Oefening 3

1ste Kandidatuur ARTS of TANDARTS
Academiejaar 2002-2003
BIOFYSICA: WERKZITTING 4 (Oplossingen)
DYNAMICA VAN SYSTEMEN
Oefening 3
= dL . Als M
loodrecht staat op L,
wat kunnen we dan zeggen
Gegeven M
dt
over de vector L ?
loodrecht staat op L,
dan is de grootte L van L
een constante in de tijd.
Als M
Dit kan je inzien door te vertrekken van de tweede wet van Newton, herschreven in
termen van de momenten:
dL
=M
dt
Vermenigvuldig beide leden scalair met de vector L:
dL
=M
·L
·L
dt
loodrecht staat op L,
is het scalair product M
·L
= 0:
Aangezien M
dL
=0
·L
dt
onder de afgeleide (zie opmerking):
Breng nu de vector L
·L
1d L
=0
2
dt
⇔
dL2
=0
dt
Hieruit volgt dus dat L2 , de grootte van het impulsmoment in het kwadraat, een
constante is in de tijd. Maar als de grootte in het kwadraat constant is, dan is de
grootte L dat natuurlijk ook.
zomaar onder een afgeleide mag brengen is niet
Opmerking: Dat je de vector L
vanzelfsprekend. Je kan het echter bewijzen door component per component alles uit
te rekenen. Gebruik eerst de definitie van het scalair product, namelijk dat:
a · b = ax bx + ay by + az bz
1
Dit concreet toepassen op
dL
dt
levert:
·L
dL
=
·L
dt
=
=
=
dLy
dLx
dLz
Lx +
Ly +
Lz
dt
dt
dt
2
1 dLx dL2y
dL2z
+
+
2 dt
dt
dt
2
2
2
1 d(Lx + Ly + Lz )
2
dt
1 dL2
2 dt
Bij de tweede stap gebruik je dat:
1 df
d(f 2 )
=
dt
2 dt
Oefening 5
Een raket met cargo met totale massa M vliegt door de ruimte met een
snelheid van 2100 km/h t.o.v. de zon. Op een bepaald ogenblik wordt
met een kleine explosie de cargo, met massa 0, 2M , weggestoten met een
snelheid van 500 km/h t.o.v. de raket en in een richting die tegengesteld
is aan de bewegingsrichting van de raket. Bereken de nieuwe snelheid van
de raket t.o.v. de zon.
Gegevens:
mR = 0, 8M
v0,Z = 2100km/h
mC = 0, 2M
vC,R = 500km/h
De snelheid die het cargo krijgt ten opzichte van de raket wordt genoteerd met vC,R ,
waarvan je gegeven hebt dat de grootte gelijk is aan vC,R = 500 km/h. Om consistent te werken, zal je zodadelijk alles in één assenstelsel moeten uitschrijven. Omdat
de nieuwe snelheid van de raket ten opzichte van de zon gevraagd is, leggen we dit
assenstelsel in de zon.
Noteer de nieuwe snelheid van de raket ten opzichte van de zon als vR,Z , en de snelheid
van het cargo ten opzichte van de zon als vC,Z . Wegens de optelregel voor snelheden
weet je dat:
(5.1)
vC,Z = vC,R + vR,Z
(in woorden: de snelheid van het cargo t.o.v. de zon is de snelheid van het cargo
t.o.v. de raket plus de snelheid van de raket t.o.v. de zon). Met behulp van deze
formule heb je alle snelheden in het assenstelsel van de zon uitgedrukt.
2
y
y
C
Raket
v0,Z
C
x
Zon
vC,Z
vR,Z
Raket
x
Zon
NA
VOOR
Figuur 1: De begin- en eindsituatie van het probleem. Aanvankelijk heeft de raket met cargo een
snelheid v0,Z ten opzichte van de zon. Na het afstoten van het cargo heeft de raket een snelheid vR,Z
ten opzichte van de zon, en het cargo een snelheid vC,Z ten opzichte van de zon.
Je kan nu overgaan tot het aanpakken van het probleem. We nemen hier aan dat de
raket en het cargo ver van de zon zijn, zodat er geen zwaartekracht werkt op beiden.
In dat geval werken er geen externe krachten op het systeem, en mag je de wet van
behoud van impuls gebruiken:
Pvoor = Pna
In woorden: het totale impuls voor de afscheiding is gelijk aan het totale impuls na
de afscheiding van het cargo. In de beginsituatie is het totale impuls gegeven door
het impuls van de raket + cargo. In de eindsituatie is het totale impuls de som van
twee impulsen:
Pvoor = pR+C,Z = Mv0,Z
Pna = pR,Z + pC,Z = 0, 8MvR,Z + 0, 2MvC,Z
