6. Beweging van de zon doorheen de seizoenen

6. Beweging van de zon doorheen de seizoenen
In deze uitbereiding van het project ‘boldriehoeken tussen hemel en aarde’ komen enkele
interessante, nieuwe problemen aan bod, die te maken hebben met de jaarbeweging van de
aarde rond de zon. Uit de positie van de zon op een welbepaald tijdstip van de dag kan
bijvoorbeeld de datum van de waarneming bepaald worden maar ook het exacte begintijdstip
van de astronomische lente. En uit de breedteligging van een waarnemer op aarde kunnen de
hoogste en laagste zonnestand boven de horizon op het middaguur berekend worden. Bovendien
is ook de astronomisch daglengte, m.a.w. het exacte tijdsinterval tussen zonsopgang en
zonsondergang, doorheen het jaar voor elke waarnemer op aarde berekenbaar. Voor deze
nieuwe toepassingen hebben we echter naast de cosinusregel voor boldriehoeken ook een
sinusregel voor boldriehoeken nodig. Deze laatste regel heeft veel weg van zijn vlakke
tegenhanger. We resumeren beide regels voor willekeurige boldriehoeken zonder bewijs. De
belettering van de zijden en de hoeken wijkt iets af van deze in de vorige paragrafen. Voor de
liefhebbers van de theoretische achtergrond van de sinusregel, verwijzen we naar UW 20/1.
COSINUSREGELS VOOR
BOLDRIEHOEKEN:
SINUSREGELS VOOR
BOLDRIEHOEKEN:
cos a = cos b ⋅ cos c + sin b ⋅ sin c ⋅ cos α
sin a sin b
=
sin α sin β
cos b = cos a ⋅ cos c + sin a ⋅ sin c ⋅ cos β
sin a sin c
=
sin α sin γ
cos c = cos a ⋅ cos b + sin a ⋅ sin b ⋅ cos γ
sin b sin c
=
sin β sin γ
Om de zelfstudie te activeren, wisselen we in het vervolg van dit onderzoek voortdurend af
tussen werkteksten en informatieve gedeelten.
1
Uitwiskeling 22/4 (oktober 2006)
Beweging van de aarde om de zon
Zoals je weet uit de lessen aardrijkskunde beweegt de aarde in een baan rond de zon.
Deze beweging zullen we de ‘baanbeweging’ van de aarde noemen. Strikt genomen is
die baan ellipsvormig, en nog strikter genomen zelfs dat niet, omdat de vorm en de
oriëntatie van deze baan in de loop van de eeuwen langzaam veranderen. In zeer goede
benadering kan je de baan van de aarde echter als cirkelvormig beschouwen, wat we
vanaf nu ook zullen doen. De tijd T die nodig is voor een volledige omloop rond de zon
is per definitie een jaar. Na een tijd T staat de aarde dus opnieuw in hetzelfde punt van
haar omloopbaan rond de zon als op t = 0 .
1. Zoek de (gemiddelde) straal R van de baan van de aarde om de zon op.
(R =149 600 000 km)
2. Noteer de lengte T van een jaar in dagen van 24 uur. Gebruik een zo nauwkeurig
mogelijke waarde.
(T =365,24219)
3. Bereken de snelheid V van de aarde rond de zon. Druk deze snelheid uit in km/u.
(V =107 230,7348 km/u)
Tegelijk met deze jaarlijkse beweging om de zon draait de aarde op iets minder dan een
dag (van 24 uur) om haar as. Deze beweging noemt men de ‘aswenteling’ van de aarde.
Het is belangrijk te beseffen dat de twee hierboven beschreven bewegingen elkaar in
geen enkel opzicht beïnvloeden. Dit betekent ondermeer dat de oriëntatie van de aardas
niet verandert in de loop van een jaar. Minieme veranderingen in deze oriëntatie zijn
slechts merkbaar op een tijdschaal van duizenden jaren. De zeer langzaam tollende
beweging van de aardas noemen we ‘precessiebeweging’. We laten dit fenomeen verder
volledig buiten beschouwing.
