω ∗ t + φ)
x(t) = 0.148 ∗ sin(15.3 ∗ t)
(46)
(44) wordt dan:
De totale energie in de veer is (volgens de wet van behoud van energie) gelijk aan de initiële
kinetische energie. Dit is dus gelijk aan:
1
E = ∗ m ∗ v02
2
(47)
E=2J
Het tijdstip wanneer de massa zich op 0.40A bevindt, is gelijk aan:
x(t) = 0.148 ∗ sin(15.3 ∗ t)
0.4 = sin(15.3 ∗ t)
t = 0.027 s
(48)
De snelheid op dat ogenblik is gelijk aan:
v(t) = 2.26 ∗ cos(15.3 ∗ t)
v(0.027) = 2.07 m/s
De kinetische energie van de massa is dan gelijk aan:
1
Ek = ∗ m ∗ v 2
2
Ek = 1.69 J
(49)
(50)
16
Oefening 81
Vraag
A rectangular block of wood floats in a calm lake. Show that, if friction is ignored, when the
block is pushed gentrly down into the water and then released, it will then oscillate with SHM.
Also, determine an equation for the force constant.
Oplossing
In evenwicht is de opwaartse stuwkracht gelijk aan het gewicht. De resulterende kracht is dus
gelijk aan nul:
F = Ablok ∗ ρwater ∗ g ∗ h − m ∗ g = 0
(51)
Bij het onderdompelen en terug loslaten wordt de resulterende kracht gelijk aan:
F = −Ablok ∗ ρwater ∗ g ∗ ∆h
(52)
Dit is negatief omdat de zin van de kracht tegengesteld is aan de hoogteverandering.
Deze kracht is van de vorm F = −k ∗ x dus dit is een SHM. De constante hiervan is gelijk
aan:
k = Ablok ∗ ρwater ∗ g
(53)
Oefening 86
Vraag
Carbon dioxide is a linear molecule. The carbon-oxygen bonds in this molecule act very much
like springs. The figure shows one possible way the oxygen atoms in this molecule can oscillate:
the oxygen atoms oscillate symmetrically in and out, while the central carbon atom remains
at rest. Hence each oxygen atom acts like a simple harmonic oscillator with a mass equal to
the mass of an oygen atom. It is observed that this oscillation occurs with a frequency of
f = 2.83 ∗ 1013 Hz. What is the spring constant of the C − O bond?
17
Oplossing
Aangezien het koolstofatoom blijft staan, kunnen we gewoon de formule voor de frequentie
van een eenvoudige harmonische trilling gebruiken. Dit geeft:
r
k
1
∗
(54)
f = 2.83 ∗ 1013 Hz =
2π
m
met m de massa van een zuurstofatoom. Deze is gelijk aan 2.66 ∗ 10−26 kg. Dit invullen
geeft:
k = 4 ∗ π2 ∗ f 2 ∗ m
k = 4 ∗ π 2 ∗ (2.83 ∗ 1013 )2 ∗ 2.66 ∗ 10−26 N m
k = 841/N m
(55)
18
Hoofdstuk 15 - golven
Oefening 21
Vraag
Show that the average rate with which energy is transported along a cord by a mechanical
wave of frequency f and amplitude A is
P̄ = 2π 2 µvf 2 A2
(56)
where v is the speed of the wave an µ is the mass per unit lengt of the cord. If the cord is
under a tension FT = 135 N and has mass per unit lengt 0.10 kg/m, what power is required
to transmit 120 − Hz transverse waves of amplitude 2.0 cm?
Oplossing
Het gemiddelde vermogen P̄ is gelijk aan de energie per tijdseenheid. Dit wordt dus:
E
t
0.5 ∗ k ∗ A2
=
t
0.5 ∗ A2 ∗ 4 ∗ π 2 ∗ m ∗ f 2
=
t
2
2
2 ∗ π ∗ f ∗ A2 ρ ∗ S ∗ l
=
t
2 ∗ π 2 ∗ f 2 ∗ A2 ∗ ρ ∗ S ∗ v ∗ t
=
t
2
2
2
=2∗π ∗f ∗A ∗v∗µ
= 2π 2 µvf 2 A2
P̄ =
P̄
P̄
P̄
P̄
P̄
P̄
(57)
Als we de gegeven waarden invullen, geeft dat:
P̄ = 2π 2 µvf 2 A2
P̄ = 2 ∗ π 2 ∗ 0.1 ∗ 1202 ∗ 0.022 ∗ v
(58)
19
met v gelijk aan:
s
v=
FT
µ
r
135
m/s
0.1
v = 36.7 m/s
(59)
v=
Het nodige vermogen is dan gelijk aan:
P̄ = 2 ∗ π 2 ∗ 0.1 ∗ 1202 ∗ 0.022 ∗ v
P̄ = 2 ∗ π 2 ∗ 0.1 ∗ 1202 ∗ 0.022 ∗ 36.7 W
P̄ = 417 W
(60)
Oefening 35
Vraag
2
Does the function D(x, t) = e−(kx−ωt) satisfy the wave equation? Why or why not?
Oplossing
Om een golfvergelijking te zijn, moet D(x, t) voldoen aan:
∂ 2D
1 ∂ 2D
=
∂x2
v 2 ∂t2
(61)
De tweede afgeleide naar x van D(x, t) is gelijk aan:
∂ 2D
∂ −(kx−ωt)2
=
e
∗ (−2k ∗ (kx − ωt))
2
∂x
∂x
∂ 2D
2
2
= e−(kx−ωt) ∗ (−2k ∗ (kx − ωt))2 + e−(kx−ωt) ∗ (−2k 2 )
2
∂x
∂ 2D
2
= e−(kx−ωt) ∗ 2k 2 ∗ (2 ∗ (kx − ωt)2 − 1)
2
∂x
(62)
De tweede afgeleide naar t van D(x, t) is gelijk aan:
∂
∂ 2D
2
= e−(kx−ωt) ∗ 2ω ∗ (kx − ωt)
2
∂t
∂t
∂ 2D
2
2
= e−(kx−ωt) ∗ (2ω ∗ (kx − ωt))2 + e−(kx−ωt) ∗ (−2ω 2 )
2
∂t
∂ 2D
2
= e−(kx−ωt) ∗ 2ω 2 ∗ (2 ∗ (kx − ωt)2 − 1)
2
∂t
(63)
20
Dit invullen in de golfvergelijking geeft:
∂ 2D
1 ∂ 2D
=
∂x2
v 2 ∂t2
2
e−(kx−ωt) ∗ 2ω 2 ∗ (2 ∗ (kx − ωt)2 − 1)
2
v = −(kx−ωt)2
e
∗ 2k 2 ∗ (2 ∗ (kx − ωt)2 − 1)
ω2
v2 = 2
k
ω
v=
k
(64)
Dit is een geldige uitdrukking voor de snelheid van een golf, dus voldoet D(x, t) aan de
golfvergelijking.
Oefening 39
Vraag
Seismic reflection prospecting is commonly used to map deeply buried formations containing
oil. In this technique, a seismic wave generated on the Earth’s surface (for example, by an
explosion or falling weight) reflects from the subsurface formation and is detected upon its
return to ground level. By placing ground-level detectors at a variety of locations ralative tot
the source, and observing the variation in the source-to-detector travel times, the depth of the
subsurface formation can be determined.
1. Assume a ground-level detector is placed a distance x away from a seismic-wave source
and that a horizontal boundary between overlying rock and a subsurface formation exists
at depth D. Determine an expression for the time t taken by the reflected wave to travel
from source to detector, assuming the seismic wave propagates at constant speed v.
2. Suppose several detectors are placed along aline at different distances x from the source.
Then, when a seismic wave is generated, the different travel times t for each detector
are measured. Starting with your result from part (1), explain how a graph of t2 vs. x2
can be used to determine D.
Oplossing - 1
De afstand van de bron tot de olie is gelijk aan de afstand van de olie tot de detector. In deze
gelijkbenige driehoek kunnen we dan de stelling van Pythagoras gebruiken om de afgelegde
weg d te berekenen:
r
x
(65)
d = 2 ∗ D2 + ( )2
2
De tijd is gelijk aan de afgelegde weg over de snelheid. Dit is dus gelijk aan:
d
v r
2
x
t = ∗ D 2 + ( )2
v
2
t=
(66)
21
Oplossing - 2
Aangezien er verschillende detectors zijn, is x variabel. De grafiek heeft dan als functievoorschrift:
x2
4
(67)
t2 = 2 ∗ (D2 + )
v
4
2
Deze heeft als helling v12 en als intercept met de y-as 4∗D
. De helling, en dus de snelheid
v2
van de golf, kan rechtstreeks uit de meetgegevens (ten minste twee) gehaald worden. Met dit
gegeven kan dan de waarde van D, en dus de diepte van de olie, bepaald worden.
Oefening 87
Vraag
The figure shows the wave shape at two instants of time for a sinusoidal wave traveling to the
right. What is the mathematical representation of this wave?
22
Oplossing
De algemene golfvergelijking is gegeven door:
D(x, t) = A ∗ sin(k ∗ x − ω ∗ t)
(68)
met A = 0.035 de amplitude. k is gelijk aan 2π/λ. Dit is gelijk aan:
2∗π
λ
2∗π
k=
0.20
k = 10 ∗ π
k=
(69)
ω is gelijk aan 2π/T met T de periode. Aangezien de golf na 0.80 s 12 cm is opgeschoven,
is de periode gelijk aan:
12
∗T
20
4
T = s
3
0.80 =
(70)
De cirkelfrequentie is dan gelijk aan:
2∗π
T
ω = 1.5 ∗ π
(71)
D(x, t) = A ∗ sin(k ∗ x − ω ∗ t)
D(x, t) = 0.035 ∗ sin(10 ∗ π ∗ x − 1.5 ∗ t)
(72)
ω=
De golfvergelijking wordt dan:
Oefening 89
Vraag
A tsunami of wavelength 215 km and velocity 550 km/h travels across the Pacific Ocean.
As it approaches Hawaii, people observe an unusual decrease of sea level in the herbors.
Approximately how much time do they have to run to safety?
Oplossing
De daling in zeeniveau komt overeen met een dal in de golf. De afstand tussen een dal en
een top is gelijk aan de helft van de golflengte. De afstand die de tsunami nog van de kust
23
verwijderd is, is gelijk aan een halve golflengte. Dit geeft dus:
t=
d
v
215 ∗ 103
2
t=
550
3.6
t = 704 s
t = 12 min
s
(73)
Oefening 91
Vraag
For a spherical wave traveling uniformly away from a point source, show thtat the displacement
can be represented by
A
(74)
D = ∗ sin(kr − ωt)
r
where r is the radial distance from the source and A is a constant.
Oplossing
De intensiteit van een golf is omgekeerd evenredig met de oppervlakte, en aangezien de oppervlakte van een bol met de straal in het kwadraat verandert, is de intensiteit omgekeerd
evenredig met r2 . De intensiteit is ook recht evenredig met de amplitude in het kwadraat.
Dit samenvoegen geeft dat de amplitude omgekeerd evenredig is met de straal. De amplitude
is dus gelijk aan een constante gedeeld door de straal, zoals gegeven in de formule.
Dit kan ook bewezen worden aan de hand van de golfvergelijking voor driedimensionale golven:
1 ∂ 2D
∂ 2 D 2 ∂D
+
= 2 2
∂r2
r ∂r
v ∂t
(75)
24
Hoofdstuk 16 - geluid
Oefening 4
Vraag
On a warm summer day (27◦ C), it takes 4.70 s for an echo to return from a cliff across a
lake. On a winter day, it takes 5.20 s. What is the temperature on the winter day?
Oplossing
De snelheid van geluid in lucht varieert met 0.60 m/s voor elke graden Celcius. Stel v1 de
snelheid op de warme zomerdag. Deze is gelijk aan:
v1 = (331 + 0.6 ∗ 27) m/s
v1 = 347.2 m/s
In de winter gaat de geluidsgolf
4.7
5.2
(76)
keer zo snel als in de zomer. Dit is dus gelijk aan:
v2 = 347.2 ∗
4.7
5.2
(77)
v2 = 313.8
De temperatuur die hiermee overeenkomt, is gelijk aan:
v − 331
0.6
313.8 − 331 ◦
T =
C
0.6
T = −28.6◦ C
T =
(78)
Oefening 28
Vraag
If the amplitude of a sound wave is made 2.5 times greater, by what factor will the intenisity
increase? By how many dB will the sound level increase?
25
Oplossing
De intensiteit is recht evenredig met de amplitude in het kwadraat, dus als de amplitude
meteen factor 2.5 verhoogt, verhoogt de intensiteit I met een factor 2.52 = 6.25.
De luidleid β is recht evenredig met 10 ∗ log(I). De logaritme van een product is gelijk aan
de som van de logaritmes, dus de luidheid verhoogt met een waarde:
∆β = 10 ∗ log(6.25) dB
∆β = 8 dB
(79)
Oefening 104
Vraag
A Doppler flow meter is used to measure the speed of blood flow. Transmitting and receiving
elements are placed on the skin. Typical sound-wave frequencies of about 5.0 M Hz are used,
which have a reasonable chance of being reflected from red blood cells. By measuring the
frequency of the reflected waves, which are Doppler-shifted because the red blood cells are
moving, the speed of the blood flow can be deduced. Normal blood flow speed is about
0.1 m/s. Suppose that an artery is partly constricted, so that the speed of the blood flow in
increased, and the flow meter measures a Doppler shift of 780 Hz. What is the speed of blood
flow in the constricted region? The effective angle between the sound waves (both transmitted
and reflected) and the direction of blood flow is 45◦ . Assume the velocity of sound in tissue
is 1540 m/s.
