lineaire algebra

LINEAIRE ALGEBRA
QUIZ 3
1. Als voor een matrix A geldt:
mA (x) = x (x-1)2 (x-2)3
dan is A5 gelegen in Span(I,A,A2,A3,A4).
2. Als voor matrices A,B,C geldt dat ABC = 1 dan:
((AB)m Cl) = { m-l : in (AB)}
3. Voor elke inverteerbare vierkante nxn matrix A, met inverse B, en voor elke veelterm p
bestaan er getallen ai zodat :
n 1
p( B )  ai Ai
i 0
4. Voor elke vierkante nxn matrix en voor elke veelterm p van graad n+1 bestaan er getallen ai
zodat :
n 1
p( A2 )  ai Ai
i 0
5. Er bestaan complexe matrices A (verschillend van de 0-matrix) waarvoor A-I
inverteerbaar is voor elke met || <= 1.
6. A Cmxn en Q is unitair in Cmxn. Welke van volgende gelijkheden is steeds voldaan:
a) ||QA||1 = ||A||1
b) ||QA||2 = ||A||2
c) ||QA||∞ = ||A||∞
d) ||QA||F = ||A||F
7. Vormt de onderstaande afbeelding < , > : U -> R een inwendig product ?
< u,v > = 2u1 u2 +3v1 v2
met u = (u1 ,u2 ) en v = (v1 ,v2 ) elementen van de vectorruimte U=R 2
8. Het product van twee unitaire matrices vormt opnieuw een unitaire matrix
9. Zij A een positief definiete matrix en B hermitisch dan bestaat (ABAB) enkel uit
positieve getallen.
10. Zij T een lineaire afbeelding C3 -> C3 met T(x,y,z) = (-x,-z,y). Bepaal de eigenwaarden i
van T.
11. De matrix A met
cos( q )

A sin ( q )

 0
sin ( q )
cos( q )
0
0

0

1
is een element van C3x3.
Bepaal een unitaire matrix U (behorende tot C3x3), zodanig dat U-1AU een diagonaalmatrix is.
n
12. L := lim A
n
Bepaal L.
voor






A






2
5
1
10
1
2
1
5
7
10
1
10
1
5
1
5
3
5














13. Bepaal de Gramse matrix van de basisvectoren Eij (met (Eij)kl = ik jl) van R2x2
waarbij het inproduct van A en B gedefinieerd is door trace(AT B).
14. Bepaal voor de onderstaande matrix A een bovendriehoeksmatrix B en een unitaire matrix
Q zodanig dat B = QHAQ.
0 
 -2 1 0


 0 -2 0
0 




-19 2 
A 0 0
5
5 





 0 0 -8 -11

5
5 

15. Als voor matrices A,B,C geldt dat ABC = 1 dan: ((AB)m Cl) = { m-l : in (AB)}
16. Als voor een matrix A: kA (x)=(x-2)5, mA (x)=(x-2)3 en r2 =2 dan is, op een permutatie van
de blokken na:
2 1 0 0 0


0 2 1 0 0




JA := 0 0 2 0 0
0 0 0 2 0




0 0 0 0 2


17. Als T een endomorfisme is op een vectorruimte V , p een veelterm uit R2 [x] en een
reëel getal zodat p() een eigenwaarde is van p(T) dan is een eigenwaarde van T.
18. Als voor een matrix A geldt: kA (x) = x (x-1)2 (x-2)3 dan is A niet diagonaliseerbaar.
19. Als A en B behoren tot Rnxn dan hebben AB en BA dezelfde verzameling eigenwaarden
en eigenvectoren
20. Vormt de onderstaande afbeelding < , > : U -> R een scalair product ?
< p(x),q(x) > = a0 bn +a1 bn-1 +...+an-1 b1 +an b0
met p(x) = a0 +a1 x+...+an xn
en q(x) = b0 +b1 x+...+bn xn
elementen van U=Rn [x].
21. Waar of vals: ||u vH||F = ||u||F. ||v||F voor alle u,v in Knx1, n>=2.
22. Het begrip "orthogonaal equivalent" vormt een equivalentierelatie op Rn × n.
23. Als A een normale matrix is en p een polynoom dan geldt: ||p(A)||F = p(||A||F)
24. Zij T een lineaire afbeelding C3 -> C3 met T(x,y,z) = (3 x+z,3y-z,3z-y). Bepaal de
eigenwaarden i van T.
1

