Fibonacci en de grote piramide

Fibonacci en de grote piramide.
Als bekend wordt verondersteld dat er een aantal universele grootheden in de piramide van
Cheops op een geniale manier tot uiting gebracht in zijn constructie.
Ondermeer zijn het getal Pi (π = 3,14) en het getal Phi (φ = 1,618) in deze grote stapel stenen
terug te vinden.
Allerlei verklaringen en tegenspraken over de grote piramide m.b.t. het heelal, zijn ouderdom,
de precessiecyclus, eerdere beschavingen etc. zijn fascinerend om te lezen maar wat de
verklaring ook is, wat deze getallen ook mogen betekenen en waarop zij duiden laat ik graag
over aan egyptologen, archeologen, kosmologen, geologen en andere disciplines die hierover
kennis van zaken hebben.
Ik moet eerlijk bekennen dat het mysterie van de grote piramide ook mij in zijn greep houdt,
zij het om heel andere redenen.
Deze rekenkundige reeks wordt tot uiting gebracht in de, voor de meeste mensen, bekende
Fibonacci-reeks; 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89, 144, etc.  Fn=(F(n-1) + F(n-2).
De verhouding F(n-1) : F(n-2) geeft het getal 1,618
Hoe groter de waarden in de reeks worden hoe dichter dit getal wordt benadert.
1 5
 1,618
Het getal φ kan berekend worden met:
2
Als men er oog voor heeft dan ziet men deze verhouding overal opduiken, in de architectuur,
muziek, schilderkunst, fotokunst en in de natuur.
Het Fibonacci-getal staat vooral bekend om zijn schoonheid uitgedrukt in de verhoudingen
van de onderlinge structuren. In dit kader is hij dan vooral bekend als de “Gulden snede”.
Als bouwkundig ingenieur wil ik mij beperken tot de meetkunde van de piramide.
Als constructeur ben ik gefascineerd door de mystiek van het verhoudingsgetal van Fibonacci.
Persoonlijk ben ik ervan overtuigt dat er in het verleden veel kennis aanwezig moet zijn
geweest waar wij in onze moderne tijd geen weet meer over hebben, bijvoorbeeld hoe zijn de
piramiden gebouwd? waarom zijn ze zoals ze zijn ? waar komt deze kennis vandaan? enz.
Heel af en toe, voor wie het wilt zien, wordt een klein tipje van de sluier opgelicht, maar toch
net niet genoeg om je vinger er geheel achter te kunnen krijgen.
Ik vermoed dat het getal van Fibonacci meer is als een meetkundige reeks, het feit dat deze
verhouding frequent voor komt bij gebouwen uit de oudheid geeft te denken dat het hier om
meer gaat dan alleen de schoonheid van de onderlinge verhoudingen. Zou het niet zo kunnen
zijn dat dit getal meer is dan een curiositeit van verhoudingen ? Temeer, en biologen zullen
dit beamen, dat deze reeks veelvuldig in de natuur wordt aangetroffen zoals bomen, planten,
schelpdieren en zelfs bij mensen. Waarom? wat is hiervan de diepere betekenis ? Ik vermoed
dat de natuur niet voor niets voor deze verhoudingen heeft gekozen. Naar aller
waarschijnlijkheid heeft dit een functioneler en efficiënter doel dan alleen de schoonheid die
daar, als gevolg hiervan, als vanzelfsprekend mee tot uiting wordt gebracht.
Zou dit de kennis kunnen zijn waar wij geen weet meer van hebben ? maar wat de ouden wel
wisten.
Auteur: M.J.Roos
24-7-2017
blad 1 van 33
Fibonacci en de grote piramide.
Zou het mogelijk zijn, om met vereende krachten, deze verloren kennis te ontrukken aan zijn
vergetelheid?
Wisten de oude bouwmeesters iets over universele waarheden waarmee zij de verhoudingen
tot de sterkte, de stijfheid en de stabiliteit van een bouwwerk konden berekenen? Het moge
duidelijk zijn dat het antwoord hierop ja moet luiden. Immers, voor zover wij weten,
beschikten zij niet over de hulpmiddelen waarover wij heden ten dage kunnen beschikken.
Toch bouwden zij de piramiden, het pantheon, het coloseum, de kolossus van Rhodos, de
vuurtoren van Alexandrie om maar eens een paar voorbeelden te noemen, en dan zwijgen we
nog over onlangs bij opgravingen gedane ontdekkingen op Kreta van steden uit de oudheid
waar al hoogbouw compleet met fundaties, waterwerken, sanitaire installaties,
vloerverwarming etc. heel gewoon waren. Ergo zij konden zich meten met onze huidige
moderne steden.
Het gaat mij te ver om te roepen dat wellicht door ‘Try and Error’ om maar eens een moderne
managementkreet te gebruiken, zij tot het gewenste resultaat zijn gekomen.
We mogen niet vergeten dat de basis van onze moderne wetenschap is voortgekomen uit de
oudheid. Zoals wij weten wist Pythagoras 4000 jaar geleden al de verhouding van de zijden
van een rechthoekig driehoek ( a 2  b 2  c 2 ). Phytagoras is met de eer gaan schuiven, wat de
meeste mensen echter niet weten is dat hij deze ‘Formule’ heeft meegenomen vanuit het oude
Egypte alwaar hij enige jaren heeft gewoond. En wat was er ook weer met Egypte aan de
hand? Deed dit land niet iets met gelijkbenige driehoeken?
Nu is het bekend dat de verhouding tussen de schuine zijde en de halve basis van de piramide
gelijk is aan het getal van fibonacci.
Auteur: M.J.Roos
24-7-2017
blad 2 van 33
Fibonacci en de grote piramide.
Afmeting (meters)doorsnede piramide van Cheops
Met phytagoras;
C
2
1 
2
2
 c  h  b
2 
2
b
a
1 2 1