Oplossing
De Dopplerverschuiving is een combinatie van twee Doppler effecten: één waarbij de zender
stilstaat en de ontvanger beweegt (het uitgezonden signaal), en één waarbij de ontvanger
stilstaat en de zender beweegt (de echo). De waargenomen frequentie moet dan gelijk zijn
aan:
vsnd − vobs
(80)
f0 = f ∗
vsnd + vsource
Deze waarde is gelijk aan 5 ∗ 106 + 780 Hz. Uit deze formule kunnen we dan de snelheid van
de bloedcel halen. Deze waarde is gelijk aan de snelheid in de richting van de uitgezonden golf
(aangezien de component loodrecht daarop geen Dopplerverschuiving waarneemt). Dit geeft
dus:
1540 − vcel
5 ∗ 106 + 780 = 5 ∗ 106 ∗
1540 + vcel
(81)
vcel = 0.12 m/s
Dit is de grote van de component evenwijdig aan de uitgezonden golf. De grootte van de
snelheid van de bloedcel is dan gelijk aan:
0.12
v=
m/s
cos(45◦ )
(82)
v = 0.17 m/s
26
Hoofdstuk 21 - elektrische lading en
elektrisch veld
Oefening 1
Vraag
What is the magnitude of the electric force of atrraction between an iron nucleus (q = +26e)
and its innermost electron if the distance between them is 1.5 ∗ 10−12 m.
Oplossing
De grote van de kracht tussen twee puntladingen is gelijk aan:
F =k∗
Q ∗ Q0
r2
(83)
De gegeven waarden invullen geeft:
F =k∗
Q ∗ Q0
r2
F = 9.0 ∗ 109 ∗
F = 2.7 ∗ 10−3
26 ∗ 1.6 ∗ 10−19 ∗ 1.6 ∗ 10−19
N
(1.5 ∗ 10−12 )2
N
(84)
Oefening 7
Vraag
Two charged spheres are 8.45 cm apart. They are moved, and the force on each of them is
found to have been tripled. How far apart are they now?
Oplossing
De initiële kracht is gelijk aan:
Fi = k ∗
Q ∗ Q0
r12
(85)
27
met r1 = 0.0845 m.
De finale kracht is gelijk aan:
Ff = k ∗
Q ∗ Q0
r22
(86)
met Ff = 3 ∗ Fi .
Deze vergelijking uitwerken, geeft:
Ff = 3 ∗ Fi
Q ∗ Q0
Q ∗ Q0
=
3
∗
k
∗
k∗
r22
r12
r2
r22 = 1 m
3
r2 = 0.0488 m
r2 = 4.88 cm
(87)
Oefening 11
Vraag
Two positive point charges are a fixed distance apart. The sum of their charges is QT . What
charge must each have in order to maximize teh electric force between them, and minimize it?
Oplossing
Q1 + Q2 is gelijk aan QT . De grootte van de kracht tussen beide puntladingen is dan gelijk
aan:
Q1 ∗ Q2
r2
Q1 ∗ (QT − Q1 )
F =k∗
r2
F =k∗
(88)
Deze is maximaal als de eerste afgeleide naar Q1 gelijk is aan nul:
dF
k
k
= 0 = 2 ∗ (QT − Q1 ) + 2 ∗ Q1
dQ1
r
r
QT − Q1 = Q1
1
Q1 = ∗ QT
2
(89)
De kracht is dus maximaal als de puntladingen beide evengroot zijn.
De kracht is minimaal als een van beide ladingen gelijk is aan nul. De kracht is dan ook gelijk
aan nul.
28
Oefening 19
Vraag
Two positive charges +Q are affixed rigidly to the x-axis, one at x = +d and the other at
x = −d. A third charge +q of mass m, which is constrained to move only along the x axis,
is displaced from the origin by a small distance x << d and then released from rest. Show
that (to a good approximation) +q will execute simple harmonic motion and determine an
expression for its oscillation period T .
Oplossing
De kracht die de puntlading in het midden ondervindt is de som van twee krachten: één naar
rechts en één naar links:
F~ = F~1 + F~2
Q∗q
Q∗q
~x
∗ e~x + k ∗
∗ −e
F~ = k ∗
2
(d + x)
(d − x)2
1
1
−
F =k∗Q∗q∗
(d + x)2 (d − x)2
(d − x)2 − (d + x)2
F =k∗Q∗q∗
(d + x)2 ∗ (d − x)2
−4 ∗ d ∗ x
F =k∗Q∗q∗ 2
(d − x2 )2
−4 ∗ d ∗ x
F 'k∗Q∗q∗
d4
x
F ' −4 ∗ k ∗ Q ∗ q ∗ 3
d
Dit is de vergelijking voor een eenvoudige harmonische beweging met constante cte =
(90)
4∗k∗Q∗q
.
d3
De periode van deze beweging is gelijk aan:
r
m
cte
s
m ∗ d3
4∗k∗Q∗q
T =2∗π∗
T =2∗π∗
s
T =π∗
(91)
m ∗ d3
k∗Q∗q
Oefening 41
Vraag
You are given two unknown point charges Q1 and Q2 . At a point on the line joining them,
one-third of the way from Q1 to Q2 , the electric field is zero. What is the ratio Q1 /Q2 ?
29
Oplossing
Het elektrisch veld is nul als de som van de elektrische velden veroorzaakt door Q1 en Q2
gelijk zijn aan nul. Dit geeft:
E = 0 ⇐⇒
k ∗ Q1 k ∗ Q2
− 2∗l 2 = 0
( 3l )2
(3)
Q2
Q1 = 2
2
Q1
1
=
Q2
4
(92)
Oefening 49
Vraag
A thin rod bent into the shape of an arc of a circle of radius R carries a uniform charge per
unit length λ. The arc subtends a total angle 2θ0 , symmetric about the x axis. Determine the
~ at the origin O.
electric field E
Oplossing
Aangezien de lading symmetrisch verdeeld is rond de x-as, is het elektrisch veld in de y-richting
gelijk aan nul.
Het infinitesimaal elektrisch veld dEx in de x-richting is gelijk aan:
dEx = dE ∗ cos(θ)
1
dQ
dEx =
∗ 2 ∗ cos(θ)
4 ∗ π ∗ 0 r
(93)
30
Dit integreren over θ van −θ0 tot θ0 geeft:
Z θ0
dEx
Ex =
−θ0
θ0
Z
1
dQ
∗ 2 ∗ cos(θ)
r
−θ0 4 ∗ π ∗ 0
Z θ0
λ ∗ R ∗ dθ
1
∗
Ex =
∗ cos(θ)
4 ∗ π ∗ 0
R2
−θ0
λ
1
0
∗ ∗ [sin(θ)]θ−θ
Ex =
0
4 ∗ π ∗ 0 R
λ ∗ sin(θ0 )
Ex =
2 ∗ π ∗ 0
Ex =
(94)
Oefening 50
Vraag
A thin glass rod is a semicircle of radius R. A charge is nonuniformly distributed along the
rod with a linear charge ensity given by λ0 ∗ sin(θ), where λ0 is a positive constant. Point P
~ (magnitude and direction) at point
is at the center of the semicircle. Find the electric field E
P . Determine the acceleration (magnitude and direction) of an electron placed at point P ,
assuming R = 1.0 cm and λ0 = 1.0 µC/m.
Oplossing
Aangezien de bovenste en onderste helft een even grote en tegengestelde totale lading hebben,
is het elektrisch veld in de x-richting gelijk aan nul. Een infinitesimaal elektrisch veld dEy = dE
31
ten gevolge van een infinitesimaal deeltje van de halve cirkel wordt gegeven door:
dE = dEy =
dE =
dE =
dE =
dE =
k ∗ dQ
∗ sin(θ)
R2
k ∗ λ ∗ dl ∗ sin(θ)
R2
k ∗ λ0 ∗ dl ∗ sin(θ)2
R2
k ∗ λ0 ∗ R ∗ dθ ∗ sin(θ)2
R2
k ∗ λ0 ∗ sin(θ)2
dθ
R
(95)
Om het totale elektrische veld in punt P te weten moeten we dit integreren voor θ gaande
van π/2 tot −π/2. Dit wordt:
Z
−π/2
dE
E=
π/2
−π/2
k ∗ λ0 ∗ sin(θ)2
dθ
R
π/2
−π/2
k ∗ λ0
θ 1
E=
∗
− ∗ sin(2θ)
R
2 4
π/2
Z
E=
E=−
(96)
k ∗ λ0 π
∗
R
2
Dit is dus naar onder gericht.
De versnelling van een elektron in P kunnen we uit het tweede postulaat van Newton halen:
F =m∗a
E∗q
a=
m
k ∗ λ0 π −1.6 ∗ 10−19
∗ ∗
a=−
R
2
9.1 ∗ 10−31
17
2
a = 2.4 ∗ 10 m/s
(97)
Aangezien een elektron negatief geladen is, is dit naar boven gericht, naar het positieve deel.
Oefening 51
Vraag
Suppose a uniformly charged wire starts at point 0 and rises vertically along the posirive y
axis to a length l. Determine the components of the electric field Ex and Ey at point (x, 0).
~ near one end of a long wire, in the plane perpendicular to the wire. If the
That is, calculate E
~ makes a 45◦ angle to the
wire extends form y = 0 to y = ∞, so that l = ∞, show that E
horizontal for any x.
32
Oplossing
Het elektrisch veld staat naar rechtsonder gericht. Het effect van een infinitesimaal deeltje dy
van de draad geeft dus als elektrisch veld in de x-richting:
dEx = dE ∗ cos(θ)
(98)
met θ hoek met de horizontale.
Dit integreren over de hele draad geeft:
Z l
dE ∗ cos(θ)
Ex =
0
Z l
1
dQ
Ex =
∗
∗ cos(θ)
2
4 ∗ π ∗ 0
0 R
Z l
λ ∗ dy
1
∗
Ex =
∗ cos(θ)
4 ∗ π ∗ 0
R2
0
(99)
dy kunnen we op de volgende wijze berekenen:
y
= tan(θ)
x
y = tan(θ) ∗ x
x
dy =
∗ dθ
cos2 (θ)
(100)
x
= cos(θ)
R
x2
R2 =
cos2 (θ)
(101)
Z l
1
λ ∗ dy
∗ cos(θ)
Ex =
∗
4 ∗ π ∗ 0
R2
0
Z y=l
x
1
cos2 (θ)
Ex =
∗λ∗
cos(θ) ∗
∗
dθ
4 ∗ π ∗ 0
cos2 (θ)
x2
y=0
Z θ0
1
λ
Ex =
∗ ∗
cos(θ)dθ
4 ∗ π ∗ 0 x
0
1
λ
Ex =
∗ ∗ [sin(θ)]θ00
4 ∗ π ∗ 0 x
1
λ
l
Ex =
∗ ∗√
4 ∗ π ∗ 0 x
l 2 + x2
(102)
R2 is gelijk aan:
Dit invullen geeft:
Het infinitesimaal elektrisch veld in de y-richting is gelijk aan:
dEy = −dE ∗ sin(θ)
(103)
Dit is negatief aangezien het elektrisch veld naar rechtsonder staat.
33
Dit integreren over de hele draad geeft:
Z l
Ey = −
dE ∗ sin(θ)
0
Z l
dQ
1
Ey = −
∗
∗ sin(θ)
2
4 ∗ π ∗ 0
0 R
Z l
λ ∗ dy
1
∗
Ey = −
∗ sin(θ)
4 ∗ π ∗ 0
R2
0
Z y=l
x
1
λ
cos2 (θ)
sin(θ) ∗
Ey = −
∗ ∗
∗
dθ
4 ∗ π ∗ 0 x
cos2 (θ)
x2
y=0
Z θ0
λ
1
sin(θ)dθ
∗ ∗
Ey = −
4 ∗ π ∗ 0 x
0
λ
1
∗ ∗ [cos(θ)]θ00
Ey =
4 ∗ π ∗ 0 x
1
λ
x
Ey =
∗ ∗ (√
− 1)
2
4 ∗ π ∗ 0 x
l + x2
(104)
Het elektrisch veld is dus gelijk aan:
~ =
E
1
l
x
λ
1
λ
∗ ∗√
∗ ~i +
∗ ∗ (√
− 1) ∗ ~j
2
2
2
4 ∗ π ∗ 0 x
4 ∗ π ∗ 0 x
l +x
l + x2
(105)
In de limiet voor l gaande naar oneindig (en dus voor θ gaande naar π2 ) wordt dat:
~ =
E
1
1
λ
λ
∗ ∗ ~i −
∗ ∗ ~j
4 ∗ π ∗ 0 x
4 ∗ π ∗ 0 x
(106)
Aangezien de grootte van de x-component gelijk is aan die van de y-component, maakt deze
vector een hoek van 45◦ met de horizontale.
Oefening 53
Vraag
A thin rod of length l carries a total charge Q distributed uniformly along its length. Determine
the electric field along the axis of the rod starting at one end.
