Universele Topologische Kwantumcomputers met

Universele Topologische Kwantumcomputers met Majoranafermionen
in 1D-Draden
Koen Groenland
6039375
Eindversie, 13 juli 2012
Bachelorproject Natuur- en Sterrenkunde, 12 ECTS
Institute of Physics - Instituut voor Theoretische Fysica Amsterdam
Faculteit der Natuurwetenschappen en Informatica
Begeleider: C.J.M. Schoutens
Tweede beoordelaar: A.M. Turner
Samenvatting
Kwantumcomputers bieden de mogelijkheid om specifieke berekeningen significant sneller uit te voeren dan klassieke computers, maar zijn nog moeilijk in te praktijk toe te passen door decoherentie, ongewenste verandering
van de qubits door de omgeving. In dit verslag wordt een systeem bekeken bestaande uit een ééndimensionale
kwantumdraad gecombineerd met een supergeleider en een magnetisch veld. Dit systeem blijkt een speciale
fase te hebben waarin majorana-fermionen aan de uiteindes van een regio ontstaan, die samen een niet-lokaal
fermion vormen. Deze majoranas kunnen worden verwisseld over een driesplitsing van draden, waarbij de golffunctie een niet-Abelse transformatie ondergaat. Een groot bonuspunt is dat de majoranas een qubit kunnen
vormen dat intrinsiek immuun is tegen decoherentie, en dat de verwisselingensoperaties het qubit met oneindige
precisie kunnen manipuleren. Dit komt door de zogenaamde topologische bescherming. Hoewel hiermee dus
een zeer stabiele topologische kwantumcomputer te maken is, zijn de mogelijke operaties niet universeel: niet
elke berekening kan worden uitgevoerd. Het is echter mogelijk om de extra benodigde operaties op een niettopologisch-beschermde manier uit te voeren, waardoor alsnog een relatief stabiele kwantumcomputer gemaakt
kan worden.
Majorana-fermionen: De qubits van de toekomst?
Populair-wetenschappelijke samenvatting voor een scholier op 6 VWO-niveau.
Elk deeltje heeft een eigen anti-deeltje: zo bestaat er naast het elektron een zogenaamd “positron”, met een
energie en lading die precies het tegenovergestelde is van dat van het elektron. In 1937 bedacht Ettore Majorana
dat het ook mogelijk is dat een deeltje zijn eigen antideeltje is. Als de energie E gelijk is aan −E, moet wel
gelden dat E = 0. Hetzelfde geldt voor de lading van het deeltje. Als we een majorana-fermion willen vinden,
moeten we dus kijken naar de neutrale deeltjes die we kennen: het neutron en het neutrino. Inmiddels is
bekend dat het neutron, welke samen met het proton en het elektron een bouwsteen is voor het atoom, een
antimaterie-broertje heeft. Het neutrino, een heel licht deeltje dat bijna overal doorheen vliegt, is wel nog een
mogelijke kandidaat om majorana-deeltje te zijn. Interessant is echter dat we majorana-deeltjes zelf kunnen
maken door op een speciale manier materialen te combineren. Hiervoor is een ééndimensionale kwantumdraad
nodig, een speciaal soort supergeleider, en een magnetisch veld. Door dit op de juiste manier toe te passen,
verschijnen twee majorana-fermionen aan de uiteinden van de draad. In april 2012 publiceerden onderzoekers
van de TU delft hoe ze waarschijnlijk dit deeltje hebben waargenomen. In de afbeelding hieronder is links de
gebruikte opstelling weergegeven.
Links staat de opstelling die bij de TU Delft is gebruikt om de majorana-fermionen waar te nemen. De rode sterretjes geven aan
waar deze majoranas verschijnen. Rechts een artist impression van een kwantumcomputer. Goed te zien zijn de kwantumdraden met
daarop de lichte bolletjes, die majoranafermionen voorstellen.
Het vinden van het majorana-fermion is op zichzelf een interessante wetenschappelijke ontdekking, maar als
bonuspunt blijken majoranas ook zeer handig te zijn in een kwantumcomputer. De computers die we vandaag
de dag kennen, “klassieke” computers, gebruiken bits die ófwel 1 zijn, ófwel 0. Een kwantumcomputer gebruikt
qubits, bits die tegelijkertijd 1 en 0 kunnen zijn. Een groep van 4 bits bij elkaar, kan hierdoor de waarden
1 tot en met 24 = 16 tegelijkertijd aannemen1 . Hierdoor kunnen sommige berekeningen veel sneller worden
uitgevoerd: Zo kan de kwantumcomputer in één stap een bewerking uitvoeren op de getallen 1 tot 16. De
kwantumcomputer biedt vooral veel voordelen bij het zoeken in een database (waar een bedrijf als Google veel
baat bij heeft), of bij het uitschrijven van een groot getal als product van priemgetallen (wat nodig is voor het
breken van de veelgebruikte RSA-encryptie, een manier om informatie beveiligd over internet te versturen).
Een grote uitdaging bij het ontwikkelen van een kwantumcomputer is dat de qubits vaak erg instabiel zijn: de
qubits zijn zo klein, dat invloeden van buitenaf, zoals trillingen en straling, gemakkelijk bijvoorbeeld een 1 in
een 0 kunnen veranderen. In vaktermen heet deze storing van buitenaf “decoherentie”. Wanneer we echter een
qubit maken van twee majoranas aan het uiteinde van een draad tezamen, dan is deze automatisch beschermd
tegen decoherentie. Dit komt doordat de majoranas relatief ver van elkaar afliggen: lokale storingen die slechts
één majorana beı̈nvloeden, kunnen niet het duo van majoranas verstoren.
Een computer dient echter niet alleen stabiele bits te hebben, maar moet ook berekeningen kunnen uitvoeren
met deze bits. Dit is mogelijk door de majoranas in een systeem van draden te verplaatsen. Door in de juiste
volgorde de juiste majoranas te verwisselen, kunnen berekeningen worden uitgevoerd. Interessant is dat deze
verwisselingen, in tegenstelling tot operaties bij andere kwantumcomputers, ook beschermd zijn tegen kleine
foutjes. Het blijkt echter niet mogelijk om álle berekeningen uit te voeren op deze manier: de majoranasqubits zijn niet in staat om een zogenaamde “universele computer” te vormen. Er zijn wel truukjes bedacht
om de missende schakelingen te implementeren, maar deze brengen wel een nadeel met zich mee: de speciale
bescherming die bij het verwisselen van majoranas gold, gaat nu verloren. Helaas is het dus niet mogelijk
om een kwantumcomputer te maken die volledig vrij is van decoherentie, maar majoranas bieden toch meer
bescherming dan andere vormen van qubits.
1 De lezer met meer informatica-achtergrond zal opmerken dat meestal wordt gekozen om de telling bij 0 te laten beginnen, in plaats
van bij 1. De essentie van het verhaal blijft echter hetzelfde, ondanks onze versimpelde uitspraak.
2
Universal topological quantum computation with majorana
fermions in 1D wires
Scientific English abstract.
Quantum computers offer a dramatic speedup compared to classical computers, but implementation is impeded
by decoherence. Majorana fermions emerging at the ends of specific 1D wire systems can form non-local
fermions which are intrinsically protected against local perturbations, and can be defined as decoherencefree qubits. Moreover, majoranas exhibit non-Abelian braiding statistics, which allow majorana-qubits to be
manipulated in a fault-tolerant manner. These topological operations do not densely populate U(2) and cannot
entangle qubits, hence cannot form a universal quantum computer, but there are suggestions to overcome these
limitations with unprotected manipulations. This literature study focusses specifically on Kitaev’s 1D wire
model, and how majoranas can be braided in this system.
3
Inhoudsopgave
1 Inleiding
5
I
6
Universele kwantumcomputers
2 De Turingmachine
6
3 Universele schakelingen
7
4 Toepassingen van kwantumcomputers
4.1 Voordelen van kwantumalgoritmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Een beperking aan kwantumcomputers: decoherentie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
8
9
II
Majoranas in vaste stoffen
5 Kitaevs Model
5.1 Het eigensysteem van de Hamiltoniaan . . . .
5.2 Onderscheid tussen de twee fases . . . . . . .
5.3 Het verschijnen van majoranas . . . . . . . .
5.4 Experimentele waarnemeninge van majoranas
5.5 Kitaevs model in twee dimensies . . . . . . .
III
10
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Een kwantumcomputer met majoranas
6 Majoranas als qubits
6.1 Verwisselen van majoranas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 kwantumschakelingen door majoranaverwisseling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Universele schakelingen met majoranas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV
Vooruitzicht
10
10
13
14
15
16
18
18
18
19
21
24
7 Vooruitzicht topologische kwantumcomputers
24
8 Conclusie
25
V
Appendices
26
A Rekenen met qubits
26
B Tweede Kwantizatie
27
C Afleiding van Bogoliubov-coëfficienten
28
D Fermionen ontbinden in majoranas
28
4
1
INLEIDING
1
Bachelorproject Natuur- en Sterrenkunde,
Koen Groenland
Inleiding
“De verschillende soorten kwantumgeheugen vallen uiteen in topologisch beschermd geheugen, niettopologisch-beschermd geheugen, én op het moment dat je belangrijke data opslaat.”
Vrij naar Joachim Graf 1993, De Computerwetten van Murphy
In 1928 vond Paul Dirac een theoretische beschrijving van fermionen die aan zowel kwantummechanica als
aan speciale relativiteit dienen te voldoen: de Dirac-vergelijkingen. Uit deze vergelijkingen, waarvan de variabelen complex waren, volgden echter ook oplossingen met negatieve energie, zogenaamde “antideeltjes”, welke
al snel na Dirac’s ontdekking experimenteel werden gevonden. In het algemeen geldt dat een antideeltje wordt
beschreven als de complex geconjugeerde van een deeltje: c† is het anti-broertje van c. Ettore Majorana publiceerde in 1937 een artikel [2] waarin hij hij via een slimme aanpassing de dirac-vergelijkingen reëel kon maken.
De oplossingen waren dan ook reële deeltjes die aan γ = γ† voldoen, oftewel deeltjes die hun eigen antideeltje
zijn. Tegenwoordig hebben deze deeltjes de naam majorana-fermionen gekregen, of kortweg majoranas. Als
deeltjesfysicus vroeg Majorana zich af of deze deeltjes in de natuur bestaan. Omdat de lading van een antideeltje
het negatieve is van de lading van het normale deeltje, moesten hij zoeken bij de neutrale deeltjes: het neutron
en het neutrino. Van het neutron is inmiddels bekend dat het een apart antideeltje heeft – anders zouden ook
geen atomen van meer dan 1 neutron kunnen vormen. Mogelijk is echter het neutrino een majorana-fermion,
een optie die momenteel nog onderzocht wordt. Hoewel majoranas tegenwoordig veel aandacht krijgen, is van
Ettore Majorana weinig meer vernomen: een jaar na zijn publicatie is hij spoorloos verdwenen [3].
In 1982 bedacht R. Feynman dat simulatie van fysische systemen misschien wel veel beter zou kunnen op
een computer die van de wetten van de kwantummechanica gebruik kan maken: de kwantumcomputer [9]. In
de afgelopen 30 jaar is er veel vooruitgang geboekt op het gebied van kwantuminformatica, met als hoogtepunt
de ontdekking van algoritmes die sneller werken dan de klassieke informatica ooit had kunnen hopen. Wat
Majorana en Feynman niet hadden kunnen voorspellen, is dat hun geesteskinderen tegenwoordig samenkomen
in een zogenaamde topologische kwantumcomputer, een computer die door zijn ruimtelijke opbouw beschermd
is tegen lokale verstoringen.
Figuur 1: Links aan afbeelding van Ettore Majorana (1906 - 1938?), rechts een afbeelding van Paul Dirac (1902 - 1984).
In dit verslag zal dieper worden ingegaan op hoe deze majorana-fermionen kunnen dienen als kwantumbits
van een topologische kwantumcomputer. De belangrijkste vraag hierbij, is of een majorana-kwantumcomputer
een zogenaamde universele computer kan vormen, welke in staat is om elke nodige berekening uit te voeren.
Het zal blijken dat deze universaliteit niet vanzelfsprekend is. In het eerste deel van deze literatuurstudie zal
een algemene inleiding worden gegeven over de werking van kwantumcomputers, en de voordelen van de nieuwe
algoritmes die mogelijk worden. Hierna volgt een sprong naar de beschrijving van Kitaevs model, een theoretisch model waarbij majorana-fermionen in een kwantumdraad ontstaan. Dit lijkt een volledig ongerelateerd
onderwerp, maar het zal blijken dat de kwantuminformatica en majoranafermionen zeer goed bij elkaar passen,
zoals omschreven wordt in het derde deel.
Het is een vermelding waardig dat tijdens het schrijven van dit verslag, een onderzoeksgroep voor het eerst
een systeem bouwde waarin majoranadeeltjes voorkomen. Dit geeft aan dat dit onderwerp zeer actueel is, en
dat op dit moment nog veel onderzoek naar wordt gedaan. Het is dan ook te verwachten dat we binnen korte
tijd meer zullen horen over deze majoranadeeltjes.
5
2
DE TURINGMACHINE
Bachelorproject Natuur- en Sterrenkunde,
Koen Groenland
Deel I
Universele kwantumcomputers
Voordat men kan praten over een mechanisme dat kwantumcomputaties mogelijk maakt, is het belangrijk om te
begrijpen wat een kwantumcomputer eigenlijk is, en hoe deze verschilt van een klassieke computer. De werking
van een klassieke computer is intuı̈tief goed te begrijpen, omdat alle operaties zijn gebaseerd op “klassieke”
booleaanse logica, die in de afgelopen eeuwen uitvoerig is uitgewerkt. Hoewel een klassieke computer zich ook
aan de wetten van de kwantummechanica dient te houden, worden er geen kwantummechanische verschijnselen
zoals verstrengeling uitgebuit om een berekening uit te voeren. De kwantumcomputer is een computer die wél
van deze niet-klassieke natuurkunde gebruik maakt. Dit levert veel nieuwe mogelijkheden op, zoals omschreven
zal worden in deze sectie.
Waar een klassieke computer gebruik maakt van bits, gebruikt een kwantumcomputer zogenaamde kwantumbits (of kortweg qubits), welke een superpositie van toestand 1 en 0 kunnen aannemen:
a0
|ψi = a0 |0i + a1 |1i =
a1
In dit verslag zal de basis (|0i, |1i) worden gebruikt. Meerdere bits, en de operaties die hierop werken,
kunnen worden beschreven door het tensorproduct “⊗” tussen toestanden te nemen. Het wordt de lezer sterk
aangeraden om op dit punt appendix A te lezen als inleiding op kwantumbits en de bijbehorende operaties.
Een belangrijke eigenschap van de operaties van een kwantumcomputer, die niet terug wordt gevonden
bij een klassieke computer, is omkeerbaarheid [12]. Dit komt doordat de enige mogelijke bewerkingen op een