c   c * tan    b 2
4
2

1 2
c 1  tan 2   b 2
4
1
b  c 1  tan 2 
2

a
h
α
A
b
B
c

c 1  tan 2 
2
1  tan 53.38
 1.618 = φ
2
2
Hoek α = 51,83° 
b
c * 230.3 *1.618

 186.31  Zijde AC = 186.31
2
2
De verhouding tussen de schuine zijde en de halve basis blijkt dus gelijk te zijn aan φ, of te
wel deze verhouding is gelijk aan het Fibonacci_getal.
Toen ik destijds hier kennis van nam kon ik mij niet ontrekken aan het idee of er wellicht
meer verhoudingen van φ in deze piramide-doorsnede zouden kunnen voorkomen.
Want indien de gehele piramide gebaseerd zou zijn op fibonacci zou mijn vermoeden over de
verhoudingen tussen de sterkte, stijfheid en de stabiliteit van de constructie van de piramide
van Cheops misschien bewaarheid kunnen worden.
Helaas kon ik hierover niets terug vinden in de literatuur (voor zover mij bekend) als op het
internet.
Louter gedreven door nieuwsgierigheid en mijn fascinatie hierover ben ik begonnen om de
piramide dan maar zelf meetkundig te analyseren met als uitgangspunt alleen het getal φ.
Alvorens ik hier verder op in ga lijkt het mij handig om eerst nog even de “Gulden snede” in
het kort voor u uiteen te zetten.
Auteur: M.J.Roos
24-7-2017
blad 3 van 33
Fibonacci en de grote piramide.
De gulden snede
Teken een vierkant waarvan de lengte van iedere zijde 1 bedraagt.
Deel dit vierkant door het midden met de lijn EF.
Neem vanuit punt E de straal met lengte ED en teken een circel.
Verleng lijnstuk AB tot het snijpunt G
1.
2.
D
F
C
D
F
C
A
E
B
A
E
B
We beschouwen nu alleen het lijnstuk AG
3.
A
B
G
Het geen nu is geconstrueerd heet de “Gulden snede”.
De verhouding AG : AB is gelijk aan 1.618 : 1.000 = 1.618
De verhouding AB : BG is gelijk aan 1.000 : 0.618 = 1.618
Dus:
AG : AB = AB : BG = 1.618
Of:
AG * BG = AB * AB
Auteur: M.J.Roos
24-7-2017
blad 4 van 33
G
Fibonacci en de grote piramide.
De Gulden rechthoek
We kijken opnieuw naar afbeelding 2, we laten nu een loodlijn neer op het punt in G.
Vervolgens trekken we het lijnstuk GH. De verkregen figuur noemen we een “Gulden
rechthoek”.
4.
D
C
H
A
B
G
AGHD : ABCD = ABCD : BGHC = 1.618
AGHD * BGHC = ABCD * ABCD
Na deze voorbeschouwing kunnen we nu verder gaan met het meetkundig construeren van de
piramide met alleen het getal φ als een vast gegeven.
Als eerste tekenen we een circel met als diameter het getal φ (Figuur 01).
Vervolgens tekenen we een circel vanuit punt A met een straal van 1 (Figuur 02)
Figuur 01
Figuur 02
D
A
Auteur: M.J.Roos
B
A
24-7-2017
C
B
blad 5 van 33
Fibonacci en de grote piramide.
Figuur 03
F
J
I
D
G
A
E
H
C
B
In Figuur 03 verbinden we de punten A, B en C met elkaar, er ontstaat nu een ongelijkbenige
driehoek. Vanuit punt tekenen we opnieuw een circel met diameter AD, deze snijd lijn AF in
F. We construeren nu de rechthoek ABIF door deze punten met elkaar te verbinden.
Teken nu van uit snijpunt D de loodlijn DE en verlengd deze naar J.
De rechthoek die nu is ontstaan is de “Gulden rechthoek”.
Figuur 04
ABIF : EBIJ = EBIJ : AEJF = 1.618 = φ
1
Oppervlakte (ABIF) = φ * 1
=φ
Oppervlakte (EBIJ) = 1 * 1
=1
Oppervlakte (AEJF) = (φ-1) * 1 = φ -1
(  1)  1
(f -1)
1
f
Auteur: M.J.Roos
24-7-2017
blad 6 van 33
Fibonacci en de grote piramide.
ABIF : EBIJ = EBIJ : AEJF = 1.618 = φ
d
Oppervlakte (ABIF) = d * d/φ
= d2/φ
Oppervlakte (EBIJ) = d/φ * d/φ
= (d/φ)2
Oppervlakte (AEJF) = d/φ(φ-1) * d/φ = (d/φ)2(φ-1)

