Samenvatting Natuurkunde 2

Samenvatting Natuurkunde 2
Simon Donné
Inhoudsopgave
Hoofdstuk
Hoofdstuk
Hoofdstuk
Hoofdstuk
Hoofdstuk
Hoofdstuk
Hoofdstuk
Hoofdstuk
Hoofdstuk
Hoofdstuk
Hoofdstuk
Hoofdstuk
Hoofdstuk
Hoofdstuk
27: Magnetische velden en krachten . . . . . . . . .
28 : Bronnen van Magnetische Velden . . . . . . . .
29 : Elektromagnetische Inductie . . . . . . . . . . .
30: Inductantie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31: AC-netwerken in steady-state (geen transiënten)
32: Elektromagnetische golven . . . . . . . . . . . .
33: De aard en voortplanting van licht . . . . . . . .
35: Interferentie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36: Diffractie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37: Relativiteit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38: Fotonen, elektronen, atomen . . . . . . . . . . .
39: Het golfkarakter van deeltjes . . . . . . . . . . .
40: Kwantummechanica . . . . . . . . . . . . . . . .
43: Kernfysica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3
4
5
7
8
10
12
13
14
16
17
19
21
23
Hoofdstuk 27: Magnetische velden en krachten
~ (met [B] = 1T = 1 N
• Magnetische kracht op een bewegende lading: F~ = q~v × B
A·m
~ + ~v × B
~
• Wanneer zowel een magnetisch als een elektrisch veld aanwezig is: F~ = q E
~ · dA
~
• Infinitesimale Magnetische flux: dΦB = B
• Totale Magnetische flux over een oppervlak Σ: ΦB =
R
~ · dA
~
B
Σ
• De totale magnetische flux door een gesloten oppervlak is nul (er bestaan geen magnetische
H
~ · dA
~ (wet van Gauss voor magnetisme)
monopolen): B
• De straal van een cirkelvormige baan in een magnetisch veld: R =
mv
|q| B
• Snelheidsscheider
– Een deeltje dat loodrecht beweegt op zowel een elektrisch als op een magnetisch veld
(welke alletwee ook loodrecht op elkaar staan) bevindt zich in een snelheidsscheider.
E
– Alleen voor deeltjes met snelheid v =
zullen de elektrische en magnetische kracht
B
elkaar precies tegenwerken. Alleen zulke deeltjes kunnen door de scheider raken.
• Magnetische kracht op een stroomvoerende geleider
~
– F~ = I ~` × B
~
– Infinitesimale kracht: dF~ = Id~` × B
– De netto kracht op een stroomvoerende lus in een uniform magnetisch veld is nul. Het
netto moment is echter niet nul.
∗
∗
∗
∗
∗
∗
τ = IBA sin(φ)
µ = IA (het magnetisch dipoolmoment of magnetisch moment)
~ (waarbij µ
~
τ =µ
~ ×B
~ georiënteerd is zoals A)
~
Potentiële energie voor een magnetische dipool: U = −~
µ·B
Voor een spoel worden de lussen benaderd als zijnde vlak.
Magnetisch moment loopt in een magneet van zuid naar noord.
• Het Hall Effect
– In een geleidende vlakke strook materiaal ontstaat een ladingsopstapeling wanneer het
in een magnetisch veld wordt geplaatst. Als het magnetisch veld van links komt
(vooraanzicht) dan worden geladen deeltjes (ongeacht hun teken) naar boven
verplaatst. Afhankelijk van het teken van de lading ontstaat er dus een positieve dan
negatieve ladingsopstapeling bovenaan het plaatje (en dus een tegengestelde aan de
onderkant).
−Jx By
– nq =
(met Jx de stroomdichtheid door de geleider, By het aangelegde
Ez
magnetisch veld en Ez het magnetisch veld dat ontstaat door de ladingsopstapeling)
– (hierin is n de concentratie van het aantal stroomdragende ladingen in het materiaal)
– Wanneer we de geleider tegen de stroomrichting in bewegen, tot de Hall emf
verdwijnt, zitten we op de driftsnelheid van de ladingsdragers.
– Weerstand van de geleider kan verwaarloosd worden, die zit immers grotendeels al in
Jx ingerekend.
3
Hoofdstuk 28 : Bronnen van Magnetische Velden
~ = µ0 q~v × r̂
• Magnetisch veld door een bewegend ladingsdeeltje: B
4π r2
~ =
• Magnetisch veld door een infinitesimaal stroomsegment: dB
• Magnetisch veld door een lange stroomvoerende staaf: B =
µ0 I ~` × r̂
4π r2
µ0 I
2πr
• Magnetische kracht uitgeoefend door twee lange (evenwijdige) stroomvoerende staven:
F
µ0 II 0
=
L
2πr
• 1A: de stroom die, wanneer aanwezig in elk van twee parallelle geleiders van oneindige
lengte en een meter van elke verwijderd, ervoor zorgt dat elke geleider een kracht van
N
precies 2 × 10−7
ervaart.
m
• Magnetisch veld van een cirkelvormige lus (op de as ervan): Bx =
• Magnetisch veld op de as van een voldoende lange spoel: Bx =
• De wet van Ampère:
H
µ0 Ia2
2 (x2 + a2 )
3/2
µ0 N I
2a
~ · d~` = µ0 Iingesloten
B
• Soorten materialen volgens magnetische eigenschappen
– Paramagnetisme : Het magnetisch veld binnen het materiaal wordt vermeerderd met
een factor Km (typisch van 1.00001 tot 1.003).
→Permeabiliteit van het materiaal: µ = Km µ0 . Paramagnetische eigenschappen
verminderen met stijgende temperatuur (willekeurige thermische beweging zorgt voor
willekeurige oriëntaties van de magnetische dipolen)
– Diamagnetisme : Het magnetisch veld wordt verminderd met Km (typisch tussen
0.99990 en 0.99999, zo goed als onafhankelijk van de temperatuur)
– Ferromagnetisme: Bij opeenvolgende magnetisering en demagnetisering ontstaat er
hysterese: energieverlies bij het omdraaien van de dipolen. Voor toepassingen waar zo
efficiënt mogelijk energie verloren moet gaan, gebruikt men materialen met een kleine
hystereselus. Voor bijvoorbeeld permanente magneten is een grote hysterelus gewenst.
4
Hoofdstuk 29 : Elektromagnetische Inductie
• De Wet van Faraday
– De magnetische flux voor een infinitesimaal oppervlakte element in een magnetisch
~ · dA
~
veld: dΦB = B
R
~ · dA
~
– De totale flux over een oppervlak is dan de integraal: ΦB = B
A
– De Wet van Faraday: De geïnduceerde emf in een gesloten lus is gelijk aan de
dΦB
negatieve tijdsafgeleide van de magnetische flux door deze lus: ξ = −
dt
– De positieve richting van de geïnduceerde emf wordt bepaald aan de hand van de
~ m.b.v. de rechterhandregel. Nadien kan de emf
oriëntatie van de vectoroppervlak A,
nog in de andere richting lopen als de verandering van flux positief is.
