2. Mechanica

WAFYLISIBICA – Theorie
4
2. Mechanica
De mechanica is het onderdeel van de natuurkunde dat over het algemeen het meest herkenbaar
is in het dagelijks leven. In dit hoofdstuk wordt in beknopte vorm een overzicht gegeven van de
(klassieke) mechanica. Zo zullen verschillende typen beweging, de krachten die deze beweging
veroorzaken en vormen van energie die daarbij van toepassing zijn aan bod komen.
2.1. Beweging
Er wordt wel eens gezegd: “Panta rhei”, wat zoveel betekent als “Alles beweegt”. Als je
eens om je heen kijkt, blijkt deze stelling ook absoluut waar te zijn. Alles om je heen
verplaatst zich voortdurend. Natuurkundigen gaan bij dat om zich heen kijken echter een
stapje verder. Zij proberen te achterhalen hoe een waargenomen beweging exact
plaatsvindt en/of wat de oorzaak is van die beweging.
Om bewegingen te analyseren, zijn diverse grootheden aan de orde. Toch zijn er eigenlijk
slechts vier grootheden nodig om een beweging compleet vast te kunnen leggen: de tijd, de
plaats, de snelheid en de versnelling. De eenvoudigste van deze grootheden is de tijd
(symbool t). Deze behoort tot de zeven basisgrootheden en wordt standaard uitgedrukt in
de eenheid seconde (s).
De plaats is wat lastiger vast te leggen, afhankelijk van de gegeven situatie. Zo kan er
gekeken worden naar de positie van een voorwerp op een bepaald tijdstip. Deze positie
wordt ook echt de plaats (symbool x(t); de plaats x op tijdstip t) genoemd. Er kan echter
ook gesproken worden over de verplaatsing (s of ∆x). Dit is de afstand die een voorwerp
heeft afgelegd, gericht langs een rechte lijn. Tot slot kan er gekeken worden naar de
afgelegde weg (s), die de totaal afgelegde afstand aanduidt. Voor zowel de plaats, de
verplaatsing als de afgelegde weg geldt echter dat de eenheid de meter (m) is. In voorbeeld
2.1 wordt het verschil tussen plaats, verplaatsing en afgelegde weg verder toegelicht.
Voorbeeld 2.1
In figuur 2.1 staat een foto afgebeeld van “La
grande roue”, een groot reuzenrad. De straal van
dit reuzenrad bedraagt 20 m. Op de foto zijn twee
punten aangegeven, A en B, die exact tegenover
elkaar liggen op het rad.
De posities A en B zijn plaatsen. Door een (x,y)coördinatenstelsel vast te leggen, kunnen deze
posities eenvoudig met coördinaten worden
vastgelegd.
De getekende rechte pijl geeft een weergave van
de verplaatsing ∆x. De verplaatsing kan dus
eenvoudig berekend worden:
∆x = 2 ⋅ r
∆x = 2 ⋅ 20 = 40 m
A
s
B
Fig. 2.1: La grande roue
De afgelegde weg s bij verplaatsing van punt A naar punt B beschrijft een
cirkelboog, die in deze situatie bestaat uit een halve cirkel. Ook de afgelegde weg is
dan te berekenen:
1
⋅ 2 ⋅π ⋅ r
2
s = π ⋅ 20 = 64 m
s=
WAFYLISIBICA – Theorie
5
De snelheid (v) die een bewegend voorwerp bezit, is een maat voor het tempo waarmee de
beweging plaatsvindt. De snelheid geeft daarbij niets meer aan dan de grootte van de
verplaatsing (of afgelegde weg) per tijdseenheid (dus per seconde). Aangezien
verplaatsingen standaard in meter worden uitgedrukt, leidt dit tot de standaardeenheid
“meter per seconde” (m/s) voor snelheid. Het zal je bekend zijn dat snelheid echter veel
vaker wordt uitgedrukt in “kilometer per uur” (km/uur). Uiteraard is dit toegestaan en in
veel situaties zelfs gewenst, maar in formules waarin een snelheid vermeld staat, dient deze
altijd te worden uitgedrukt in m/s.
In de praktijk bestaan er diverse typen bewegingen. Grofweg zijn deze in te delen in drie
categorieën: bewegingen met een constante snelheid, versnelde bewegingen (bewegingen
waarbij de snelheid in de loop van de tijd toeneemt) en vertraagde bewegingen
(bewegingen waarbij de snelheid in de loop van de tijd afneemt). Om aan te geven in
welke mate een beweging versneld of vertraagd is, heeft men het begrip versnelling
geïntroduceerd. Deze grootheid geeft aan met welke waarde de snelheid toeneemt of
afneemt per seconde. In formulevorm kan de definitie van versnelling als volgt worden
weergegeven:
a=
∆v
∆t
In deze formule staat a voor de versnelling (in m/s2), ∆v voor de snelheidsverandering (in
m/s) en ∆t voor het tijdsinterval waarin de snelheidsverandering plaatsvindt (in s). Hierbij
dient te worden opgemerkt dat de snelheidsverandering ∆v altijd bepaald wordt door de
eindsnelheid te verminderen met de beginsnelheid. Dit heeft tot gevolg dat de versnelling
een positieve waarde heeft als er sprake is van een versnelde beweging en een negatieve
waarde als er sprake is van een vertraagde beweging.
2.2. Eenparige beweging
De meest eenvoudige bewegingsvorm is wel de eenparige beweging. Dit is een beweging
die plaatsvindt met een constante snelheid. Een formule voor de plaats van een voorwerp
dat een eenparige beweging uitvoert, is redelijk eenvoudig op te stellen:
x(t ) = v ⋅ t + x(0)
In deze formule is x(t) de plaats op een tijdstip t (in m), v de snelheid (in m/s), t de tijd (in
s) en x(0) de plaats van het voorwerp op tijdstip t = 0 s (de startpositie, in m). Vaak wordt
er echter voor gekozen de startpositie op 0 m te stellen. In plaats van de plaats kan dan
onmiddellijk de verplaatsing s(t) berekend worden. De formule krijgt dan de vorm:
s (t ) = v ⋅ t
x (m)
v (m/s)
In de bewegingsleer is het gebruikelijk om grafieken te tekenen waarin de, van belang
zijnde, grootheden (plaats, snelheid en later ook versnelling) staan uitgezet tegen de tijd.
30
3
Voor een eenparige beweging x (m)
v (m/s)
zien deze diagrammen eruit
20
2
zoals weergegeven in figuur 2.2
((x,t)-diagram) en 2.3 ((v,t)10
1
diagram).
0
0
0
2
4
6
8 t (s)10 t (s)
Fig. 2.2: (x,t)-diagram voor een
eenparige beweging.
0
2
4
6
8 t (s)
10 t (s)
Fig. 2.3: (v,t)-diagram voor een
eenparige beweging.
WAFYLISIBICA – Theorie
6
2.3. Omgaan met bewegingsdiagrammen
x (m)
Zoals al aangegeven in paragraaf 2.2 is het in de bewegingsleer gebruikelijk om grafieken
(diagrammen) te tekenen waarin de, van belang zijnde, grootheden (plaats, snelheid en
versnelling) staan uitgezet tegen de tijd. Uit deze diagrammen is veel informatie af te
leiden. Niet alleen door de, op de assen uitgezette, grootheden direct af te lezen, maar ook
door de betreffende grafiek nog aan een nadere inspectie te onderwerpen.
30
In figuur 2.4 staat het (x,t)-diagram voor een
B
x (m)
eenparige beweging nogmaals weergegeven. Door
20
waarden te verbinden aan de assen van de grafiek
∆x
kan worden achterhaald dat de grafiek steiler zal
10
verlopen als de snelheid groter wordt. De steilheid
A
van de grafiek is blijkbaar een maat voor de snelheid
0
van de beweging. Deze richtingscoëfficiënt kan
0
2
4
6
8 t (s)10 t (s)
berekend worden door twee punten (A en B) op de
grafiek te kiezen en de desbetreffende verplaatsing
∆t
∆x en het tijdsinterval ∆t te bepalen. De snelheid
Fig. 2.4: (x,t)-diagram voor een eenparige
beweging.
wordt dan berekend volgens de formule:
v=
∆x xB − x A
=
∆t
tB − t A
In de praktijk is het echter niet altijd mogelijk de richtingscoëfficiënt van een grafieklijn
direct te bepalen. Als de grafiek immers geen rechte lijn beschrijft, is het niet mogelijk een
richtingscoëfficiënt direct te bepalen. Om de snelheid op een tijdstip te kunnen berekenen,
zal er een raaklijn moeten worden getekend aan de grafiek op het desbetreffende tijdstip.
Een raaklijn is een rechte lijn die raakt aan een punt van de grafiek en die de richting van
de grafiek in dat punt aangeeft.
v(6,0 ) =
80
60
∆x
x (m)
Voorbeeld 2
In figuur 2.5 staat het (x,t)diagram weergegeven van een
bewegend voorwerp. Doel van
dit voorbeeld is het bepalen van
de snelheid van het bewegende
voorwerp op tijdstip t = 6,0 s.
Hiertoe dient er op het tijdstip
een
raaklijn
te
worden
getekend, zie figuur 2.5. Op de
raaklijn kunnen vervolgens
twee punten worden gekozen,
waarmee de waarde voor de
∆x
en
het
verplaatsing
tijdsinterval ∆t bepaald kunnen
worden. De snelheid kan dan
worden berekend:
40
20
0
0
2
4
6
8
10 t (s)
∆t
Fig. 2.5: (x,t)-diagram van een bewegend voorwerp.
