Opgaven Bewijzen en Inductie

Opgaven Bewijzen en Inductie
3 mei 2017, Datastructuren, Werkcollege.
Gebruik deze opgaven, naast die uit het boek, om de stof te oefenen op het werkcollege.
Cijfer: Op een toets krijg je meestal zes tot acht opgaven.
1. Oneven getallen: Formuleer met
zijn samen n2 .
P
en bewijs met inductie: De eerste n oneven getallen
Oplossing: Het eerste oneven getal is 1, het tweede
in formule: het ide
Pn 3, enzovoorts,
2
oneven getal is 2i − 1. De stelling luidt dus: ∀n :
i=1 (2i − 1) = n .
Bewijs: Met inductie naar n.
n = 0: De LHS is een som over 0 getallen dus uitkomst 0. De RHS is 02 dus ook 0, er
geldt dus gelijkheid.
Pn+1
P
P
2
n+1: De IH is Pni=1 (2i−1) = n2 en Tb is n+1
i=1 (2i−1) =
i=1 (2i−1) = (n+1) . Leid af:
n
2
2
2(n + 1) − 1 + i=1 (2i + 1) = 2(n + 1) − 1 + n = (n + 1) . Eerste stap: afslitsen term
n + 1. Tweede stap: IH toepassen op som. Derde stap: Omschrijven.
Beoordeling/Toelichting:
2. Som van kwadraten: Bewijs dat
Pn
i=1
i(i − 1) = 13 (n − 1)n(n + 1).
Oplossing: Gebruik inductie
P naar n. Voor n = 0 zijn LHS en RHS gelijk aan 0.
Voor n + 1, stel (IH) dat ni=1 i(i − 1) = 13 (n − 1)n(n + 1) geldt, dan
Pn+1
i=1
P
i(i − 1) = (n + 1)n + ni=1 i(i − 1)
= (n + 1)n + 31 (n − 1)n(n + 1)
= 13 (3(n + 1)n) + 31 (n − 1)n(n + 1)
= 31 (n − 1 + 3)n(n + 1)
= 13 n(n + 1)(n + 2)
= 13 (n + 1 − 1)(n + 1)(n + 1 + 1)
Afsplitsen van term
Gebruik IH
Maak factor gelijk
Combineer termen
Factor naar achteren
Herschrijf
Waarom “Maak factor gelijk”? Na het gebruik IH heb ik twee termen, die beide de
gemeenschappelijke factor (n + 1)n bevatten. De tweede heeft ook nog 31 (n − 1) ervoor
staan. Door de eerste met 13 3 te vermenigvuldigen, zorg ik dat ze ook de 13 gemeen hebben,
waarna ik de 3 van de eerste term bij de n − 1 van de tweede kan trekken (rekenregeltje
Distributie AC + BC = (A + B)C).
Beoordeling/Toelichting: In de inductiestap ben ik meteen begonnen met bewijzen,
zonder expliciet op te schrijven wat ik moet bewijzen. Wordt het daar veel duidelijker
van?
3. Harmonische sommatie: Bewijs dat voor alle n ≥ 1 geldt
Pn
1
k=1 k(k+1)
=
n
.
n+1
Oplossing: Gebruik inductie naar n. Voor n = 1 zijn LHS en RHS beide 1/2, dus zeker
gelijk aan elkaar. Voor n + 1 geldt dan
Pn
Pn+1 1
1
1
k=1 k(k+1) + (n+1)(n+2) Afsplitsen
k=1 k(k+1) =
n
1
= n+1
+ (n+1)(n+2)
IH
n(n+2)
1
Noemers gelijk maken
= (n+1)(n+2) + (n+1)(n+2)
n(n+2)+1
Tellers optellen
= (n+1)(n+2)
(n+1)(n+1)
n+1
= (n+1)(n+2) = n+2
Herschrijven, uitdelen
Beoordeling/Toelichting:
4. Som van Faculteiten: Bewijs dat voor elke n: 1 · 1! + 2 · 2! + . . . + n · (n!) = (n + 1)! − 1.
Oplossing: Dit is te bewijzen met inductie naar n.
Voor n = 0 is de LHS een lege som, dus uitkomst 0. En de RHS is 1! − 1 is ook 0, dus er
geldt gelijkheid.