34
Oplossing
Aangezien we het elektrisch veld op een punt langs de as van de staaf moeten bepalen, is dit
gelijk aan nul in de y-richting. Een infinitesimaal deel van het elektrsich veld dEx is gelijk aan:
dQ
r2
λ ∗ dx
dE = k ∗
r2
dEx = dE = k ∗
(107)
Dit moeten we integreren over x van x gaande van −l tot 0. Als we het elektrisch veld
berekenen in het punt P = (x0 , 0) wordt dit:
Z 0
dE
E=
−l
Z 0
λ ∗ dx
k∗
E=
r2
−l
Z 0
dx
E =k∗λ∗
2
−l r
Z 0
dx
E =k∗λ∗
2
−l (x0 − x)
(108)
0
1
E =k∗λ∗
x0 − x −l
1
1
E =k∗λ∗
−
x 0 x0 + l
l
E =k∗λ∗
x0 ∗ (x0 + l)
k∗Q
E=
x0 ∗ (x0 + l)
Oefening 54
Vraag
Uniform plate of charge. Charge is distributed uniformly over a large square plane of side l,
as shown. The charge per unit area (C/m2 ) is σ. Determine the electric field at a point P a
distance z above the center of the plane, in the limit l → ∞.
Oplossing
Het elektrisch veld door een lijnvormige ladingsverdeling is gegeven door:
E=
λ
1
∗
2 ∗ π ∗ 0 R
(109)
35
met R de loodrechte afstand tot de lijn en λ de lading per eeheidslengte. Deze uitdrukken in
functie van de lading per oppervlakteeenheid geeft:
λ = σ ∗ dy
(110)
Het elektrisch veld door de hele plaat is dan de som van een oneindig aantal zulke lijnvormige
ladingsverdelingen. Het elektrisch veld in de x- en y-richting is door de symmetrie gelijk aan
nul. Om het elektrisch veld in de z-richting te bepalen kunnen we (109) integreren voor y
gaande van −∞ tot ∞. Dit wordt dan:
λ
1
∗ ∗ cos(θ)
2 ∗ π ∗ 0 R
Z ∞
1
σ ∗ dy
∗ cos(θ)
=
∗
R
−∞ 2 ∗ π ∗ 0
Z ∞
σ
1 z
=
∗ dy
∗
2 ∗ π ∗ 0
R
−∞ R
Z ∞
z∗σ
1
=
dy
∗
2
2
2 ∗ π ∗ 0
−∞ z + y
y ∞
z∗σ
1 =
∗ ∗ tan−1
2 ∗ π ∗ 0 z
z −∞
σ
=
2 ∗ 0
dEz =
E = Ez
E
E
E
E
(111)
Oefening 61
Vraag
A positive charge q is placed at the center of a circular ring of radius R. The ring carries
a uniformly distributed negative charge of total magnitude −Q. If the charge q is displaced
from the center a small distance x, show that it will undergo simple harmonic motion when
released. If its mass is m, what is it period?
Oplossing
Eerst moeten we het elektrisch veld veroorzaakt door een ringvormige ladiingsverdeling berekenen. Inde y- en z-richting is dit gelijk aan nul door de symmetrie. In de x-richting is het
36
∗ cos(θ). Dit integreren over
infinitesimaal elektrisch veld dEx gelijk aan dE ∗ cos(θ) = k∗dQ
r2
de hele ring geeft:
Z l=2πR
dE ∗ cos(θ)
Ex = E =
l=0
Z l=2πR
k ∗ cos(θ)
E=
∗
dQ
r2
l=0
Z 2πR
k∗x
dl
E = 3 ∗λ∗
r
0
k∗x∗λ∗2∗π∗R
(112)
E=
3
r
−k ∗ x ∗ Q
E=
r3
k∗x∗Q
E=− 2
(x + R2 )3/2
x∗Q
1
E=−
2
4 ∗ π ∗ 0 (x + R2 )3/2
De kracht op een puntlading q op positie x is dan gelijk aan:
F =E∗q
1
x∗Q∗q
4 ∗ π ∗ 0 (x2 + R2 )3/2
1
x∗Q∗q
F '−
4 ∗ π ∗ 0
R3
1
Q∗q
F '−
∗x
4 ∗ π ∗ 0 R3
F =−
Dit is de vergelijking van een eenvoudige harmonische beweging met constante cte =
De periode van deze beweging is gelijk aan:
r
m
T =2∗π∗
cte
s
m ∗ 4 ∗ π ∗ 0 ∗ R3
T = 2 ∗ pi ∗
Q∗q
(113)
Q∗q
1
.
4∗π∗0 R3
(114)
37
Oefening 67
Vraag
Show that at points along the axis of a dipole (along the same line that contains +Q and
−Q), the electric field has magnitude
E=
1 2p
4π0 r3
(115)
for r l, where r is the distance from a point to the center of the dipole. In what direction
~ point?
does E
Oplossing
Het elektrisch veld is gegeven door de som van de elektrische velden veroorzaakt door twee
gelijke en tegengestelde puntladingen op een afstand l/2 van de oorsprong. Stel een positieve
lading rechts van de oorsprong en een negatieve lading links. Het elektrisch veld langs de x-as
is dan gelijk aan:
E = E+ + E−
k ∗ (−Q)
k∗Q
E=
2 + 2
l
l
r−
r+
2
2
k∗Q∗2∗r∗l
E= 2 2
l
r2 −
4
k∗2∗p
E=
r3
(116)
voor r l.
De richting hiervan is langs de as van de dipool.
Oefening 81
Vraag
Dry air will break down and generate a spark if the electric field exceeds about 3 ∗ 106 N/C.
How much charge could be packed onto a green pea (diameter 0.75 cm) before the pea
spontaneously discharges?
Oplossing
Het elektrisch veld rond de erwt is gelijk aan:
E=
k∗Q
r2
(117)
38
Aangezien E en r gegeven zijn, kunnen we hieruit de grootte van de lading Q halen:
k∗Q
r2
∗ 10−2 )2
3 ∗ 103 ∗ ( 0.75
2
Q=
C
9.0 ∗ 109
Q = 4.7 ∗ 10−9 C
E=
(118)
39
Hoofdstuk 22 - wet van Gauss
Question 1
Vraag
If the electric flux through a closed surface is zero, is the electric field necessarily zero at all
~ = 0 at all points on the
points on the surface? Explain. What about the converse: if E
surface is the flux through the surface zero?
Oplossing
Als de flux door een oppervlak gelijk is aan nul, wil dat zeggen dat alle veldlijnen die binnenkomen, ook weer buitengaan. Dit houdt dus in dat er wel een elektrisch veld op het
oppervlak kan bestaan, veroorzaakt door de binnenvallende veldlijnen.
Als het elektrisch veld over het hele oppervlak gelijk is aan nul, wil dat zeggen dat er noch
veldlijnen toekomen, noch veldlijnen vertrekken aan dit oppervlak. De flux is dus gelijk aan
nul.
Question 4
Vraag
What can you say about the flux through a closed surface that encloses an electric dipole?
Oplossing
Aangezien bij een elektrische dipool beide ladingen even groot en tegengesteld zijn, is de totale
omsloten lading gelijk aan nul. Wegens de wet van Gauss is de flux door het oppervlak ook
gelijk aan nul.
40
Question 7
Vraag
Would Gauss’s law be helpful in determining the electric field due to an electric dipole?
Oplossing
Aangezien de netto omsloten lading vanwege een elektrische dipool gelijk is aan nul, is de wet
van Gauss nutteloos om het elektrisch veld te bepalen (zie Question 4).
Question 11
Vraag
A point charge Q is surrounded by a spherical surfave of radius r0 , whose center is at C.
Later, the charge is moved to the right a distance 21 r0 , but the sphere remains where it was.
How is the electric flux φE through the sphere changed? Is the electric field at the surface of
the sphere changed?
Oplossing
Aangezien de totale flux onafhankelijk is van het omsluitende oppervlak, verandert de totale
flux niet bij het verschuiven van de lading.
Het elektrisch veld verandert wel. Aangezien de lading dichter naar de rechterkant van het
oppervlak wordt verschoven, wordt het elektrsich veld daar sterker. Aan de linkerkant gebeurt
het omgekeerde. Deze verandering is evenredig met de verschoven afstand in het kwadraat.
41
Question 14
Vraag
A small charged ball is inserted into a balloon. The balloon is then blown up slowly. Describe
how the flux through the balloon’s surface changes as the balloon is blown up. Consider both
the total flux and the flux per unit surface are of the balloon.
Oplossing
Aangezien de netto omsloten lading niet verandert, blijft de totale flux constant.
Aangezien het oppervlak van de ballon steeds groter wordt, moet de flux per oppervlakteeenheid van de ballon dalen. Als we de ballon als een bol voorstellen, dan vergroot het
oppervlak met de straal in het kwadraat. De flux per oppervlakte-eenheid is dus omgekeerd
evenredig met r2 .
Oefening 3
Vraag
A cube of side l is placed in a uniform field E0 , with edges parallel to the field lines. What is
the net flux through the cube? What is the flux through each of its six faces?
Oplossing
Aangezien er geen netto lading is binnen de kubus, is de netto-flux φE gelijk aan nul.
Door de zijden die parallel aan het elektrisch veld geöriënteerd zijn, lopen er geen veldlijnen.
De flux is daar dus nul. Door de andere twee zijden gaat een gelijke en tegengestelde flux. De
grootte hiervan is:
I
~ ∗ dA
~
φ=
E
IA
φ=
E0 dA
(119)
A
φ = E0 ∗ A
φ = E0 ∗ l2
Oefening 9
Vraag
In a certain region of space, the electric field is constant in direction (say horizontal, in the x
direction), but its magnitude decreases form E = 560 N/C at x = 0 to E = 410 N/C at
42
x = 25 m. Determine the charge within a cubical box of side l = 25 m, where the box is
oriented so that four of its sides are parallel to the field lines.
Oplossing
De totale flux door het oppervlak kunnen we bereken als het verschil tussen de flux door de
linkerzijde en de rechterzijde. Aangezien de andere vier zijden parallel zijn aan het elektrisch
veld, is de flux daardoor gelijk aan nul.
De flux door de linkerkant is gelijk aan:
~ ∗A
~
φE1 = E
φE1 = 560 ∗ 252 N m2 /C
φE1 = 350000 N m2 /C
(120)
De flux door de rechterkant is gelijk aan:
~ ∗A
~
φE2 = E
φE2 = 410 ∗ 252 N m2 /C
φE2 = 256250 N m2 /C
(121)
De totale flux door de kubus is dan gelijk aan:
φE = φE1 − φE2
φE = 350000 − 256250 N m2 /C
φE = 93750 N m2 /C
(122)
Aangezien de kubus een gesloten oppervlak is, is deze flux geiljk aan:
Qencl
O
= 93750 ∗ 8.85 ∗ 10−12 C
= 8.3 ∗ 10−7 C
φE =
Qencl
Qencl
(123)
Oefening 11
Vraag
A 15.0−cm-long uniformly charged plastic rod is sealed inside a plactic bag. The total electric
flux leaving the bag is 7.3 ∗ 105 N m2 /C. What is the linear charge density on the rod?
43
Oplossing
Als we een cilindrisch oppervlak nemen rond de staaf, dan is de flux door dit oppervlak gegevan
sls:
I
~ ∗ dA
~ =E∗A
E
I
~ ∗ dA
~ = Qencl
E
(124)
0
I
~ ∗ dA
~ = λ∗l
E
0
met λ de ladingsdichtheid van de staaf. Deze is dus gelijk aan:
λ = 7.3 ∗ 105 ∗
−5
λ = 4.3 ∗ 10
0
l
C/m
(125)
Oefening 27
Vraag
Two thin concentric spherical shells of radii r1 and r2 (r1 < r2 ) contain uniform surface
charge densities σ1 and σ2 , respectively. Determine the electric field for (a) 0 < r < r1 , (b)
r1 < r < r2 and (c) r > r2 . Under what conditions will E = 0 for r > r2 ? Under what
conditions will E = 0 for r1 < r < r2 ? Neglect the thickness of the shells.
Oplossing
Het elektrisch veld is de som van de elektrische velden veroorzaakt door de twee bollen.
(a) r < r1
Aangezien we binnen beide bollen zitten, is het elektrisch veld hier nul.
44
(b) r1 < r < r2
We zitten buiten de binnenste bol, maar binnen de buitenste. Het elektrisch veld is hier dus
gelijk aan het elektrisch veld veroorzaakt door de binnenste bol. Dit is gelijk aan:
1
Q
4 ∗ π ∗ 0 r2
A1 ∗ σ1
1
E=
4 ∗ π ∗ 0 r2
1
4 ∗ π ∗ r12 ∗ σ1
E=
4 ∗ π ∗ 0
r2
2
1 r1 ∗ σ 1
E=
0 r2
E=
(126)
Dit is gelijk aan nul als en slechts als de ladingsdichtheid σ1 gelijk is aan nul.
(c) r > r2
Het elektrisch veld buiten de buitenste bol is gelijk aan de som van de twee elektrische velden.
