Complexe getallen Les 2 Het complexe vlak
advertisement
Complexe getallen Les 2 Het complexe vlak (Deze les sluit aan bij paragraaf 2 tot blz 13 van Inleiding Complexe getallen van de Wageningse Methode) Van complex getal naar het complexe vlak Het complexe getal π§ = π + ππ kun je weergeven met het punt π, π in een coördinatenstelsel. π π π + ππ = π heet het reële deel van z. πΌπ π + ππ = π heet het imaginaire deel van z. Van complex getal naar het complexe vlak Maak opgave 1 op bladzijde 8 Van complex getal naar het complexe vlak Optellen van complexe getallen: π + ππ + π + ππ = π + π + π + π π komt overeen met: Optellen van vectoren. ο· c + di a + c + (b + d)i Van complex getal naar het complexe vlak De absolute waarde π§ = π2 + π2 komt overeen met De afstand van z tot O. |π§| Van complex getal naar het complexe vlak arg(z), het argument van z komt overeen met De hoek οͺ met de positieve x-as. (οͺ in radialen, −π < π ≤ π ) π π tan π = π , οͺ = inv tan (π) οͺ=arg(z) Van complex getal naar het complexe vlak Maak opgaven 3 en 4 van bladzijde 9 en 10. Poolcoördinaten P Rechthoekige coördinaten: P = (a,b) Poolcoördinaten: P = (r,π) waarbij: • r is de afstand van P tot O • π is de hoek met de positieve x-as. r P Poolcoördinaten Van rechthoekige- naar pool-coördinaten: P π Als P = (a,b) dan is π = π2 + π2 en π = inv tan(π) r π Van pool- naar rechthoekige-coördinaten: Als P = (r,π) dan is π = πο ο cos π en π = πο ο sin π Poolcoördinaten en het complexe vlak z z = a + bi r z kun je ook schrijven als π π§ = πο ο(cos π + ποsin π) Waarbij: π§ = |π| en π = arg(π§) Poolcoördinaten en het complexe vlak z Voorbeelden r • 1 + π = 2(cos π 4 + π β sin • ο1ο π = 2(οcos ο • 1 2 1 3+ 2 π = cos π 6 3π 4 π 4 + π β sin ο + π β sin π 6 π ) 3π 4 ) Figuren in het complexe vlak Opgave 5 b Teken de punten z met • |z| = 1 3 • arg π§ = 4 π Figuren in het complexe vlak Opgave 5 b Teken de punten z met • |z| = 1 Uitwerking • Alle punten z met afstand 1 tot O ο de eenheidscirkel. Figuren in het complexe vlak Opgave 5 b Teken de punten z met 3 • arg π§ = π 4 Uitwerking 3 • Alle punten z op de halflijn door O die een hoek 4 π met de positieve x-as maakt Figuren in het complexe vlak Opgave 5 c en d 1 Teken de punten z met arg π§ = 2 πο|π§| Figuren in het complexe vlak Opgave 5 c en d 1 Teken de punten z met arg π§ = 2 πο|π§| Uitwerking Probeer een aantal voorbeelden. 1 π§ = 1 ο arg π§ = 2 πο π§ = i π§ = 2 ο arg π§ = πο π§ = −2 3 π§ = 3 ο arg π§ = 2 πο π§ = −3i π§ = 4 ο arg π§ = 2πο π§ = 4 De punten liggen op een spiraal. Figuren in het complexe vlak Opgave 5 c en d 1 Teken de punten z met arg π§ = 2 πο|π§| Uitwerking Probeer een aantal voorbeelden. 1 π§ = 1 ο arg π§ = 2 πο π§ = i π§ = 2 ο arg π§ = πο π§ = −2 3 π§ = 3 ο arg π§ = 2 πο π§ = −3i π§ = 4 ο arg π§ = 2πο π§ = 4 De punten liggen op een spiraal. Vermenigvuldigen π + ππ ο π + ππ = (ποπ − ποπ) + (ποπ + ποπ)π En met poolcoördinaten: ποcos ο‘ + ποπο sin ο‘ ο π ο cos ο’ + π οποsin ο’ = = ποπ οcos ο‘ο cos ο’ + ποπ οπο cos ο‘ ο sin ο’ + ποπ οποsin ο‘ο cos ο’ + ποπ οποπο sin ο‘ ο sin ο’ = ποπ ο(cos ο‘ο cos ο’ − sin ο‘ ο sin ο’) + ποπ οπο(cos ο‘ ο sin ο’ + sin ο‘ο cos ο’) Vermenigvuldigen π + ππ ο π + ππ = (ποπ − ποπ) + (ποπ + ποπ)π En met poolcoördinaten: ποcos ο‘ + ποπο sin ο‘ ο π ο cos ο’ + π οποsin ο’ = = ποπ οcos ο‘ο cos ο’ + ποπ οπο cos ο‘ ο sin ο’ + ποπ οποsin ο‘ο cos ο’ + ποπ οποπο sin ο‘ ο sin ο’ = ποπ ο(cos ο‘ο cos ο’ − sin ο‘ ο sin ο’) + ποπ οπο(cos ο‘ ο sin ο’ + sin ο‘ο cos ο’) Volgens de somformules uit de gonio geldt: (cos ο‘ο cos ο’ − sin ο‘ ο sin ο’) = cos (ο‘ + ο’) en: (cos ο‘ο sin ο’ + sin ο‘ ο cos ο’) = sin (ο‘ + ο’) Vermenigvuldigen Dus: ποcos ο‘ + ποπο sin ο‘ οi ο π ο cos ο’ + π οποsin ο’ = = ποπ ο(cos(ο‘ + ο’)ο + ποsin(ο‘ + ο’)) Vermenigvuldigen Dus: ποcos ο‘ + πο sin ο‘ οi ο π ο cos ο’ + π οsin ο’ οi = = ποπ ο(cos(ο‘ + ο’)ο + sin(ο‘ + ο’) οi) Stel π£ = πο(cos ο‘ + ποsin ο‘) en π€ = π ο(cos ο’ + iοsin ο’) Dan is π£οπ€ = ποπ = π ο π = π£|ο|π€ en arg(π£οπ€) = πΌ + π½ = arg π£ + arg π€ op een veelvoud van 2ο° na. Vermenigvuldigen Voorbeeld π£ = 1 + π en π€ = 1 − π ο π£ = 1 + 1 = 2 en π€ = 1 + 1 = 2 π π ο arg π£ = 4 en arg π€ = − 4 π£οπ€ = 2 (zie vorig voorbeeld) ο π£οπ€ = 2 = π£|ο|π€ ο arg π£οπ€ = arg 2 = 0 = arg π£ + arg(π€) Oefenen Maken: De opgaven van paragraaf 2 tot en met opgave 7. Huiswerk Inleveren: van paragraaf 2, opgave 8.