– Voor een spoel waarvan de lussen als planair benaderd kunnen worden geldt er:
dΦB
ξ = −N
(waarbij N het aantal lussen is)
dt
– Voor emf geldt nog: ξ = R.I
• De Wet van Lenz: de richting van elk magnetisch geïnduceerd effect is zodanig dat het zijn
oorzaak tegenwerkt. Zijn grootte daalt met de inwendige weerstand.
• Motionele Elektromotieve kracht
– E = vB
– In een rechte staaf geldt dan: ξ = vBL
– Voor een algemene vorm geldt er: ξ =
H
~ · d~` (alleen bij bewegende geleiders)
(~v × B)
lus
~ ×B
~
• De kracht F~ = I L
• Geïnduceerd elektrisch veld (NIET elektrostatisch, NIET conservatief)
~ · d~` = − dΦB (alleen bij een stationair integratiepad)
E
dt
~
– De kracht door het veld op een lading: F~ = q E
– ξ=
H
• Eddy Currents / Wervelstromen
– Wanneer geleidende lichamen -waar er dus geen goed-gedefinieerd pad voor de stroom
is- in een bewegend of veranderend magnetisch veld geplaatst worden, ontstaan er
stromen binnen het oppervlak, die wervelstromen genoemd worden.
– Een metaaldetector werkt door een korte, hevige stroom door een ring te sturen,
waardoor er wervelstormen in eventuele nabije metallische objecten ontstaan. De
geinduceerde stroom binnen de detector door de wervelstromen zorgt er dan voor dat
de detector afgaat.
• Uitbreiding van de wet van Ampère
– Tussen de twee platen van een condensator loopt geen conductiestroom. Het begrip
stroom kan echter uitgebreid worden.
dΦE
– Neem een verplaatsingsstroom iD = tussen de twee platen van de condensator.
dt
H
~ · d~` = µ0 (iC + iD )encl
– De vernieuwe wet van Ampère wordt dan: B
dE
– De verplaatsingsstroomdichtheid jD = dt
5
• De vergelijkingen van Maxwell voor Elektromagnetisme
~ · dA
~ = Q (hierbij heeft enkel een
E
0
conservatief elektrisch veld opgewekt door statische ladingen een invloed)
H
~ · dA
~=0
– De wet van Gauss voor magnetische velden: B
H
dΦE
~
~
– De (uitgebreide) wet van Ampère: B · d` = µ0 iC + 0
dt
– De wet van Faraday (een veranderend magnetisch veld induceert een elektrisch veld):
H
~ · d~` = − dΦB
E
dt
~ in dit
→ voor een veranderende magnetische flux is de kringintegraal 6= 0 en dus is E
geval geen conservatief veld
– De wet van Gauss voor elektrische velden:
H
• Wanneer
een elektrisch veld als een magnetisch veld aanwezig is, geldt er:
er zowel ~ + ~v × B
~
F~ = q E
• Het Meissner effect: in een supergeleidend materiaal is het magnetisch veld nul, en worden
omliggende veldlijnen ’weggeduwd’. Boven een bepaalde grootte van het magnetisch veld is
supergeleidbaarheid onmogelijk, de precieze waarde verschilt van materiaal tot materiaal.
6
Hoofdstuk 30: Inductantie
• De eigen inductie: ξ = −L
di
N ΦB
(met L =
)
dt
i
• De mutuele inductie: ξ1 = −M
di1
di2
N 2 ΦB 2
N1 ΦB1
en ξ= − M
(met M =
=
)
dt
dt
i1
i2
RI
1
• Energie opgeslagen in een spoel: U = L i di = LI 2
2
0
• Magnetische energiedichtheid: u =
B2
2µ
• LR-Circuit
– Aangroei van het systeem:
ξ
→i=
1 − e−(R/L)t
R
di
ξ
→
= e−(R/L)t
dt
L
L
is de tijdsconstante voor het RL systeem: in deze tijd groeit de stroom tot
→τ =
R
ongeveer 63% van zijn uiteindelijke waarde.
di
→ ξi = i2 R + Li : Van het vermogen ξi gaat er i2 R verloren door de weerstand en
dt
di
wordt er Li gebruikt om de spoel op te laden.
dt
– Afbouw van het systeem:
→ i = I0 e−(R/L)t is de stroom op tijdstip t
di
→ 0 = i2 R + Li : deze keer wordt alle vermogen door de spoel geleverd, aangezien
dt
Lidf racdidt deze keer negatief is.
• LC-Circuit (volledige analoog met een ongedempte trilling)
– Condensator volledig opgeladen: geen stroom. Condensator volledig ontladen:
maximale stroom.
r
1
– De stroom kan beschreven worden door i = −ωQ sin ωt + φ waarbij ω =
LC
1
q2
Q2
– De totale energie van het systeem is: Li2 +
=
2
2C
2C
• LRC-Circuit (volledig analoog met een gedempte trilling)
– Dit keer zit er naast een condensator en een spoel ook een weerstand, die door het
energieverlies i2 R ervoor zorgt dat de oscillatie uiteindelijk gedempt wordt.
– Stel dat de condensator op t = 0 zijn maximale lading Q = Cξ heeft, en dat het
systeem r
volkomen stabiel is.
1
R2
→ ω0 =
−
(zwak gedempte trilling)
LC
4L2 r
!
1
R2
−(R/2L)t
→ q = Ae
cos
−
t+φ
LC
4L2
→ Wanneer R2 = 4L/C wordt het systeem kritisch gedempt, de cosinus wordt een
constante. Wanneer R nog groter wordt, wordt q de som van twee dalende
exponentiëlen, die trager naar nul gaan dan bij kritische demping.
7
Hoofdstuk 31: AC-netwerken in steady-state (geen
transiënten)
• Voordeel van ac: transfo’s kunnen worden gebruikt om de spanning te doen stijgen (en dus
de stroom te doen dalen), wat de i2 R verliezen doet dalen.
• Alternator: een spoel draait met een constante hoeksnelheid in een magnetisch veld,
waardoor een sinusoïdale emf ontstaat.
• Fasor van een sinusoïdale grootheid (bv. i(t) ): I = I0 ej(ωt+φ)
• RMS (root-mean-square: wortel van het gemiddelde van het kwadraat van de grootheid)
I0
van een sinusoïdale grootheid (bv. i): Irms = √
2
• Het voltage dat wordt gemeten bij ac is meestal het rms-voltage, en niet het maximum
voltage.
• Wanneer een weerstand in een ac-netwerk staat, zijn spanning en stroom in fase.
• Wanneer een perfecte spoel in een ac-netwerk staat, ijlt de spanning 90◦ voor op de
stroom. De inductieve reactantie van een spoel XL = ωL is een maat voor de
zelfgeïnduceerde emf die de verandering in stroom tegenwerkt. Wanneer een spoel met
inwendige weerstand geplaatst wordt, ijlt de spanning minder voor op de stroom. Spoelen
worden kortsluitingen bij zeer lage frequenties, en open ketens bij zeer hoge frequenties.
(voor de amplitudes van stroom en spanning geldt: VL = IXL )
• Wanneer een perfecte condensator in een ac-netwerk staat, ijlt de spanning 90◦ na op de
1
is een maat voor de manier
stroom. De capacitieve reactantie van een spoel XC =
ωC
waarop spanning wordt opgebouwd tussen de platen. Wanneer een condensator met
inwendige weerstand geplaatst wordt, ijlt de spanning minder na op de stroom.