∆x
67 − 0
=
= 9,6 m/s
∆t 10 − 3,0
Naast het bepalen van de richtingscoëfficiënt in een grafiek, is het tevens mogelijk om te
bekijken of het oppervlak onder de grafiek betekenis heeft.
WAFYLISIBICA – Theorie
7
3
v (m/s)
v (m/s)
In figuur 2.6 staat het (v,t)-diagram voor een
eenparige beweging nogmaals weergegeven. De
grafiek laat duidelijk zien dat de snelheid constant is.
Het oppervlak onder het diagram kan berekend
worden door de snelheid v te vermenigvuldigen met
het tijdsinterval ∆t. Een snelheid vermenigvuldigt
met een tijd leidt tot de verplaatsing. Uit de definitie
van snelheid kan immers worden afgeleid:
2
v
1
0
0
2
4
6
8 t (s)
10 t (s)
∆t
∆x
v=
∆t
→
∆x = v ⋅ ∆t
Fig. 2.6: (v,t)-diagram voor een
eenparige beweging.
Het oppervlak onder een (v,t)-diagram stelt dus de
verplaatsing voor.
Zowel de richtingscoëfficiënt als het oppervlak kan worden afgeleid voor zowel een (x,t)-,
een (v,t)- als een (a,t)-diagram. De resultaten hiervan staan weergegeven in tabel 2.1.
(x,t)-diagram
snelheid v
(v,t)-diagram
versnelling a
(a,t)-diagram
geen betekenis
geen betekenis
verplaatsing ∆x
snelheidsverandering
∆v
richtingscoëfficiënt
oppervlak
Tabel 2.1: Mogelijkheden met mechanica-diagrammen.
2.4. Eenparig versnelde beweging
In paragraaf 2.2. is de eenparige beweging aan bod gekomen. Dit is een beweging die
plaatsvindt met een constante snelheid. Een ander bewegingstype waar redelijk eenvoudig
aan te rekenen is, is de eenparig versnelde beweging. Dit is een beweging die plaatsvindt
met een constante versnelling. In de praktijk betekent dit dat de snelheid in de loop van de
tijd voortdurend toeneemt (versnelling is positief) of afneemt (versnelling is negatief) met
een constante waarde. Voor een eenparig versnelde beweging hebben de bewegingsdiagrammen standaard de vorm zoals weergegeven in figuur 2.7 ((s,t)-diagram), 2.8 ((v,t)diagram) en 2.9 ((a,t)-diagram). Uit bovenstaande grafieken zijn formules op te stellen
voor de eenparig versnelde beweging.
v (m/s)
10
a (m/s2)
80
8
8
60
6
6
40
4
4
20
2
2
100
s (m)
10
0
0
0
0
2
4
6
8 t (s)10
Fig. 2.7: (s,t)-diagram voor een
eenparig versnelde beweging.
0
2
4
6
8 t (s)10
Fig. 2.8: (v,t)-diagram voor een
eenparig versnelde beweging.
0
2
4
6
8 t (s)10
Fig. 2.9: (a,t)-diagram voor een
eenparig versnelde beweging.
De snelheidsfunctie voor een eenparig versnelde beweging luidt:
v(t ) = a ⋅ t + v(0)
In deze formule staat v(t) voor de snelheid op een tijdstip t (in m/s), a voor de versnelling
(in m/s2), t voor de tijd (in s) en v(0) voor de snelheid op het tijdstip t = 0 s (de
beginsnelheid, in m/s). De verplaatsingsfunctie (in de meeste gevallen wordt er bij
WAFYLISIBICA – Theorie
8
versnelde bewegingen slechts gewerkt met de verplaatsing en niet met de plaats) voor een
eenparig versnelde beweging luidt:
s (t ) =
1
⋅ a ⋅ t 2 + v(0 ) ⋅ t
2
In deze formule staat s(t) voor de verplaatsing op een tijdstip t (in m), a voor de versnelling
(in m/s2), t voor de tijd (in s) en v(0) voor de snelheid op het tijdstip t = 0 s (de
beginsnelheid, in m/s). Er moet nadrukkelijk worden opgemerkt dat, in de meeste
praktijksituaties, beide vergelijkingen nodig zijn om een probleem op te lossen, zoals ook
wordt toegelicht in voorbeeld 3.
Voorbeeld 3
In figuur 2.10 staat een gedeelte van de baan
weergegeven van de Goliath. Het treintje
wordt langs de baan aan de rechterzijde van de
foto opgehesen en stort zich vervolgens langs
een steile helling naar beneden. Op de baan
zijn twee punten (A en B) aangegeven die op
een afstand van 26 m van elkaar liggen. In
punt A staat het treintje nagenoeg stil, terwijl
het in punt B een snelheid heeft van 58
km/uur. De beweging van het treintje is
eenparig versneld.
Bereken de versnelling van het treintje op dit
gedeelte van de baan.
A
B
Fig. 2.10: Een deel van de baan van Goliath.
Bij dit soort opgaven is het zaak een goed beeld te krijgen van de gegeven situatie en
waarden die gegeven zijn. Een duidelijke weergave van de situatie staat in figuur
2.10 (maar een schematische tekening kan ook gewenst zijn). Verder is bekend:
− de verplaatsing tussen de punten A en B bedraagt 26 m: s (t ) = 26 m
− de snelheid in punt A (de beginsnelheid) bedraagt 0 m/s: v(0) = 0 m/s
− de snelheid in punt B bedraagt 58 km/uur: v(t ) = 58 km/uur = 16,1 m/s
Deze gegevens kunnen worden ingevuld in de formules voor de eenparige beweging:
1
1
⋅ a ⋅ t 2 + v(0 ) ⋅ t → 26 = ⋅ a ⋅ t 2
2
2
v(t ) = a ⋅ t + v(0) → 16,1 = a ⋅ t
s (t ) =
Er is nu een situatie ontstaan met twee vergelijkingen, waarin twee onbekenden te
herkennen zijn (de versnelling a en de tijd t). Dit probleem kan worden opgelost door
een van de vergelijkingen dusdanig om te schrijven dat hij kan worden ingevuld in
de andere vergelijking:
1
1
⋅ a ⋅t2 = ⋅ a ⋅t ⋅t
2
2
invullen
16,1 = a ⋅ t
26 =
26 =
1
⋅16,1 ⋅ t
2
→
t=
26
= 3,2 s
8,05
Dit tijdstip kan vervolgens worden ingevuld: v(3,2) = 16,1 = a ⋅ 3,2 → a = 5,0 m/s2
WAFYLISIBICA – Theorie
9
Op het moment dat een voorwerp valt en dus alleen onderhevig is aan de zwaartekracht en
er verder geen (of nauwelijks) sprake is van luchtweerstand, zal de versnelling van het
vallende voorwerp een constante waarde hebben. Het voorwerp voert derhalve een
eenparig versnelde beweging uit met een versnelling van 9,81 m/s2. Deze versnelling wordt
de valversnelling g genoemd. De vergelijkingen voor de eenparig versnelde beweging
kunnen dan geschreven worden als:
1
⋅ g ⋅ t 2 + v(0 ) ⋅ t
2
v(t ) = g ⋅ t + v(0)
y (t ) =
Daarbij moet worden opgemerkt dat de verplaatsing hier y(t) wordt genoemd omdat er
sprake is van een verticale beweging en dat de beginsnelheid v(0) gelijk is aan 0 m/s als er
sprake is van een valbeweging. Is er bijvoorbeeld sprake van een lancering (in verticale
richting) dan is er echter wel sprake van een beginsnelheid.
2.5. Horizontale worp
Wanneer een voorwerp in horizontale richting gelanceerd wordt en vervolgens uitsluitend
onderhevig is aan de zwaartekracht, is er sprake van een bijzondere bewegingsvorm die
men de horizontale worp noemt. De baan die het voorwerp doorloopt, beschrijft een halve
parabool, zoals weergegeven in figuur 2.11.
Analyse van deze twee-dimensionale
bewegingsvorm levert op dat de horizontale
component van de beweging eenparig is en
dat de verticale beweging een valbeweging
betreft. In figuur 2.11 is dit te zien doordat
de vector voor de horizontale component
van de snelheid (vx) een constante grootte
heeft, terwijl de vector voor de verticale
component van de snelheid (vy) groter
wordt in de loop van de tijd. De formules
die de horizontale worp beschrijven luiden:
s x (t ) = vx ⋅ t
1
s y (t ) = ⋅ g ⋅ t 2
2
(
)
vy t = g ⋅ t
Figuur 2.11: Een bal die in horizontale richting wordt weg geschoten
beschrijft een horizontale worp.
In deze formules staat sx(t) voor de verplaatsing in horizontale richting (in m), sy(t) voor de
verplaatsing in verticale richting (in m), vx voor de horizontale component van de snelheid
(in m/s), vy voor de verticale component van de snelheid (in m/s), g voor de valversnelling
(= 9,81 m/s2) en t voor de tijd (in s).
2.6. Krachten
Het begrip kracht wordt veelvuldig gebruikt in het dagelijks taalgebruik. Een kracht in de
natuurkunde is echter een nauwkeurig omschreven grootheid. Krachten zijn niet te zien.
Alleen hun gevolgen zijn waarneembaar. Een gevolg van krachtwerking kan een
vervorming van een voorwerp zijn en/of een snelheidsverandering van een voorwerp. De
definitie van kracht kan worden omschreven als de eigenschap die het ene voorwerp
WAFYLISIBICA – Theorie
10
uitoefent op een ander voorwerp. Hoewel deze definitie erg vaag is, staan er toch een
aantal interessante veronderstellingen in. Zo kan er uit geconcludeerd worden dat er voor
krachtwerking altijd twee objecten nodig zijn. Een object dat de kracht uitoefent en een
object dat de kracht ondervindt.