1
  1)
(f (-1)
d
d
1
df
We beschouwen nu de rechthoekige driehoek ABD.
Nu blijkt uit de verhoudingen van de oppervlakten dat het hier een volmaakte “Gulden
driehoek” betreft.
ABD : EBD = EBD : AED = 1.618
We kijken nu naar de rechthoekige driehoek AED in figuur 05.
De zijde AD is hier gelijk aan de basis EB.
De verhouding tussen de schuine zijde AD en de basis AE is gelijk aan de tangens van
hoek α en daarmee gelijk aan het getal φ = 1.618, deze zelfde verhouding zien we ook weer
terug in het lijnstuk AB, dit lijnstuk is op zijn beurt de “Gulden snede”.
De verhouding tussen de twee schuine zijden BD : AD = φ = 1.618
De zijde BD = √φ = √1.618
Passen wij de stelling van phytagoras toe op driehoek ABD, dan:
AB  ( AD) 2  ( BD ) 2  (1) 2  ( ) 2  1      1.618
ED  ( BD ) 2  ( EB) 2 
ED  ( AE)  ( 1)
Auteur: M.J.Roos
( ) 2  (1) 2    1
 tan(β)
24-7-2017
blad 7 van 33
Fibonacci en de grote piramide.
Gelijkvormige Gulden Driehoeken
Figuur 05
D
√φ
β
√(φ -1)
= 1/√φ
α
aα
A
β
E
B
(φ -1) =1/φ
a 2  b2  d 2
   1
2
2
  1  2
d 
tan  
(  1) (  1)1/ 2
1

 (  1)1/ 2 * (  1) 1  (  1) 1/ 2 
 
 1
(  1)
 1
(  1)
1
 (  1) 
1

1
1
of tan  
of tan  * tan   1 of
tan  
tan 
tan 
tan  
AEBD 
AAED
*
1

1
(  1)
1
1
1
1
* (  1) *1 

1 *
 1 tan  
2 
2
2
2
2 tan(  )
2 
1
1
1
(  1) 3 1
1
1
1
1
1
2
2
 * (  1) * (  1)  * (  1) * (  1)  * (  1) 

