De Stelling van Lidskii - Faculteit Wetenschappen en Bio

Faculteit Wetenschappen en Bio-Ingenieurswetenschappen
Departement Wiskunde
De Stelling van Lidskii
Bachelorproject I
Promotor: Prof. K. De Commer
Brecht Verbeken
Academiejaar 2015-2016
Inhoudsopgave
1
Motivering en voorbereidend werk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1
De polaire decompositie
6
1.2
Eigenschappen in verband met het spoor
7
2
De spoorformule of trace formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3
Toepassingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.1
Integraaloperatoren
21
1. Motivering en voorbereidend werk
Voor eindigdimensionale vectorruimten over C is het niet zo moeilijk om -via de Jordannormaalvorm- aan te tonen dat het spoor van een lineaire afbeelding gelijk is aan de
som van de eigenwaarden van de desbetreffende lineaire afbeelding. We noemen dit
de spoorformule of trace formula. De natuurlijke vraag luidt dan of deze formule geldig
blijft voor lineaire operatoren op een separabele Hilbertruimte. Dit blijkt het geval te zijn
voor een belangrijke klasse compacte operatoren, de zogenaamde trace class operators of
spoorklasseoperatoren. Hierover zal deze paper handelen. Het materiaal is grotendeels
gebaseerd op de behandeling in [1].
Vooraleer te beginnen zou ik graag iedereen bedanken die direct of indirect heeft bijgedragen aan deze paper. In de eerste plaats mijn promotor, Prof. K. De Commer, wiens
deur altijd voor mij openstond en die mij meermaals geholpen heeft waar ik sloot zat.
Daarnaast wens ik ook mijn studiegenoten te bedanken voor hun steun en opmerkingen,
meer in het bijzonder Daphné en Carlo. Ook aan mijn leerkracht wiskunde uit de humaniora, Alain Beeckman, ben ik grootse dank verschuldigd, zonder hem had ik misschien niet
eens wiskunde gestudeerd. Tevens een welgemeende bedankt aan mijn oude klasgenoten
Karel van der Steen, Louis d’Hiet en Sime Cuyx voor het becommentariëren van deze
paper. Als laatste wil ik mijn ouders bedanken voor hun aanmoedigingen en logistieke
steun. Veel leesplezier!
Hoofdstuk 1. Motivering en voorbereidend werk
6
1.1
De polaire decompositie
Wij zullen eerst enkele reeds gekende definities herhalen:
Definitie 1.1.1 Een lineaire afbeelding T : V → W tussen twee Banachruimten V en W ,
heet compact indien E = {T v | ||v|| ≤ 1} een precompacte deelverzameling van W is.
M.a.w. als elke rij in E een Cauchydeelrij bezit.
Definitie 1.1.2 Voor een Hilbertruimte H en T, S ∈ B(H) noemen we S de toegevoegde
operator van T indien hξ, T ηi = hSξ, ηi, ∀ξ, η ∈ H.
Definitie 1.1.3 Een zelftoegevoegde operator T ∈ B(H) noemen we positief indien
hT x, xi ≥ 0 ∀x ∈ H.
Definitie 1.1.4 Een operator N ∈ B(H) noemen we normaal indien N N ∗ = N ∗ N .
Definitie 1.1.5 Een getal t ∈ C behoort tot het spectrum Spec(T ) van een operator
T ∈ B(H) als de lineaire operator t1 − T niet inverteerbaar is.
Definitie 1.1.6 Een vector v ∈ H noemen we een veralgemeende eigenvector van T bij
een eigenwaarde λ indien er een N ∈ N bestaat met (T − λ)N v = 0.
Wij veronderstellen ook kennis van de Spectraalstelling voor compacte operatoren en het
Minimax principe van Courant waarvoor ik jullie graag naar [2] verwijs.
Vanaf nu zullen wij werken over een separabele Hilbertruimte H over C en zijn alle
operatoren die we beschouwen lineair. Verder onderstellen wij het inproduct lineair in de
eerste component en toegevoegd lineair in de tweede component. Identiteiten of ongelijkheden die we later nog nodig hebben, zullen we aanduiden met (∗n ). We beginnen met
een factorisatiestelling voor compacte operatoren, analoog aan de polaire vorm van een
complex getal:
1.2 Eigenschappen in verband met het spoor
7
Stelling 1.1.1 — Polaire decompositie. Elke compacte operator T kan op unieke wijze
geschreven worden als T = U A, met A een compacte positieve zelftoegevoegde operator
en U ∗ U de projectie op Im(A).
Bewijs: Aangezien ∀x ∈ H geldt dat hT ∗ T x, xi = hx, T ∗ T xi = hT x, T xi = ||T x||2 ≥ 0 is
T ∗ T een compacte zelftoegevoegde positieve operator. Via de spectraalstelling voor compacte zelftoegevoegde operatoren is het mogelijk om een unieke positieve vierkantswortel
voor T ∗ T te definiëren, die wederom compact is: A = (T ∗ T )1/2 . Voor elke u ∈ H geldt nu:
||T u||2 = hT u, T ui = hu, T ∗ T ui = hu, A2 ui = hAu, Aui = ||Au||2
Nemen we nu x − y voor u, dan volgt dat als Ax = Ay ook T x = T y. De operator
U : Au → T u is dus een goedgedefinieerde isometrie op Au = Im(A) = R.