Dit is gelijk aan:
E = E1 + E2
1 r12 ∗ σ1
1 r22 ∗ σ2
E=
+
0 r2
0 r2
2
σ1 ∗ r1 + σ2 ∗ r22
E=
0 ∗ r2
(127)
Dit is gelijk aan nul als en slechts als:
E = 0 ⇐⇒
σ1 ∗ r12 + σ2 ∗ r22
=0
0 ∗ r2
σ1 ∗ r12 + σ2 ∗ r22 = 0
r2
σ1 = 22 ∗ σ2
r1
(128)
Oefening 29
Vraag
Suppose a nonconducting sphere of radius r0 has a uniformly distributed charge Q. Suppose
this sphere has a spherical cavity of radius r1 centered at the sphere’s center. Assuming the
charge Q is distributed uniformly in the shell (between r = r1 and r = r0 ) determine the
electric field as a function of r for 0 < r < r1 , r1 < r < r0 and r > r0 .
45
Oplossing
Aangezien de lading uniform verdeeld is over de schil, is er in de holte (0 < r < r1 ) geen
elektrisch veld.
In de schil zelf (r1 < r < r0 ) is het elektrisch veld gegeven door:
E=
Q0
1
∗ 2
4 ∗ π ∗ 0 r
(129)
met Q0 gelijk aan de lading omsloten door een concentrische bol met straal r.
De grootte van deze lading over de hele schil is gelijk aan:
4
4
∗ π ∗ r03 − σ ∗ ∗ π ∗ r13
3
3
4
Q = σ ∗ ∗ π ∗ (r03 − r13 )
3
Q=σ∗
(130)
De grootte van de lading omsloten door een concentrische bol met straal r is dan gelijk aan:
4
∗ π ∗ (r3 − r13 )
3
Q
Q0 = 3
∗ (r3 − r13 )
r0 − r13
Q0 = σ ∗
(131)
Het elektrisch veld wordt dan:
E=
Q0
1
∗ 2
4 ∗ π ∗ 0 r
Q
∗ (r3 − r13 )
1
r03 −r13
E=
∗
4 ∗ π ∗ 0
r2
Q
r3 − r13 1
E=
∗ 3
∗
4 ∗ π ∗ 0 r0 − r13 r2
(132)
Buiten de bol (r > r0 ) is het elektrisch veld (volgens de wet van Coulomb) gelijk aan:
E=
1
Q
∗ 2
4 ∗ π ∗ 0 r
(133)
46
Oefening 31
Vraag
Suppose the thick sperical shell of Problem 29 is a conductor. It carries a total net charge Q
and at its center there is a point charge q. What total charge is found on the inner surface
of the shell and the outer surface of the shell? Determine the electric field for O < r < r1 ,
r1 < r < r0 , and r > r0 .
Oplossing
Aangezien het elektrisch veld binnen de geleider gelijk moet zijn aan nul, is er op het inwendig
oppervlak van de schil een even grote en tegengestelde lading −q. Aangezien de netto-lading
van de schil gelijk moet zijn aan Q, heerst er op het uitwendig oppervlak van de schil een
lading Q + q.
Het elektrisch veld binnen een geleider is altijd gelijk aan nul. Dit is dus het geval voor
r1 < r < r 0 .
Het elektrisch veld binnen de schil, dus voor 0 < r < r1 , is enkel veroorzaakt door de
puntlading in het centrum. Dit veld is dus gelijk aan:
E=
q
1
∗ 2
4 ∗ π ∗ 0 r
(134)
Het elektrisch veld buiten de schil, dus voor r > r0 , is veroorzaakt door de totale lading, dus
de lading Q op de schil en de puntlading q in het centrum. Dit veld is dus gelijk aan:
E=
1
Q+q
∗
4 ∗ π ∗ 0
r2
(135)
Oefening 33
Vraag
A long cylindrical shell of radius R0 and length l (R0 << l) possesses a uniform surface charge
density (charge per unit area) σ. Determine the electric field at points outside the cylinder
47
(R > R0 ) and inside the cylinder (0 < R < R0 ); assume the points are far from the ends and
not too far from the shell (R << l).
Oplossing
Als we de flux bepalen door een cilindrisch oppervlak met straat R en lengte d, kunnen we
daaruit het elektrisch veld buiten de cilindrische schil halen:
De flux door dit oppervlak is gelijk aan:
Z
φE =
~ A
~
Ed
(136)
A
Aangezien het elektrisch veld altijd loodrecht op dit oppervlak (mantel van de cilinder buiten
boven- en onderkant) staat, wordt dat:
Z
φE =
E dA
A
φE = E ∗ A
φE = E ∗ 2 ∗ π ∗ R ∗ d
Volgens de wet van Gauss is dit gelijk aan:
Qencl
φE =
0
Qencl
E=
0 ∗ 2 ∗ π ∗ R ∗ d
(137)
(138)
De ingesloten lading is gelijk aan:
Qencl = σ ∗ A
Qencl = σ ∗ 2 ∗ π ∗ R0 ∗ d
Het elektrisch veld buiten de cilinder is dan gelijk aan:
Qencl
E=
0 ∗ 2 ∗ π ∗ R ∗ d
σ ∗ 2 ∗ π ∗ R0 ∗ d
E=
0 ∗ 2 ∗ π ∗ R ∗ d
σ ∗ R0
E=
o ∗ R
(139)
(140)
Binnen de cilinder is door de symmetrie van het elektrisch veld en het feit dat de ingesloten
lading gelijk is aan nul, het elektrisch veld ook gelijk aan nul.
48
Oefening 43
Vraag
A very large (i.e. assume infinite) flat slab of nonconducting material has thickness d and a
uniform volume charge density +ρE . Show that a uniform electric field exists outside of this
slab. Determine its magnitude E and its direction (relative to the slab’s surface). As shown, the
slab is now aligned so that one of its surfaces lies on the line y = x. At time t = 0, a pointlike
particle (mass m, charge +q) is located at position ~rq
= +y0 ∗ ~j and has velocity ~v = v0 ∗ ~i.
p
(2) ∗ q ∗ y0 ∗ ρE ∗ d/0 ∗ m. Ignore
Show that the particle will collide with the slab if v0 ≥
gravity.
Oplossing
Het elektrisch veld veroorzaakt door de dunne plaat kunnen we met de wet van Gauss bepalen.
Als we een Gaussoppervlak nemen waarvan twee evenwijdige zijden (oppervlakte A) ook evenwijdig zijn aan de plaat en de rest van het oppervlak daar loodrecht opstaat, dan geeft dat:
I
~ ∗ dA
~ = Qencl
E
0
ρE ∗ A ∗ d
E∗2∗A=
0
ρE ∗ d
E=
2 ∗ 0
(141)
Dit elektrisch veld is dus uniform en onafhankelijk van de afstand tot de plaat. Aangezien de
plaat positief geladen is, staat het veld loodrecht op de plaat en van de plaat weg.
Om de minimale snelheid, die de puntlading nodig heeft om de plaat te raken, te bepalen,
kunnen we met het tweede postulaat van Newton de positie in functie van de tijd bepalen.
Aangezien we de zwaartekracht kunnen verwaarlozen, is de kracht die op het deeltje werkt
gelijk aan:
~ ∗q
F~ = E


√
2
E ∗d
− ρ2∗
∗
∗
q
 E ∗d0 √22

F~ =  ρ2∗
∗ 2 ∗q 
0
0
(142)
49
De versnelling die het deeltje ondervindt, is gelijk aan:
F~
m


√
2
1
E ∗d
∗
− ρ2∗
∗
q
∗
m
 E ∗d0 √22
1 
~a =  ρ2∗

∗
∗
q
∗
2
m
0
0


√
∗d∗ 2∗q
− ρE4∗
0 ∗m
√


~a =  ρE ∗d∗ 2∗q 
4∗0 ∗m
0
~a =
Dit integreren naar de tijd met de gegeven beginvoorwaarden geeft de snelheid:
Z
~v = ~a dt


√
∗d∗ 2∗q
∗
t
+
v
− ρE4∗
0
0 ∗m
√


ρE ∗d∗ 2∗q
~v = 
∗t 
4∗0 ∗m
0
Dit integreren naar de tijd met de gegeven beginvoorwaarden geeft de snelheid:
Z
~r = ~v dt


√
∗d∗ 2∗q
t2
∗
+
v
∗
t
− ρE4∗
0
2
0 ∗m
√


~r =  ρE ∗d∗ 2∗q ∗ t2 + y0 
4∗0 ∗m
2
0
(143)
(144)
(145)
Het deeltje zal de plaat ooit raken als de x-component en de y-component gelijk worden. Dus
als:
rx = ry
√
√
ρE ∗ d ∗ 2 ∗ q t2
ρE ∗ d ∗ 2 ∗ q t2
−
∗ + v0 ∗ t =
∗ + y0
4 ∗ 0 ∗ m
2
4 ∗ 0 ∗ m
2
(146)
Om een oplossing te hebben, moet de discriminant van deze vierkantsvergelijking positief zijn.
Dit geeft dus:
√
v02 − 4 ∗ (−1) ∗
D≥0
ρE ∗ d ∗ 2 ∗ q
∗ (−y0 ) ≥ 0
4 ∗ 0 ∗ m
√
ρE ∗ d ∗ q ∗ 2 ∗ y0
2
v0 ≥
0 ∗ m
s
√
ρE ∗ d ∗ q ∗ 2 ∗ y0
v0 ≥
0 ∗ m
(147)
50
Oefening 49
Vraag
Charge is distributed within a solid sphere of radius r0 in such a way that the charge density
is a function of the radial position within the sphere of the form: ρE (r) = ρ0 (r/r0 ). If the
total charge within the sphere is Q (and positive), what is the electric field everywhere within
the sphere in terms of Q, r0 and the radial position f ?
Oplossing
Als we als een Gauss-oppervlak een concentrische bol met straal r nemen, dan geldt (aangezien
het elektrisch veld loodrecht op dit oppervlak staat):
I
~ · dA
~ = Qencl
E
0
(148)
Qencl
E=
0 ∗ 4 ∗ π ∗ r2
De totale lading wordt gegeven door:
Z
Q=
r0
4 ∗ π ∗ r2 ∗ ρE (r) ∗ dr
0
Z r0
4 ∗ π ∗ ρ0
Q=
∗
r3 dr
ro
0
Q = π ∗ ρ0 ∗ r03
De ingesloten lading wordt gegeven door:
Z r
Qencl =
4 ∗ π ∗ r2 ∗ ρE (r) ∗ dr
0
Z r
4 ∗ π ∗ ρ0
Qencl =
∗
r3 dr
ro
0
r4
Qencl = π ∗ ρ0 ∗
r0
(149)
(150)
Dit in functie van de totale lading wordt:
Qencl
∗Q
Q
r4
π ∗ ρ0 ∗
r0
=
∗Q
π ∗ ρ0 ∗ r03
r4
= 4 ∗Q
r0
Qencl =
Qencl
Qencl
(151)
51
Het elektrisch veld is dan gelijk aan:
Qencl
0 ∗ 4 ∗ π ∗ r2
r4
∗Q
r04
E=
0 ∗ 4 ∗ π ∗ r2
Q ∗ r2
E=
4 ∗ π ∗ 0 ∗ r04
E=
(152)
Oefening 61
Vraag
A sphere of radius r0 carries a volume charge density ρE . A spherical cavity of radius r0 /2
is then scooped out and left empty, as shown. What is the magnitude and direction of the
electric field at point A and at point B?
Oplossing
Voor zowel A als B kunnen we, om het elektrisch veld te berekenen, uitgaan van een volle
bol en daar dan het elektrisch veld door de nu aanwezige holte (als die holte vol zou zijn) af
trekken.
Voor A is het elektrisch veld voor een volle bol gelijk aan nul. Het (niet aanwezige) veld door
de holte is gelijk aan:
Q
1
∗ 2
4 ∗ π ∗ 0 r
1
ρE ∗ V
E=
∗ r0 2
4 ∗ π ∗ 0
(2)
E=
ρE ∗ 43 ∗ π ∗ ( r20 )3
1
E=
∗
4 ∗ π ∗ 0
( r20 )2
1 ρE
E= ∗
∗ r0
0 6
(153)
52
Voor B is het elektrisch veld voor een volle bol gelijk aan:
Q
1
∗ 2
4 ∗ π ∗ 0 r
ρE ∗ 43 ∗ π ∗ r03
1
E=
∗
4 ∗ π ∗ 0
r02
1
E=
∗ ρE ∗ r0
3 ∗ 0
E=
(154)
Het (niet aanwezige) elektrisch veld door de holte is gelijk aan:
1
Q
∗ 2
4 ∗ π ∗ 0 r
ρE ∗ 43 ∗ π ∗ ( r20 )3
1
∗
E=
4 ∗ π ∗ 0
( 32 ∗ r0 )2
ρE ∗ r0
E=
54 ∗ 0
E=
(155)
Deze twee van elkaar aftrekken geeft het elektrisch veld in B:
ρE ∗ r0
1
∗ ρE ∗ r0 −
3 ∗ 0
54 ∗ 0
17 ρE ∗ r0
∗
E=
54
0
E=
(156)
53
Hoofdstuk 23 - elektrische potentiaal
Oefening 3
Vraag
An electron acquires 5.25 ∗ 10−16 J of kinetic enery when it is accelerated by an electric field
from plate A to plate B. What is the potential difference between the plates, and which plate
is at the higher potential?