Condensator worden kortsluitingen bij zeer hoge frequenties, en open ketens bij zeer lage
frequenties. (voor de amplitudes van stroom en spanning geldt: VL = IXL )
• Het L-R-C netwerk
→ Voor een dergelijk circuit geldt er dat de vectorsom van de fasoren van de weerstand, de
spoel en de condensator gelijk is aan de fastor van de spanningsbron. Ze hebben allemaal
dezelfde stroomfasor (serie-schakeling). De voltagefasor van de condensator is altijd
antiparallel met die van de spoel.q
2
→ Definieer de impedantie Z = R2 + (XL − XC ) , dan is de amplitude van de spanning
in het circuit: V = IZ (dit gaat over de spanning door de stroombron).
ωL − 1/ωC
. Dit
→ De fasehoek tussen spanning over en stroom door de bron is: tan φ =
R
is de hoek die de spanning na ijlt op de stroom.
• Het vermogen in een weerstand: P =
1
V I = Vrms Irms
2
• Het vermogen in een spoel: de netto energie-verplaatsing over een cyclus is nul.
• Het vermogen in een condensator: de netto energie-verplaatsing over een cyclus is nul.
• Het vermogen in een algemeen ac-netwerk:
→ Ogenblikkelijk vermogen: p = vi = [V cos (ωt + φ)] [I cos ωt]
1
→ Gemiddelde vermogen: Pav = V I cos φ = Vrms Irms cos φ Hierbij is cos φ een
2
modificatieterm die ervoor zorgt dat alleen het deel van de spanning dat in fase is met de
stroom wordt meegeteld: de delen die 90◦ voor of na ijlen maken geen verschil uit.
8
→ cos φ is de krachtfactor van het netwerk. Voor een perfecte weerstand is φ = 1. Voor een
perfecte spoel/condensator is φ = ±90◦ . Voor een circuit met alle drie de elementen geldt
R
er:cos φ =
Z
→ Een kleine krachtfactor is meestal niet wenselijk, aangezien er een grotere stroom vereist
is voor dezelfde spanning, wat dan weer zorgt voor grotere i2 R verliezen.
→ De resonantie hoeksnelheid is deze waarbij voor dezelfde V een maximale I optreedt,
met name wanneer de impedanties van de spoel en de condensator gelijk zijn. Dan is
1
ω0 = √
. Op deze frequentie gedraagt het netwerk zich alsof er helemaal geen spoel of
LC
condensator aanwezig was. Deze resultaten kunnen bekomen worden m.b.v. een
extremumonderzoek op R = IZ.
→ Hoe lager dan de weerstand van het netwerk is, hoe scherper de stroompiek is bij de
V
resonantie hoeksnelheid: I = . Niet altijd moet de piek zo scherp mogelijk zijn: soms
R
gaat er dan informatie verloren, zoals de hoge en lage tonen bij muziek op radiofrequenties
die dicht naast elkaar liggen.
• Transfo’s
→ Een transfo is een combinatie van twee spoelen rond eenzelfde kern, elk met een
N1
V1
=
verschillend aantal lussen. Voor de spanningen over de spoelen geldt dan:
V2
N2
→ Een adapter zoals voor bv. een gsm oplader, bestaat uit een transfo (230V→12V) en
een diode (ac→dc)
→ Verder geldt er, door behoud van energie ook: I1 V1 = I2 V2
V1
R
→ Er kan worden afgeleid:
=
2 Waarbij het secundair netwerk wordt
I1
(N2 /N1 )
aangesloten op een weerstand met waarde R.
→ Er wordt door verschillende invloeden energie verloren: i2 R verliezen, wervelstromen,
hysteris van de kern,...
→ De verliezen door toedoen van wervelstromen kunnen grotendeels verminderd worden
door gebruik van gelamineerde kernen. Door het alternerende magnetisch veld oscilleren de
laminae vooruit en achteruit, waardoor een karakteristiek geluid ontstaat dat vaak te horen
is bij transfo’s in werking.
→ Er worden ook transformatoren gebruikt met n1 = n2 . Een voorbeeld zijn de
metingstransfo’s, waarbij de ingangsspanning gelijk is aan de uitgangsspanning, maar
waarbij bv. het elektrocutiegevaar verkleint wordt bij meting aan het lichtnet.
9
Hoofdstuk 32: Elektromagnetische golven
• Elk versnellend ladingsdeeltje produceert elektromagnetische golven.
• Evenzeer als voor mechanische golven geldt er: c = λf
• In vacuum hebben alle EM-golven dezelfde voortplantingssnelheid c = 2990 7920 458 m
s
• Wanneer de golf volgens de x-richting beweegt, heeft het elektrisch veld alleen een
component op de y-richting en het magnetisch veld alleen één op de z-richting. Als één van
beiden een x-component zou hebben, zou de wet van Gauss niet meer opgaan en kan de
~ en E
~ loodrecht
golf dus niet bestaan. Uit de wetten van Faraday en Ampère volgt dat B
op elkaar staan. Als extra voorwaarden volgt ook dat de voortplantingssnelheid moet
1
.
voldoen aan E = cB, en dat c = √
0 µ0
• Een EM-golf heeft geen medium nodig, ze kan in vacuum voortplanten.
∂ 2 Ey (x, t)
∂ 2 Ey (x, t)
• De algemene EM-golfvergelijking:
=
µ
. Uiteraard kan men hierin
0
0
∂x2
∂t2
Ey vervangen door Bz , aangezien E = cB
• Een mogelijke oplossing van deze
is, analoog aan mechanische golven:
golfvergelijking
2π
Ey (x, t) = Emax cos (kx − ωt) k =
λ
• Wanneer een golf in een ander medium dan vacuum voorkomt, daalt de
c
voortplantingssnelheid: v = √
(met K de diëletrische constante, en Km de relatieve
KKm
permeabiliteit van het diëlektricum.
• De totale energiedichtheid (zowel elektrisch als magnetisch):
1 2
B2
1
B =
= 0 E 2 .
u = 0 E 2 +
2
2µ0
µ0
~= 1E
~ ×B
~ is de energiestroom per oppervlakte-eenheid per
• De Poynting vector S
µ0
EB
vermogen
tijdseenheid. De grootte ervan is S =
. Het totale vermogen van
= uc =
µ0
oppervlakte
H
~ · dA
~ (over een gesloten oppervlak, integraal over het oppervlak)
een golf P = S
• De intensiteit ( de gemiddelde waarde van de Poynting vector over de tijd) is een maat
1
2
voor de sterkte van de golf (en het vermogen om energie te verplaatsen). I = 0 cEmax
.
2
Wanneer de golf niet in een vacuum beweegt, vervangt men 0 = , µ0 = µ en c = v.
• De impulsoverdracht pimpuls = utA voor volledige absorptie en voor volledige reflectie het
dubbele. Ertussenin wordt er gewoon met (1 + %ref lectie ) gewerkt.
• De impuls densiteit van een EM-golf
dp
S
= 2
dV
c
S
• De stralingsdruk prad = = u. Dit is voor een volledige geabsorbeerde golf. Voor een
c
volledig teruggekaatste golf is deze waarde verdubbeld en voor andere scenarios ligt de
waarde tussen de twee voorgaande.