25. Bepaal een matrix Q zodat Q AQ gelijk is aan een diagonaalmatrix A3

0
-1
3 0

-2 -1

-1 1
26. Bereken m.b.v. de stelling van Cayley-Hamilton de volgende elementen van B = An als
1
1 
 0



2
2 

 1
1 


A := 
0
2 
 2


 1

1

0 
 2
2


a) B2,2
b) B3,1
c) B2,3
27. Zij P [-1,1] de verzameling van veeltermfuncties met reële coëfficiënten die gedefinieerd
zijn op het interval [-1,1].
Ga na dat
1
 p, q  
 p( t ) q ( t ) d t
-1
een inwendig product definieert op P [-1,1]. Als P0 (x)=1, construeer dan stapsgewijs
veeltermen P1 (x), P2 (x), P3 (x) van 1ste, 2de en 3de graad, zó dat Pi (1)=1 en zó dat (P0 , ...,
P3 ) een orthogonaal stel vormt.
a. Gevraagd: P1
b. Gevraagd: P2
c. Gevraagd: P3
28. Als voor een matrix A geldt: mA (x) = x (x-1)2 (x-2)3
Span(I,A,A2,A3,A4,A5).
dan is A6 gelegen in
29. Als A een anti-symmetrische matrix is dan is de som van de eigenwaarden van A gelijk
aan 0.
30. Als voor een matrix A geldt: mA (x) = x (x-1)2 (x-2)3
Span(I,A,A2,A3,A4).
dan is A5 gelegen in
31. Een matrix is inverteerbaar als 0 geen wortel is van de minimale veelterm
32. Elke unitaire benedendriehoeksmatrix is diagonaal
33. Zij V een vectorruimte en (m ≥ 2)
f: Vm -> C: (v1 ,v2 ,...,vm ) -> i≠j <vi ,vj >
dan is U unitair a.s.a. f(Uv1 ,Uv2 ,...,Uvm ) = f(v1 ,v2 ,...,vm ), Voor alle v1 ,v2 ,...,vm in V.
34. Als A een normale matrix is en p een polynoom dan geldt: ||p(A)||2 = p(||A||2)
35.
 -2

 -1

B -2

 -1


2
1
-4
-2
-1
2
0
1
0
1
2
-2

2

0


-2

Zij V de eigenruimte van B horend bij =-2. Bepaal een basis v1 ,v2 van V
1 1
A := 

 1 1
en C(A) = {B behorende tot R2x2 | BA = AB} een deelruimte van R2x2. De vectorruimte R2x2
36.
wordt voorzien van het inproduct < X,Y > = tr(XtY). Aan welke gelijkheden voldoen de
elementen van de matrix
x
X := 
z
y

u 
opdat de orthogonale projectie van X op de deelruimte C(A) gelijk is aan A ? Geef de
vergelijkingen in de vorm {x=...,y=...,...}.
37. Bepaal voor de onderstaande matrix A een bovendriehoeksmatrix B en een unitaire matrix
Q zodanig dat B = QHAQ
1 
 -9


 2
2 
A := 
-7 
 -1


2 
 2
38. De som van een diagonaalmatrix en een diagonaliseerbare matrix is diagonaliseerbaar
39. Als een matrix A inverteerbaar is met inverse B, dan hebben A en B dezelfde
eigenvectoren.
40. Zij V een vectorruimte en (m ≥ 2)
f: Vm -> C: (v1 ,v2 ,...,vm ) -> i≠j <vi ,vj >
dan is U unitair a.s.a.
f(Uv1 ,Uv2 ,...,Uvm ) = f(v1 ,v2 ,...,vm ), Voor alle v1 ,v2 ,...,vm in V.
41. ||u vH||F = ||u||F. ||v||F voor alle u,v in Knx1, n>=2.
42. Als A en B normale matrices zijn dan geldt: A + B normaal a.s.a. Im(ABH)=Im(AHB).
Met Im(A) de beeldruimte van A.
43. Gegeven : T : R2x2 -> R2x2 met T(A) = AT.
a. Bepaal de eigenwaarden i van deze lineaire transformatie
b. Duid nu de elementen aan van R2x2 die geen eigenvectoren zijn van T:
1
a := 
0
0

