MechRela tentamen 2016

Tentamen - uitwerkingen
Mechanica en Relativiteitstheorie voor TW
15 april 2016
1
Kennisvragen - 10 punten
(a) Geef de drie behoudswetten van de klassieke mechanica, en geef voor elk van de drie
aan onder welke voorwaarde(n) ze gelden.
(b) Schets en benoem de vier mogelijke typen gedrag van een harmonische oscillator,
waarvan de evenwichtsstand ligt op x = 0 cm en die op t = 0 s wordt losgelaten op
x = 10 cm met snelheid nul.
(c) Geef de grootte en richting van de rotatievector van de aarde mbt de rotatie die leidt
tot het dag-nachtritme (dus niet de tragere rotatie om de zon).
(d) Geef de definitie van precessie.
(e) Beargumenteer (in een paar zinnen) waarom de postulaten van Einstein impliceren
dat niets sneller kan gaan dan het licht.
(f) Geef de definitie van de lichtkegel in de context van ruimte-tijd (ofwel Minkowski)
diagrammen.
Antwoorden:
(a)
• Behoud van energie; geldt als alle krachten in het systeem conservatief zijn.
• Behoud van impuls; geldt als er geen externe krachten op het systeem werken.
• Behoud van impulsmoment (of ‘draaimoment’); geldt als er geen externe krachtmomenten op het systeem werken.
(b) Zie figuur 1. De vier typen gedrag zijn ongedempt, ondergedempt, kritisch gedempt,
en overgedempt.
(c) De aarde draait om de noord-zuidas. De zon komt op in het oosten, dus van bovenop
de noordpool gezien draait de aarde tegen de klok in (in te zien doordat de aarde
draait en de zon effectief stilstaat). De rotatie-vector van de aarde wijst dus omhoog
langs de as van de zuidpool naar de noordpool, en heeft een grootte van 1 omwenteling
per dag, ofwel 1/(24 · 60 · 60) = 1/86400 = 1.16 · 10−5 Hz.
1
(d) Precessie is de rotatie van de impulsmoment-vector om een vaste referentie-as, als
gevolg van een niet-nul krachtmoment dat loodrecht staat op het vlak opgespannen
door de impulsmoment-vector en de referentie-as.
(e) Het lichtpostulaat stelt dat de snelheid van het licht in elk inertiaalstelsel hetzelfde
is. Stel dat een reiziger in een raket met de snelheid van het licht zou reizen, en een
lichtstraal zou uitzenden. Dan zou gezien vanuit die reiziger het licht zich met een
snelheid c van hem/haar verwijderen. Voor een stilstaande waarnemer lijken echter
de raket en het uitgezonden licht even snel te gaan, en dus bij elkaar te blijven.
Deze twee observaties zijn met elkaar in tegenspraak, waaruit volgt dat reizen met de
snelheid van het licht, laat staan sneller, niet mogelijk is. NB: Alternatieve, correcte
redeneringen, mits van redelijke lengte, kunnen natuurlijk ook.
(f) De lichtkegel van een bepaald punt omvat alle punten in de ruimte-tijd die causaal
met dat punt verbonden kunnen zijn; de grens van de lichtkegel wordt bepaald door
lichtstralen uitgezonden vanuit het punt in kwestie. Alternatief: teken een ruimtetijddiagram met daarin een lichtkegel, waarbij duidelijk aangegeven dat de lichtkegel
bestaat uit het tijd- en licht-achtige deel.
x(t)
10
5
π
2π
3π
4π
t
-5
-10
Figuur 1: De vier mogelijke typen gedrag van een harmonische oscillator: ongedempt
(ζ = 0, blauw), ondergedempt (0 < ζ < 1, oranje), kritisch gedempt (ζ = 1, groen),
√ en
overgedempt (ζ > 1, rood). De dimensieloze constante ζ is gedefiniëerd als ζ = γ/2 mk,
met γ de dempingsconstante.
2
2
Energie van een elektron - 7 punten
De effectieve potentiële energie van een elektron in een waterstofatoom wordt gegeven
door
a
b
U (r) = − + 2 .
(1)
r r
Hier zijn a en b positieve constanten en r is de afstand tot de oorsprong (waar de kern
van het atoom zit).
(a) Geef de dimensies van a en b.
(b) Leidt deze potentiële energie tot een afstotende of aantrekkende kracht op kleine
afstanden? En op grote afstanden?
(c) Vind de evenwichtspunt(en) van deze potentiële energie en bepaal hun stabiliteit.
(d) Een elektron wordt op r = ∞ losgelaten met snelheid nul. Bepaal de maximale
snelheid die het elektron kan krijgen.
(e) Voor het elektron in (d), vind de minimale afstand tot de kern (in de oorsprong) die
hij kan bereiken.