• Wanneer een golf invalt onder een hoek dalen de impulsoverdracht en de stralingsdruk.
2U cos θ
Impulsoverdracht wordt pimpuls =
en de stralingsdruk Prad = 2U cos2 θ.
c
10
• De superpositie van een invallende en een teruggekaatste golf vormt een staande golf.
Bijgevolg geldt er voor Estaand = Emax [cos kx + ωt − cos kx − ωt] = −2Emax sin kx sin ωt
en analoog Bstaand = −2Bmax cos kx cos ωt. Merk op dat bij een staande golf E en B NIET
meer in fase zijn, maar juist in kwadratuur staan: de knopen van de ene zijn de buiken van
de andere.
• Men kan, analoog aan magnetische golven, twee perfect geleidende oppervlakken gebruiken
om een golf in te ’vangen’. Dan zijn de golflengtes die er kunnen bestaan gekwantiseerd tot
2L
λn =
. Naast perfecte geleiders kan men ook andere materialen gebruiken, met name
n
oppervlakken opgebouwd uit twee materialen met verschillende diëlektrische en
magnetische eigenschappen (bv. een spiegel). In dit geval wordt een invallende golf deels
doorgelaten en deels teruggekaatst.
11
Hoofdstuk 33: De aard en voortplanting van licht
c √
• De verbuigingsindex n = = µ (in vacuo is dit dus 1) (aangezien de snelheid
v
afhankelijk is van de golflengte, is dit dus ook afhankelijk van het materiaal waarin men
werkt, zie verder afhankelijkheid van golflengte tot materiaal)
• De wetten van afkaatsing en weerkaatsing
1. The invallende, uitgaande en gebroken straal liggen samen in één vlak.
2. Invalshoek en uitvalshoek zijn gelijk
3. Voor de uitvalshoek van de gebroken straal geldt: n1 sin θ1 = n2 sin θ2 (de brekingswet
van Snellius)
1
λvacuum
n
• Volledige terugkaatsing van stralen kan gebeuren wanneer ninval > ngebroken . In dit geval
is, uit de wet van Snellius, voor sommige θinval de sin θverbuiging groter dan één, wat niet
mogelijk is en dus wordt de straal volledige teruggekaatst. De critische invalshoek
ngebroken
. Een
waarboven volledige interne terugkaatsing gebeurt volgt uit: sin θcrit =
ninval
toepassing hiervan is een Porro Prisma: een prisma met als grondvlak een gelijkbenige
rechthoekige driehoek. Voor zo’n prisma uit glas, n ≈ 1.52 =⇒ θcrit ≈ 41.1◦ , wordt hier
het licht dat loodrecht invalt op de hypothenusa volledig en zonder verlies gereflecteerd
binnen het glas. Doordat het loodrecht invalt gebeurt er ook geen afbuiging, waardoor de
buitenkomende straal evenwijdig is aan de invallende, en alleen een tegengestelde richting
heeft.
• De golflengte buiten vacuum is een fractie van de originele golflengte: λ =
• Lineair gepolariseerd licht dat door een analysator gaat, krijgt een daling in intensiteit,
naargelang de hoek tussen het uiteindelijke gepolariseerd licht en het invallend
gepolariseerd licht daalt: I = Imax cos2 φ (wet van Malus)
• Voor een bepaalde invalshoek θpolarizatie wordt er alleen gepolariseerd licht teruggekaatst
(maar niet met de oorspronkelijke intensiteit), en wordt er gedeeltelijk gepolariseerd licht
doorgelaten (niet-preferente oriëntaties en de overschot van de intensiteit). Voor deze
invalshoek geldt dan ook dat de uitvallende en gebroken straal loodrecht staan, en verder
ngebroken
tan θpolarizatie =
ninval
• Een birefringent materiaal heeft verschillende verbuigingsindexen voor verschillende
polarisaties. Een foto-elastisch materiaal vertoont dit normaal niet, behalve wanneer het
onder mechanische spanningen staat.
• Luchtmoleculen verbuigen blauw licht makkelijker dan rood licht. Wanneer we naar de
lucht boven ons kijken, zien we dan een blauwe kleur, omdat we het gebroken licht zien.
Wanneer we rechtstreeks naar de zon kijken (wanneer dit waarneembaar is, bijvoorbeeld bij
zonsondergang) zien we het zonlicht zonder de gebroken kleuren, en ziet dit er
voornamelijk rood uit.
• Het principe van Huyghens: elk punt van een golfsfront mag beschouwd worden als de bron
van secundaire golfjes die in alle richtingen uitbreiden met dezelfde snelheid als de
voortplantingssnelheid van de oorspronkelijke golf. Aan de hand van dit principe kunnen
alle bovenstaande wetten en formules worden afgeleid uit het golfkarakter van licht.
in
• In een glasvezel ontstaat er attenuatie/energieverlies (eenheid: 1dB = −10 log PPuit
)
• Principe van Fermat: een lichtstraal volgt het pad dat het minste tijd kost: de optische
RB
weglengte OWL is minimaal. OW L = n(s)ds
A
12
Hoofdstuk 35: Interferentie
• Het superpositie beginsel geldt voor lichtgolven net zoals voor mechanische golven.
• Constructieve en destructieve interferentie geldt alleen maar voor bronnen met een gelijke
frequentie en een constant faseverschil. Dit zijn coherente bronnen.
• Om constructieve interferentie te hebben in P, moeten de OWL r1 en r2 een geheel
veelvoud van de golflengte verschillen: r2 − r1 = mλ
• Destructieve interferentie gebeurt dan voor r2 − r1 = m + 21 λ
• In het experiment van Young geldt er bij benadering: d sin θ = r2 − r1 (met d de afstand
tussen de sleuven, en θ de hoek van een rechte tussen een sleuf en het punt P op het vlak,
en de horizontaal). De te bezichtigen strepen worden interferentiefranjes genoemd.
• Voor de afstand tussen twee opeenvolgende franjes geldt bij benadering: ym = R
mλ
d
• De amplitude
in een willekeurig punt bij interferentie van twee golven geeft:
φ Ep = 2E cos (vectorsom van beide amplitudes, met φ de fasehoek op het betreffende
2
punt)
• De intensiteit in een willekeurig punt bij interferentie van twee golven geeft:
φ
φ
I = 12 0 cEp2 = 20 cE 2 cos2 = I0 cos2
2
2
r2 − r1
d sin θ
φ
=
≈
(laatste stap voor voldoende verre
2π
λ
λ
bronnen relatief aan hun onderlinge afstand)
• Voor het faseverschil geldt:
•
2π
wordt gelijkgesteld aan k, het golfgetal. Als voorgaande niet in vacuum gebeurd geldt
λ
λ0
er: λ =
=⇒ k = nk0
n
• Wanneer licht weerkaatst op een dunne film, bijvoorbeeld zeep, wordt een deel weerkaatst
naar de waarnemer, terwijl een ander deel de film binnengaat om intern teruggekaatst te
worden, uiteindelijk parallel aan de extern teruggekaatste straal. De inter teruggekaatste
heeft een langere OWL en er is dus een faseverschil tussen beide golven. Merk op dat
intern gereflecteerde stralen een faseverandering ondergaan van π radialen, analoog aan de
terugkaatsing van een golf op een vast uiteinde, tegenover die op een loshangend uiteinde.