2
1
b := 
1
1

1
1 1
c := 

-1 1
1
d := 
1
2

2
44. Duid aan wat correct is: de matrix
1

A :=  0

0
2
2
0
3

3

3
is:
diagonaliseerbaar over R en C
diagonaliseerbaar over C en niet over R
niet diagonaliseerbaar
45. Zijn S1 en S2 de matrixvoorstellingen van de reflecties t.o.v. de vlakken 1 en 2 met
respectievelijke vergelijkingen x-2z = 0 en –2x-2y+z = 0.
a. Toon aan dat S2 o S1 een rotatie is. Bepaal de rotatie-as v en de rotatie-hoek .
b. bepaal cos()
46. Als 0 in T 4 dan is 0 in T .
47. Er bestaan antisymmetrische matrices A in R2x2 zodat A12 – 2 A² + 5 = 0
48. Als T een endomorfisme is op een vectorruimte V , p een veelterm uit R2 [x] en een
reëel getal zodat p() een eigenwaarde is van p(T) dan is een eigenwaarde van T.
49. Opdat een endomorfisme T diagonaliseerbaar zou zijn moet T twee aan twee
verschillende eigenwaarden hebben
50. Elke unitaire benedendriehoeksmatrix is diagonaal
51. Bestaat er een reële symmetrische matrix met eigenvectoren [ 1, 2, 2 ], [ 2,-2, 1] en [-2,-1,
3] ?
52. Duid aan wat correct is: de matrix
1

1
A := 
0

0

is:
diagonaliseerbaar over R en C
diagonaliseerbaar over C en niet over R
niet diagonaliseerbaar
1
0
0
0
0
0
1
2
0

0

2
1
OPLOSSINGEN
1. vals
2. waar
3. waar
4. waar
5. waar
6. b en d
7. nee
8. waar
9. waar
10. i, -i, -1
11.
 1 2

 2

U-1
 I 2
2


 0
12.
 1

 4

 7

L
 20

 2

 5

13.
1 0

0 1


0 0

0 0

14.
0




0


1
-1
I 2
2
1
2
2
0
1
4
7
20
2
5
0
0
1
0
1
4
7
20
2
5














0

0

0
1
-3 0 0 -2


 0 -2 1 0


B := 

 0 0 -2 0


 0 0 0 -3


15. waar
16. vals
17. vals
18. vals
19. vals
20. nee
21. waar
22. waar
23. vals
24. 2, 3, 4
 0

 0


1
Q :=  5
5

2
 5
5

1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
2
5
1

5






5 



5 

25.
26. a.
1

Q0

3
-3 -3

5 -2

1 1
1
( -1 ) n
3
1

3 2 ( n1 )
26. b.
1 1 ( -1 ) n

3 3 2n
26. c.
1 1 ( -1 ) n

3 3 2n
27. a. x
27. b. 3 x 21
2
2
27. c.
5 3 3
x  x
2
2
28. waar
29. waar
30. waar
31. waar
32. waar
33. waar
34. vals
35.
 -1, 1, 0, 1 


2 

[ 1, 0, 1, 0 ]
36. { x = x, y = y, u = 2-x, z= 2-y }
37.
-4 -1
B := 

 0 -4
1 2

2
Q := 
1
 2
2
1
2 

2

1 

2
2 
38. vals
39. waar
40. waar
41. waar
42. vals
43. a. –1, 1, 1, 1
43. b. c en d
44. Teacher's answer is:
diagonaliseerbaar over R en C
diagonaliseerbaar over C en niet over R
niet diagonaliseerbaar
45. a. [ 4, 3, -2 ]
45. b. –13 / 45
.
46. waar
47. vals
48. vals
49. vals
50. waar
51. nee
52. Teacher's answer is:
diagonaliseerbaar over R en C
diagonaliseerbaar over C en niet over R
niet diagonaliseerbaar
.