(warmtebronnen), zoals op de bijgevoegde figuur. Als

1. Op een vierkantig substraat bevinden zich 4 IC’s (warmtebronnen), zoals op de bijgevoegde figuur.
Als een van de warmtebronnen een vermogen van 1W dissipeert als warmte (en de andere geen
vermogen dissiperen), is de temperatuur van deze warmtebron 50 °C, van de twee warmtebronnen
ernaast 30 °C, en van de warmtebron er schuin tegenover 20 °C (deze temperaturen duiden het
verschil met de omgevingstemperatuur aan).
a. Wat zijn de temperaturen van de IC’s als die linksboven 2 W en die rechtsboven 1 W
dissipeert?
b. Stel dat we het substraat verticaal in twee gelijke delen “knippen” (er blijven dus twee IC’s
over). Wat is dan de temperatuur van het onderste substraat als het bovenste 1 W
dissipeert?
2. Beschouw bijgevoegde figuur (die zowel voor- als zijaanzicht voorstelt): het ondervlak van een kubus
uit een materiaal met thermische geleidingscoëfficiënt k is een warmtebron die een vermogen (per
oppervlakte-eenheid) p dissipeert. Alle vlakken, buiten het bovenvlak, zijn geïsoleerd. Het
bovenvlak wordt convectief gekoeld (convectiecoëfficiënt h ). Wat is de temperatuur (ten opzichte
van de omgeving), in functie van de plaats in de kubus?
3. Beschouw een zeer goede thermische geleider ( k   ) in de vorm van een cilinder met lengte L
en straal a1 . Rond deze geleider zit een cilindrische mantel met dezelfde lengte en straal a 2 ,
bestaande uit een materiaal met thermische geleidingscoëfficiënt k . De kern is eveneens een (nietoneindig goede) elektrische geleider, waarover een dc-spanning V staat en waardoor een dcstroom I loopt. De mantel wordt langs de buitenkant convectief gekoeld (convectie-coëfficiënt h ).
De warmteafvoer langs de twee platte zijvlakken is te verwaarlozen. Wat is de temperatuur (ten
opzichte van de omgeving), in functie van de plaats in de kern en in de mantel?
4. Een warmtebron in de vorm van een bol met straal a dissipeert een vermogen P . De bol bevindt
zich in een (oneindig uitgestrekt) materiaal met thermische geleidingscoëfficiënt k . Wat is de
temperatuur (ten opzichte van oneindig), in functie van de plaats in het materiaal?
5. Beschouw bijgevoegde figuur (boven- en zijaanzicht): een schijfvormige warmtebron (straal a )
bevindt zich op het grensvlak van een half-oneindig uitgestrekt materiaal met thermische
geleidingscoëfficiënt k , en dissipeert een vermogen p per oppervlakte eenheid. De warmte wordt
volledig afgevoerd in het materiaal (de bovenkant is geïsoleerd). Wat is de temperatuur (ten
opzichte van de omgeving), in het midden van de schijf?
6. Een lijnvormige warmtebron, die een vermogen p per lengte-eenheid dissipeert, bevindt zich in
een materiaal met thermische geleidingscoëfficiënt k , en loopt parallel met een vlak dat op
temperatuur T0 wordt gehouden. De afstand tussen de lijn en het vlak is a . Wat is de temperatuur
(ten opzichte van de omgeving), in functie van de plaats in het materiaal?
7. Een lijnvormige warmtebron, die een vermogen p per lengte-eenheid dissipeert, bevindt zich in
een materiaal met thermische geleidingscoëfficiënt k , en loopt parallel met aan de ene kant een
vlak dat op omgevingstemperatuur wordt gehouden, en aan de andere kant een vlak dat isolerend
is. De afstand tussen de lijn en beide vlakken is a . Wat is de temperatuur (ten opzichte van de
omgeving), in functie van de plaats in het materiaal? Je mag het resultaat uitderukken als een
oneindige som.
8. Beschouw bijgevoegde figuur (boven- en zijaanzicht): een vierkantige warmtebron (zijde a ) bevindt
zich op het grensvlak van een half-oneindig uitgestrekt materiaal met thermische
geleidingscoëfficiënt k , en dissipeert een vermogen p per oppervlakte eenheid. De warmte wordt
volledig afgevoerd in het materiaal (de bovenkant is geïsoleerd). Wat is de temperatuur (ten
opzichte van de omgeving), in de hoekpunten van het vierkant?
