Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10

ONBETWIST
ONderwijs verBETeren met WISkunde Toetsen
Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra
Deliverable 3.10
Henk van der Kooij
ONBETWIST
Deliverable 3.8
ONBETWIST
ONderwijs verBETeren met WISkunde Toetsen
Inleiding
De redactie Lineaire Algebra heeft een aantal voorbeeldtoetsen vervaardigd over de
onderwerpen
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Vectoren in de R2 en R3
Rekenen met matrices
Stelsels lineaire vergelijkingen
Vectorruimten
Determinanten
Eigenwaarden
Inproducten
Lineaire afbeeldingen
Het betreft hier een verzameling van meer dan 80 opgaven, zowel open als multiple choice.
Daarnaast is een groot aantal reeds bestaande interactieve opgaven verzameld. Momenteel is
het reviewproces van deze opgaven aan de gang.
De toetsen en overige opgaven zijn beschikbaar via http://moodle.onbetwist.org onder de
sectie Lineaire algebra en zijn als bijlage aan dit document toegevoegd.
ONBETWIST
Deliverable 3.8
Lineaire Algebra, Vectoren in R2 en R3
Opgave 1.
 
 
 
1
−1
2
Bepaal 3 · 2 − 7 ·  1  + 2 ·  1 .
1
3
−1
Opgave 2.
Geef een vergelijking in de vorm ax + by = c voor de lijn door de punten A(1, 2)
en B(3, −4).
Opgave 3.
Wat is de afstand tussen de twee punten A(1, 3, −2) en B(−2, 1, 1)?
Opgave 4.
Bepaal de oppervlakte van de driehoek ABC als A = (1, 1, 1), B = (2, 3, −1) en
C = (0, 1, −1).
Opgave 5.
De lijn ` in R2 wordt gegeven door de vergelijking 6x + 5y = −3.
x
a
c
Geef een vectorvergelijking voor ` in de vorm
=
+λ·
.
y
b
d
1
Opgave 6.
Bepaal het snijpunt P van het vlak V gegeven door de vergelijking x+4y+z = 36
en de lijn ` door de punten (2, −4, 0) en (−1, 2, 4).
Opgave 7.
Bepaal de afstand van het punt P (3, 3) tot de lijn ` door de twee punten A(1, −1)
en B(3, 1).
Opgave 8.
Het vlak V gaat door de drie punten A(1, 1, 1), B(2, 3, 1) en C(5, 1, 2). Geef een
vergelijking van het vlak in de vorm ax + by + cz = d.
Opgave 9.
Wat zijn de coördinaten van het spiegelbeeld van het punt P (3, 3, 1) in het vlak
V gegeven door de vergelijking 2x + y − z = 2?
Opgave 10.
Wat is de afstand tussen de twee lijnen ` en m gegeven door de vectorvergelijkingen
 
   
 
   
5
1
x
1
2
x
` : y  =  1  + λ 1 en m : y  = 2 + µ 0.
−1
1
z
1
1
z
2
Lineaire Algebra, Rekenen met matrices
Opgave 1.
Bepaal 3 ·
1
2
2
−1
−7·
1
1
3
−1
+2·
1
1
2
.
2
Opgave 2.
Bepaal
1
2
3
2
1
Opgave 3.

2
Bereken  3
−2

1
−2

1 ·
1
2
3
.
1
Opgave 4.
Als A een 7×3 matrix is en B een 3×5 matrix. Wat is dan het aantal kolommen
van (AB)> ?
Opgave 5.
1
Bereken
3
2
5
·
−1
7
4
−1