Laten we nu de definitie van U uitbreiden tot heel H met U n = 0 ∀n ⊥ R. Omdat ∀v ∈ H
en ∀n ⊥ R: hU n, vi = hn, U ∗ vi = 0 moet Im(U ∗ ) ⊂ (R⊥ )⊥ = R. We willen nu tonen dat:
U ∗ U z = z ∀z ∈ R
Neem immers a, b ∈ R. Daar U een isometrie is op R, blijft het scalair product ook op R
bewaard:
ha, bi = hU a, U bi = ha, U ∗ U bi
en dus geldt dat ha, U ∗ U b − bi = 0. Omdat a willekeurig is, volgt algemeen
U ∗ U b − b ⊥ R,
maar Im(U ∗ ) ⊂ R dus behoort U ∗ U b − b zowel tot R als tot R⊥ , dus U ∗ U b = b waarmee
het bestaan van de decompositie is aangetoond.
Om de uniciteit van deze decompositie aan te tonen, volstaat het, wegens de uniciteit van
⊥
A, om op te merken dat U vectoren in Im(A) naar 0 moet sturen en dat het beeld van
Im(A) onder U vastligt wegens de betrekking T = U A.
Deze factorisatie wordt de polaire decompositie genoemd, de operator A noemen we
de absolute waarde van T . De niet-nul eigenwaarden van A zijn monotoon geordende
positieve getallen {sj } die naar nul gaan, we noemen ze de singuliere waarden van T en
noteren sj (T ), multipliciteiten inbegrepen.
1.2
Eigenschappen in verband met het spoor
Definitie 1.2.1 Een compacte afbeelding T : H → H noemen we een spoorklasseopera-
tor indien:
∞
X
sj (T ) < ∞
j=1
Deze som noemen we ook wel de spoornorm:
||T ||tr =
∞
X
sj (T )
j=1
We zullen later aantonen dat dit effectief een norm is.
Hoofdstuk 1. Motivering en voorbereidend werk
8
Lemma 1.2.1 We beginnen met een equivalente karakterisatie van deze norm:
||T ||tr = sup
X
|hT fn , en i|
n
waarbij we het supremum nemen over elk paar orthonormale basissen {fn } en {en }.
Bewijs: Herinner u de polaire decompositie T = U A en beschouw zj , de genormaliseerde
eigenvectoren van de absolute waarde A aangevuld met de eigenvectoren bij eigenwaarde
0:
Azj = sj zj , ||zj || = 1
Dankzij de identiteit van Parseval bekomen wij ∀f ∈ H:
X
X
f=
hf, zj izj
Af =
sj hf, zj izj
j
j
U toepassen op beide leden van de rechteruitdrukking levert:
X
Tf =
sj hf, zj iwj
wj = U z j
(∗0 )
j
Uit Stelling 1.1.1 volgt dat de wj een orthogonale basis van Im(T ) vormen. Nemen we nu
hT f, ei voor een e ∈ H:
X
hT f, ei =
sj hf, zj ihwj , ei
(∗1 )
j
Als we nu f = fn en e = en stellen en sommeren over n bekomen we:
X
XX
|hT fn , en i| ≤
sj |hfn , zj ihwj , en i|
n
n
≤
X
sj (
X
=
|hfn , zj i|2
n
j
X
j
X
1
|hwj , en i|2 ) 2
n
1
2
sj (||zj ||2 ||wj ||2 ) =
j
X
sj = ||T ||tr
j
Waarbij we dankbaar gebruik maakten van de ongelijkheid van Cauchy-Schwarz en de
identiteit van Parseval. Om het bewijs te vervolledigen stellen we fn = zn , en = wn ,
aangevuld met een willekeurige orthonormale basis op het orthogonaal complement van
Im(T ). Dit levert, rekening houdend met het feit dat U een isometrie is op Im(A):
∞
X
hT fn , en i =
n=1
∞
X
hU Azn , U zn i =
n=1
∞
X
sn = ||T ||tr
n=1
Wat ons bewijs afwerkt.
Opm.
Merk op dat deze karakterisatie van de spoornorm meteen impliceert dat ||λT ||tr =
|λ|||T ||tr , ∀λ ∈ C.
Hieronder zullen wij nog enkele eigenschappen van de spoornorm aantonen.
1.2 Eigenschappen in verband met het spoor
9
In de volgende stelling zullen wij gebruiken dat de sj monotoon zijn, namelijk dat voor
A ≤ B compacte positieve operatoren geldt dat sj (A) ≤ sj (B), dit is een rechtstreekse
toepassing van het Principe van Courant omdat voor A positief de j de eigenwaarde van A
juist sj (A) is.
Stelling 1.2.2 Voor T een spoorklasseoperator en B een begrensde operator geldt:
1.
2.
3.
4.
||T ||tr = ||T ∗ ||tr
||BT ||tr ≤ ||B|| ||T ||tr
||T B||tr ≤ ||B|| ||T ||tr
Voor elk paar spoorklasseoperatoren T en S, is ook T + S een spoorklasseoperator
en geldt tevens dat
||T + S||tr ≤ ||T ||tr + ||S||tr
Oftewel, de verzameling spoorklasseoperatoren is gesloten voor toegevoegden en is een
tweezijdig ideaal in de algebra van alle begrensde operatoren, de spoornorm voldoet
aan de driehoeksongelijkheid.
Bewijs: Om 1. te tonen, zullen wij bewijzen dat
sj (T ) = sj (T ∗ )
(I)
De singuliere waarden van T ∗ zijn de positieve eigenwaarden van de vierkantswortel van
T ∗∗ T ∗ = T T ∗ . We beweren nu dat T T ∗ en T ∗ T dezelfde strikt positieve eigenwaarden
bezitten. Neem x een eigenvector van T ∗ T met λ als bijhorende eigenwaarde:
T ∗ T x = λx
λ 6= 0
Pas T toe op beide zijden:
T T ∗ T x = λT x
λ is dus een eigenwaarde van T T ∗ met bijhorende eigenvector T x. Deze eigenvector is
niet nul, aangezien λ 6= 0. Omdat A = (T ∗ T )1/2 , zijn de eigenvectoren van A juist die van
T ∗ T met als eigenwaarden de vierkantswortels van de eigenwaarden van T ∗ T . Omdat
(T ∗ )∗ = T volgt wegens de symmetrie dat sj (T ) = sj (T ∗ ).
