Samenvatting

Samenvatting
Verschijnselen in de natuur te begrijpen door de samenstellende delen
ervan te bestuderen is een belangrijk wetenschappelijk paradigma. In feite
ligt hieraan dus de idee ten grondslag dat het geheel identiek is aan de som
der delen. Voor veel systemen in het dagelijks leven gaat dit ook op. Denk
hierbij bijvoorbeeld aan de thermodynamische gaswetten, die begrepen
kunnen worden door te veronderstellen dat gassen zijn samengesteld uit
moleculen. Verder kunnen chemische reacties tussen moleculen begrepen
worden door ze te beschouwen als herschikkingen van atomen.
In de twintigste eeuw is deze ontwikkeling verder gegaan met het ontdekken van kleinere substructuren: atomen bestaan weer uit protonen,
neutronen en electronen, en op hun beurt zijn protonen en neutronen
samengesteld uit quarks. Deze laatste deeltjes kunnen alleen bij zeer hoge
energieën en korte lengteschalen waargenomen worden, zodat er enorme
deeltjesversnellers nodig zijn, zoals die van het CERN in Genève. De
hoop is dat kennis van de allerkleinste deeltjes leidt tot onthulling van een
Theorie van Alles, die dan de verklaring voor de hele natuur kan zijn.
In de natuurkunde van de gecondenseerde materie doet zich echter de
omgekeerde situatie voor: het is vaak onmogelijk om het gedrag van een
macroscopisch systeem te begrijpen vanuit het begrip van de individuele
samenstellende delen. Dit uit zich al in het simpele voorbeeld van een
metaal, bijvoorbeeld koper. Van één koperatoom kan men niet zeggen of
het metallisch is of niet. Alleen een hele verzameling koperatomen kan de
beslissing nemen om bijvoorbeeld een geleidend metaal te worden. Dit is
een voorbeeld van hoe het geheel meer kan zijn dan de som der delen.
Hoe tegengesteld deze filosofieën ook mogen lijken, sommige veeldeeltjessystemen zoals die in de gecondenseerde materie bestudeerd worden,
blijken een aantal begrippen uit de hoge-energiefysica te imiteren. Deze
begrippen rusten dan ook vaak op één en het zelfde principe. Het belangrijkste concept dat door beide vakgebieden gedeeld wordt, is dat van
2
Samenvatting
symmetrie en symmetriebreking.
Symmetrieën zijn nauw verbonden met behoudswetten. Zo impliceert
translatiesymmetrie het behoud van impuls, de tweede wet van Newton.
Verder hangt het behoud van impulsmoment samen met rotatiesymmetrie.
Dit zijn allemaal voorbeelden die vanuit de klassieke mechanica begrepen
kunnen worden. Een voorbeeld dat begrepen kan worden vanuit quantumveldentheorie is het ladingsbehoud in de electrodynamica. Dit behoud wordt geı̈mpliceerd door een (globale) rotatiesymmetrie beschreven
door de complexe groep U (1), die de globale fase van de operatoren in de
theorie beschrijft. Symmetrieën kunnen ook lokaal gemaakt worden: als
de actie die het systeem beschrijft invariant is onder het toepassen van
groepselementen die van plaats tot plaats van elkaar kunnen verschillen,
dan spreekt men van een lokale ijktheorie. In het geval van de commutatieve groepen U (1) of Z2 , wordt een dergelijke theorie Abels genoemd.
Een voorbeeld van een begrip uit de gecondenseerde materie dat er
zelfs eerder was dan de hoge-energie pendant, is het Anderson-Higgs mechanisme voor Abelse U (1)-ijktheorieën. In de theorie van supergeleiding
kan met dit mechanisme het Meissner-effect begrepen worden, nl. het
effect dat in supergeleiders stromen gaan lopen die electromagnetische
velden buiten het supergeleidende materiaal houden. Dit komt doordat er
een condensaat is dat massa geeft aan de electromagnetische velden, de
U (1)-ijkvelden, zodat ze een korte dracht krijgen. Precies dit mechanisme
wordt ook verondersteld te verklaren waarom elementaire deeltjes zoals
die in CERN waargenomen zijn massa hebben. In dat laatste geval zijn
de ijktheorieën echter niet-Abels, namelijk U (1) × SU (2) × SU (3).
De verrassing is dat aspecten van niet-Abelse ijktheorieën ook hun
tegenvoeters in de gecondenseerde materie kunnen hebben. Deze idee nu
ligt ten grondslag aan dit proefschrift. De twee aspecten die hierin behandeld worden, zijn parallel transport, en deconfined ijktheorieën. Laten we
hier wat dieper op ingaan.
Parallel transport is met name bekend geworden door de algemene
relativiteitstheorie. Deze zegt dat massa de ruimte kromt, zodat de “kortste” weg (geodeet) niet per se de Euclidische rechte lijn hoeft te zijn.
Deze kromming kan vertaald worden in parallel transport-velden: ze transporteren deeltjes dusdanig dat ze geodeten volgen. In ijktheorieën kunnen
de ijkvelden ook worden opgevat als een parallel-transportstructuur. Zo
kunnen SU (2)-ijkvelden worden gezien als velden die spins roteren. Dit
voorbeeld vormt de ijktheoretische context van Deel I. van dit proefschrift.
Samenvatting
3
Het blijkt dat spin-baan gekoppelde systemen beschreven kunnen worden
als zijnde een theorie met SU (2)-parallel transport. De “ijkvelden” zijn
echter geen ijkvelden met een eigen dynamica, maar worden éénduidig
vastgelegd door de electromagnetische velden die op het systeem worden
toegepast. Spin-baankoppeling is dus een voorbeeld van niet-Abels parallel transport.