Om de schijnbare beweging van de zon over de hemelbol te analyseren steunen we op
de onafhankelijkheid van baanbeweging en aswenteling. Willen we bijvoorbeeld
uitzoeken hoe een waarnemer op aarde, op een tijdspanne van een maand, de zon ziet
bewegen dan leggen we dit als volgt aan boord. Eerst stellen we ons voor dat we de
aswenteling stilleggen. De relatieve beweging van de zon is nu enkel te wijten aan de
baanbeweging van de aarde en die is eenvoudig te analyseren. Na een maand leggen we
de baanbeweging stil en laten we de aarde alsnog het achterstallige aantal rondjes rond
haar as maken, ongeveer 30 in aantal. Omdat de aarde nu stilstaat ten opzichte van de
zon is ook deze analyse eenvoudig te maken: de zon gedraagt zich nu als een vaste ster.
Ze draait 30 cirkeltjes rond de Poolster. De opeenvolging van de twee fictieve
bewegingen (de volgorde speelt hier geen rol) brengt de zon in hetzelfde punt als de
echte, gecombineerde as- en baanbeweging. De details van deze analyse vind je
verderop, maar eerst een woordje uitleg over de seizoenen en de ecliptica.
De seizoenen
Mocht de aarde stilstaan t.o.v. de zon dan zou deze, net als elke andere ster, elke dag dezelfde
cirkel beschrijven over de hemelbol. Maar we weten allemaal dat dit in realiteit niet het geval is.
Je hebt vast al opgemerkt dat de zon ’s winters niet hoger boven de horizon komt dan ’s zomers
om pakweg 16u. Omdat licht en warmte van een schuin invallende bundel zonlicht over een
groter oppervlak verspreid worden, lijkt het zonlicht minder fel en wordt het aardoppervlak
minder opgewarmd. Doordat de zon lager aan de hemel staat, gaat ze ook vlugger onder. De
2
onder de loep
nachten duren langer, wat zorgt voor een grotere afkoeling. Deze effecten doen zich
tegelijkertijd voor op het hele noordelijke halfrond, en wel des te meer naarmate je dichter bij de
polen komt.
Het is hierin dat de verklaring moet worden gezocht voor het verschil in gemiddelde
temperatuur tussen zomer en winter. Vaak denkt men dat dit te maken heeft met de variatie in
afstand tot de zon op de elliptische baan, maar deze redenering klopt niet omdat onze winters
juist in de periode vallen dat de aarde het dichtst bij de zon staat. In werkelijkheid is de invloed
op de seizoenen van de variatie in afstand tot de zon verwaarloosbaar.
De ecliptica
Zoals aangekondigd zetten we de aswenteling van de aarde even stil. Op slag staan ook alle
sterren stil op de hemelbol. De baanbeweging van de aarde in een cirkel rond de zon vertaalt
zich voor de waarnemer op aarde in een schijnbare beweging van de zon rond de aarde. Het is in
deze context veel makkelijker om te denken aan een stilstaande aarde en een bewegende zon
dan aan het omgekeerde.
De situatieschets hieronder is overgenomen uit de tekst over equatoriale en horizoncoördinaten.
De ster aan het firmament stelt de zon voor. Er is één cirkel aan de prent toegevoegd: de
schijnbare baan van de zon rond de aarde. Deze cirkel wordt de ‘ecliptica’ genoemd, evenals het
vlak waarin deze cirkel ligt. Het ‘eclipticavlak’ valt niet samen met het eerder bestudeerde
‘evenaarsvlak’ maar maakt er een hoek ε van ongeveer 23°30’ mee. Een derde belangrijke
cirkel op de tekening is de ‘meridiaan door de zon’. Deze drie cirkels bakenen een rechthoekige
boldriehoek af: de ‘seizoenendriehoek’. De seizoenendriehoek zal een cruciale rol spelen in de
berekeningen die volgen. Deze boldriehoek neemt de rol over van de ‘sterrenkundige driehoek’
bij berekeningen in verband met de aswenteling van de aarde.
De vierde grote cirkel op de tekening, de horizoncirkel, is naar het achterplan verhuisd. Hij
heeft slechts een figurantenrol te vervullen in het volgende onderzoek.