kwantumsysteem, unitaire transformaties in de toestandsruimte zijn. Wanneer een operatie omkeerbaar is, dan
is het altijd mogelijk om, vanuit de uitkomst van de logische operatie, terug te keren naar de begintoestand.
De uitkomst van een operatie dient dus uniek te zijn. Merk op dat veelgebruikte logische operatoren zoals
AND en OR hier niet aan voldoen, omdat deze operaties duidelijk niet injectief zijn. Het is echter mogelijk
om het omkeerbare equivalent van deze te gebruiken bij zowel klassieke- als kwantum-computers [39, 12].
kwantumcomputers hebben een andere veel sterkere beperking, namelijk de “no-cloning theorem”: deze zegt
dat het onmogelijk is om een perfecte kopie te maken van een willekeurige kwantumtoestand [39]2 . Hierdoor is
het onmogelijk om tussentijdse backups te maken in een berekening, om zodanig fouten te voorkomen. Dit is
gemakkelijk te bewijzen: Stel er bestaat een operatie U die voor elke ψ de toestand |ψi|0i stuurt naar |ψi|ψi. Dan
geldt U(|ψi+|φi)|0i = (|ψi+|φi)(|ψi+|φi) maar vanwege lineariteit geldt ook dat U(|ψi+|φi)|0i = |ψi|ψi+|φi|φi,
wat een tegenspraak oplevert. Ten behoeve van het overzicht is hierbij de normalisatie weggelaten.
In dit deel zal worden gekeken hoe een universele computer beschreven kan worden, en aan welke voorwaarden
een universele kwantumcomputer dient te voldoen. Een veelgebruikte methode hiervoor, is aan de hand van
het volgende model.
2
De Turingmachine
In 1936 publiceerde Alan Turing een artikel (zie Ref [4]) waarin hij een mechanisme beschreef dat tegenwoordig bekend staat als de Turingmachine. Dit mechanisme wordt vaak gebruikt om een simpele computer te
beschrijven, en om universele computers te definiëren [7]. De Turingmachine bestaat uit een leeskop die kan
bewegen over een oneindig tape, bestaande uit vakjes met symbolen, zoals weergegeven in figuur 2. Het aantal
verschillende symbolen is eindig, en groter dan 1. De leeskop is altijd in één van de eindig aantal toestanden3 ,
en begint in een gespecificeerde toestand. Bij iedere stap zal de leeskop uit een tabel halen wat hij moet doen,
afhankelijk van zijn toestand en het gelezen symbool. De volgende drie acties dienen te worden aangegeven in
de tabel:
• Plaats een nieuw gespecificeerd symbool onder de leeskop, en
• Blijf op de huidige positief of beweeg één vakje naar links of rechts, en
• Neem een gespecificeerde toestand aan.
2 Een eerste gedacht is wellicht dat een Controlled-NOT-poort (zie appendix A), werkende op een toestand met alleen maar nullen,
een kopie kan maken. Deze zal echter een verstrengelde toestand geven, en de gemaakte “kopie” kan dus niet onafhankelijk van het
origineel worden bewerkt.
3 Turing zelf beschreef dit systeem alsof een persoon het werk van de leeskop doet. Dit betekent dat een persoon zich in één van de
eindig aantal toestanden bevindt, wat Turing een redelijke aanname vond omdat het brein zich slechts in een eindig aantal toestanden
kan bevinden. De persoon in kwestie zou nu slaafs de operaties uitvoeren die horen bij zijn toestand. De auteur vind het echter intuı̈tief
duidelijker om de werkende persoon als “leeskop” te omschrijven, omdat dat de verwachting van vrije wil wegneemt, zonder iets te
veranderen aan de werking de Turingmachine.
6
3
UNIVERSELE SCHAKELINGEN
Bachelorproject Natuur- en Sterrenkunde,
1
2
3
4
Toestand:
1
1
0
0
0
Koen Groenland
1
0
0
1
0
0
1
Figuur 2: Een schematische weergave van de Turingmachine. De lijst van symbolen bestaat in dit geval enkel uit enen en
nullen. De leeskop kan zich in vier toestanden bevinden, en bevindt zich momenteel in toestand 3.
Omdat het aantal toestanden van de leeskop, en het aantal symbolen, eindig is, kunnen de specificaties
van deze drie acties omschreven worden in een eindige tabel. Zo kan in deze tabel staan: “Als de kop zich in
toestand 3 bevindt, en het symbool 0 leest, schrijf dan een 1, beweeg naar rechts, en neem toestand 2 aan”. Zo
zal deze machine oneindig door blijven gaan, totdat deze mogelijkerwijs “Halt” in de tabel ziet staan, waarna
de machine stopt en de computatie afgelopen is. Op deze manier is het mogelijk om, door het juiste tape en
de juiste tabel te gebruiken, een bepaalde logische operatie uit te voeren. Merk op dat een specifieke tabel een
unieke Turingmachine beschrijft, terwijl het tape gevarieerd mag worden – dit is dus te zien als de “input”.
Het mag duidelijk zijn dat de Turingmachine een bijzonder omslachtige computer is, die nooit voor praktische
doeleinden zal worden gebruikt. Het geeft echter wel de mogelijkheid om te praten over universele computers.
Een Turingmachine met een gespecificeerde tabel kan een bepaalde operatie uitervoeren. Voor praktische
toepassingen is het echter handig om een apparaat te maken dat equivalent is aan de zogenaamde “universele”
Turingmachine.
3
Universele schakelingen
Een “Universele” Turingmachine is een apparaat dat een willekeurige andere Turingmachine kan simuleren,
mits de juiste input (oftewel de begintoestand van het tape) wordt gegeven. Zo zou aan het begin van het tape
een programmering kunnen staan, welke de Turingmachine als eerste leest, gevolgd door de “normale” input.
Een dergelijke simulatie is niet efficiënt omdat er over het algemeen meer bewerkingen nodig zijn dan dat de
originele machine nodig zou hebben. Een universele Turingmachine hoeft echter niet een bijzonder grote tabel
te hebben: er is aangetoond dat er met een alfabet van 3 tekens en een set van 2 toestanden, een universele
Turingmachine gemaakt kan worden [14], waardoor een tabel van slechts 2 × 3 = 6 regels nodig heeft. Wanneer
het alfabet beperkt wordt tot bits, dan blijkt er een universele Turingmachine met 15 toestanden te bestaan [13].
Merk op dat alle hedendaagse PC’s equivalent zijn met de universele Turingmachines, omdat ze een arbitrair
programma uit kunnen voeren. Van een praktische kwantumcomputer wordt dan ook verwacht dat deze ook
een kwantumalgoritme uit kan voeren.
D. Deutsch bedacht dat het ook mogelijk is om een kwantumturingmachine te definiëren, die werkt met
een geheugen van kwantumtoestanden [15]. De vraag is nu of een dergelijke kwantumturingmachine universeel
kan zijn. In principe kan een kwantumturingmachine nooit een willekeurige andere kwantumturingmachine met
oneindige precisie simuleren, omdat kwantumsystemen zich in oneindig veel toestanden kunnen bevinden, en
omdat er oneindig veel operaties op een kwantumtoestand mogelijk zijn. Universaliteit is echter wel mogelijk,
als we de minder strenge eis stellen dat elke kwantumturingmachine tot op iedere gewenste precisie gesimuleerd
dient te kunnen worden. Deze definitie zal dan ook gebruikt worden, wanneer we praten over een universele
kwantumcomputer. In de praktijk betekent dit, dat een universele quantumcomputer elke unitaire operatie tot
op de gewenste precisie dient te kunnen benaderen.
De berekeningen in een computer worden gedaan door een set poorten, die samen een schakeling vormen.
Een schakeling in een universele computer dient in staat te zijn om elke mogelijke logische bewerking uit te voeren. Bij de booleaanse logica wordt vaak gebruik gemaakt van de universele set “poorten” {AND, OR, NOT}4 ,
welke intuı̈tief prettig is in gebruik. Omdat een AND poort met behulp van NOT en OR te maken is, is ook
{NOT, OR} een universele set, en dezelfde beredenatie geldt voor {NOT, AND}. De operatoren NAND (de
AND poort die vervolgens negatie toepast) en de operator NOR (de OR poort die vervolgens negatie toepast)
zijn beide poorten die op zichzelf universeel zijn. Dit is gemakkelijk aan te tonen: door een enkel signaal in
beide ingangen van de NAND te plaatsen wordt een NOT-poort gevormd, en door deze NOT achter de NAND
4 De Nederlandse vertaling {EN, OF, NIET} wordt ook wel gebruikt. Er geldt dat (a AND b) alleen waar is als zowel a als b waar
zijn, en (a OR b) is alleen onwaar als zowel a als b onwaar zijn. (NOT a) is waar (onwaar) als a onwaar (waar) is. Hierbij geldt dat
“waar” wordt vertegenwoordigt door |1i en “onwaar” wordt vertegenwoordigd door |0i.
7
4
TOEPASSINGEN VAN KWANTUMCOMPUTERS
Bachelorproject Natuur- en Sterrenkunde,
Koen Groenland
te plaatsen maakt men een normale AND-poort. Zie ook afbeelding 3. Dezelfde beredenatie gaat op voor de
NOR-poort. Bij de productie van computerchips stijgen de kosten bij het toepassen van meer verschillende
soorten poorten, waardoor bijna altijd gebruik wordt gemaakt van enkel NAND-poorten [8]. Dit voorbeeld
geeft aan dat het vaak niet nodig is om veel poorten verschillende poorten te hebben, maar dat het handig is
om naar een zo klein mogelijke set poorten te zoeken die gezamelijk een universele schakeling kan bouwen.
NOT(a AND b)
a AND b
a
NAND
NAND
b
Figuur 3: Door het op de juiste manier opstellen van twee NAND-poorten is het mogelijk om de AND-poort te maken.
Bij de eerste stap wordt de negatie genomen van de AND-operatie op de input. Door de uitkomst vervolgens
op te splitsen en in beide ingangen van de NAND-poort te sturen, wordt de negatie ongedaan gemaakt.
Merk op dat de hierboven genoemde poorten geen omkeerbare poorten zijn. Om een universele omkeerbare
schakeling te vinden, is minder gemakkelijk. Voor omkeerbare schakelingen die werken op 1 bit zijn slechts 2
mogelijkheden (de identiteit, en NOT), en met een input van 2 bits (dus van {a, b} naar {c, d} zijn slechts
4! = 24 verschillende poorten te bedenken. Geen van deze poorten is echter universeel [6]. Voor een universele
omkeerbare schakeling zijn drie-bits-poorten nodig zoals de dubbel-gecontroleerde NOT (CCNOT, ook bekend
als Toffoli) of de gecontroleerde SWAP (CSWAP, ook bekend als Fredkin) [12].
Voor quantumcomputers geldt dat een quantumpoort een specifieke unitaire operatie kan toepassen op een
set qubits. Doordat qubits oneindig veel toestanden aan kunnen nemen, is het onmogelijk dat een eindige set
kwantumpoorten daadwerkelijk elke willekeurige toestand met oneindige precisie naar een willekeurige andere
toestand kunnen sturen. De eis voor een universele set kwantumpoorten is dat ze dit binnen een arbitraire
nauwkeurigheid kunnen doen: alle unitaire operaties op twee toestanden (U(2)) moeten “voldoende nauwkeurig” benaderd kunnen worden, door een eindige serie van poorten achter elkaar toe te passen. Lang werd gedacht
dat voor een universele kwantumschakeling altijd drie-bits poorten nodig zouden zijn, wat in de praktijk vaak
erg moeilijk toe te passen is. Dit blijkt echter niet het geval: D. Deutsch toonde aan dat bijna elke poort
die twee bits met elkaar verstrengelt, een universele set kan maken, wanneer deze wordt vergezeld door voldoende 1-qubitpoorten [5]. Omdat een enkele qubit vaak relatief makkelijk te bewerken is, betekent dit dat een
quantumsysteem waar een verstrengelende 2-qubit-poort op gevonden kan worden, bijna automatisch universeel
is.
4
Toepassingen van kwantumcomputers
In deze sectie zal kort in worden gegaan op de voordelen die kwantumcomputers bieden te opzichte van hun klassieke equivalenten. De nieuwe mogelijkheden van de kwantuminformatica zijn een grote motivatie om onderzoek
naar kwantumcomputers voort te zetten. Ze brengt echter ook nieuwe uitdagingen met zich mee, waaronder
decoherentie. De laatstgenoemde zal een belangrijke rol blijken te spelen in dit verslag, en daarom is het belangrijk om er kennis van te nemen. Een uitgebreide beschrijving van de voor- en nadelen van kwantumcomputers
is voorbij de scope van dit verslag: er is gekozen om enkele voorbeelden kort te behandelen.
4.1
Voordelen van kwantumalgoritmes
Door slim om te gaan met de kwantummechanische eigenschappen van qubits, zijn enkele specifieke processen
in minder stappen uit te voeren dan met een klassieke computer. Hier zullen drie van de belangrijkste snelheidswinsten worden besproken, namelijk simulatie van kwantumsystemen, priemontbinding, en het zoeken in
databases.
Simulatie van kwantumsystemen De eerste motivatie voor kwantumcomputers werd gegeven door R.
Feynman in Ref. [9], waarin hij bespreekt hoe onhandig de simulatie van algemene fysische systemen op een
computer verloopt: hoewel de tijd en ruimte, maar ook kansen, continu zijn, kan de computer enkel met discrete
waarden werken. Voor een accurate beschrijving van continue variabelen is een groot aantal berekeningen en
geheugenplaatsen nodig: voor een systeem van N gekwantiseerde ruimtelijke punten en R kwantummechanische
deeltjes moeten NR mogelijke toestanden beschreven kunnen worden. Er valt echter nog meer te simuleren, zoals
krachtvelden, zodat de “grootte” van de computer al snel van de orde NN zal worden. Wanneer nu de grootte
8
4
TOEPASSINGEN VAN KWANTUMCOMPUTERS
Bachelorproject Natuur- en Sterrenkunde,
Koen Groenland
van het te simuleren systeem lineair toeneemt, zal de hoeveelheid benodigd geheugen exponentieel toenemen,
wat al snel leidt tot simulaties die niet praktisch mogelijk zijn. Het is de vraag of het überhaupt mogelijk is om
met een universele computer een natuurkundig systeem perfect te simuleren: de Church-Turing-hypothese stelt
dat dit mogelijk is, maar deze is voor klassieke computers nog niet bewezen. Een betere manier van de natuur
te simuleren is door daadwerkelijk een natuurkundig systeem te gebruiken, welke de simulatie met oneindige
precisie zou kunnen volbrengen. En aangezien de natuur kwantummechanisch is, is de enige juiste simulatie te
doen door een systeem dat deze wetten incorporeert. Een kwantumcomputer blijkt dan ook in staat om wél
aan de Church-Turing-hypothese te voldoen [15].
Grover’s algoritme In 1996 bedacht L.K. Grover een algoritme (zie Ref. [10]) waarmee zeer snel een
inverse van een functie kan worden genomen, en beschreef dit als het zoeken in een database. Stel dat er N
namen in een ongesoorteerd telefoonboek staan, waar we een specifiek persoon y in willen vinden. Een klassieke
computer kan niet beter doen dan alle namen één voor één te bekijken, en zal daarom gemiddeld N/2 stappen