9. Een plaat met dikte d , breedte b (die je oneindig mag veronderstellen), en lengte a , met d b
en d
a , bestaat uit een materiaal met thermische geleidingscoëfficiënt k . De twee grote
zijvlakken worden convectief gekoeld (convectie-coëfficiënt h ). Op een van de dunne zijvlakken
dissipeert een warmtebron een vermogen P , het dunne zijvlak daartegenover wordt op
omgevingstemperatuur gehouden. Wat is de temperatuur (ten opzichte van de omgeving), in
functie van de plaats in het materiaal?
10. Een plaat met dikte d , breedte b (die je oneindig mag veronderstellen), en lengte a , met d b
en d
a , bestaat uit een materiaal met thermische geleidingscoëfficiënt k . De twee grote
zijvlakken worden convectief gekoeld (convectie-coëfficiënt h ). Op een van de dunne zijvlakken
dissipeert een warmtebron een vermogen P , het dunne zijvlak daartegenover is geïsoleerd. Wat is
de temperatuur (ten opzichte van de omgeving), in functie van de plaats in het materiaal?
11. Op de kruising van 3 platen (zie onderstaande figuur, met d b en d
a ), bevindt zich een
warmtebron die een vermogen P (in Watt) dissipeert. De platen zijn gemaakt uit een materiaal met
thermische geleidingscoëfficiënt k , en worden langs alle brede zijvlakken convectief gekoeld
(convectie-coëfficiënt h ). De warmte-afvoer langs de smalle zijvlakken is te verwaarlozen. Bereken
de temperatuur in functie van de positie in de lange plaat.
12. Een plaat met breedte b (die je oneindig mag veronderstellen) en lengte a heeft een dikte d x
die varieert langs de lengte van de plaat, maar waarvoor overal geldt d  x 
b en d  x 
a . De
plaat bestaat uit een materiaal met thermische geleidingscoëfficiënt k . De twee grote zijvlakken
worden convectief gekoeld (convectie-coëfficiënt h ). Wat is de differentiaalvergelijking die de
temperatuur in de plaat beschrijft?
13. Een plaat bestaat uit een materiaal met thermische geleidingscoëfficiënt k . De twee grote
zijvlakken worden convectief gekoeld (convectie-coëfficiënt h ). De plaat heeft breedte b (die je
oneindig mag veronderstellen) en een plaatsafhankelijke dikte d x
L0
kd0 2h , waarvoor geldt d0
hebben de vorm T
Bepaal .
x
b en d0
2
d 0 x L0 , met
L0 . De temperatuurvariaties in de plaat
(dit is de algemene oplossing van de relevante differentiaalvergelijking).
14. Een cilinder bestaat uit een materiaal met thermische geleidingscoëfficiënt k , heeft lengte L en
straal R L , en wordt convectief gekoeld. Wat is de differentiaalvergelijking die de temperatuur
in de cilinder beschrijft?
15. Twee (oneindig lange) rechthoekige platen (die zich gedragen als Lambertiaanse stralers) met
breedte b wisselen enkel warmte uit door straling. De platen raken elkaar aan één kant en maken
een hoek ten opzichte van elkaar. Wat is de geometriefactor tussen de platen?
16. Drie (oneindig lange) rechthoekige platen (die zich gedragen als Lambertiaanse stralers) met
breedtes b1 , b2 en b3 wisselen enkel warmte uit door straling. De platen raken elkaar zodanig dat
de doorsnede een driehoek is. Wat zijn de geometriefactoren tussen de platen?
17. Twee (oneindig lange) rechthoekige platen (die zich gedragen als Lambertiaanse stralers) wisselen
enkel warmte uit door straling. De structuur wordt beschreven in bijgevoegde figuur, die oneindig
uitgestrekt is in de richting loodrecht op het vlak van de figuur: zowel de breedte van de platen, als
de loodrechte afstand tussen de platen, is gelijk aan a . Wat is de geometriefactor voor
warmtestraling van oppervlak 1 naar oppervlak 2 (waarbij als oppervlak slechts één kant van de
platen bedoeld wordt, de andere kant wordt perfect geïsoleerd verondersteld)? Stel: oppervlak 1 is
een warmtebron, waardoor er een klein temperatuursverschil T1 is tussen de plaat en de
omgeving (die zich op kamertemperatuur bevindt). Wat is dan het temperatuursverschil T2 tussen
oppervlak 2 en de omgeving?
18. Twee (NIET oneindig lange) evenwijdige rechthoekige platen (die zich gedragen als Lambertiaanse
stralers) met zijdes a en b , en onderlinge afstand d , wisselen enkel warmte uit door straling. De
platen bevinden zich recht tegenover elkaar. Schrijf de geometriefactor op als een integraal (die je
niet hoeft uit te rekenen).