3
Uitwiskeling 22/4 (oktober 2006)
evenaar
ecliptica
lentepunt
Momenteel staat de zon boven de evenaar (zie figuur). Dit betekent dat wij in Europa in het
warme gedeelte van het jaar zitten. Enkele maanden geleden stond de zon in het snijpunt van de
ecliptica en de evenaar, het lentepunt γ, op 20 maart om precies te zijn. De Griekse letter gamma
(γ) vertoont gelijkenis met van het astrologische teken voor het sterrenbeeld Steenbok (),
waarin het lentepunt zich een paar duizend jaar geleden bevond. Tegenwoordig bevindt het
lentepunt zich in het sterrenbeeld van de vissen. Drie maanden na de doorgang door het
lentepunt bevindt de zon zich in haar hoogste punt. De zon staat dan op een hoogte ε boven de
evenaar. De astonomische zomer begint, het is 21 juni. Vanaf dan zakt de zon langzaam omlaag
om ten slotte in het tegenpunt van γ, het herfstpunt, weer onder de evenaar te duiken. Dit
gebeurt dit jaar op 23 september. Vervolgens breken de koude maanden aan. De zon zakt naar
haar diepste punt op de ecliptica op een hoogte ε onder de evenaar. Op 22 december van dit
jaar zullen we de diepste fase bereiken. Na weer eens drie maanden zal de zon haar jaarcyclus
beëindigen in het lentepunt. De vier keerpunten in het zonnejaar dragen officiële namen: de
lente- en herfstequinox (of de nachteveningen: dag en nacht zijn even lang) en het zomer- en
wintersolstitium (of zonnewenden: de zon keert terug).
Van op aarde kunnen waarnemers niet met het blote oog zien welke sterren er achter en in de
omgeving van de zon staan. Sterren in de buurt van de zon worden immers te intens overstraald.
Maar toch bestaat er een eenvoudig trucje om uit te vissen welke sterren er achter de zon zitten.
Het sterrenbeeld dat vandaag achter de zon zit, staat over een half jaar op middernacht precies in
het zuiden aan de nachthemel. Doorheen het jaar draaien er twaalf verschillende sterrenbeelden
achter de zon door, voor elke maand eentje. Deze twaalf sterrenbeelden vormen de ‘zodiak’ of
de ‘dierenriem’. De afbeelding hierboven toont de zon twee maanden na de lente-equinox. De
zon staat dan in het teken van de stier: de foto lijkt gemaakt op 25 april.
Om duidelijk aan te geven in welk deel van het jaar we vertoeven, kunnen we twee speciale
hoeken definiëren. De eerste hoek is het verschil tussen de uurhoek van de zon en de uurhoek
van het lentepunt. We noemen deze hoek α de ‘rechte klimming’. De andere hoek die je op de
4
onder de loep
tekening ziet, geeft de afstand van de zon tegenover het lentepunt weer, gemeten over de
ecliptica. We noemen deze hoek λ de ‘lengte van de zon’. De rechte klimming, de lengte en de
declinatie van de zon zijn met elkaar verbonden door de sinus- en de cosinusregel in een
rechthoekige boldriehoek. De verbanden tussen deze drie hoeken worden over enkele bladzijden
uitgerekend.
Een grootheid die later nog te pas komt, is de hoeksnelheid Ω van de zon. Dit is de hoek die de
zon per tijdseenheid aflegt over de ecliptica, of anders gezegd de constante toename van de
lengte λ per tijdseenheid. De term constant moet hier echter wel met een korreltje zout genomen
worden: de aarde doorloopt haar baan iets sneller in de nabijheid van de zon dan in de omgeving
van de verste verwijdering. De variabiliteit in de hoeksnelheid, gekend als de perkenwet van
Kepler, laten we in deze loep echter achterwege. We stellen de constante hoeksnelheid Ω gelijk
aan 360°/jaar of 0,04106864°/uur. De hoeksnelheid Ω van de baanbeweging mag niet verward
worden met de hoeksnelheid ω van de aswenteling. Deze laatste snelheid werd eerder berekend
als 15,0411068°/uur. In tegenstelling met de lengte λ, heeft de rechte klimming α geen constante
hoeksnelheid. De grootheden α en λ zijn immers door goniometrische formules met elkaar
verbonden.
Als we de aswenteling van de aarde weer in gang zetten, gaat de hele hemelbol ronddraaien
rond de poolster P: de zon, de vaste sterren, het lentepunt, het herfstpunt … Je kan op de
bovenstaande afbeelding merken dat het lentepunt op het punt staat te verdwijnen achter de
horizon. Omdat het lentepunt op de evenaar ligt, zal het precies in het westen ondergaan. Alle
punten op de evenaar komen immers precies in het oosten op en verdwijnen precies in het
westen. De zon zelf moet nog een hele poos wachten om onder te gaan. Dat zie je aan de
uurhoek H. Het is nog maar pas middag geweest. De foto hierboven lijkt gemaakt om half vier
in de namiddag.
