Cryptografie-uitleg aan de hand van RSA

Cryptografie-uitleg aan de hand van RSA
Cryptografie is iets wat in onze geautomatiseerde wereld een steeds grotere
rol gaat spelen. Om deze reden leek het mij wel interessant om wat meer te
weten te komen over de werking en het gebruik van versleutelmethodes. Ik
dook dus voor jullie het internet in op zoek naar informatie over cryptografie
en de de daarbij gebruikte algoritmes. Hiervan zal ik als voorbeeld het RSA-algoritme
uitgebreid beschrijven.
Wat is cryptografie?
Cryptografie is de gedigitaliseerde vorm van wat men vroeger geheimschrift noemde. De
bedoeling van het hele gebeuren is ervoor te zorgen dat onbevoegden geen toegang
kunnen krijgen tot bepaalde informatie. Vroeger werd de professionele cryptografie
alleen nog door de overheid gebruikt voor beveiliging van zaken als topgeheime militaire
informatie, maar tegenwoordig wordt het meer en meer een algemeen goed.
Persoonsgegevens, wachtwoorden, E-Mails, internetsites, documenten, elektronische
betalingen en nog veel meer andere data wordt versleuteld. Dit is ook wel nodig,
aangezien steeds meer belangrijke gegevens tegenwoordig in computers zit opgeslagen.
De terminologie
Bij een ingewikkeld onderwerp als cryptografie horen vanzelfsprekend ook een hoop
ingewikkelde termen. Ik zal de belangrijkste hier even kort bespreken. Hierbij zal ik de
Engelse termen aanhouden, omdat die toch praktisch altijd gebruikt worden.
 Plaintext / Cleartext
Het ongecodeerde bericht. Dit is de belangrijke boodschap
die niet in verkeerde handen mag komen.
 Encryption
Met encryption wordt de codering van de plaintext bedoeld.
Via deze stap wordt ervoor gezorgd dat de boodschap alleen
via een lastige omweg weer leesbaar zal worden.
 Ciphertext
Dit is de uiteindelijke tekst, in versleutelde vorm. Bij een goed
gecodeerde tekst is de ciphertext een onbegrijpelijke
boodschap, waaruit onbevoegden praktisch onmogelijk de
plaintext kunnen halen.
 Decryption
De decryption (het decoderen) is de stap die de ontvanger
uitvoert om het originele bericht weer uit de ciphertext te
halen. Dit gebeurt via een key.
 Key
De key is zoals het woord al zegt de sleutel die je nodig hebt
om een ciphertext te decoderen. Weet je de key, dan is het
ontcijferen van de boodschap een fluitje van een cent. Zonder
sleutel is dit bij een goed gecodeerde tekst bijna niet mogelijk.
 Cryptanalysis
Dit begrip houdt het kraken van een gecodeerde tekst in. De
echte cryptanalysten bedenkten hier ingenieuze manieren
voor, zodat snel een code gekraakt kan worden.
 Cryptology
Cryptologie is een net iets minder ruim begrip dan
Cryptografie. Bij cryptologie wordt namelijk alleen de
wiskundige kant van de cryptografie bestudeerd.
Algoritmes
Om iets te versleutelen heb je altijd een algoritme nodig. Hiermee wordt de manier
bedoeld, waarop informatie veranderd (gecodeerd) wordt. Algoritmes zijn er van enorm
eenvoudig, tot zeer complex; zo kent iedereen waarschijnlijk wel het algoritme dat kleine
kinderen soms gebruiken om 'geheimschrift' te maken. Hierbij tel je bij elke letter er
eentje op, zodat een onleesbaar woord ontstaat. In 'computertaal' komt dit op het
volgende neer:
c = chr$(asc(m) + 1)
m = chr$(asc(c) - 1)
De ciphertext (c) is dus de plainplain (m) waarbij 1 letter is opgeteld. Zo wordt een a een
b (a + 1 = b), en krijg je de originele boodschap weer terug door het algoritme om te
keren: b - 1 = a. Aangezien je natuurlijk reëel gezien niet een getal bij een letter kan
optellen, wordt er met ASCII-codes gewerkt. Zet de letter om in een code, tel daar 1 bij
op en verander dan die code weer terug in een letter.
