Voortgezette Logica Handout 1: Multimodale logica

Voortgezette Logica Handout 1:
Multimodale logica
Bas Luttik
30 september 2002∗
Hoofdstuk 1 van deel I van de syllabus “Voortgezette Logica” van Venema en
De Vrijer introduceert de modale logica als uitbreiding van de propositielogica met
één modaliteit (d.w.z., één ruitje en één blokje). Definitie 2.12 introduceert de
temporele propositielogica als een uitbreiding van de propositielogica met twee modaliteiten 3F (met blokje 2F ) en 3P (met blokje 2P ). De semantiek van de
temporele propositielogica wordt gegeven door twee speciale clausules voor 3F en
3P te combineren met de drie standaardclausules voor p, ¬ en ∧ (de eerste drie
clausules in Definitie 1.6). De clausules voor 3F en 3P lijken sprekend op de clausule voor 3 in Definitie 1.6. (De clausule voor 3F lijkt daar natuurlijk nog net iets
meer op dan die voor 3P .) Maar een formeel verband met de theorie van Hoofdstuk 1 wordt niet gelegd. In het bijzonder hebben we daardoor voor de temporele
propositielogica nog geen geschikte notie van bisimulatie. Met ‘geschikt’ bedoelen
we: sterk genoeg om een invariantiestelling (Stelling 1.22 in de syllabus) voor alle
temporele formules te bewijzen.
We zouden nu kunnen proberen om de definitie van bisimulatie uit Hoofdstuk 1
van de syllabus een beetje aan te passen, zó dat we een invariantiestelling krijgen
die geldt voor alle temporele formules. Maar, met het oog op de toekomst is het
wenselijk om iets algemener te werk te gaan.
1
Multimodale logica: syntax en semantiek
We generaliseren de theorie van Hoofdstuk 1 naar een uitbreiding van de propositielogica met een willekeurig aantal modaliteiten. Behalve een niet-lege verzameling
VAR = {p0 , p1 , p2 , . . .} van propositionele variabelen, vooronderstellen we nu ook
een verzameling I die de collectie van modaliteiten (ruitjes en blokjes) zal indexeren.
We breiden de propositielogica uit met een collectie {3i | i ∈ I} van ruitjes.
Definitie 1 (modale formules over I) We definiëren de verzameling van modale formules over I inductief als volgt:
(i) de propositionele variabelen zijn de atomaire modale formules over I;
(ii) als ϕ en ψ modale formules over I zijn, dan zijn ook ¬ϕ en ϕ ∧ ψ modale
formules over I; en
(iii) als ϕ een modale formule over I is en i is een element van I, dan is ook 3i ϕ
een modale formule over I.
De verzameling van modale formules over I wordt dus gegenereerd door de
volgende BNF definitie:
ϕ ::= p | ¬ϕ | ϕ ∧ ϕ | 3i ϕ
∗ Enkele
(p ∈ VAR, i ∈ I).
kleine wijzigingen aangebracht (DH 2007/2/26).
We definiëren weer ϕ ∨ ψ, ϕ → ψ, ϕ ↔ ψ, > en ⊥ als de gebruikelijke afkortingen.
Verder gebruiken we 2i ϕ als afkorting van ¬3i ¬ϕ.
Om modale formules over I van een semantiek te kunnen voorzien, moeten we
ook de noties van ‘frame’ en ‘model’ generaliseren.
Definitie 2 (I-frame) Een I-frame is een structuur
F = (W, {Ri | i ∈ I})
die bestaat uit een verzameling W en een collectie {Ri | i ∈ I} van binaire relaties
op W (dus: Ri ⊆ W × W voor alle i ∈ I).
De frames uit de syllabus hebben altijd precies één toegankelijkheidsrelatie. Een
I-frame heeft een collectie van toegankelijkheidsrelaties, voor elke i ∈ I één.
Definitie 3 (I-model) Een I-model
M = (W, {Ri | i ∈ I}, π)
bestaat uit een I-frame (W, {Ri | i ∈ I}) en een valuatie π op F, d.w.z.,
π : W → (VAR → {0, 1}).
Met een kleine aanpassing in laatste clausule van Definitie 1.6 uit de syllabus
krijgen we een waarheidsdefinitie voor modale formules over I in I-modellen.
Definitie 4 (waarheid) Zij M = (W, {Ri | i ∈ I}, π) een I-model, zij ϕ een
modale formule over I, en zij w ∈ W . We definiëren de relatie M, w ϕ (ϕ is
waar in wereld w van M) voor alle w ∈ W met inductie naar de structuur van
modale formules over I:
M, w
M, w
M, w
M, w
p
¬ϕ
ϕ∧ψ
3i ϕ
⇐⇒ π(w)(p) = 1
⇐⇒ M, w 6 ϕ
⇐⇒ M, w ϕ & M, w ψ
⇐⇒ M, v ϕ voor minstens één punt v zó dat wRi v.
Merk op dat bovenstaande definitie erg weinig verschilt van Definitie 1.6 in de
syllabus.