Antwoorden:
(a) De dimensie van U is energie, ofwel kracht maal afstand, ofwel M L2 T −2 . De dimensie
van a is energie maal afstand, dus [a] = M L3 T −2 ; de dimensie van b is energie maal
afstand in het kwadraat, dus [b] = M L4 T −2 .
(b) Methode 1 : De kracht is min de afgeleide van de potentiële energie, dus
F (r) = −
a
2b
dU
= − 2 + 3.
dr
r
r
Voor kleine waarden van r is de tweede term dominant, dus is F (r) positief en is de
kracht afstotend; voor grote waarden van r is de eerste term dominant, dus is F (r)
negatief en is de kracht aantrekkend.
Methode 2 : We schetsen de potentiële energie, zie figuur 2. We zien dat voor kleine
waardes van r de potentiële energie een negative helling heeft, wat correspondeert
met een afstotende kracht, terwijl voor grote waardes van r de potentiële energie een
positieve helling heeft, wat correspondeert met een aantrekkende kracht.
(c) Om de evenwichtspunten te vinden, zoeken we de punten waar de kracht nul is, ofwel
waar de afgeleide van de potentiële energie nul is:
0=
a
2b
dU
= 2− 3
dr
r
r
⇒
r=
2b
.
a
Om de stabiliteit van dit punt te bepalen, kijken we naar de waarde van de tweede
afgeleide van de potentiële energie op dit punt:
d2 U 2a 6b a4
= − 3 + 4
=
> 0.
dr2 r=2b/a
r
r r=2b/a 8b3
3
Omdat de tweede afgeleide positief is, is het evenwichtspunt stabiel. Omdat dat
bovendien het enige evenwichtspunt is, is dit punt het globale minimum en dus globaal
stabiel. Alternatief : voor de stabiliteit van het evenwichtspunt kunnen we ook kijken
naar de grafiek van de potentiële energie, figuur 2, waar we meteen zien dat het
evenwichtspunt overeenkomt met het globale minimum van U (r), en dus een stabiel
evenwichtspunt is.
(d) Op r = ∞ is de potentiële energie gelijk aan U (∞) = 0, dus de totale energie van het
deeltje is E = K + U = 0. De totale energie is behouden, dus is de kinetische energie
maximaal als de potentiële energie minimaal is, wat gebeurt in het globale minimum
op r = 2b/a: U (2b/a) = −a2 /4b. De kinetische energie is dus maximaal
a2 /4b, en de
√
2
= a2 /4b, dus vmax = a/ 2mb.
maximale snelheid volgt uit Kmax = 12 mvmax
(e) De minimale afstand tot de kern (in de oorsprong) wordt bereikt op het punt waar
de kinetische energie (weer) nul is, en de potentiële energie gelijk aan die van het
beginpunt (hier r = ∞ en U (∞) = 0). We zoeken dus de oplossing van U (r) = 0,
ofwel
a
b
b
0 = U (r) = − + 2 ⇒ r = .
r r
a
U(r)
0.10
0.05
5
10
15
20
r
-0.05
-0.10
-0.15
-0.20
-0.25
Figuur 2: De potentiële energie van opgave 2 (hier met a = b = 1). NB: De vorm van de
grafiek is hetzelfde voor elke keuze van a en b zolang ze beiden positief zijn.
4
3
Roterende objecten - 7 punten
Een massieve cilinder met massa M en straal R is in zijn middelpunt via een veer met veerconstante k verbonden aan de
muur (zie figuur 3). De cylinder kan heen en weer rollen zonder te glijden.
(a) Geef de totale energie van de cilinder plus veer.
(b) Differentiëer de energie van (a) om de bewegingsvergelij- Figuur 3: Een cylinder
aan een veer.
king van de cilinder plus veer te vinden.
(c) Vind de oscillatiefrequentie van de cilinder door de bewegingsvergelijking bij (b) te
vergelijken met die van een simpele harmonische oscillator (massa aan een veer).
Twee kinderen met massa’s m1 = 10 kg en m2 = 10 kg
zitten op een simpele draaimolen die bestaat uit een massieve
schijf van 100 kg en straal van 2.0 m. De draaimolen kan vrij
roteren om zijn middelpunt, en doet dat in eerste instantie met
een frequentie ω0 van 5.0 omwentelingen per minuut. Een derde
kind met massa m3 = 10 kg komt aanrennen met een snelheid
v0 van 1.0 m/s, onder een hoek van 30◦ met de raaklijn aan
de draaimolen (zie figuur 4). Bij de draaimolen aangekomen
springt dit kind erop, en draait met de andere twee kinderen
mee.
ω0
m2
m1
v0
(d) Vind de rotatiesnelheid van de draaimolen nadat het derde
kind erop gesprongen is.