nodig hebben. Op een kwantumcomputer is het echter mogelijk om de qubits alle personen tegelijkertijd te
laten coderen, waarna met een enkele operatie de specifieke persoon aangewezen kan worden. Voor het correct
uitlezen van de berekening zijn echter√nog extra stappen nodig, maar toch slaagt dit algoritme er in om te
slagen in een aantal stappen van orde N .
Shor’s algoritme Wellicht de meest interessante snelheidswinst van kwantumcomputers is te danken aan
het algoritme van P.W. Shor uit 1994 [11]. Deze beschrijft een algoritme dat in staat is om op een efficiënte
manier een groot getal op te delen in zijn priemfactoren. Voor een klassieke computer is geen algoritme bekend
dat een getal van N cijfers kan priemontbinden in een tijd die als een polynoom opschaalt bij grotere N.
Hier maakt de veelgebruikte RSA-encryptie gebruik van: deze code is te kraken door een zeer groot getal te
factoriseren, wat niet uitvoerbaar wordt geacht voor een klassieke computer [39]. Het algoritme van Shor schaalt
echter beter dan N3 , wat het kraken van coderingen misschien mogelijk gaat maken.
4.2
Een beperking aan kwantumcomputers: decoherentie
Alle eerder beschreven kwantumcomputers werden gemodeleerd als ideale computers, in de zin dat deze computers geen fouten maken. Dit lijkt heel aannemelijk: een klassieke computers maakt bij de ∼ 109 berekeningen
die per seconde gemaakt worden haast nooit fouten, zoals het lezen van een |1i als een |0i, of andersom.
De situatie bij kwantumcomputers is echter ingewikkelder, omdat een bit een continu spectrum aan waarden
(|Ψi = α|0i + β|1i) kan aannemen. kwantumbits zijn vaak kleine systemen die gemakkelijk door de omgeving
worden beı̈nvloed: wanneer de omgeving een verandering in de toestand veroorzaakt, wordt dit decoherentie
genoemd. Zo is het mogelijk dat de qubit en de omgeving (e) vanuit een initiële toestand |ei|0i met elkaar
verstrengelen tot de toestand |e0 i|0i + |e1 i|1i5 , wat de berekening duidelijk kan verstoren [39]. Tevens is het
mogelijk dat de fase van een toestand verandert: zo kan bij een toestand |0i + eiφ |1i de waarde van φ door
externe factoren veranderen. Deze decoherentie kan zowel voorkomen in de logische poorten (wanneer er zeer
waarschijnlijk een interactie is met de omgeving), als wanneer de qubits slechts “opgeslagen” liggen6 . Omdat
de kwantumpoorten ook een continu spectrum vormen, is het ook mogelijk dat hier fouten in optreden: zo kan
een poort die de fase van een toestand met θ dient te veranderen, een verschuiving van θ + toepassen. Dit
is echter geen decoherentie, maar een consistente fout in het ontwerp van de schakeling. Toch vormt dit een
vergelijkbaar probleem, omdat het voor veel fysische systemen onmogelijk is om een toestand met oneindige
precisie te veranderen.
5 Ten
behoeve van het overzicht is de normalisatie weggelaten. Merk op dat dit niet per definitie foutief is, omdat de normalisatie
in de omgevingsvector kan worden verwerkt.
6 Sommige auteurs beschrijven het onaangetast liggen van qubits alsof er constant een identiteitsoperatie wordt toegepast. Dit is
uiteraard volledig equivalent met “opgeslagen liggen” en geeft de mogelijkheid om de twee manieren waarop decoherentie kan optreden
met één model te beschrijven.
9
5
KITAEVS MODEL
Bachelorproject Natuur- en Sterrenkunde,
Koen Groenland
Deel II
Majoranas in vaste stoffen
Vanaf hier volgt een sprong naar een ogenschijnlijk ongerelateerd onderwerp, vanaf kwantumcomputereigenschappen naar een fysisch vaststestofsysteem waarin majorana-deeltjes verschijnen. Het zal echter blijken dat
dit specifieke systeem zeer interessant is als kwantumcomputer, waardoor de twee onderwerpen in deel III weer
samenkomen. In de beschrijving van materiaaleigenschappen wordt gebruik gemaakt van “tweede kwantisatie”,
een truuk om overzichtelijk met veel deeltjes te kunnen werken. Het wordt de lezer die hier niet mee bekend is,
sterk aangeraden om op dit punt appendix B te lezen.
5
Kitaevs Model
Een simpel maar onrealistisch model waarbij Majorana-fermionen verschijnen aan de uiteinden van een kwantumdraad wordt beschreven door Yu Kitaev [19]7 . Beschouw een ééndimensionale kwantumdraad die op een
supergeleider ligt. In de draad zijn N 1 (rooster)plekken die elk bezet kunnen worden door één elektron.
De plaatsen hebben een onderlinge afstand gelijk aan 1, en krijgen elk een label x = 1, 2, ..., N toegewezen.
Het is wenselijk dat er geen effecten van elektronspin optreden. Het is mogelijk om de spin “uit te zetten”
door een redelijk sterk magneetveld toe te passen, zodat alle elektronen een spin in dezelfde richting hebben.
Normale supergeleiding treedt op doordat twee elektronen met verschillende spin een cooperpaar vormen, wat
nu duidelijk niet meer mogelijk is. Daarom hebben we een supergeleider nodig die elektronen met dezelfde spin
paart, een zogenaamde p-wave supergeleider. De hamiltoniaan voor dit systeem wordt gegeven door:
H = −µ
X
x
c†x cx −
1X †
(tcx cx+1 + Λeiφ cx cx+1 + h.c.)
2 x
(1)
Hierin is cx (c†x ) de operator die een elektron op plek x annihileert (creëert). De eerste term beschrijft de
bindingsenergie van een elektron op de roosterplek, welke voor elke elektron gelijk is aan −µ. De tweede term
wordt veroorzaakt door de tunneling van elektronen tussen naastliggende roosterplekken, waarbij de sterkte
van deze zogenaamde “hopping” wordt gegeven door de parameter t. De laatste term beschrijft de vorming
van cooperparen, waarbij Λ de sterkte van de p-wave paring geeft, en φ de supergeleidende fase voorstelt.
De afkorting h.c. staat voor de hermitisch geconjugeerde, welke ook bij hamiltoniaan hoort maar ten behoeve
van het overzicht niet opgeschreven wordt. Voordat we laten zien dat er majoranafermionen in dit systeem
opduiken, is het belangrijk om de eigenschappen van dit systeem te bekijken.
5.1
Het eigensysteem van de Hamiltoniaan
Om de bulkeigenschappen van dit systeem te analyseren, nemen we aan dat de randvoorwaarden periodiek
zijn (oftewel: f(x + N) = f(x) voor een willekeurige functie f). Dit geeft aanleiding tot het toepassen van een
fouriertransformatie:
1 X −ik·x
e
ck
cx = √
N k
1 X ik·x
ck = √
e
cx
N x
(2)
Hierbij stelt k het golfgetal voor van een golfbeweging door het rooster voor. De eerste term van de
hamiltoniaan van vergelijking 1 wordt H1 genoemd. Dit deel kunnen we omschrijven tot
X †
X †
µ X X i(k−k 0 )·x †
H1 = −µ
cx cx = −
e
ck ck 0 = −µ
ck ck
(3)
N
0 x
x
k
k,k
Bij de laatste stap wordt gebruikt dat de som van de e-macht nul is, tenzij k = k 0 waarbij de som over e0
optelt tot N. Het gevonden resultaat is geheel naar verwachting: als een deelte op plaats x een energie µ oplevert,
dan geldt hetzelfde voor een deeltje met golfgetal k. Dit deel van de hamiltoniaan blijft dus gediagonaliseerd.
Uit de middelste term (H2 ) en zijn conjugaat volgt:
H2 = −
tX †
t X X −i(k−k 0 )·x −ik †
t X −ik †
cx cx+1 = −
e
e ck ck 0 = −
e ck ck
2 x
2N
2 k
0 x
(4)
k,k
7 Kitaev noemde dit zelf een “Toy Model” [19], en ook andere literatuur verwijst naar “Kitaev’s Toy Model” [29]. De vertaling
“Speelgoedmodel” leek echter enigszins demigrerend tegenover de heer Kitaev. Hierom is gekozen om het speelgoeddeel uit de vertaling
weg te laten.
10
5
KITAEVS MODEL
Bachelorproject Natuur- en Sterrenkunde,
H†2 = −
t X +ik †
e ck ck
2 k
Koen Groenland
(5)
Omdat geldt dat 2 cos(x) = eix + e−ix kunnen we de eerste termen van de hamiltoniaan samenvoegen.
X
H2 + H†2 = −t
cos(k)c†k ck
(6)
k
H1 + H2 +
H†2
X
X
=−
(µ + t cos k)c†k ck =
(k)c†k ck
k
(7)
k
waarbij (k) = −µ − t cos(k). Voor de laatste term H3 geldt:
H3 = −
Λeiφ X X −i(k+k 0 )·x −ik 0
Λeiφ X +ik
Λeiφ X
cx cx+1 = −
e
e
ck ck 0 = −
e ck c−k
2
2N
2
0 x
x
k
(8)
k,k
Merk op dat we bij de laatste stap hebben gekozen voor k 0 = −k, oftewel alle k 0 worden vervangen voor een
k. Het is echter ook mogelijk om alle k te vergangen voor −k 0 , waarmee wordt gevonden dat
H3 = −
Λeiφ X −ik 0
e
c−k 0 ck 0
2
0
(9)
k
Door beide vormen van H3 bij elkaar op te tellen vinden we
2H3 =
X
Λe−iφ X −ik
(e
− eik )c−k ck =
∆(k)c−k ck
2
k
k
waarbij ∆ = −iΛe−iφ sin(k). Het conjugaat H†3 is nu makkelijk te vinden, namelijk
X ∗
2H†3 =
∆ (k)c†k c†−k
(10)
(11)
k
Hierbij staat de asterix in ∆∗ voor de complex geconjugeerde van ∆. De hamiltoniaan voor de momentumruimte is nu in matrixvorm te schrijven:
∆∗ c 1X †
k
Hc =
(12)
ck c−k
∆ −
c†−k
2
k
Deze hamiltoniaan is te diagonaliseren met behulp van een Bogoliubovtransformatie [29]. Hierbij definiëren
we de nieuwe operatoren a en a† :
ak = uk ck + vk c†−k
(13)
a†k = u∗k c†k + v∗k c−k
Hierbij zijn de complexe getallen u en v functies van k, ook als dit niet expliciet wordt genoteerd. We willen
dat de nieuwe operatoren aan de anticommutatierelaties voor fermionen (vergelijking 58) voldoen. Door deze
uit te schrijven vinden we
δij = {ai , a†j } = ui u∗j {ci , c†j } + ui v∗j {ci , c−j } + u∗j vi {c†−i , c†j } + vi v∗j {c†−i , c−j }
= δij (ui u∗j + vi v∗j ) = δij (|u|2 + |v|2 )
(14)
De operatoren a en a† voldoen dus aan anticommutatierelaties als |uk |2 + |vk |2 = 1 voor elke k, wat betekent
dat de transformatie unitair is. Hierdoor blijft het aantal deeltjes behouden, zoals de bedoeling is. Nu kunnen
de vectoren in vergelijking 12 omgeschreven worden in termen van a en a† :
c†k
ck
c†−k
c−k
=
=
u∗
−v∗
ak
v
u
a†−k
ak
a†−k
u
v∗
−v
u∗
Door substitutie en het uitwerken van de matrix wordt nu de volgende hamiltoniaan gevonden:
ak
1X
r
s
Ha =
ak a†−k
s∗ −r
a†−k
2 k
11
(15)
(16)
5
KITAEVS MODEL
Bachelorproject Natuur- en Sterrenkunde,
Koen Groenland
r = (u∗ u − v∗ v) + ∆vu∗ + ∆∗ v∗ u)
∗
2
s = −2uv − ∆v + ∆ u
(17)
2
(18)
Het doel is om deze hamiltoniaan Ha te diagonaliseren. Daartoe dienen u en v zodanig te worden gekozen
dat s = s∗ = 0. Om dit te bereiken, wordt s met ∆/u2 vermenigvuldigd, zodat de ABC-formule kan worden
toegepast om x = ∆v/u te vinden.
2 2
∆
∆v
∆ v
s · 2 = |∆|2 − 2
−
=0
(19)
u
u
u2
p
∆v
= − + 2 + |∆|2 |
(20)
u
Hierbij is voor de positieve wortel gekozen, zodat de energieën positief worden. Er is nu genoeg informatie
om u en v tot op een fase vast te stellen. De fase verandert niets aan de daadwerkelijke eigenschappen van het
systeem [28], dus deze is vrij te kiezen. Omdat v = xu/∆ en |u|2 + |v|2 geldt
x2
x2
2
2
2
1 = |u| +
|u| = |u| 1 +
|∆|2
|∆|2
x=
|u|2 =
|∆|2
1
p
=
2
2
1 + x /|∆|
|∆|2 + ( |∆|2 + 2 − )2
(21)
Met enkele algebraı̈sche bewerkingen kan dit worden omgeschreven8 naar:
!
1
2
1+ p
|u| =
2
2 + |∆|2
(22)
Hiermee wordt de waarde van |v|2 gevonden:
1
1
=
|v| = 1 − |u| = 1 − − p
2 2 2 + |∆|2
2
2
2
1− p
2
+ |∆|2
!
(23)
Nu de coëfficienten |u|2 en |v|2 vastgesteled zijn met de conditie dat de hamiltoniaan in vergelijking 16
gediagonaliseerd moet zijn, kunnen de diagonaaltermen bepaald worden. Merk op dat de fases van u en v weer
niet relevant zijn, omdat deze geen fysische betekenis hebben. We kunnen dus alles afleiden met enkel |u|2 en
|v|2 bekend. Voor de waarden op de diagonaal werd ±r gevonden:
r = (|u|2 − |v|2 ) + (∆vu∗ + h.c.)
Voor de eerste term vinden we
−
p
− p
2
2
2 |∆| + 2 |∆|2 + 2
(|u| − |v| ) = 2
2
!
= p
2
|∆|2 + 2
(24)
Voor de tweede term gebruiken we dat v = xu/∆, waarmee we vinden dat:
1
∆vu = |u| x =
2
∗
2
1+ p
|∆|2 + 2
!
1
p
− + |∆|2 + 2 =
2
1
=
2
p
− + |∆|2 + 2 − p
p
!
2
+
|∆|2 + 2
!
2
|∆|2 + 2 − p
|∆|2 + 2
(25)
Aangezien ∆vu∗ enkel uit rele termen bestaat, heeft het hermitisch conjugaat precies dezelfde waarde,
waardoor de factor 1/2 wegvalt. Wanneer de twee termen bij elkaar opgeteld worden vinden we dat
q
r = |∆|2k + 2k ≡ Ebulk (k)
(26)
Hierbij wordt de afhankelijkheid van k weer expliciet weergegeven. Uiteindelijk wordt hiermee de gediagonaliseerde hamiltoniaan [29]:
X
H=
Ebulk (k)a†k ak
(27)
k
8 De
volledige uitwerking hiervan kan worden gevonden in appendix C.
12
5
KITAEVS MODEL
Bachelorproject Natuur- en Sterrenkunde,
Koen Groenland
Omdat Ebulk altijd positief is, en elk a-fermion positief bijdraagt aan de hamiltoniaan, is de grondtoestand
|gsi een toestand zonder a-fermionen. |gsi is nu te vinden met behulp van de eis dat ak |gsi = 0 voor iedere k.
Hiermee vinden we dat
Y
|gsi ∝
uk + vk c†−k c†k |0i
(28)
k
waarbij |0i de toestand zonder c-fermionen is. Het is gemakkelijk te controleren of dit inderdaad de grondtoestand is.
ak |gsi ∝ (uk ck + vk c†−k )(uk + vk c†−k c†k )|0i
(29)
= 0 + uvc†−k |0i + uvck c†−k c†k |0i + 0 = uv| − ki − uv| − ki = 0
Het energie-spectrum van vergelijking 27 vertoont een opvallende fase-overgang. Er zijn twee waarden voor
µ waarbij de bandkloof zal sluiten; hiervoor moeten zowel als ∆ gelijk zijn aan 0. In figuur 4 zijn deze situaties
weergegven. Wanneer µ = t wordt gekozen, dan zal de kloof sluiten bij cos(k) = 1 oftewel k = 0. Wanner µ
wordt ingesteld op −t, dan zal er geen kloof zijn bij k = π. Omdat bij deze speciale waarde van k de p-wave
paringsamplitude ∆ wegvalt, zullen bij deze golfgetallen geen cooperparen optreden [29].
Ebulk
Ebulk
4
4
3
3
2
2
1
-3
-2
-1
1
1
2
3
-3
-2
-1
1
2
3
k
Figuur 4: De energie Ebulk als functie van golfgetal k, bij ∆ = 4 en t = 2. Bij het linker figuur is gekozen voor µ = t zodat
de energie nul wordt bij k = 0. Bij het rechterfiguur geldt µ = −t zodat de sluiting plaatsvindt bij k = π.
Aan het begin van deze subsectie is de aanname gedaan dat ons systeem uit een draad met N plekken
bestaat. De afleiding voor het eigensysteem is dus gedaan voor een ééndimensionaal systeem. Er is echter
nergens in de afleiding gebruik gemaakt van de eigenschap dat het hier om een ééndimensionaal systeem gaat;
dezelfde fysica zal opgaan voor een systeem in twee of zelfs drie dimensies [28].
5.2
Onderscheid tussen de twee fases
In deze subsecties zullen we laten zien dat er een duidelijk topologisch verschil is tussen de eigenschappen van
ons systeem wanneer |µ| < |t| of wanneer |µ| > |t|. Hiertoe volgen we een argument van Jason Alicea in Ref
[29], waarbij de de middelste matrix van de hamiltoniaan van vergelijking 12 wordt ontbonden in een basis van
paulimatrices σ123 :
∆∗
0 1
0 −i
1 0
= h(k) · σ = h1
+ h2
+ h3
(30)
∆ −
1 0
i 0
0 −1
Hieruit volgt meteen dat