19. Twee loodrechte rechthoekige platen (die zich gedragen als Lambertiaanse stralers) met zijdes a en
b , wisselen enkel warmte uit door straling. Schrijf de geometriefactor op als een integraal (die je
niet hoeft uit te rekenen).
20. Bewijs, voor de geometrie van onderstaande figuur, dat S1 F14
S2 F23 (waarbij S voor de
respectievelijke oppervlaktes staat en F voor de geometriefactoren).
21. Bewijs, voor de geometrie van onderstaande figuur, dat S1 F14 S2 F23 (waarbij S voor de
respectievelijke oppervlaktes staat en F voor de geometriefactoren).
22. Bereken de geometriefactor tussen de vlakken 1 en 2 in bijgevoegde figuur (je kan alle relevante
afmetingen zelf een naam geven). Je mag er hierbij van uitgaan dat je de geometriefactor uit
oefening 18 kent, voor alle a , b en d .
23. Bereken de geometriefactor tussen de vlakken 1 en 2 in bijgevoegde figuur (je kan alle relevante
afmetingen zelf een naam geven). Je mag er hierbij van uitgaan dat je de geometriefactor uit
oefening 19 kent, voor alle a en b .
24. Tussen twee oneindige vlakken met onderlinge afstand a stroomt een vloeistof met dichtheid  ,
viscositeit  , warmtegeleidingscoëfficiënt k en specifieke warmte CV . In het midden tussen de
platen wordt de snelheid van de vloeistof op v0 gehouden. Bereken de vloeistofsnelheid overal in
de buis. Welk drukverschil (per lengte-eenheid) is nodig om deze snelheid te onderhouden?
25. Aan de rand van een half-oneindige ruimte bestaande uit een materiaal met
warmtegeleidingscoëfficiënt k en specifieke warmte CV , wordt op t 0 een warmtebron
aangeschakeld die een vermogen P dissipeert. Bereken de temperatuur in functie van de plaats en
de tijd.
26. Beschouw bijgevoegde figuur (die zowel voor- als zijaanzicht voorstelt): het ondervlak van een kubus
uit een materiaal met thermische geleidingscoëfficiënt k en specifieke warmte CV , is een
warmtebron die een vermogen (per oppervlakte-eenheid) p dissipeert, en op t 0 plots
afgeschakeld wordt. Alle vlakken, buiten het bovenvlak, zijn geïsoleerd. Het bovenvlak wordt
convectief gekoeld (convectiecoëfficiënt h ). Wat is de temperatuur (ten opzichte van de omgeving),
in functie van de plaats en de tijd in de kubus?
27. Een plaat met zeer kleine dikte d , oneindige breedte en half-oneindige ( x 0 ) lengte, bestaat uit
een materiaal met thermische geleidingscoëfficiënt k en specifieke warmte CV . De twee grote
zijvlakken worden convectief gekoeld (convectie-coëfficiënt h ). Op een van de dunne zijvlakken
dissipeert een warmtebron een vermogen per oppervlakte-eenheid, dat 0 is voor t 0 en dan
lineair toeneemt tot het op t t0 gelijk wordt aan p0 , waarna het constant blijft. Wat is de
temperatuur (ten opzichte van de omgeving), in functie van de tijd en de plaats in het materiaal?
28. Een schakeling bestaat uit een weerstand R1 die temperatuurafhankelijk is in serie met een
weerstand R2 die constant blijft. De weerstand R1 is te verwaarlozen ten opzicht van R2 , zodat je
de dissipatie in R1 mag verwaarlozen. Aan de serieschakeling ligt een constante spanning V . De
thermische weerstand tussen beide weerstanden is Rth . Los het netwerk op.
29. Twee temperatuurafhankelijke weerstanden R1 en R2
2R1 staan in serie, zodanig dat (bij de
referentietemperatuur) de spanning over R1 een derde is van de totale spanning over de
serieschakeling. Weerstand R1 staat aan een uiteinde van een plaat met dikte d en breedte b , en
weerstand R2 staat er op een afstand a van, met d
b en d
a . De plaat loopt nog verder
door na de tweede weerstand. De plaat bestaat uit een materiaal met thermische
geleidingscoëfficiënt k . De twee grote zijvlakken worden convectief gekoeld (convectie-coëfficiënt
h ). Hoe lang moet de plaat zijn om er voor te zorgen dat de spanning over R1 een derde is van de
totale spanning over de serieschakeling, voor elke temperatuur?
30. Aan de basis van een bipolaire transistor ligt een spanning V . De collectorstroom wordt gegeven
EG
qV
. Stel de vergelijkingen op voor klein signaal analyse als aan de
exp
kT
kT
collector een constante spanning VCE wordt aangelegd. De basisstroom mag verwaarloosd worden.
door I
CT 3 exp