Kracht is een vectorgrootheid. Dat wil zeggen dat een kracht zowel een grootte als een
richting heeft, vergelijkbaar met grootheden als snelheid en versnelling. Verder bezit een
kracht drie eigenschappen die inzicht geven in een situatie. Op de eerste plaats is dit de
grootte van de kracht. Deze wordt uitgedrukt in Newton (N). Verder heeft een kracht een
richting. Tot slot heeft een kracht een aangrijpingspunt. Dit aangrijpingspunt bepaalt
voornamelijk op welk voorwerp de krachtwerking plaatsvindt.
Figuur 2.11 toont een gedeelte van de
helling waarlangs het treintje van de
Robin Hood (houten achtbaan) wordt
Fn
opgehesen. Op het treintje werken in
Fspan
deze situatie vier krachten. Allereerst
is dit de zwaartekracht Fz, die
aangrijpt in het zwaartepunt (middelpunt) van het treintje en loodrecht
naar beneden gericht is (naar het
Fw
middelpunt van de aarde). Ook de
helling oefent een kracht uit op het
treintje, anders zou het treintje door
Fz
de helling heen zakken. Deze kracht
wordt de normaalkracht Fn genoemd Figuur 2.11: Krachtwerking tijden het ophijsen van de Robin Hood.
en deze staat loodrecht op de helling
gericht. Verder is er een kabel aan het treintje bevestigd dat er voor zorgt dat het treintje
langs de helling naar boven beweegt. De kracht in de kabel wordt de spankracht Fspan
genoemd en staat langs de helling naar boven gericht. Tot slot is er sprake van een
wrijvingskracht Fw op het treintje. Een wrijvingskracht staat altijd gericht tegengesteld aan
de bewegingsrichting en is hier dus langs de helling naar beneden gericht.
In de situatie van figuur 2.11 zijn vier verschillende krachten aan bod geweest. In de
praktijk bestaan er echter nog meer krachten. Een aantal daarvan staan met hun
bijzonderheden weergegeven in tabel 2.2.
Kracht
Zwaartekracht
Symbool
Fz
Bijzonderheden
De zwaartekracht is de kracht die de aarde uitoefent op
ieder voorwerp dat zich op aarde bevindt. De
zwaartekracht grijpt aan in het zwaartepunt van een
voorwerp en is altijd loodrecht naar beneden gericht
(naar het middelpunt van de aarde). De zwaartekracht
kan berekend worden met de formule:
Fz = m ⋅ g
Normaalkracht
Fn
In deze formule staat Fz voor de zwaartekracht (in N), m
voor de massa (in kg) en g voor de valversnelling (=
9,81 m/s2).
De normaalkracht is een kracht die op een voorwerp
werkt wanneer er sprake is van een ondersteunend
oppervlak. De normaalkracht is altijd gericht loodrecht
op dit ondersteunende oppervlak.
WAFYLISIBICA – Theorie
11
Spierkracht
Fspier
Spankracht
Fspan
Veerkracht
Fv
De spierkracht is de kracht die uitgeoefend wordt door
mens of dier. De spierkracht is altijd gericht in de
richting waarin het voorwerp dat de kracht ondervindt,
beweegt of kan gaan bewegen.
De spankracht is de kracht die werkt in touwen, koorden
of kabels. De spankracht is gericht in het verlengde van
het betreffende koord.
De veerkracht is sterk vergelijkbaar met de spankracht.
In situaties waarin veerkrachten van toepassing zijn, is er
echter geen sprake van koorden maar van veren.
Belangrijk verschil hierbij is ook dat de veerkracht
toeneemt als de veer een grotere uitrekking vertoont. Dit
verschijnsel wordt weergegeven door de wet van Hooke:
Fv = C ⋅ u
Wrijvingskracht
Fw
In deze formule staat Fv voor de veerkracht (in N), C
voor de veerconstante (dit is een maat voor de stugheid
van de veer, in N/m) en u voor de uitrekking (in m).
De wrijvingskracht is een kracht die een beweging
tegenwerkt. De wrijvingskracht is dan ook altijd gericht
tegengesteld aan de bewegingsrichting of mogelijke
bewegingsrichting van een voorwerp. Er bestaan drie
vormen van wrijving:
− schuifwrijving, voor situaties waarin twee oppervlakken over elkaar heen schuiven,
− rolwrijving, voor situaties waarin wielen van aan de
orde zijn,
− luchtweerstand, voor situaties waarin een voorwerp
zich door de lucht beweegt (in de praktijk dus
nagenoeg iedere situatie).
Onderscheid in de drie vormen van wrijving is in de
meeste situaties niet noodzakelijk. Daarom wordt er
meestal over slechts één wrijvingskracht gesproken.
Tabel 2.2: Soorten krachten.
In de meeste praktijksituaties, waarin krachten van toepassing zijn, werken meerdere
krachten op één voorwerp. Hierdoor is het van belang om van deze krachten de
resulterende kracht Fr te bepalen. Deze resulterende kracht, ook wel de somkracht
genoemd, geeft de optelling van de werkende krachten weer, zowel wat betreft grootte als
wat betreft richting. In voorbeeld 4 wordt een optelling van twee krachten weergegeven,
gebruik makend van de zogenaamde parallellogrammethode.
Voorbeeld 4
In figuur 2.12 is een punt P weergegeven
waarop twee krachten werken, F1 en F2. De
som van deze twee krachten kan verkregen
worden door lijnen te tekenen vanuit de kop
van de krachten F1 en F2 die evenwijdig
lopen aan beide krachten. Het snijpunt
bepaalt de kop van de resulterende kracht.
Fr
F1
P
F2
Figuur 2.12: De parallellogrammethode toegepast.
WAFYLISIBICA – Theorie
12
Het grote nadeel van de parallellogrammethode, zoals besproken in voorbeeld 4, is het
gegeven dat het in deze methode altijd om een benadering gaat. Er moeten krachten
getekend worden en de lengte van de krachtvectoren moet worden opgemeten en
gekoppeld aan een krachtenschaal. De nauwkeurigheid is bij deze methode niet altijd
voldoende. Daarom is het in de meeste situaties wenselijk om op een meer rekenkundige
wijze te werk te gaan. In paragraaf 2.7 wordt hierop nader ingegaan.
Het is echter zaak om bij een rekenkundige analyse van krachtwerking er voor te zorgen
dat alle krachten in gelijke of tegengestelde richtingen wijzen. Krachten die in dezelfde
richting werken, kunnen immers bij elkaar worden opgeteld en krachten die in een
tegengestelde richting werken, kunnen van elkaar worden afgetrokken. Om dit te
bewerkstelligen, dienen krachten ontbonden te worden.
y
Voor het ontbinden van een kracht dient er een assenF
Fy
stelsel te worden gedefinieerd. In figuur 2.13 is de x-as
horizontaal en de y-as verticaal gepositioneerd. In de
praktijk is dit echter niet nodig. Er bestaan situaties
waarin het handiger is de assen schuin te plaatsen. De
x- en de y-as dienen onderling echter wel loodrecht op
Fx
α
elkaar te staan. Op de assen ontstaan nu de x- en de yx
componenten van de kracht F. Bij nadere bestudering
Figuur 2.13: Het ontbinden van een kracht.
blijkt dat de optelling van de krachten Fx en Fy weer tot
de oorspronkelijke kracht F leidt.
Zoals in figuur 2.13 te zien is, is de hoek tussen de kracht F en de x-as aangegeven. Aan de
hand van deze hoek kan de grootte van de x-component van de kracht Fx berekend worden:
cos α =
Fx
F
→
Fx = F ⋅ cos α
Op een zelfde manier kan ook de y-component van de kracht Fy berekend worden:
sin α =
Fx
F
→
Fx = F ⋅ sin α
Hierbij moet wel worden opgemerkt dat bovenstaande formules geen standaardformules
zijn. Ze gelden slechts in de situatie, zoals weergegeven in figuur 2.13. Mocht er een
andere hoek gegeven zijn, ontstaan er andere formules. De regels voor sinus en cosinus (en
eventueel tangens) zullen dus in iedere situatie apart bekeken moeten worden.
2.7 Krachtenevenwicht
In paragraaf 2.6. zijn een aantal eigenschappen van krachten aan bod gekomen. In deze
paragraaf wordt voornamelijk gekeken naar voorwerpen die stilstaan of die bewegen met
een constante snelheid. In figuur 2.11 stond een gedeelte van de helling weergegeven
waarlangs het treintje van de Robin Hood wordt opgehesen. In de figuur is te zien dat er op
het treintje vier krachten werken: de zwaartekracht Fz, de normaalkracht Fn, de spankracht
Fspan en de wrijvingskracht Fw. Als er van wordt uitgegaan dat het treintje met een
constante snelheid de helling op wordt gehesen, dan zal de resulterende kracht op het
treintje 0 N bedragen. Voor je gevoel is dit waarschijnlijk moeilijk te bevatten, maar toch
is het zo. Later als de eerste wet van Newton besproken wordt, wordt hier op terug
gekomen.
Eenvoudiger te begrijpen is een situatie waarin een voorwerp stilstaat. Alle krachten die op
dat moment op het voorwerp werken, heffen elkaar op. De resulterende kracht zal hier dus
gelijk zijn aan 0 N. In formulevorm kan dit worden weergegeven door:
WAFYLISIBICA – Theorie
13
r
Fr = 0 N
Wellicht de eenvoudigste situatie waarbij krachtenevenwicht optreedt, is bij een boek dat
op tafel ligt. Op het boek zal de zwaartekracht werken en een normaalkracht die door de
tafel op het boek wordt uitgeoefend. Deze twee krachten zijn even groot en tegengesteld
gericht. Een lastiger situatie ontstaat als krachten niet in elkaars verlengde op een voorwerp
werken. In voorbeeld 5 wordt deze situatie besproken.
