1 Getallen en meetwaarden

8 Alles op een rijtje
Probleem 1 – identiteitskaart
Op een identiteitskaart staan veel getallen. Wat betekenen ze?
Probleem 2 – met welke getallen kun je rekenen?
Op het bonnetje van een tankstation staan veel getallen.
Welke getallen zijn gebruikt om te rekenen en welke getallen
zijn uitkomsten van berekeningen?
Probleem 3 – bij elk punt een getal
Heeft elk getal een plek op de getallenlijn? En is er een getal voor elk punt op de getallenlijn?
Meten en getallen
3 Notatie en nauwkeurigheid
30 juni 2009
8.1 Natuurlijke getallen
Getallen kom je overal tegen. De huisnummers van de huizen in de
straat, op verkeersborden, in advertenties in de krant, noem maar op.
Soms zijn deze getallen alleen maar bedoeld om iets aan te duiden,
als een soort etiketje, een identificatienummer. Bijvoorbeeld, een
bankrekeningnummer of een artikelnummer in een winkel wordt
gebruikt voor de identificatie van een bankrekening of artikel. Dat
zijn geen getallen om mee te rekenen. Ze zijn vaak wel gegroepeerd, bijvoorbeeld alle
bankrekeningnummers die met de cijfers 38 beginnen horen bij een bepaalde bank.
Oplossing van probleem 1 – identiteitskaart
Er zijn getallen die kenmerken geven van de persoon, zoals haar lengte (1,75 meter), het jaar
(1972) en de dag (14e) van haar geboorte, het jaar en de dag van de uitgifte van het bewijs en
tot wanneer het geldig is. Verder staat het BSN (burger service nummer, 123456783) op de
kaart. De identificatie code van de kaart zelf (XI020DF23) is geen getal, al staan er een paar
cijfers in deze code.
Een huisnummer is ook een soort etiketje, maar hier is de volgorde toch
wel van belang. In een straat zal huis nr. 52 waarschijnlijk dichtbij nr. 58
staan.
Getallen als ‘drie’ in “Er zijn nog drie beschuitjes in de trommel” of ‘vijf’ in “De vijfde straat
na de brug moet je rechtsaf” noemen we natuurlijke getallen. Het zijn de getallen waarmee je
telt en waarmee je een aantal aangeeft.
Eigenschappen van de natuurlijke getallen
Natuurlijke getallen kun je een plaats geven langs een lijn, de getallenlijn. De getallenlijn
begint bij 0 maar gaat – in gedachten – eindeloos door want er is geen grootste getal. De
ruimtes tussen twee opeenvolgende getallen doen nog niet mee.
Je kunt twee natuurlijke getallen optellen en vermenigvuldigen en je krijgt weer een natuurlijk
getal. Je kunt bepalen of een getal deler is of een veelvoud van een ander getal. Je kunt zien of
een getal een priemgetal is. Elk natuurlijk getal, groter dan 1, kun je op maar één manier
schrijven als het product van priemgetallen.
8.2 Gehele getallen
Getallen kunnen negatief zijn. Negatieve getallen worden wel eens tekortgetallen genoemd.
Als je € 57 op je rekening hebt staan en je geeft tachtig euro uit, dan wordt je saldo – € 23, je
staat ‘in de min’. Als het vier graden Celsius is en het wordt zes graden kouder, dan wijst de
thermometer –2 °C aan.
Het min-teken werd pas aan het eind van de Middeleeuwen voor het eerst gebruikt, daarvoor
gebruikte men wel de letters m (min, negatief) en p (plus, positief). Ook tegenwoordig wordt
het teken van een getal wel eens aangeduid met letters, bijvoorbeeld CR (credit) voor
positieve en DB (debet) voor negatieve bedragen.
De negatieve getallen staan ‘aan de andere kant’ van de getallenlijn, die dus nu aan beide
zijden eindeloos is. De natuurlijke getallen samen met de negatieve (gehele) getallen heten de
gehele getallen.
Je kunt twee gehele getallen optellen en aftrekken en vermenigvuldigen en je krijgt weer een
geheel getal.
Meten en getallen
3 Notatie en nauwkeurigheid
30 juni 2009
8.3 Rationale en irrationale getallen
Breuken worden rationale getallen genoemd omdat ze een verhouding (ratio) aangeven
tussen twee getallen (de teller en de noemer). Elk geheel getal is een rationaal getal omdat het
als een breuk geschreven kan worden.
De rationale getallen kun je optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen (maar niet door 0)
en je krijgt weer een rationaal getal.
De rationale getallen liggen dicht op de getallenlijn. Dat noemt men zo omdat tussen elk
willekeurig paar rationale getallen, hoe dicht ze ook bij elkaar liggen, een ander rationaal
getal ligt (bijvoorbeeld, het gemiddelde).
Je weet dat in een rechthoekige, gelijkbenige driehoek (de vorm van een geodriehoek)
verhouden de lengtes van de schuine en een korte zijde zich als √2 : 1. Dat kun je aantonen
met de beroemde Stelling van Pythagoras, die overigens al ver vóór Pythagoras bij de
Babyloniërs bekend was.
Een stelling, wel van Pythagoras en zijn volgelingen (hij was een sekteleider) afkomstig, is
dat alle getallen rationaal zijn. De Pythagoreërs hebben veel moeite gedaan om aan te tonen
dat √2 als breuk is te schrijven, maar dat bleek onmogelijk! De Pythagoreërs hielden dit
bewijs angstvallig geheim. Volgens de overlevering is zelfs iemand die dit toch bekendmaakte
om het leven gebracht.
Aan Pythagoras zijn meer opmerkelijke stellingen toegeschreven. “De hemel is harmonie en
getal”. “Vriendschap is gelijkheid, gelijkheid vriendschap”. “Jongens moeten voor hun
twintigste geen seks hebben”.
Elke wortel uit een natuurlijk getal dat niet een kwadraat is, is irrationaal en er zijn meer
irrationale getallen. Het meest bekend is π, de verhouding tussen de omtrek en de diameter
van een cirkel. Ook hiervoor hebben de Grieken tevergeefs veel moeite gedaan om aan te
tonen dat het rationaal was.
De rationale en irrationale getallen samen noemen we de reële getallen. Elk reëel getal heeft
een plek op de getallenlijn en andersom, bij elk punt van de getallenlijn hoort een reëel getal.
De reële getallen zijn niet alleen dicht maar ook volledig.
8.4 √2 is niet als breuk te schrijven (keuze/extra)
Euclides heeft een mooi bewijs uit het ongerijmde gegeven van de stelling dat √2 irrationaal
p
is. Veronderstel dat √2 wel als breuk is te schrijven, dus 2  q . Je mag ervan uit gaan dat
deze breuk vereenvoudigd is, dus p en q zijn niet allebei even (want dan had je teller en
p
noemer door 2 kunnen delen). Omdat 2  q is 2  q  p en dus ( 2  q ) 2  p 2 .
 