Om 2. te bewijzen merken wij op dat ∀a ∈ H:
hT ∗ B ∗ BT a, ai = ||BT a||2 ≤ ||B||2 ||T a||2 = ||B||2 hT ∗ T a, ai
wat niets anders betekent dan (BT )∗ BT ≤ ||B||2 T ∗ T . Aangezien de j-de eigenwaarde
monotoon is volgt:
sj (BT )2 ≤ ||B||2 sj (T )2
(II)
worteltrekking en sommatie over j levert dan 2.
Voor 3. zien we dat, dankzij (I) en (II):
sj (T B) = sj (B ∗ T ∗ ) ≤ ||B ∗ ||sj (T ∗ ) = ||B||sj (T )
(∗2 )
wat na sommatie 3. levert. Tenslotte volgt 4. eenvoudig uit Lemma 1.2.1.
Hoofdstuk 1. Motivering en voorbereidend werk
10
Om aan te tonen dat ||T ||tr effectief een norm is, volstaat het nu om aan te tonen dat:
∀j
sj (T ) = 0 =⇒ T = 0
∀j
sj (T ) = 0 =⇒ |T | = 0
Maar
omdat |T | een compacte positieve operator is met enkel 0 als eigenwaarde. Dus |T |2 =
T ∗ T = 0 en ∀x ∈ H: ||T x||2 = hT ∗ T x, xi = 0 =⇒ T = 0.
In onze Hilbertruimte kunnen we een begrensde operator voorstellen als een oneindigdimensionale matrix ten opzichte van een orthonormale basis {fn }, wat ons inspireert
tot volgende definitie:
Definitie 1.2.2 Het spoor van een begrensde lineaire operator ten opzichte van een
orthonormale basis fn is gedefinieerd als:
tr(T ) =
∞
X
hT fn , fn i
n=1
indien deze reeks convergeert.
Stelling 1.2.3 Het spoor is goedgedefinieerd; voor elke spoorklasseoperator T conver-
geert bovenstaande reeks absoluut. Bovendien is de limiet onafhankelijk van de gekozen
basis.
Bewijs: Nemen we in (∗1 ) f = fn = e en sommeren we over n:
tr(T ) =
∞
X
hT fn , fn i =
n=1
∞ X
∞
X
sj hfn , zj ihwj , fn i
(I)
n=1 j=1
We weten reeds uit het bewijs van Lemma 1.2.1 dat deze reeks absoluut convergeert en
begrensd wordt door ||T ||tr . Indien we eerst over n sommeren en de Parseval identiteit
gebruiken, vinden wij:
(I) =
∞
X
j=1
sj hwj ,
∞
X
hzj , fn ifn i =
n=1
wat duidelijk onafhankelijk van de gekozen basis is.
∞
X
sj hwj , zj i
j=1
1.2 Eigenschappen in verband met het spoor
11
We tonen nu enkele basiseigenschappen van het spoor:
Stelling 1.2.4 Voor een spoorklasseoperator T geldt:
1.
2.
3.
4.
| tr(T )| ≤ ||T ||tr
tr(T ) is een lineaire functie van T
tr(T ∗ ) = tr(T )
Voor elke begrensde operator B: tr(T B) = tr(BT )
Bewijs: 1. hebben we hierboven al aangetoond. 2. volgt meteen uit de definitie.
Voor 3. merken we op:
∞
X
∗
tr(T ) =
∗
hT fn , fn i =
n=1
∞
X
hfn , T fn i =
n=1
∞
X
hT fn , fn i = tr(T )
n=1
Laat nu B ageren op beide leden van (∗0 ):
X
BT f =
sj hf, zj iBwj
j
en dus
hBT f, f i =
X
sj hf, zj ihBwj , f i
j
Neem f = fn en sommeer over n, volgorde van sommaties wisselen (toegelaten wegens
absolute convergentie) en gebruik makend van de Parseval identiteit bekomen we:
tr(BT ) =
∞
X
hBT fn , fn i =
n=1
X
j
sj
X
X
hfn , zj ihBwj , fn i =
sj hBwj , zj i
n
j
Anderzijds, als we f vervangen door Bf in (∗0 ) vinden we:
X
X
T Bf =
sj hBf, zj iwj =
sj hf, B ∗ zj iwj
j
j
Doen we nu hetzelfde als daarnet:
X
X X
X
X
tr(T B) =
hT Bfn , fn i =
sj
hfn , B ∗ zj ihwj , fn i =
sj hwj , B ∗ zj i =
sj hBwj , zj i
n
En dus tr(T B) = tr(BT ).
j
n
j
j
2. De spoorformule of trace formula
De volgende paragraaf is gewijd aan de belangrijkste stelling in deze bachelorproef, deze
werd in 1959 bewezen door de Rus Victor Lidskii; zij draagt dan ook zijn naam:
Stelling 2.0.1 Het spoor van een spoorklasseoperator is de som van haar eigenwaarden:
tr(T ) =
X
λj (T )
j
We noemen deze identiteit de spoorformule of trace formula. We beperken ons vanaf nu
tot de niet-nul eigenwaarden.