Voorbeeld 5
Op een punt P werken drie krachten. Twee van
deze krachten, F1 en F2, zijn getekend in
figuur 2.14. De grootte van kracht F1 bedraagt
60 N en de grootte van kracht F2 bedraagt 35
N. De richtingen van beide krachten zijn
aangegeven in figuur 2.14.
Bereken de grootte en de richting van de
kracht F3 die het geheel in evenwicht houdt.
In figuur 2.14 zijn de krachten F1 en F2
ontbonden in hun x- en y-componenten. De
grootte van deze componenten kan berekend
worden:
y
F1 = 60 N
F1,y
F2,x
P
40°
F1,x
15°
F2 = 35 N
F2,y
F1, x = F1 ⋅ cos(40°)
F1, x = 60 ⋅ cos(40°) = 46,0 N
Figuur 2.14: Krachtenevenwicht.
F1, y = F1 ⋅ sin (40°)
F1, y = 60 ⋅ sin (40°) = 38,6 N
F2, x = F2 ⋅ sin (15°)
F2, x = 35 ⋅ sin (15°) = 9,1 N
F2, y = F2 ⋅ cos(15°)
F2, y = 35 ⋅ cos(15°) = 33,8 N
Gegeven is dat punt P in rust is. De resulterende kracht op P is dus gelijk aan 0 N:
r
Fr = 0 N
In de praktijk betekent dit dat zowel de in de x- als in de y-richting de resulterende
kracht gelijk is aan 0 N. Er wordt nu vanuit gegaan dat de kracht F3 gericht is naar
rechtsboven in figuur 2.14. Kracht F3 heeft dus een positieve x- en een positieve ycomponent. Opstellen van een krachtenevenwicht leidt tot:
Fr , x = 0 N
+ F1, x − F2, x + F3, x = 0 N
+ 46,0 − 9,1 + F3, x = 0 N →
F3, x = −36,9 N (dus gericht naar links)
Fr , y = 0 N
+ F1, y − F2, y + F3, y = 0 N
+ 38,6 − 33,8 + F3, x = 0 N →
F3, x = −4,8 N (dus gericht naar beneden)
x
WAFYLISIBICA – Theorie
14
De aanname zei dat kracht naar rechtsboven gericht zou zijn (met een positieve x- en
y-component). Deze aanname blijkt dus onjuist te zijn. Kracht F3 is gericht naar
linksonder (met een negatieve x- en y-component).
De grootte van kracht F3 kan berekend worden met de stelling van Pythagoras:
2
2
F3 = F3, x + F3, y
2
2
2
2
F3 = (− 36,9) + (− 4,8)
→
F3 =
(− 36,9)2 + (− 4,8)2
= 37 N
De richting van kracht F3 kan het best worden aangegeven met behulp van een hoek.
Deze hoek is gedefinieerd ten opzichte van de (negatieve) x-as:
tan α =
tan α =
F3, y
F3, x
4,8
36,9
→
α = 7, 4°
2.8. Wetten van Newton
De koppeling tussen beweging en krachtwerking werd voor het
eerst geformuleerd door Isaac Newton (1642 − 1727), zie figuur
2.15. Hij formuleerde drie wetten waarmee hij achtereenvolgens
verklaringen wist te geven voor bewegingen die plaatsvinden met
een constante snelheid, bewegingen die plaatsvinden met een
constante versnelling en de krachtwisselwerking tussen gekoppelde
objecten.
De eerste wet van Newton wordt ook wel de traagheidswet
genoemd. Deze wet luidt:
Als een voorwerp stilstaat of beweegt met een constante
snelheid, dan is de, op het voorwerp werkende, resulterende
kracht gelijk aan 0 N.
Figuur 2.15: Isaac Newton
Deze wet is eigenlijk ook al aan de orde geweest in paragraaf 2.7. Daar werd immers een
situatie bekeken waarbij het voorwerp stilstond. Volgens de eerste wet van Newton blijkt
stilstaan, natuurkundig gezien (wat betreft krachtwerking), dus hetzelfde te zijn als
bewegen met een constante snelheid (eenparige beweging).
De tweede wet van Newton beschrijft situaties waarin er wel sprake is van een resulterende
kracht. Na onderzoek is gebleken dat een voorwerp waarop een constante resulterende
kracht werkt een eenparig versnelde beweging (constante versnelling) uitvoert. De tweede
wet van Newton kan worden samengevat aan de hand van de volgende formule:
r
r
Fr = m ⋅ a
In deze formule geldt dat Fr staat voor de resulterende kracht (in N), m voor de massa (in
kg) en a voor de versnelling (in m/s2). De formule geeft tevens aan dat de richting van de
resulterende kracht gelijk is aan de richting van de versnelling. In de praktijk betekent dit
dat een voorwaarts gerichte kracht een versnelling teweeg brengt, terwijl een achterwaarts
gerichte kracht een vertraging (negatieve versnelling) tot gevolg heeft.
De tweede wet van Newton wordt in pretparkattracties veelvuldig toegepast. Krachten en
de versnellingen die deze tot gevolg hebben, zijn in een attractiepark immers aan de orde
van de dag. In voorbeeld 6 wordt een veel voorkomende situatie nader beschouwd.
WAFYLISIBICA – Theorie
15
Voorbeeld 6
In figuur 2.16 staat een foto weergegeven
van een gedeelte van de baan van Goliath,
de hoogste achtbaan van Nederland. Het
gedeelte, omlijnd door een streepjeslijn, is
vergroot en schematisch weergegeven in
figuur 2.17. De lengte van het omlijnde
gedeelte van de baan bedraagt 35 m. Verder
is bekend dat de hellingshoek 60° bedraagt
en dat het treintje een massa heeft van 720
kg. In deze opgave worden wrijvingskrachten verwaarloosd.
Bereken de snelheid die het treintje bereikt
als dit met een verwaarloosbare snelheid
boven op de top van de baan beweegt.
Figuur 2.16: De Goliath, het omlijnde gedeelte staat
schematisch weergegeven in figuur 2.17.
y
x
Fn
Bij dit soort opgaven is het eerst zaak een
schematische tekening te maken van de
gegeven situatie met de werkende krachten.
In figuur 2.17 is dit gedaan.
Het eerste dat berekend kan worden is de
zwaartekracht die op het treintje werkt:
Fz = m ⋅ g
Fz = 720 ⋅ 9,81 = 7063 N
Fz,y
Fz,x
Fz
α
In figuur 2.17 is een x- en een y-richting
2.17: Schematische weergave van het treintje
aangegeven. Hierbij is er voor gekozen de Figuur
van de Goliath (blokje) dat een helling afrijdt.
x-richting langs de helling naar beneden te
kiezen.
Analyse van de figuur leidt tot een tweede plek waar hoek α optreedt, en wel tussen
de krachtvectoren Fz en Fz,y. Nu kunnen de componenten Fz,x en Fz,y van de
zwaartekracht berekend worden:
Fz , x = Fz ⋅ sin (α )
Fz , x = 7063 ⋅ sin (60°) = 6117 N
Fz , y = Fz ⋅ cos(α )
Fz , y = 7063 ⋅ cos(60°) = 3532 N
Het treintje beweegt langs de helling naar beneden. Het treintje beweegt dus in de xrichting. Het treintje beweegt echter niet in de y-richting. Volgens de eerste wet van
Newton moet de resulterende kracht in de y-richting dan gelijk zijn aan 0 N. De
grootte van de normaalkracht kan dan worden afgeleid:
Fr , y = 0 N
→
Fn = Fz , y = 3,5 ⋅103 N
Overigens is het berekenen van de normaalkracht niet van belang voor de verdere
oplossing van deze opgave. De enige kracht die in de bewegingsrichting werkt is de
x-component van de zwaartekracht Fz,x. Uit deze kracht kan de versnelling worden
berekend met behulp van de tweede wet van Newton:
Fr = m ⋅ a
WAFYLISIBICA – Theorie
16
Fz , x = m ⋅ a
6117 = 720 ⋅ a
→
a=
6117
= 8,5 m/s2
720
Deze versnelling is constant omdat zowel de x-component van de zwaartekracht Fz,x
als de massa m gedurende de afdaling niet veranderen. Er is hier dus sprake van een
eenparig versnelde beweging. De verplaatsingsfunctie voor dit bewegingstype luidt:
1
⋅ a ⋅t2
2
1
35 = ⋅ 8,5 ⋅ t 2
2
s (t ) =
→
t=
35
= 2,87 s
4,25
Met de snelheidsfunctie voor een eenparig versnelde beweging kan dan de snelheid
berekend worden:
v(t ) = a ⋅ t
v(2,87 ) = 8,5 ⋅ 2,87 = 24 m/s
Omgerekend in km/uur bedraagt deze snelheid 88 km/uur.
Naast de eerste en de tweede wet bedacht Newton nog een derde wet, de derde wet van
Newton. Deze geeft de wisselwerking weer tussen twee objecten die onderling een kracht
op elkaar uitoefenen. De derde wet van Newton luidt:
Als een voorwerp A een kracht uitoefent op een voorwerp B, dan oefent voorwerp B
ook een kracht uit op voorwerk A. Beide krachten zijn even groot, maar tegengesteld
gericht.
De krachtenkoppels die dus optreden volgens de derde wet van Newton bestaan uit twee
even grote, maar tegengesteld gerichte krachten. Vaak wordt er om deze reden gedacht dat
deze krachten elkaar op zullen heffen. Dit is echter zeker niet het geval omdat de
aangrijpingspunten van beide krachten op verschillende voorwerpen liggen.