Eerder hebben we het onderwerp van de hydrodynamica aangestipt,
dat berust op massabehoud. In hoofdstuk 3 beantwoorden we een vraag
die zich nu opdringt: bestaat er zoiets als niet-Abelse hydrodynamica?
We laten zien dat voor niet-fasecoherente systemen er geen behoudswetten bestaan, laat staan dat men hydrodynamica daarmee kan bedrijven.
In het geval van een fasecoherent spin condensaat treedt er echter een aangename verassing op. De quantummechanica eist dat de ordeparameter
die het condensaat beschrijft éénwaardig is, en deze eis zorgt ervoor dat
op mesoscopische schaal hydrodynamische behoudswetten opduiken. Dit
is een mooi voorbeeld van emergentie in gecondenseerde-materie systemen: collectief gedrag kan tot rijkere verschijnselen aanleiding geven dan
de samenstellende delen alleen.
Het vierde hoofdstuk vormt een uitwerking van het tweede hoofdstuk.
We gebruiken de combinatie van spin-baan koppeling en het bestaan van
een spin supervloeistof om een effect te bewijzen dat analoog is aan quantisatie van magnetische flux door supergeleidende ringen. We tonen aan
dat een cylindrisch symmetrisch electrisch veld aangelegd op een spin-baan
gekoppelde spin-supervloeistof een macroscopisch gequantiseerde ladingsdichtheid moet dragen.
Het vijfde hoofdstuk bespreekt 3 He, dat voorzover bekend het enige
systeem is dat een spin supervloeistof kan vormen en spin-baan gekoppeld
is. Dit is dus een goede kandidaat om het door ons voorspelde effect aan te
tonen. We tonen aan dat dit door de dipolaire koppeling helaas onmogelijk
is. Daar komt nog eens bij dat door het feit dat 3 Heveel zwaarder is dan
een electron, de spin-baan koppeling zo klein is dat men een onpraktisch
grote hoeveelheid 3 He nodig heeft.
In Deel II. bespreken we een systeem dat alle eigenschappen van een
ijktheorie in zich draagt, de gedoteerde Mott isolator. Deze is belangrijk
in de context van hoge-temperatuur supergeleiding, zoals waargenomen
in de cupraten. In de ongedoteerde toestand zijn dit isolerende antiferromagneten met één electron per eenheidscel. Wanneer er electronen verwijderd worden (dotering), kunnen deze materialen echter supergeleidend
4
Samenvatting
worden. Hoewel deze ontdekking al twintig jaar geleden gedaan is, is het
onderliggende mechanisme onbegrepen. Het feit dat het basismateriaal
één electron per eenheidscel heeft, leidt tot een theoretisch idee dat veelbelovend is, zoals uitgelegd in hoofdstuk 6. Deze randvoorwaarde van
enkele bezetting kan vertaald worden naar de introductie van een SU (2)ijkveld, dat volledig dynamisch moet zijn om deze randvoorwaarde exact
op te leggen. Dit ijkveld kan de vrijheidsgraden van spin en lading aan
elkaar “lijmen” om het huis-tuin-en-keuken electron te vormen. In dat
hoofdstuk wordt uitgelegd dat binnen de gemiddelde-veld benadering dit
theoretisch idee van deze spin vloeistof werkelijkheid kan worden, analoog
aan het bestaan van het quark-gluon plasma in deeltjesversnellers. Het
begrip “projectieve symmetrie” speelt hierin een belangrijke rol.
In het zevende hoofdstuk beschouwen we de gedoteerde Mott isolator
in de lege limiet, d.i., nul electronen per eenheidscel, om te laten zien dat
in eerdere formuleringen van de SU (2)-ijktheorie het harde-kern karakter
van de electronen onterecht niet is meegenomen. Wij tonen aan dat als dit
wel gedaan wordt, zelfs de lege limiet binnen de SU (2)-ijktheorie correct
beschreven kan worden.
Hoofdstuk 8 vormt de culminatie van dit proefschrift, waarin twee
hoofdresultaten worden aangetoond. In de eerste plaats leidt het hardekern gedrag van de ladingen tot fasescheiding, die ook kwantitatief overeenstemt met experimentele en eerdere numerieke resultaten. Het tweede resultaat is nieuw: als men de randvoorwaardestructuur en de harde-kern
conditie correct behandelt, dan blijkt de supergeleidende ordeparameter een d + s-golf symmetrie te dragen. Deze symmetrie is in overeenstemming met Raman-verstrooiingsexperimenten en met c-as tunneling.
Voorts groeit de s-golf component lineair met doping. Voorzover bekend
is de SU (2)-ijktheorie de enige theorie die deze voorspelling doet.
Deze resultaten plaveien de weg voor een overkoepelende verklaring
van experimentele resultaten die elkaar lijken uit te sluiten. Aan de ene
kant blijken er in de supergeleidende fase nodale fermionen te bestaan,
ook in het ondergedoteerde regime. Aan de andere kant blijken ladingsinhomogeniteiten (stripes) ook onvermijdelijk. Van deze stripes wordt tot
nu toe echter gedacht dat ze het bestaan van nodale fermionen verbieden,
hoewel dit niet in experimenten bevestigd wordt. Dit is een groot raadsel
voor theoretici in het vakgebied. In het concluderende hoofdstuk stellen
we een mogelijke oplossing voor. Het principe van projectieve symmetrie
leidt tot het idee van de isospinspiraal. Dit is een gemiddelde-veld toes-
Samenvatting
5
tand die de landingsinhomogene supergeleider kan verenigen met nodale
fermionen.
Deze resultaten en ideeën onderbouwen het nut van het beschouwen
van niet-Abelse ijktheorieën in gecondenseerde-materie systemen, en kunnen instructief zijn voor de hoge-energie fysica.