2
3 
· −1
2
4
1

3
0 1
−1 ·
.
0 0
−2
Opgave 6.
Geef een 3 × 3 matrix A met A 6= 0, maar A3 = 0.
Opgave 7.
Als A een 3 × 3 matrix is, waarvoor geldt dat AB = BA voor alle 3 × 3 matrices
B, wat is dan de sterkste uitspraak over A.
a. A = I
b. A is een scalair veelvoud van I.
c. A is een bovendriehoeksmatrix.
d. A kan elke 3 × 3 matrix zijn.
Opgave 8.
Welke uitspraak is waar?
a. Voor alle n × n matrices A en B geldt AB − BA = 0.
b. Voor alle n × n matrices A en B geldt AB − B > A> = 0.
c. Voor alle n × n matrices A en B geldt (AB)> − B > A> = 0.
d. Geen van bovenstaande beweringen is waar.
Opgave 9.
Als A een 3 × 3 matrix is, waarvoor geldt dat AB = BA voor alle 3 × 3 matrices
B, wat is dan de sterkste uitspraak over A.
a. A = I
b. A is een scalair veelvoud van I.
c. A is een bovendriehoeksmatrix.
d. A kan elke 3 × 3 matrix zijn.
2
Opgave 10.
Bepaal een 2 × 2 matrix A met A
1
3
1
5
=
en A
=
.
1
5
−1
−1
3
Lineaire Algebra, Oplossen van lineaire stelsels
Opgave 1.
Beschouw het volgend stelsel lieaire vergelijkingen:
4x − 7z
8y − 3x + 2z
3z − 2y
= 8
= 0
= 6
Wat is de uitgebriede coefficiëntenmatrix voor dit stelsel?
Opgave 2.
Zin A een 3 × 3-matrix en b een vector in R3 .
De vergelijking Ax = b heeft als uitgebreide coëfficiëntenmatrix de 3 × 4-matrix
A | b.
prcies één van de volgende beweringen is fout. Welke?
a. Vermenigvuldiging van de tweede regel uit A | b met 3 zal, in het algemeen,
de oplossingsverzameling niet veranderen.
b. Vermenigvuldiging van de tweede kolom uit A | b met 3 zal, in het algemeen,
de oplossingsverzameling niet veranderen.
c. Optellen van de tweede rij bij de derde uit A | b zal, in het algemeen, de
oplossingsverzameling niet veranderen.
d. Verwisselen van de tweede en derde regel uit A | b zal, in het algemeen, de
oplossingsverzameling niet veranderen.
Opgave 3.
1
De rij-gereduceerde matrix van

0
1

0
1

0
a
0
1
b
0

1
c
c
0 b − c −c
a
0
0
0
waarbij a 6= 0 is gelijk aan
Opgave 4.
De vergelijking Ax = b, met

0
A= 1
−2
en
2
−1
3
 
2
b = 0
6
heeft een unieke oplossing.

−3
2
−3
Deze oplossing is gelijk aan
Opgave 5.
Voor p ∈ R is gegeven

2
A= 1
−1
2
p
0

 
−2
0
2 en b =  p2 
p
0
De vergelijking Ax = b heeft geen oplossingen voor precies één waarde van p.
Voor welke p is dat zo?
Opgave 6.
Stel

1
A= 0
−1

 
0 1
u
1 2 en b =  u 
2 3
w
2
De vergelijking Ax = b heeft alleen oplossingen als u, v en w aan een vergelijking
voldoen. Wat is deze vergelijking?
Opgave 7.
Stel

