Tentamen Fundamentals of Deformation and Linear Elasticity (4A450)

Tentamen Fundamentals of Deformation and Linear Elasticity (4A450)
Datum:
Tijd:
Plaats:
23 november 2000
14:00 – 17:00 uur
Hal Matrixgebouw
Dit tentamen bestaat uit vier opgaven.
Het gebruik van het dictaat, oefeningenbundel en notebook is verboden. Wel toegestaan zijn het uitgereikte formuleblad en een eenvoudige rekenmachine.
Tip: denk aan eenheden.
Succes!
Opgave 1
In Figuur 1 is een spanningsblokje getekend met spanningsvectoren op de zijvlakken. De ribben van
het blokje zijn georiënteerd in de richting van de cartesische basisvectoren {e1 , e2 , e3 }. De getallen in de
figuur geven de lengte van de spanningsvectoren in MPa.
2
C
4
D
e3
e1
4
4
2
e2
4
6
B
A
Figuur 1: Spanningsblokje, spanningen in MPa
a. Bepaal de matrixrepresentatie σ van de Cauchy spanningstensor ten opzichte van de basis {e1 , e2 , e3 }.
¯
b. Bepaal de spanningsvector p op het diagonaalvlak ABC D.
c. Bereken de hoofdspanningen (principal stresses) σ1 , σ2 , σ3 .
d. Bepaal de hoofdspanningsrichting (principal stress direction) bij de grootste hoofdspanning.
Opgave 2
Ter verificatie van ontwerpberekeningen is in een punt P op de aluminium cabinewand van een vliegtuig
een rozet bestaande uit drie rekstrookjes aangebracht (strain gauges). De rekstrookjes maken hoeken
van θ (1) = 45◦ , θ (2) = 90◦ en θ (3) = 135◦ met de basisvector ex , die in het vlak van de wand ligt (zie
Figuur 2). De met de rekstrookjes gemeten normaalrekken (normal strains) bedragen respectievelijk
(1)
(2)
(3)
= 5.0 · 10−4 , εnn
= 4.5 · 10−4 en εnn
= 8.0 · 10−4 .
εnn
Het materiaalgedrag van het aluminium is isotroop en lineair elastisch, met elasticiteitsmodulus (Young’s
modulus) E = 81 GPa en dwarscontractie-coëfficiënt (Poisson’s ratio) ν = 0.35.
1
2
1
3
ey
ex
P
45◦
45◦
Figuur 2: Vliegtuig voorzien van rekstrookjes; oriëntatie van de rekstrookjes op de cabinewand
a. Bepaal uit de gemeten normaalrekken de componenten εx x , εx y en ε yy van de lineaire rektensor in
het punt P.
b. Het oppervlak waarop de rekstrookjes bevestigd zijn kan als vrij beschouwd worden, dit wil zeggen
dat σx z = σ yz = σzz = 0, waarbij de z-richting loodrecht op de wand is. Bepaal op grond van deze
voorwaarden de rekcomponenten εx z , ε yz en εzz
c. Bereken op basis van de hierboven bepaalde rekken de (3 × 3) spanningsmatrix ten opzichte van de
basis {ex , ey , ez }.
Opgave 3
Een verticaal geplaatst cilindrisch reactorvat wordt belast door het gewicht van enkele apparaten die
boven op de reactor bevestigd zijn (zie Figuur 3). De gewichtsbelasting veroorzaakt een spanning in de
reactorwand die in de cilindrische basis {er , eθ , ez } gegeven is door
σ (g) = −35ez ez MPa
Verder leidt de inwendige druk p in de reactor tot een spanning σ ( p) , die bij goede benadering gegeven
wordt door de zogenaamde ketelformules als (design of thin-walled pressure vessels):
σ ( p) =
pR
(2eθ eθ + ez ez )
2t
ez
R
t
Figuur 3: Reactorvat met verticale belasting
2
er
waarin p de druk in het vat is en de straal R en dikte t van de wand respectievelijk R = 800 mm en
t = 2 mm bedragen. Veiligheidsnormen schrijven voor het wandmateriaal een toelaatbare von Mises
spanning voor van σa = 120 MPa.
(g)
