Vectoren en zwaartepunten

 Vectoren en zwaartepunten
1
1 Vectoren
Uit: M.C.Escher Caleidocycli door Doris Schattschneider en
Wallace Walker
*
1 De Nederlandse graficus en kunstenaar M.C.Escher
(1898-1972) is bekend om zijn vlakvullende tekeningen.
Het patroon van vissen en kikkers links is geënt op een
vlakvulling van regelmatige driehoeken, de andere twee
op een vlakvulling van vierkanten. Om het hele vlak te
vullen, hoefde hij maar een klein aantal tekeningen te
maken en die over het hele vlak te verplaatsen.
a. Hoeveel echt verschillende tekeningen heeft Escher
minimaal gemaakt voor de vlakvulling links? En voor die
in het midden? En voor de vlakvulling rechts?
Om de vlakvulling geënt op de regelmatige driehoeken te
krijgen, begin je met een tweetal gevulde driehoeken en
die verplaats je telkens.
Als je het tweetal gevulde driehoeken (1) volgens de pijl
verplaatst, krijg je het gevulde tweetal (2).
b. Geef op het werkblad de vulling aan die je krijgt door
het tweetal gevulde driehoeken hiernaast volgens de pijl
te verplaatsen.
Een verplaatsing gaat in een bepaalde richting over
een bepaalde afstand. Een pijl is het geschikte
middel om zo'n verplaatsing weer te geven. Hierbij
is de lengte van de pijl de afstand waarover verplaatst wordt. In het vervolg noemen we een verplaatsing een vector.
Latijn: vector is drager, iemand die iets van de ene
naar de andere plaats draagt.
2
Vectoren en zwaartepunten
Om vectoren van getallen te onderscheiden, noteren we
r
ze als een letter met een pijl erboven, bijvoorbeeld v .
In het rooster zijn vier vectoren (verplaatsingen) weergegeven door een pijl. De vector die punt A naar punt B
verplaatst, geven we aan met AB Het is dezelfde verr
r
plaatsing als v , dus v = AB .
c. Teken het punt D in het rooster op het werkblad zó,
r
dat CD dezelfde vector voorstelt als x .
r
Met - v bedoelen we de verplaatsing over dezelfde
r
afstand als v , maar dan in tegengestelde richting.
r
d. Teken op het werkblad een pijl die de vector - v voorr
stelt en ook een pijl die de vector - x voorstelt.
r
Met 2 v bedoelen we de verplaatsing over een
r
twee keer zo grote afstand als v , in dezelfde richting.
r
r
Met x + v bedoelen we de verplaatsing die je krijgt
r
door eerst over v te verplaatsen, gevolgd door de
r
verplaatsing over x (of andersom).
r r
r
e. Ga na dat x + v = y .
r r
f. Teken een pijl die de vector x + y voorstelt.
r
r
r
r
r
Teken ook pijlen bij x + − y , 2 v en x +2 y .
r r
r
r
Meestal schrijven we x − y , in plaats van x + − y .
Vectoren
3
r
r
Er zijn twee manieren om bij twee vectoren x en y de
r r
somvector x + y te tekenen.
r
r
Als je x en y in hetzelfde punt laat beginnen, dan krijg
r r
je x + y als diagonaal van het parallellogram ABDC zoals hierboven. Deze manier noemen we de parallellogrammethode.
Het kan ook zo.
r
r
Je laat de staart van y beginnen bij de kop van x . De
r
r
pijl die wijst van de staart van x naar de kop van y stelt
r r
de verplaatsing x + y voor. Deze manier noemen we
kop-staartmethode.
r
r
2 Teken twee vectoren x en y zoals hiernaast.
r r
a. Teken met de kop-staartmethode de vectoren x + y ,
r r
r
r
x − y en x + 2y .
b. Teken met de parallellogrammethode de vectoren
r r
r r
r
r
2x + y , -( x + y ) en x − 2y .
*
4
3 Een minder fantasierijk tekenaar wil een vlakvulling met
driehoeken maken. Hij heeft er een tweetal gevuld.
a. Geef op het werkblad aan welk tweetal driehoeken
r r
gevuld wordt bij verplaatsing over 2x − y .
b. Is het mogelijk alle driehoeken van het rooster te vulr
r
len door verplaatsingen van de vorm k x + m y , waarbij
k en m gehele getallen zijn? (Door voor k = 2 en m = -1 te
r r
nemen krijg je bijvoorbeeld de vector 2x − y uit onderdeel a.)
Vectoren en zwaartepunten
r
4 a. Bepaal voor de vector p in het rooster hiernaast de
r
r
r
getallen k en m zó, dat p = k ⋅ u + m ⋅ v .
r
b. Bepaal voor q in het rooster hiernaast de getallen k
r
r
r
en m zo dat q = k ⋅ u + m ⋅ v
r
r
5 Door vectoren van de vorm k ⋅ u + m ⋅ v (met k en m geheel) kan de vulling over alle roosterdriehoeken verplaatst worden.
a. Ga na of dat ook kan met vectoren van de vorm:
r
r
k ⋅u + m ⋅ w .
r
b. Bepaal voor de vector p in het rooster hiernaast de
r
r
r
getallen k en m zó, dat p = k ⋅ u + m ⋅ w .
r
c. Bepaal voor de vector q in het rooster hiernaast de
r
r
r
getallen k en m zó, dat q = k ⋅ u + m ⋅ w .
*
6 Teken twee vectoren
PR en PQ zoals hiernaast.
a. Teken de vector 2 ⋅ PQ +11 ⋅ PR .
(Hoewel we niet afgesproken hebben wat k ⋅ PR betekent als k niet geheel is, zal wel duidelijk zijn wat er mee
bedoeld wordt.)
b. Teken de vector 2 ⋅ PQ –11 ⋅ PR .
Er zijn getallen k en m zó, dat PS = k ⋅ PQ + m ⋅ PR .
c. Zoek uit welke (gehele) getallen k en m zijn.
Tip: teken lijnen door S evenwijdig aan lijn PR en lijn PQ.
In c hebben we de vector PS ontbonden ten opzichte
van het paar vectoren ( PQ, PR ).
Vectoren
5
7 Neem de figuur die hierboven staat over.
Teken twee vectoren, één op lijn a en één op lijn b, zó
dat de som van de vectoren die je getekend hebt de vector in het plaatje oplevert.
De twee vectoren die je getekend hebt in opgave 7, her
ten de componenten van v ten opzichte van a en b.
(In opgave 6 hebben we de componenten van de vector
PS ten opzichte van de lijnen PQ en PR bepaald.)
8 Teken drie vectoren en een punt P zoals hiernaast. Je
kunt het punt P in zes verschillende volgordes over de
drie vectoren verplaatsen. Hieronder is er één getekend
volgens de kop-staartmethode.
Teken de andere vijf.
Dat je in opgave 8 in alle zes de gevallen hetzelfde resultaat krijgt, is een gevolg van de volgende regels die voor
het optellen van vectoren gelden.
