Examen: logica en formele systemen

Examen: logica en formele systemen
11/01/2017, PROFESSOR OLGA DE TROYER
Vraag 1: propositielogica deel 1
a) Leg het principe uit van de geldige gevolgtrekking en natuurlijke deductie.
b) Geef het verband tussen deze principes (zijn ze volledig, gedeeltelijk of helemaal niet
gelijkwaardig). Geef de bijhorende stelling en de naam van deze stelling.
Vraag 2: propositielogica deel 2
Gegeven:
Φ, 𝛼, 𝛽 ⊨ Ψ
Φ ⊨ 𝛼, 𝛽, Ψ
Bewijs: Φ, 𝛼 ↔ 𝛽, ⊨ Ψ
Hint: gebruik de adequaat stelling
Vraag 3: predicaatlogica deel 1
a) Geef de rol van een structuur, een interpretatiefunctie, een model en een bedeling. Geef ook
de definitie en een voorbeeld.
b) Geef de definitie van een waardering van een formule en eventuele hulpdefinities.
c) Wat is het effect van verschillende bedelingen op een waarheidswaarde van een formule.
Geef de bijhorende bewering. Welk effect hebben de bedelingen als de formule een zin is en
waarom.
Vraag 4: predicaatlogica deel 2
Bewijs: als M een model is, b een bedeling, t en t’ termen, x een variabele dan geldt:
𝑉𝑀,𝑏 ([𝑡⁄𝑥 ]𝑡 ′ ) = 𝑉𝑀,𝑏 (𝑡 ′ ) met 𝑏 ′ = 𝑏[𝑥 ↦ 𝑉𝑀,𝑏 (𝑡)]
En geef ook de intuïtieve betekenis van deze formule
Vraag 5: lambda-calculus
a) Welk doel hadden de oprichters van de lambda-expressie, waarom is de lambda-expressie
nog steeds zeer belangrijk voor de vakgroep informatica.
b) Geef de definitie van een lambda-expressie en de intuïtive betekenis
c) Wat is de rol van de 𝛽-gelijkheid?
d) Hoe worden de natuurlijke getallen voorgesteld in de lambda-calculus? Geef de definitie van
de Church-getallen. Waarom is het nodig dat de natuurlijke getallen gedefinieerd worden in
lambda)calculus?
e) Geed de definite van lambda-definieerbaar. Waarvoor dient lambda-definieerbaar? Geef een
voorbeeld.
Oefening 1: propositielogica
a) Gegeven:
P
0
0
1
1
q
0
1
0
1
p↛ 𝑞
0
0
1
0
Stel de linker en rechter regel op voor de semantische tableau.
b) Ga adhv een semantisch tableau na of volgende verzameling
{(¬𝑞 → 𝑟) ∧ (¬𝑝 → 𝑠), ¬𝑣, 𝑡 → ¬(𝑟 ∨ 𝑠), 𝑡}semantisch consistent is.
c) Gebruik het antwoord uit b en geef het aantal modellen en het model en hun disjuncte
normaalvorm. Als er geen modellen zijn, geef dan 3 waarderingen en hun disjuncte
normaalvormen.
Oefening 2: predicaatlogica
a) Bewijs adhv natuurlijke deductie:
 ⊢ ∀𝑥(¬𝑃(𝑥) ∨ 𝑄(𝑥)) → (∀𝑦𝑃(𝑦) → ∀𝑧𝑄(𝑧))
 {∃𝑥∃𝑦(𝑃(𝑥) ∧ 𝑄(𝑦))} ⊢ ∃x∃y¬(¬P(x) ∨ ¬Q(x))
 {∀𝑥(𝑃(𝑥) → 𝑄(𝑥)), ∀𝑥(𝑄(𝑥) → 𝑅(𝑥))} ⊢ ∃xP(x) → ∃R(x)
b) 𝑡 = 𝑓(𝑥, 𝑎, 𝑧), voer de substitutie [𝑡⁄𝑧]𝜑 uit en 𝜑 = ∀𝑦(𝐴(𝑦) ∧ ∃𝑥𝐵(𝑥, 𝑧)) → ∀𝑧𝑐(𝑧)
Oefening 3: lambda-calculus
a) Bereken ((and)false)true, geef alle tussenstappen want de uitkomst is triviaal
𝑡𝑟𝑢𝑒 ≡ 𝜆𝑡. 𝜆𝑓. 𝑡 en 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑒 ≡ 𝜆𝑡. 𝜆𝑓. 𝑓 en 𝑖𝑓 ≡ 𝜆𝑐. 𝜆𝑑. 𝜆𝑒. ((𝑐)𝑑)𝑒 en
𝑎𝑛𝑑 ≡ 𝜆𝑎. 𝜆𝑏. (((𝑖𝑓)𝑎)𝑏)
b) Is 𝜆𝑥. (𝜆𝑦. (𝑥)𝜆𝑥. (𝑥)𝑦)𝜆𝑥. (𝑦)𝑥 een combinator? Bewijs dit niet formeel, geef enkel
waarom wel of niet.