Xs4all

Kwadratische vergelijkingen
Opgave 3
y = –2x2 + 7
a x = 8 geeft
y = –2 · 82 + 7 = –2 · 64 + 7 = –128 + 7 = –121
b x = –1 geeft
y = –2 · (–1)2 + 7 = –2 · 1 + 7 = –2 + 7 = 5
c
x
–3 –2
0
3
5
y
–11
–1
7
–11 –43
2
y = –2 · (–3)
+·7(–2)
y = –2
y =2 +
–27· y02=+–2
7 · 3y2=+–2
7 · 52 + 7
3.1
opgave 7
a a = 10 geeft W = –5 · 102 + 300 · 10 = 2500 euro.
b W = –5a2 + 300a
a = –5 en b = 300
300
atop = – 2 · –5 = 30
atop = 30 geeft
Wtop = –5 · 302 + 300 · 30 = 4500
De top is het punt (30, 4500).
c Jeroen moet per maand 30 grasmaaiers verkopen om maximale winst
te hebben.
De maximale winst is 4500 euro.
3.2
Functie en formule
De functie f(x) = x2 – 7 is een voorbeeld van een kwadratische
functie.
Bij het origineel x = 3 hoort het beeld
f(3) = 32 – 7 = 9 – 7 = 2
Het beeld van 3 heet ook de functiewaarde van 3.
Notaties voor een functie
haakjesnotatie
f(x) = x2 – 7
formule
y = x2 – 7
3.3
Dal- en bergparabool
Een kwadratische formule heeft de vorm
y = ax2 + bx + c met a ≠ 0.
Is a een positief getal, dan krijg je een dalparabool.
Is a een negatief getal, dan krijg je een bergparabool.
Elke parabool is symmetrisch.
De symmetrieas van een parabool is de verticale lijn door de top.
Werkschema: zo ontbind je in factoren
• Breng de gemeenschappelijke factor buiten haakjes
x2 + 5x = x(x + 5)
6x2 + x = x(6x + 1)
–3x2 + 12x = –3x(x – 4)
• De product-som-methode
Bij x2 – 5x + 6 zoek je twee getallen
met product 6 en som –5.
Gebruik de tabel van 6.
Je ziet dat je –2 en –3 moet hebben,
dus x2 – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3).
Bij x2 + x – 2 zoek je twee getallen
met product –2 en som 1.
Dat zijn –1 en 2, dus
x2 + x – 2 = (x – 1)(x + 2)
3.4
Werkschema: zo los je een kwadratische vergelijking op
1
2
3
Maak het rechterlid nul.
Ontbind het linkerlid in factoren.
Gebruik: uit A · B = 0 volgt A = 0 v B = 0.
a
x2 = 4x – 4
x2 – 4x + 4 = 0
(x – 2)(x – 2) = 0
x–2=0
x=2
(x + 2)(x – 3) = 0
x–3=0vx+2=0
x = 3 v x = –2
n2 – 7n – 18 = 0
(n – 9)(n + 2) = 0
n–9=0vn+2=0
n = 9 v n = –2
b
c
3.4
opgave 47
a opp border = opp I + opp II + opp III
= 12x + x2 + 4x
= x2 + 16x
b x2 + 16x = 57
c x2 + 16x – 57 = 0
(x – 3)(x + 19) = 0
x – 3 = 0 ∨ x + 19 = 0
x = 3 ∨ x = –19
x = –19 kan niet
d De border is 3 meter breed.
3.5
Het berekenen van xtop en ytop
Van de top van de grafiek van y = ax2 + bx + c
is xtop = –
b
2a
Je krijgt ytop door xtop in de formule in te vullen.
Bij de grafiek van y = –x2 – 2x – 3 krijg je
xtop = –
b =–
–2 = –1 en
2a
2 · –1
ytop = –(–1)2 – 2 · –1 – 3 = –1 + 2 – 3 = –2.
De top is het punt (–1, –2).
3.2
De grafiek van een kwadratische functie
Een kwadratische functie f heeft de vorm
f(x) = ax2 + bx + c met a ≠ 0.
Grafiek van f(x) = ax2 + bx + c
• dalparabool als a > 0
• bergparabool als a < 0
• van de top is xtop = –
b
2a
en y top = f(xtop)
3.3
Snijpunten met de coördinaatassen
Snijpunt met de x-as
De y-coördinaat is 0.
De x-coördinaat volgt uit f(x) = 0.
Dus los op f(x) = 0.
Snijpunt met de y-as
De x-coördinaat is 0.
De y-coördinaat is f(0).
Dus bereken f(0).
f(0) = 0 + 0 = 0
dus het snijpunt met de y-as is (0, 0).
f(x) = 0 geeft
x2 + 5x = 0
x(x + 5) = 0
x=0 ∨ x+5=0
x = 0 ∨ x = –5
Dus de snijpunten met de x-as zijn (0, 0) en (–5, 0).
3.5