6
Associatiewet
r r r
r r r
a + (b + c ) = (a + b) + c
Commutatiewet
r r r r
a+b =b+a
Vectoren en zwaartepunten
9
Teken twee vectoren zoals hieronder.
r
r r r
Teken de vector x zó, dat x + a = b
* 10
Het rooster hiernaast vind je uitgebreider op het werkblad. Eén hokje in het rooster is grijs.
r
r
De twee vectoren in het rooster noemen we x en y .
Teken het patroon van grijze hokjes dat ontstaat door dat
ene grijze hokje over alle mogelijke vectoren van de
r
r
vorm k ⋅ x + m ⋅ y te verplaatsen, waarbij k en m gehele
getallen zijn.
Als je voor k en m beide 0 neemt, krijg je de vector met
lengte 0.
r
De vector met lengte 0 geven we aan met 0 .
r r r
r
Er geldt: v + 0 = v voor elke vector v .
11 Hieronder zijn vier vectoren getekend. Wat kun je over
de som van deze vier vectoren zeggen?
*
Vectoren
r
12 a. Teken het punt waarnaar P verplaatst wordt over x
en zet er P0 bij.
b. Teken het punt waarnaar P verplaatst wordt over
r r
x + y en zet er P1 bij.
Tekenr ookr het punt dat je krijgt door P te verplaatsen
over x + 2y en zet er P2 bij.
c. Het punt P wordt verplaatst over alle mogelijke vector
r
ren van de vorm x + k ⋅ y waarbij k een willekeurig (niet
noodzakelijk geheel) getal is.
Kleur de punten waarnaar P verschoven kan zijn.
7
13 De ene figuur hierboven is met factor 2 uitvergroot tot de
r
r
andere. Dus: vector 1 is 2 ⋅ a en vector 2 is 2 ⋅ b .
Vector 3 kun je op twee manieren schrijven, één keer
met en één keer zonder haakjes. Doe dat.
r
r r
r
Voor elk getal k geldt: k ⋅ (a + b ) = k ⋅ a + k ⋅ b .
Deze regel volgt dus uit gelijkvormigheid.
8
Vectoren en zwaartepunten
2 Toepassingen
1 Ollie en Stan duwen een zware kast. Ollie duwt drie keer
zo hard als Stan. Ollie duwt tegen de linkerzijkant en
Stan duwt tegen de voorkant van de kast.
De krachten van Ollie en Stan kun je voorstellen door
vectoren. De vector die bij het duwen van Ollie hoort, is
langer dan de vector die bij het duwen van Stan hoort.
a. Hoeveel keer zo lang?
b. Teken in een bovenaanzicht heel precies de richting
waarin de kast verschoven wordt.
De vector die je in b getekend hebt, is de resultante van
de vectoren bij de krachten van Ollie en Stan.
2 Jaap dobbert in een roeibootje op de Maas. De Maas
heeft daar een stroomsnelheid van 3 km/u.
a. Teken de stroomvector van de Maas, dat is een pijl in
de stroomrichting; maak hem 3 cm lang.
Zo wordt het bootje verplaatst als Jaap niet roeit.
Jaap gaat met een snelheid van 4 km/u roeien (dat wil
zeggen: in stilstaand water zou de boot een snelheid van
4 km/u hebben).
b. Teken de ‘netto’-verplaatsingsvector van het bootje
als Jaap met de stroom mee roeit.
Toepassingen
9
De verplaatsingsvector die je getekend hebt, is de resultante van de vector bij de stroomsnelheid en de vector bij
het roeien.
c. Hoe lang heb je de vector gemaakt?
d. Teken de verplaatsingsvector als Jaap tegen de
stroom in roeit. Hoe lang is de vector nu?
Hiernaast zijn (verkleind) de vectoren getekend die de
stroomsnelheid en de roeisnelheid weergeven als Jaap
loodrecht op de richting van de stroom roeit.
e. Teken de resultante van de twee vectoren, de snelheidsvector van het bootje.
f. Bereken de snelheid van het bootje.
g. Bereken de hoek tussen de richting die het bootje opgaat en de richting waarin de rivier stroomt in graden
nauwkeurig. Als je niet weet hoe dat moet, lees dan eerst
het volgende.
Uit: Nollet, Leçons de Physique Experimentale, M.DCC.LIII.
Intermezzo
In de rechthoekige driehoek ABC: sin(α) = a
b
cos(α) = c
b
tan(α) = a
c
Voorbeeld
In de driehoek hiernaast is tan(α) = 14
, met het re31
kenmachientje vind je dan: α ≈ 24,3 °.
14
shift
tan
; zorg wel dat het machientje
31
in de stand DEG staat (MODE DEGREE).
10
Vectoren en zwaartepunten
3 Veerboot op de Maas
Een veerboot vaart loodrecht de rivier over, doordat de
veerman de boot schuin tegen de stroom in stuurt. De
stroomsnelheid van de rivier is weer 3 km/u en wordt
r
r
weergegeven met een pijl s van 3 cm. De pijl u daar
loodrecht op is 3,75 cm lang.
r
a.
r Neem
r r de figuur over en teken de vector v zó, dat
s+v =u
r
b. Bereken
r de lengte van v in één decimaal en de hoek
r
die v met s maakt in graden nauwkeurig.
Welke snelheid moet de veerboot uit zichzelf maken?
r
r
De lengte van een vector v noteren we met | v |.
r
In opgave 3 geldt: | s | = 3.
4 Jaagpad
Vroeger werden schuiten vaak voortgetrokken door een
paard (of een mens) op een pad langs het water, het zogenaamde jaagpad. (Op de vorige bladzijde zie je een
boot voortgetrokken door twee mensen, elk aan een zijde van het water.)
De kracht waarmee een paard op het jaagpad de schuit
hiernaast voorttrekt, loopt niet in de richting waarin de
schuit zich verplaatst. De trekkracht van het paard geven
r
we weer met de vector v . Deze maakt een hoek van 30°
met de richting
r waarin de schuit
r zich verplaatst.
a. Ontbind
v in een vector u in de vaarrichting en een
r
vector w in de richting daar loodrecht op.
r
r
De component w van v draagt niet bij aan de snelheid
waarmee de schuit beweegt. Hij wordt 'opgevangen'. De
r
component u bepaalt de snelheid van de schuit.
r
r
r
b. Bepaal | u | en | w | als | v | = 2.
5
Toepassingen
r
r
De twee vectoren a en b hiernaast zijn beide 2 lang.
Neem de figuur
over.
r r
a. Teken a + b .
r r
Wat is | a + b | ?
r r
b. Teken a − b .
r r
c. Wat is | a − b | ?
11
6 Mieke laat haar beide hondjes uit, ieder hondje netjes
aan de lijn. De hondjes trekken even hard. De richtingen
waarin ze trekken, staan loodrecht op elkaar. Mieke trekt
even hard terug.
a. Neem het plaatje over en geef de kracht waarmee
Mieke trekt aan met een pijl.
b. Hoeveel keer zo groot is de kracht waarmee Mieke
trekt als die waarmee elk van de honden trekt?