Het is belangrijk in te zien dat het impuls ook een grootheid is die afhangt van het
assenstelsel (net omdat de snelheid afhangt van het assenstelsel). Als je de wet van
behoud van impuls uitschrijft moet je dus eerst alle impulsen uitdrukken ten opzichte
van één en hetzelfde assenstelsel!
Gebruik makend van de optelregel voor snelheden (5.1), vind je voor het behoud van
impuls:
Mv0,Z = 0, 8MvR,Z + 0, 2M vC,R + vR,Z
of, in componenten uitgeschreven (deel de factor M overal weg):
v0,Z,x = 0, 8vR,Z,x + 0, 2 vC,R,x + vR,Z,x
v0,Z,y = 0, 8vR,Z,y + 0, 2 vC,R,y + vR,Z,y
3
Omdat alle snelheden langs de x-as liggen, is de tweede vergelijking gewoon 0 = 0.
De snelheden kan je in componenten uitdrukken als volgt:
vR,Z = vR,Z , 0
v0,Z = v0,Z , 0
vC,R = − vC,R , 0
vC,Z = vC,Z , 0
Het invullen van deze snelheidscomponenten levert:
v0,Z = 0, 8vR,Z + 0, 2 − vC,R + vR,Z
Oplossen naar vR,Z , de nieuwe snelheid van de raket t.o.v. de zon, levert:
vR,Z = v0,Z + 0, 2vC,R = (2100 + 100) km/h = 2200 km/h
Oefening 7
Een loden bal met massa 5 kg valt van een hoogte van 20 m op een zanderige bodem. De bal komt tot stilstand in 0,5 s. Bereken de gemiddelde
kracht op de bal (Tip: die gemiddelde kracht is constant tijdens het afremmen).
Omdat de gemiddelde kracht tijdens het
afremmen constant is, kan je stellen dat:
y
y
20 m
Fgem
20 m
∆
p
=
∆t
Aangezien de afremkracht volgens de y-as
werkt, is Fgem,x = 0. Je vindt in de yrichting dus voor deze vergelijking:
Fgem =
∆py
∆t
vi
De impulsverandering kan je noteren als:
∆py = m vna − vvoor
Omdat de bal stil ligt in de eindsituatie,
krijg je:
∆py = −mvi
VOOR
NA
Figuur 2: In de beginsituatie raakt de
bal de grond net niet. De bal heeft op
dat ogenblik een snelheid vi , die de bal
gekregen heeft door de zwaartekracht.
In de eindsituatie staat de bal stil.
waarbij vi de grootte van de impactsnelheid is. Deze grootte kan je bepalen uit de
formules voor de eenparig versnelde beweging (de bal valt vanuit stilstand vanop een
hoogte van 20 m naar de grond). De tijd die de bal daarvoor nodig heeft is:
gt2i
gt2
40
⇔
0 = 20 −
⇔
ti =
y(t) = y0 + v0 t −
2
2
g
4
De impactsnelheid is dan gegeven door:
vy (t) = v0,y − gt
⇔
vi = v(ti ) ≈ −19, 8m/s
Alles invullen in de formule voor de gemiddelde kracht geeft:
Fgem = −
5 · 19, 8
mvi
≈+
≈ 198 N
∆t
0, 5
Oefening 8
Een projectiel, samengesteld uit twee identieke blokjes waartussen een
veer met verwaarloosbare massa is opgespannen, wordt horizontaal met
een snelheid van 50 m/s van een 100 m hoog flatgebouw geschoten. Na
twee seconden is de snelheid van het projectiel v en breekt de veer. Eén
stuk gaat verder met een snelheid 3v . Bepaal de plaats waar de twee stukken terechtkomen.
De eerste stap in de correcte analyse van dit probleem is in te zien dat je het best
opsplitst in drie deelproblemen:
1. Eerst ondergaan de twee blokjes samen een vrije val van het flatgebouw, en dit
gedurende twee seconden.
2. Daarna is er de scheiding van de twee blokjes, die je met het behoud van impuls
aanpakt.
3. De twee gescheiden blokjes ondergaan verder elk apart opnieuw een vrije val.
Deze drie stappen worden nu in detail uitgewerkt:
1. De aanvankelijke valbeweging tot t = 2 s.
Noteer m de massa van elk van de twee blokjes. Aangezien ze identiek zijn, hebben ze
beiden dezelfde massa. Omdat bovendien de massa van de veer verwaarloosbaar is,
kan je de twee blokjes samen zien als een puntmassa 2m die horizontaal afgeschoten
wordt.
De enige kracht op de twee blokjes is de zwaartekracht, en omdat deze constant
is gedurende de eerste twee seconden, mag je de vergelijkingen voor de eenparig
veranderlijke beweging gebruiken:

gt2

r(t) = r0 + v0 t −
2

v (t) = v0 − g t
5
VOOR
y
2
1
2
v0
y
1
100 m
v
v
2
1
3v
NA
v1
2
1
x
BEGIN
x
3v
SPLITSING
EINDE
Figuur 3: De startsituatie van het probleem, waar het blokje van het flatgebouw geschoten wordt;
de splitsing die gebeurt na twee seconden; de situatie na de splitsing, waarbij de blokjes onafhankelijk
van elkaar verder bewegen.
De beginsnelheid v0 en de beginpositie r0 zijn hier gegeven door:
v0 = v0 , 0
r0 = 0 , y0
Vlak voor de splitsing, op t = 2 s, zijn de snelheid en de positie gegeven door:
v = v (t = 2) = v0 , −2g
r(t = 2) = 2v0 , y0 − 2g
Vlak na de splitsing zullen beide blokjes opnieuw vanuit deze positie r(t = 2) een valbeweging uitvoeren met een bepaalde beginsnelheid. Deze beginsnelheid berekenen
we nu met de wet van behoud van impuls.
2. De splitsing van de twee blokjes op t = 2 s.
Het breken van de veer en het wegschieten van de twee blokjes door het breken is
een inwendige kracht. Deze heeft geen invloed op het al dan niet mogen gebruiken
van de wet van behoud van impuls. Er is in dit geval echter een uitwendige kracht,
de zwaartekracht die op het systeem inwerkt. Als we echter aannemen dat de twee
blokjes onmiddellijk hun snelheid veranderen (dus dat het breken van de veer onmiddellijk gebeurt), dan mag de wet van behoud van impuls toch toegepast worden: op
de tijd van 0 s die nodig is voor het breken van de veer, kan de zwaartekracht niet
inwerken op het systeem. Gedurende die tijd is het dus een goede benadering om te
zeggen dat er geen uitwendige krachten zijn.
6
Met dit in het achterhoofd mag je dus de wet van behoud van impuls uitschrijven
voor dat ene ogenblik (t = 2 s). Noteer de snelheid van de twee blokjes samen voor
de splitsing als v , en de snelheid van het eerste blokje na de splitsing als 3v , van het
tweede blokje v1 :
pvoor = pna ⇔ 2mv = 3v m + mv1
⇔ v1 = −v
Met andere woorden: het tweede blokje gaat na de splitsing terug in de richting van
het flatgebouw bewegen.
3. De verdere valbeweging na t = 2 s.
Je hebt nu twee blokjes die een valbeweging ondergaan met beginpositie en beginsnelheden:
Blokje 2:
r0,2 = 2v0 , y0 − 2g
Blokje 1:
r0,1 = 2v0 , y0 − 2g
− v = − v0 , 2g
3v = 3v0 , −6g
Je kan voor elk van de blokjes opnieuw de formules voor de eenparig veranderlijke
beweging toepassen. We rekenen hier de plaats uit waar het eerste blokje terechtkomt.
Voor blokje 1 heb je de formules:

gt2

r(t) = r0,1 + 3v t −
2

v (t) = 3v − g t
Je moet eerst de tijd bepalen die het blokje nodig heeft om op de grond te vallen.
Deze tijd kan je halen uit de y-component van de vergelijking voor r(t):
6g
±
2
36g2 + 4 g2 (y0 − 2g)
gt
⇔ t=
y(t) = 0 = (y0 − 2g) + (−6g)t −
2
−g
+1, 24s
⇔ ti =
−13, 24s
De negatieve tijd moet verworpen worden (het blokje kan de grond niet raken vooraleer het begonnen is met vallen op t = 0 s). Met deze tijd kan je de eindpositie
berekenen uit de formule voor de x-component:
⇔
x(t) = (2v0 ) + (3v0 )t
x(ti ) = 286 m
Voor het tweede blokje kan je een analoge redenering maken.
7
Oefening 4 (B)
Een satelliet in een elliptische baan om de aarde heeft een snelheid vp =
7800 m/s als ze het dichtst bij de aarde is. Dan is de hoogte 230 km. Wat
is de snelheid van de satelliet op een hoogte van 5030 km, als ze het verst
van de aarde is ? De straal van de aarde is 6370 km.
Neem aan dat de zwaartekracht van de zon te verwaarlozen is op de aarde en de satelliet. In dat geval zijn er geen uitwendige krachten (de zwaartekracht van de aarde
is een inwendige kracht!) zodat ook het moment van de uitwendige krachten nul is.
Je mag dus het behoud van impulsmoment gebruiken in deze situatie.
p na
y
rna
rvoor
z
x
pvoor
Figuur 4: De satelliet beweegt op een ellipsbaan rond de aarde.
voor , en op het hoogste punt als
Noteer het impulsmoment op het dichtste punt als L
na , dan geldt wegens het behoud van impulsmoment:
L
na
voor = L
L
⇔
rvoor × pvoor = rna × pna
Voor de groottes geldt in dit geval dezelfde gelijkheid (aangezien de hoek tussen de
twee vectoren steeds 90◦ is):
Lvoor = Lna
⇔
m rvoor vvoor = m rna vna
Je vindt dus voor de snelheid op het verste punt van de aarde:
vna =
rvoor vvoor
rna
8
Deze plaatsvectoren worden gemeten van het middelpunt van de aarde. Je hebt dus
voor de afstanden:
rvoor = Raarde + 230 km = 6600 km = 6, 6 · 106 m
rna = Raarde + 5030 km = 11400 km = 11, 4 · 106 m
Invullen van alle grootheden geeft:
vna =
6, 6 · 106 · 7800
m/s ≈ 4516 m/s
11, 4 · 106
Oefening 9
Een student zit op een draaistoel en houdt beide armen horizontaal gestrekt. In elke arm heeft hij een staaf met massa 3 kg. De student en de
stoel samen hebben een traagheidsmoment van 1,8 kg m2 . Met gestrekte
armen draait de student met een frequentie van een halve omwenteling
per seconde. Wat is de frequentie als de student de staven heel dicht bij
de rotatie-as brengt ? Neem voor de lengte van een arm 0,7 m.
Eerst en vooral moet je hier bepalen wat de inwendige en uitwendige krachten zijn.
De volgende krachten werken op het systeem:
• De zwaartekracht op de student/stoel (uitwendig).
• De zwaartekracht op beide staven (uitwendig).
• De normaalkrachten (uitwendig).
• De kracht die het samenbrengen van de staven veroorzaakt (inwendig).
Alle uitwendige krachten zijn gericht volgens/tegen de z-as. Aangezien alle aangrijpingsvectoren van de krachten in het (x,z)-vlak liggen, vind je dat de krachtmomenten
staat loodrecht op de
allemaal volgens/tegen de y-as liggen (het vectorproduct r × F
opbouwende vectoren). Er is hier dus behoud van impulsmoment in de z-richting,
zodat je kan stellen dat:
Lz,voor = Lz,na
Hierbij is:
Lz,voor = Lz,student/stoel,voor + Lz,staaf 1,voor + Lz,staaf 2,voor
Lz,na = Lz,student/stoel,na + Lz,staaf 1,na + Lz,staaf 2,na
Aangezien de z-as hier ook de rotatie-as is, kan je de impulsmomenten van alle
roterende objecten uitdrukken in functie van hun traagheidsmoment:


Lz,ss,voor = Iss ωvoor
Lz,ss,na = Iss ωna




2
Lz,staaf 1,voor = Is1,voor ωvoor = (mr )ωvoor
Lz,staaf 1,na = Is1,na ωna = 0




2
Lz,staaf 2,na = Is1,na ωna = 0
Lz,staaf 2,voor = Is2,voor ωvoor = (mr )ωvoor
9
ωvoor
z
m
ωna
m
x
y
BEGIN
EINDE
Figuur 5: De begin- en eindsituatie van het probleem. Aanvankelijk zijn de massa’s op een bepaalde
afstand van de rotatie-as, en hebben ze dus een impulsmoment/traagheidsmoment. Na het bij elkaar
brengen van de staven op de rotatie-as, verdwijnt deze bijdrage.
Hierbij moet je de definitie van het traagheidsmoment voor een systeem van deeltjes
gebruiken:
N
mi ri2
I=
i=1
Aangezien er hier telkens maar één object is (de staaf), verdwijnt de som en krijg je
simpelweg I = mr 2 , met r de armlengte.
Door alles in te vullen vind je voor het behoud van het impulsmoment in de z-richting:
(Iss + 2mr 2 )ωvoor = Iss ωna
Zodat uiteindelijk:
ωna =
(Iss + 2mr 2 )
ωvoor ≈ 8, 27 rad/s
Iss
aangezien ωvoor = 2πf = π rad/s, met f = 1/2 Hz, een halve omwenteling per
seconde. De uiteindelijke frequentie bekome je dan als volgt:
fna =
ωna
≈ 1, 32 Hz
2π
10
Oefening 11
Mickey staat op de rand van een stilstaande paardenmolen met een straal
van 2 m en massa 160 kg. Ze gooit een steen met massa 3 kg horizontaal
weg met een snelheid van 12 m/s in een richting rakend aan de omtrek
van de molen. Mickey weegt 48 kg. Wat is de hoeksnelheid van de molen
na de worp ?
p
R
y
y
r
z
x
z
x
ω na
BEGIN
EINDE
Figuur 6: De begin- en eindsituatie van het probleem (bovenaanzicht). In het begin staat alles in
rust, na het wegwerpen van de steen zal de molen met Mickey erop beginnen ronddraaien met een
bepaalde hoekfrequentie ωna .
Aangezien je hier verwacht dat de molen zal beginnen roteren, kan je reeds vermoeden dat er een behoud van impulsmoment in het spel is. De externe krachten die op
de molen, Mickey en de steen werken zijn de respectievelijke zwaartekrachten op elk
van hen. Aangezien deze volledig volgens de z-as (zie figuur) gericht zijn, krijg je een
krachtmoment dat in het (x, y)-vlak ligt (dit kan je nagaan met de rechterhandregel).
Er is geen krachtmoment langs de z-as, dus je hebt behoud van impulsmoment langs
de z-as. Aangezien dit tevens de rotatie-as is, kan je weer werken met traagheidsmomenten ten opzichte van deze rotatie-as. De traagheidsmomenten kan je expliciet
berekenen:
Voor de molen:
Imo =
mmo R2
2
Voor Mickey:
Imi = mmi R2
Het traagheidsmoment voor de molen is de uitdrukking voor een schijf met massa
mmo (zie formularium), het traagheidsmoment van Mickey is mmi R2 , aangezien R de
afstand van Mickey tot de rotatieas is. Behoud van impulsmoment in de z-richting
11
levert:
Lz,voor = Lz,na ⇔ (Imo + Imi )ωvoor + Lz,steen,voor = (Imo + Imi )ωna + Lz,steen,na
⇔ 0 = (Imo + Imi )ωna + Lz,steen,na
Hierbij komt de situatie “voor”overeen met alles in rust, en de situatie “na” direct
na het wegwerpen van de steen.
Aangezien aanvankelijk alles in rust is en dus geen impulsmoment heeft (ωvoor =
0 en psteen = 0). Bij het wegwerpen krijgt de steen een impuls p dat gericht is
volgens de y-as. De plaatsvector r ligt aanvankelijk volgens de x-as, dus wegens de
= r × p volgens de z-as gericht is:
rechterhandregel volgt dat het impulsmoment L
Lsteen = (0, 0, Lsteen ). De grootte van het vectorproduct is gegeven door:
r × p = r p sin(θ)
θ = hoek tussen twee vectoren
Aangezien de hoek tussen r en p precies 90◦ is, vind je voor Lz dus Lz = rp. Invullen
in het behoud van impulsmoment levert:
(Imo + Imi )ωna + r m vsteen,0 = 0
Je moet als snelheid voor de steen de beginsnelheid invullen, aangezien de “na”situatie gekozen is als de situatie onmiddellijk na het werpen van de steen. Deze
vergelijking oplossen naar ωna levert:
r m vsteen,0
r m vsteen,0
=−
ωna = −
(Imo + Imi )
mmo R2 /2 + mmi R2
Expliciet invullen en uitwerken levert:
ωna ≈ −0, 14 rad/s
Het minteken wijst er hier op dat de molen in wijzerzin langs de z-as draait.
Tim Jacobs - 13 december 2002
12