2
Nu geldt p 2  ( 2  q) 2  ( 2  q)  ( 2  q)  2  q 2  2q 2 . Het kwadraat van p is even
(heeft ten minste één factor 2), dan moet p zelf even zijn.
Welnu, als p even is, dan is p te schrijven als 2r met r een natuurlijk getal (de helft van p).
Omdat we net hebben gezien dat p 2  2q 2 , is (2r ) 2  2q 2 , en dus is
2q 2  (2r )2  2r  2r  2  2r 2 , dus q 2  2r 2 . Het kwadraat van q is even, dan moet q zelf
even zijn. Maar, p en q allebei even, dat klopt niet, dus √2 is niet als breuk te schrijven.
Meten en getallen
3 Notatie en nauwkeurigheid
30 juni 2009
Opgaven
Opgave. In welk jaar is dit huis gebouwd? Let op de
bijzondere schrijfwijze van een M: CIƆ en een D: IƆ.
Wat is tegenwoordig de functie van Romeinse getallen?
Opgave. Ken je meer voorbeelden van getallen
waarmee niet gerekend wordt en die personen of dingen
identificeren? Zijn de getallen gegroepeerd?
Opgave. In een straat staat een huis nr. 164 heel ver van nr. 167. Wat kan hiervan de oorzaak
zijn?
Opgave. Noem enkele voorbeelden van het gebruik van getallen als volgnummers.
Opgave. Wat zij de delers van 150? Welke daarvan zijn priemdelers? Schrijf 150 als product
van priemfactoren.
Opgave. Bereken de ggd en het kgv van 14 en 21. Ga na dat het product van de ggd en het
kgv, gelijk is aan het product van de twee getallen.
Opgave. Natuurlijke getallen kun je optellen en vermenigvuldigen en het resultaat is weer een
natuurlijk getal. Dit geldt ook voor kwadrateren. Laat zien dat het resultaat van aftrekken,
delen en worteltrekken niet altijd een natuurlijk getal is. In welke gevallen is de uitkomst wel
een natuurlijk getal?
Opgave. Hieronder zie je een getallenlijn. Neem deze over met het schema van de soorten
getallen. Een paar getallen zie je al staan. Schrijf er de getallen -3, -2, 0, 2, 3 bij op de juiste
hoogte, dus bij de juiste soort. Voeg er de getallen 2 12 ,  3 23 , 2 , 53 ,   aan toe.


natuurlijk

 geheel 
rationaal 
negatief geheel
reëel 
 gebroken


irrationaa l

Meten en getallen
1
-4
3 Notatie en nauwkeurigheid
4
-1
30 juni 2009