* 7
Vlootschouw
Tijdens een onderdeel van de vlootschouw zijn drie
schepen in actie. Schip A vaart met een constante snelheid van 5 mijl per uur, schip B vaart met een constante
snelheid van 10 mijl per uur. Schip C heeft van de leiding
de opdracht gekregen op elk moment precies midden
tussen de schepen A en B in te varen (om esthetische
redenen). A0 en B0 zijn de startposities van A en B; A1 en
B1 de posities van A en B na 1 minuut, enzovoort.
a. Zoek uit waar schip C zich na 1, 2, 3,... minuten bevindt. Geef die plaatsen op het werkblad aan met C1, C2,
C3,... . De plaats C0 is al aangegeven.
Het ziet er naar uit dat schip C zich over een rechte lijn
beweegt. We kunnen dit inzien door gebruik te maken
van vectoren.
12
Vectoren en zwaartepunten
Gezicht op Venlo vanuit het
noorden
(anoniem ongeveer 1840)
r
r
8 In de figuur linksboven zijn de vectoren a en b volgens
de parallellogrammethode opgeteld.
r
r
De vector x rechtsboven heeft hetzelfde startpunt als a
r
en b , en wijst naar het midden van het parallellogram.
Zoals bekend, delen de diagonalen van een parallellogram elkaar middendoor.
r
r
r
Welke uitdrukking voor x in a en b volgt hieruit?
In driehoek ABC is M het midden van BC.
Dan: AM = 1( AB + AC ).
9 Terug naar de vlootschouw.
De verplaatsing van schip A in één minuut noteren we
r
met x en de verplaatsing van schip B in één minuut met
r
r
de vector y . We schrijven kort a voor C0 A0 ; dan is
r
C0B0 = - a .
r r
r r
a. Ga na dat C0 A1 = a + x en C 0 B1 = - a + y .
Toepassingen
13
r
r r
b. Druk C 0 C1 uit in x , y en a .
r
c. Druk vervolgens C 0 C 2 , C 0 C 3 ... , enzovoort in x en
r
y uit.
d. Hoe kun je aan de uitdrukkingen in c zien dat C over
een rechte lijn beweegt?
e. Neem aan dat de hoek tussen de routes van de
schepen A en B 90° is. Met welke snelheid (exact) moet
C dan varen? (A voer met 5 mijl per uur en B met 10 mijl
per uur.)
*
10 Een rollende knikker
Een knikker die op een hellend vlak ligt, rolt naar beneden door werking van de zwaartekracht. Hoe kleiner de
helling van het vlak, hoe minder snel de knikker rolt.
De zwaartekracht werkt verticaal. Hierboven zie je dezelfde knikker op twee verschillende hellingen. (De
plaatjes staan ook op het werkblad.) De zwaartekracht is
weergegeven door een vector.
a. Ontbind de zwaartekrachtvector in beide gevallen
langs de lijnen a en b.
Lijn b staat loodrecht op het vlak V waarlangs de knikker
rolt. We noemen lijn b een normaal van V. Een vector
die loodrecht op een vlak staat noemen we normaalvector van dat vlak. De component langs b die je in a getekend hebt is een normaalvector van V.
De component in de richting van b drukt op het vlak. We
nemen aan dat deze component geen invloed op de beweging van de knikker heeft. (In de natuurkunde zegt
men: de rolweerstand wordt verwaarloosd). De component in de richting van a zorgt voor de beweging van de
knikker. Deze component is groter naarmate de helling
van het vlak groter is.
14
Vectoren en zwaartepunten
Hiernaast is de helling van het vlak waarop de knikker
ligt 37°. De lengte van de zwaartekrachtvector is 12.
b. Leg uit dat de hoek tussen de zwaartekrachtvector en
lijn b ook 37° is en benader de component van de zwaartekrachtvector langs b in twee decimalen.
r
De vector v in het plaatje hiernaast is ontbonden in
r
r
twee onderling loodrechte componenten x en y .
r
r
r
r
Er geldt: | x | = | v |sin(α) en | y | = | v |cos(α) .
*
11
Ad wil zijn speelgoedauto een helling op trekken. De
kracht waarmee hij trekt en de zwaartekracht die op de
auto uitgeoefend wordt, zijn weergegeven door pijlen.
a. Ontbind de zwaartekrachtvector in een component in
de richting van het hellend vlak en in de richting van de
normaalvector van het vlak.
b. Vergelijk de lengte van de pijlen. Krijgt hij de auto de
helling op? (De rolweerstand wordt verwaarloosd.)
In de eerste paragraaf zijn we begonnen met een vlakvulling van regelmatige driehoeken. We nemen nu een
vlakvulling van vierkanten. Na keuze van een oorsprong
en een assenstelsel, kunnen we elk punt in het vlak aangeven door een tweetal getallen (getallenpaar). We werken dan zogezegd met rechthoekscoördinaten. Het getekende punt in het rooster bijvoorbeeld heeft rechthoekscoördinaten (-2,1).
Een verplaatsing in het rooster geven we ook met een
getallenpaar. Zo geven we de getekende vector aan met
(3,-1). We noemen het paar (3,-1) de kentallen van de
vector. Dit is verwarrend, maar uit de context zal steeds
blijken wat bedoeld wordt.
Toepassingen
15
*
12 In het rooster hiernaast zijn een aantal vectoren getekend. Verder is een roosterhokje zwart gemaakt.
a. Geef de kentallen van de vier vectoren.
Hetr hokjer wordt verplaatst over vectoren van de vorm
k ⋅ v + m ⋅ w , waarbij k en m gehele getallen zijn.
b. Geef op het werkblad met zwart aan welke hokjes bereikt worden.
r
r
c. Ontbind de vectoren a en b in componenten in de
r
r
richtingen van v en w en geef rde getallen k en m zó dat
r
r
r
r
r
a = k ⋅ v + m ⋅ w , respectievelijk b = k ⋅ v + m ⋅ w .
r
r
13 v = (2,3) en w = (-1,-2)
r r
a. Teken in een rechthoekig rooster de vectoren v , w en
r r
v+w.
r r
Wat zijn de kentallen van v + w ?
r
b. Teken 2 v .
r
Wat zijn de kentallen van 2 ⋅ v ?
r
r
c. Bereken | v | en | w |.
Als
dan
en
r
r
v = (a,b) en w = (c,d),
r r
r
v + w = (a+c,b+d) en k ⋅ v = (ka,kb)
r
| v | = a 2 + b2 .
14 Hiernaast is een recht blok getekend. Voor het gemak
r r
r
noemen we de vectoren OA , OC en OH : x , y en z .
r r r
a. Ga na: AG = − x + y + z .
b. Ontbind ook de volgende vectoren ten opzichte van
r r
r
x , y en z : OF , HB , BG , CH en AC . Schrijf deze vecr r
r
toren dus ook als combinatie van x , y en z .