Gebruik nu 1·1!+2·2!+. . .+n·(n!) = (n+1)!−1 als InductieHypothese om de stelling voor
n+1 te bewijzen. Wat je moet bewijzen is dan: 1·1!+2·2!+. . .+n·(n!)+(n+1)(n+1)! =
(n + 2)! − 1. Begin met de eerste n termen van de LHS te herschrijven met de IH:
1·1!+2·2!+. . .+n·(n!)+(n+1)(n+1)! = (n+1)!−1+(n+1)(n+1)! = (n+2)(n+1)!−1,
het laatste door de twee veelvouden van (n + 1)! samen te voegen.
Beoordeling/Toelichting: Je kunt natuurlijk ook als IH de bewering P (n − 1) opstellen
en van daaruit P (n) bewijzen. Wijs erop dat het verstandig is, in dat geval de IH uit te
schrijven! En dus niet beginnen met “Stel dat het geldt voor n − 1”.
5. Even getallen: Bedenk een formule voor de som van de eerste n positieve even getallen
en bewijs de juistheid met inductie.
Oplossing:
Het k de positieve even getal is 2k dus wat je hier in feite moet oplossen is
Pn
k=1 2k. Voor n gelijk aan 1, 2, 3, 4 en 5 vind ik 2, 6, 12, 20 en 30. Hee, da’s toevallig, elke
uitkomst is het product
Pn van twee opeenvolgende getallen, namelijk n(n + 1). Ik vermoed
meteen de formule k=1 2k = n(n + 1).
Deze formule is inderdaad juist, wat we kunnen bewijzen met inductie. Voor n = 0 zijn
de LHS en RHS beide 0 dus geldt
Pn gelijkheid.
P
Neem voor n + 1 als IH aan k=1 2k = n(n + 1) om te gaan bewijzen dat n+1
k=1 2k =
(n + 1)(n + 2). Dan
Pn+1
Pn
k=1 2k =
k=1 2k + 2(n + 1) Afsplitsen laatste term
= n(n + 1) + 2(n + 1) Ind. Hyp.
= (n + 1)(n + 2)
Samenvoegen
Het samenvoegen gebruikt het Distributieprincipe AC + BC = (A + B)C voor de C is
(n + 1). Je krijgt dan als (A + B) de factor (n + 2) die ik er ook achter mag schrijven
wegens Commutativiteit van Vermenigvuldiging.
Beoordeling/Toelichting: Hoe kom je aan het “Te bewijzen” deel in je inductiestap?
In de stelling vervang je n door n + 1 overal waar die voorkomt.
6. Drievoud: Bewijs met inductie naar n dat voor elke positieve n, n3 + 2n een drievoud is.
Oplossing: Omdat alleen over positieve n gesproken wordt mag je de inductie met n = 1
beginnen, maar voor n = 0 geldt ’t ook al.
Voor n = 1 is n3 + 2n gelijk aan 3, wat inderdaad een drievoud is.
Voor n+1 nemen we aan dat n3 +2n een drievoud is en gaan bewijzen dat (n+1)3 +2(n+1)
een drievoud is. Herschrijf (n + 1)3 + 2(n + 1) = (n3 + 3n2 + 3n + 1) + (2n + 2) =
(n3 + 2n) + 3(n2 + n + 1), dus: n3 + 2n plus drie keer iets. Volgens de IH is n3 + 2n een
drievoud, daar driemaal iets bijtellen geeft weer een drievoud.
Beoordeling/Toelichting: Je kunt dit nog iets mooier maken door de eigenschap drievoud expliciet te maken met een kwantor: drievoud(n) := ∃k : n = 3k. Voor n + 1 leid
je dan na Exists-eliminatie een k 0 = k + (n2 + n + 1) af, waarna je met exists-introductie
weer op de drievoud-expressie uitkomt.
n
k
, op je rekenmachine te vinden met
7. Driehoek van Pascal: De binomiaalcoëfficient
n
n!
de nCr-knop, is gedefinieerd als
= k!(n−k)!