*
 1 tan 3 
2
2
3
2
2
2
2

AABD 
1
2 

 1
1 
(  1) 1
1


1
/
2
*


0
,
5

*
1
*



3 
3
 
2
2
2 3




1
A ABD  1 tan( )
2
Auteur: M.J.Roos
24-7-2017
blad 8 van 33
Fibonacci en de grote piramide.
D
d


d
d


(  1)

d

d
 
aα
A
β
E
d
B
d
2

d
d
tan  
(  1)

d


(  1)
tan  * tan   1
d
tan  

1
(  1)
tan  
1
1
of tan  
of
tan 
tan 
 sin(90)
(  1)
 (  1)
d

2
AEBD
d 
  
 
(  1) 1  d 
1
d2
   *
1
2 
2 5
2

2
AAED
d 
  
 
(  1) 3 1  d 
1
d2
   *
1
2 
2 7
2
3
AABD  1
d2
2 5
2
2
1
Auteur: M.J.Roos
 1
1 
 1 d 2

2 7
2  5
 7 

d2
24-7-2017
blad 9 van 33
Fibonacci en de grote piramide.
Omschreven Rechthoek
v(f -1)
-1)
√(φ
-1
(fφ-1)
1
fφ
AEBHD  1 * (  1)  (  1) 
1
 tan(β)

AAEDG  (  1) * (  1)  (  1) 3
 tan3(β)
1
AABHG   * (  1)   (  1)   *

 
 φ*tan(β)


tan( )
Gelijkvormige omschreven rechthoek
d
v(f(-1)
 1)

d
 1)
 (-1)
(f
d
1
df
Auteur: M.J.Roos
24-7-2017
blad 10 van 33
Fibonacci en de grote piramide.
A EBHD  d * d

d 
(  1)   

 
AAEDG  d (  1) * d

AABHG  d * d

2
2
(  1)
d 
(  1)   

 
(  1)  d
2

d 
   tan(  )
 
2
2
(  1)
3
d 
   tan 3 (  )
 
2
 d
(  1)

tan(  ) 
d2
 tan( )
Constructie piramide met de egyptian triangle.
Auteur: M.J.Roos
24-7-2017
blad 11 van 33
Fibonacci en de grote piramide.
Constructie piramideniveau’s met de gulden driehoek.
Rekenkundige reeks m.b.t. de hoogte van de lagen
Berekening hoogte
Halve basis = d = ½ * 230,3 = 115,15m
d
De hoogte van de omschreven driehoek :
h1 
d
(  1)  a 

Totale hoogte piramide
n
htotaal   a * k 1  a
k 1
a
115,15


(  1)
(  1)  55,95m
h2  a *  1  34,58m
(1    n )
(1  1,61820 )

55
,
95
 146,47m
(1   1 )
(1  1,6181 )
h3  a *   2  21,37 m
h4  a *  3  13,21m
h5  a *   4  08,16m
h6  a *  5  05,05m
h7  a *  6  03,12m
h8  a *  7  01,93m
h9  a *  8  01,19m
h10  a *  9  0,74m
h20  a *  19  0,006m
Auteur: M.J.Roos
24-7-2017
blad 12 van 33
Fibonacci en de grote piramide.
Indien we de boven geconstrueerde piramide vergroten met schaal 1:71,17 dan
verkrijgen we de “Piramide van Cheops”
Auteur: M.J.Roos
24-7-2017
blad 13 van 33
Fibonacci en de grote piramide.
We brengen nu een onderverdeling in de lagen.
h1 
d

(  1)  a
a
43.99

(  1)  21.37m
h2  a *  1  13,21m
h3  a *  2  08.16m
n
htotaal   a *  k 1  a
k 1
Auteur: M.J.Roos
(1    n )
(1  1,618 3 )