Bewijs: Als T een normale spoorklasse operator is, kunnen we een orthonormale basis
kiezen bestaande uit eigenvectoren van T , en deze stelling eenvoudig tonen:
X
X
tr(T ) =
hT fn , fn i =
λn
n
n
Als T geen normale operator is, zijn de eigenvectoren niet noodzakelijk orthogonaal en
hebben we eventueel nood aan veralgemeende eigenvectoren:
T wn = λn wn
of
T wn = λn wn + wn−1
Gebruikmakend van de Gram-Schmidtmethode kunnen we deze als volgt orthonormaliseren:
T fn = λn fn + lineaire combinatie van f1 , ..., fn−1
En dus ook hT fn , fn i = λn . Sommatie over n zou ons de spoorformule geven, op voorwaarde dat de fn een basis vormen voor heel onze ruimte H. Dit is het geval als de
(gegeneraliseerde) eigenvectoren samen de hele ruimte opspannen. Anders moeten we de
fn aanvullen met een orthonormale basis hm op het orthogonale complement van de fn .
Dit levert ons:
X
X
X
X
tr(T ) =
hT fn , fn i +
hT hm , hm i =
λn +
hT hm , hm i
n
m
n
m
Hoofdstuk 2. De spoorformule of trace formula
14
We zijn klaar als we kunnen tonen dat de laatste som (∗3 ) over m nul bedraagt.
Lemma 2.0.2 Voor een compacte operator T op een Hilbertruimte, met K het orthogonaal
complement van de eigenvectoren en veralgemeende eigenvectoren van T geldt:
1. K is een invariante deelruimte van T ∗
2. Spec(T ∗ ) over K bestaat enkel uit λ = 0
Bewijs: 1. Neem e en f eventueel veralgemeende eigenvectoren van T :
T e = λe + f
en neem u ∈ K:
he, T ∗ ui = hT e, ui = hλe + f, ui = λhe, ui + hf, ui = 0
2. De toegevoegde van een compacte operator is wederom compact. Als λ een echte
eigenwaarde van T is over K dan is λ een eigenwaarde van eindige multipliciteit van T ∗
in H. Wij weten dat er dan een geheel getal i bestaat zodat Ker(T ∗ − λ)i = Ker(T ∗ − λ)i+1
maar Ker(T ∗ −λ)i−1 ( Ker(T ∗ −λ)i . Neem nu u ∈ Ker(T ∗ −λ)i maar niet in Ker(T ∗ −λ)i−1
en bekijk de vergelijking:
(T ∗ − λ)v = u
Deze vergelijking heeft geen oplossingen, een oplossing zou immers behoren tot Ker(T ∗ −
λ)i+1 maar niet tot Ker(T ∗ − λ)i . Uit de alternatiefstelling van Fredholm volgt:
u 6∈ Im(T ∗ − λ) =⇒ ∃l ∈ Ker(T − λ) : hu, li =
6 0
dat er een eigenvector w van T bestaat zodat (T − λ)w = 0 met w 6⊥ u wat een contradictie
levert aangezien u ∈ K en u dus orthogonaal moet zijn ten opzichte van alle eigenvectoren
van T .
Als T een spoorklasseoperator is, is T ∗ dit ook. Het is ook eenvoudig te zien dat T ∗ |K een
spoorklasseoperator is. We kunnen (∗3 ) nu herschrijven als:
X
hhm , T ∗ hm i =
m
X
hT ∗ hm , hm i = tr(T ∗ |K )
m
Omdat hm een orthonormale basis van K is. In wat volgt onderstellen we dat Spec(T ) =
{0} Het volstaat nu aan te tonen dat:
Lemma 2.0.3 — Lemma van Lidskii. Als T een spoorklasseoperator is zonder eigenwaar-
den behalve 0, dan tr(T ) = 0.
15
Lemma 2.0.4 Voor een compacte operator T met niet-nulle eigenwaarden λ1 , λ2 , ... in
dalende orde gerangschikt op hun absolute waarde geldt ∀N :
N
Y
|λj | ≤
j=1
N
Y
sj (T )
j=1
Bewijs: Noem EN de ruimte opgespannen door de eerste N mogelijks veralgemeende
eigenvectoren van T . Noem PN is de orthogonale projectie op EN . TN is de beperking
van T tot EN , AN de absolute waarde van TN :
TN = UN AN
De eigenwaarden van TN zijn niet-nul, dus kunnen we TN inverteren. Maar dan is ook
UN inverteerbaar en dus unitair. Nemen we nu de determinant:
| det(TN )| = det(AN )
Aangezien de determinant van een matrix niets anders is dan het product van zijn eigenwaarden, herschrijven we dit als:
N
Y
|λj | =
j=1
N
Y
λj (AN )
(I)
j=1
De operator T PN ageert op eenzelfde wijze op EN als de matrix TN terwijl T PN = 0 op
⊥ . De absolute waarde van T P is dus A over E en 0 over E ⊥ . Dus
EN
N
N
N
N
λj (AN ) = sj (T PN )
∀j ∈ {1, 2, ..., N }
Uit (∗)2 halen wij nu dat:
sj (T PN ) ≤ sj (T )
∀j ∈ {1, 2, ..., N }
λj (AN ) ≤ sj (T )
∀j ∈ {1, 2, ..., N }
en dus
Invullen in (I) levert het gevraagde.