.
k n
n−1
n−1
Bewijs dat voor 0 < k < n geldt dat
=
+
.
k
k
k−1
Oplossing: Hier is geen inductie nodig. Het best begin je aan die kant van de formule die
er het ingewikkeldst uitziet, dus hier de RHS.
n−1
n−1
(n−1)!
(n−1)!
+ (k−1)!(n−1−(k−1))!
Def 2x toepassen
+
= k!(n−1−k)!
k
k−1
(n−1)!
(n−1)!
= k!(n−1−k)!
+ (k−1)!(n−k)!
Vereenvoudig
k(n−1)!
(n−1)!(n−k)
= k!(n−1−k)!(n−k) + k(k−1)!(n−k)! Noemers gelijkmaken
k(n−1)!
= (n−1)!(n−k)
+ k!(n−k)!
Factor binnen ! trekken
k!(n−k)!
(n−1)!(n−k)+k(n−1)!
=
Tellers optellen
k!(n−k)!
(n−1)!n
n!
Vereenvoudig
= k!(n−k)! = k!(n−k)!
n
=
Definitie
k
Hoe maak ik die noemers zo mooi gelijk? Basisidee voor optellen van breuken is dat je de
noemers gelijk maakt door elke breuk boven en onder te vermenigvuldigen met de noemer
C
AD
CB
A
+D
= BD
+ BD
= AD+CB
). Maar hier kan het een tikkeltje
van de andere (Rekenregel B
BD
simpeler omdat de noemers al veel gemeenschappelijke factoren bevatten. De linkernoemer
heeft k! en de rechternoemer heeft (k − 1)!, wat ik aan elkaar gelijk maak door alleen de
rechterbreuk boven en onder met k te vermenigvuldigen: in de noemer krijgt (k − 1)! de
extra k dus wordt k!, en in de teller zie je de k erbij staan op de volgende regel. Tegelijk
vermenigvuldig ik de rechterbreuk boven en onder met (n−k) om daar de (n−k −1)! in de
noemer om te toveren naar een (n − k)!. Op de derde regel zijn de noemers al gelijk maar
staan die factoren nog apart genoemd, op de vierde regel heb ik ze binnen de ! getrokken
zodat de noemers er ook hetzelfde uitzien.
Beoordeling/Toelichting:
8. Paren: Bewijs met inductie naar n dat een verzameling met n ≥ 2 elementen, precies
1
n(n − 1) deelverzamelingen van grootte 2 heeft.
2
Oplossing: Noem een deelverzameling van grootte 2 een paar. Gebruik inductie naar n
(zoals gevraagd) en begin met n = 2. Een verzameling met 2 elementen heeft 1 deelverzameling van grootte 2 (namelijk zichzelf). Er geldt inderdaad dat 1 = 21 2(2 − 1).
Stel dat (IndHyp) een verzameling met n ≥ 2 elementen, precies 21 n(n − 1) paren bevat.
We moeten hieruit bewijzen dat een verzameling met n + 1 elementen precies 21 (n + 1)(n)
paren bevat. Stel A heeft n + 1 elementen; wijs een willekeurig element x aan en schrijf
A = A0 +x, waar A0 een verzameling van n elementen is. Bedenk dat A paren bevat zonder
x en paren met x. Het aantal paren zonder x is gewoon het aantal paren in A0 en omdat
A0 omvang n heeft, weten we (Ind.Hyp.) dat dit precies 12 n(n − 1) paren zijn. Een paar
met x bevat x en een element uit A0 , en dit kan natuurlijk op precies n manieren. Het
aantal paren in A is dus precies 12 n(n − 1) (paren zonder x) plus n (paren met x), dus
1
(n + 1)(n).
2
Beoordeling/Toelichting:
9. Celebrity: Een bezoeker van een feestje is een celebrity als hij niemand dan zichzelf kent
en door alle anderen gekend wordt.
(a) Heeft een feestje met 1 bezoeker een celebrity?
(b) Heeft elk feestje zeker een celebrity?
(c) Kan een feest meer dan 1 celebrity hebben?
(d) Laat zien hoe je, op een feestje met n bezoekers, met hoogstens 3(n − 1) vragen van
het soort “Kent A B?”, de celebrity kunt identificeren, of uitsluiten dat die er is.