Het midden van rechthoek ABFE is P en het midden van
rechthoek BCGF is Q.
r r
r
c. Druk OP en OQ in x , y en z uit.
r r
r
Hoe kun je hiermee ook PQ in x , y en z uitdrukken?
Door de ontbindingen van AC en PQ te vergelijken, kun
je goed zien dat lijn PQ en lijn AC evenwijdig zijn en dat
lijnstuk AC twee keer zo lang is als lijnstuk PQ.
d. Leg uit hoe je dat kunt zien.
16
Vectoren en zwaartepunten
15 Kubus OABC.DEFG met A(3,0,0), C(0,3,0) en D(0,0,3) is
opgebouwd uit 27 kubusjes met ribbe 1. Hierop zijn de
punten P(1,1,3) en Q(2,3,1) getekend.
De lengte van de vector (a,b,c) is
In formule: |(a,b,c)| =
a2 + b2 + c 2 .
a2 + b2 + c 2 .
a. Geef de kentallen van vector PQ . Hoe kun je die
vinden uit de coördinaten van de punten P en Q?
b. In welk punt kom je als je je vanuit (1,3,1) over vector
(1,-1,2) verplaatst?
16 Het blok hiernaast is 4 hoog, 2 breed en 3 diep.
a. Geef de kentallen van AG .
b. Bereken  AG .
*
Toepassingen
17 Evenwijdig aan de y-as staat een verticale schutting. Het
is herfst. Een harde wind striemt de regen tegen de
schutting. De richting waarin de regen valt, wordt gegeven door de vector (1,2,-3). De windrichting is evenwijdig
met het Oxy-vlak.
a. De verplaatsingsvector van de regendruppels is de
resultante van de verticale valvector en de horizontale
windvector. Teken de val-, wind- en verplaatsingsvector
in een assenstelsel op het werkblad. Het gaat daarbij niet
om de lengtes van de vectoren, maar wel om hun richting.
b. Teken op het werkblad de strook grond voor de
schutting die droog blijft.
c. De schutting is 3,75 m hoog. Bereken de breedte van
de strook die droog blijft in cm nauwkeurig.
17
d. De regendruppels komen op de grond met een snelheid van 7 m/s. Bereken de windsnelheid in m/s in één
decimaal nauwkeurig.
18 In een assenstelsel zijn negen kubussen geplaatst. De
kubussen hebben ribbe 2 en onderlinge tussenruimte 1.
Drie hoekpunten zijn aangegeven: A, B en C. De lijn AB
is evenwijdig aan de y-as, de lijn BC is evenwijdig aan de
z-as en de lijn CA is evenwijdig aan de x-as.
a. Geef de verplaatsingsvectoren AB , BC en CA .
b. Leg met behulp van deze drie vectoren uit dat we met
een onmogelijke figuur te maken hebben.
18
Vectoren en zwaartepunten
Weer negen kubussen met de ribben (van lengte 2)
evenwijdig aan de assen. Bekijk twee buren: in het midden van het grensvlak van de ene kubus zit een hoekpunt van de andere.
c. Onderzoek of dit bouwsel mogelijk is op de manier
van a en b.
d. Hoe zit het met het bouwsel hierboven?
Toepassingen
19
3 Op zoek naar evenwicht
Iemand heeft zeven blokken op elkaar gestapeld. De
stapel helt gevaarlijk naar rechts over. Maar hij valt niet
om! Hoe dat te begrijpen is, daar gaat deze paragraaf
over.
1 Het mobiel hieronder is in evenwicht. De zeven gewichten zijn allemaal even groot. De tweede situatie krijg je
door twee van de gewichten in tegengestelde richting te
verplaatsen. De derde situatie krijg je door daarna twee
gewichten tegengesteld aan elkaar te verplaatsen over
dezelfde afstand en dat daarna nog eens te doen. In de
derde situatie zie je goed dat het mobiel inderdaad in
evenwicht is.
Ga deze twee verplaatsingen na.
Schuifprincipe
Het evenwicht wordt niet verstoord als je twee gewichten tegengesteld aan elkaar verplaatst:
of
20
Vectoren en zwaartepunten
Het schuifprincipe is ons uitgangspunt. Als je een balans
tot je beschikking hebt, kun je experimenteel vaststellen
dat dit juist is. Uitgaande van dit natuurkundige principe,
gaan we wiskundig redeneren.
De lengte van de
ophangtouwtjes is
niet van belang.
* 2
Zoek uit waar je de mobielen moet ophangen opdat zij in
evenwicht zijn. De mobielen staan ook op het werkblad.
In plaats van één gewicht 2 eenheden te verplaatsen,
kun je ook twee gewichten 1 eenheid verplaatsen (in dezelfde richting).
In het laatste mobiel van de vorige opgave was de afstand tussen de linker en de rechter gewichten 10.
We verplaatsen elk van de linker gewichten 3 plaatsen
naar rechts en elk van de drie rechter gewichten 2 plaatsen naar links. Dan houden we evenwicht. Doen we dat
nog een keer dan hangen alle vijf de gewichten op dezelfde plaats. Die plaats verdeelt de oorspronkelijke afstand in stukken die zich verhouden als 6 : 4.
Op zoek naar evenwicht
21
2
6
a
b
3 a. Aan een gewichtloze staaf hangen twee gewichten
van grootte 2 en 6.
Waar moet de staaf worden opgehangen opdat hij in
evenwicht is?
b. Aan een gewichtloze staaf hangen twee gewichten
van grootte a en b.
Waar moet de staaf moet worden opgehangen opdat hij
in evenwicht is?
Het punt waar de staaf met gewichten moet worden
opgehangen om de staaf in evenwicht te krijgen,
noemen we het zwaartepunt of massamiddelpunt.
1
2
4 Aan een gewichtloze staaf hangen drie gewichten van
grootte 1, 2 en 3 op onderling gelijke afstand, en in deze
volgorde.
a. Waar ligt het zwaartepunt?
b. En waar als je de gewichten 2 en 3 verwisselt?
3
B
3
A
2
O
Het zwaartepunt van een staaf met gewichten kun je vinden door te schuiven. Het kan ook met behulp van vectoren. We laten dat zien aan de hand van de situatie: een
gewicht van grootte 2 op plek A en een gewicht van
grootte 3 op plek B.
- Kies een oorsprong O.
-
Teken de vectoren a = OA en b = OB
-
Bepaal
2
5
a en
3
b
5
- Teken de vector 25 a + 53 b , met beginpunt O.
Het eindpunt van de vector is het zwaartepunt Z.
A
Z
B
5 a. Ga na dat je op hetzelfde punt Z uitkomt, als je een
andere oorsprong O kiest.
b. Ga na met gelijkvormigheid dat AZ : BZ = 3 : 2.
c. Kies ook voor O het punt A. Wordt hetzelfde punt als
zwaartepunt aangewezen?
O
In opgave 5b heb je met gelijkvormigheid bewezen dat
AZ : BZ = 3 : 2. We geven ook nog een bewijs met vectoren. Dat gaat zo:
OZ = 25 a + 53 b = 25 a + 53 (a + AB) = 25 a + 53 a + 53 AB = a + 35 AB .