13
Hoofdstuk 36: Diffractie
• Alleen makkelijk waarneembaar bij coherente bronnen: bronnen die verschillende
golflengtes uitzenden zullen voor elke golflengte een ander diffractiepatroon teweegbrengen,
welke overlappen en niet onderscheidbaar zijn.
• Twee soorten diffractie: Fresnel (korte afstanden) en Fraunhofer (voldoende lange
afstanden zodat alle lijnen invallend op een punt in het diffractiepatroon kunnen benaderd
worden als parallel.
• Diffractie bij één sleuf
mλ
[m ∈ Z0 ]
1) Voor de donkere franjes geldt: sin θ =
a
2
sin [πa sin θ/λ]
2) Voor de intensiteit geldt : I = I0
πa sin θ/λ
3) β is het faseverschil tussen de golven die invallen uit de uiteinden van de sleuf:
2π
β=
a sin θ
λ
λ
4) De centrale franje bestrijkt een hoek θ1 =
a
• Diffractie bij twee sleuven
1) Stel dat er één sleuf is met een opening a. Dan is er voor de intensiteit:
2
sin [πa sin θ/λ]
2π
I = I0
a sin θ )
(met β =
πa sin θ/λ
λ
2) Stel dat er twee sleuven zijn met een oneindige
kleine opening op afstand d van elkaar,
φ
2π
dan is er voor de intensiteit: I = I0 cos2
d sin θ
(met φ =
2
λ
3) Voor twee sleuven op afstand d van elkaar, elk met opening a, geldt er:
2
φ
sin [πa sin θ/λ]
2
I = I0 cos
2
πa sin θ/λ
2π
(met N het aantal
N
sleuven). De absolute maxima liggen nog altijd op dezelfde plaats als bij twee sleuven,
maar ertussenin ontstaan nu relatieve maxima (en dus minima). Tussen elke twee absolute
maxima ontstaan (N − 1) minima.
• Diffractie bij meerdere sleuven: de intensiteit is nul wanneer φ = k
• Een Gratenspectrograaf heeft een chromatisch onderscheidingsvermogen R =
het kleinste golflengte verschil dat je kan meten met de spectrograaf)
λ
(∆λ is
∆λ
• De Bragg conditie voor constructieve interferentie in een matrix (2D): 2d sin θ = mλ
• Een gelijkaardig resultaat kan bekomen worden voor 3D. Het ontstane patroon is dan ook
altijd puntsymmetrisch.
• Diffractie bij cirkelvormige uitsparingen (straal R).
λ
R
2) Het grootste deel (85%) van de energie van het licht valt in de Airy schijf, de centrale
heldere vlek.
1) Voor de poolhoek θ1 van de eerste donkere franje geldt: sin θ1 = 1.22
14
3) Wanneer twee cirkelvormige uitsparingen zich relatief dicht bij elkaar bevinden,
kunnen ze nog aan de hand van hun gezamenlijk diffractiepatroon nog net
waargenomen als twee uitsparingen, wanneer het centrum van één diffractiepatroon
samenvalt met de eerste donkere franje van het andere. (Criterium Van Rayleigh).
Hieruit volgt bijvoorbeeld ook dat twee puntobjecten (bv. door een telescoop) nog net
kunnen uiteengehaald worden wanneer hun poolhoekverschil voldoet aan
λ
sin θ = 1.22
R
15
Hoofdstuk 37: Relativiteit
• De twee postulaten van Einstein:
1. Relativiteitsprincipe: de wetten van de fysica zijn dezelfde in elk inertiaalstelsel.
2. Het Tweede Postulaat: De snelheid van het licht in vacuum is dezelfde in elk
inertiaalstelsel en totaal onafhankelijk van de beweging van de bron.
• Als gevolg: het is onmogelijk voor een inertiële waarnemer om op de lichtsnelheid te reizen.
• Relativiteit van tijdsintervallen: ∆t = γ∆t0 = p
∆t0
(waarbij de eigentijd ∆t0 de
1 − u2 /c2
tijd is die een waarnemer meet wanneer hij zich in rust bevindt in het stelsel waar de twee
gebeurtenissen (bv. begin en einde van de meting) op de zelfde plaats gebeuren: het
inertiaalstelsel opgebouwd rond de meting). Aangezien altijd ∆t > ∆t0 , heet dit
tijdsdilatatie.
• Relativiteit van lengtes:
l0
. De eigenlengte
γ
wordt gemeten in het inertiaalstelsel waar het object in rust is.
1. Lengtes evenwijdig met de beweging van de assenstelsels: l =
2. Lengtes loodrecht met de beweging van de assenstelsels: lengtes wijzigen niet!
• Lorentztransformatie voor ééndimensionale beweging: vx0 =
vx − u
1 − uvx /c2
p
3
• Relativistische impuls: p~ = γm~v . En, mits enige uitwerking, F~ = d~
a als de kracht
dt = γ m~
parallel is aan de voortbeweging en F = γma als de kracht loodrecht staat op de snelheid.
• Relativistische kinetische energie: K = (γ − 1)mc2 , en bijgevolg E = k + mc2 of nog
E 2 = (mc2 )2 + (pc)2
16
Hoofdstuk 38: Fotonen, elektronen, atomen
• Foto-elektrisch effect
– Het foto-elektrisch effect houdt in dat er elektronen worden uitgezonden wanneer licht
een oppervlak raakt. Dan krijgen elektronen die energie van het licht opnemen,
genoeg energie om te ontsnappen aan de aantrekkingskracht van de positieve ionen,
en dus worden ze uitgezonden vanaf het oppervlak.
– GEEN foto-elektronen worden uitgestraald wanneer het licht een frequentie heeft die
lager is dan de zogenaamde drempelfrequentie. Die is afhankelijk van het materiaal
van het oppervlak, voor metalen bijvoorbeeld meestal in het ultraviolet spectrum (λ
tussen 200nm en 300nm)
– In een foto-tube kan men de spanning tussen kathode en anode laten varieren totdat
er geen stroom meer is. Dit gebeurt bij VAK = −V0 , waarbij V0 de stoppotentiaal is.
De maximum kinetische energie van een deeltje dat de kathode verlaat is dan:
2
Kmax = eV0 = 12 mvmax
hc
– Einstein: Ef oton = hf =
(met h = 6.626 × 10−34 J · s = 4.136 × 10−15 eV · s)
λ
– Verder is de maximale kinetische energie dan: Kmax = hf − φ (met φ de
uittredepotentiaal van het oppervlak). Wanneer K negatief zou zijn kan het foton dus
niet van het oppervlak weggaan. Hieruit volgt ook e.V0 = hf − φ.
φ = Epot,opp − Epot,f ermi−niveau . Elektronen op het fermi-niveau (de
valentie-elektronen) hebben maximale kinetische energie. Uittredekrachten bij
metalen hebben een typische waarde van enkele elektronvolt.