Oplossing
De verandering in potentiële energie is gelijk aan het product van de lading met het potentiaalverschil. Dit wordt dus:
∆U = q ∗ V
5.25 ∗ 10−16
V
V =
1.6 ∗ 10−19
V = 3281 V
(157)
Oefening 23
Vraag
A very long conducting cylinder (length l) of radius R0 (R0 l) carries a uniform surface
charge density σ (C/m2 ). The cylinder is at an electric potential V0 . What is the potential,
at points far from the end, at a distance R from the center of the cylinder? Determine for (a)
R > R0 and (b) R < R0 . Is V = 0 at R = ∞ (assume l = ∞)? Explain.
54
Oplossing
(a) R > R0
Uit de wet van Gauss kunnen we het elektrisch veld buiten de cilinder bepalen. Als we als
gaussoppervlak een coaxiale cilinder nemen met straal R en lengte d, dan geeft dat:
I
~ · dA
~ = Qencl
E
0
I
σ ∗ 2 ∗ π ∗ R0 ∗ d
E dA =
0
(158)
σ ∗ 2 ∗ π ∗ R0 ∗ d
E∗2∗π∗R∗d=
0
σ = R0
E=
0 ∗ R
De potentiaal op een afstand R van de cilinder is dan gelijk aan:
Z R
~ · d~l
V =−
E
R0
σ ∗ R0
V =−
∗
0
Z
R
E dr
R0
R
σ ∗ R0
∗ ln(R)
+ cte
V =−
0
R0
R0
σ ∗ R0
∗ ln( ) + V0
V =
0
R
(159)
Voor R gaande naar ∞ is dit dus gelijk aan −∞. Dit komt doordat de draad oneindig lang
is.
(b) R < R0
Aangezien het elektrisch veld binnen een geleider gelijk is aan nul, is het potentiaalverschil ook
gelijk aan nul. De hele binnenkant van de cilinder is dus op een potentiaal V0 .
Oefening 35
Vraag
A flat ring of inner radius R1 and outer radius R2 , carries a uniform surface charge density σ.
Determine the electric potential at points along the axis (the x axis).
55
Oplossing
Het elektrisch veld door de ringvormige ladingsverdeling is het verschil van het elektrisch veld
door een schijf met straal R2 en een schijf met straal R1 (het weggelaten deel van de schijf).
Het elektrisch veld (langs de as) veroorzaakt door een schijfvormige ladingsverdeling is gelijk
aan:
σ
x
E=
∗ 1− √
(160)
2 ∗ 0
x2 + R 2
met R de straal van de schijf.
Het elektrisch veld veroorzaakt door de ring is dan gelijk aan:
σ
x
x
sigma
E=
∗ 1− p
∗ 1− p
−
2 ∗ 0
2 ∗ 0
x2 + R22
x2 + R12
x
σ
x
−p
E=
∗ p
2
2
2
2 ∗ 0
x + R1
x + R22
De elektrische potentiaal langs de as van de ring is dan gelijk aan:
Z
~ · d~l
V =− E
Z
σ
x
x
V =−
∗ p
−p
dx
2 ∗ 0
x2 + R12
x2 + R22
q
q
σ
V =−
∗ ( x2 + R12 − x2 + R22 )
2 ∗ 0
q
q
σ
2
2
V =
∗ ( x + R2 − x2 + R12 )
2 ∗ 0
(161)
(162)
Oefening 39
Vraag
A thin rod of length 2l is centerd on the x axis as shown. The rod carries a uniformly distributed
charge Q. Determine the potential V (x) for points along the x axis.
56
Oplossing
Een infinitesimaal elektrisch veld dE langs de x-as is gelijk aan:
dE =
dQ
1
∗ 2
4 ∗ π ∗ 0 r
(163)
Dit integreren over de x-as van −l tot l geeft het totaal elektrisch veld:
Z l
dE
E=
−l
1
E=
∗
4 ∗ π ∗ 0
Z
l
λdl
2
−l (x − l)
l
1
λ
∗
E=
4 ∗ π ∗ 0
x − l −l
λ
1
1
E=
−
∗
4 ∗ π ∗ 0
x−l x+l
(164)
De elektrische potentiaal is dan gelijk aan:
Z
~ · d~x
V =− E
Z 1
λ
1
∗
V =−
−
dx
4 ∗ π ∗ 0
x−l x+l
λ
x+l
V =
∗ ln
4 ∗ π ∗ 0
x−l
Q
x+l
V =
∗ ln
8 ∗ l ∗ π ∗ 0
x−l
(165)
Oefening 41
Vraag
Suppose a thin flat disk, of radius R0 has a nonuniform surface charge density σ = aR2 , where
R is measured from the center of the disk, Find the potential V (x) at points along the x axis,
relative to V = 0 at x = ∞.
57
Oplossing
De totale lading op de schijf is gegeven door:
Z R0
σ ∗ 2 ∗ π ∗ r dr
Q=
0
Z R0
r3 dr
Q=2∗a∗π∗
(166)
0
Q=
a ∗ π ∗ R04
2
De lading op een infinitesimaal dunne ring is gegeven door:
dQ = σ ∗ 2 ∗ π ∗ r ∗ dr
dQ = a ∗ 2 ∗ π ∗ r3 ∗ dr
(167)
Dit in functie van de totale lading wordt:
a ∗ 2 ∗ π ∗ r3 ∗ dr
dQ
=
a ∗ π ∗ R04
Q
2
4 ∗ r3 ∗ dr
∗Q
dQ =
R04
De potentiaal op een afstand d van een ladingsverdeling is gegeven door:
Z
1
dq
V =
∗
4 ∗ π ∗ 0
r
De potentiaal op een afstand x van het centrum van de schijf is dan gelijk aan:
Z R0
1
dQ
√
V =
∗
4 ∗ π ∗ 0
x2 + r 2
0
Z R0
Q
r3
√
V =
∗
dr
π ∗ 0 ∗ R04
x2 + r 2
0
R0
√
a
1
2
2
2
2
V =
∗
∗ (r − 2 ∗ x ) ∗ r + x
2 ∗ 0
3
0
2
q
2
2
√ a
R0 − 2 ∗ x
2
∗
x
V =
∗
∗ R02 + x2 +
∗ x2
∗0
3
3
q
a
|x|3
2
2
V =
∗ (R0 − 2 ∗ x ) ∗ R02 + x2 +
6 ∗ 0
3
(168)
(169)
(170)
58
Oefening 53
Vraag
A thin rod of length 2l is centerd on the x axis as shown. The rod carries a uniform distributed
charge Q. Determine the electric field due to the rod for points (a) along the y axis, and (b)
along the x axis.
Oplossing
(a) y-as
De potentiaal langs de y-as is gegeven door:
Q
V (y) =
∗ ln
8 ∗ π ∗ 0 ∗ l
!
p
l2 + y 2 + l
p
l2 + y 2 − l
(171)
Het elektrisch veld langs de y-as is dan gegeven door:
E(y) = −∇V (y)
∂V
E(y) = −
∂y
p
l2 + y 2 − l
Q
E(y) = −
∗p
∗
8π0 l
l2 + y 2 + l
p
p
y
y
l2 + y 2 − l ∗ p
−
l2 + y 2 + l ∗ p
l2 + y 2
l2 + y 2
p
2
l2 + y 2 − l
E(y) =
Q
y
∗p
p
2
4π0
l2 + y 2 ∗
l2 + y 2 − l
E(y) =
Q
1
p
∗
4π0 y ∗ l2 + y 2
(172)
(b) x-as
De potentiaal langs de x-as is gegeven door:
Q
V (x) =
∗ ln
8 ∗ π ∗ 0 ∗ l
x+l
x−l
(173)
59
Het elektrisch veld langs de x-as is dan gegeven door:
E(x) = −∇V (x)
∂V
E(x) = −
∂x
x − l (x − l) − (x + l)
Q
∗
∗
E(x) = −
8π0 l x + l
(x − l)2
Q
1
E(x) =
∗
4π0 (x + l) ∗ (x − l)
1
Q
∗ 2
E(x) =
4π0 x − l2
(174)
Oefening 83
Vraag
A Geiger counter is used to detect charged particles emitted by radioactive nuclei. It consists
of a thin, positively charged central wire of radius Ra surrounded by a concentric conducting
cylinder of radius Rb with an equal negative charge. The charge per unit lengt on the inner
wire is λ (units C/m). The interior space between wire and cylinder is filled with low-pressure
inert gas. Charged particles ionize some of these gas atoms; the resulting free electrons are
attracted toward the positive central wire. If the radial electric field is strong enough, the
freed electrons gain enough energy to ionize other atoms, causing an avalanche of electrons to
strike the central wire, generating an electric signal. Find the expression for the electric field
between the wire and the cylinder, and show that the potential difference between Ra and Rb
is:
Rb
λ
)ln( )
(175)
Va − Vb = (
2π0
Ra
Oplossing
Het elektrisch veld tussen de draad en de cilinder is gelijk aan de som van de twee bijdragen:
Het veld veroorzaakt door de cilinder is binnen de cilinder gelijk aan nul (aangezien we binnen
een geleider zitten).
60
Het veld veroorzaakt door een lange, uniform geladen draad is gelijk aan:
E=
λ
2 ∗ π ∗ 0 ∗ R
(176)
met R de afstand tot de draad. Dit elektrisch veld is dus het totale elektrische veld tussen de
draad en de cilinder.
Het potentiaalverschil tussen de draad en de cilinder is gelijk aan:
Z a
~ dR
~
E
V =−
Zb a
λ
V =−
dR
b 2 ∗ π ∗ 0 ∗ R
λ
∗ [ln(R)]ab
V =−
2 ∗ π ∗ 0
λ
V =−
∗ (ln(Ra ) − ln(Rb ))
2 ∗ π ∗ 0
λ
Rb
V =
∗ ln( )
2 ∗ π ∗ 0
Ra
(177)
61
Hoofdstuk 24 - condensatoren en
diëlektrica
Oefening 39
Vraag
Suppose one plate of a parallel-plate capacitor is tilted so it makes a small angle θ with the
other plate, as shown. Determine a formula for the capacitance C in terms of A, d, and θ,
where A is the area of each plate and θ is small. Assume the plates are square.
Oplossing
Als we de condensatoren opdelen in oneindig kleine delen, dan staan deze deeltjes wel parallel
ten opzichte van elkaar. Dit dan integreren over de hele lengte geeft de totale capaciteit.
62
De infinitesimale capaciteit dC wordt gegeven door:
0 ∗ dA
de
0 ∗ (l ∗ dy)
dC =
d + y ∗ tan(θ)
dC =
(178)
Dit integreren van 0 tot l geeft:
Z
l
dC
C=
0
l
0 ∗ l ∗ dy
0 d + y ∗ tan(θ)
ln(d + y ∗ tan(θ)) l
]0
C = 0 ∗ l ∗ [
tan(θ)
ln(1 + dl ∗ tan(θ))
C = 0 ∗ l ∗
tan(θ)
Z
C=
(179)
Oefening 59
Vraag
Two different dielectric each fill half the space between the plates of a parallel-plate capacitor
as shown. Determine a formula for the capacitance in terms of K1 , K2 , the area A of the
plate and the separation d.
Oplossing
Over de twee delen staat hetzelfde potentiaalverschil, dus kunnen we de condensator beschouwen
als twee condensatoren in parallel. De totale capaciteit is dan gelijk aan:
C = C1 + C2
K1 ∗ 0 ∗ A K2 ∗ 0 ∗ A
C=
+
2∗d
2∗d
0 ∗ A
C=
∗ (K1 + K2 )
2∗d
(180)
63
Oefening 61
Vraag
Two different dielectrics fill the space between the plates of a parallel-plate capacitor as shown.
Determine a formula for the capacitance in terms of K1 , K2 , the area A of the plate and the
separations d1 6= d2 .
Oplossing
Aangezien door de twee diëletrica dezelfde ladingen stromen, kunnen we de condensator
beschouwen als twee condensatoren in serie. De totale capaciteit is dan gelijk aan:
C=
C1 ∗ C2
C1 + C2
C=
0 ∗A∗K1
d1
0 ∗A∗K1
d1
C=
0 ∗ A ∗ K1 ∗ K2
d2 ∗ K1 + d1 ∗ K2
0 ∗A∗K2
d2
2
+ 0 ∗A∗K
d2
∗
(181)
Oefening 63
Vraag
A slab of width d and dielectric constand K is inserted a distance x into the space between
the square parallel plates (of side L) of a cpacitor as shown. Determine, as a function of x.
the capacitance and the energy stored if the potential difference is V0 .
64
Oplossing
Door het superpositiebeginsel kunnen we de capaciteit van de condensator bepalen als de
som van de capaciteit van het linker deel (zonder diëlektricum) en het rechter deel (met
diëlektricum).