θ = 30°
m3
Figuur 4: Drie kinderen
en een draaimolen.
Antwoorden:
(a) De totale energie bestaat uit de kinetische energie van de cylinder en de potentiële
energie van de veer. Voor de kinetische energie van de cylinder hebben we twee
bijdragen: die van zijn massamiddelpunt, Kcm = 12 M v 2 , en die van zijn rotatie,
Krot = 12 Iω 2 = 41 M R2 (v/R)2 = 14 M v 2 . De potentiële energie van de veer wordt
gegeven door U (x) = 12 kx2 , met x de afstand tot de muur. De totale energie van het
systeem is dus:
3
1
E = K + U = M v 2 + kx2 .
(2)
4
2
(b) De totale energie is behouden, dus zijn tijdsafgeleide is nul. Voor de afgeleide van (2)
naar de tijd vinden we dus:
d3
d1 2
M v2 +
kx
dt 4
dt 2
3
dv
dx
= Mv
+ kx
2
dt
dt
3
=
M a + kx v.
2
0=
5
in plaats van a mag natuurlijk ook een afgeleide van v of tweede afgeleide van x
gegeven worden. De bewegingsvergelijking van het systeem is dus
3 d2 x
M
+ kx = 0.
2 dt2
.
(c) Voor een simpele harmonische oscillatorp
hebben we als bewegingsvergelijking m . . x+
kx = 0, en als oscillatiefrequentie ω = k/m. Vergelijken we dit met de bewegingsvergelijking van (b), dan zien we dat
p voor onze cilinder-aan-een-veer de oscillatiefrequentie gegeven is door ωcilinder = 2k/3M .
(d) Sleutel tot deze opgave is behoud van impulsmoment. Het totale impulsmoment voor
en na de sprong van het derde kind zijn gelijk, en gegeven door:
Lvoor = Lschijf + L1 + L2 + L3
= Ischijf ω0 + m1 R2 ω0 + m2 R2 ω0 + m3 v0 cos(θ)R
1
M + m1 + m2 R2 ω0 + m3 v0 R cos(θ)
=
2
Lna = Lschijf + L1 + L2 + L3
1
=
M + m1 + m2 + m3 R2 ω1
2
1
M
+
m
+
m
ω0 + m3 (v0 /R) cos(θ)
1
2
ω1 = 2
1
M + m1 + m2 + m3
2
√
(50 + 10 + 20) · (5.0/60) + 10 · (1.0/2.0) · 21 3
=
= 0.12 s−1 = 7.3 rpm.
50 + 10 + 20 + 10
6
4
Een paar relativistische berekeningen - 10 punten
(a) Een raket vliegt van planeet A naar planeet B die precies een lichtjaar van elkaar
liggen (zoals gemeten in het ruststelsel van de planeten). Hoe snel moet de raket
vliegen zodat de tijd die tijdens de reis verlopen is op het horloge van een passagier
precies een jaar is?
(b) Een ruimteschip vliegt weg van de aarde met een snelheid c/2. Na enige tijd stuurt
het ruimteschip een sonde uit onder een rechte hoek met zijn eigen richting, en met
een snelheid c/3, gemeten in het inertiaalstelsel van het ruimteschip. Wat zijn de
grootte en richting van de snelheid van de sonde zoals gemeten vanaf de aarde?
(c) In de (ct, x) coördinaten van een inertiaalstelsel S vinden drie gebeurtenissen plaats
op G1 = (1, 2), G2 = (5, 4) en G3 = (3, 6). Welke van deze gebeurtenissen kunnen
causaal met elkaar verbonden zijn?
(d) Een foton met energie Ef botst elastisch met een stilstaande massa m. Na de botsing
bewegen het foton (met nu onbekende energie) en de massa allebei in een richting die
een hoek θ maakt met de oorspronkelijke richting van het foton (zie figuur 5). Geef
de energie-impuls viervectoren van het foton en de massa voor en na de botsing.
(e) Voor dezelfde botsing als in opgave (d), vind de hoek θ van de deeltjes na de botsing
(zoals gegeven in figuur 5) in termen van Ef en m.
Figuur 5: Een foton die botst met een stiltaand deeltje van massa m (boven) en de
beweging van het foton en het deeltje na de botsing (onder).
Antwoorden:
(a) Methode 1 : We noemen het ruststelsel S en het stelsel van de raket S 0 . De raket
mag in zijn eigen stelsel een jaar over de reis doen, dus ∆t0 = 1 jaar. De tijd
die de raket er in S over doet is ∆t = γ(v)∆t0 . De snelheid van de raket in S is
7
v = ∆L/∆t = ∆L/[γ(v)∆t0 ] = (1 ly)/[γ(v) · (1 y)] = c/γ(v) waarbij we gebruiken
dat 1 ly = c · (1 y). We hebben dus vγ(v) = c, ofwel
v2
= c2
1 − (v/c)2
⇒
v2
v2
=
1
−
c2
c2
⇒
√
v = c/ 2.