Wij zullen nu meer ongelijkheden over |λj | en sj afleiden met behulp van het volgende
principe, de ongelijkheid van Karamata. (zie [3])
Hoofdstuk 2. De spoorformule of trace formula
16
Lemma 2.0.5 Voor F een convexe functie over R met limx→−∞ F (x) = 0 en a1 ≥ a2 ≥ ...
en b1 ≥ b2 ≥ ... twee dalende rijen van reële getallen met ∀N :
N
X
aj ≤
i=1
N
X
bj
i=1
geldt dat
N
X
F (aj ) ≤
i=1
N
X
∀N
F (bj )
i=1
Bewijs: We zullen dit lemma enkel bewijzen voor de functies F1 (x) = ex en F2 (x) =
log(1 + rex ) r > 0. Merk op dat deze functies strikt stijgend zijn. Tevens volstaat het om
te bewijzen dat:
N
X
(F (bi ) − F (ai )) ≥ 0
∀N ∈ N
i=1
Het is eenvoudig aan te tonen dat de richtingscoëfficiënt van de rechte door (x, F (x)) en
(y, F (y)):
F (x) − F (y)
x−y
monotoon niet-dalend is in y voor x vast en in x voor y vast.
Hieruit volgt dat
ci+1 :=
F (bi+1 ) − F (ai+1 )
F (bi ) − F (ai )
≤
=: ci
bi+1 − ai+1
bi − ai
Noem nu Ai = a1 + ... + ai en Bi = b1 + ... + bi en neem N een willekeurig natuurlijk
getal, dan:
N
N
N
X
X
X
(F (bi ) − F (ai )) =
(bi − ai )ci =
ci (Bi − Bi−1 − (Ai − Ai−1 )) =
i=1
N
X
i=1
i=1
i=1
N
N
−1
X
X
ci (Bi −Ai )−
ci (Bi−1 −Ai−1 ) = cN (BN −AN )+
(ci −ci+1 )(Bi −Ai )−c1 (A0 −B0 ) ≥ 0
i=1
i=1
Wanneer wij het vorige lemma toepassen op aj = log(|λj (T )|) en bj = log(sj (T )) bekomen
wij respectievelijk voor F1 (x) en F2 (x):
N
X
|λj (T )| ≤
j=1
en
N
Y
(1 + r|λj |) ≤
j=1
N
X
sj (T )
(∗4 )
j=1
N
Y
(1 + rsj )
j=1
(∗5 )
17
Om het spoor van T af te schatten benaderen we T met eindigdimensionale projecties. Noteer PN voor de orthogonale projectie op de eerste N componenten van een orthonormale
basis {hm } van H. Stel TN = PN T PN . Wij weten wegens de compactheid van T dat:
lim ||TN − T || = 0
N →∞
Verder volgt uit de definitie van het spoor dat
lim tr(TN ) = tr(T )
N →∞
Lemma 2.0.6 De spectrale radius van TN : maxN
i=1 |λi | = σN gaat naar 0 voor N → ∞.
Bewijs: We weten dat T − λ inverteerbaar is voor λ 6= 0. Gegeven een δ > 0 neem dan
m = max ||(T − λ)−1 ||
|λ|≥δ
Uit bovenstaande opmerking kunnen we een M kiezen zodat voor N > M :
||TN − T || <
1
m
Voor N > M en λ ≥ δ heeft (TN − T )(T − λ)−1 norm < 1 en dus:
TN − λ = TN − T + T − λ = [(TN − T )(T − λ)−1 + 1](T − λ)
Aangezien ||(TN − T )(T − λ)−1 || < 1 voor λ ≥ δ is TN − λ onder deze voorwaarden
inverteerbaar, als product van inverteerbare operatoren.
Omdat maxN
i=1 |λi | = σN volgt dus ook dat σN < δ.
Schrijven wij nu de eigenwaarden van TN als λN
j met j = 1, ..., N . En stel
DN (λ) =
N
Y
(1 − λλN
j )
j=1
Hoofdstuk 2. De spoorformule of trace formula
18
Lemma 2.0.7
lim DN (λ) = e−λα ,
α = tr(T )
N →∞
uniform voor elke begrensde verzameling van complexe getallen λ.
Bewijs: Logaritmisch afleiden van DN (λ) levert:
N
0
X
λN
DN
j
=−
DN
1 − λλN
j
j=1
Omdat ∀N |λN
j | ≤ σN kunnen we voor |λ| <
reeks:
N
∞
1
σN
elke term schrijven als meetkundige
∞
N
k=1
j=1
0
XX
X
X
DN
k
k
=−
λk−1 (λN
SkN λk−1 met SkN =
(λN
j ) =−
j )
DN
j=1 k=1
(I)
Wij zullen deze reeks nu verder afschatten:
P
N
Voor k = 1 : SkN = S1N = N
j=1 λj = tr(TN )
PN
P
N
N
N k−1 | ≤ σ k−1
Voor k > 1 : |SkN | ≤ N
j=1 |λj |
j=1 |λj ||(λj )
N
(II)
Gebruik makende van ongelijkheid (∗4 ) en Stelling 1.2.1 vinden wij voor k > 1:
k−1
k−1
||T ||tr
||TN ||tr ≤ σN
|SkN | ≤ σN
(III)
Herschrijven wij nu (I):
∞
0
X
DN
+ tr(T ) = −S1N + tr(T ) −
SkN λk−1
DN
k=2
Absolute waarden nemen en combineren met (II) en (III) en sommeren van meetkundige
reeks voor |λ| ≤ σ1N levert:
0
DN
|λ|σN
DN + tr(T ) ≤ | tr(T ) − tr(TN )| + ||T ||tr 1 − |λ|σN
Als we nu het vorige lemma en de opmerking erboven gebruiken, vinden we dat, uniform
voor λ in een begrensde verzameling:
0
DN
+ tr(T ) = 0
lim N →∞ DN
Integreren levert
(λ)
lim DN = e−λtr(T ) .