Uiteraard worden er bij professionele cryptografie wel wat ingewikkeldere algoritmes
gebruikt. De belangrijkste algoritmes zijn onder te verdelen in twee categorieën: "Public
Key Cryptosystems" en "Secret Key Cryptosystems".
Public Key Cryptosystems (Asymmetrische Cryptosystemen)
Deze vorm van cryptografie is al in de jaren 70 uitgevonden. Hierbij wordt gebruik
gemaakt van een publieke sleutel voor het coderen en een geheime sleutel voor het
decoderen. Een voorbeeld van Public Key Cryptosystems is de RSA-beveiliging. Een
uitleg over de werking hiervan vind je behoorlijk uitgebreid vanaf bladzijde 4. Er wordt
gebruik gemaakt van wiskundige zaken zoals priemgetallen, logaritmes en
vermenigvuldigingen. De precieze werking verschilt uiteraard per beveiliging.
Symmetrische Cryptosystemen
Bij deze vorm van cryptografie is er maar één sleutel: de geheime key. Deze sleutel
wordt gebruikt voor het coderen en ook voor het decoderen (of in ieder geval is de
decodeer-sleutel eenvoudig af te leiden van de codeer-sleutel). Het grote nadeel hiervan
is dus dat de sleutel van de zender aan de ontvanger moet worden doorgegeven. Hierbij
kan onderschepping van de communicatie voorkomen, waardoor de beveiliging steeds
minder gebruikt wordt. De 'kindercryptografie' waar ik het eerder over had behoort tot
deze categorie.
RSA
Om een goed beeld te krijgen van hoe een algoritme nu precies werkt, ging ik op zoek
naar een gedetailleerde beschrijving van eentje. Ik koos hierbij voor een asymmetrische,
aangezien deze het ingewikkeldste en daardoor ook het interessantste zijn.
De keuze is gevallen op de RSA-beveiliging. Hiervan vond ik de volgende informatie:
RSA is a public-key cryptosystem for both encryption and authentication; it was
invented in 1977 by Ron Rivest, Adi Shamir, and Leonard Adleman. It works as
follows: take two large primes, p and q, and find their product n=pq; n is called the
modulus. Choose a number, e, less than n and relatively prime to (p-1)(q-1), which
means that e and (p-1)(q-1) have no common factors except 1. Find another
number d such that (ed - 1) is divisible by (p-1)(q-1). The values e and d are called
the public and private exponents, respectively. The public key is the pair (n,e); the
private key is (n,d). The factors p and q maybe kept with the private key, or
destroyed.
RSA privacy encryption: Suppose Alice wants to send a message m to Bob. Alice
creates
the
ciphertext
c
by
exponentiating:
c=me
mod
n,
where e and n are Bob’s public key. She sends c to Bob. To decrypt, Bob also
exponentiates:
m=cd
mod
n;
the
relationship
between
e
and d ensures that Bob correctly recovers m. Since only Bob knows d, only Bob
can decrypt.
Aangezien dit behoorlijk ingewikkeld lijkt heb ik zelf een iets duidelijkere beschrijving
gemaakt. Overigens werkt het in het echt zelfs nog iets ingewikkelder, maar dit is te
lastig om duidelijk uit te leggen. Hierom zal ik mij beperken tot de voor velen
waarschijnlijk toch al behoorlijk lastige basis.
Om te beginnen is het belangrijk te snappen hoe de basisprincipes in elkaar zitten. De
ontvanger van de boodschap heeft een tweetal sleutels (in dit geval e en n) die public
zijn, wat wil zeggen dat iedereen deze codes mag weten. Deze keys worden door de
zender gebruikt om het bericht te coderen. Verder heeft de ontvanger ook nog een
private key (in dit geval d), waarmee de via de public keys versleutelde boodschap weer
te ontcijferen is.
RSA gedetailleerd
Voordat er berichten versleuteld kunnen worden, moeten er eerst een aantal getallen bij
een aantal letters gezocht worden. Dit gaat volgens het volgende stappenplan:

Neem twee grote priemgetallen (p en q) die niet aan elkaar gelijk zijn.
Priemgetallen zijn getallen die alleen maar deelbaar zijn door 1 en zichzelf.

Bereken n aan de hand van n = p * q.

Bereken a via a = (p-1) * (q-1)

Zoek een getal voor e, kleiner dan n en relatief priem aan a. Hiermee wordt
bedoeld dat e en a geen gemeenschappelijke deler hebben behalve 1.

Kies voor d een getal, zodat e * d - 1 deelbaar is door a.
De benodigde letters hebben nu een waarde gekregen, waarna het echte werk kan
beginnen. Hiervoor zijn alleen n, d en e nog nodig. Je kan p, q en a dus in principe
weggooien.
Het versturen van een bericht
Degene die het bericht wil ontvangen, maakt zijn hierboven aangemaakte waardes n en
e openbaar (public). Aan de hand van deze getallen zullen berichten door andere
mensen versleuteld kunnen worden, maar voor het decoderen zal de d-waarde
noodzakelijk zijn. Aangezien deze waarde niet nodig is voor het coderen, zal deze niet
via communicatie van de ene naar de andere persoon gebracht hoeven worden. Dit is
dus een stuk veiliger dan een cryptografie-manier waarbij dezelfde sleutel wordt gebruikt
voor coderen en decoderen; dan heb je altijd de kans dat iemand de communicatie
onderschept en hierdoor de originele boodschap kan achterhalen.
Bij de RSA-beveiliging is er dus geen sprake van het bovenstaande risico. Immers, de
ontvanger hoeft alleen zijn public keys n en e, samen met het te gebruiken algoritme aan
de zender door te geven. Met deze gegevens is het praktisch onmogelijk om het bericht
te decoderen, zelfs voor de zender.
Het codeerproces
Als de benodigde waardes eenmaal verkregen zijn, is het coderen niet zo ingewikkeld
meer. Via de formule c=me mod n wordt de ciphertext gemaakt. Hierbij is m de plaintext,
en c de ciphertext. De meesten zullen echter niet weten wat mod inhoudt. Kort gezegd
wordt hierbij het rest-getal van een deling berekend. Dus 11 mod 4 = 3, aangezien 4
twee keer in 11 past en er dan nog 3 overblijft. In een formule ziet het mod-commando er
dus als volgt uit: a mod b = a - b * int(a / b). Het voordeel van het gebruik van de modoperator is dat deze berekening niet omkeerbaar is. 11 mod 4 is namelijk 3, maar 15
mod 4 ook. De formule is dus niet zomaar om te draaien.
Het decodeerproces
Bij het decodeerproces wordt vanuit de ciphertext de plaintext weer achterhaald. Dit
gebeurt op soortgelijke manier als het coderen, waarbij alleen de formule iets veranderd
wordt: m=cd mod n.
Zelf klooien
Lijkt het je leuk om zelf eens iets te versleutelen op bovenstaande wijze, maar wil je
andere waardes gebruiken en kan je die niet berekenen? Geen nood! Via een door mij
gemaakt programmaatje zijn alle waardes eenvoudig te verkrijgen. Aangezien ik slechts
kan programmeren in Qbasic en Visual Basic moest ik uit deze twee talen kiezen. Het
feit in acht genomen dat niet iedereen de Visual Basic 6 Runtime Files heeft, leek het me
het beste om toch maar het oude vertrouwde DOS te gebruiken. Voor een aantal
wiskundige berekeningen programmeert en bedient dat ook nog steeds het makkelijkste.
Sta overigens niet raar te kijken als de e-waarde oploopt onder het berekenen. In dat
geval was er geen d-waarde te vinden bij de laagst mogelijke e en wordt dit getal
aangepast om de berekeningen toch goed te laten verlopen. Afsluiten kan op elk
moment met Ctrl-Break.
RSA getallenvoorbeeld
Om de formules iets meer vorm te laten krijgen zal ik met een getallenvoorbeeld laten
zien hoe de beveiliging precies in elkaar steekt. Hierbij zal ik kleine waardes nemen,
aangezien dat wat makkelijker rekent. In het echt worden hier uiteraard enorm grote
getallen voor gebruikt.

p(priemgetal) = 13

q(priemgetal) = 17

n = p * q = 13 * 17 = 221

a = (p-1) * (q-1) = 12 * 16 = 192

e = 137 (kleiner dan n en geen gelijke deler met a)