 

h1 (k)
Re(∆)
 h2 (k)  =  Im(∆) 
h3 (k)
(31)
Merk op dat het door de symmetrie om k alleen nodig is om de positieve waarde van k te beschouwen.
^
Definiëer nu de eenheidsvector h(k)
= h/|h|. Deze is alleen correct gedefniëerd is zolang µ 6= ±t, zodat h(k)
nooit 0 kan worden. We bekijken het gedrag van h als functie van k op het oppervlak van een eenheidsbol
(waarbij {1, 2, 3} = {x, y, z}). Omdat |∆| ∝ sin k, zullen voor de waarden k = 0 of k = π de x- en y-componenten
van h wegvallen, oftewel
^
^
h(0)
= h^1 z
^ = s0 z
^, h(π)
= sπ z
^
(32)
waarbij s0 en sπ de waardes +1 of −1 kunnen hebben. Stel nu dat |µ| > |t|, waardoor h3 = = −t cos(k) − µ
^
voor iedere k het teken van µ heeft. In dat geval geldt s0 = sπ , en de vector h(k)
blijft op één hemisfeer van de
13
5
KITAEVS MODEL
Bachelorproject Natuur- en Sterrenkunde,
Koen Groenland
eenheidsbol. h3 verandert immers nergevens van teken. Stel echter dat |µ| < |t|. Nu is de cosinus bepalend voor
^
^
het teken van h(k),
en er geldt dat s0 = −sπ . Topologisch gezien begint de vector h(k)
bij een pool, vervolgens
steekt deze de evenaar over, om te eindigen bij de andere pool. Overigens waren dezelfde conclusies gevonden,
als alleen de negatieve waarden van k waren beschouwd. Volgens [29] bevat het systeem in de eerste situatie een
even aantal Fermipunten, en bevindt het systeem zich in een topologisch triviale “sterke paringsfase”. Bij de
tweede situatie is het aantal Fermipunten oneven, en zal het systeem een topologisch niet-triviale fase aannemen
met zwakke paring. In het vervolg zullen de fases ook wel de “triviale” respectievelijk “topologische fase” worden
^
genoemd. De fase-overgang vindt plaats wanneer |µ| = |t|, waarbij h(k)
voor een bepaalde k niet gedefinieerd
kan worden. We zullen nu laten zien dat de topologisch niet-triviale fase essentieel is voor het ontstaan van
majoranas.
5.3
Het verschijnen van majoranas
Beschouw weer hetzelfe systeem als beschreven aan het begin van dit hoofdstuk, met de hamiltoniaan van
formule 1, maar nu met open randvoorwaarden. Wanneer het systeem zich in de zwakke paringsfase bevindt,
zullen er majoranas aan de uiteinden van de kwantumdraad ontstaan. Om dit te laten zien, ontbinden we de
cx -fermionen in de hamiltoniaan van vergelijking 1 in een reëel deel γB,x en een imaginair deel γA,x
cx = e−iφ/2 (γB,x + iγA,x ) /2
(33)
Hierbij is de fase −φ/2 zodanig gekozen, dat deze de supergeleidende fase op zal heffen. In appendix D wordt
aangetoond dat de operatoren γA en γB inderdaad majorana-fermionen voorstellen. De majorana-operatoren
zijn hun eigen geconjugeerde (γ†α,x = γα,x ) en voldoen aan de anticommutatierelatie voor majoranas:
{γα,x , γα 0 ,x 0 } = 2δα,α 0 δx,x 0
(34)
We kunnen nu de nieuwe uitrdukking voor cx in de hamiltoniaan (vergelijking 1) substitueren, en de grenzen
van de sommatie aangeven. Voor het eerste deel van de hamiltoniaan wordt gevonden:
H1 = −µ
N
X
c†x cx =
x=1
N
N −µ X
−µ X 1 + iγB,x γA,x − iγA,x γB,x + 1 =
1 + iγB,x γA,x
4 x=1
2 x=1
Bij het tweede en derde deel zorgt het hermitisch conjugaat ervoor dat alle niet-imaginaire termen wegvallen.
Immers, γα,x γα 0 ,x 0 +h.c. = γα,x γα 0 ,x 0 +γα 0 ,x 0 γα,x = {γα,x γα 0 ,x 0 } = δα,α 0 δx,x 0 . Bij de termen met een imaginaire
voor-factor zal het conjugaat juist voor een minteken zorgen, waardoor deze optellen. Hierdoor worden alleen
de kruisproducten behouden:
H2 + h.c. = −
H3 + h.c. =
N−1
N−1
1X †
−t X (tcx cx+1 + h.c.) =
2iγB,x γA,x+1 − 2iγA,x γB,x+1
2 x=1
8 x=1
N−1
X
x=1
Λeiφ cx cx+1 + h.c. =
N−1
Λe0 X 2iγB,x γA,x+1 + 2iγA,x γB,x+1
8 x=1
Merk op dat er niet meer over de N-de plek wordt gesommeerd, omdat de eerste en laatste plek geen
interactie met elkaar hebben. De totale hamiltoniaan in termen van majorana-operatoren wordt hiermee
Hγ =
N
i N−1
X
−µ X 1 + iγB,x γA,x −
(Λ + t)γB,x γA,x+1 + (Λ − t)γA,x γB,x+1
2 x=1
4 x=1
(35)
Deze hamiltoniaan heeft een ingewikkelde structuur, dus zullen we eerst enkele simpele limieten beschouwen.
Stel dat Λ = t = 0 en µ < 0, waardoor er geen interactie tussen naastliggende plekken is, en het systeem zich
in de topologisch triviale fase bevindt. De eigentoestanden zijn in dit geval toestanden met majoranas γA en
γB op dezelfde plek, oftewel simpelweg c-fermionen, zoals we in deze situatie zouden verwachten. Deze situatie
wordt schematisch weergegeven in de bovenste afbeelding van figuur 5. Omdat het toevoegen van deeltjes een
positieve energie kost, is de grondtoestand de situatie zonder enige majoranas. Een opvallende eigenschap is
dat het langzaam veranderen van de waarden van Λ en t, de fysische eigenschappen van het systeem nauwelijks
beı̈nvloedt [19]. De toestand van het systeem zal enkel een significante verandering ondergaan wanneer t wordt
verhoogd of verlaagd naar |t| > |µ|, zodat er een fase-overgang plaatsvindt [29].
14
5
KITAEVS MODEL
Bachelorproject Natuur- en Sterrenkunde,
γA,1 γB,1
γA,2 γB,2
γA,3 γB,3
γA,1 γB,1
γA,2 γB,2
γA,3 γB,3
Koen Groenland
γA,N γB,N
γA,N γB,N
Figuur 5: Schematische weergave van de paring van de majoranas. In de bovenste afbeelding is de situatie weergegeven
wanneer Λ = t = 0, waardoor er geen interactie is tussen de fermionen, en de majoranas op dezelfde roosterplek
samen een fermion vormen. De onderste afbeelding schept een beeld van de situatie bij µ = 0 en t = Λ 6= 0. De
paarvorming vindt nu plaats tussen majoranas die één plek van elkaar af liggen. De majorana’s γA,1 en γB,N
blijven over als daadwerkelijk waarneembare majorana-deeltjes. Dit figuur is een bewerking van FIG. 2 uit Ref
[29].
Stel nu dat µ = 0 en dat t = Λ 6= 0, waardoor een simpel limiet voor de niet-triviale toestand wordt
ingesteld.
PN−1 In dit geval blijft alleen de tweede term van de hamiltoniaan over, zodat deze vereenvoudigt naar
it
γB,x γA,x+1 . De eigentoestanden bestaan nu uit paren van majoranas γB,x en γA,x+1 , oftewel tussen
x
2
majoranas op aanliggende roosterplekken. In dit geval is de hamiltoniaan gediagonaliseerd voor fermionen in
de vorm dx = 12 (γA,x+1 + γB,x ), welke elk een energie t kosten om te maken. De onderste afbeelding van figuur
5 geeft deze paarvorming schematisch weer. Merk op dat de majoranas γB,N en γA,1 in het geheel niet meedoen
aan de hamiltoniaan, en dus niet bijdragen aan de energie van het systeem. We zouden hiervoor het nietlokale fermion f = 21 (γA,1 + γB,N ) kunnen definiëren, welke geen bijdrage levert aan de energie en dus voor een
degeneratie in de grondtoestand zorgt. Overigens hadden we de hamiltoniaan vergelijkbaar kunnen versimpelen
door µ = 0 en t = −Λ 6= 0 te kiezen,
PN−1 waardoor de rollen van majoranas A en B worden verwisseld, en de
hamiltoniaan vereenvoudigt tot it
γB,x γA,x+1 . Dit beschrijft een vergelijkbare situatie, met paarvorming
x
2
tussen majoranas op naastliggende roosterpunten, een creatie-energie voor een dergelijk paar gelijk aan t, en
de majoranas γB,1 en γA,N als “gratis” deeltjes aan de uiteinden.
Voor algemene gevallen zal het majorana-fermion aan het ene uiteinde van de draad zal γ1 worden genoemd,
en dat aan het andere uiteinde krijgt de naam γ2 . We definieren nu het fermion f = 12 (γ1 + iγ2 ). Dit fermion is
niet-lokaal en kost geen energie om te creëren. Ook wanneer van deze speciale limiet t = ±Λ wordt afgeweken,
zullen de majoranas γ1,2 blijven bestaan, zolang aan de voorwaarde voor de zwakke paring (|µ| < |t|) wordt
voldaan. Hun golffuncties zullen echter niet meer simpelweg gegeven worden door γA,α en γB,β , maar deze
zullen exponentieel afvallen richting het midden van de draad. Dit betekent dat de energie van het fermion f
zal toenemen wanneer de majoranas dichter bij elkaar liggen, omdat de golffuncties dan meer zullen overlappen
[29].
Merk op dat de bovenstaande beschrijving ook opgaat als slechts een deel van de kwantumdraad zich in de
topologische fase bevindt. In dat geval zullen de golffuncties van de majoranas pieken bij het punt waar de
fase-overgang plaatsvindt [17]. Dit principe kan gebruikt worden wanneer de majoranas verplaatst dienen te
worden: door simpelweg de chemische potentiaal op de juiste plekken te veranderen, kan de topologische fase
worden gemanipuleerd, en kunnnen de majoranas door een draad gestuurd worden. Dit zou gedaan kunnen
worden door het plaatsen van zogenaamde elektrische “gates” die een voltage toepassen op een klein deel van de
draad, zodat de chemische potentiaal verandert. Een painostructuur van dergelijke gates geeft de mogelijkheid
om de majoranas te verplaatsen in de lengterichting van de draad [26]. Dit zal later belangrijk blijken wanneer
majoranas gebruikt worden in een kwantumcomputer.
5.4
Experimentele waarnemeninge van majoranas
Recent zijn enkele experimenten uitgevoerd met vergelijkbare systemen waarbij waarschijnlijk de majoranas
zijn waargenomen. Hierbij was het doel om te zoeken naar toestanden met een energie gelijk aan 0, welke
bij experimenten te zien zijn als zogenaamde “zero bias peaks” (ZBPs). Deze behoren tevoorschijn te komen
wanneer een magnetisch veld wordt toegepast, omdat dan een “spin-loos” systeem wordt benaderd, zodat de spin
tegen de richting van het magneetveld in te veel energie kost. Daarnaast moeten de omstandigheden zodanig
aangepast worden, dat er cooperparen worden gevormd tussen elektronen met dezelfde spin. De onderzoeksgroep
van Leo Kouwenhoven (TU Delft) was de eerste die dergelijke ZBPs wist waar te nemen [21], en spoedig daarna
zijn nog minimaal vier andere groepen erin geslaagd om hetzelfde te presteren [20, 22, 23, 24, 25]. In figuur
6 is duidelijk te zien dat de ZBP verschijnt bij 0V wanneer een magnetisch veld van ongeveer 100mT wordt
toegepast. Wanneer het magneetveld boven ongeveer 350mT komt, gaan andere effecten een rol spelen, zodat de
15
5
KITAEVS MODEL
Bachelorproject Natuur- en Sterrenkunde,
Koen Groenland
ZBP verdwijnt. Het waarnemen van ZBPs is nog geen waterdicht bewijs dat er in deze opstelling daadwerkelijk
niet-lokale majoranas voorkomen, maar alles wijst erop dat dit wel het geval is. Het is te verwachten dat er
spoedig meer onderzoek gepubliceerd zal worden, waarin wordt bevestigd dat hier inderdaad majorana-deeltjes
worden gemeten.
0.5
dI/dV (2e2/h)
490 mT
0.3
0 mT
0.1
-200
-400
0
V (µV)
400
200
Figuur 6: Een meting naar de toestandsdichtheid (verticale as) zoals gedaan door de groep van Leo Kouwenhoven [21].
Op de horizontale as wordt het voltage gevarieerd. Bij 0 volt is een kleine piek te zien, welke veroorzaakt wordt
door een majoranafermion. De onderste lijn is een meting bij een magneetveld B gelijk aan 0, de bovenliggende
metingen hebben een offset en een verhoogd magneetveld in stapjes van 10mT . De meting is gedaan bij T =
70mK.
5.5
Kitaevs model in twee dimensies
Eerder beschouwden we een ééndimensionaal model, waarbij aan de randen van een topologische regio ongebonden majorna-deeltjes ontstaan. Een vergelijkbaar model kan worden opgesteld voor een tweedimensionaal
systeem. Hiertoe wordt een elektronengas beschreven, waarin supergeleiding plaatsvindt, en waarvan één spinrichting is “uitgezet”. Net als bij het ééndimensionale model zal een reguliere supergeleider niet voldoen, en
is een zogenaamde chirale p + ip supergeleider nodig, welke paarvorming tussen elektronen met dezelfde spin
toestaat. De hamiltoniaan voor dit systeem wordt gegeven door [29]:
Z
H=
Λ iφ
∇2
d2~r ψ† −
−µ +
e ψ(∂x + i∂y )ψ + h.c.
2m
2
(36)
Hierbij creëert (annihileert) de operator ψ† (ψ) een ψ-fermion met effectieve massa m. µ, Γ en φ staan
weer voor de chemische potentiaal, p-wave paringssterkte, en supergeleidende fase. Het blijkt dat dit systeem
op een vergelijkbare manier te herschrijven is als het ééndimensionale model. Zo geeft het toepassen van een
fouriertransformatie een vorm in termen van de tweedimensionale golfvector ~k:
Hψ =
1
2
Z
d2~k †
ψ
ψ
−k
k
∆
4π2
∆∗
−
ψk
ψ†−k
(37)
welke sterk doet denken aan vergelijking 12 op pagina 11. De operator ψ vervult hierbij de rol van de
k2
operator c. In dit geval geldt echter dat = 2m
− µ en ∆ = iΛeiφ (kx + iky ). Door het toepassen van dezelfde
bogoliubovtransformatie als in vergelijking 13 is deze hamiltoniaan te diagonaliseren tot
Z
H=
d2~k
Ebulk (k)a†k ak
4π2
p
Ebulk = 2 + |∆|2
(38)
Een plot van de energie Ebulk als functie van ~k wordt in figuur 7 weergegeven. De enige situatie waarbij
de energie 0 wordt, is als zowel als ∆ nul worden. Omdat ∆ ∝ kx + iky kan dit alleen gebeuren bij ~k = 0.
16
5
KITAEVS MODEL
Bachelorproject Natuur- en Sterrenkunde,
Koen Groenland
Figuur 7: Plot van de energie Ebulk als functie van kx en ky bij verschillende waarden van µ. In alle gevallen is gekozen
voor m = 1 en ∆ = 2. In de meest linker afbeelding geldt µ = 0, waardoor de functie een energie van 0 heeft bij
kx = ky = 0. In het middelste geval is gekozen voor µ = 5, waardoor de functie twee minima heeft, welke beiden
hoger dan 0 liggen. Voor µ = 5, rechts weergegeven, is er één minimum, waarbij ook E > 0.
Vervolgens volgt uit ∝ µ dat µ gelijk moet worden aan 0. In dat geval zal de bandkloof sluiten, en is het
mogelijk dat er een fase-overgang plaatsvindt. Dat er daadwerkelijk sprake is van twee verschillende fases kan
worden geverifiëerd met een vergelijkbaar topologisch argument als bij het ééndimensionale geval in subsectie
5.2. Stel dat we expliciet vermelde matrix van de hamiltoniaan in vergelijking 37 schrijven als lineaire combinatie
van de pauli-matrices, zoals eerder gedaan in vergelijking 30. De derde pauli-matrix moet dan vermenigvuldigd
k2
worden met een factor = 2m
− µ, welke de z-component van een vector representeert. Stel nu dat µ < 0,
waardoor altijd groter is dan 0: de vector zal nu altijd naar boven, in de positieve z-richting wijzen. Kiezen