N →∞
19
Wij zullen nu het bewijs van het lemma van Lidskii afwerken; herneem de definitie van
DN dan:
Y
Y
N
N
N
|DN (λ)| = (1 − λλj ) ≤
(1 + |λ||λN
j |)
j=1
j=1
Dankzij (∗5 ) vinden wij:
N
Y
(1 +
|λ||λN
j |)
j=1
≤
N
Y
(1 + |λ|sj (TN ))
j=1
Laten we nu N → ∞ en met behulp van het vorige lemma en de eerder bewezen ongelijkheid sj (TN ) ≤ sj (T ) vinden we:
∞
−λ tr(T ) Y
e
≤
(1 + |λ|sj (T ))
j=1
Als we nu de ongelijkheid 1 + r ≤ er gebruiken vanaf de M de factor:
M
P
−λ tr(T ) Y
|λ| ∞
|λ|M
e
≤
j=M +1 sj = P
(1
+
|λ|s
)e
j
M (|λ|)e
j=1
P
Met PM een veelterm van graad M en M = ∞
j=M +1 sj . Neem nu λ opdat −λ tr(T ) ≥ 0
en laat |λ| → ∞ gaan. Dan, aangezien een polynoom trager groeit dan een exponentiële
functie volgt:
| tr(T )| ≤ M
Omdat M → 0 als M → ∞ volgt nu:
| tr(T )| = 0 = tr(T )
Wat het bewijs van het lemma van Lidskii en alzo van de spoorformule beëindigd.
3. Toepassingen
3.1
Integraaloperatoren
In deze sectie zullen we integraaloperatoren K van de vorm
Z
(Ku)(s) =
1
K(s, t)u(t)dt
0
die ageren op de Hilbertruimte L2 [0, 1] bestuderen. Uit de cursus Functionaalanalyse (zie
[2]) weten wij reeds dat deze compact zijn indien K(s, t) een continue functie is en dat de
toegevoegde van K gegeven wordt door de integraaloperator met als kern K(t, s).
Voor een zelftoegevoegde integraaloperator kunnen we de spectraaltheorie toepassen en
kunnen we dus een volledige basis van orthonormale eigenvectoren vinden:
Kej = Kj ej
Aangezien K L2 -functies op continue functies afbeeldt is elke ej continu. Als de kern een
reële functie is, kunnen we de eigenfuncties ook reëel kiezen.
Stelling 3.1.1 — Mercer(1909). Voor K(s, t) een reëelwaardige symmetrische continue
functie die de kern is van een zelftoegevoegde positieve integraaloperator K :
hKu, ui ≥ 0
∀u ∈ H
Dan kan de kern geschreven worden als uniform convergente reeks:
K(s, t) =
∞
X
Kj ej (s)ej (t)
(I)
j=1
waarin Kj en ej de respectievelijke eigenwaarden en eigenfuncties van K zijn.
Hoofdstuk 3. Toepassingen
22
Bewijs: We zullen eerst tonen dat de kern van een positieve integraaloperator niet-negatief
is op de diagonaal. Stel immers het omgekeerde, dat voor een zekere p, K(p, p) < 0 dan is
K(s, t) wegens de continuïteit negatief voor s en t dicht genoeg bij p en dan is
Z
1Z 1
hKu, ui =
K(s, t)u(t)u(s)dsdt
0
0
negatief voor alle positieve functies met support dicht genoeg bij p. Definieer nu KN als
partieelsommen van het gevraagde en KN als de bijhorende integraaloperator.
KN =
N
X
Kj ej (s)ej (t)
j=1
Het is duidelijk dat K − KN een positieve operator is. Dus is haar kern K − KN nietnegatief over de diagonaal:
0 ≤ K(s, s) −
N
X
Kj e2j (s)
j=1
Dus zijn de partiële sommen van de reeks
∞
X
Kj e2j (s)
j=1
uniform begrensd door K(s, s) wat, aangezien de termen positief zijn, de convergentie
van bovenstaande reeks garandeert voor elke s. Omdat de partiële sommen een stijgende
rij functies vormen, kunnen we uit de stelling van Dini besluiten dat de convergentie van
de reeks uniform is voor alle s in [0, 1].
Wij bekijken nu
|
M
X
Kj ej (s)ej (t)| ≤
N +1
M
X
1
1
(Kj2 |ej (s)|)(Kj2 |ej (t)|)
N +1
≤(
M
X
N +1
1
Kj e2j (s)) 2 (
M
X
1
Kj e2j (t)) 2 → 0
N +1
Uniform voor s en t. Laat ons deze limiet K∞ noemen en aantonen dat K = K∞ .Bekijken
we de bijhorende integraaloperatoren K en K∞ . Uit de definitie van K∞ volgt dat de ej
juist de eigenfuncties zijn van K∞ met bijhorende eigenwaarden Kj . K en K∞ ageren
dus hetzelfde op alle ej en hun lineaire combinaties. Omdat zowel K als K∞ functies
orthogonaal t.o.v. alle ej op 0 sturen geldt dus dat Ku = K∞ u ∀u ∈ H zijn beide
operatoren gelijk en hebben ze dus dezelfde kern.
3.1 Integraaloperatoren
23
Als we in (I), s = t stellen en integreren vinden we:
1
Z
K(s, s)ds =
0
∞
X
Kj
j=1
Omdat de polaire decompositie van een positieve operator gewoon de operator zelf is
kunnen we besluiten dat:
Gevolg 3.1.2 Een integraaloperator die voldoet aan de voorwaarden van de Stelling
van Mercer is een spoorklasseoperator.
Gevolg 3.1.3 Het spoor van een integraaloperator die voldoet aan de voorwaarden
van de Stelling van Mercer is gelijk aan de integraal van haar kern over de diagonaal.