Voorbeeld 5 Neem I = {a, b, c} en beschouw het I-model M = (W, {Ri | i ∈
I}, π), met
W = {w1 , w2 , w3 , w4 },
Ra = {(w1 , w2 ), (w3 , w3 )},
Rb = {(w2 , w3 )},
Rc = {(w2 , w4 ), (w4 , w1 )},
en met π gedefinieerd door
1 als w = w3 ;
π(w)(p) =
0 anders,
π(w)(q) =
Dit I-model M kan als volgt worden weergegeven:
2
1
0
als w = w1 ;
anders.
p
w1
q
1
0
a
b
w2
11
00
11
00
w3
a
c
11
00
c
w4
Dan hebben we:
1. M, w3 2a p;
2. M, w2 3b 2a p;
3. M, w4 6 3a p;
4. M, w2 2c ¬3a p;
5. M, w2 (3b 2a p) ∧ (2c ¬3a p);
6. M, w1 3a ((3b 2a p) ∧ (2c ¬3a p)).
De definities van (globale) waarheid van een modale formule over I in een I-model
en van geldigheid van een modale formule over I in een I-frame krijgen we door in
Definitie 1.10 uit de syllabus de woorden ‘frame’, ‘model’ en ‘formule’ te vervangen
door ‘I-frame’, ‘I-model’ en ‘modale formule over I’. Op dezelfde manier krijgen
we de definities van geldigheid en karakteriseerbaarheid uit Definities 1.14 en 1.16.
Opgave 1 Zij M = (W, Ra , Rb , Rc , π) weer het {a, b, c}-model van Voorbeeld 5,
en zij F = (W, Ra , Rb , Rc ) het {a, b, c}-frame waarop M is gebaseerd. Bewijs of
weerleg:
(a) M 2a p;
(b) M 2a (p ∨ (3b > ∧ 3c >));
(c) F |= 2a (3a > ∨ (3b > ∧ 3c >)).
2
Temporele propositielogica
We krijgen de taal van de temporele propositielogica door in het hierboven beschreven framework I = {F, P } te kiezen. Elke temporele formule is een modale formule
over {F, P } in de zin van Definitie 1. En andersom, elke modale formule over {F, P }
is een temporele formule.
In de syllabus is de semantiek van temporele formules gebaseerd op de notie
van ‘temporeel frame’, dit is een frame van de vorm (T, <) met < een temporele
(d.w.z., transitief en irreflexieve) ordening. In de waarheidsdefinitie (Definitie 2.12
van de syllabus) refereren de twee clausules voor 3F en 3P allebei aan die ene
temporele ordening <. Als t < u, dan zouden we kunnen zeggen dat, m.b.t. <, u in
de toekomst van t ligt, en t in het verleden van u. Volgens Definitie 2.12 kijkt 3F
dus naar de toekomst en 3P naar het verleden m.b.t. dezelfde temporele ordening
<.
Beschouw nu de semantiek van modale formules over {F, P } volgens de definities
hierboven. Die semantiek is gebaseerd op de notie van {F, P }-frame. Dit is strikt
genomen een structuur van de vorm (W, {Ri | i ∈ {F, P }}), maar in het vervolg
schrijven we liever (W, RF , RP ). Waar het om gaat is dat de twee clausules voor
3
3F en 3P in de waarheidsdefinitie voor modale formules {F, P } (Definitie 4 hierboven) refereren aan twee verschillende toegankelijkheidsrelaties: 3F refereert aan
de relatie RF , terwijl 3P refereert aan de relatie RP .
In de syllabus wordt niet elk frame geschikt bevonden voor de interpretatie van
een temporele formule. Er wordt een speciale klasse van temporele frames gedefinieerd. We vragen ons nu af welke {F, P }-frames geschikt zijn voor de interpretatie
van temporele formules. Het ligt ten eerste voor de hand om te eisen dat beide toegankelijkheidsrelaties RF en RP temporele ordeningen zijn. Om dit te benadrukken
schrijven we in het vervolg <F en <P in plaats van RF en RP .
Maar daarmee zijn we er nog niet. Lezen we t <F u als ‘u ligt in de toekomst
van t’, en lezen we t <P u als ‘u ligt in het verleden van van t’, dan wordt duidelijk
wat er nog mist: we willen natuurlijk dat u in de toekomst van t ligt dan en slechts
dan als t in het verleden van u ligt! We moeten dus nog eisen dat <F en <P elkaars
omkering zijn, d.w.z., voor alle t, u ∈ T
t <F u ⇐⇒ u <P t.
Opgave 2 De klasse van {F, P }-frames (T, <F , <P ) waarvoor geldt dat <F en
<P elkaars omkering zijn, kunnen we karakteriseren met een modale formule over
{F, P }:
(a) Bewijs dat (T, <F , <P ) |= q → 2P 3F q desda1 ∀t∀u(t <P u ⇒ u <F t).