De capaciteit van het linker deel is gelijk aan:
0 ∗ A1
d
0 ∗ (l ∗ (l − x))
C1 =
d
C1 =
(182)
De capaciteit van het rechter deel is gelijk aan:
∗ A2
d
K ∗ 0 ∗ (l ∗ x)
C2 =
d
C2 =
(183)
De totale capaciteit is dan gelijk aan:
C = C1 + C2
0 ∗ (l ∗ (l − x)) K ∗ 0 ∗ (l ∗ x)
C=
+
d
d
0 ∗ l
∗ (l − x + K ∗ x)
C=
d
(184)
De energie die in de condensator zit opgeslagen, is gelijk aan:
1
∗C ∗V2
2
1 0 ∗ l
∗ (l − x + K ∗ x) ∗ V02
U= ∗
2
d
U=
(185)
Oefening 91
Vraag
A parallel-plate capacitor has plate area A, plate separation x, and has a charge Q stored on
its plates. Find the amount of work required to double the plate sepatation to 2x, assuming
the charge remains consant at Q. Show that your answer is consistend with the change in
energy stored by the capacitor.
65
Oplossing
Volgens de wet van behoud van energie is de geleverde arbeid gelijk aan de verandering in de
inwendige energie van de condensator plus eventuele andere energieveranderingen. Aangezien
het hele stelsel enkel uit een condensator bestaat, is er niets anders dat een energieverandering
kan ondergaan, dus is de geleverde arbeid gelijk aan de energieverandering van de condensator.
De energie van de condensator met scheiding x is gelijk aan:
1 Q21
∗
2 C1
x
1
U1 = ∗ Q21 ∗
2
0 ∗ A
U1 =
(186)
De energie van de condensator met scheiding 2x is gelijk aan:
1 Q21
∗
2 C1
1
2x
U2 = ∗ Q21 ∗
2
0 ∗ A
U2 =
(187)
Aangezien de lading constant moet blijven, geldt:
Q1 = Q2
(188)
De verandering in de energie van de condensator is dan gelijk aan:
∆U = U2 − U1
1
2x
1
x
∆U = ∗ Q21 ∗
− ∗ Q21 ∗
2
0 ∗ A 2
0 ∗ A
2
Q ∗x
∆U =
2 ∗ 0 ∗ A
(189)
Dit is dus ook de nodige arbeid om de platen te scheiden tot een afstand 2x.
66
Hoofdstuk 25 - elektrische stromen en
weerstand
Oefening 9
Vraag
A 12 − V battery causes a current of 0.60 A through a resistor. What is its resistance, and
how many joules of energy does the battery lose in a minute?
Oplossing
De weerstand van de batterij is gegeven door de wet van Ohm:
V
I
12
Ω
R=
0.6
R = 20 Ω
R=
(190)
Het energieverlies is gelijk aan het vermogen vermenigvuldigd met de tijd. Dit is gelijk aan:
W
W
W
W
=P ∗t
= V ∗ I ∗ 60
= 12 ∗ 0.6 ∗ 60
= 432 J
(191)
Oefening 17
Vraag
A certain copper wire has a resistance of 10.0 Ω. At what point along its length must the
wire be cut so that the resistance of one piece is 4.0 times the resistance of the other? What
is the resistance of each piece?
67
Oplossing
De totale weerstand kunnen we beschouwen als twee weerstanden in serie. De som van de
twee weerstanden is dan gelijk aan 10, en de verhouding is gelijk aan 4. Dit geeft het volgende
stelsel:
(
R1 = 4 ∗ R2
(192)
R1 + R2 = 10
Dit uitwerken naar R2 geeft:
4 ∗ R2 + R2 = 10
R2 = 2 Ω
(193)
R1 is dan gelijk aan 4 ∗ 2 Ω = 8 Ω.
R2 is 1/5 van de totale weerstand, dus op 1/5 van de lengte moet de weerstand doorgeknipt
worden.
Oefening 23
Vraag
A length of aluminium wire is connected to a precision 10.00-V power supply, and a current of
0.4212 A is precisely measured at 20.0◦ C. The wire is placed in a new environment of unknown
temperature where the measured curent is 0.3818 A. What is the unknown temperature?
Oplossing
De resistiviteit van een draad is temperatuursafhankelijk volgens de volgende formule:
ρ = ρ0 ∗ [1 + α ∗ (T − T0 )]
(194)
De initiële resistiviteit is gelijk aan:
ρ0 =
ρ0 =
R0 ∗ l
A
V0
∗l
I0
(195)
A
23.75 ∗ l
ρ0 =
A
De finale resistiviteit is gelijk aan:
R∗l
A
V
∗l
ρ= I
A
26.2 ∗ l
ρ=
A
ρ=
(196)
68
Als we dit invullen in (194), met als temperatuurscoëfficiënt van aluminium α = 0.00429,
geeft dat:
ρ = ρ0 ∗ [1 + α ∗ (T − T0 )]
ρ
−1
ρ
T = 0
+ T0
α
26.2
−1
T = 23.75
+ 20 ◦ C
0.00429
T = 44◦ C
(197)
Oefening 29
Vraag
A 10.0-m length of wire consists of 5.0 m of copper followed by 5.0 m of aluminium, both of
diameter 1.4 mm. A voltage difference of 85 mV is placed across the composite wire. What
is the total resistance (sum) of the two wires? What is the current through the wire? What
are the voltages across the aluminium part and across the copper part?
Oplossing
Aangezien er door beide delen dezelfde stroom loopt, kunnen we het beschouwen als twee
weerstanden die in serie staan.
De weerstand van het kopergedeelte is gelijk aan (met ρ = 1.68 ∗ 10−8 :
ρ∗l
A
1.68 ∗ 10−8 ∗ 5
R1 =
(0.7 ∗ 10−3 )2 ∗ π
R1 = 0.055 Ω
R1 =
(198)
De weerstand van het aluminiumgedeelte is gelijk aan (met ρ = 2.65 ∗ 10−8 ):
ρ∗l
A
2.65 ∗ 10−8 ∗ 5
R2 =
(0.7 ∗ 10−3 )2 ∗ π
R2 = 0.086 Ω
R2 =
(199)
De totale weerstand van de draad is dan gelijk aan:
R = R1 + R − 2
R = 0.14 Ω
Uit de wet van Ohm kunnen we de stroom door de draad halen:
V =I ∗R
85 ∗ 10−3
I=
0.14
I = 0.60 A
(200)
(201)
69
De spanning over de twee delen kunnen we uit de wet van Ohm halen. Voor het kopergedeelte
wordt dat:
V1 = I ∗ R1
V1 = 0.033 V
(202)
V2 = I ∗ R2
V2 = 0.052 V
(203)
Voor het aluminiumgedeelte wordt dat:
Oefening 30
Vraag
A hollow cylindrical resistor with inner radius r1 and outer radius r2 , and length l, is made of
a matrial whose resistivity is ρ. Show that the resistance is given by
r2
ρ
(204)
∗ ln
R=
2∗π∗l
r1
for current that flows radially outward. Evaluate the resistance R for such a resistor made
of carbon whose inner and outer radii are 1.0 mm and 1.8 mm and whose lengt is 2.4 cm.
(Choose ρ = 15 ∗ 10−5 Ω ∗ m.) What is the resistance for current flowing parallel to the axis?
Oplossing
Als de stroom radiaal naar buiten vloeit, kunnen we dat zien als een oneindig aantal infinitesimaal dunne (dikte dr) cilindervormige weerstanden in serie. De weerstand van één zo’n
weerstand is gelijk aan:
ρ ∗ dr
dR =
(205)
2∗π∗r∗l
70
Als we dit integreren over r gaande van r1 tot r2 geeft dat de totale weerstand:
Z r2
dR
R=
r1
Z r2
ρ ∗ dr
R=
r1 2 ∗ π ∗ r ∗ l
r2
ρ
∗ ln(r)
R=
2∗π∗l
r1
ρ
r2
R=
∗ ln
2∗π∗l
r1
De weerstand van zo’n cilinder met de bovenstaande gegevens is gelijk aan:
r2
ρ
∗ ln
R=
2∗π∗l
r1
1.8
15 ∗ 10−5
∗ ln
R=
2 ∗ π ∗ 0.024
1
−4
R = 5.8 ∗ 10 Ω
(206)
(207)
De weerstand van zo’n cilinder voor een stroom die parallel met de as vloeit, is gelijk aan:
ρ∗l
A
ρ∗L
R=
π ∗ (r22 − r12 )
R=
(208)
Oefening 35
Vraag
An electric power plant can produce electricity at a fixed power P , but the plant operator is
free to choose the voltage V at which it is produced. This electricity is carried as an electric
current I through a transmission line (resistance R) from the plant to the user, where it
provides the user with electric power P 0 . Show that the reduction in power ∆P = P − P 0 due
to transmission losses is given by ∆P = P 2 ∗ R/V 2 . In order to reduce power losses during
transmission, should the operator choose V to be as large or as small as possible?
Oplossing
Het verlies in vermogen tussen de centrale en de gebruiker is gelijk aan het vermogen van de
transmissie-lijn. Dit is gelijk aan:
Plijn = V ∗ I
(209)
71
Dit is gelijk aan:
∆P = Plijn
∆P = V ∗ I
V2 V2 R
∆P =
∗
∗
R
R V2
R
∆P = P 2 ∗ 2
V
(210)
Oefening 55
Vraag
A heater coil connected to a 240 − Vrms ac line has a resistance of 44 Ω. What is the average
power used? What are the maximum and minimum values of the instantaneous power?
Oplossing
Het gemiddeld vermogen wordt gegeven door:
V̄ 2
R
2
Vrms
P̄ =
R
P̄ = 1.3 kW
P̄ =
(211)
Het vermogen in functie van de tijd is gelijk aan:
V02
∗ sin2 (ω ∗ t)
P =
R
met de maximale spanning V0 :
V0 =
√
(212)
2 ∗ Vrms
(213)
V02
R
2 ∗ 2402
=
44
= 2.6 kW
(214)
Het maximaal vermogen is dan gelijk aan:
Pmax =
Pmax
Pmax
Aangezien het vermogen een functie is van het kwadraat van de sinus van de tijd, is het
minimale vermogen gelijk aan Pmin = 0.
72
Oefening 59
Vraag
At a point high in the Earth’s atmosphere, He2+ ions in a concentration of 2.8 ∗ 1012 /m3 are
moving due north at a speed of 2.0 ∗ 106 m/s. Also, a 7.0 ∗ 1011 /m3 concentrationn of O2−
ions is moving due south at a speed of 6.2 ∗ 106 m/s. Determine the magnitude and direction
of the current density ~j at this point.
Oplossing
De stroomdichtheid op een willekeurig punt wordt gegeven door de volgende formule:
X
~j =
ni ∗ qi ∗ ~vi
(215)
i
De gegevens invullen, geeft:
X
~j =
ni ∗ qi ∗ ~vi
i
~j = 2.8 ∗ 1012 ∗ 2 ∗ e ∗ 2.0 ∗ 106 − 7.0 ∗ 1011 ∗ (−e) ∗ 6.2 ∗ 106 A/m2 noord
~j = 2.5 A/m2 noord
(216)
Oefening 83
Vraag
A 100 − W , 120 − V lightbulb has a resistance of 12 Ω when cold (20◦ C) and 140 Ω when
on (hot). Calculate its power consumption at the instant it is turned on, and after a few
moments when it is hot.
Oplossing
Op het moment dat de lamp aangezet wordt, is ze nog koud. Het vermogen is dan gelijk aan:
V2
R
1202
P =
12
P = 1200 W
P =
(217)
Als de lamp warm is, is de weerstand gestegen, en is het vermogen gelijk aan:
V2
R
1202
P =
140
P = 103 W
P =
(218)
73
Hoofdstuk 27 - magnetisme
Oefening 11
Vraag
A curved wire, connecting two points a and b, lies in a plane perpendicular to a uniform
~ and carries a current I. Show that the resultant magnetic force on the wire,
magnetic field B
no matter what its shape, is the same as that on a straight wire connecting the two points
carrying the same current I.
Oplossing
Elke willekeurige draad die de punten a en b verbindt, kunnen we opsplitsen in een component
recht tussen a en b en een component daar loodrecht op. Aangezien de resulterende kracht op
de loodrechte component gelijk is aan nul (er is evenveel draad waar de stroom van de rechte
wegvloeit als aankomt), is de totale magnetische kracht gelijk aan de kracht op een rechte
draad tussen a en b.
Oefening 12
Vraag
A circular loop of wire, of radius r, carries a current L. It is placed in a magnetic field whose
straight lines seem te diverge from a point a distance d below the loop on its axis. (That is,
the field makes an angle θ with the loop at all points, where tan(θ) = r/d.) Determine the
force on the loop.
74
Oplossing
De grootte van de kracht op een infinitesimaal deeltje dl van de draad is gelijk aan:
dF = I ∗ B ∗ dl ∗ sin(φ)
(219)
~ Aangezien deze altijd loodrecht op elkaar staan is dit gelijk
met φ de hoek tussen d~l en B.
aan:
dF = I ∗ B ∗ dl
(220)
De zin hiervan is volgens de rechterhandregel naar buiten en naar onder op elk punt van de
cirkel. Volgens de symmetrie is de component in eht vlak van de draad van de totale kracht
gelijk aan nul. De component naar onder van de kracht is gelijk aan:
dFz = I ∗ B ∗ dl ∗ sin(θ)
(221)
met θ de hoek tussen het veld en de as. Als we dit integreren over de hele cirkel wordt dat:
Z
dF
F = Fz =
C
Z 2∗π∗r
(222)
F =
I ∗ B ∗ dl ∗ sin(θ)
0
F = 2 ∗ π ∗ r ∗ I ∗ B ∗ sin(θ)
Oefening 31
Vraag
Suppose the earth’s magnetic field at the equator has magnitude 0.50 ∗ 10−4 T and a northerly
direction at all points. Estimate the speed a single ionized uranium ion (m = 238 u, q = e)
would need to circle th Earth 5.0 km above the equator. Can you ignore gravity? [Ignore
relativity.]