Oplossing: (a) Als A de enige bezoeker is, dan kent hij inderdaad geen van de andere
bezoekers (omdat die er niet zijn), maar alle andere bezoekers kennen A (omdat die er niet
zijn). Dus de enige bezoeker van een soloparty is een celebrity.
(b) Er hoeft geen celebrity te zijn, denk bv aan een party met twee personen die elkaar
kennen.
(c) Nee. Als A en B (verschillend en) beide celebrity zijn, kent A B niet omdat A celebrity
is, en kent A B wel omdat B celebrity is. Dit is uiteraard een tegenspraak, dus is er
hoogstens 1 celebrity.
(c) Je moet even inzien dat een celebrity, een celebrity blijft als er een (andere) persoon
weggaat. En dat een celebrity kan ophouden celebrity te zijn wanneer er een persoon bij
komt (want hij kan die nieuwe kennen, of die kan de celeb niet kennen).
Als de party omvang 1 heeft, output de enige deelnemer, no questions asked dus inderdaad
3(n − 1).
Als er meerdere deelnemers zijn, pak willekeurig X en Y en vraag of X Y kent. Zoja, dan
is X zeker geen celebrity, smijt hem buiten. Zonee, dan is Y zeker geen celebrity, sluit
haar buiten. Er zijn nog n − 1 gasten over, identificeer hierin een eventuele celeb; volgens
de IH kan dit in 3(n − 2) vragen! Check dat deze de buitengeworpene niet kent, maar de
buitengeworpene hem wel. Totaal stel je drie vragen, plus wat nodig is voor de identificatie
van de celeb op een party met n − 1 gasten.
Beoordeling/Toelichting:
10. Cosinusregel: Gebruik de productregel cos A cos B = 12 (cos(A + B) + cos(A − B)) om te
bewijzen dat
1
cos A cos B cos C = (cos(A + B + C) + cos(A + B − C) + cos(A − B + C) + cos(A − B − C)).
4
Oplossing:
=
=
=
=
=
cos A cos B cos C
{ Zet haakjes }
(cos A cos B) cos C
{ Gebruik productregel }
1
(cos(A + B) + cos(A − B)) cos C
2
{ Gebruik distributie }
1
(cos(A + B) cos C + cos(A − B) cos C)
2
{ Gebruik productregel tweemaal }
1 1
( (cos(A + B + C) + cos(A + B − C)) + 12 (cos(A − B + C) + cos(A − B − C)))
2 2
{ Haal factor 1/2 naar buiten }
1
(cos(A
+ B + C) + cos(A + B − C) + cos(A − B + C) + cos(A − B − C))
4
Beoordeling/Toelichting: H = Zet een Hint bij elke stap.
R = Je Redeneert van stelling naar gegevens, moet andersom.
U = Dit is een U-bewijs.
11. Keer Drie: De rij getallen b voldoet aan b0 = 1 en bn+1 = 3bn − 1. (De eerste waarden
van de rij zijn dus b0 = 1, b1 = 2, b2 = 5 en b3 = 14.) Bewijs met inductie dat voor alle
natuurlijke getallen n geldt bn = 12 (3n + 1).
Oplossing: We gebruiken inductie naar n.
Als n = 0 is de LHS b0 , volgens het gegeven gelijk aan 1. De RHS is 21 (30 + 1), dus ook 1,
en er geldt gelijkheid.
Gebruik nu als IH de bewering bn = 21 (3n + 1) om te bewijzen bn+1 = 12 (3n+1 + 1):
bn+1 = 3bn − 1
= 3 · 21 (3n + 1) − 1
= 21 (3n+1 + 3) − 1
= 12 (3n+1 + 3 − 2)
= 12 (3n+1 + 1)
Gegeven
IH
Breng 3 naar binnen
Breng 1 naar binnen
3 min 2 is 1
Beoordeling/Toelichting: Tot 3pt voor een goed bewijs.
A = Niet Aannemen wat je moet bewijzen!
B = Basisstap ontbreekt, aftrek 1pt.
L = Laatste stap is onjuist.
S = Schrijft IH en Tb niet uit; geen aftrek als dit niet tot fouten heeft geleid.
U = Past IH als Universeel gekwantificeerd toe, fout!