(b) Bewijs dat (T, <F , <P ) |= q → 2F 3P q desda ∀t∀u(t <F u ⇒ u <P t). (Dit
bewijs zal vermoedelijk sprekend lijken op het bewijs bij (a)!)
(c) Concludeer uit (i) en (ii) dat de formule
(q → 2P 3F q) ∧ (q → 2F 3P q)
de klasse van {F, P }-frames (T, <F , <P ) karakteriseert waarvoor geldt dat
<F en <P elkaars omkering zijn.
De volgende propositie beschrijft het verband tussen de semantiek die in de
syllabus aan temporele formules wordt gegeven —gebaseerd op temporele frames—
en het alternatief —gebaseerd op {F, P }-frames— dat hierboven wordt besproken.
Propositie 6
(i) Stel dat T = (T, <, π) een temporeel model is. Dan krijgen we een {F, P }model T 0 = (T, <F , <P , π) door voor <F de temporele ordening < te nemen,
en voor <P de omkering > van <. Er geldt dan voor iedere t ∈ T dat
T , t ϕ dan en slechts dan als T 0 , t ϕ.
(ii) Stel dat T = (T, <F , <P , π) een {F, P }-model is, zó dat <F en <P temporele
ordeningen zijn en bovendien elkaars omkering. Dan krijgen we een temporeel
model T 0 = (T, <, π) door voor < de temporele ordening <F te nemen. Er
geldt dan voor iedere t ∈ T dat
T , t ϕ dan en slechts dan als T 0 , t ϕ.
1 dan
en slechts dan als
4
3
Bisimulatie en invariantiestelling
We generaliseren nu de notie van bisimulatie op de voor de hand liggende manier,
door voor iedere i ∈ I een verband te eisen tussen de toegankelijkheidsrelaties met
index i.
Definitie 7 (Bisimulatie) Zij M = (W, {Ri | i ∈ I}, π) en M0 = (W 0 , {Ri0 | i ∈
I}, π 0 ) twee I-modellen. Een relatie Z⊆ W × W 0 heet een bisimulatie tussen M en
M0 als aan de volgende drie voorwaarden is voldaan:
(i) als w Z w0 , dan geldt voor elke p ∈ VAR dat π(w)(p) = π 0 (w0 )(p);
en voor iedere i ∈ I
(ii) als w Z w0 en wRi v, dan is er een v 0 ∈ W 0 zó dat v Z v 0 en w0 Ri0 v 0 ; en
(iii) als w Z w0 en w0 Ri0 v 0 , dan is er een v ∈ W zó dat v Z v 0 en wRi v.
We schrijven weer M, w ↔ M0 , w0 als er een bisimulatie Z bestaat zó dat w Z w0 .
De hierboven gedefinieerde notie van bisimulatie leidt tot een algemene Invariantiestelling die in het bijzonder van toepassing is in de temporele propositielogica.
Het bewijs van deze stelling laten we als oefening voor de lezer; het is vrijwel identiek
aan het bewijs van Stelling 1.22 in de syllabus.
Stelling 8 Zij M = (W, {Ri | i ∈ I}, π) en M0 = (W 0 , {Ri0 | i ∈ I}, π 0 ) I-modellen
met w ∈ W en w0 ∈ W 0 . Als M, w ↔ M0 , w0 , dan geldt voor alle modale formules
ϕ over I:
M, w ϕ ⇐⇒ M0 , w0 ϕ.
In Hoofdstuk 2 van deel I van de syllabus werd, met behulp van Stelling 1.22 uit
de syllabus, bewezen dat de binaire modaliteit U niet uitdrukbaar is in de modale
basistaal (zie Propositie 2.18). Met behulp van Stelling 8 is het nu mogelijk om te
bewijzen dat U ook niet uitdrukbaar is in de taal van de temporele propositielogica.
Daartoe moeten we eerst de clausule voor de waarheid van ϕU ψ in een {F, P }-model
T = (T, <F , <P , π) geven:
T , t ϕU ψ ⇐⇒ ∃v ∈ T (t <F v & T , v ψ & ∀u ∈ T (t <F u <F v ⇒ T , u ϕ))
Opgave 3 Bewijs dat er geen modale formule over {F, P } bestaat die equivalent
is met p U q. Ga daartoe als volgt te werk:
(a) Leg uit hoe de modellen M en M0 uit het bewijs van Propositie 2.18 uit de
syllabus kunnen worden opgevat als temporele {F, P }-modellen.2
(b) Laat zien dat de relatie Z tussen M en M0 gedefinieerd in Propositie 2.18 uit
de syllabus een bisimulatie is in de zin van Definitie 7.
(c) Gebruik nu Stelling 8 om de tegenspraak af te leiden uit de aanname dat ϕ
een modale formule over {F, P } is die equivalent is met p U q.
2 Waarbij we met een temporeel {F, P }-model bedoelen: een model gebaseerd op een {F, P }frame (W, <F , <P ) zodat <F en <P temporele ordeningen zijn en bovendien elkaars omkering.
5