Nu de baanbeweging van de zon samen met de aswenteling weer in gang gezet is, wordt het tijd
om enkele standaardproblemen op te lossen.
Zonshoogte op het middaguur
De zon bereikt haar hoogste stand boven de horizon op het middaguur. ’s Zomers
moeten we steiler omhoog kijken om de zon te zien op het middaguur dan ’s winters.
We maken enkele berekeningen in dit verband.
1. Hoeveel graden bevindt de zon zich boven de hemelevenaar op het middaguur
tijdens de zonnewenden (zie vorige afbeelding)?
( tijdens de zomer: ε = 23°30' en tijdens de winter: − ε = −23°30' )
2. Hoeveel graden is het evenaarsvlak gekanteld tegenover het horizonvlak voor een
waarnemer op een breedteligging ϕ = 50° ? Maak voor deze vraag een gestileerde
voorstelling van de bovenstaande prent met de hemelequator, de horizon en de
aardas.
( ϕ = 40° )
3. Bereken uit deze resultaten de horizonstand van de zon op het middaguur, zowel
tijdens het zomersolstitium als tijdens het wintersolstitium.
(tijdens de zomer: ϕ + ε = 63°30' en tijdens de winter: ϕ − ε = 16°30' )
5
Uitwiskeling 22/4 (oktober 2006)
Datumbepaling uit declinatie van de zon
Op een dag in de lente meet men de declinatie van de zon. Men vindt 18°47’.
1. Bereken de lengte λ van de zon met de sinusregel in de seizoenendriehoek.
sin λ
sin δ
=
leiden we af dat sin λ = 0,8075... en dat λ = 53°51' 08,99" .)
sin 90° sin ε
2. Bereken de rechte klimming α met de cosinusregel in de seizoenendriehoek.
(Uit cos λ = cos α ⋅ cos δ + sin α ⋅ sin δ ⋅ cos 90° leiden we af dat cos α = 0,6230... en
dat α = 51°27' 39,46" . De hoek α is iets kleiner dan de hoek λ. Naar deze
opmerking zal later nog verwezen worden, bij beschouwingen over de middelbare
zon.)
3. Bereken de datum van de waarneming door gebruik te maken van de hoeksnelheid
Ω.
(Aangezien Ω=360°/jaar vinden we dat de lengte λ = 53°51' 08,99" afgelegd wordt
in 54 dagen en 14 uren. De 54ste dag na de lente-equinox van 20 maart valt op 13
mei. Dit is de datum van de waarneming.)
4. Stel dat we ons vergist hebben in de opgave: in feite gebeurde de waarneming in de
zomer. Wat verandert er dan in je antwoord?
(We vinden nog steeds dat sin λ = 0,8075... . Voor de lengte van de zon moeten we
nu de supplementaire hoek nemen: λ = 126° 08' 51,01" . We bevinden ons op 127
dagen en 22 uur na de doorgang door het lentepunt. Het is bijgevolg 25 juli.)
(Uit
Het begin van de astronomische lente
In 2006 begon de astronomische lente op 20 maart om 19u26 precies. In 2007 zal dit op
21 maart zijn om 01u07, in 2008 op 20 maart om 06u48, in 2009 op 20 maart om
12u44, in 2010 op 20 maart 18u32, in 2011 op 21 maart 0u21 enz …. In de volgende 20
jaar zijn lente-equinoxen op 21 maart eerder zeldzaam. Het begin van de astronomische
lente mag niet verward worden met het begin van de weerkundige lente. De
weerkundige seizoenen hebben een vaste afbakening bij de maandwisselingen. Zo
begint de weerkundige lente op 1 maart.
We doen een waarneming op 12 januari om 10u01 ’s morgens. De zon staat 14° boven
de horizon op een azimut van 152°.
1. Bereken de declinatie van de zon. Gebruik de sterrenkundige driehoek.
(Gegevens: ϕ = 40° en A = 152° en h = 76°
Berekening: cos δ = cos ϕ cos h + sin ϕ sin h cos A = −0,36... ⇒ δ = −21° 25' 48,45" )
2. Bereken de lengte van de zon. Maak gebruik van de seizoenendriehoek.
(Gegevens: δ = −21° 25' 48,45" en ε = 23° 30'
sin δ
= −0,91... ⇒ λ = −66° 23' 17,98" )
sin ε
3. Hoeveel dagen, minuten en seconden ligt de zon nog verwijderd van het lentepunt?
Gebruik bij de berekening de waarde van Ω.