we echter µ > 0, dan zal onze vector voor kleine |k| naar beneden wijzen, en voor grote |k| naar boven. De
situaties µ > 0 en µ < 0 vertegenwoordigen dus verschillende topologische fases.
Het blijkt dat de situatie µ > 0 voor een situatie zorgt waarbij majoranas aan de rand van het systeem
verschijnen. Hiertoe is het nodig, dat het gebied dat aan de juiste voorwaarden voor majoranas voldoet, de vorm
van een ring heeft. In dat geval zal, voor een p + ip supergeleider, een majorana-toestand aan de binnenrand
van de ring ontstaan die met de klok mee beweegt. Aan de buitenrand vindt men een majorana die tegen de
klok in beweegt. Bij een p − ip supergeleider zijn de draairichtingen precies omgekeerd [29].
17
6
MAJORANAS ALS QUBITS
Bachelorproject Natuur- en Sterrenkunde,
Koen Groenland
Deel III
Een kwantumcomputer met majoranas
6
6.1
Majoranas als qubits
Verwisselen van majoranas
Een opvallende eigenschap van de majorana-fermionen is dat het omwisselen van deeltjes niet de gewoonlijke
regels voor fermionen volgt. Omdat fermionen aan het pauli uitsluitingsprincipe dienen te voldoen, is hun golffunctie oneven. Wanneer twee fermionen van positie worden verwisseld, zal de twee-deeltjes-golffunctie met een
minteken vermenigvuldigd worden. Een tweede verwisseling geeft dus de oorspronkelijke golffunctie terug, wat
intuı̈tief begrijpelijk is, omdat men precies dezelfde situatie terugvindt. Majoranas behoren tot de zogenaamde
Ising topologische klassie [27], en gedragen zich als niet-Abelse anyonen: in plaats van vermenigvuldiging met
een scalar, zal een verwisseling leiden tot vermenigvuldiging met een matrix, waardoor een dergelijke verwisseling
over het algemeen niet Abels is9 .
We zullen aan de hand van een eenvoudig model laten zien hoe de majoranas in een ééndimensionale draad
zich gedragen onder uitwisseling, zoals beschreven door J. Alicea et al. [26]. Merk op dat “verwisselen” in
één dimensie niet goed gedefinieerd is, omdat de deeltjes dan door elkaar heen zouden moeten gaan. Dit is
zeker een probleem voor majorana-deeltjes, die elkaars antideeltjes zijn, en aldus elkaar zouden annihileren.
Stel dat drie kwantumdraden met elk N roosterplekken, samenkomen in een T-splitsing. De draden worden
beschreven door Kitaevs model, en de nummering van de plaatsen loopt van links naar rechts, en van beneden
naar boven. Zie ook afbeelding 8. Met behulp van elektrische gates is het mogelijk om de majoranas door de
draden te bewegen: een gate die “aan” staat brengt het systeem in de topologische fase met majoranas aan de
uiteindes, bijvoorbeeld door µ = 0 en Λ = t 6= 0 in te stellen, terwijl een gate die “uit” staat (met Λ = t = 0
en µ < 0) de topologisch triviale fase zonder majoranas geeft. De gates staan dicht genoeg bij elkaar, zodat de
topologische fases van twee naastliggende gates als één aaneengesloten topologische regio kan worden gezien.
Tussen uiteindes van de drie draden is tunneling mogelijk, waarbij de koppelingssterkte wordt gegeven door Γ ,
waardoor de hamiltoniaan voor deeltjes aan de uiteindes een extra term krijgt. Voor de het laatste elektron
van de linkerdraad, cL,N , en het eerste elektron van de rechterdraad, cR,1 , geldt:
HΓ = −Γ (c†L,N cR,1 + c†R,1 cL,N )
(39)
Figuur 8: Een manier om twee majoranas om te wisselen in een T-splitsing. Uiterst links is weergegeven hoe drie kwantumdraden A, B en C samenkomen, elk met eigen supergeleidende fase φ. Met behulp van elektrische gates zijn
de majoranas te verplaatsen. Om te voorkomen dat de tunneling in de T-splitsing wegvalt, wordt ervoor gezorgd
dat de supergeleidende fase op het topologische gebied tussen de majoranas in, op dezelfde manier evolueert.
Om de majoranas te verwisselen, wordt eerst γ2 naar de rechterdraad geschoven. Nu kan γ1 naar de verticale
draad worden verplaatst (b), zodat γ2 de plek in de linkertak in kan nemen (c). Opvallend is dat bij het schuiven
van γ2 naar de rechtertak (d), de supergeleidende fase is omgedraaid (zie de zwarte pijlen). Dit geeft aanleiding
tot niet-Abelse statistiek.
De elektronen kunnen nu ontbonden worden in majoranas volgens cx = e−iφα /2 (γB,x + iγA,x ) /2, waarbij
α aangeeft of de supergeleidende fase φ in de linker- (α = L) of rechterdraad (α = R) bedoeld wordt. Het
uitschrijven van deze substitutie leert ons dat de mate van tunneling afhankelijk is van het faseverschil tussen
de twee draden:
φL − φR
iΓ
γLB,N γRA,1
(40)
HΓ ∼ − cos
2
2
Hierbij geven de superscript L en R de draad aan waarin het majorana zich bevindt. Door de koppeling
tussen deze twee majoranas zal een “normaal” fermion gevormd worden, volgens dsplitsing = 12 (γLB,N + iγRA,1 ),
9 Bij het toepassen van meerdere Abelse operaties op een element maakt het niet uit in welke volgorde dit gebeurt. Vermenigvuldiging
met een scalar is Abels, omdat meerdere producten met elkaar commuteren. Niet alle matrices commuteren met elkaar, en daarom is
vermenigvuldiging met een matrix niet-Abels.
18
6
MAJORANAS ALS QUBITS
Bachelorproject Natuur- en Sterrenkunde,
Koen Groenland
waardoor de topologische fase niet onderbroken wordt door de T-splitsing. Een uitzondering is de situatie
φR − φL = π, waardoor de koppeling wegvalt, en de draad in twee topologische regios wordt gesplitst. Tijdens
het uitwisselen van de majoranas is het noodzakelijk dat dit niet gebeurt [26].
Bij een perfecte adiabatische uitwisseling zal het systeem niet vanaf de grondtoestand naar een hogere toestand
springen: deze zal dus enkel een rotatie in de ruimte van grondtoestanden teweeg kunnen brengen. We hebben
de vrijheid om Kitaevs hamiltoniaan
reëel te kiezen. Voor het deel van de hamiltoniaan dat supergeleiding
P
iφ
beschrijft, namelijk H ∼
x (Λe cx cx+1 + h.c.), betekent dit dat φ de waarde 0 of π dient te hebben. De
keuze φ = 0 wordt in figuur 8 aangegeven door pijlen die naar rechts of naar boven lopen (met de nummering
mee), terwijl φ = π wordt vertegenwoordigd door pijlen in de richting links of beneden (tegen de nummering
in). Om te voorkomen dat er een faseverschil van precies π ontstaat, wordt gezorgd dat draden die samen een
topologische regio moeten vormen, dezelfde fase hebben. In afbeelding 8 is dit het geval wanneer één zwarte pijl
richting de splitsing wijst, terwijl de ander van de splitsing vandaan wijst. Verder geldt dat, als de linker- en
rechterdraad zich in de supergeleidende fase bevinden, het fermion f = 21 (γ1 + iγ2 ) kan worden gedefinieerd10 .
De toestand waarbij f niet aanwezig is wordt |0i genoemd, terwijl f wel aanwezig is in |1i = f† |0i. Omdat de
hamiltoniaan reëel is, zijn |0i en |1i ook reëel te kiezen.
Met deze regels is het mogelijk om de majoranas over de T-splitsing uit te wisselen, op de manier van figuur
8 (a) tot (d). Na afloop is echter de situatie verandert, omdat de pijlen nu in omgekeerde richting wijzen: de fase
φ is omgedraaid. Om de originele situatie terug te vinden, is een ijktransformatie nodig, zoals het toevoegen
van een factor i aan de fermion-operator f, waardoor:
f† = (γ1 − iγ2 )/2 → if† = (γ2 + iγ1 )
(41)
Dit is equivalent met het vervangen van γ1 voor γ2 en vice versa, waarbij echter één van de substituties
een minteken mee moet nemen. Dus, voor een verwisseling waarbij de majoranas met de klok mee gedraaid
worden, geldt:
γ1 → γ2
γ2 → −γ1
(42)
Deze passieve notatie dient gelezen te worden als “γ1 wordt vervangen voor γ2 ”. De tegen de klok in is
precies de inverse, oftewel met een min-teken in de bovenste regel. Dit is een belangrijk resultaat, omdat het
aantoont dat majoranas aan speciale regels voldoen bij uitwisseling. Het is mogelijk om aan te tonen dat deze
regels niet alleen in dit speciale systeem gelden, maar dat ze voor elke verwisseling met ééndimensionale draden
opgaan [27]. Het werkt zelfs wanneer er een driedimensionaal netwerk wordt gevormd van kwantumdraden
[30]. De resultaten van formule 42 werken ook voor systemen in twee dimensies, zoals het systeem omschreven
in subsectie 5.5 [18]. Overigens is het gevonden resultaat niet alleen geldig in de speciale limiet (µ = 0 en
Λ = t 6= 0) die hier beschouwd is, maar zullen de regels van vergelijking 42 altijd opgaan zolang de majoranas
zonder verstoring van de topologische fase langzaam en adiabatisch worden verwisseld [26]. Ook de duur van
de verwisseling, en het preciese pad dat de majoranas volgen, zijn niet relevant.
Stel nu dat we een qubit definiëren, waarbij |0i de toestand zonder het fermion f is, en |1i = f† |0i de toestand
met het f-fermion. Het majorana-qubit is dus niet alleen topologisch beschermd tegen decoherentie wanneer
het stil ligt, maar ook tijdens de uitwisseling, omdat locale verstoringen geen invloed op de uitkomst van de
operatie hebben. Naast bescherming tegen decoherentie is de vlechtoperatie ook oneindig precies: de operatie
van formule 42 zal nooit een kleine afwijking vertonen. Op deze manier kunnen meerdere van dergelijke nietAbelse verwisselingen zonder decoherentie achter elkaar worden gedaan. Een serie van verwisselingen wordt
ook wel “vlechten” genoemd, omdat de wereldlijnen van majoranas in een ruimtetijddiagram eruit zien als
draden die om elkaar worden gevlochten. Het zal blijken dat dergelijke vlechtoperatis dienst kunnen doen als
kwantumschakelingen.
6.2
kwantumschakelingen door majoranaverwisseling
In deze subsectie zal worden onderzocht welke operaties er mogelijk zijn op een kwantumbit met majoranas,
wanneer de majoranas gevlochten worden volgens γ1 → γ2 en γ2 → −γ1 . Stel nu dat we een systeem hebben
met 2N majoranas aan het uiteinde van verschillende topologische regio’s. De majoranas worden in koppels
samengenomen tot N normale fermionen volgens fj = 12 (γ2j−1 + iγ2j ). De grondtoestand heeft nu een ontaarding in 2N unieke toestanden (mits de majoranas ver genoeg van elkaar verwijderd blijven). De verschillende
grondtoestanden zijn te noteren als |Ψi i = |n1 , n2 , ..., nN−1 , nN i, waarbij nj = f†j fj het bezettingsgetal (0 of 1)
is. Nu kunnen twee majoranas j en j + 1 (dus niet noodzakelijkerwijs behorende tot hetzelfde fermion) met de
klok mee verwisseld worden met de operator Uj,j+1 [29]:
10 De majoranas γ en γ zijn de majoranas aan de uiteindes van de topologische regio, die een niet-lokaal fermion kunnen vormen,
1
2
zoals omschreven aan het eind van subsectie 5.3. Deze definitie heeft het voordeel dat het fermion f niet aangepast hoeft te worden
wanneer de parameters µ, t en Λ veranderen.
19
6
MAJORANAS ALS QUBITS
Bachelorproject Natuur- en Sterrenkunde,
1
Uj,j+1 = √ (1 + γj γj+1 )
2
Koen Groenland
(43)
Een verwisseling tegen de klok in wordt beschreven met de operator U†j,j+1 = U−1
j,j+1 . Stel nu dat twee
deeltjes binnen het j-de fermion verwisseld worden, beschreven door de algemene operatie U2j−1,2j . Het
P aantal
bezette roosterplaatsen waar een fermion-operator fj overheen moet “springen” wordt gegeven door l = j−1
i=1 ni .
Wanneer nj = 1, dan geldt:
(−1)l
U2j−1,2j |nj = 1i = √ (1 + γ2j−1 γ2j )f†j |nj = 0i
2
(−1)l †
= √ (fj + (γ2j−1 γ2j )(γ2j−1 − iγ2j ))|nj = 0i
2
(−1)l †
= √ (fj − γ2j − iγ2j−1 )|nj = 0i
2
(−1)l †
= √ (fj − if†j )|nj = 0i
2
1−i
= √ |nj = 1i
2
(44)
Voor het overzicht wordt alleen de bezetting nj weergegeven, omdat de overige bezettingen niet relevant
zijn. In de tweede regel is de fermion-operator expliciet uitgeschreven, en in de laatste regel wordt de factor
(−1)l opgeheven doordat f over precies hetzelfde aantal fermionen heen moet “springen” als in de eerste stap.
Blijkbaar wordt op deze manier een −π/4-fase-poort gemaakt. Zouden we de andere kant op draaien, oftewel U†
toepassen, dan zouden we een +π/4-fase-schakeling terugvinden. Dezelfde berekening is uit te voeren wanneer
het j-de fermion afwezig is, oftewel wanneer nj = 0:
(−1)l
U2j−1,2j |nj = 0i = √ (1 + γ2j−1 γ2j )(γ2j−1 + iγ2j )|nj = 1i
2
(−1)l
= √ (fj − γ2j + iγ2j−1 )|nj = 1i
2
(−1)l
= √ (1 + i)fj |nj = 1i
2
1+i
= √ |0i
2
(45)
Blijkbaar geeft de operatie op een lege toestand precies de omgekeerde fase. We kunnen deze operatie
generalizeren tot
π
U2j−1,2j |n1 , ..., nj , ..., nN i = ei 4 (1−2nj ) |n1 , ..., nj , ..., nN i
(46)
waarmee elke wisseling van majoranas binnen hetzelfde f-fermion omschreven kan worden. De andere mogelijkheid is een verwisseling van majoranas van twee verschillende fermionen, gegeven door een operatie van
de vorm U2j,2j+1 , mits j < N. Het is niet eenvoudig om deze uit te schrijven met de hierboven gebruikte
methode, daarom wordt gekozen voor een andere aanpak. Uit de definitie van de fermion-operator f volgt dat
γ2j = i(f†j − fj ) en γ2j+1 = f†j+1 + fj+1 . Hiermee is U2j,2j+1 te schrijven in termen van fermion-operatoren:
1
1
U2j,2j+1 = √ (1 + γ2j γ2j+1 ) = √ 1 + i(f†j − fj )(f†j+1 + fj+1 )
2
2
(47)
Een eerste gedachte zou zijn om de fermion-operatoren uit te schrijven als matrices, maar het is zeer lastig om
hierbij rekening te houden met de anti-commutatieve eigenschappen van fermionen. We zullen hier een foutief
voorbeeld laten zien waaruit dit blijkt. Wanneer we U2j,2j+1 uitschrijven als matrix, is een vierdimensionale
toestandsruimte nodig omdat we werken met 2 fermionen. Zonder verlies van algemeenheid worden alle overige
bezettingen niet genoteerd – met behulp van tensorproducten kan worden gezorgd dat de operator U2j,2j+1 op
de juiste plaats werkt. De kets hoeven dan enkel de bezetting van de twee relevante plekken aan te geven volgens
|nj , nj+1 i, en als basis wordt gekozen voor (|0i, f†j |0i) ⊗ (|0i, f†j+1 |0i) = (|0, 0i, |0, 1i, |1, 0i, |1, 1i). We kunnen nu
de fermion-operatoren invullen in vergelijking 43:
f†j =
0
1
0
0
⊗1
fj+1 = 1 ⊗
20
0
0
1
0
6
MAJORANAS ALS QUBITS