a. Bereken de von Mises equivalente spanning σvm in de wand van het vat ten gevolge van enkel de
gewichtsbelasting (dus voor p = 0).
( p)
b. Bereken de von Mises equivalente spanning σvm als functie van de druk p voor het geval dat de
gewichtsbelasting buiten beschouwing gelaten wordt (dus voor σ (g) = 0).
c. Bereken voor het geval dat de gewichtsbelasting buiten beschouwing wordt gelaten de maximaal
toelaatbare druk in het vat p( p) .
d. Bereken de maximaal toelaatbare druk p in het vat voor de gecombineerde druk- en gewichtsbelasting.
Opgave 4
Het ontwerp van een procestechnische installatie voorziet in de bevestiging van een leiding in een gat in
een scheidingswand met behulp van een kunststof afsluitring, zoals geschetst in Figuur 4. De kunststof
ring vormt een demontabele klemverbinding tussen wand en leiding en dient bovendien als afdichting.
In onvervormde toestand is de binnenstraal van de ring gelijk aan de buitenstraal van de buis a = 16 mm;
de buitenstraal van de ring bedraagt in onvervormde toestand (dus voor montage) b = 48 mm. De straal
c van het te boren gat, en daarmee de buitenstraal van de ring na montage, is nader te bepalen.
De afsluitring is vervaardigd van een polystyreenschuim dat isotroop lineair elastisch verondersteld kan
worden, met elasticiteitsmodulus (Young’s modulus) E = 72MPa, dwarscontractie-coëfficiënt (Poisson’s
ratio) ν = 0.20 en vloeispanning (yield stress) σY = 5 MPa. De vervorming van de leiding en de wand
kunnen verwaarloosd worden; beide kunnen dus star verondersteld worden.
afsluitring
b
b
c
c
a
a
ez
er
r
Figuur 4: Afsluitring tussen leiding en scheidingswand
Verondersteld wordt dat de kunststof afdichting bij bevestiging in de wand geen axiale vervorming (in
de ez -richting) ondergaat, met andere woorden: enkel de radiale verplaatsing is relevant. Deze radiale
verplaatsing u r voldoet aan de volgende differentiaalvergelijking:
1
1 du r
d2 u r
− 2 ur = 0
+
2
dr
r dr
r
3
waarin r de coördinaat in er -richting voorstelt. De algemene oplossing van deze differentiaalvergelijking
kan geschreven worden als
u r (r) = Ar +
B
r
met A en B integratieconstanten.
a. Bepaal aan welke randvoorwaarden de radiale verplaatsing u r (r) in de ring moet voldoen.
b. Bepaal de integratieconstanten A en B als functie van de stralen a, b en c.
c. Bepaal de spanningen σrr (r), σθθ (r) en σzz (r) in de ring als functie van A en B.
Met enig rekenwerk kunnen deze spanningscomponenten herschreven worden als
b(b − c)
b2 − a 2
a2
µ
1+ 2
σrr (r) = σzz (r) 1 +
λ
r
a2
µ
1− 2
σθθ (r) = σzz (r) 1 +
λ
r
σzz (r) = −2λ
met λ en µ de Lamé-constanten.
d. Om een goede afdichting te verzekeren dient zowel tussen afdichtring en leiding als tussen afdichtring
en wand een drukspanning te heersen van tenminste 5 MPa. Bereken met behulp van bovenstaande
uitdrukkingen de maximale straal c die het gat mag hebben om aan deze ontwerpeis te kunnen voldoen.
e. Bepaal voor de hierboven berekende gatstraal de maximale schuifspanning in de afdichtring. Wordt
volgens het Tresca criterium de elasticiteitsgrens overschreden?
4
Uitwerkingen
Tentamen Fundamentals of Deformation and Linear Elasticity (4A450)
Datum:
Tijd:
Plaats:
23 november 2000
14:00 – 17:00 uur
Hal Matrixgebouw
Opgave 1
a. De spanningsmatrix luidt


