PowerPoint-presentatie

“Mevrouw, doe niet zo moeilijk!”
Differentiaalvergelijkingen introduceren bij leerlingen
Gert Treurniet
Christelijk Gymnasium Sorghvliet
Docent wiskunde
Deze workshop
• Kennismaking
• Natuurkundig experiment
• Wiskundig maken
• Wiskundig oplossen op verschillende manieren
• Terug naar het experiment
• Reflectie
Kennismaking
•
•
•
•
•
•
•
Naam
School
Bovenbouw - onderbouw
Soorten wiskunde
Ervaring met onderwijzen van dvs?
Wat wil je leren van deze sessie?
Groepsindeling regelen
Het experiment
•
•
•
•
•
Metaal
Verwarmen
Afkoelen
Wat valt op?
Wiskundig model van afkoelen?
Proberen…
dT
 k (T  To )
dt
•
•
•
•
•
Welk soort oplossingen?
Vereenvoudigen?
Variabelen vervangen?
Oplossingen proberen?
?
Vereenvoudigen en
oplossingen
proberen
dT
 k (T  To )
dt
dT
 To
dt
dT
t
dt
dT
T
dt
dT
 k T
dt
Nog een manier om
te proberen?
dy
 x y
dx
Nog een manier om
te proberen?
dy
2
 y
dx
dy
x

dx
y
Teken bij elke dv het richtingsveld als volgt:
• Neem voor elke dv een apart rooster.
• Kies punten, bereken en teken de hellingen.
• Maak schetsen van de oplossingen.
Vraag hulp eerst in je groepje, daarna aan mij.
Tijd: ca. 10 minuten
Als je alle schetsen hebt: Vergelijk en geef de oplossing.
Controleer de oplossing door in te vullen.
Als jullie klaar zijn:
Vraag nog een blad en bedenk zelf dvs.
dy 1 2
 x
dx 3
dy
 x y
dx
Numeriek: Lineariseren
df ( x)
f ( x0  x)  f ( x0 )  x 
dx | x  x0
Numeriek: Lineariseren
dy
  y2
dx
benaderen met linearisering:
df ( x)
f ( x0  x)  f ( x0 )  x 
dx | x  x0
• Stel de oplossing gaat door (0,1).
• Stap 1: In dit punt geldt:
dy
  y 2  1
dx | x 0, y 1
x
y(x)
y’(x)
y(x+Δx)
0
1
-1
0,9
0,1
0,9
-0,81
• Stap 2:
Met de rekenmachine:
Ga Δx=0,1 naar rechts in deze richting en
• 1 <enter>
bereken door linearisering f ( x  x) .
• Ans-0,1*Ans2 <enter>
f ( x  x)  f (0  0,1)  1  0,1  1  0,9
• <enter>, <enter>, …
• Stap 3: Dus nu in het punt ( 0,1 ; 0,9)
dy
• Ga door tot x=1
 x y
• Ga naar stap 1.
dx
De exacte waarde
bij x=1
dy
2
De waarde van de oplossing van
  y die door (0,1) gaat, is bij x=1:
dx
1
2
dy
De waarde van de oplossing van  x  y die door (0,1) gaat, is bij x=1:
dx
2e  2
Richtingsveld met ICT
Benadering met ICT
Euler
En nu exact!
dy 1 2
 x
dx 3
dy
2
 y
dx
dy
x

dx
y
Eenvoudige methoden
• Primitiveren
• Scheiden van variabelen en primitiveren
Het koelen
dT
 k (T  To )
dt
T ?
‘Ingewikkelde’ methode:
Integratiefactor
dy
 x y
dx
Enkele andere differentiaalvergelijkingen
Discussie
Wiskundig modelleren
•
•
•
•
Werkelijkheid/concept
Mathematiseren -> wiskundig model
Oplossen -> oplossing
Interpreteren -> verschil met werkelijkheid
herhaal…
Aanpak voor
wiskundige
vragen
• Begrijp ik het?
• Probeer een concreet geval.
• Vereenvoudig de vraag.
• Waar lijkt de vraag op?
• Gebruik ICT
Na beantwoording:
• Wat als ik veranderingen in de vraag aanbreng?
• Wat heb ik geleerd?
• Zijn er andere oplossingen?
Volledige instructie
•
•
•
•
•
•
Wat moet je doen?
Hoe moet je dat aanpakken?
Hulp, bij wie en waar?
Tijd, hoeveel krijg je?
Uitkomst, wat doen we ermee?
Klaar, wat ga je doen?
Didactiek
•
•
•
•
Context
“Slow Math”
Differentiëren (gelijktijdige meerdere problemen aanbieden)
Cliffhanger
Meenemen
Schoolspullen experiment
Sensor
Werkbladen en uitwerkingen op papier.
Uitwerkpapier