Het beste voorbeeld van de derde wet van Newton is wellicht het krachtenkoppel van de
gewichtskracht en de normaalkracht. De gewichtskracht is de kracht die optreedt doordat
een voorwerp op een ondersteunend vlak ligt. De kracht wordt uitgeoefend door het
voorwerp en ondervonden door het ondersteunende oppervlak. Het treintje van de Goliath
uit voorbeeld 6 zal zo’n kracht uitoefenen op de rails. De richting van de gewichtskracht in
de situatie van figuur 2.17 is gelijk aan de richting van de y-component van de zwaartekracht Fz,y, maar hij grijpt aan op de rails (de gewichtskracht is in figuur 2.17 niet
getekend). Ook de grootte van de gewichtskracht zal gelijk zijn aan de grootte van Fz,y.
Doordat het treintje tegen de rails drukt, zal de rails ook een kracht uitoefenen op het
treintje. Deze kracht wordt de normaalkracht genoemd.
2.9. G-kracht
De term G-kracht wordt veel gebruikt om de sensatie van attracties aan te duiden. Hoe
groter de G-krachten, hoe sensationeler de attractie vaak ervaren wordt. Toch is de term Gkracht erg misleidend. Het gaat hier namelijk niet om een kracht, maar om een
verhoudingsgetal tussen versnellingen of krachten.
WAFYLISIBICA – Theorie
17
Er bestaan twee definities waarmee de G-kracht kan worden vastgesteld. Er kan voor
gekozen worden uit te gaan van de werkzame versnellingen of er kan worden uitgegaan
van de krachten die in een bepaalde situatie van toepassing zijn. Wordt er uitgegaan van de
versnellingen, dan luidt de definitie van de G-kracht:
G − kracht =
a
g
In deze formule staat a voor de versnelling (in m/s2) en g voor de valversnelling (= 9,81
m/s2).
Een andere definitie voor G-kracht wordt gevonden door de verhouding te bepalen tussen
de normaalkracht en de zwaartekracht in een bepaalde situatie. De definitie van G-kracht
luidt dan:
G − kracht =
Fn
Fz
In deze formule staat Fn voor de normaalkracht (in N) en Fz voor de zwaartekracht (in N).
Voor beide definities geldt dat de G-kracht geen eenheid heeft.
Het verschil tussen de twee definities voor G-kracht is het best aan te duiden door een
situatie te bekijken waarin er geen sprake is van een versnelling, a = 0 m/s2. De G-kracht,
zoals uitgedrukt als de verhouding tussen de versnellingen, zal dan ook gelijk zijn aan 0.
De G-kracht, zoals uitgedrukt als de verhouding tussen de normaalkracht en de
zwaartekracht, is nu echter gelijk aan 1. Als er geen sprake is van een versnelling (het
voorwerp staat dan dus stil of beweegt met een constante snelheid) geldt immers dat de
normaalkracht even groot is als de zwaartekracht.
De keuze voor een definitie van G-kracht hangt sterk af van de toegepaste meetapparatuur.
Het is in de praktijk echter niet eenvoudig om direct versnellingen te meten. Hier is vrij
specialistische apparatuur voor nodig. Krachten zijn over het algemeen veel eenvoudiger te
meten, waardoor de tweede definitie van G-kracht (als de verhouding tussen de
normaalkracht en de zwaartekracht) wellicht de voorkeur verdient.
2.10. Eenparige cirkelbeweging
Lopende door een attractiepark valt al snel op dat er in allerlei attracties gebruik wordt
gemaakt van een draaibeweging. Met niet al te veel moeite kunnen op deze manier hoge
snelheden en dito (G-)krachten bereikt worden. De attracties voeren cirkelbewegingen uit.
Een cirkelbeweging vindt altijd plaats in een vlak, waardoor er altijd twee-dimensionale
situaties ontstaan. Dit in tegenstelling tot de, eerder besproken, eenparige beweging en
eenparig versnelde beweging die beiden rechtlijnig zijn (hoewel ze niet noodzakelijkerwijs
langs een rechte lijn plaatsvinden, dit kan ook een gebogen lijn zijn).
Vanwege het twee-dimensionale karakter van een cirkelbeweging is het enerzijds veel
lastiger de beweging vast te leggen en anderzijds juist eenvoudiger omdat de beweging
over het algemeen overzichtelijk is. De snelheid die optreedt bij een cirkelbeweging wordt
de baansnelheid genoemd. Deze kan berekend worden door de omtrek van één omloop te
delen door de tijd die nodig is om de omloop te doorlopen. In formulevorm wordt dit:
v=
2 ⋅π ⋅ r
T
In deze formule staat v voor de baansnelheid (in m/s), r voor de straal van de cirkelbaan (in
m) en T voor de tijd die nodig is om één omloop te doorlopen (de omlooptijd, in s).
WAFYLISIBICA – Theorie
18
Er bestaat echter nog een tweede type snelheid dat ook kan worden toegepast om een
cirkelbeweging mee te analyseren. Deze snelheid wordt de hoeksnelheid genoemd. Hij kan
berekend worden door de doorlopen hoek tijdens één omloop te delen door de tijd die
nodig is voor de omloop. Hierbij is het wel gebruikelijk de hoek niet aan te duiden in
graden, maar in radialen. Een volledige cirkel omspant daarbij een hoek van 2π radialen (=
360°). De hoeksnelheid in formulevorm luidt:
ω=
2 ⋅π
T
In deze formule staat ω voor de hoeksnelheid (in rad/s) en T voor de omlooptijd (in s).
Nadere bestudering van de formules voor de baansnelheid en de hoeksnelheid leidt tot het
verband tussen deze twee snelheden:
v = ω ⋅r
Het verschil tussen baansnelheid en hoeksnelheid is niet bepaald eenvoudig. Daarom kan
het een en ander het best onthouden worden door de situatie bij een fietswiel in gedachten
te nemen. De spaken beschrijven hierbij de hoeksnelheid, terwijl het ventiel op het eerste
gezicht met de baansnelheid beweegt. In voorbeeld 7 wordt het een en ander geïllustreerd.
Voorbeeld 7
In figuur 2.18 staat een foto weergegeven
van de G-Force. In deze attractie neemt de
passagier plaats in een schuitje dat
bevestigd is aan een rad. Dit rad wordt in
beweging gebracht en langzaam verticaal
geplaatst. De straal van het rad bedraagt 8,2
m. De tijd die een schuitje nodig heeft om
één keer volledig rond te draaien bedraagt
3,9 s.
Zowel de baansnelheid als de hoeksnelheid
kunnen voor deze attractie eenvoudig
berekend worden. Voor de baansnelheid
geldt:
Figuur 2.18: De G-Force beschrijft een eenparige cirkelbeweging.
2 ⋅π ⋅ r
T
2 ⋅ π ⋅ 8,2
v=
= 13 m/s
3,9
v=
De hoeksnelheid voor deze attractie bedraagt:
2 ⋅π
T
2 ⋅π
ω=
= 1,6 rad/s
3,9
ω=
De cirkelbeweging van de G-Force, zoals omschreven in voorbeeld 7, is een bijzondere
cirkelbeweging. Hij vindt namelijk plaats met een constante baansnelheid (en dus ook met
WAFYLISIBICA – Theorie
19
een constante hoeksnelheid). Dit type cirkelbeweging wordt ook wel een eenparige
cirkelbeweging genoemd.
En toch kan gesteld worden dat een cirkelbeweging niet plaatsvindt met een constante
(baan)snelheid. De grootte van deze snelheid kan wel constant zijn, de richting is dat
uiteraard zeker niet. Aangezien snelheid een vectorgrootheid is, is er derhalve ook niet echt
sprake van een constante snelheid. Dit heeft tot gevolg dat er dus sprake moet zijn van een
r
r
versnelling. Een versnelling kan, volgens de tweede wet van Newton ( Fr = m ⋅ a ), alleen
optreden als er een werkende resulterende kracht is.
v
In figuur 2.19 is een schematische weergave te zien van
een eenparige cirkelbeweging met een straal r. De
baansnelheid v is op drie posities getekend. Enig gevoel
leidt tot de richting van de resulterende kracht. Deze zal
voortdurend gericht zijn naar het middelpunt (M) van
Fmpz
de cirkelbaan. De resulterende kracht bij een
Fmpz M
cirkelbeweging wordt ook wel de middelpuntzoekende
kracht genoemd. Deze kan berekend worden met de
Fmpz
formule:
Fmpz =
m ⋅ v2
r
v
v
Figuur 2.19: Een cirkelbeweging, met daarin de
In deze formule staat Fmpz voor de middelpuntzoekende
baansnelheid v en de middelpuntzoekende kracht
Fmpz aangegeven.
kracht (in N), m voor de massa (in kg), v voor de
baansnelheid (in m/s) en r voor de straal van de
cirkelbaan (in m).
Zoals al eerder gememoreerd, kan een cirkelbeweging ook worden aangeduid met de
hoeksnelheid. Door de uitdrukking waarin de baansnelheid en hoeksnelheid met elkaar
verbonden zijn ( v = ω ⋅ r ) in te vullen in de formule voor de middelpuntzoekende kracht,
ontstaat een nieuwe formule voor deze grootheid, met daarin de hoeksnelheid in plaats van
de baansnelheid:
Fmpz = m ⋅ ω 2 ⋅ r
In de meeste situaties wordt er echter gebruik gemaakt van de uitdrukking voor de
middelpuntzoekende kracht waarin de baansnelheid v vermeld staat. Een aandachtspunt bij
de bestudering van de krachtwerking bij een cirkelbeweging is echter wel het gegeven dat
de middelpuntzoekende kracht géén kracht is, zoals bijvoorbeeld de zwaartekracht, de
normaalkracht of de wrijvingskracht dat zijn. De middelpuntzoekende kracht is de
benaming voor de resulterende kracht die optreedt bij een cirkelbeweging. De
middelpuntzoekende kracht wordt daarbij echter altijd geleverd door een andere kracht. In
voorbeeld 8 wordt dit verder geïllustreerd.