d = 185 (e*d-1 is nu deelbaar door a)
Uiteraard kunnen ook andere getallen gebruikt worden, maar voor het voorbeeld zijn
deze goed genoeg. Stel nu dat je een boodschap ("Tweakers.net") van iemand wil
ontvangen. Je stuurt hem of haar dan de publieke sleutels (e en n), waarna de zender
aan de slag kan.
Eerst zal de boodschap in getallen omgezet moeten worden, voordat er berekeningen
mee gedaan kunnen worden. Hiervoor zal ik de ASCII-codes gebruiken. De boodschap
'Tweakers.net' wordt dan 84 , 119 , 101 , 97 , 107 , 101 , 114 , 115 , 46 , 110 , 101 , 116
(opgesplitst in code per letter).
Nu moeten alle getallen versleuteld worden, via de formule c = me mod n. Bij de eerste
letter volgt hieruit de volgende c-waarde:
c = 84137 mod 221 = 67
Dit is gewoon te berekenen via het programma calc.exe dat bij Windows geleverd wordt.
Zo bereken je voor elke ASCII-code de c-waarde, waarna de boodschap verstuurd kan
worden.
De ontvangen zal dan eenvoudig het oorspronkelijke bericht kunnen achterhalen:
m = 67185 mod 221 = 84
Via een ASCII-tabel kan dan de bijbehorende letter (in dit geval de hoofdletter T) gezocht
worden. Voer bovenstaande berekeningen uit voor elke letter, en klaar is Kees.
Verificatie
Een onderwerp wat ook erg samenhangt met encryptie is de zogenaamde
'authentication'. Hierbij wordt het bericht niet versleuteld, maar wordt ervoor gezorgd dat
de ontvanger er zeker van kan zijn dat de zender ook echter is wie hij zegt dat hij is.
Ik zal het verificatie-proces kort proberen uit te leggen aan de hand van de RSAalgoritme dat al eerder is uitgelegd. Bij het versturen van een boodschap met een
digitale handtekening wordt echter het gebruik van de privé- en publieke sleutel
omgedraaid. Bij het coderen werd door de zender de publieke sleutel van de ontvanger
gebruikt, bij verifiëren maakt de zender gebruik van zijn eigen privé-sleutel. Aan de hand
hiervan wordt via de formule s = md mod n een 'digital signature' geproduceerd, dat
samen met de boodschap (gewoon in plaintext) verstuurd wordt.
Aangezien de ontvanger de publieke sleutels e en n weet, kan gecontroleerd worden of
de handtekening inderdaad van de verwachte persoon afkomstig is.
Het enige wat de ontvanger hoeft te doen is kijken of via m = se mod n de oorspronkelijke
boodschap (die ook is meegestuurd) weer tevoorschijn komt. In dat geval is het zeker
dat degene waarvan hij de publieke keys heeft gekregen deze boodschap heeft
verstuurd, omdat die persoon de enige is die een digitale handtekening kan maken
waarbij via de publieke sleutels de plaintext weer terug te krijgen is.
RSA kraken
Bij RSA is het mogelijk om een gecodeerde boodschap op meerdere manieren te
kraken. De twee belangrijkste zijn:
De private key berekenen
Aangezien je via de d- en n-waardes een bericht kan decoderen en n al bekend is, zou je
alleen nog maar d hoeven te berekenen om de plaintext terug te krijgen. Je zal dus de
modulus n moeten ontbinden in de factoren p en q; de priemgetallen. Daarna kan
eenvoudig via de andere publieke sleutel e de d-waarde berekend worden.
Is dit eenmaal gelukt, kan de hacker voortaan alle berichten lezen die met dezelfde e- en
n-waarde zijn gecodeerd en zelfs valse digitale handtekeningen maken. Dit is echter
praktisch onmogelijk, aangezien het ontbinden van een enorm getal zoals bij RSA (in de
orde van grootte van 264) in priemgetallen zeer lang duurt. Deze methode is dan ook niet
bruikbaar bij RSA.
Brute-force hacking
De manier die beter van toepassing is, is brute-force hacking. Hierbij worden geen
lastige berekeningen uitgevoerd, maar probeert men eenvoudigweg zoals het woord al
zegt met brute kracht alle mogelijkheden uit.
Dit werkt zo: je neemt een random waarde voor m (de boodschap die dus ontcijferd moet
worden) en codeert deze aan de hand van de publieke sleutels (c = me mod n).
Controleer daarna of de gevonden ciphertext overeen komt met de werkelijke ciphertext.
Is dit het geval, dan was de gegokte plaintext juist.
Gezien het feit dat er ontelbaar veel mogelijkheid zijn, duurt ook de tweede kraak-manier
zeer lang. Maar, de code zal eens gevonden worden, ook al kan het zeer lang duren.
Bedankje
Paul Kruyt (dyna18), erg bedankt voor de handige links die je me opstuurde met
betrekking tot dit onderwerp.
Overigens, stay tuned voor een vervolgverhaal op dit onderwerp. Over een tijdje zal
Robin van Rootseler nog meer informatie geven in een komende feature over
cryptografie.