Deze stelling blijkt algemener geldig:
Stelling 3.1.4 Voor K een integraaloperator van spoorklasse met continue kern geldt
dat het spoor van K precies de integraal van haar kern over de diagonaal bedraagt.
Bewijs: Onderstel eerst dat de kern voldoende glad is, dan kunnen wij deze kern schrijven
als uniform convergente reeks van bijvoorbeeld Lagrange-polynomen fn :
K(s, t) =
∞ X
∞
X
kj,m fj (s)fm (t)
j=1 m=1
Waarbij de kj,m gegeven worden door:
Z
1Z 1
kj,m =
K(s, t)fj (s)fm (t)dsdt
0
0
Als wij nu het spoor willen berekenen t.o.v. de basis gegeven door de fn , vinden wij,
gebruikmakend van de definitie:
Z
1Z 1
hKfn , fn i =
0
K(s, t)fn (t)dt fn (s)ds = kn,n
0
tr(K) =
∞
X
kn,n
n=1
Anderzijds, integreren over de diagonaal van de reeks voor K(s, t) levert:
Z
1
K(s, s)ds =
0
∞ X
∞
X
j=1 m=1
Wat niets anders is dan tr(K).
Z
kj,m
1
fj (s)fm (s)ds =
0
∞ X
∞
X
j=1 m=1
kj,m δj,m =
∞
X
km,m
m=1
Operatoren met slechts continue kern zullen wij benaderen met operatoren die wel over
een voldoende gladde kern beschikken. We zullen eerst tonen:
Hoofdstuk 3. Toepassingen
24
Stelling 3.1.5 Een integraaloperator met gladde kern is een spoorklasseoperator.
Bewijs: Als K een gladde kern bezit, K∗ uiteraard ook en dus K∗ K ook. We zullen nu
de n-de eigenwaarde λn van K∗ K = L schatten. Omdat L zelftoegevoegd is, kunnen we
gebruik maken van het principe van Courant:
λn = min max
Sn−1 u⊥Sn−1
hLu, ui
hu, ui
Dan geldt voor elke deelruimte Sn−1 van dimensie n − 1:
λn ≤ max
u⊥Sn−1
hLu, ui
hu, ui
(I)
Kiezen wij Sn−1 nu als de deelruimte bestaande uit alle veeltermen van graad < n − 1.
Dan voor u ⊥ Sn−1 :
Z
1Z 1
hLu, ui =
1Z 1
Z
(L(s, t) − Pn (s, t))u(s)u(t)dsdt
L(s, t)u(s)u(t)dsdt =
0
0
0
0
Waar Pn een willekeurige functie is van de vorm:
Pn (s, t) =
n−2
X
aj (s)tj + bj (t)sj
j=0
Omdat elke gladde functie L(s, t) door zulke polynomen benaderd kan worden in L2 norm:
Z Z
1
0
1
|L − Pn |2 dsdt ≤ c ∗ n−b
0
Waarin c een constante is en b afhangt van het aantal continue afgeleiden van L. Uit
Cauchy-Schwartz volgt nu:
Z
1Z 1
(L(s, t) − Pn (s, t))u(s)u(t)dsdt
0
0
2
Z
1Z 1
≤
0
(L − Pn )2 dsdt
0
Z
0
1Z 1
u2 (s)u2 (t)dsdt
0
≤ c ∗ n−b
Voor alle u ⊥ Sn−1 met ||u|| = 1. Uit (I) volgt nu:
b
λn ≤ c ∗ n− 2
Omdat L = K∗ K en dus λn = s2n (K) vinden we:
b
sn (K) ≤ c ∗ n− 4
Zodat voor b > 4 de reeks
P∞
n=1 sn (K)
convergeert.
3.1 Integraaloperatoren
25
Wij zullen nu K(s, t) benaderen met continue kernen, met behulp van mollifiers. Neem
R1
p(s) een niet-negatieve C ∞ functie met compacte drager en 0 p(s)ds = 1. Definieer:
pn (s) = n ∗ p(ns) en de mollifiërende operator Mn als volgt:
Z
1
pn (s − r)u(r)dr
(Mn u)(s) =
0
Definieer nu Kn = Mn KMn dit is een integraaloperator met als kern
1Z 1
Z
pn (s − r)K(r, x)pn (x − t)drdx
Kn (s, t) =
0
0
Nu is Kn (s, t) een C ∞ -functie die uniform naar K(s, t) gaat voor n → ∞.) Uit Stelling 1.2.2 volgt nu dat, vermits K een spoorklasseoperator is, Kn = Mn KMn ook een
spoorklasseoperator is. We hebben reeds getoond dat:
Z
tr(Kn ) =
1
Kn (s, s)ds
0
Voor n → ∞ gaat het rechterlid naar
limn→∞ tr(Kn ) = tr(K)
R1
0
K(s, s)ds. We moeten nu dus nog tonen dat
Het is mogelijk deze
Pngelijkheid te bewijzen voor K "degenerate", m.a.w. met kern van
de vorm K(s, t) = i=1 gi (s)hi (t) voor gi en hi continu. Waarna de gelijkheid volgt voor
algemene K omdat we K kunnen benaderen met "degenerate" operatoren.