75
Oplossing
Aangezien de baan van de ion overal evenwijdig is aan de evenaar en het magnetisch veld naar
het noorden gericht is, is de kracht op het ion naar boven gericht. Doordat de massa van één
enkel ion zo klein is, kunnen we de zwaartekracht verwaarlozen.
Uit het tweede postulaat van Newton volgt:
v2
r
v2
=m∗
r
q∗B∗r
=
m
1.6 ∗ 10−19 ∗ 0.50 ∗ 10−4 ∗ (6378 + 5) ∗ 1000
=
238 ∗ 1.66 ∗ 10−27
8
= 1.3 ∗ 10 m/s
F =m∗a=m∗
q∗v∗B
v
v
v
(223)
Oefening 33
Vraag
A proton moving with speed v = 1.3 ∗ 105 m/s in a field-free region abruptly enters an
~ ⊥ ~b). If the proton enters the magnetic
essentially uniform magnetic field b = 0.850 T (B
◦
field region at a 45 angle as shown, at what angle does it leave, and at what distance x does
it exit the field?
Oplossing
Als de proton het magnetisch veld binnekomt, gaat deze, doordat de kracht altijd loodrecht
op de bewegingsrichting staat, een cirkelvormige baan beschrijven met constante snelheid v.
Aangezien de proten bij het binnengaan een hoek van 45◦ maakte, zal dit bij het buitengaan
ook een hoek van 45◦ zijn.
76
De kracht die het magnetisch veld op de proton uitoefent, is gelijk aan:
F = q ∗ v ∗ B ∗ sin(θ)
F =e∗v∗B
(224)
De versnelling die de proton ondervindt tijdens de cirkelbeweging is gelijk aan:
a=
v2
r
(225)
Als we het tweede postulaat van Newton invullen in (224), geeft dat:
F =e∗v∗B
m∗a=e∗v∗B
v2
m∗
=e∗v∗B
r
v∗m
r=
e∗B
(226)
De afstand x waar de proton het veld verlaat, is gelijk aan twee keer de projectie van de straal
op de verticale as. Dit is dus gelijk aan:
x = 2 ∗ rproj
v∗m
x=2∗
∗ cos(45◦ )
e
∗
B
√
2∗v∗m
x=
e∗B
(227)
De waarde hiervan is gelijk aan:
√
2∗v∗m
√ e∗B
2 ∗ 1.3 ∗ 105 ∗ 1.67 ∗ 10−27
x=
m
1.6 ∗ 10−19 ∗ 0.850
x = 2.26 ∗ 10−3 m
x=
(228)
Oefening 34
Vraag
~ = B0 ∗ ~k. At
A particle with charge +q and mass m travels in a uniform magnetic field B
time t = 0, the particle’s speed is v0 and its velocity vector lies in the xy plane directed at an
angle of 30◦ with respect to the y axis as shown. At a later time t = tα , the particle will cross
the x axis at x = α. In terms of q, m, v0 and B0 , determine α and tα .
77
Oplossing
Aangezien de kracht uitgeoefend door een magnetisch veld altijd loodrecht staat op de bewegingsrichting, kan deze nooit de snelheid van het deeltje beı̈nvloeden. Enkel de richting van
de beweging verandert. Aangezien de kracht altijd loodrecht op de bewegingsrichting staat,
voert het deeltje een cirkelbeweging uit. De versnelling van het deeltje is dan gegeven door
a = v 2 /r.
Aangezien het deeltje loodrecht op het magnetisch veld beweegt, is de uitgeoefende kracht
gelijk aan:
F =q∗v∗B
(229)
Volgens het tweede postulaat van Newton is dat gelijk aan:
F =m∗a=m∗
v2
r
(230)
De straal van de cirkelbeweging is dan gelijk aan:
v2
q∗v∗B
=
r
m
v∗m
r=
q∗B
(231)
Aangezien het magnetisch veld en de snelheid van het deeltje constant zijn, is dit gelijk aan:
r=
v0 ∗ m
q ∗ B0
(232)
Initieel was de snelheid van het deeltje naar linksboven, dus het middelpunt M van de cirkelbeweging ligt in het eerste kwadrant. De waarde van α is dan twee keer de waarde van de
projectie van M op de x-as. Dit is gelijk aan:
α = 2 ∗ rproj
α = 2 ∗ r ∗ cos(θ)
√
3 ∗ v0 ∗ m
α=
q∗B
(233)
Om de tijd te weten die nodig is om deze positie te bereiken, moeten we de afgelegde afstand
bepalen. Aangezien de initiële hoek met de y-as gelijk is aan 30◦ , legt het deeltje 2/3 van een
78
volledige cirkel af. De afgelegde afstand is dus gelijk aan:
2
∗2∗π∗r
3
2 2 ∗ π ∗ v0 ∗ m
d= ∗
3
2∗q∗d
4 ∗ π ∗ v0 ∗ m
d=
3∗q∗d
d=
(234)
De benodigde tijd is dan gelijk aan:
d
v0
4 ∗ π ∗ v0 ∗ m 1
∗
t=
3∗q∗d
v0
4∗π∗m
t=
3∗q∗d
t=
(235)
Oefening 40
Vraag
Suppose a nonconductiong rod of lengt d carries a uniformly distributed charge Q. It is rotated
with angular velocity ω about an axis perpendicular to the rod at one end. Show that the
magnetic dipole moment of this rod is 1|2 Qωd2 .
Oplossing
Het magnetische dipoolmoment van een stroom door een lus is gelijk aan:
~
µ
~ =I ∗A
(236)
Als we de staaf opdelen in infinitesimale deeltjes dl, dan is de stroom veroorzaakt door de
cirkelbeweging van zo’n deeltje gelijk aan:
dI = λ ∗ dl ∗ f
ω
Q
dI = ∗ dl ∗
d
2∗π
(237)
De ingesloten oppervlakte is gelijk aan:
A = π ∗ l2
(238)
79
Als we dit integreren over de hele staaf, is het totale dipoolmoment gelijk aan:
Z d
dI ∗ A
µ=
0
Z d
Q
ω
µ=
∗ dl ∗
∗ π ∗ l2
d
2
∗
π
0
3 d
Q∗ω
l
µ=
∗
2∗d
3 0
2
Q∗ω∗d
µ=
6
(239)
Oefening 66
Vraag
The cyclotron is a device used to accelerate elementary particles such as protons to high
speeds. Particles starting at point A with some initial velocity travel in circulat orbits in the
magnetic field B. The particles are accelerated to higher speeds each time they pass in the
gap between the metal ”dees”where there is an electric field E. (There is no electric field
within the hollow metal dees.) The electric field changes direction each half-cycle, due to an
ac voltage V = V0 sin(2π/t), so that the particles are increased in speed at each passage
through the gap. Show that the frequency f of the voltage must be f = Bq/2πm, where q
is the charge on the particles and m their mass. Show that the kinetic energy of the particles
increases by 2qV0 each revolution, assuming that the gap is small. If the radius of the cyclotron
is 0.50 m and the magnetic field strength is 0.60 T , what will be the maximum kinetic energy
of accelerated protons in M eV ?
Oplossing
Aangezien bij elke volledige cirkelbaan van de proton het elektrisch veld terug hetzelfde moet
zijn, is de periode gegeven door de tijd die de proton nodig heeft om één keer rond te gaan.
Als we de breedte van de opening verwaarlozen, is dat gelijk aan:
2∗π∗r
T =
b
2∗π m∗v
T =
∗
(240)
v
q∗B
2∗π∗m
T =
q∗B
80
De frequentie is dan gelijk aan:
f=
1
T
q∗B
f=
2∗π∗m
(241)
De verandering van de kinetische energie van de deeltjes (bij één keer de opening doorkruisen)
is gelijk aan de arbeid die het elektrisch veld levert. Dit is gelijk aan:
W =F ∗d
W =q∗E∗d
W = q ∗ V0
(242)
De laatste uitdrukking (W = q ∗ V0 ) is geldig als de opening smal genoeg is, zodat we kunnen
veronderstellen dat het potentiaalverschil constant is en gelijk aan de maximale spanning V0 .
De verandering van de kinetische energie van een deeljte bij een volledige omwenteling is dan
gelijk aan:
∆Ek = 2 ∗ W
∆Ek = 2 ∗ q ∗ V0
(243)
Als de straal van de cyclotron een halve meter is en het magneitsch veld 0.60 T , dan is de
maximale snelheid van een proton gelijk aan:
m∗v
q∗B
r∗q∗B
v=
m
r=
(244)
De maximaal verkregen kinetische energie van een proton is dan gelijk aan:
1
∗ m ∗ v2
2
2
1
r∗q∗B
= ∗m∗
2
m
2
2
1 r ∗ q ∗ B2
= ∗
2
m
= 6.9 ∗ 10−13 J
= 4.3 M eV
Ek =
Ek
Ek
Ek
Ek
(245)
Oefening 74
Vraag
The net force on a current loop whose face is perpendicular to a uniform magnetic field is
zero, since contributions to the net force from opposite sides of the loop cancel. However, if
the field varies in magnitude from one side of the loop to the other, then there can be a net
force on the loop. Consider a square loop with sides whose length is a, located with one side
81
at x = b in the xy plane. A magnetic field is directed along z, with a megnitude that varies
with x according to
x
B = B0 ∗ 1 −
(246)
b
If the current in the loop circulates counterclockwise (that is, the magnetic dipole moment of
the loop is along the z axis), find an expression for the net force on the loop.
Oplossing
Aangezien het magnetisch veld niet in de y-richting varieert, is de netto kracht op de onderen bovenkant van de lus geiljk aan nul.
De kracht op de linkerkant is gelijk aan:
Fl = I ∗ l ∗ B
b
Fl = I ∗ a ∗ B0 ∗ 1 −
b
Fl = 0
(247)
De kracht op de rechterkant is gelijk aan:
Fr = I ∗ l ∗ B
b+a
Fr = I ∗ a ∗ B0 ∗ 1 −
b
a
Fr = −I ∗ a ∗ B0 ∗
b
I ∗ a2 ∗ B0
Fr = −
b
(248)
De totale kracht op de lus is dan gelijk aan de som van de kracht op het linkerdeel en het
rechterdeel. Dit is dus gelijk aan:
F = Fl + Fr
I ∗ a2 ∗ B0
F =−
b
(249)
82
Hoofdstuk 28 - bronnen van magnetisch
veld
Oefening 32
Vraag
A coaxial cable consists of a solid inner conductor of radius R1 , surrounded by a concentric
cylindrical tube of inner radius R2 and outer radius R3 . The current density j varies linearly
with distance from the center: j1 = C1 ∗ R for the inner conductor and j2 = C2 ∗ R for
the outer conductor. Each conductor carries the same total curren I0 in opposite directions.
Determine the magnetic field in terms of I0 in the four regions of space.
Oplossing
r < R1
Het magnetisch veld binnen de binnenste geleider wordt veroorzaakt door enkel het omsloten
deel van die geleider (wet van Ampère). De verhouding van de ingesloten lading tot I0 is gelijk
aan:
Rr
C1 ∗ r ∗ 2 ∗ π ∗ r ∗ dr
Iencl
= R R0 1
I0
C1 ∗ r ∗ 2 ∗ π ∗ r ∗ dr
0
(250)
Iencl
r3
= 3
I0
R1
83
Dit invullen in de wet van Ampère geeft:
I
~ · d~l = µ0 ∗ Iencl
B
µ0 ∗ I0 ∗ r3
R13
µ0 ∗ I0 ∗ r2
B=
2 ∗ π ∗ R13
B∗2∗π∗r =
(251)
R1 < r < R2
Tussen de twee cilinders is de ingesloten stroom constant. Volgens de wet van Ampère is het
magnetisch veld dan gelijk aan:
I
~ · d~l = µ0 ∗ Iencl
B
B ∗ 2 ∗ π ∗ r = µ0 ∗ I0
µ0 ∗ I0
B=
2∗π∗r
(252)
R2 < r < R3
Het magnetisch veld in de buitenste cilinder is gelijk aan de som van de twee bijdragen.
Aangezien de stromen in tegengestelde richtingen lopen, moeten deze twee van elkaar afgetrokken
worden. Het veld door de binnenste geleider is gelijk aan:
µ0 ∗ I0
(253)
B1 =
2∗π∗r
Om het veld door de buitenste geleider te berekenen, moeten we de verhouding van de ingesloten lading tot de totale lading weten. Dit is gelijk aan:
Rr
C2 ∗ r ∗ 2 ∗ π ∗ r ∗ dr
Iencl
= R RR23
I0
C2 ∗ r ∗ 2 ∗ π ∗ r ∗ dr
R2
(254)
3
Iencl
r − R23
= 3
I0
R3 − R23
Het magnetisch veld door deze geleider is dan gelijk aan:
I
~ 2 · d~l = µ0 ∗ Iencl
B
r3 − R23
∗ I0
R33 − R23
µ0 ∗ I0 ∗ (r3 − R23 )
B2 =
2 ∗ π ∗ r ∗ (R33 − R23 )
B2 ∗ 2 ∗ π ∗ r = µ0 ∗
(255)
Het totale magnetisch veld in de buitenste cilinder is dan gelijk aan:
B = B1 − B2
µ0 ∗ I0
µ0 ∗ I0 ∗ (r3 − R23 )
B=
−
2 ∗ π ∗ r 2 ∗ π ∗ r ∗ (R33 − R23 )
µ0 ∗ I0
r3 − R23
B=
∗ 1− 3
2∗π∗r
R3 − R23
(256)
84
r < R3
Aangezien beide geleiders gelijke en tegengestelde stromen dragen, is de totale ingesloten
stroom gelijk aan nul. Het magnetisch veld buiten de geleiders is dan ook nul.