21
.
37
 42,75m
(1   1 )
(1  1,618 1 )
24-7-2017
blad 14 van 33
Fibonacci en de grote piramide.
We geven in de tekening nu de positie van de koninginnekamer, de grote galerij en de
koningskamer en de rotsformatie aan.
Het blijkt dat locaties van de lagen waarop
de kamers, de grote galerij en de passages zijn gelegen overeen komen met de hoogte van de
fibonacci-verhoudingen die in mijn voorgaande bewerking meetkundig zijn aangegeven.
Auteur: M.J.Roos
24-7-2017
blad 15 van 33
Fibonacci en de grote piramide.
De vloer van de kings chamber, de antechamber en the queenskamer liggen respectievelijk op
laag 3 en laag 1, de galerij ligt ook precies tussen deze twee lagen in.
Frappant is dat de diepte vanaf rotslaag onder de piramide, waar ook de ondergrondse kamer
is gesitueerd, exact in een zelfde verhouding ligt tot de rest van de piramide.
Note: De maatvoering van de in de piramide gelegen kamers en passages zijn ontleend aan
professors W.M. Flinders Petrie’s boek uit 1883 “The piramids and temples of gizeh” . Een
moderne versie is te verkrijgen via http://www.ronaldbirdsall.com/gizeh
De ingeschreven circel boven het maaiveld
De middendeellijnen snijden elkaar precies in het midden van tableau 01.
De middendeellijnen staan onder een hoek van √φ/2 = 25.92° en zijn daarmee evenwijdig aan
de grote galerij en de ascending – en entrance passage. In werkelijkheid wijkt de hoek ca. 1°
af van de door W.M Petrie gemeten waarde.
De diameter van de ingeschreven circel bedraagt 111,86 meter. De ingeschreven circel wordt
door plateau 01 in twee gelijken helften doorsneden. De circel heeft zijn minimum op de basis
en zijn maximum op plateau 03
Auteur: M.J.Roos
24-7-2017
blad 16 van 33
Fibonacci en de grote piramide.
De ingeschreven circel onder het maaiveld.
Het snijpunt van de middendeellijnen ligt exact op het midden van de basis van de piramide.
De basis snijdt de ingeschreven circel precies middendoor. De circel heeft zijn maximum op
plateau 02.
De verhouding van de inschreven circel onder het maaiveld in vergelijking met de
ingeschreven circel boven het maaiveld is gelijk aan φ
180.98
 1.618  
111.86
De hoek tussen de middeldeellijnen is weer gelijk aan
√φ = 51.83°
Auteur: M.J.Roos
24-7-2017
blad 17 van 33
Fibonacci en de grote piramide.
De omschreven circel met middelpunt boven het maaiveld
Het middelpunt van de circel, dus het snijpunt van de middelloodlijnen, ligt op de nok van de
queens-chamber.
Het minimum van de circel is bepaald op de onderste driehoekzijde (de basis van de grote
driehoek onder het maaiveld) die reeds bepaald was met de eerder door mij gemaakte
meetkundige afleidingen.
De onderste luchtschachten (die vanuit de queens-chamber) liggen evenwijdig aan de
middelloodlijnen, trekken we deze luchtschachten door tot aan het maaiveld dan vinden we
weer 2 ‘gulden driehoeken’ waarmee de plaats, de hoogte en de hoek van de onderste
luchtschachten bepaald zijn. Daar mee is ook direct de breedte van de queens-chamber
vastgelegd. De luchtschachten snijden namelijk de hoekpunten van de queens-chamber.
Auteur: M.J.Roos
24-7-2017
blad 18 van 33
Fibonacci en de grote piramide.
Constructieafmetingen queens-chamber
De vloer op laag 1 met:
43.99
d
h1 
(  1)  a a 
(  1)  21.37m


De hoogte van de nok met:
de omschreven circel met straal (R) = 237/2 = 118,5 m minus de hoogte van laag 1 en minus
het gedeelte onder het maaiveld:
118,5 – 90,53 – 21,37 = 6,6 m
Auteur: M.J.Roos
24-7-2017
blad 19 van 33
Fibonacci en de grote piramide.
De breedte met:
tan( 38.17) * ( x  25.09)  21.37  x = 2.1
De breedte = 2 * 2.1 = 4.2 meter
In werkelijkheid wijken de werkelijke maten van de berekening af;
Hoogte
Vloer
Wanden
Auteur: M.J.Roos
24-7-2017
blad 20 van 33
Fibonacci en de grote piramide.
De verhouding van de cirkel.
Archimedes heeft ca. 2000 jaar na de veronderstelde bouw van de piramide het getal π (3.14)
ontdekt als de verhouding van de cirkel.
Dit wetende rijst de vraag hoe wisten de piramidebouwers dan de oppervlakte en omtrek van
een cirkel te berekenen ?
Zou het mogelijk zijn om deze ratio ook te kunnen berekenen met het fibonacci-getal ?
1 v
1
Auteur: M.J.Roos
1 v
1
24-7-2017
blad 21 van 33
Fibonacci en de grote piramide.
Eenheidscirkel (met r = 1)
1