2 −4 0
σ = −4 6 −4 MPa
¯
0 −4 2
b. De normaalvector n op ABC D heeft componenten
T
n = √12 1 1 0
˜
De componenten van de spanningsvector zijn dan

 
 
2 −4 0
1
1
√
1
p = σ n = √ −4 6 −4 1 = − 2 −1 MPa
¯ ˜
2 0 −4 2
˜
0
2
en spanningsvector is dus
√
e1 − e2 + 2e3 ) MPa
p = − 2 (
c. De hoofdspanningen volgen uit de eigenwaardevergelijking
det (σ − σ I ) = 0
¯
¯
Uitwerken van de determinant levert:
(2 − σ )(6 − σ )(2 − σ ) − 16(2 − σ ) − 16(2 − σ ) = 0
ofwel
−(σ − 2)(σ − 10)(σ + 2) = 0
Geordend van groot naar klein zijn dus de hoofdspanningen:
σ1 = 10 MPa
σ2 = 2 MPa
σ3 = −2 MPa
d. De componenten van de richtingsvector N1 behorend bij de hoofdspanning σ1 voldoen aan:
(σ − σ1 I ) N 1 = 0
¯ ˜
¯
˜
Invullen van σ en σ1 levert
¯

   
0
−8 −4 0
N11
−4 −4 −4  N12  = 0
N13
0
0 −4 −8
waaruit volgt dat
N12 = −2N11
N13 = N11
Normeren zodat N1 = 1 levert verder
N11 =
√1
6
zodat de hoofdspanningsrichting wordt
1
N1 = √ (e1 − 2e2 + e3 )
6
Opgave 2
a. De richtingsvectoren bij de drie rekstrookjes hebben componenten
 
 
 
1
−1
0
1  
1  
(1)
(2)
(3)


n = 1
1
n =√
n =√ 1
˜
˜
˜
2 0
2 0
0
De normaalrekken in deze richtingen worden gegeven door
(i)
= n (i)T ε n (i) (i = 1, 2, 3)
εnn
¯˜
˜
Uitwerken van deze uitdrukking voor ieder van de richtingen levert:
(1)
= 12 εx x + εx y + 12 ε yy = 5.0 · 10−4
εnn
(2)
εnn
= ε yy = 4.5 · 10−4
(3)
εnn
= 12 εx x − εx y + 12 ε yy = 8.0 · 10−4
waaruit opgelost kan worden
εx x = 8.5 · 10−4
εx y = −1.5 · 10−4
ε yy = 4.5 · 10−4
b. De componenten εx z en ε yz volgen uit de spanning-rekrelaties
σx z = Gγx z = 2Gεx z
σ yz = Gγ yz = 2Gε yz
Aangezien σx z = σ yz = 0 geldt
εx z = 0
ε yz = 0
De normaalcomponent εzz volgt uit de voorwaarde
E
νεx x + νε yy + (1 − ν)εzz = 0
σzz =
(1 + ν)(1 − 2ν)
Aan deze vergelijking is voldaan indien
ν εx x + ε yy
εzz = −
1−ν
Invullen levert:
εzz = −7.0 · 10−4
c. Bekend is dat σx z = σ yz = σzz = 0; er is hier dus sprake van een vlakspanningstoestand. De overige
spanningscomponenten worden dan gegeven door



 
1 ν
0
εx x
σx x
  ε yy 
σ yy  = E ν 1
0
1 − ν2
1
σx y
2εx y
0 0 2 (1 − ν)
Invullen levert
σx x = 93 MPa
σ yy = 69 MPa
σx y = −9 MPa
zodat de spanningsmatrix luidt:


93 −9 0
σ = −9 69 0 MPa
¯
0
0 0
Opgave 3
a. Voor σ = σ (g) levert substitutie van
σzz = −35 MPa
σrr = σθθ = σrθ = σr z = σθ z = 0
in de uitdrukking voor de von Mises spanning
σvm =
1
2
(σrr − σθθ ) + (σrr − σzz ) + (σθθ − σzz ) +
2
2
1
2
1
2
2
3σrθ2
+
3σr2z
+
3σθ2z
een equivalente spanning van
(g)
= 35 MPa
σvm
b. De spanningscomponenten luiden voor σ = σ ( p)
σθθ =
pR
t
σzz =
pR
2t
σrr = σrθ = σr z = σθ z = 0
Substitutie in bovenstaande uitdrukking voor de von Mises spanning levert nu
( p)
=
σvm
1
2
√ pR
3
t
( p)
c. Gelijkstellen van de von Mises spanning σvm aan de toelaatbare spanning σa levert
2 t
σa
p( p) = √
3R
of na invullen van de gegeven waarden
p( p) = 3.5 bar
d. Voor de gecombineerde spanningstoestand σ = σ (g) + σ ( p) is
σθθ =
pR
t
σzz =
pR
+ σzz(g)
2t
σrr = σrθ = σr z = σθ z = 0
12
en dus
σvm =
3
4
pR
t
2
2
(g)
+ σzz
Gelijkstellen aan de toelaatbare spanning σa levert nu
2
2 t
(g)
σa2 − σzz
p=√
3R
en na invullen
p = 3.3 bar
Opgave 4
a. De binnenstraal van de ring blijft gelijk en de buitenstraal moet afnemen van b naar c, dus:
u r (a) = 0
u r (b) = −(b − c)
b. Invullen van de gegeven uitdrukking voor de verplaatsing u r (r) in bovenstaande randvoorwaarden
levert
B
u r (a) = Aa + = 0
a
B
u r (b) = Ab + = −(b − c)
b
Uit deze twee vergelijkingen kunnen de integratieconstanten A en B worden opgelost, namelijk:
a 2 b(b − c)
b(b − c)
B
=
b2 − a 2
b2 − a 2
c. De rekken zijn te berekenen uit het gegeven verplaatsingsveld als
A=−
B
∂u r
= A− 2
∂r
r
B
ur
= A+ 2
εθθ =
r
r
εzz = εrθ = εr z = εθ z = 0
εrr =
Hieruit volgt met behulp van het spanning-rekverband
σ = λtr(ε) + 2µε
voor de gevraagde spanningen:
B
B
σθθ (r) = 2(λ + µ)A + 2µ 2
σzz (r) = 2λ A
2
r
r
d. De normaalspanning σrr (r) is maximaal (het minst negatief) voor r = b. De maximale gatstraal
wordt dus bepaald door de eis dat
a2
b(b − c)
µ
1+ 2
1+
= −5 MPa
σrr (b) = −2λ 2
b − a2
λ
b
σrr (r) = 2(λ + µ) A − 2µ
Hieruit kan worden opgelost
b − c = 2 mm
en dus moet
c = 46 mm
e. Aangezien de schuifspanningen σrθ , σr z en σθ z nul zijn en voor de normaalspanningen geldt dat
σzz ≥ σθθ ≥ σrr , worden de hoofdspanningen gegeven door
σ1 = σzz
σ2 = σθθ
σ3 = σrr
Hieruit volgt
σ1 − σ3 = 2µ
b(b − c)
a2
1
+
b2 − a 2
r2
en een maximale schuifspanning (voor r = a) van
τmax = 12 (σ1 − σ3 ) = 2µ
b(b − c)
= 2.8 MPa
b2 − a 2
Deze waarde is hoger dan 12 σY = 2.5 MPa en dus wordt het Tresca-criterium overschreden.