E
h
– De impuls van een foton wordt gegeven door p =
=
c
λ
• De energie van een uitgestraald foton bij relaxatie van een atoom: hf = ∆Eatoom
1
1
1
• Spectrum van waterstof (de Balmer serie):
=R
−
(waarbij
λ
22
n2
R = 1.097 × 107 m−1 en n ∈ Z). Dit zijn eigenlijk de energiesprongen wanneer een elektron
van een baan hoger dan n=2 naar n=2 springt. Door de eerste twee te vervangen door
1,3,4,5 krijgt men respectievelijk de Lyman, Paschen, Brackett en Pfund series, met
dezelfde betekenis.
• De energieniveaus van waterstof zijn dus gequantiseerd tot En = −
hcR
13.06eV
=−
n2
n2
• Energie niveau’s: Elk atoom heeft een grondtoestand (laagst toegestane energieniveau) en
hogere geëxciteerde, gekwantiseerde toestanden.
h
. Stralen van de banen in het Bohr-model:
2π
2 2
n h
1 e2
rn = 0
.
Snelheden
op
de
banen
in
het
Bohr-model:
v
=
. De totale energie
n
πme2
0 2nh
4
1 me
van een elektron in het Bohr-model: En = − 2 2 2 . De ionisatie-energie is de benodigde
0 8n h
energie om een elektron vanuit de grondtoestand volledig uit de invloedssfeer van de kern
te verwijderen, symbolisch naar een baan met n = ∞.
• Kwantisatie van hoekimpuls: L = mvn rn = n
• L.A.S.E.R.’s (Light amplification by stimulated emission of radiation)
– Elk invallend foton dat een geëxciteerd atoom raakt doet dit een twee foton uitzenden
met gelijke frequentie, richting, fase en polarizatie als het origineel. Het grootste
probleem is dat de atomen geëxciteerd moeten zijn, maar dit kan op verschillende
manieren verholpen worden.
17
• Het uitzenden van röntgenstralen is net het tegenovergestelde van het foto-elektrisch effect:
door toekomende elektronen op een oppervlak worden er uitgaande fotonen afgestoten. In
het geval hier wordt de uittredepotentiaal en de originele kinetische energie van de
elektronen meestal verwaarloosd, omdat ze toch zo’n kleine invloed hebben in de
uiteindelijk relatief zeer grote energie van het foton. Wanneer er weer met een
potentiaalverschil tussen een kathode (die de fotonen uitzend) en een kathode (die de
elektronen uitzend) wordt gewerkt, geldt er: eVAK = hfmax . Dit is één proces van
röntgenstralen - bremsstrahlung, dat volledig onafhankelijk is van het materiaal van de
kathode. Het tweede proces zorgt voor pieken in het emissiespectrum, die dan weer wel
afhankelijk zijn van de kathode. De energieverschillen in een atoom hebben dan te maken
met vacancies in de atoomstructuur, wat voor veel hogere waarden zorgt: ettelijke
duizenden eV ’s.
• COMPTON: X-stralen worden ook verstrooid wanneer ze massa raken, net zoals
lichtstralen diffuse reflectie ondervinden. Opmerkelijk bij röntgenstralen is dat de
verstrooide stralen een gewijzigde golflengte hebben, die in verband staat met de hoek
h
(1 − cos φ). Dit wordt gemodelleerd door
waarover ze verbogen zijn: λ0 − λ =
mc
botsingen van de x-deeltjes op de buitenste elektronen, waarbij een botsing gebeurt met
behoud van energie en behoud van impuls. Uit de vergelijkingen voor behoud van energie
c
c
h
h
(h
= h 0 ) en die voor behoud van impuls ( = 0 cos θ + pc cos φ voor de x-richting, en
λ0
λ
λ
λ
h
0 = 0 sin θ + pc sin θ voor de y-richting) kan men de wet van Compton afleiden. Hierbij is
λ
φ de hoek waaronder het elektron wegschiet, en θ de hoek waaronder het foton wordt
afgekaatst. Bij de metingen werd ook nog altijd een piek gemeten bij nagenoeg de originele
golflengte: dit waren de x-stralen die botsten met binnenste elektronen, die zo nauw met de
kern samenhangen dat de massa in de formule, de massa van de kern en het elektron wordt.
• Gassen verspreiden discrete spectra aan licht, omdat de krachten tussen de verschillende
atomen -dankzij de grote afstanden- verwaarloosbaar zijn, en elk atoom dus als en
geïsoleerd systeem kan beschouwd worden. Vaste of vloeibare massa’s sturen een continu
spectrum uit. Beschouw zwarte stralers als de ideale absorbeerders, die tegelijk ook de
beste stralers zijn. Voor hen is de intensiteit van de uitgezonden straling: I = σT 4 ,
σ = 5.6704 × 10−8 m2W·K 4 . De intensiteit is niet gelijk verdeeld over alle golflengtes, de
verdeling wordt gegeven door de distributie I(λ). De verschuivingswet van Wien: voor elke
temperatuur is er een piek met λT = 2.90 × 10−3 m · K. Bijgevolg is een voorwerp dat geel
licht uitzend heter dan één dat rood licht uitzend: golflengte van geel is korter dan rood en
er moet dus een grotere waarde van T zijn om te voldoen aan de ’Wien verplaatsingswet’.
2πhc2
(De stralingswet van Planck). Uit
Voor een zwarte straler geldt: I(λ) = 5 hc/λkT
λ e
−1
deze wet kunnen de Stefan-Boltzmann wet voor de intensiteit van een zwarte straler en de
Wien verschuivingswet afgeleid worden, respectievelijk door integratie en afleiding over λ.
• De hypothese van Planck: de energie van een oscillator is gekwantiseerd door E = nhf .
Wanneer men dit probeert op een mechanische oscillator, komt men uit op
kwantumsprongen van de orde 10−34 , waardoor het energiespectrum als continu kan
beschouwd worden.
18
Hoofdstuk 39: Het golfkarakter van deeltjes
h
h
• De ’de Broglie’ golflengte van een deeltje: λ =
=
, en analoog de ’de Broglie’
mv
p
frequentie: E = hf . Maar, aangezien deeltjes niet op de lichtsnelheid verplaatsen, gelden
sommigen formules NIET: zowel f = c/λ als E = pc zijn ongeldig bij deeltjes!
• Volgens Bohr: omtrek van de n-e baan: nλe =
nh
2n2 h2 0
=
me2
mv
• Toen bleek dat dit heel mooi paste in bijvoorbeeld de theorie van Bohr: als elektronen een
staande golfkarakter hebben op hun banen, stralen ze geen energie uit: net zoals staande
mechanische golven geen energie overbrengen. Om een staande golf te vormen op een
cirkelvormige baan, moet de omtrek van de baan een geheel aantal keren de golflengte zijn.
(Hieruit kan bijvoorbeeld rechtstreeks de kwantisatie van hoekimpuls worden afgeleid.)