(3)
Methode 2 : In het ruststelsel S 0 van de raket komt planeet B met snelheid v naar de
raket toe. De afstand die de planeet in dit stelsel moet afleggen is ∆L0 = ∆L/γ(v) =
(1 ly)/γ(v). De planeet mag hier in S 0 een jaar over doen, dus (1 y)·v = (1 ly)/γ(v) =
c · (1 y)/γ(v)
en we vinden weer vγ(v) = c, waarvan de oplossing (vergelijking 3) weer
√
v = c/ 2 is.
(b) We noemen weer het ruststelsel van de aarde S en dat van de raket S 0 ; S 0 beweegt
met snelheid u = c/2 in de x-richting in S. We noemen de richting waar de sonde
(in S 0 ) heen vliegt y 0 . In S vinden we de grootte van de snelheid van de sonde
in de y-richting door te kijken naar de transversale snelheid: vy = vy0 /[γ(u) · (1 +
√
= c/2 3. De totale snelheidsvector
uvx0 /c2 )] = (c/3)/γ(c/2)
van de sonde in S is dus
√
√
~vsonde = (c/2)(1, 1/ 3, 0), met grootte v = |~v | = c/ 3. De√hoek θ die ~v met de x-as
in S maakt is gegeven door θ = arctan(vy /vx ) = arctan(1/ 3) = 30◦ .
(c) Methode 1 : We berekenen de relativistische ‘afstanden’ (lengtes van de ruimtetijdvector) tussen de drie gebeurtenissen:
∆s12 = (1 − 5)2 − (2 − 4)2 = 16 − 4 = 12 > 0 ⇒ tijdachtig.
∆s13 = (1 − 3)2 − (2 − 6)2 = 4 − 16 = −12 < 0 ⇒ ruimteachtig.
∆s23 = (5 − 3)2 − (4 − 6)2 = 4 − 4 = 0 ⇒ tijdachtig.
Gebeurtenissen (1 & 2) en (2 & 3) kunnen dus causaal met elkaar verbonden zijn,
maar (1 & 3) niet.
Methode 2 : We tekenen een ruimte-tijddiagram met de drie gebeurtenissen en hun
lichtkegels, zie figuur 6. We zien dat gebeurtenis 2 ruim binnen de lichtkegel van 1
valt, en net binnen de lichtkegel van 3, dus (1 & 2) en (2 & 3) kunnen causaal met
elkaar verbonden zijn. Gebeurtenis 3 valt echter ruim buiten de lichtkegel van 1, dus
(1 & 3) kunnen niet causaal verbonden zijn.
(d) De gevraagde vier-vectore zijn (1 = voor, 2 = na):
Ef
(1, 1, 0, 0)
c
= mc(1, 0, 0, 0)
Ef,2
=
, pf,2 cos θ, pf,2 sin θ, 0
c
Em,2
=
, pm,2 cos θ, −pm,2 sin θ, 0 .
c
pf,1 =
pm,1
pf,2
pm,2
(e) Behoud van impuls in de y-richting geeft
pf,2 = pm,2 ≡ p2 .
8
(4)
(5)
(6)
(7)
Behoud van impuls in de x-richting geeft nu:
Ef
= 2p2 cos θ
c
⇒
p2 =
Ef
.
2c cos θ
Behoud van energie geeft tenslotte:
Ef + mc2 = Ef,2 + Em,2 = p2 c + Em,2 =
Ef
+ Em,2 ,
2c cos θ
waar we gebruikt hebben dat Ef,2 = pf,2 c voor het foton. We schrijven dit om naar
een uitdrukking voor Em,2 :
1
2
.
Em,2 = mc + Ef 1 −
2 cos θ
2
We kunnen deze uitdrukking kwadrateren en gebruiken dat Em,2
= m2 c4 + p22 c2
(vanwege behoud van massa in de elastische botsing):
2
1
2
mc + Ef 1 −
= m2 c4 + p22 c2
2 cos θ
2
2
1
Ef
1
2 4
2
2
2 4
m c + Ef 1 −
+ 2mc Ef 1 −
=m c +
2 cos θ
2 cos θ
2 cos θ
2
1
E
Ef2 − f + 2mc2 Ef 1 −
=0
cos θ
2 cos θ
Ef + mc2
Ef + 2mc2 =
cos θ
Ef + mc2
cos θ =
.
Ef + 2mc2
ct
6
5
2
4
3
3
2
1
1
1
2
3
4
5
6
7
x
Figuur 6: Ruimte-tijddiagram bij opgave 5c. Lichtkegel van punt 1 in blauw, lichtkegel
van punt 3 in rood.
9