Dus: AZ = OZ − OA =
22
3
5
AB .
Vectoren en zwaartepunten
In A en B bevinden zich twee massa's van grootte
a en b.
Het zwaartepunt Z ligt op lijnstuk AB, zodat
AZ : BZ = b : a.
3
7
6 Aan een gewichtloze staaf hangen twee massa's van
grootte 3 en 7.
Bepaal de plaats van het zwaartepunt Z op twee manieren:
a. door te schuiven
b. door bovenstaande stelling toe te passen.
De volgende bewering zal je niet verbazen.
Het zwaartepunt van een homogene bol is zijn middelpunt.
Onder homogeen verstaan we dat de bol "overal hetzelfde is". Preciezer: Als je twee congruente delen neemt
van de bol (bijvoorbeeld twee kubusjes), dan zijn die
even zwaar. Zie ook de volgende paragraaf, bladzijde 28.
De bewering is van groot belang. Hij zegt dat we de
massa van een homogene bol als in zijn middelpunt geconcentreerd mogen denken. Zo kunnen we doen alsof
bijvoorbeeld de aarde een puntmassa is. (Weliswaar is
de aarde beslist niet perfect homogeen, maar wel bij benadering.)
Je zult het wel niet nodig vinden, maar we gaan toch bewijzen dat het zwaartepunt van een homogene bol zijn
middelpunt is.
Eerst intuïtief.
Verdeel de homogene bol in heel veel, heel kleine stukjes, die symmetrisch ten opzichte van het middelpunt liggen. We passen het schuifprincipe toe. Twee stukjes die
symmetrisch ten opzichte van het middelpunt liggen verplaatsen we beide naar het middelpunt: dat is over twee
tegengestelde vectoren. Daardoor verandert het zwaartepunt van de bol niet van plaats. Op die manier doorgaand verplaatsen we alle stukjes naar het middelpunt;
dáár ligt dus het zwaartepunt.
Op zoek naar evenwicht
23
Nu formeler met vectoren.
Kies het middelpunt als oorsprong. Verdeel de homogene bol weer in heel veel, heel kleine stukjes, die symmetrisch ten opzichte van het middelpunt liggen. Bij elk
stukje A hoort een spiegelbeeld A'. We tellen alle vecto-
A
O
ren OA en OA ' op. Omdat voor elke stukje A geldt dat
A'
OA + OA ' = 0 , is de som van al die vectoren 0 . Dus het
zwaartepunt is O: het middelpunt van de bol.
* 7
We bekijken het systeem van Aarde en Maan. Aarde
24
22
heeft massa 5,975 ⋅ 10 kg en Maan 7,343 ⋅ 10 kg. De
straal van Aarde is 6371 km en de straal van Maan is
1738 km. Hieronder staat een plaatje op schaal. Voor de
afstand Aarde-Maan is 100 mm gekozen. In werkelijkheid is die 384400 km (tussen de middelpunten van Aarde en Maan).
Waar ligt het zwaartepunt? Wat valt je op?
Je weet nu hoe je het zwaartepunt van twee massa's
kunt vinden. Vectoren zijn daarbij handig.
In de punten A en B bevinden zich de massa's a en b.
We kiezen een willekeurig punt O als oorsprong. Het
zwaartepunt Z is het eindpunt van de vector
OZ =
a
a +b
OA +
b
a +b
OB
Voor meer dan twee punten gaat het op net zo'n manier.
In paragraaf 5 bewijzen we dat dit juist is.
De punten A1, A2, A3, A4, A5 liggen op een rechte lijn. In
deze punten bevinden zich de gewichten a1, a2, a3, a4, a5.
We kiezen een willekeurig punt O als oorsprong en berekenen de som van de gewichten: a = a1+a2+a3+a4+a5 .
Dan vinden we het zwaartepunt Z als volgt:
OZ =
24
a1
a
OA1 +
a2
a
OA2 +
a3
a
OA3 +
a4
a
OA4 +
a5
a
OA5 .
Vectoren en zwaartepunten
OZ is een soort gemiddelde vector van OA1 , OA2 ,
OA3 , OA4 en OA5 . Hoe "zwaar" elk van die vectoren in
het gemiddelde meetelt, hangt af van de grootte van gewicht op de betreffende plaats.
1
2
3
4
O
8 Aan een gewichtloze staaf hangen de gewichten van
grootte 1, 2, 3 en 4.
a. Bepaal de plaats van het zwaartepunt door bovenstaande stelling toe te passen met het aangegeven punt
O als centrum
b. Doe dat ook door als oorsprong de plaats van het gewicht van grootte 4 te kiezen.
9 Het komt voor dat Saturnus, Jupiter en Zon nagenoeg op
een lijn liggen. Voor die situatie gaan we het zwaartepunt
van het systeem bestaande uit deze drie bepalen.
Saturnus
Jupiter
Zon
24
24
Saturnus heeft massa 568,5 ⋅ 10 kg, Jupiter 1900 ⋅ 10
27
kg en Zon 1978 ⋅ 10 kg.
De stralen van Saturnus, Jupiter en Zon zijn respectievelijk 115000 km, 138000 en 696500 km
6
Saturnus staat 1427 ⋅ 10 km van de Zon en Jupiter
6
778 ⋅ 10 km, gemeten vanaf hun middelpunten.
Ligt het zwaartepunt van deze drie binnen Zon?
5
6
6
7
7
7
9
9
10
10 Anneke heeft achtereenvolgens de volgende cijfers voor
wiskunde gehaald: 7, 6, 5, 9, 9, 10, 6, 7, 7.
Ze heeft de cijfers uitgezet op de getallenlijn.
Bepaal haar gemiddelde wiskundecijfer.
Merk de analogie op tussen het gemiddelde cijfer en het
zwaartepunt.
* 11 Op een tafel liggen drie gelijke blokken. Ze steken
gedeeltelijk over de tafelrand. Het zwaartepunt van elk
van de blokken veronderstellen we in hun midden. Als
het zwaartepunt van de drie blokken tezamen maar
boven het tafelblad ligt, ligt de stapel stabiel, anders
kantelt hij van tafel.
Blijft deze stapel liggen? De figuur staat groter op het
werkblad.
Op zoek naar evenwicht
25
Hoe ver kun jij een stapel blokken laten overhellen,
zonder dat de stapel omvalt? Op internet kun je je
talenten testen:
http://www.angelfire.com/bc3/mechanica/Applets/Hfdst3/
Zwaartepunt.htm
a1 a2
a3
a4
Z
| ZA1 | is de lengte
van de vector
ZA1 .
a5
12 De punten A1, A2, A3, A4, A5 liggen op een rechte lijn. In
deze punten bevinden zich de massa's a1, a2, a3, a4, a5 .
Veronderstel dat je het zwaartepunt Z gevonden hebt:
het ligt tussen het tweede en derde gewicht van links.