• Davisson en Germer hadden een experiment opgezet waarbij ze een elektronenbundel op
een monokristallijn nikkeloppervlak richtten, en hierbij kwamen ze tot de ontdekken dat de
elektronen een diffractiepatroon vormen bij weerkaatsing op het oppervlak. Dit was de
eerste confirmatie van de Broglie’s theorie (die tot nu toe nog geen enkel empirisch bewijs
had!). Volgende jaren werden hun bevindingen nogmaals bevestigd in bijkomende
experimenten, en werden er verdere experimente opgezet die het golfkarakter van
alfadeeltjes, sommige ionen en laag-energetische neutronen aantoonden.
h
, waarbij ∆ staat voor de
• Het onzekerheidsprincipe van Heisenberg: ∆x∆px ≥ ~ = 2π
standaardafwijking (analoge formules voor andere coordinaten of coordinaatsystemen). Dit
komt eropneer dat je nooit zowel de positie als de impuls kan bepalen tot op een
willekeurige nauwkeurigheid: wanneer de ene nauwkeuriger wordt zal de andere een grotere
standaardafwijking hebben. Deze onzekerheid komt voort uit het feit dat een
meetinstrument moet interageren met hetgeen gemeten wordt. Zelfs theoretisch kan deze
wet niet omzeild worden, het maakt niet uit hoe gesofistikeerd de meetinstrumenten en
-technieken zijn. Merk op dat het Bohr-model in tegenspraak is met dit principe: zowel ∆r
als ∆pr zijn nul, zodat er naar een betere verklaring moet gezocht worden.
• Een tweede onzekerheidsprincipe is er één dat zeer logisch overkomt: ∆E∆t ≥ ~. Hoe
langer een bepaald systeem een bepaalde energie heeft, hoe preciezer die kan bepaald
worden. Hoe preciezer we de energie willen meten, hoe groter de tijdsduur moet zijn
waarin dit systeem in de metastabiele toestand blijft. (Als de toestand stabiel was, zou het
er willekeurig lang in kunnen blijven, wanneer er geen uitwendige invloeden zijn).
• Elektronenmicroscopen: elektronendie divergeren uit een enkel punt kunnen gefocust
worden m.b.v. elektrische en magnetische velden, ongeveer analoog aan lenzen voor
lichtbundels. Het onderscheidend vermogen van een microscoop hangt af van de golflengte
van de gebruikte golfdeeltjes. Aangezien elektronen een golflengte hebben die veel kleiner is
dan die van licht, hebben elektronenmicroscopen een beter onderscheidend vermogen.
Alleen voor discussies over bijvoorbeeld onderscheidend vermogen is het golfkarakter van
elektronen van belang: net zoals bij licht kan voor de weerkaatsing op oppervlakken enz.
het elektron beschouwd worden als een klassiek geladen deeltje.
• T.E.M.: Transmissie Elektronen Microscopie. Elektronen worden door elektrische velden
omgevormd tot een parallelle bundel, waarna ze door het te bestuderen specimen heen
gestuurd worden. Hiervoor dient het te onderzoeken monster voldoende dun zijn, 10 tot
100 nm, omdat anders elektronen waarneembaar worden afgeremd door het monster. De
binnenkant van een TEM moet zo vacuum mogelijk zijn: anders botsen elektronen met de
luchtdeeltjes. De resolutie van een TEM is ongeveer 0.5 nm (en niet de 0.01 nm die we
zouden verwachten a.d.h.v. de golflengte): niet alle elektronen hebben precies dezelfde
19
snelheid na door het monster gegaan te zijn, wat eigenlijk nodig is voor de elektrische en
magnetische velden die ze bundelen. Hierdoor lijdt men aan verlies van resolutie.
• S.E.M.: Scanning Elektronen Microscopie. Hierbij wordt de elektronenbundel gefocust tot
een dunne lijn, en over het monster heen gehaald. De elektronen kaatsen af, in
tegenstelling tot de TEM waarbij ze doorheen het monster gingen. Ze worden opgevangen
door een anode die op een hogere potentiaal staat dan het specimen. De stroom in de
anode wordt uitvergroot en aan de hand hiervan wordt een andere elektronenbundel gericht
op een veel groter scherm. De resolutie is 10 nm, nog een stuk beter dan lichtmicroscopen,
maar slechter dan TEM. Aangezien de elektronen niet doorheen het materiaal moeten, kan
het wel een stuk dikker zijn, en meestal levert SEM ook een veel drie-dimensionaler beeld
dan een TEM. De microscoop zelf dient nog altijd in vacuo te werken.
• De golffunctie van een deeltje wordt aangeduid met Ψ(x, y, z, t). Deze functie geeft de
verdeling weer van een deeltje in de ruimte, net zoals golffuncties dit doen voor elektrische
2
en magnetische velden . |Ψ(x, y, z, t| dV is de kans dat het deeltje op het moment t in een
volume
dV zit rond het punt (x, y, z). Deze interpretatie vraagt er wel om dat
R
2
|Ψ(x, y, z, t| dV = 1.
overal
• De Schrödinger vergelijking: wanneer een deeltje in een stationaire toestand is, geldt
Ψ(x, y, z, t) = ψ(x, y, z)e−iEt/~ . De Schrödingervergelijking is geen gevolg van andere
formules: het is een totaal nieuw principe. In zijn eenvoudigste vorm (een deeltje met
massa m beweegt langs de x-as onder invloed van een conservatief veld met enkel een
x-component zodat de corresponderende potentiële energie U (x) gesteld wordt) wordt de
~2 d2 ψ(x)
+ U (x)ψ(x) = Eψ(x). Er is geen bewijs voor deze
vergelijking geschreven als: −
2m dx2
vergelijking, maar hij wordt wel bevestigd door experimentele resultaten.
• Pas nu de eenvoudige versie van de Schrödingervergelijking toe op een vrij deeltje: er is
p2
geen krachtveld, U is dus onafhankelijk van x, stel gelijk aan nul. E = 2m
en dan volgt er
uiteindelijk (door te poneren dat Psi een complexe combinatie van sinussen en cosinussen
is) dat Ψ(x, t) = Aeikx e−iωt met k = ~p enm = E~ .Wanneer U(x) niet nul zou zijn, zal
blijken dat E gekwantiseerd wordt tot bepaalde waarden. Er bestaat een tijdsafhankelijke
Schrödingervergelijking, maar die is alleen van toepassing bij de transitie tussen twee
toestanden.
• Een golfpakket is in feite een impuls: ψ(x) =
+∞
R
A(k)eikx dk. Deze integraal representeert
−∞
de superpositie van een heel groot aantal golffuncties. In dit geval geeft het een ψx die
’gelocaliseerd’ is rond de oorsprong. Hoe scherper de piek in A(k), hoe breder de piek is die
ψ(x) vertoont in de oorsprong: onzekerheid in actie.
20
Hoofdstuk 40: Kwantummechanica
• Particle-in-a-box (breedte L)
r
2
nπ
2L
sin
x (dan is λn =
, constante bepaald
L
L
n
adhv. normalisatie van de probabiliteitsfunctie |ψ(x)|)
– Stationaire golfvergelijking: ψ(x) =
h
nh
p2
n2 π 2 ~2
=
en dus En = n =
λ
2L
2m
2mL2
– Een deeltje kan nooit E = 0 hebben, want dan zou zijn golfvergelijking de triviale
nuloplossing zijn, en elk deeltje wordt beschreven door een niet-nul oplossing van de
Schrödingervergelijking.
r
2
nπ −iEn t/~
−iEn t/~
sin
xe
– De volledige golfvergelijking: Ψ(x, t) = ψ(x)e
=
L
L
– Energieniveau’s: pn =
• Potentiaalputten met eindige sprong (breedte L, E < U0 )
– Hierbij zijn de randvoorwaarden voor ψ(x) is: continuë afleidbaarheid in de gehele
ruimte, normalisatie.