U2j,2j+1
Bachelorproject Natuur- en Sterrenkunde,

0
 1
1 
1 + i
= √ 
 0
2 
0
−1
0
0
0
0
0
0
1

0
0
 0
0 

−1   1
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0


0
1

 0
1
1 
 = √ 
0 
2  0
0
i
0
1
−i
0
0
i
1
0
Koen Groenland

−i
0 

0 
1
Deze matrix heeft echter een determinant van 0, en is dus niet unitair. Bij de bovenstaande beredenering
is vergeten dat bij bepaalde operaties, zoals f1 f2 |1, 1i = −|0, 0i een minteken meegenomen moet worden11 . Een
betere manier om het gedrag van U2j,2j+1 te analyseren, is door de vier basisvectoren één voor één toe te passen:
1 U2j,2j+1 = √
1 + i(f†j f†j+1 + f†j fj+1 − fj f†j+1 − fj fj+1 )
2
1
U2j,2j+1 |0, 0i = √ (|0, 0i + i|1, 1i)
2
1
U2j,2j+1 |1, 0i = √ (|1, 0i − (−i)|0, 1i)
2
1
U2j,2j+1 |0, 1i = √ (|0, 1i + i|1, 0i)
2
1
U2j,2j+1 |1, 1i = √ (|1, 1i − (−i)|0, 0i)
2
(48)
(49)
Met deze informatie is het eenvoudig om de bijbehorende matrix uit te schrijven, die nu wel unitair blijkt.