2
Kwart Oppervlakte

4


= 1
2


4
 9.58 *10 4  foutmarge
= 2r  2 1  2 
Kwart booglengte
=
< kleiner dan 1 ‰
8

1
1
2
* 2   
4
2

90
1
2
=
* 2   
360
2

= 2*


Omtrek
Oppervlakte
1
0
foutmarge = 1 
Een radiaal

1 
 r.dx  1 2 * 1* 2    4  0,785 
4
* r * dr 

4

 foutmarge
< kleiner dan 1 ‰
 foutmarge
< kleiner dan 1 ‰
4
r2 


Dus voor cirkels met een straal  1 :
8
*r
Omtrek:

8
8
8 1 2
4
2
Oppervlakte
  r.dx    r.dr   * 2 r   * r
De omtrek is de afgeleide van de oppervlakte
De oppervlakte van een willekeurige cirkel is gelijk aan die van een rechthoekige driehoek
waarvan één van de rechthoekszijden gelijk is aan de straal, en de ander gelijk aan de omtrek
van de cirkel.
Cirkel van Cheops (met r = 1

)
= 2r  2
Omtrek
2
foutmarge = 1 
Kwart booglengte
Auteur: M.J.Roos
=
8

1

 2*
4

*
 9.58 *10 4
1


8

 foutmarge
< kleiner dan 1 ‰

1
1
1
1
2
1
2
* 2 *
 *

*

4
 2


 
24-7-2017
blad 22 van 33
Fibonacci en de grote piramide.
2
= 1
Kwart Oppervlakte



1 *  1 * 2   1  0.486
r
.
dx

2
2
0
    
2


 *  1 


=
 0.485
4
Kwart Oppervlakte




Foutmarge = 1  


  * 



8
1
Oppervlakte =
2
1
 
1 
 

2
4
1 8 




4
  9.58 *10




1
4r
 r.dr  2 r     .4r  
0

 foutmarge
4
 

< kleiner dan 1 ‰


Oppervlakte ≈ 4r 3
≈ 8r 2 = 8
Omtrek

Bij benadering mogen we  gelijkstellen aan 4
( 
4


.
).
Let op:
π is transcendent.
Voor zowel de eenheidscirkel als de cirkel van Cheops geldt bij benadering dat:
01. De cirkeloppervlakte gelijk is aan de oppervlakte van de grote rechthoek.
02. De basis van de ingetekende piramide gelijk is aan een kwart van de
cirkelomtrek.
4
03.  

Auteur: M.J.Roos
24-7-2017
blad 23 van 33
Fibonacci en de grote piramide.
Bovenstaande beweringen gaan op voor alle cirkels waarvan de diagonaal van de rechthoek
r
gelijk is aan
oftewel r  .
sin( 51.8)
Voor de Cirkel van Cheops geldt bovendien dat 4 * straal (4r) bij benadering gelijk is aan het
transcendente getal π.
Kwadratuur van de cirkel
Voor de oplossing van het vraagstuk van de kwadratuur van de cirkel met passer en liniaal is
de constructie van een lijnstuk met lengte
en daarmee van π (pi) nodig. Al eerder was
bewezen dat een constructie met passer en liniaal altijd 'vertaald' kan worden in het oplossen
van een kwadratische vergelijking met hele coëfficiënten, en andersom is elke kwadratische
vergelijking met gehele coëfficiënten om te zetten in een constructie met passer en liniaal.
Maar in 1882 bewees Carl Louis Ferdinand von Lindemann dat π een transcendent oftewel
een niet-algebraïsch getal is. Omdat π kan optreden als oplossing van een algebraïsche
vergelijking in het algemeen, laat staan van een kwadratische vergelijking, is de constructie
van het gevraagde lijnstuk onmogelijk en daarmee ook de kwadratuur van de cirkel.
Als er een rationaal getal wordt gebruikt als benadering voor π, wordt het construeren van een
vierkant met bij benadering dezelfde oppervlakte als van de gegeven cirkel wel mogelijk,
afhankelijk van de gekozen waarde. Dit is echter slechts een benadering die niet voldoet aan
de eisen van het oorspronkelijke vraagstuk. Verscheidene wiskundigen hebben werkbare
procedures laten zien, gebaseerd op verschillende benaderingen.
De egyptenaren wisten al dat de oppervlakte van een cirkel gelijk is aan die van een
rechthoekige driehoek met een zijde gelijk aan de omtrek van de cirkel en een zijde gelijk aan
de straal van de cirkel. Een cirkel met een straal van 1 heeft een omtrek van 2π. Een zijde
van een rechthoek met de zelfde oppervlakte als die van de cirkel zou dan een lengte hebben
van √π. Voor de oplossing hiervan kozen de egyptenaren voor een benadering. Hier voor
gebruikte zij, om een zijde te berekenen, het rationele getal 8 vermenigvuldigd met de
9
middellijn van de cirkel. Een zijde heeft dan de lengte van 1,77. Het kwadraat hiervan is
gelijk aan de oppervlakte van de rechthoek en aan die van de cirkel, ca. 3,14.
Oppervlakte rechthoek is gelijk aan de oppervlakte van de cirkel is weer gelijk aan  en die is
4
weer bij benadering gelijk aan
.