Voorbeeld 8
Bochten in achtbanen zijn vaak geconstrueerd
onder een bepaalde hoek. De reden hiervoor is de
hoge snelheid die het treintje van een achtbaan
vaak heeft in de bocht. Een vlakke bocht zou het
treintje niet in staat stellen de hoge snelheid te
bereiken en zou tevens als bijzonder onplezierig
worden ervaren door de passagiers. In figuur 2.20
staat een foto van een bocht van de Goliath.
Figuur 2.20: Een bocht van Goliath.
WAFYLISIBICA – Theorie
20
Als het treintje door de bocht gaat, werken er
twee krachten op (wrijvingskrachten worden
buiten beschouwing gelaten), de zwaartekracht Fz
en de normaalkracht Fn. In figuur 2.21 zijn deze
krachten getekend en is de normaalkracht
ontbonden in een horizontale component Fn,x en
een verticale component Fn,y (dit in tegenstelling
tot de situatie die optrad in voorbeeld 6, het
treintje doorloopt nu immers een cirkelbaan in
een horizontaal vlak). In verticale richting
beweegt het treintje niet (het stijgt niet op en zakt
niet door de rails heen) en moet dus gelden dat de
resulterende kracht gelijk is aan 0 N:
Fn,y
y
Fn
x
α
Fn,x
α
Fz
Figuur 2.21: Schematische weergave van het
treintje van de Goliath (blokje) in een bocht.
Fr , y = 0 N
Fn , y = Fz = m ⋅ g
In horizontale richting werkt er slechts één kracht, de x-component van de normaalkracht Fn,x. Deze kracht levert dus de middelpuntzoekende kracht. Er geldt:
Fn , x = Fmpz
De kracht Fn,x kan berekend worden met behulp van de y-component van de
normaalkracht Fn,y en de hellingshoek α. Deze hellingshoek komt in figuur 2.21
tevens terug tussen de krachtvectoren Fn en Fn,y. Er geldt:
tan α =
Fn, x
Fn , y
Bekend is dat de y-component van de normaalkracht Fn,y gelijk is aan de zwaartekracht. Dus kan bovenstaande uitdrukking ook worden genoteerd als:
Fn , x = Fn , y ⋅ tan α
Fn , x = m ⋅ g ⋅ tan α
Er was al afgeleid dat Fn,x de middelpuntzoekende kracht levert:
m ⋅ g ⋅ tan α =
m ⋅ v2
r
Aangezien in deze uitdrukking aan beide zijden van het =-teken de massa m staat,
kan deze factor worden weg gedeeld. Er ontstaat dan een uitdrukking voor de
snelheid v:
g ⋅ tan α =
v2
r
→
v 2 = r ⋅ g ⋅ tan α
Als er van wordt uitgegaan dat de straal van de bocht 17 m bedraagt en dat de
hellingshoek 55° is, kan de maximale snelheid waarmee het treintje door de bocht
kan rijden, berekend worden:
v 2 = 17 ⋅ 9,81 ⋅ tan (55°)
→
v = 15 m/s (= 56 km/uur)
WAFYLISIBICA – Theorie
21
2.11. Harmonische trilling
Een trilling is een bijzondere bewegingsvorm. Een voorwerp dat trilt, herhaalt zijn
beweging voortdurend. Dat wil zeggen dat de beweging wordt uitgevoerd binnen een
bepaald tijdsbestek, de zogenaamde trillingstijd en dat de beweging vervolgens (exact)
gekopieerd wordt.
Een bekend voorbeeld van een trilling is de slingerbeweging,
zoals weergegeven in figuur 2.22. Hiertoe wordt een bepaalde
massa aan een koord bevestigd, waarna aan deze massa een
uitwijking gegeven wordt. Grootheden die bij het onderzoek aan
trillingen van belang zijn, zijn de uitwijking u (de afstand ten
opzichte van de evenwichtsstand, in m), de amplitudo A (de
maximale uitwijking, in m) en de trillingstijd T (de tijd nodig
voor één volledige trilling, in s). Bij een bekende trillingstijd
kan vervolgens de frequentie f berekend worden met behulp van
de formule:
f =
1
T
A
Figuur 2.22: Een slingerbeweging.
De frequentie wordt daarbij uitgedrukt in Hertz (Hz).
Een bijzondere trillingsvorm is de harmonische trilling. De grafiek die de uitwijking u
beschrijft als functie van de tijd, vertoont dan het verloop van een sinusoïde, zoals
weergegeven in figuur 2.23. Ook de snelheid v en de versnelling a kunnen als functie van
de tijd worden weergegeven voor een harmonische trilling. Ook deze diagrammem zijn
weergegeven in figuur 2.23. De diagrammen staan in nauw verband met elkaar.
Uit figuur 2.23 is op te maken dat de
snelheid van een (harmonisch)
trillend voorwerp maximaal is als de
uitwijking gelijk is aan 0 m. Het
voorwerp bevindt zich dan in de
evenwichtsstand. In de omkeerpunten
(daar waar de uitwijking gelijk is aan
de amplitudo), zal het voorwerp een
moment tot stilstand komen. De
snelheid is hier 0 m/s. De versnelling
daarentegen is maximaal als ook de
uitwijking
maximaal
is.
De
versnelling is echter wel tegengesteld
gericht aan de uitwijking. Op de
momenten dat het voorwerp door de
Figuur 2.23: Het (u,t)-diagram, (v,t)-diagram en (a,t)-diagram
evenwichtsstand schiet, zal de
van een harmonische trilling.
versnelling gelijk zijn aan 0 m/s2.
Het (u,t)-diagram van een harmonische trilling kan ook worden weergegeven met behulp
van een formule. Deze luidt:
u (t ) = A ⋅ sin (2 ⋅ π ⋅ f ⋅ t )
In deze formule geldt dat u(t) de uitwijking is op een tijdstip t (in m), A de amplitudo (in
m), f de frequentie (in Hz) en t de tijd (in s). Wel moet worden opgemerkt dat de
hoekeenheid die in deze vergelijking wordt toegepast de radiaal is.
Uit bovenstaande formule kan ook een formule worden afgeleid voor de maximale
snelheid waarmee een harmonisch trillend voorwerp beweegt. Deze snelheid is dus de
WAFYLISIBICA – Theorie
22
snelheid waarmee het (harmonisch) trillende voorwerp door de evenwichtsstand beweegt.
De formule voor de maximale snelheid luidt:
vmax =
2 ⋅π ⋅ A
T
In deze formule staat vmax voor de maximale snelheid (in m/s), A voor de amplitudo (in m)
en T voor de trillingstijd (in s). Het een en ander wordt toegepast in voorbeeld 9.
Voorbeeld 9
Gegeven is een harmonische trilling
waarvan het (u,t)-diagram gegeven is in
figuur 2.24. Uit dit diagram zijn de
trillingstijd T en de amplitudo A eenvoudig
af te lezen. Er geldt:
T = 0,80 s
A = 1,4 cm
Figuur 2.24: Het (u,t)-diagram van een
harmonische trilling.
Als de trillingstijd bekend is, kan ook de
frequentie berekend worden:
f =
1
1
=
= 1,25 Hz
T 0,80
Met behulp van deze frequentie en de amplitudo kan de vergelijking bepaald worden
die het gedrag van de uitwijking voor deze harmonische trilling beschrijft:
u (t ) = A ⋅ sin (2 ⋅ π ⋅ f ⋅ t )
u (t ) = 1,4 ⋅ sin (2,50 ⋅ π ⋅ t )
Met behulp van deze formule kan dan bijvoorbeeld berekend worden op welk(e)
tijdstip(pen) de uitwijking +1,0 cm bedraagt. Door deze waarde in te vullen voor de
uitwijking, kan het eerste tijdstip waarop deze voorwaarde geldt, berekend worden:
1,0 = 1,4 ⋅ sin (2,50 ⋅ π ⋅ t1 )
 1,0 
→ 2,50 ⋅ π ⋅ t1 = sin −1   = 0,796
 1,4 
0,796
→ t1 =
= 0,10 s
2,50 ⋅ π
Kijkende naar het (u,t)-diagram van figuur 2.24 kan echter herkend worden dat de
voorwaarde u (t ) = +1,0 cm op meerdere tijdstippen voorkomt. Onder andere op:
1
1
⋅ T − t1 = ⋅ 0,80 − 0,10 = 0,30 s
2
2
t3 = T + t1 = 0,80 + 0,10 = 0,90 s, enz.
t2 =
Tot slot kan nog ook de maximale snelheid van dit harmonisch trillend voorwerp
berekend worden:
vmax =
2 ⋅ π ⋅ A 2 ⋅ π ⋅1,4 ⋅10−2
=
= 0,11 m/s
T
0,80
WAFYLISIBICA – Theorie
23
Zoals al eerder aangegeven is een trilling een beweging die zichzelf voortdurend herhaalt.
Dit is ook de reden dat het interessant kan zijn het aantal doorlopen trillingen aan te geven.
Hiertoe is de grootheid fase geïntroduceerd. De fase kan berekend worden met behulp van
de formule:
ϕ=
t
T
In deze formule staat ϕ voor de fase (deze heeft geen eenheid), t voor de tijd (in s) en T
voor de trillingstijd (in s).