Nu kiezen we als oorsprong het zwaartepunt.
a. Wat is dan:
a1
a
a
a
a
⋅ ZA1 + 2 ⋅ ZA2 + 3 ⋅ ZA3 + 4 ⋅ ZA4 + 5 ⋅ ZA5 ?
a
a
a
a
a
b. Wat weet je dan van a1⋅| ZA1 |+ a2⋅| ZA2 | in vergelijking
met a3⋅| ZA3 | + a4⋅| ZA4 | + a5⋅| ZA5 |?
Als we de rechte lijn als balans beschouwen met als
draaipunt Z, dan heet a1⋅| ZA1 |+ a2⋅| ZA2 | het linker moment en a3⋅| ZA3 | + a4⋅| ZA4 | + a5⋅| ZA5 | het rechter moment.
Omdat het draaipunt Z is, zijn dus het linker en rechter
moment gelijk.
13 Hoe groot is x als de balans in evenwicht is?
Balansen in evenwicht brengen kan op:
http://www.walter-fendt.de/ph11nl/lever_nl.htm
26
Vectoren en zwaartepunten
4 Het belang van het zwaartepunt
Durf jij over een stalen kabel te fietsen, vijf meter boven
de grond?
Geen probleem in Technopolis te Mechelen. De truc is
dat het zwaartepunt van fiets-met-fietser onder de kabel
zit.
Foto: Technopolis, het Vlaamse
doe-centrum voor wetenschap en
technologie
Toelichting
In een stabiele situatie is het zwaartepunt in zijn laagste
positie. Bekijk de dwarsdoorsnede hieronder.
kabel
zwaartepunt
Als de fiets vanuit de verticale (veilige) stand naar links
of rechts zou bewegen, gaat het zwaartepunt omhoog.
De aarde zal het zwaartepunt onmiddellijk terugtrekken
naar het laagste punt.
1 De arend steunt met zijn snavel op de punt van een vinger. Hij kan best tegen een stootje: hij komt steeds weer
in de toestand van de foto terug, tenminste …. als de
stoot niet te heftig is.
Waar ongeveer vermoed jij het zwaartepunt van de
arend?
2 De scheve toren van Pisa is 55 meter hoog en heeft een
diameter van 15 meter. Hij staat 5 à 6 graden uit het lood.
Hij mag nog wel wat schever zakken voordat hij omvalt.
Dat gebeurt namelijk pas als zijn zwaartepunt buiten de
voet van de toren valt.
Veronderstel dat het zwaartepunt van de toren in zijn
middelpunt zit.
Hoeveel graden uit het lood mag de toren dan hoogstens
staan om niet om te vallen.
In het vlak en in de ruimte
27
3 Een (nog ongeopende) wijnfles steekt in
een standaard. Het geheel is stabiel.
Kun je dat verklaren?
Het zwaartepunt wordt ook wel massamiddelpunt genoemd; in het Engels: centre of mass. Voor veel berekeningen kun je doen alsof alle massa van het object in dat
punt geconcentreerd is (en dus kun je de afmetingen van
het object vergeten). Als we bijvoorbeeld over de snelheid
van een object spreken, dan bedoelen we de snelheid
waarmee het zwaartepunt van dat object beweegt. Binnen het object zelf kan er van alles bewegen of het object
kan om zijn as draaien; dat doet er niet toe.
In de mechanica passen we de wetten van Newton toe op
de zwaartepunten van de objecten.
4 Aan weerszijden van een veer bevinden zich twee gewichten. We drukken de gewichten naar elkaar toe, zodat
de veer gespannen wordt.
Wat gebeurt er met het zwaartepunt als we de gewichten
loslaten?
5 Een raket explodeert kort na de start; de brokstukken
vliegen alle kanten op.
Wat kun je zeggen van de beweging van het zwaartepunt?
In paragraaf 3 hebben we uitgelegd dat het zwaartepunt
van een homogene bol zijn middelpunt is. Precies dezelfde redenering gaat op voor elk puntsymmetrisch lichaam,
zoals een balk, een cilinder, een rugbybal, een diabolo, …
6 Van een massieve kubus is het middelpunt natuurlijk het
zwaartepunt. Dat geldt ook voor een holle kubus (waarvan de wanden overal even dik zijn).
Maar hoe zit het met een kubusvormig bakje zonder deksel? Dat heeft dus vijf (even dikke) wanden. Waar zit dan
het zwaartepunt?
28
Vectoren en zwaartepunten
7 Een limonadeglas glas heeft de vorm van een cilinder. De
diameter van het glas is 8 cm en een hoogte is 12 cm.
Deze maten zijn buitenmaten.
Het glas is overal even dik: 0,5 cm.
3
De dichtheid van glas is 3 kg/dm .
a. Op welke hoogte zit het zwaartepunt?
Het glas wordt tot de rand toe gevuld met water (de dicht3
heid van water is 1 kg/dm ).
b. Op welke hoogte zit het zwaartepunt nu?
P
P'
Hoe je in de praktijk het zwaartepunt vindt
Elk voorwerp (plat of ruimtelijk) heeft precies één zwaartepunt Z. Maak een touwtje vast in een punt P van het
voorwerp en hang het ermee op. Het voorwerp gaat zo
hangen, dat het zwaartepunt Z zo laag mogelijk komt.
Dus zó dat Z recht onder P komt te liggen.
Kies nu een ander punt P' om het touwtje aan vast te maken. Hang het voorwerp op en Z zal recht onder P' komen. We kennen nu twee lijnen waarop Z moet liggen.
Waar je het ophangpunt P ook kiest. Het verlengde van
het touwtje gaat altijd door Z !
8 We hangen een houten rechthoek van 40 bij 100 cm op
aan een touwtje. Het ophangpunt zit 10 cm van twee randen.
Teken hoe de rechthoek gaat hangen.
Homogene puntsymmetrische figuren hebben hun zwaartepunt in het symmetriepunt. Nogal logisch! Dit kun je
toepassen op een cirkel en een rechthoek. Maar hoe zit
het met een gelijkzijdige driehoek? Het zwaartepunt zit
natuurlijk in het "midden", maar waar zit dat precies? Ergens op de hoogtelijn natuurlijk (zie plaatje). Nu hoeven
we alleen nog maar de hoogte (boven de basis) te weten.
En daar kom je als volgt gemakkelijk achter.
Verdeel de gelijkzijdige driehoek in negen even grote gelijkzijdige driehoeken.
9 Op welke hoogte zit het zwaartepunt? Met andere woorden; wat is de verhouding van de twee stukken waarin het
zwaartepunt de hoogtelijn verdeeld?
In het vlak en in de ruimte
29
RAADSEL: Zes spijkers in balans
Je hebt zeven identieke grote spijkers met een duidelijke
kop. Sla een spijker in een plankje.
Lukt het je de andere zes spijkers op de kop van die spijker te laten balanceren?
30
Vectoren en zwaartepunten
5 In het vlak en de ruimte
In paragraaf 3 hebben we gewichten op een lijn bekeken:
het eendimensionale geval. We stappen nu over naar
twee dimensies. Het principe blijft hetzelfde: als je twee
gewichten tegengesteld aan elkaar verplaatst, blijft het
zwaartepunt op zijn plaats.
