Lineaire Algebra voor W 2Y650

Lineaire Algebra voor W 2Y650
Docent:
L. Habets
HG 8.09,
Tel: 040-2474230,
Email: [email protected]
http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2Y650
1
Rang, kolommenruimte en oplosbaarheid
Zij A een m × n matrix, en b ∈ Rm .
Vraag: Is het stelsel Ax = b oplosbaar?
(i) Veronderstel rang(A) = m. Dan is R(A) = Rm , en voor iedere
vector b ∈ Rm is het stelsel Ax = b oplosbaar.
(ii) Als rang(A) < m, dan is het stelsel niet voor iedere b ∈ Rm
oplosbaar. Het stelsel is oplosbaar als b ∈ R(A), maar in dit
geval is de deelruimte R(A) strikt bevat in Rm .
2
Stelling:
Ax = b is oplosbaar,
⇐⇒
rang(A | b) = rang(A).
3
Rang, nulruimte en uniciteit van oplossingen
Zij A een m × n matrix, en b ∈ Rm .
Vraag: Is een mogelijke oplossing van het stelsel Ax = b uniek?
Equivalent: is 0 de unieke oplossing van Ax = 0?
(i) Als rang(A) = n, dan volgt dat dim(N (A)) = n − n = 0. Als er
een oplossing van Ax = b bestaat, dan is die oplossing uniek.
(ii) Als rang(A) < n, dan volgt dat dim(N (A)) > 0. Als er een
oplossing van Ax = b bestaat, dan zijn er veel meer
oplossingen.
4
Samenvatting kolommenruimte:
Ax = b is oplosbaar,
⇐⇒
b ∈ R(A),
⇐⇒
rang(A) = rang(A | b).
5
Samenvatting nulruimte:
x = 0 is de unieke oplossing
van de homogene vergelijking Ax = 0
⇐⇒
N (A) = {0}
⇐⇒
rang(A) is gelijk aan het aantal kolommen van A.
6
Algemene oplossing van een stelsel:
De algemene oplossing van de inhomogene vergelijking Ax = b is
van de vorm x = xp + N (A), met xp een particuliere oplossing van
de inhomogene vergelijking.
7
Speciaal geval: vierkante matrices
Zij A een n × n matrix. Dan zijn de volgende uitspraken equivalent:
1. A is een reguliere (niet-singuliere) matrix,
2. A is rij-equivalent met In ,
3. De vergelijking Ax = 0 heeft alleen de triviale oplossing,
4. Voor iedere vector b ∈ Rn , heeft het stelsel Ax = b een unieke
oplossing,
5. A heeft een inverse,
6. A is een product van elementaire matrices,
7. det(A) 6= 0,
8
8. rang(A) = n,
9. R(A) = Rn ,
10. De kolommen van A vormen een basis voor Rn ,
11. De rijen van A vormen een basis voor Rn
12. N (A) = {0},
13. dim(N (A)) = 0.
9
Kleinste kwadraten methode
Wat te doen als Ax = b geen oplossing heeft?
1. Zoek x̂ zó dat kb − Ax̂k zo klein mogelijk is.
2. Voorwaarde: (b − Ax̂) ⊥ R(A), d.w.z. AT (b − Ax̂) = 0.
3. Los de normaalvergelijking op: AT Ax̂ = AT b.
Merk op: als Ax = b dan ook AT Ax = AT b, maar oplossingen van
de normaalvergelijking zijn niet noodzakelijk oplossingen van de
vergelijking Ax = b.
10
Stelling:
Voor een m × n matrix A geldt:
1. N (A) = N (AT A),
2. R(AT A) = R(AT ).
Gevolgen
• De normaalvergelijking is altijd oplosbaar.
• De normaalvergelijking heeft een unieke oplossing als
N (A) = {0}.
• De normaalvergelijking heeft een unieke oplossing als
rang(A) = n (het aantal kolommen van A).
11