De zijde van de rechthoek is dan gelijk aan
2 *

1
4
 2*e
1
 * LN ( )
4
 2 * 0.8867  1.77 (  
4

 2 *

1
4
.
144
)
89
Het exponentiele getal komt dus overeen met de breuk 8
9
(foutmarge 3‰).
Berekening oppervlakte cirkel in het oude egypte
Auteur: M.J.Roos
24-7-2017
blad 24 van 33
Fibonacci en de grote piramide.
BRON

Rhind Mathematical Papyrus. Britse Museum, Londen.
Voorbeeld uit het artikel met diamer = 9
2
2
8

8 
 * d    * 9   64
9

9 
Wij rekenen de oppervlakte van een cirkel met:
 * r 2 of met

4
* d 2 , met d = 9 dan:

4
* 9 2  63,617
Gebruiken we laatste formule met de verhouding  
4

(met φ = 1,618), dan:
4
2

*d 
*d  

4



1

2
1
 0,88665 

* 9   63,678



1
2
8
 0,8888 (komt het je bekend voor ?)
9
Frappant, niet ?
8
2 * *1  2 *
9
Overigens geeft
1

*1  1,77
met r=1
Is een zijde van de vierhoek (kwadratuur)
In een ander artikel http://www.xs4all.nl/~skyline/pdf/de_geschiedenis_van_pi.pdf staan ook
nog een aantal andere benaderingen van het getal π.
2
4
256  16 
44  1 
    4  1   3,16
Een daarvan:
81  9 
3
 3
Leuk om, als afleiding, even mee te stoeien en kijken of ik wat herkenningspunten zie:
De breuk is te schrijven als een som van een macht met een veelvoud van 2 met grondtal 2,
namelijk:
1
1
1
1
1
1
1
1
256








 3,16
4
8
1
1
1
64
16
1
81
81
2 2 2
4
16
256
256
256
256
256
Als Riemannsom:
2
Auteur: M.J.Roos
24-7-2017
blad 25 van 33
Fibonacci en de grote piramide.
m2
2
k 0
1
 2  k (1 k )
 3,16
Wat ik er mee kan ? Niets, gewoon liefde voor getallen, een ander puzzelt graag.
Niet zo nauwkeurig als mijn verhouding met
4

, die ik overigens nog nergens ben
tegengekomen.
Berekening oppervlakte cirkel in het oude egypte
Constructie kwadratuur met passer en lineaal (Benadering kwadratuur met 4 ∕ √ φ )
Auteur: M.J.Roos
24-7-2017
blad 26 van 33
Fibonacci en de grote piramide.
Neem een willekeurig middelpunt.
Teken de blauwe cirkel met een straal van 1 ∕ √ φ (= 0,786). (is natuurlijk ook te construeren).
Teken de zwarte cirkel met een straal van 1.
Teken de twee diagonalen (hoek = 45 graden)
Neem een centerpunt op het snijpunt van de blauwe cirkel en de x-as.
Neem de rode koorde in de passer, zoals aangegeven, en trek de rode cirkelboog totdat deze de
zwarte cirkel snijdt.
Op het snijpunt van de rode – en de zwarte cirkelboog wordt er een verticale snijlijn (paars) getrokken.
Neem nu een centerpunt op het snijpunt van de diagonaal, in het eerste kwadrant, met de zwarte
cirkel.
Neem hieruit de straal tot in het snijpunt van de van de paarse verticale lijn en de x-as.
Trek de groene cirkelboog.
Het snijpunt van de groene cirkelboog met de zwarte cirkel geeft nu de locatie van de bovenste
horizontale zijde van de vierhoek.
Herhaal dit voor de overige zijden. (zie onder).
Oppervlakte cirkel met straal 1:
Oppervlakte vierkant
4