Het bestuderen van een trilling kan redelijk eenvoudig zijn. Bestudering van één periode
(één trillingstijd) geeft immers de volledige informatie over de trilling. Het kan daarom
interessant zijn, aan te duiden in welk deel van een periode het trillende object zich
bevindt. Hiertoe is het begrip gereduceerde fase geïntroduceerd. De fase wordt hierbij in
elke periode afzonderlijk gedefinieerd en zal daarom nooit groter worden dan 1. De
gereduceerde fase kan berekend worden met behulp van de formule:
ϕr =
t
−n
T
In deze formule geldt dat ϕr staat voor de gereduceerde fase (ook deze heeft geen eenheid),
t voor de tijd (in s), T voor de trillingstijd en n voor het aantal volledig doorlopen
trillingen. Voor de gereduceerde fase geldt dus: 0 ≤ ϕ r < 1 .
2.12. Energie, arbeid, vermogen en rendement
Op voorwerpen kunnen allerlei krachten werken waardoor voorwerpen in beweging
komen. Allerhande bewegingstypen kunnen vervolgens aan de orde zijn: een eenparige
beweging, een eenparig versnelde beweging, een cirkelbeweging of een trilling. In de
situaties die ontstaan, kunnen voorwerpen diverse vormen van energie bezitten. Energie
wordt daarbij uitgedrukt in Joules (J).
De energievorm die het eenvoudigst te doorgronden en aan te voelen is, is de bewegingsenergie, ook wel kinetische energie genoemd. De kinetische energie hangt af van de massa
van een voorwerp en de snelheid waarmee dit voorwerp beweegt. Dit is in te zien door het
besef dat de gevolgen van bijvoorbeeld een botsing groter zullen zijn als de bewegende
voorwerpen een grotere massa hebben en/of een grotere snelheid bezitten. De kinetische
energie kan berekend worden met behulp van de formule:
Ekin =
1
⋅ m ⋅ v2
2
In deze formule staat Ekin voor de kinetische energie (in J), m voor de massa (in kg) en v
voor de snelheid (in m/s).
Een tweede vorm van energie is de zogenaamde zwaarte-energie. Een voorwerp dat zich
op een bepaalde hoogte bevindt, zal onder invloed van de zwaartekracht versneld naar
beneden bewegen. Bestudering van het moment waarop dit voorwerp de grond zal treffen
(en dus met de grond botst), leidt tot de veronderstelling dat de zwaarte-energie afhangt
van de massa van een voorwerp en de hoogte waarop dit voorwerp zich bevindt. Ook de
valversnelling (g) speelt hierbij een rol. De formule waarmee de zwaarte-energie berekend
kan worden, luidt:
Ez = m ⋅ g ⋅ h
WAFYLISIBICA – Theorie
24
In deze formule staat Ez voor de zwaarte-energie (in J), m voor de massa (in kg), g voor de
valversnelling (= 9,81 m/s2) en h voor de hoogte (in m).
Ook een gespannen veer bezit een bepaalde hoeveelheid energie, veerenergie. Dit is
eenvoudig in te zien omdat het moeite kost de veer een bepaalde uitrekking te geven.
Naarmate deze uitrekking groter wordt en/of de veer stugger is, zal de hoeveelheid, in de
veer opgesloten, energie ook groter worden. De veerenergie kan berekend worden met
behulp van de formule:
Ev =
1
⋅C ⋅u2
2
In deze formule geldt dat Ev staat voor de veerenergie (in J), C voor de veerconstante (een
constante die de stugheid van de veer aangeeft, in N/m) en u voor de uitrekking (in m).
Bovenstaande vormen van energie komen voor in gevallen die goed definieerbaar zijn.
Voor situaties waarin dit niet of veel lastiger het geval is, kan de koppeling gebruikt
worden tussen energie en krachtwerking. Hierbij gaat het om de arbeid. Deze kan
berekend worden met behulp van de volgende formule:
W = F ⋅ s ⋅ cos α
In deze formule staat W voor de arbeid (in J), F voor de kracht (in N), s voor de
verplaatsing (in m) en α voor de hoek tussen de kracht F en de verplaatsing s (in °).
Tevens kan het interessant zijn de hoeveelheid energie of arbeid te berekenen die verbruikt
wordt of vrijkomt per tijdseenheid (per seconde). De grootheid die de energie (of de
arbeid) verbindt aan de tijd wordt ook wel het vermogen genoemd. Het vermogen kan
berekend worden met behulp van de formule:
P=
E W 
=  = F ⋅v
t  t 
In deze formule staat P voor het vermogen (in J/s of Watt (W)), E voor de energie (in J), t
voor de tijd (in s), F voor de kracht (in N) en v voor de snelheid.
In de praktijk is het echter wel zo dat er bij een energie-omzetting altijd een hoeveelheid
energie verloren gaat. Het is onmogelijk om alle energie te gebruiken voor hetgeen deze
bedoeld is. Dit heeft tot gevolg dat er altijd sprake is van een rendement. Dit rendement
kan gedefinieerd worden als het percentage energie dat nuttig gebruikt wordt en kan
berekend worden met behulp van een formule waarin gewerkt wordt met de energie of met
behulp van een formule waarin gewerkt wordt met het vermogen:
η=
Enut
⋅100%
Ein
of
η=
Pnut
⋅100%
Pin
In deze formules staat η voor het rendement (in %), Enut voor de nuttig gebruikte energie
(in J), Ein voor de aan het proces toegevoerde energie (in J), Pnut voor het nuttig gebruikte
vermogen (in W), Pin voor de aan het proces toegevoerde vermogen (in W).
2.13. Wet van behoud van energie
Verschillende vormen van energie kunnen in elkaar worden omgezet. Zo kan een voorwerp
op het ene moment kinetische energie bezitten en een moment later zwaarte-energie. Bij
energie-omzettingen geldt echter altijd de wet van behoud van energie. Deze zegt dat de
totale energie die een systeem bezit voortdurend constant blijft. De vorm waarin de energie
voorkomt kan daarbij wel variëren. Een en ander wordt geïllustreerd in voorbeeld 10.
WAFYLISIBICA – Theorie
25
Voorbeeld 10
De Goliath is de hoogste achtbaan van
Nederland. De eerste top (punt I), zie
figuur 2.25 ligt op een hoogte van 47 m.
Met behulp van de wet van behoud van
energie kan de snelheid berekend
worden die het treintje van de Goliath
bereikt in punt II als dit geen wrijving
zou ondervinden. Er geldt:
I
III
II
Etot ,I = Etot ,II
Figuur 2.25: De twee eerste toppen van Goliath.
Nu geldt dat het treintje in punt I uitsluitend zwaarte-energie bezit (de snelheid van
het treintje is hier verwaarloosbaar klein ten opzichte van de snelheid in punt II),
terwijl het treintje in punt II uitsluitend kinetische energie bezit (de zwaarte-energie
is hier verwaarloosbaar klein ten opzichte van de zwaarte-energie in punt I): De wet
van behoud van energie wordt dan:
E z ,I = Ek ,II
m ⋅ g ⋅ hI =
1
2
⋅ m ⋅ vII
2
Hoewel de massa in bovenstaande vergelijking geen noodzakelijk gegeven is, kan
deze worden vastgesteld op 1800 kg. De snelheid in punt II kan nu berekend worden:
1800 ⋅ 9,81 ⋅ 47 =
1
2
⋅1800 ⋅ vII
2
→
2
vII = 30 m/s
In werkelijkheid ondervindt het treintje uiteraard wel wrijvingskrachten. Dit is goed
te zien aan de tweede top (punt III). Deze top ligt lager dan de eerste top omdat het
treintje onderweg energie is verloren. De hoogte van de tweede top bedraagt daarom
slechts 35 m. De afstand die het treintje aflegt van punt I naar punt III kan geschat
worden op 120 m. De gemiddelde waarde van de wrijvingskracht kan dan berekend
worden met behulp van de wet van behoud van energie. Er geldt:
Etot ,I = Etot ,III
In zowel punt I als punt III bezit het treintje uitsluitend zwaarte-energie (de
kinetische energie kan verwaarloosd worden. Onderweg van punt I naar punt III
verricht de zwaartekracht arbeid Ww. De wet van behoud van energie wordt dan:
E z ,I = E z ,III + Ww
De gegevens kunnen nu worden ingevuld, waarna de gemiddelde grootte van de
wrijvingskracht berekend kan worden:
m ⋅ g ⋅ hI = m ⋅ g ⋅ hIII + Fw ⋅ s
1800 ⋅ 9,81 ⋅ 47 = 1800 ⋅ 9,81 ⋅ 35 + Fw ⋅120
→
Fw = 1,8 ⋅103 N
Ook bij een trilling gaat de wet van behoud van energie op. Een trilling is echter een
bijzonder bewegingstype. Door een object immers in trilling te brengen, wordt een
hoeveelheid energie aan het object toegevoerd. Deze hoeveelheid energie kan op diverse
WAFYLISIBICA – Theorie
26
manieren tot uiting komen. In paragraaf 2.11 is de slingerbeweging aan bod gekomen. In
figuur 2.26 staat deze nogmaals weergegeven.
Punt A in figuur 2.26 is één van de omkeerpunten van de
slingerbeweging. Het balletje staat hier een moment stil en
bezit daarom geen kinetische energie. Het balletje bezit
echter wel zwaarte-energie omdat het zich niet in het laagste
punt van de beweging bevindt. In punt B, de evenwichtsstand, is de situatie precies omgekeerd. Hier is er wel sprake
van het laagste punt, waardoor het balletje geen zwaarteenergie bezit, maar wel kinetische energie. In punt C gelden
dezelfde voorwaarden als in punt A.