Op de hoekpunten van een verder gewichtloze driehoek
zitten gewichten van grootte 1, 2 en 2. We gaan het
zwaartepunt Z op twee manieren vinden.
manier 1
manier 2
1
2
2
1
2
2
1
2
3
3
1
3
2
1
2
1
2
4
4
5
5
3
5
2
5
1
5
5
1 Ga na hoe het zwaartepunt met het schuifprincipe is gevonden.
C
Z
A
D
B
Het is niet bij voorbaat duidelijk dat we op beide manieren
hetzelfde zwaartepunt Z vinden.
We volgen de linker constructie.
Noem de hoekpunten van de driehoek A, B en C. Het
punt D verdeelt BC in stukken die zich verhouden als 1: 2.
Z is het zwaartepunt.
Kies een willekeurig punt O als oorsprong. Dan geldt:
OZ = 25 OA + 53 OD = 52 OA + 35 ( 23 OB + 13 OC ) =
2
5
OA + 25 OB + 15 OC .
Natuurlijk levert de rechter constructie hetzelfde resultaat.
In het vlak en in de ruimte
31
We zien dat OZ een soort gemiddelde vector is van OA ,
OB en OC , waarbij hoe zwaar elk van deze vectoren
meetelt bepaald wordt door de gewichten in de betreffende punten.
Eigenlijk doet het er niet toe in hoeveel dimensies we
werken. De punten A, B en C mogen best op een rechte
lijn liggen. En als ABC een driehoek in de ruimte is, hoeft
de gekozen oorsprong niet in het vlak van de driehoek te
liggen. De werkwijze met vectoren is dus algemeen geldig.
C
A
B
2 Bepaal het zwaartepunt van de gewichtloze driehoek ABC
bij de volgende gewichten in de hoekpunten:
a. in A: 1 , in B: 1 , in C: 2
b. in A: 1 , in B: 4 , in C: 5
c. in A: 1 , in B: 1 , in C: 1
3 Een mediaan van een vierhoek is de verbindingslijn van
de middens van twee overstaande zijden.
Op de hoekpunten van een gewichtloze vierhoek zitten
gelijke gewichten.
Bewijs dat het zwaartepunt het snijpunt is van de medianen.
4 Op de hoekpunten van een gewichtloze vierhoek ABCD
zitten gelijke gewichten.
We bepalen (in gedachten) de zwaartepunten van de
driehoeken ABC, ABD, ACD en BCD.
Bewijs dat het zwaartepunt van deze vier zwaartepunten
hetzelfde is als het zwaartepunt van hele vierhoek.
Opmerking
Dit is niet juist, als de gewichten in A, B en C verschillende van grootte zijn.
5 Gegeven zijn vijf gewichten in een vlak (of in de ruimte, of
op een lijn): 2, 3, 5, 7 en 10, op de plaatsen P1, P2, P3,
P4 en P5.Om het zwaartepunt te vinden kunnen we
(bijvoorbeeld) als volgt te werk gaan:
- bepaal het zwaartepunt Z1 van de gewichten 2, 3 en 5,
- bepaal het zwaartepunt Z2 van de gewichten 7 en 10,
- bepaal het zwaartepunt van het systeem met gewicht
10 in Z1 en gewicht 17 in Z2.
Bewijs dat je zo inderdaad het zwaartepunt van de vijf
gewichten vindt.
32
Vectoren en zwaartepunten
In opgave 5 heb je aan de hand van een voorbeeld gezien dat je het zwaartepunt kunt vinden door dat “stukje
bij beetje” te doen. En die stukjes mag je zelf kiezen.
1
2
2
6 Bepaal het zwaartepunt van de zes massa’s hiernaast.
2
1
1
7 In elk hoekpunt van een gewichtloos viervlak zit eenzelfde
gewicht.
a. Bepaal de plaats van het zwaartepunt.
b. Hoe hoog zit het zwaartepunt boven het grondvlak?
8 In elk van de hoekpunten van een vijfzijdige piramide zit
eenzelfde gewicht.
a. Bepaal de plaats van het zwaartepunt.
b. Hoe hoog zit het zwaartepunt boven het grondvlak?
9 Een trappiramide bestaat uit vier even dikke plakken van
1x1, 2x2, 3x3 en 4x4.
Op welke hoogte zit het zwaartepunt?
In het vlak en in de ruimte
33
10 Vier keer een vierzijdige piramide met ribben van lengte
1. De hoogte van de piramide noemen we h (Met de
stelling van Pythagoras vind je dat h = √½.)
De gewichten zitten in de hoekpunten, in elk hoekpunt
hetzelfde gewicht (de ribben zijn gewichtloos).
a. Op welke hoogte boven het grondvlak bevindt zich het
zwaartepunt?
In de staafjespiramide zit het gewicht in de ribben. De
acht ribben zijn even zwaar.
b. Op welke hoogte boven het grondvlak bevindt zich het
zwaartepunt?
De piramide is nu gesloten: de vijf grensvlakken bestaan
uit plaatwerk. Het gewicht van een grensvlak is dus
evenredig met de oppervlakte. Verder is de piramide hol.
c. Op welke hoogte boven het grondvlak bevindt zich het
zwaartepunt?
In het vierde geval is de piramide massief. En homogeen.
Met integraalrekening kan de plaats van het zwaartepunt
bepaald worden. Dat blijkt op hoogte ¼ van de hoogte
boven het grondvlak te zitten. In de appendix staat een
afleiding zonder integreren.
34
Vectoren en zwaartepunten
Appendix
Het zwaartepunt van een homogene driehoek
We willen het zwaartepunt van driehoek 1 hebben. Leg
er nog drie identiek exemplaren bij, zoals hieronder. Kies
de oorsprong O en de vectoren a en b zoals in de tekening.
2
B
4
b
1
O
3
a
A
De massa van 1 noemen we 1 en de zwaartepuntsvector
van 1 noemen we z.
Dan zijn de zwaartepuntsvectoren van 2, 3 en 4: z + b,
z + a en -z + a + b.
De zwaartepuntsvector van de grote driehoek is 2z.
Er geldt: 2z = 3( z + (z + b) + (z + a) + (-z + a + b)) =
1z + 1a + 1b.
Dus z = 2a + 2b.
Appendix
35
Het zwaartepunt van een homogeen driezijdig prisma
We kiezen de oorsprong in een van de hoekpunten van
het prisma, zie plaatje
We noteren
OA , OB enzovoort met a, b enzovoort.
C
A
B
O
Het zwaartepunt van het prisma noemen we Z, dan is:
z = 2a + 2b + 1c.
Het zwaartepunt van een homogene driezijdige piramide
De inhoud van een
piramide is 1/3 van
de inhoud van het
prisma met hetzelfde
grondvlak en gelijke
hoogte.