Oefening 43
Vraag
A wire is bent into the shape of a regular polygon with n sides whose vertices are a distance
R from the center. (See figure, which shows the special case of n = 6.) If the wire carries
a current I0 , determine the magnetic field at the center; if n is allowed to become very large
(n → ∞), show that the formula reduces to that for a circular loop.
Oplossing
Het magnetisch veld in het centrum van de veelhoek is gelijk aan de vectoriële som van de
velden veroorzaakt door elke zijde apart. Aangezien deze velden allemaal dezelfde richting en
zin hebben (loodrecht op de veelhoek en naar achter), kunnen we ze ook algebraı̈sch optellen.
Stel θ de helft van de binnenhoek van een driehoek. Het verband tussen het aantal zijden n
en de hoek θ0 is dan:
2 ∗ π = n ∗ 2 ∗ θ0
π
θ0 =
n
Als we de wet van Biot-Savart op één zijde van de veelhoek toepassen, dan geldt:
Z b
µ0 ∗ I
dl
Bz =
∗
∗ sin(φ)
2
4∗π
a r
(257)
(258)
met a en b twee opeenvolgende hoekpunten van de veelhoek en φ de complementaire hoek
van θ. Het totale magnetische veld is dan gelijk aan B = n ∗ Bz .
Als we dl uitdrukken in functie van θ, wordt dat:
l = R0 ∗ tan(θ)
R0
dl =
∗ dθ
cos2 (θ)
(259)
85
met R0 de loodrecht afstand tot een zijde. Dit invullen in (258) geeft:
B
B
B
B
B
Z b
µ0 ∗ I
dl
=n∗
∗
∗ sin(φ)
2
4∗π
a r
Z b
R0
cos(θ)
µ0 ∗ I ∗ n
∗
∗ dθ ∗
=
2
4∗π
r2
a cos (θ)
Z θ0
cos(θ)
µ0 ∗ I ∗ n
∗
dθ
=
4∗π
R0
−θ0
µ0 ∗ I ∗ n
=
∗ (sin(θ))θθ00
4 ∗ π ∗ R0
µ0 ∗ I ∗ n
=
∗ sin(θ0 )
2 ∗ π ∗ R0
(260)
De loodrechte afstand R0 is gelijk aan:
R0 =
l
2 ∗ tan(θ0 )
(261)
met l de lengte van één zijde.
sin(θ0 ) is gelijk aan:
sin(θ0 ) =
l
2∗R
(262)
Dit invullen in (260) wordt:
µ0 ∗ I ∗ n
∗ sin(θ0 )
2 ∗ π ∗ R0
µ0 ∗ I ∗ n
B=
∗ tan(θ0 )
2∗π∗R
π µ0 ∗ I ∗ n
∗ tan
B=
2∗π∗R
n
B=
In de limiet voor n gaande naar oneindig wordt dat:
π lim n ∗ tan
=π
n→∞
n
(263)
(264)
Dit invullen in (263) geeft de formule voor het magnetisch veld in het midden van een circulaire
stroom:
π µ0 ∗ I ∗ n
B = lim
∗ tan
n→∞ 2 ∗ π ∗ R
n
(265)
µ0 ∗ I
B=
2∗R
86
Hoofdstuk 29 - elektromagnetische
inductie en wet van Faraday
Oefening 39
Vraag
√
Show that the rms output of an ac generator is Vrms = N ABω/ 2 where ω = 2πf .
Oplossing
De rms spanning is gelijk aan:
r
Vrms =
2
Vmax
2
(266)
De uitgangsspanning van een ac-generator is gegeven door:
V = V0 ∗ sin(ω ∗ t)
V = N ∗ B ∗ A ∗ ω ∗ sin(ω ∗ t)
met V0 = N ∗ B ∗ A ∗ ω gelijk aan de piekspanning Vmax . Dit wordt dus:
r
2
Vmax
Vrms =
2
N ∗B∗A∗ω
√
Vrms =
e
(267)
(268)
Oefening 55
Vraag
The betatron, a device used to accelerate electrons to high energy consists of a circular
vacuum tube placed in a magnetic field, into which electrons are injected. The electromagnet
produces a field that (1) keeps the electrons in their circular orbit inside the tube, and (2)
increases the speed of the electrons when B changes. Explain how the electrons accelerated.
In what direction are the electrons moving in the figure (give directions as if looking down
from above)? Should B increase or decrease to accelerate the electrons? The magnetic field
87
is actually 60 Hz ac, show that the electrons can be accelerated only during 41 of a cycle
1
s). (During this time they make hundreds of thousands of revolutions and acquire very
( 240
high energy.)
Oplossing
Door het veranderend magnetisch veld, wordt er een stroom geı̈nduceerd in de buis (wet van
Faraday), om deze verandering tegen te gaan. Als er al een stroom aanwezig is, wordt die dus
versterkt. Dit wil dus zeggen dat de elektronen in de buis versneld worden, zodat de stroom
groter wordt.
Om de bewegingszin van de elektronen te bepalen kunnen we de rechterhandregel gebruiken
(omkeren voor negatieve ladingen). Als het magnetisch veld naar onder staat en de kracht
naar binnen, zou dat voor een positieve lading (de gewone rechterhandregel) een baan in
tegenwijzerzin opleveren. De elektronen bewegen dus in een baan in wijzerzin.
Om de elektronen dan nog verder te versnellen moet er dus een radiale kracht zijn in dezelfde zin
als de baan van de elektronen. Dit wil dus zeggen dat er een stroom geı̈nduceerd moet worden
in de tegengestelde zin (conventionele stroomzin). Als we het magnetisch veld versterken,
moet er, volgens de wet van Faraday, een stroom geı̈nduceerd worden die een tegengesteld
magnetisch veld (dus naar boven) opwekt. Dit wil dus zeggen: een (conventionele )stroom in
tegenwijzerzin. De elektronen worden dus in wijzerzin verder versneld.
Aangezien het magnetisch veld alternerend is, voelen de elektronen de helft van de tijd een
versnellende kracht in de ene richting, en de helft van de tijd in de andere richting. Als we dus
de versnelling in één richting bekijken, is dit de helft van de tijd een remmende kracht (als de
elektronen nog de ene kant op cirkelen) en de helft van de tijd een versnellende kracht (als de
elektronen de andere kant op cirkelen). Enkel dit laatste kwart van de hele periode kunnen we
dus gebruiken om de elektronen te versnellen in de gewenste richting.
Oefening 75
Vraag
Apply Faraday’s law to show that the static electric field between the plates of a parallel-plate
capacitor cannot drop abruptly to zero at the edges, but must, in facte, fringe. Use that path
shown dashed.
88
Oplossing
Aangezien het elektrisch veld statisch is, is er geen magneitsch veld en dus ook geen magnetisch
flux. De wet van Faraday wordt dan:
I
~ · d~l = 0
E
(269)
Deze kringintegraal kunnen we opsplitsen in 3 delen: de onderkant, de bovenkant en de
zijkanten. Voor de onderkant geldt, aangezien het elektrisch veld overal evenwijdig is aan d~l,
dat dit deel van de integraal positief is. Als het elektrisch veld aan de rand niet zou uitwaaieren
en meteen naar nul zou vallen, zou voor de zijkanten gelden:
~ ⊥ d~l ⇒ E
~ · d~l = 0
E
(270)
En aangezien er aan de bovenkant geen elektrisch veld meer is, geldt hier:
~ =0⇒E
~ · d~l = 0
E
(271)
Maar aangezien de som van alle delen gelijk moet zijn aan nul, en aangezien voor de onderkant
deze integraal al positief is, kan niet gelden dat zowel voor de zijkanten als de bovenkant deze
integraal gelijk is aan nul. De veronderstelling dat het veld niet zou uitwaaieren aan de rand
is dus verkeerd.
89
Hoofdstuk 31 - wetten van Maxwell en
elektromagnetische golven
Oefening 7
Vraag
Suppose that a circular parallel-plate capacitor has radius R0 = 3.0 cm and plate separation
d = 5.0 mm. A sinusoidal potential difference V = V0 sin(2πf t) is applied across the plates,
where V0 = 150 V and f = 60 Hz. In the region between the plates, show that the magnetic
field is given by B+B0 (R)cos(2πf t), where R is the radial distance from the capacitor’s central
axis. Determine the expression for the amplitude B0 (R) of this time-dependent (sinusoidal)
field when R ≤ R0 , and when R > R0 , Plot B0 (R) in tesla for the range 0 ≤ R ≤ 10 cm.
Oplossing
Aangezien het het veranderend elektrisch veld tussen de platen van de condensator een magnetisch veld opwekt dat hier loodrecht op staa, kunnen we door de symmetrie ervan uitgaan
dat de veldlijnen van het magnetisch veld concentrische cirkels zijn. Als we voor de vierde wet
van Maxwell een pad nemen dat een cirkel beschrijft met straal r, dan geeft dat voor r ≤ R0 :
I
~ · d~l = µ0 ∗ 0 ∗ dΦE
B
dt
dE
dt
µ0 ∗ 0 ∗ r 1 dV
B=
9 ∗
2
d dt
1
B = ∗ µ0 ∗ 0 ∗ V0 ∗ π ∗ f ∗ r ∗ cos(2 ∗ π ∗ f ∗ t)
d
B ∗ 2 ∗ π ∗ r = µ0 ∗ 0 ∗ π ∗ r2 ∗
(272)
De amplitude B0 is dus afhankelijk van r en gegeven door:
1
∗ µ0 ∗ 0 ∗ V0 ∗ π ∗ f ∗ r
d
B0 (r) = 6.3 ∗ 10−11 ∗ r T /m
B0 (r) =
(273)
Voor r > R0 is het elektrisch veld gelijk aan nul. De elektrische flux door een cirkeloppervlak
met straal r is dan gelijk aan de flux door een oppervlak met straal R0 . Het magnetisch veld
90
is dan gelijk aan:
I
~ · d~l = µ0 ∗ 0 ∗ dΦE
B
dt
dE
dt
µ0 ∗ 0 ∗ R02 1 dV
∗ ∗
B=
2∗r
d dt
2
µ0 ∗ 0 ∗ R0
∗ V0 ∗ π ∗ f ∗ cos(2 ∗ π ∗ f ∗ t)
B=
r∗d
B ∗ 2 ∗ π ∗ r = µ0 ∗ 0 ∗ π ∗ R02 ∗
(274)
Ook hier is de amplitude B0 afhankelijk van de afstand r tot de as en gegeven door:
µ0 ∗ 0 ∗ R02
∗ V0 ∗ π ∗ f
r∗d
1
B0 (r) = 5.7 ∗ 10−11 ∗ T m
r
B0 (r) =
(275)
Als we de amplitude plotten in functie van de afstand r, geeft dat de volgende grafiek:
Oefening 33
Vraag
The Arecibo radio telescope in Puerto Rico can detect a radio wave with an intensity as low as
1 ∗ 10−23 W/m2 . As best-case scenario for communication with extraterrestrials, consider the
following: suppose and advanced civilization located at point A, a distance x away from Earth,
is somehow able to harness the entire power output of a Sun-like star, converting that power
completely into a radio-wave signal which is transmitted uniformly in all directions from A. In
order for Arecibo to detect this radio signal, what is the maximum value for x in light-years
(1 ly = 1016 m)? How does this maximum value compare with the 100.000 − ly size of
our Milky Way galaxy? The intensity of sunlight at Earth’s orbital distance from the Sun is
1350 W/m2 .
Oplossing
Aangezien de elektromagnetische golf in drie dimensies wordt uitgestuurd, en de intensiteit
omgekeer evenredig is met de oppervlakte, is dit omgekeerd evenredig met de afstand tot in het
91
kwadraat (A = 4πr2 ). Op 1 AE (astronomische eenheid = afstand aarde-zon = 1.5 ∗ 1011 m)
is de intensiteit gelijk aan 1350 W/m2 . Op a keer deze afstand is de intensiteit gelijk aan:
S=
1350
W/m2
2
a
(276)
Als we in (276) de minimaal waarneembare intensiteit invullen, geeft dat:
Smin = 10−23 W/m2
1350
W/m2 = 10−23 W/m2
a2
r
1350
a=
10−23
a = 1.2 ∗ 1013
(277)
Het punt A is dus 1.2 ∗ 1013 keer zover van de aarde als de zon. Deze afstand is gelijk aan:
x = a AE
x = 1.2 ∗ 1013 ∗ 1.5 ∗ 1011 m
x = 1.8 ∗ 1024 m
x = 1.8 ∗ 108 ly
(278)
In verhouding tot de grootte van het melkwegstelsel is dit:
x
= 1800
100000 ly
(279)
92