: 2


*12 
4

2
1 
4




Dus irrationeel en algebraïsch en te construeren met een passer en een cirkel.
Als het dus waar is wat ik denk, dan is dit een Heilige Geometrie.
Auteur: M.J.Roos
24-7-2017
blad 27 van 33
Fibonacci en de grote piramide.
Algebraïsch bewijs van de kwadratuur.
Cirkel C2
Cirkel C1
C
G
E
B
A
AO  BO  a 
1

D
O
F
 AB  a 2
OD = p, volgt uit de stelling van Pythagoras voor driehoek ACD en CDO:
a 2 2  (a  p) 2  12  p 2
2a 2  a 2  2ap  p 2  1  p 2
a 2  2ap  1
p
1  a 2 1 
1 


2a
2 
 
Cirkel C1 heeft middelpunt O en straal 1 en Cirkel C2 heeft middelpunt E en straal DE, voor C1 en C2
geldt:
Auteur: M.J.Roos
24-7-2017
blad 28 van 33
Fibonacci en de grote piramide.
C1 :
x2  y2 1
C2 :



 1 
1 
1 
1 
 x 
   y 
   p 
  

2
2
2



 2
2
2
2
2
Snijpunt van C1 en C2:
x 2  2x 
1
1
 y2  2y 
2
2
x 2  y 2  2x  2



1
 1 x 2
 2(1  x 2 )

p2  2 p

y
p 2  2 p 1

2 1 x 2

p 2  2  p  x 1

p 2  12  2 2 p 2 1 p  x  2 p  x2



 2x 2  2 


p 4  2 p 2  1  2 2 p 2  1 p  2 2 p 2  1 x  2 p 2  4 px  2 x 2




4 x 2  1  p 4  2 p 2  2 2 p 2  1 p  2 2 p 2  1 x  2 p 2  4 px  0



1  p 4  2 2 p 2 1p  0



p 2  1 p 2  1 2



p 2  1 p 2  2
4x 2

2 2 p 2  2 p 1 x
4x 2

2 2 p 2  2 p 1 x
4x 2

2 2 p 2  2 p 1 x
 0
2p

2 p 1  0
Ax 2  Bx  C  0
met:
A4


B  2 2 p2  2 p 1


C  p2 1
Auteur: M.J.Roos
p2  2 2 p 1

24-7-2017
blad 29 van 33
Fibonacci en de grote piramide.
MAPLE_UITVOER
ϕ en de eerste benadering van π, de waarde π_1:
> phi:=(sqrt(5)+1)/2; evalf(phi);
> pi_1:=4/sqrt(phi); evalf(pi_1);
Tweede benadering van π, π_2 met de constructie van Marc Roos:
> p:=(sqrt(phi)-1/sqrt(phi))/2; evalf(p);
> Kwadraat_DE:=(p+1/sqrt(2))^2+1/2;evalf(Kwadraat_DE);
X-coördinaten van de snijpunt van de cirkel C1 en C2.
> solve( ( x - 1/sqrt(2) )^2 + ( -sqrt(1-x^2)-1/sqrt(2) )^2 = Kwadraat_DE,x); evalf(%);
> pi_2:=(2*%)^2;
Of met de ABC-formule x bepalen A*x^2 + B*x + C =0, waarin:
> A:=4 ; B:= 2*sqrt(2)*( p^2 + sqrt(2)*p -1 ) ; C:= (p^2-1)*( p^2 +2*sqrt(2)*p +1 ); (-B+sqrt(B^24*A*C))/(2*A);evalf(%);
Auteur: M.J.Roos
24-7-2017
blad 30 van 33
Fibonacci en de grote piramide.
Auteur: M.J.Roos
24-7-2017
blad 31 van 33
Fibonacci en de grote piramide.
Auteur: M.J.Roos
24-7-2017
blad 32 van 33
Fibonacci en de grote piramide.
10n*log( )   n
Auteur: M.J.Roos
24-7-2017
blad 33 van 33