Hoofdstuk 3. Toepassingen
26
Voorbeeld 3.1 Beschouwen wij nu de Volterraoperator:
s
Z
u(t)dt
(Vu)(s) =
0
Uit de cursus Functionaalanalyse (zie [2]) weten wij reeds dat dit een compacte operator
van L2 [0, 1] naar L2 [0, 1] is. Anderzijds kunnen we V ook schrijven als een integraaloperator met discontinue kern:
1 als t < s
K(s, t) =
0 als t > s
Wij zullen nu tonen dat deze operator geen eigenwaarden bezit. Stel immers van wel, dat
u(t) een continue eigenfunctie is met bijhorende eigenwaarde λ 6= 0:
Z s
(Vu)(s) =
u(t)dt = λu(s)
0
Het linkerlid is een afleidbare functie, beide leden afleiden levert:
u(s) = λu0 (s)
Oplossen van deze differentiaalvergelijking levert oplossingen van de vorm:
s
u(s) = ce λ
Waarin c een constante is. Als wij nu hierop onze operator toepassen bekomen wij echter:
Z s
s
t
s
cλe λ = c
e λ dt = c(λe λ − λ)
0
Zodat c = 0.
Laat ons nu het spoor van deze operator berekenen ten opzichte van de goniometrische
basis fn (t) = cos(2πnt) en gn = sin(2πnt):
Z s
Vf0 (s) =
1dt = s
0
s
Z
Vfn (s) =
cos(2πnt)dt =
sin(2πns)
gn (s)
=
2πn
2πn
sin(2πnt)dt =
1 − cos(2πns)
1 − fn (s)
=
2πn
2πn
0
s
Z
Vgn (s) =
0
n>0
Nu volgt:
Z
hVf0 , f0 i =
1
sds =
0
1
2
hVfn , fn i = 0 en hVgn , gn i = 0
Wat tr(V) = 21 levert. De Volterraoperator voldoet dus niet aan de Stelling van Lidskii. In
het bijzonder kunnen wij hieruit dus besluiten dat de Volterraoperator geen spoorklasseoperator is.
3.1 Integraaloperatoren
27
Wij besluiten dit hoofdstuk met het beantwoorden van volgende vraag. Gegeven een
integraaloperator K hoe kunnen we beslissen of deze niet-nul eigenwaarden bezit? Als
K een spoorklasseoperator is, kunnen we het spoor bepalen door de integraal over de
diagonaal te nemen, als deze niet-nul is, vinden we dankij de spoorformule dat K een
niet-nul eigenwaarde bezit. Als tr(K) = 0 kunnen we echter geen conclusie trekken. We
bekijken dan K2 een integraaloperator waarvan we de kern kunnen berekenen via die van
K. Als tr(K2 ) 6= 0 heeft K een niet-nul eigenwaarde. Anders kijken we naar K3 enzovoort.
Wat als dit proces nooit eindigt?
Stelling 3.1.6 Voor K een integraaloperator met een continue kern, een spoorklasseope-
rator, met tr(Kn ) = 0 ∀n ∈ N heeft K geen niet-nul eigenwaarden.
Bewijs: Noem kj de niet-nul eigenwaarden van Ken kjn die van Kn dan dankzij de spoorformule:
X
tr(Kn ) =
kjn
j
Uit (∗4 ) volgt dat
P
|kj | < |K|tr . We maken de analytische functie:
F (z) =
X
(ekj z − 1)
Omdat |ew − 1| < e|w| voor |w| < 1 convergeert deze reeks ∀z. Het berekenen van de
Taylorcoëfficiënten van F in z = 0 levert:
F (n) (0) =
F (0) = 0,
X
kjn
Uit de aanname dat tr(Kn ) = 0 volgt nu dus dat alle Taylorcoëfficiënten van F 0 zijn en
dus dat F = 0. We beweren nu dat alle kj = 0. Stel immers van niet en laat k1 , ..., km
diegene zijn met grootste absolute waarde. Kies nu z zodat k1 z > 0 en laat |z| → ∞. Wij
k1 z
|
beweren nu dat limz→∞ |F (z)−me
= 0 wat in contradictie zou zijn met F = 0.
mek1 z
We zien dit als volgt in: we veronderstellen dat k1 = k2 = ... = km en dat |k1 | = |k2 | =
... = |kj |. Dan is
F (z) − mek1 z
ekm+1 z − 1
ekj z − 1 X ekn z − 1
=
+
...
+
+
ek1 z
ek1 z
ek1 z
ekj z
n>j
Nu bestaat er, voor m < p ≤ j een θp ∈ (0, 2π) zodat kp = ek1 e
ek1 cos(θp )z + 1 met cos(θp ) < 1 en dus:
iθp
. Dus |ekp z − 1| ≤
|ekp z − 1|
=0
z→∞
ek1 z
lim
Anderzijs geldt voor n > j dat |ekn z − 1| ≤ e|kn ||z| − 1 en dus:
|ekn z − 1| ≤ e
| kkn |k1 z
1
−1
P 0
Noem nu kn0 = | kkn1 | < 1 Dan a =
kn ≤ ∞. Stel r = k1 z, het is nu voldoende om te tonen
dat ∀ > 0:
X 0
f (r) =
(ekn r − 1) ≤ er
n>j
Hoofdstuk 3. Toepassingen
28
voor r groot. Beide leden zijn echter analytische functies van r, afleiden van het linkerlid
levert:
X
0
0
f 0 (r) =
(kn0 ekn r ) ≤ aekj+1 r ≤ er
n>j
voor r groot genoeg. Uit f (0) = 0 volgt nu het te bewijzen.
Bibliografie
[1] Peter D. Lax: Functional Analysis 2002, Wiley-Interscience
[2] Kenny De Commer: Functionaalanalyse 2015, VUB
[3] Zoran Kadelburg, Dusan Dukic, Milijove Lukic en Ivan Matic Inequalities of Karamata,
Schur and Muirhead, and some applications 2005 The teaching of mathematics, Vol. VIII