1 0 0 i
1  0 1 i 0 

(50)
U2j,2j+1 = √ 
2  0 i 1 0 
i 0 0 1
Hiermee zijn alle mogelijkheden om majoranas te verwisselen beschreven. De vraag is nu, hoe er op een
handige manier een qubit gedefinieerd kan worden. Uit voorgaande analyse volgt dat een qubit van twee
majoranas erg beperkt is: alleen de fase kan worden aangepast. Een qubit bestaande uit vier majoranas biedt
veel meer mogelijkheden, omdat een superpositie van bezettingstoestanden kan worden gemaakt12 . Meer dan 4
majoranas lijkt weinig meerwaarde te geven: elke operatie die op een qubit bestaande uit 5 of meer majoranas
kan worden uitgevoerd, kan ook worden uitgevoerd op een qubit van 4 majoranas [31]. In het vervolg zal dan
ook aangenomen worden dan een qubit wordt gemaakt met het aantal majoranas N = 4, waardoor de notatie
|n1 , n2 i de vier mogelijke toestanden weergeeft.
Merk op dat het onmogelijk is om met vlechtoperaties vanaf toestanden |0, 0i of |1, 1i een toestand |0, 1i of
|1, 0i te maken. Het omgekeerde is ook niet mogelijk, wat is duidelijk te zien in vergelijking 49. Hierdoor kan
op twee verschillende manieren een qubit worden gedefinieerd:
|0i ≡ |0, 0i, |1i ≡ |1, 1i
óf
(51)
|0i ≡ |0, 1i, |1i ≡ |1, 0i
Merk op dat door deze keuze van de qubits, de gevolgen van de operatie U identiek zijn in termen van
qubits, zoals te zien is aan de matrix in vergelijking 50.
6.3
Universele schakelingen met majoranas
Majoranas behoren, gezien hun vlechstatistieken, tot de Ising topologische klasse [31]. De vraag is nu of deze
klasse de mogelijkheid biedt om een universele kwantumcomputer te maken. In sectie 3 werd beschreven dat
een universele kwantumschakeling heel U(2) dient te bereiken tot op de gewenste precisie. Helaas voldoen de
majoranas hier niet aan: de hierboven beschreven operaties beschrijven slechts rotaties van 90◦ . Een simpele
manier om tot universaliteit te komen, is door de toevoeging van een π/8-fase poort, en de 2-qubit CNOT-poort
[17]. Een alternatief voor de CNOT-poort, is de mogelijkheid om twee qubits tegelijkertijd te meten [31]. Het
implementeren van deze nieuwe poorten kan op twee manieren: ofwel door deze operaties niet-topologischbeschermd uit te voeren, ofwel door de topologie van het systeem dusdanig aan te passen, dat deeltjes ontstaan
die deze operaties wel kunnen uitvoeren.
11 De auteur vermoedt dat deze fout ook is gemaakt in een bron die veel in dit verslag wordt gebruikt, namelijk Ref. [29] door
J. Alicea. Deze trekt de conclusie dat U23 |n1, n2i = √1 |n1, n2i + i(−1)n1 |1 − n1 , 1 − n2 i , dezelfde operatie als hierboven werd
2
gevonden. Deze operatie is duidelijk niet unitair: stel dat U23 tweemaal toepassen op |0, 0i, dan is de uitkomst (|0, 0i + i|1, 1i, wat
duidelijk niet genormaliseerd is.
12 De keuze voor 4 qubits wordt ook ondersteund door een veel meer elementaire grondslag: de topologische lading dient behouden
te blijven. Dit betekent dat als twee majoranas γ1 en γ2 zouden fuseren tot een normaal fermion, er ergens anders ook een fermion
dient te “ontstaan”. Het derde en vierde majorana kunnen hiervoor zorgen. Voor een meer exacte beschrijving, zie Ref. [31].
21
6
MAJORANAS ALS QUBITS
Bachelorproject Natuur- en Sterrenkunde,
Koen Groenland
Een topologisch onbeschermde π/8-fase-poort Het aanpassen van de fase van een majorana-qubit
is op relatief eenvoudige wijze te implementeren. Uit de tijdsafhankelijke schrödingervergelijking volgt dat
systemen in de fase-ruimte zullen roteren met een snelheid evenredig met de energie van het systeem, volgens
Ψ(t) ∼ eiEt/h̄ . Bij benadering is de energie van de majoranas te verwaarlozen, mits deze voldoende ver van
elkaar verwijderd zijn. Het is echter mogelijk om twee majoranas dichtbij elkaar te brengen, waardoor het
overlap van de golffuncties en daarmee de energie toeneemt, en de fase zal veranderen. Door de majoranas een
bepaalde tijd dichtbij elkaar te plaatsen, is het mogelijk om een arbitraire fase mee te geven aan het qubit.
Door de specifieke tijd te vinden waarbij de fase met π/8 verandert, kan de poort Uπ/8 worden gemaakt [31]:
−iπ/8
e
0
Uπ/8 =
iπ/8
0
e
Omdat deze operatie niet topologisch beschermd is, kunnen er fouten optreden in deze poort, bijvoorbeeld
door het nt iets te lang bij elkaar brengen van de majoranas. Hierdoor zou de fase verschuiven met π/8 + ,
wat gevolgen kan hebben voor de uiteindelijke berekening. Het is echter mogelijk om speciale foutcorrecties toe
te passen: schakelingen die fouten bij andere schakelingen kunnen verbeteren, maar zelf natuurlijk ook nieuwe
fouten kunnen introduceren. Bij een foutcorrectiemethode hoort daarom een maximum aan de kans op fouten
per schakeling. Voor de correctie bij dit geval geldt een foutmarge van 0.14 [17], wat opmerkelijk hoog is:
blijkbaar mag 1 op de 7 operaties een fout bevatten, tegenover 1 op 104 bij veel andere correctieschemas [31].
Het licht voor de hand om ervoor te kiezen om het topologische gebied waarop de majoranas zich bevinden,
kleiner te maken, zodat majoranas dichter bij elkaar komen te liggen. Een probleem hierbij is dat de golffunctie
van majoranas in het topologische gebied, oscillatorisch in de ruimte is. Dit betekent dat het men zeer precies
moet zijn bij verplaatsen van de majoranas. De majoranas bevinden zich echter altijd bij een grens met een niettopologisch gebied, waar de golffunctie simpelweg exponentieel afvalt: het is daarom wenselijk om de majoranas
bij elkaar te brengen wanneer tussen de majoranas een triviaal gebied zit. Door het potentiaal in dit gebied
te verlagen, zal de golffunctie meer in dit gebied vallen, waardoor meer overlap plaatsvindt, en de fase zal
veranderen [17]. Een schematische weergave hiervan wordt gegeven in afbeelding 9.
2
Gate
Potential
Majorana mode profile
Vgate (meV)
1.5
1
0.5
0
-2
-1
0
x (µm)
1
2
Figuur 9: Links is een manier weergegeven, waarop twee majoranas (groene sterren) worden samengebracht, terwijl de
draad tussen de majoranas zich in de topologisch triviale fase (blauw) bevindt. Hoewel de golffunctie van
de majoranas oscillatorisch is in de topologische regio (rood), geldt dit niet in het blauwe gebied. Door het
potentiaal in het gebied tussen de majoranas met behulp van een gate (geel) aan te passen, zal de golffunctie
verschuiven, en kan de fase van een qubit-toestand aangepast worden. Rechts is golffunctie van de majoranas
geschetst, waarbij duidelijk te zien is hoe één helft van de golffunctie oscilatorisch is, terwijl de andere helft
exponentieel afvalt. De grafiek is aangepast naar een afbeelding uit Ref. [17].
Onbeschermde twee-qubit-poorten Om een universele kwantumschakeling te maken, is altijd een 2qubitpoort nodig, die 2 qubits met elkaar verstrengelt [5]. Helaas bieden majoranas hier geen topologisch
beschermde mogelijkheden voor: elke manier waarop majoranas tussen verschillende qubits gevlochten kunnen
worden, kan ook beschreven worden als het product van 1-qubit-operaties [17]. Hieruit volgt dat er geen enkele
manier is om twee qubits met behulp van vlechten te verstrengelen. J.D. Sau et al. vonden een methode om op
een onbeschermde manier een verstrengelde toestand te maken met behulp van een flux-qubit [17]. Een precieze
uitleg van dit mechanisme is voorbij de scope van dit verslag, maar een belangrijk resultaat is dat hiermee
vanuit twee gesuperpositioneerde qubits (|0i + |1i) ⊗ (|0i + |1i) de verstrengelde toestand |00i + |11i kan worden
gemaakt. Met behulp van deze operatie, gecombineerd met de onbeschermde fase-poort en het vlechten van
majoranas, is een universele kwantumschakeling te bouwen.
22
6
MAJORANAS ALS QUBITS
Bachelorproject Natuur- en Sterrenkunde,
Koen Groenland
Combinatie met andere qubits In Ref. [37] wordt voorgesteld om majorana-qubits te combineren
met een speciaal type qubit, het transmon. Hierbij wordt het transmon gevormd door twee supergeleidende
eilanden die worden gescheiden door een Josephson-splitsing. Er kan een koppeling tussen de verschillende
soorten qubits worden aangebracht door een magneetveld toe te passen. Het voordeel van deze combinatie
is dat zowel een arbitraire-fase-poort gemaakt kan worden, als dat twee qubits tegelijkertijd gemeten kunnen
worden. Door dit voorstel te combineren met het vlechten van majoranas, is dus een universele computer te
bouwen. Interessant is dat deze opstelling relatief eenvoudig uit te breiden is, zodat ook de vlechtoperaties
kunnen worden uitgevoerd door het magnetische veld te manipuleren [36]. Het voordeel hiervan is dat er geen
elektrische poorten meer nodig zijn, die moeilijk toe te passen zijn in de nabijheid van een supergeleider. Op
deze manier is een universele quantumcomputer te maken, waarbij enkel het magnetische veld gemanipuleerd
hoeft te worden om een berekening uit te voeren. De metingen van de 2 qubits tegelijk, en de π/8-fase-poort
zijn nogsteeds niet topologisch beschermd, hoewel deze relatief robuust zijn tegen decoherentie. Doordat de
vlechtoperaties op majoranas wel volledige topologische bescherming bieden, zou dit systeem een relatief grote
foutenmarge mogen hebben van ongeveer 10% [36].
Figuur 10: Een artist’s impression van de computer zoals beschreven in Ref. [36]. Het bruine gebied is supergeleidend, en
de grijze lijnen vormen kwantumdraden welke majoranas kunnen bevatten, hier weergegeven als gele bolletjes.
De majoranas kunnen worden verplaatst tussen supergeleidende eilandjes gescheiden door Josephson splitsingen, die transmons kunnen vormen. Dit systeem is een universele kwantumcomputer, waarbij de operaties
uitgevoerd worden door het magnetische veld te manipuleren.
23
7
VOORUITZICHT TOPOLOGISCHE KWANTUMCOMPUTERS
Bachelorproject Natuur- en Sterrenkunde,
Koen Groenland
Deel IV
Vooruitzicht
7
Zijn topologische kwantumcomputers al in zicht?
“Only a rash person would declare that there will be no useful quantum computers by the year 2050,
but only a rash person would predict there will be.”
N. David Mermin 2007, kwantum Computer Science: An Introduction
Topologische kwantumcomputers hebben een groot potentieel, omdat de qubits intrinsiek immuun zijn voor
decoherentie. Zowel op experimenteel als op theoretisch niveau wordt nog veel onderzoek gedaan, waardoor
het hopelijk uiteindelijk mogelijk wordt om topologische kwantumcomputers commercieel rendabel te maken.
Enkele verbeteringen zijn in de voorgaande sectie genoemd, maar het was onmogelijk om álle ontwikkelingen
in dit verslag te beschrijven.
Een interessant onderwerp dat in dit verslag achterwege is gelaten, is de éénrichtingskwantumcomputer met
majoranas. De éénrichtingskwantumcomputer (Engels: one-way computer) begint met een sterk verstrengeld
systeem, waarbij de toestanden veranderd kunnen worden door metingen uit te voeren. Door deze metingen
op de juiste manier te doen, kan elke mogelijke kwantumschakeling gesiumleerd worden, waardoor universele
computaties mogelijk zijn [32]. Een dergelijke methode is wellicht ook mogelijk in een systeem met majoranafermionen: door de juiste metingen uit te voeren, kan een vlechtoperatie worden toegepast, zonder de majoranas
fysiek te verplaatsen [33]. Een voordeel ten opzichte van andere éénrichtings is dat in het majorana-systeem de
verstrengeling niet verbroken wordt, zodat er geen beperking is aan de lengte van een berekening. En aangezien
een toepasbare kwantumcomputer toch al een systeem voor metingen moet bevatten, zou dit de implementatie
van een majorana-computer kunnen vergemakkelijken.
Nog een onderwerp dat een vermelding waardig is, is het toepassen van andere anyonen dan majoranas.
Wellicht is het mogelijk om een materiaal zodanig te configureren, dat er deeltjes ontstaan die wél universeel
zijn voor kwantumcomputers. Zo zijn fibonacci-anyonen in staat om alle unitaire operaties op een topologisch
beschermde manier te benaderen [31]. Er is echter geen garantie dat er een fysisch systeem bestaat waarin deze
deeltjes voorkomen. Er zijn echter ook voorstellen om de topologie van de fysisch toepasbare Ising-anyonen
(waaronder ook majoranas vallen) aan te passen, op een zodanige manier dat wél alle operaties topologisch
beschermd volbracht kunnen worden [34].
Het lijkt nu slechts een kwesite van tijd voordat de eerste kwantumcomputer wordt gebouwd. Vooraanstaand
majorana-onderzoeker C. Beenakker voorspelde zelfs dat in een tijdbestek van 10 tot 15 jaar topologische
kwantumschakelingen commercieel toepasbaar worden13 . Hierbij doelde hij op toepassingen in supercomputers,
welke het meeste baat zullen hebben van de nieuwe algoritmes die sneller werken bij grote input, en welke
de mogelijkheid bieden om grootschalige koelsystemen toe te passen. Hierbij zullen de kwantumschakelingen
alleen specifieke berekeningen uitvoeren, zoals factorisatie met Shor’s algoritme – het grootste deel van de
berekeningen komt dan nogsteeds voor de rekening van de klassieke processoren. Een voorspelling van de
auteur, is dat kwantumcomputers, net als hun klassieke equivalenten, een extreem snelle groei door zullen
maken, maar dat de toepassing voor consumentenelektronica erg lang op zich zal laten wachten. De reden
hiervoor is dat alle aan de auteur bekende voorstellen voor kwantumcomputers berusten op systemen die tot
ver onder kamertemperatuur gekoeld dienen te worden: ofwel om decoherentie tegen te gaan, ofwel omdat er
koude kwantumfenomenen zoals supergeleiding nodig zijn. Het lijkt onwaarschijnlijk dat dergelijke systemen
kunnen concureren met klassieke computers, die aan een simpele ventilator voldoende koeling hebben.
Al met al kunnen we zeggen dat kwantuminformatica een gebied is dat in de afgelopen 20 jaar een sterke
groei heeft doorgemaakt, zowel theoretisch als experimenteel. Het is nu enkel nog wachten op de doorbraken
die dit interessante onderzoeksgebied toepasbaar gaan maken.
13 Uitspraak gedaan en nogmaals bevestigd tijdens het KNAW-minisymposium “Wat is het belang van het Majorana-deeltje”, 31 mei
2012.
24
8
CONCLUSIE
8
Bachelorproject Natuur- en Sterrenkunde,
Koen Groenland
Conclusie
De technologische uitdaging om een universele kwantumcomputer te ontwikkelen en bouwen wordt gemotiveerd
door slimme algoritmes, die een grote snelheidswinst bieden bij berekeningen met een grote input. Decoherentie
vormt echter nog een groot obstakel. Een qubit dat intrinsiek beschermd is tegen decoherentie is te maken
in een ééndimensionale kwantumdraad, gecombineerd met een p-wave supergeleider en een magnetisch veld.
Door de chemische potentiaal op de juiste manier in te stellen, kan een stuk draad een fase-overgang ondergaan
tussen de triviale fase, en de topologische fase met majorana-fermionen aan de twee uiteindes. De majoranafermionen kunnen worden verplaatst in een netwerk van draden met behulp van elektrische gates, en geven
niet-Abelse statistieken wanneer ze worden verwisseld. Een qubit van majorana-fermionen kan hierdoor op
een topologisch beschermde manier gemanipuleerd worden. Omdat het onmoglijk is om met vlechtoperaties
qubits te verstrengelen, biedt deze methode geen universele schakelingen. De benodigde π/8-fase-poort, en een
verstrengelende 2-qubit-poort, zijn echter wel via omwegen te implementeren. Op die manier wordt het wellicht
mogelijk om binnen enkele decennia een topologische kwantumcomputer commercieel toe te passen.
25
A
REKENEN MET QUBITS
Bachelorproject Natuur- en Sterrenkunde,
Koen Groenland
Deel V
Appendices
A
Rekenen met qubits
Deze appendix geeft een korte inleiding in de notatie die gebruikt wordt bij (kwantum)bits in omkeerbare
computersystemen. Klassieke computers maken gebruik van “bits”, fysieke systemen die zich in twee onderscheidbare toestanden kunnen bevinden, zoals een omhoog- of omlaag gemagnetiseerde regio in een materiaal,
of een (on)geladen condensator. De twee toestanden krijgen de aanduidingen |0i en |1i14 . Het is handig om
deze toestanden te zien als orthonormale vectoren in een tweedimensionale vectorruimte, oftewel
1
0
|0i =
, |1i =
(52)
0
1
Een reeks (of “string”) van N bits kan geı̈dentificeerd worden met een rij van N booleaanse waarden, of met
een getal onder de 2N in het binaire getallensysteem. Er geldt dus dat een aantal bits achter elkaar (bijvoorbeeld
|1i|0i|1i) equivalent is aan een toestand van drie booleaanse waarden (|101i), en ook aan een geheel getal (|5i3 ,
waarbij het subscript staat voor het aantal bits waarin dit getal gerepresenteerd is). Merk op dat deze drie
notatievormen precies dezelfde hoeveelheid informatie bevatten, zoals ze behoren te doen. Een reeks bits kan
in vectorvorm worden geschreven door achtereenvolgens het tensorproduct tussen de bits te nemen:


x0 y0
 x0 y1 
x0
y0

(53)
|xyi =
⊗
≡
 x1 y0 
x1
y1
x1 y1
Een (klassieke) computer is een apparaat dat logische operaties
bits. Enkele veelgebruikte operaties zijn [39]:
0
• NOT: Xi , welke het i-de bit inverteert. In matrixvorm:
1

1
 0
• SWAP: Sij , welke bits i en j verwisselt. In matrixvorm: 
 0
0
• CNOT:Cij ,
1
 0
C10 = 
 0
0
welke
0 0
1 0
0 0
0 1
kan toepassen op een string van (klassieke)
1
0
0
0
1
0
0
1
0
0

0
0 

0 
1
hetj-de bit inverteert mits het i-de bit gelijk is aan |1i. In matrixvorm geldt dat
0
0 

1 
0
Om de juiste transformatiematrix voor een vector van N bits te maken, worden tensorproducten tussen
operatie-matrices genomen, in dezelfde volgorde als dat de bits staan waarop ze werken. Hierbij mag natuurlijk
de identiteit 1i gebruikt worden als het i-de bit niet dient te veranderen. Stel bijvoorbeeld dat men op de 2-bits
toestand |11i eerst bit nummer 115 wil inverteren en vervolgens de twee bits wil omwisselen, dan geldt:

0
 0

S01 (X1 )(|11i) = S01 (X⊗1)(|1i⊗|1i) = S01 
1
0
0
0
0
1
1
0
0
0

0
0

1 
 0
0  0
0
1


1
  0
=
  0
0
0
0
1
0
0
1
0
0

0
0

0 
 1
0  0
1
0



0
  0 
=

  1  = |10i
0
Dezelfde som was ook intuı̈tief eenvoudiger uit te voeren door de operatoren direct op de juiste bit te laten
werken:
S01 (X ⊗ 1)(|1i ⊗ |1i) = S01 (X|1i ⊗ 1|1i) = S01 (|0i ⊗ |1i = |10i
De klassieke computer is beperkt tot unitaire operaties die een permutatie of inversie op een aantal bits
uitvoert. Hierbij geldt dat alle operaties op N bits worden vertegenwoordigd door een deelverzameling van de
2N × 2N unitaire matrices. Een kwantumcomputer heeft veel minder beperkingen. Bij de kwantumcomputer
14 In de klassieke informatiewetenschap is het uiteraard niet gebruikelijk om de bra-ket notatie te gebruiken. In dit verslag is er echter
voor gekozen om deze notatie consequent te gebruiken, om zo de generalisatie naar qubits te vergemakkelijken.
15 Merk op dat dit eigenlijk het tweede bit van rechts is, want de telling begint bij 0.
26
B
TWEEDE KWANTIZATIE
Bachelorproject Natuur- en Sterrenkunde,
Koen Groenland
wordt gebruik gemaaktvan zogenaamde kwantumbits (of kortweg qubits), welke dezelfde orthonormale basis als
in formule 52 gebruiken, en aan dezelfde wiskunde als de klassieke bits voldoen. Een kwantumbit wordt echter
worden gevormd door een kwantumsysteem dat twee identificeerbare toestanden aan kan nemen, waardoor de
waarde van een qubit een superpositie van |1i en |0i kan zijn, en waardoor meerdere qubits verstrengeld kunnen
raken. Hierdoor kunnen op kwantumbits álle unitaire operaties worden uitgevoerd. Zo wordt de meest algemene
vorm voor een qubit |ψi gegeven door
a0
|ψi = a0 |0i + a1 |1i =
(54)
a1
waarbij |a0 |2 + |a1 |2 = 1 voor de complexe getallen a0 en a1 . Merk op dat een enkel qubit zich in oneindig
veel verschillende toestanden kan bevinden. Dit betekent echter niet dat er argeloos oneindig veel data in één
qubit opgeslagen kan worden, want bij het uitlezen van het qubit zal deze met waarschijnlijkheden |a0 |2 en |a1 |2
naar een toestand |0i respectievelijk |1i verspringen. Merk op dat een meting de enige niet-omkeerbare operatie
is die gedaan kan worden in een kwantumcomputer [39].
Een voorbeeld van een operatie die niet mogelijk is op klassieke bits, is de Hadamard-transformatie Hi :
1
1 1
H= √
(55)
1 −1
2
Deze operatie geeft de mogelijkheid om een superpositie te maken van alle mogelijke toestanden van N
qubits wanneer wordt begonnen in de toestand |0iN , door de operatie op elke bit te laten werken. In het geval
van twee qubits geldt:
1
1
1
1
(H ⊗ H)(|0i ⊗ |0i) = √ (|0i + |1i) ⊗ √ (|0i + |1i) = (|0i|0i + |0i|1i + |1i|0i + |1i|1i = (|0i2 + |1i2 + |2i2 + |3i2 )
2
2
2
2
Naast de mogelijkheid tot superposities, kunnen kwantumbits ook verstrengeld zijn. Voor verstrengeling is
uiteraard een poort nodig die op meer dan 1 qubit werkt. Een voorbeeld is de CNOT-poort die werkt op een
toestand √12 (|0i + |1i) ⊗ |0i:
1
1
C10 √ (|10i + |00i) = √ (|11i + |00i)
2
2
De uitkomst is duidelijk verstrengeld: als men nu het 0-de qubit meet, zal het 1-de qubit meteen vervallen
tot dezelfde waarde. Dankzij de mogelijkheid tot gesuperpositioneerde en verstrengelde bits zijn met kwantumcomputers algoritmes mogelijk, die op een klassieke computer niet zouden werken. Specifieke taken zijn
daardoor sneller uit te voeren, zoals omschreven in subsectie 4.1.
B
Tweede Kwantizatie
In de vastestoffysica wordt veelvuldig gebruik gemaakt van zogenaamde “tweede kwantisatie”, waarbij wordt
gewerkt met creatie- en annihilatie-operatoren in plaats van golffuncties. Tijdens het leren van kwantummechanica zal men de tweede kwantisatie als eerste tegenkomen bij de harmonische oscillator, waarbij de operatoren
a† en a het systeem respectievelijk één energieniveau omhoog of omlaag brengen. Het belangrijkste voordeel
hiervan, is dat (veel-deeltjes)golffuncties zeer lang en ingewikkeld kunnen worden, terwijl tweede kwantisatie
een relatief eenvoudige notatie geeft voor dezelfde toestand. Deze appendix beoogt de lezer hiermee bekend te
maken.
Beschouw een systeem bestaande uit N plekken welke elk een fermion (bijvoorbeeld een elektron) kunnen
bevatten. Een systeem dat nergens fermionen bevat wordt omschreven met |0i16 . Aan deze toestand kan een
c-fermion op de i-de plek gecreëerd worden met de operator c†i wat leidt tot de toestand |ii. Dit fermion kan
weer verwijderd (“geannihileerd”) worden met de operator ci [38]:
c†i |0i = |ii
ci |ii = |0i
(56)
Alle toestanden die gevormd kunnen worden door het achter elkaar toepassen van creatie-operatoren vormen
de Fock Space. Een toestand waarbij de plekken 1, 3 en 8 bezet zijn kan bijvoorbeeld genoteerd worden worden
als
16 Verwar deze notatie niet met het (qu)bit |0i. Over het algemeen maakt de context (vastestoffysica of informatica) duidelijk wat
met deze notatie wordt bedoeld.
27
D
FERMIONEN ONTBINDEN IN MAJORANAS
Bachelorproject Natuur- en Sterrenkunde,
|1, 3, 8i ≡ c†1 c†3 c†8 |0i
Koen Groenland
(57)
Fermionen hebben de eigenschap dat het omwisselen van twee identieke deeltjes dezelfde toestand oplevert,
maar met een min-teken ervoor. Er geldt dat er geen twee fermionen in dezelfde toestand kunnen zitten.
Bovendien geldt dat een annihilatie-operator op een lege toestand niet mogelijk is – dit geeft een 0. Deze regels
worden vertegenwoordigd door de anticommutatieregels voor fermionen:
{ci , cj } ≡ ci cj + cj ci = 0
{c†i , cj } = δij
(58)
Hierbij is δij de kronecker delta, welke 1 is als i = j, en anders gelijk is aan 0. Merk op dat de toestand weer
kan geven in welke volgorde de operatoren zijn toegepast, bijvoorbeeld
|1, 8, 3i = c†1 c†8 c†3 |0i = −c†1 c†3 c†8 |0i = −|1, 3, 8i
(59)
Om te voorkomen dat er met verschillende notaties van dezelfde toestand wordt gewerkt, is het belangrijk
om een ordening in de basis van creatie- en annihilatie-operatoren te definiëren. In dit verslag zal altijd de basis
worden gebruikt waarbij de operatoren oplopend zijn geordend naar de plaats waarop ze werken, waardoor
toestanden altijd worden weergegeven zoals aan de rechterkant van vergelijking 59. Er wordt aangenomen dat
de basis waarmee gewerkt wordt altijd compeet is. Verder wordt er vanuitgegaan dat toestanden en operatoren
genormaliseerd zijn.
C
Afleiding van Bogoliubov-coëfficienten
In hoofdstuk 5.1 van de hoofdtekst werd de bogoliubov-coëfficient |u|2 bepaald. Een omslachtige vorm hiervan
werd gevonden in formule 21 op pagina 12:
|u|2 =
|∆|2
1
p
=
2
1 + x2 /|∆|2
|∆| + ( |∆|2 + 2 − )2
In deze appendix wordt deze formule verder versimpeld. We beginnen met het uitwerken van het kwadraat
en het factoriseren van de noemer, waarmee wordt gevonden dat
!
!
|∆|2
|∆|2
1
1
2
p
p
p
|u| =
=
2 |∆|2 − |∆|2 + 2 + 2
2
|∆|2 + 2 ( |∆|2 + 2 − )
p
Nu wordt de breuk boven en onder met |∆|2 + 2 + vermenigvuldigd. Ten behoeve van het overzicht
wordt ook de factor 1/2 naar de andere kant gehaald.
! p
p
|∆|2 + 2 + |∆|2 + 2 + |∆|2
2
p
2|u| = p
=
|∆|2 + 2 − 2
|∆|2 + 2
|∆|2 + 2
Hiermee hebben hebben we laten zien dat |u|2 te schrijven is als
!
1
2
p
1+
|u| =
2
|∆|2 + 2
D
Fermionen ontbinden in majoranas
Het doel van deze appendix is het aantonen dat, wanneer de fermion-operatoren c en c† ontbonden worden in
een reëel en imaginair deel, deze sub-operatoren daadwerkelijk majorana-fermionen voorstellen. De c-fermionen
worden op de volgende manier ontbonden.
1
(γB,j + iγA,j )
2
1
c†j = (γB,j − iγA,j )
2
cj =
(60)
De volgende relaties gelden voor majorana-fermionen. Het is de bedoeling om deze relaties terug te vinden:
γ†αx = γαx
{γα,x , γα 0 ,x 0 } = 2δα,α 0 δx,x 0
28
(61)
D
FERMIONEN ONTBINDEN IN MAJORANAS
Bachelorproject Natuur- en Sterrenkunde,
Koen Groenland
Het uitschrijven van de anticommutatierelaties voor fermionen levert:
1
{γB,i , γB,j } − {γA,i , γA,j } + i{γB,i , γA,j } + i{γA,i , γB,j }
4
1
δi,j = {ci , c†j } =
{γB,i , γB,j } + {γA,i , γA,j } − i{γB,i , γA,j } + i{γA,i , γB,j }
4
Het optellen van vergelijkingen 62 en 63 levert:
2
δi,j =
{γB,i , γB,j } + i{γA,i , γB,j }
4
0 = {ci , cj } =
(62)
(63)
(64)
Hieruit volgt dat {γB,i , γB,j } = 2δi,j en dat {γA,i , γB,j } = 0. Het aftrekken van vergelijking 62 van 63 levert:
δi,j =
2
{γA,i , γA,j } + i{γB,i , γA,j }
4
(65)
Hieruit wordt opgemaakt dat {γA,i , γA,j } = 2δi,j en dat {γB,i , γA,j } = 0. Hiermee is zijn de majoranaanticommutatierelaties van formule 61 aangetoond.
29
REFERENTIES
Bachelorproject Natuur- en Sterrenkunde,
Koen Groenland
Referenties
[1] Beenakker, C.W.J. 2012 (ongepubliceerd), arXiv:1112.1950v2
[2] Majorana, E. 1937, Nuovo Cimento, 14, 171. Engelse vertaling: Maiani, L. 1981, Soryushiron Kenkyu, 63,
149
[3] Wilczek, F. 2009, Majorana Returns, Nature Physics, 5, 614
[4] Turing, A. 1936, Proceedings of the London Mathematical Society. 2, 42, 230
[5] Deutsch, D., Barenco, A., Ekert, A. 1995, Proceedings of the Royal Society A, 449, 669
[6] Barenco, A., Bennett, C.H., Cleve, R. et al. 1995, Physical Review A, 52, 3457
[7] Delvenne, J. 2009, Applied Mathematics and Computation, 215, 1368
[8] Bruidegom, B. 2009, Van 0 en 1 tot processor, Elektor
[9] Feynman, R.P. 1982, International Journal of Theoretical Physics 21, 467
[10] Grover, L.K. 1996, Proceedings, Annual ACM Symposium on the Theory of Computing, 28, 212
[11] Shor, P.W. 1994, Proceedings, Annual Symposium on Foundationsof Computer Science, 35, 124
[12] DiVincenzo, D. 1995, Physical Review A, 51, 1015
[13] Neary, T., Woods, D. 2009, Fundamenta Informaticae, 91, 123
[14] Brumfiel, G., Student snags math prize (geplaatst op 24 october 2007). Op internet: http://www.nature.
com/news/2007/071024/full/news.2007.190.html, geraadpleegd op 25 juni 2012
[15] Deutsch, D. 1985, Proceedings of the Royal Society, 400, 97
[16] Hirvensalo, M. 2004, Quantum Computing (2), Springer, 40
[17] Sau, J.D., Tewari, S., Das Sarma, S. 2010, Physical Review A, 82, 7
[18] Ivanov, D.A. 2001, Physical Review Letters, 86, 268
[19] Kitaev, A.Y. 2001, Physics-Uspekhi, 44, 131
[20] Leijnse, M., Flensberg, K. 2012 (ongepubliceerd), arXiv:1206.1736v1
[21] Mourik, V., Zuo, K., Frolov, S.M., et al. 2012, Science, 336, 1003
[22] Williams, J.R., Bestwick, A. J., Gallagher, P., et al. 2012 (ongepubliceerd), arXiv:1202.2323v2
[23] Rokhinson, L.P., Liu, X., Furdyna, J.K. 2012 (ongepubliceerd), arXiv:1204.4212v1
[24] Deng, M.T, Yu, C.L., Huang, G.Y., et al. 2012 (ongepubliceerd), arXiv:1204.4130v1
[25] Das, A., Ronen, Y., Most, Y., et al 2012 (ongepubliceerd) arXiv:1205.7073
[26] Alicea, J., Oreg, Y., Refael, G., von Oppen, F., Fisher, M. P. A. 2011, Nature Physics, 7, 412
[27] Clarke, D.J., Sau, J.D., Tewari, S. 2011, Phys. Rev. B 84, 035120
[28] Read, N., Green, D. 2000, Physical Review B, 61, 15
[29] Alicea, J. 2012 (ongepubliceeerd), arXiv:1202.1293v1
[30] Halperin, B.I., Oreg, Y., Stern, A. et al. 2012, Physical Review B, 85, 144501
[31] Nayak, C., Stern, A., Freedman, M., Das Sarma, S. 2008, Reviews of Modern Physics 80, 1083
[32] Raussendorf, R., Briegel, H.J. 2001, Physical Review Letters, 86, 5188
[33] Bonderson, P., Freedman, M., and Nayak, C. 2008, Physical Review Letters, 101, 10501
[34] Bonderson, P., Das Sarma, S., Freedman, M., Nayak, C. 2010 (ongepubliceerd), arXiv:1003.2856
[35] Flensberg, K. 2011, Physical Review Letters, 106, 090503
[36] van Heck, B., Akhmerov, A.R., Hassler, F., Burrello, M., Beenakker, C.W.J. 2012, New Journal of Physics,
14, 035019
[37] Hassler, F., Akhmerov, A.R., Beenakker, C.W.J. 2011, New Journal of Physics, 13, 095004
[38] Henley, C.L. 2009, Physics ’636: Solid State II lecture notes. Op internet: http://people.ccmr.cornell.
edu/~clh/Book-sample/1.1.pdf, geraadpleegd gedurende mei 2012
[39] David Mermin, N. 2007, Quantum Computer Science: An Introduction, Cambridge University Press
30

Universele Topologische Kwantumcomputers met

Related documents

Products

Support

Universele Topologische Kwantumcomputers met

Related documents

Add this document to collection(s)

Add this document to saved

Suggest us how to improve StudyLib