De totale energie die in een trilling wordt opgesloten, wordt
A
C
ook wel de trillingsenergie genoemd. Deze trillingsenergie
B
kan berekend worden door de situatie te beschouwen in de
evenwichtsstand (punt B) of in een uiterste stand (punt A of
C). De trillinsgenergie kan berekend worden met behulp van
Figuur 2.26: Een slingerbeweging.
de formules:
Etril =
1
1
2
⋅ C ⋅ A2 = ⋅ m ⋅ vmax
2
2
In deze formules staat Etril voor de trillingsenergie (in J), C voor de krachtconstante (in
N/m, bij een slinger is de krachtconstante lastig te herkennen, maar als er sprake is van een
veer geldt dat C de veerconstante is), A voor de amplitudo (in m), m voor de massa (in m/s)
en vmax voor de snelheid waarmee het object door de evenwichtsstand beweegt (in m/s). De
maximale snelheid kan berekend worden met de eerder genoemde formule:
vmax =
2 ⋅π ⋅ A
T
In deze formule staat vmax voor de maximale snelheid (in m/s), A voor de amplitudo (in m)
en T voor de trillingstijd (in s).
2.14. Stoot
In paragraaf 2.1 kwam de definitie van versnelling aan bod. De versnelling is de snelheidstoename (snelheidsafname) ∆v die geldt per tijdseenheid ∆t. In formulevorm werd dit:
a=
∆v
∆t
In paragraaf 2.8 kwam vervolgens de tweede wet van Newton aan de orde. Deze luidde
voor een situatie waarin slechts één kracht F werkt:
F = m⋅a
Beide formules kunnen op een eenvoudige manier gecombineerd worden:
F = m⋅
∆v
∆t
Als de tijdsfactor ∆t verschoven wordt naar de linker zijde van het =-teken, leidt dit tot:
F ⋅ ∆t = m ⋅ ∆v
WAFYLISIBICA – Theorie
27
De factor (F ⋅ ∆t ) die in deze vergelijking ontstaat wordt ook wel de krachtstoot (of
kortweg stoot) S genoemd. De formule kan daarom worden uitgebreid met een nieuwe
grootheid:
S = F ⋅ ∆t = m ⋅ ∆v
In deze formule staat S voor de (kracht)stoot (in N⋅s), F voor de kracht (in N), ∆t voor het
tijdsinterval gedurende welk de kracht werkzaam is (in s), m voor de massa (in kg) en ∆v
voor de snelheidsverandering (in m/s). De stoot wordt voornamelijk toegepast in situaties
waarbij er sprake is van een kortdurende (maar vaak hevige) krachtwerking.
2.15. Impuls en impulsbehoud
In de definitie voor stoot in de vorige paragraaf is een factor (m ⋅ ∆v ) te herkennen.
Onderzoek heeft uitgewezen dat ook deze factor, natuurkundig gezien, een betekenis heeft.
Er is hier sprake van een zogenaamde impulsverandering, die derhalve gekoppeld is aan de
grootheid impuls. De impuls kan berekend worden met behulp van de formule:
r
r
p = m⋅v
In deze formule geldt dat p de impuls (in kg⋅m/s), m de massa (in kg) en v de snelheid (in
m/s) is. Toepassingen van impuls zijn voornamelijk te vinden in situaties waarin er sprake
is van een botsing. Hier geldt de wet van behoud van impuls:
∑p
voor
= ∑ pna
In woorden zegt deze wet dat de som van de impuls voor de botsing
(∑ p ) gelijk is aan
voor
de som van de impuls na de botsing (∑ pna ) .
In de praktijk gelden er twee typen botsingen, de volkomen inelastische botsing en de
volkomen elastische botsing. Een volkomen inelastische botsing beschrijft de situatie die
optreedt als de botsende objecten na de botsing gekoppeld aan elkaar verder bewegen of
wanneer er sprake is van een explosie. De volkomen elastische botsing komt in de praktijk
vaker voor en treedt bijvoorbeeld op bij botsende biljartballen. Voor een volkomen
elastische botsing geldt, naast de wet van behoud van impuls, tevens de wet van behoud
van kinetische energie:
∑E
k ,voor
= ∑ Ek ,na
In woorden zegt deze wet dat de som van de kinetische energie voor de botsing
gelijk is aan de som van de kinetische energie na de botsing
wordt een volkomen elastische botsing doorgerekend.
(∑ E
k ,voor
)
(∑ E ). In voorbeeld 11
k ,na
Voorbeeld 11
In dit voorbeeld worden twee kogels beschouwd die naar elkaar toe bewegen en op
een gegeven ogenblik zullen botsen. De ene kogel (kogel A) heeft een massa van
0,50 kg en een snelheid van 6,5 m/s. De andere kogel (kogel B) heeft een massa van
1,5 kg en een snelheid van 8,5 m/s. Doel is te berekenen welke snelheden de kogels
zullen hebben na botsing. Deze botsing is volkomen elastisch.
Deze opgave kan opgelost worden door de wet van behoud van impuls en de wet van
behoud van kinetische energie los te laten op de gegeven situatie. Eerst is in figuur
2.27 de situatie voor de botsing schematisch weergegeven.
WAFYLISIBICA – Theorie
28
+
In figuur 2.27 is aangegeven dat snelheden die
B
v
=
6,5
m/s
A
A
gericht zijn naar rechts positief gerekend
vB = 8,5 m/s
worden. Snelheden die naar links gericht zijn,
worden dus als negatief gerekend. In de
Figuur 2.27: Twee botsende kogels.
uitwerking wordt er in eerste instantie van uit
gegaan dat de snelheden na de botsing positief
zijn.
Eerst kan de wet van behoud van impuls worden opgesteld voor de gegeven situatie:
∑p
= ∑ pna
voor
+ mA ⋅ v A,voor − mB ⋅ vB ,voor = + m A ⋅ v A,na + mB ⋅ vB ,na
+ 0,50 ⋅ 6,5 − 1,5 ⋅ 8,5 = +0,50 ⋅ v A,na + 1,5 ⋅ vB ,na
− 9,5 = +0,50 ⋅ v A,na + 1,5 ⋅ vB ,na
Deze vergelijking is onoplosbaar. Er staan immers twee variabelen in, vA,na en vB,na.
De wet van behoud van kinetische energie kan voor deze situatie ook nog worden
opgesteld:
∑E
k ,voor
= ∑ Ek ,na
1
1
1
1
2
2
2
2
⋅ mA ⋅ v A,voor + ⋅ mB ⋅ vB ,voor = ⋅ mA ⋅ v A,na + ⋅ mB ⋅ vB ,na
2
2
2
2
1
1
1
1
2
2
2
2
⋅ 0,50 ⋅ (6,5) + ⋅1,5 ⋅ (8,5) = ⋅ 0,50 ⋅ v A,na + ⋅1,5 ⋅ vB ,na
2
2
2
2
1
1
2
2
64,75 = ⋅ 0,50 ⋅ v A,na + ⋅1,5 ⋅ vB ,na
2
2
Ook deze vergelijking is onoplosbaar. Er staan echter dezelfde twee variabelen in als
in de uitwerking van de wet van behoud van impuls, vA,na en vB,na. De situatie kan
worden opgelost door één van beide vergelijkingen dusdanig om te schrijven dat hij
ingevuld kan worden in de andere vergelijking. De wet van behoud van impuls kan
ook worden geschreven als:
− 9,5 = +0,50 ⋅ v A,na + 1,5 ⋅ vB ,na
→
v A,na = −19 − 3,0 ⋅ vB ,na
Deze vergelijking kan nu worden ingevuld in de wet van behoud van kinetische
energie:
1
1
2
2
⋅ 0,50 ⋅ v A,na + ⋅1,5 ⋅ vB ,na
2
2
1
1
2
2
64,75 = ⋅ 0,50 ⋅ (− 19 − 3,0 ⋅ vB ,na ) + ⋅1,5 ⋅ vB ,na
2
2
64,75 =
Uit deze vergelijking kan de snelheid van kogel B na de botsing, vB,na, worden
berekend:
64,75 = 0,25 ⋅ (− 19 − 3,0 ⋅ vB ,na ) + 0,75 ⋅ vB ,na
2
(
2
2
)
64,75 = 0,25 ⋅ 361 + 114 ⋅ vB ,na + 9,0 ⋅ vB ,na + 0,75 ⋅ vB ,na
2
64,75 = 90,25 + 28,5 ⋅ vB ,na + 2,25 ⋅ vB ,na + 0,75 ⋅ vB ,na
→
2
3,0 ⋅ vB ,na + 28,5 ⋅ vB ,na + 25,5 = 0
2
2
WAFYLISIBICA – Theorie
29
Er is nu een tweedegraads vergelijking ontstaan. Deze is op te lossen door gebruik te
maken van de abc-formule. Deze geeft als uitkomsten:
vB ,na = −1,0 m/s
(of
vB ,na = −8,5 m/s)
De uitkomst ( vB ,na = −8,5 m/s) komt daarbij te vervallen. De kogel zou in deze
situatie immers volledig ongehinderd verder bewegen en dit is zeker niet de praktijk.
De snelheid van kogel A na de botsing, vA,na, kan nu berekend worden door de
snelheid van kogel B na de botsing, vB,na, in te vullen in één van de vergelijkingen:
v A,na = −19 − 3,0 ⋅ vB ,na
v A,na = −19 − 3,0 ⋅ (− 1,0 ) = −16 m/s
Kogel A zal dus na de botsing een snelheid hebben van 16 m/s, gericht naar links.
Daarentegen zal kogel B een snelheid hebben van 1,0 m/s, ook gericht naar links.