De driezijdige piramide wordt door vlakken door de middens van ribben verdeeld in twee kleinere piramides en
twee driezijdige prisma's.
We nemen de inhoud van zo'n kleine piramide als inhoudseenheid, dan is de inhoud van de grote piramide 8
en de inhoud van elk van de twee prisma's 3.
C
B
A
O
36
Vectoren en zwaartepunten
We kiezen één van de hoekpunten van de grote piramide
als oorsprong. Het zwaartepunt van de piramide noemen
we Z.
Het zwaartepunt van de kleine piramide met hoekpunt C
noemen we Z1, het zwaartepunt van de kleine piramide
met hoekpunt O noemen we Z2, het zwaartepunt van het
prisma met hoekpunt A noemen Z3 en het zwaartepunt
van het prisma met hoekpunt B noemen we Z4.
C
1
B
4
3
A
2
Er geldt:
z1 = 1c + 1z
z2 = 1z
z3 = 1a + 2 ⋅ 1a + 2 ⋅ 1b + 1 ⋅ 1(c – a) = O
5
12
a + 5b + 3c
z4 = 1b + 2 ⋅ 1(a – b) + 2 ⋅ 1(c – b) + 1 ⋅ 1b = 5a +
5
12
b + 5c
Er geldt:
7
7
7
z = 7z1 + 7z2 + Iz3 + Iz4 = 7z + 32
a + 32
b + 32
c.
Hieruit volgt dat z = 3a + 3b + 3c.
Met gelijkvormigheid volgt nu dat het zwaartepunt van
een homogene driezijdige piramide op hoogte 3 van de
hoogte van de piramide boven het grondvlak ligt.
Aangezien elke piramide in driezijdige piramides met dezelfde top kan worden opgedeeld, geldt dit voor elke piramide.
Appendix
37
Antwoorden
Paragraaf 1 Vectoren
1 a. 2 ; 2 ; 1
b.
c.
d.
-
-
f.
2 a.
r
x
r
y
r
y
r r
x+y
r
x
r
x
r
x
r
2y
r
r
x + 2y
r
−y
r r
x−y
b.
r
y
r r
2x + y
r
2x
r
−x
r r
− ( x + y)
r
−y
r
x
r
r
x − 2y
r
− 2y
38
Vectoren en zwaartepunten
3 a.
b. Nee
4 a. k = 2, m = 1
b. k = -3, m = 2
r r r
5 a. Ja, want v = w − u .
b. k = 1, m = 1
c. k = -5, m = 2
6 a.
2PQ +11 PR
1 21 PR
2PQ
b.
2PQ
-11 PR
2PQ −11 PR
c.
S
U
R
T
P
Q
PUST is een parallellogram. PS = PT + PU .
Er geldt: PT = 2PQ en PU = 3PR, dus k = 2 en m = 3.
a
7
A
r
v
O
B
b
De componenten zijn OA en OB .
Antwoorden
39
r
a
9
r
x
r
b
10
r
11 De som van de vier vectoren is 0 .
12
P2
P1
P0
r
y
r
y
r
x
P
De verschoven punten liggen op de stippellijn.
r
r r
r
13 2 ⋅ (a + b) = 2 ⋅ a + 2 ⋅ b
Paragraaf 2 Toepassingen
1 a. 3 keer
b.
resultante
3 cm
2 a.
b.
c. 7 cm
d. 1 cm
7 cm
3 2 + 4 2 = 5 km / h
g. tan(α) = 12
α ≈ 53°
f.
40
Vectoren en zwaartepunten
e.
α
3 a.
r
u
α
r
v
r
s
r
b. | v | = 3 2 + 3,75 2 ≈ 4,8
r
r
3
, dus α ≈ 39° en de hoek tussen v en s is
3,75
dus 39° + 90° = 129°.
De veerboot moet zelf 4,8 km/h varen.
r
u
4 a.
30°
r
r
w
v
tan(α) = r
r
b. | u | = 3 ≈ 1,73 , | w | = 1
5 a. Voor tekening zie b; 2 3 ≈ 3,5.
r r
b.
a+b
r r
a−b
c. 2
6 a.
Mieke
b.
Antwoorden
2 ≈ 1,4 keer zo groot
41
7 a
B0
B1
C0
A3
C1
A2 C2
B2
C3
A1
B3
A0
8
x = 1 ( a + b )
9 b. 1 ⋅ ( x + y )
c. x + y ; 11 ⋅ ( x + y ) ; enzovoort.
d. Omdat je in c steeds veelvouden van dezelfde vector
vindt.
e. 21√5 ≈ 5,6
10 a.
a
a
b
b
b.
β γ
α
α + β = 90°
β + γ = 90°
α=γ
De component langs b heeft lengte 12cos(37°) ≈ 9,58.
11 b. Ja, de lengte van de trekkracht-vector is groter dan
de component van de zwaartekracht-vector.
42
Vectoren en zwaartepunten
r
r
r
r
12 a. a = ( −2,5), b = (1,6), w = (−3,3), v = (1,0)
b.
c.
r
r
r
r
r
r
a = 3v + 1 32 w en b = 7 v + 2w
r
v
13 a.
r
v+w
r
w
r r
v + w = (1,1)
r
b. 2 ⋅ v = ( 4,6 )
r
r
c. v = 22 + 32 = 13 , w = 5
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
14 b. OF = x + y + z ; HB = x + y − z ; BG = z − x ; CH = z − y
r r
AC = y − x
r
r
r
r r
r
c. OP = x + 21 y + 21 z ; OQ = 21 x + y + 21 z ;
r
r
PQ = OQ − OP = − 21 x + 21 y
r
r
r r
d. PQ = − 21 x + 21 y = 21 (y − x ) = 21 AC
15 a. (1, 2, -2); OQ – OP
b. (2, 2, 3)
16 a. (-3, 2, 4)
b.
Antwoorden
2 2 + 3 2 + 4 2 = 29
43
17 a.
2
1
regen
3
val
wind
b. Toelichting bij de tekening hieronder: AQ en BR zijn
evenwijdig met de lichaamsdiagonaal van het blok uit a
en PQ en SR zijn evenwijdig met de diagonaal van het
grondvlak van het blok uit a.
A
c. 125 cm
P
B
S
R
Q
c. AP: breedte strook = hoogte blok : diepte blok = 3 : 1,
dus de strook is 1,25 m breed.
d. In het blok geldt:
lengte lichaamsdiagonaal : lengte diagonaal grondvlak =
7 : snelheid, dus snelheid =
5
14
7 ≈ 4,2 m/s.
18 a. (0,9,0) , (0,0,9) , (9,0,0)
b. De som van de vectoren is niet (0,0,0).
c. AB = (-3,6,-3) , BC = (-3,-3,6) , CA = (6,-3,-3)
AB + BC + CA = (0,0,0), dus is de figuur mogelijk.
d. AB = (-2,6,-2) , BC = (-2,-2,6) , CA = (6,-2,-2)
AB + BC + CA ≠ (0,0,0), dus is de figuur onmogelijk.
44
Vectoren en zwaartepunten