Berekening: sin λ =
6
onder de loep
λ ⋅ 365,24219
= −67,355050... waaruit we besluiten dat het nog 67 dagen, 8 uur
360
en 31 minuten duurt vooraleer het lentepunt bereikt wordt.)
4. Bereken het exacte lentetijdstip. In welk jaar bevinden we ons? En op welke dag
van de week? Je mag voor deze laatste vraag een eeuwige kalender opsporen op het
internet.
(Als we 67 dagen, 8 uur en 31 minuten verder tellen in een niet-schrikkeljaar dan
komen we uit op 20 maart 18u32. Volgens de inleiding zou dit lentepunt zich voor
het eerst voordoen in 2010. In dit jaartal valt 20 maart op een zaterdag.)
(
Lengte van dag en nacht
Op 21 juli bereikt de zon haar maximale declinatie ( δ = ε ). We berekenen nu het
tijdsverloop tussen zonsopgang en zonsondergang op de langste dag van het jaar. Dit is
meteen ook de tijdsduur voor de langste nacht op 22 december. Om de berekening
eenvoudig te houden gaan we er van uit dat we op de korte tijdspanne van één dag de
beweging van de zon langs de ecliptica mogen verwaarlozen. We behandelen de zon
dus als een vaste ster.
1. Teken een sterrenkundige driehoek voor de zon op 21 juli bij zonsondergang. Geef
de lengtes van de zijden en bereken vervolgens de uurhoek bij zonsondergang.
(Gegevens: ϕ = 40° en δ = 66° 30' en h = 90°
Berekening: cos H =
cos h − cos ϕ cos δ
= −0,51... ⇒ H = 121° 12' 39,12" )
sin ϕ sin δ
2. Wegens de symmetrie om de plaatselijke zuidmeridiaan, is de uurhoek bij
zonsopgang gelijk aan –H. De lengte van de dag is dus de tijd die de zon nodig
heeft om over een hoek 2H om de poolster te draaien. Bereken de ‘astronomische
daglengte’ door gebruik te maken van de waarde van ω.
2 H ⋅ 23° 56' 04"
= 16,117304... waaruit we besluiten dat het op 21 juli 16 uur 7
360°
minuten en 2 seconden licht blijft.)
3. Doe deze berekeningen over voor een willekeurig punt van het noordelijke halfrond
op aarde. Maak een grafiek van de astronomische daglengte in functie van de
breedtegraad. Waarom is het domein van deze functie beperkt tot het interval [0,
66° 30’]?
(
(Gegevens: ϕ = 90° − γ en δ = 66° 30' en h = 90°
Berekening:
cos h − cos ϕ cos δ − cos(90° − ϕ ) ⋅ cos 66° 30'
tan ϕ
cos H =
=
=−
sin ϕ sin δ
sin (90° − ϕ ) ⋅ sin 66° 30'
tan 66° 30'
Hieruit leiden we af dat niet groter mag zijn dan 66°30’. Wanneer φ toch groter is,
zal de teller van de breuk groter zijn dan de noemer en kan er geen inverse cosinus
van de breuk genomen worden. De fysische interpretatie van deze beperking is nog
eenvoudiger: boven de kreeftskeerkring bestaat er geen astronomische daglengte,
het is ofwel ‘eindeloos’ dag ofwel ‘eindeloos’ nacht. Dit klinkt nogal raar.
7
Uitwiskeling 22/4 (oktober 2006)
Misschien is het dan ook beter af te spreken dat de astronomische daglengte buiten
de poolcirkels 24u is. Het feit dat cos(H) negatief is wil zeggen dat H een stompe
hoek is en dat 2H een overgestrekte hoek. Fysisch betekent dit dat het overal op het
noordelijke halfrond meer dan 12 uur licht is op de langste dag van het jaar. Om
de astronomische daglengte in het noordelijke halfrond te kennen, passen we de
volgende formule toe.
f (ϕ ) = 2 ⋅
180
π
Acos(−
tan ϕ
24
tan ϕ
24
).
= Acos(−
).
tan 66° 30' 360
tan 66° 30' π
Deze grafiek met domein [0; 66,5] kan om de verticale as gespiegeld worden tot
een grafiek met domein [-66,5; 0]. Op de intervallen [-90; -66,5] en [66,5; 90]
tekenen we de grafiek van een constante functie met beeldwaarde 24.
)
8