– De oplossing is dan een sinusgolf binnen de put, en een exponentieel dalende/stijgende
functie daarbuiten (waarbij ψ(x) → 0 voor |x| → ∞)
– De golflengte is bij een eindige put groter dan bij een oneindige: dit leidt tot een
daling van de impuls, en dus van de energie.
– Een eindige put heeft ook maar een eindig aantal gebonden toestanden. Naargelang
U0 stijgt, stijgt het aantal energieniveau’s.
• Wanneer, bij een eindige put, de totale energie van het deeltje groter zou zijn dan de put
diep is, is het deeltje niet opgesloten en is de golffunctie een sinusfunctie in de gehele
ruimte. De golflengte in de put is wel groter, aangezien de kinetische energie gestegen is
tov. buiten de put.
• Potentiaalbarrières & Tunnelen (breedte L, hoogte U0 )
– Wanneer de golfvergelijking wordt opgelost, is ze sinusoïdaal voor x < 0 en x > L en
exponentieel voor 0 < x < L, zó dat ze nog altijd continu differentiaarbeer is.
– Een deeltje dat aan de
ene kant
begint,
√ heeft een kans T om aan de andere kant voor
E
E
−2L 2m(U0 −E)/~
.
te komen: T = 16 U0 1 − U0 e
– Een belangrijke toepassing is de STM: Scanning Tunneling Microscope. Aangezien T
zeer sterk afhankelijk is van L, kan ze gebruikt worden om waarden van L
experimenteel te bepalen (alleen bij magnetische materialen): de naald van een zeer
gevoelig meetinstrument wordt dicht bij het oppervlak gebracht, en als dit voldoende
dicht is worden elektronen die de luchtbarrière overwinnen waargenomen. Hoe meer
elektronen, hoe dichter de naald bij het oppervlak is (typische waarden in de
grootteorde van 1nm.
– Bijvoorbeeld bij kernfusie gebeurt er tunneling: de kernen overwinnen de
potentiaalsprong te danken aan hun repulsie. Zonder tunneling zou de zon niet
schijnen.
• Harmonische Oscillator
– Voor de golfvergelijking vullen we gewoon u = 21 kx2 in bij de
Schrödingervergelijking.De oplossingen hiervan zijn de Hermite functies.
p
(π) −√mkx2 /2~
– Bijvoorbeeld is voor het grondniveau: ψ(x) =
e
a
21
– Daar is dan E0 = 12 ~
q
k
m
r
1
k
~
– In het algemeen geldt: En = n +
2
m
• Voor meerdimensionale problemen klinkt de Schrödingervergelijking alsvolgt:
~2
E − U (~x) ψ(~x) =
∆ψ(~x) (eventueel in andere coordinaatstelsels)
2m
22
Hoofdstuk 43: Kernfysica
• De straal van een kern wordt ongeveer gegeven door R = 1.2 × 10−15 m.A1/3 (met A het
massagetal). Bijgevolg is het volume van de kern (ongeveer) recht evenredig met A, en dus
is de dichtheid van de kern onafhankelijk van het massagetal, en dus van de stof.
p
• Een atoomkern heeft een spinimpulsmoment = I(I + 1)~ waarbij I (de kernspin) een
half geheel getal is. De maximale z-projectie is I~.
• Nucleair magnetisch moment wordt uitgedrukt in termen van het nucleair magneton
e~
=5, 05 × 10−27 J/T ). Het magnetisch moment van een vrij proton is dan 2, 7928µn
(µn 2m
P
en dat van een vrij neutron −1.9135µn (waarbij het minteken staat voor het feit dat in een
neutron, spinimpulsmoment en magnetisch moment tegengesteld zijn)
• Larmorprecessie: de magnetische moment van bv. protonen zijn nogal willekeurig, waar ze
beter gekend zijn wanneer de protonen zich in een sterker magnetisch veld bevinden. Als
protonen ge-aligneerd zijn volgens zo’n veld, en ze worden geëxciteerd (bv. door
radiogolven) dan heroriënteren ze zich met het magnetisch veld, waarbij ze zelf ook energie
uitzenden (bv. in de vorm van radiogolven). Wanneer deze golven uitgezonden door
protonen gemeten kunnen worden, komt men tot toepassing zoals bijvoorbeeld MRI
(magnetic resonance imaging).
EB
= ZMH + N mn − A
Z M (waarbij EB de bindingsenergie
c2
1
is, MH de massa van een 1 H − atoom en mn de massa van een neutron). Een belangrijke
maat voor de bindingssterkte van een kern is de bindingsenergie per nucleon (EB /A)
• Het massadefect van een kern is
• Kernkrachten houden de kern samen: ze zijn veel sterker dan de elektrische repulsie, maar
zijn ook op een veel kleinere afstand werkzaam (orde fm). Ze is sterker tussen elementen
met tegengestelde spin, en is onafhankelijk van de ladingen van de nucleonen.
• Nucleaire Stabiliteit en Radio-activiteit
– α-verval: emissie van een heliumkern → Een heliumkern bevat 2 protonen, 2
neutronen en heeft een met een totale spin die nul is. Alfa-deeltjes kunnen maar een
zeer korte afstand door materie reizen door hun grote lading en massa. Bij alfa-verval
tunnelt een alfa-deeltje doorheen de wand van de potentiaalput gevormd door
combinatie van de kernkrachten en de elektrische krachten in de kern.
– β-verval: emissie van een elektron(β−) of positron(β+) of invangen van een K-elektron
→ Emissie van een elektron houdt in dat een neutron in de kern opsplitst in een
proton, een elektron en een antineutrino (νe ) waarbij het elektron en het antineutrino
worden uitgestuurd. Dit gebeurt wanneer N/Z te groot is voor stabiliteit. β− deeltjes
worden uitgestuurd met een continu spectrum (aan zeer relativistische snelheden).
Een antineutrino is ongeladen en bezit een spin van 21 . Als N/Z te klein is voor
stabiliteit gebeurt min of meer het omgekeerde: een proton ’splitst op’ in een neutron,
een positron en een elektronenneutrino (analoog aan een antineutrino). De laatste
soort is het invangen van een elektron (meestal uit de K-schil) omdat een andere vorm
van beta-verval energetisch niet mogelijk is. Een proton uit de kern en een elektron
van de elektronenmantel combineren tot een neutron en een elektronenneutrino.
– γ-verval: emissie van een energierijk foton → Een kern heeft net als een elektron een
aantal mogelijke energiewaarden, en kan dus ook geëxciteerd worden. Bij relaxatie
worden er dan gamma-fotons uitgezonden met typische energie tussen 10keV en
enkele M eV .
• Het aantal radio-actieve atomen dat nog niet vervallen is: N = N0 .e−λt . De halfwaardetijd
bedraagt T 12 = lnλ2 . De gemiddelde leeftijd van zo’n atoom: Tmean = λ1
23
• 1Ci = 3.70 × 1010 Bq = 3.70 × 1010 decays/s
• Kernreacties: a + X → Y + b. De reactie-energie Q = (Ma + MX − Mb − MY )c2 .
Naargelang het teken van Q endotherm of exotherm.
24