p
A = 1
1
0
0
p

p+1
2 
1
De vergelijking Ax = 0 heeft oneindig veel oplossingen voor twee waarden voor
p. Welke?
3
Lineaire Algebra, Vectorruimten
Opgave 1.
De eigenschap dat in een vectorruimte V geldt dat (u + v) + w = u + (v + w)
voor alle u, v, w ∈ V heet:
a. Commutativiteit.
b. Associativiteit.
c. Geslotenheid onder optelling.
Opgave 2.
Wat is de dimensie van de reële vectorruimte van reële n × n matrices?
a. n.
b. 2n.
c. n2 .
Opgave 3.
Laat V de verzameling zijn van alle functies f op [−1, 1] waarvoor geldt dat
f (−x) = −f (x) voor alle x ∈ [−1, 1]. Voor f, g ∈ V definiëren we f + g op de
gebruikelijke wijze, en zo ook αf voor α ∈ R.
Precies één van de volgende uitspraken is correct. Welke?
a. V is een vectorruimte.
b. V is geen vectorruimte want V is niet gesloten onder de gegeven optelling.
c. V is geen vectorruimte want V wordt niet opgespannen door eindig veel
vectoren uit V .
Opgave 4.
Welke van de volgende is geen axioma voor een vectorruimte V ?
1
a. 0u = 0 voor alle u ∈ V
b. 1u = u voor alle u ∈ V .
c. c(du) = (cd)u voor alle c, d ∈ R en u ∈ V .
Opgave 5.
Welke van de volgende deelverzamelingen H van de verzameling V van 2 × 2
matrices is geen deelruimte?
a. De deelverzameling H van bovendriehoeksmatrices.
b. De deelverzameling van symmetrische matrices.
c. De deelverzameling van matrices die niet symmetrisch zijn.
Opgave 6.
Laat V de verzameling zijn van alle horizontale vectoren van lengte twee, tezamen met alle verticale vectoren van lengte twee, oftewel,
b1
V = {(a1 , a2 ), a1 , a2 ∈ R} ∪
, b1 , b2 ∈ R .
b2
Definieer de volgende optelling op V . Als v, w ∈ V beide horizontaal of beide
verticaal zijn, definieer hun som v + w dan als gebruikelijk. Is dit niet het geval,
definieer dan
v1 + w1
v+w =
.
v2 + w2
Dus, de som is in dat geval altijd verticaal. Definieer de vermenigvuldiging met
een scalair c ∈ R zoals gebruikelijk,
v1
cv1
c
=
,
c(w1 , w2 ) = (cw1 , cw2 ).
v2
cv2
Precies één van de volgende uitspraken is correct. Welke?
De verzameling V met de gedefinieerde optelling en vermenigvuldiging met een
scalair is geen vectorruimte omdat:
a. De optelling niet associatief is.
b. Er geen nulvector in v bestaat.
c. Niet iedere v ∈ V heeft een tegengestelde −v.
Opgave 7.
Welke van de volgende is geen vectorruimte?
2
a. De verzameling van polynomen van graad ten hoogste twee gedefinieerd op
het interval [0, 1], met de gebruikelijke optelling van functies, en de gebruikelijke
vermenigvuldiging van een functie met een scalair.
b. De verzameling van alle inverteerbare 2×2 matrices, met de matrix-optelling,
en de vermenigvuldiging van een matrix met een scalair.
c. De verzameling van alle rijtjes getallen (an )∞
n=1 met de gebruikelijke elementsgewijze optelling, en de gebruikelijke vermenigvuldiging met een scalair.
Opgave 8.
Beschouw de complexe vectorruimte V van complexe 3 × 3 matrices. Laat H
de deelverzameling zijn van Hermitische matrices, oftewel, matrices A waarvoor
A∗ = A.
Precies één van de volgende uitspraken is correct. Welke?
a. H is aan deelruimte van V van dimensie 6.
b. H is aan deelruimte van V van dimensie 12.
c. H is niet gesloten onder de gebruikelijke scalaire vermenigvuldiging.
Opgave 9.
Wat is de dimensie van de vectorruimte van symmetrische 3 × 3 matrices?
3
Lineaire Algebra, Determinanten
Exercise 1.
Bepaal het oppervlak van de driehoek in R2 met hoekpunten (−1, 4), (3, 2), (0, 1).
Exercise 2.
Bepaal het oppervlak van de driehoek in R2 met hoekpunten (6, 1), (1, 2), (−3, 1).
Exercise 3.
Bepaal het volume van het viervlak in R3 met hoekpunten (1, 0, 0), (2, 3, 4), (−1, 0, 2), (3, 2, −1).
Exercise 4.
Bereken
2
1
0
−3
4
1
Exercise 5.
1
2 0 .
−5
Bereken
−1
2
0
3
1
0
0
−3
2
−5
0
1
−1
0
0
1
−2
0
0
−1
2
−1
1
1
3 0 .
−1
4
Exercise 6.
Bereken
Exercise 7.
Bereken
a b
0 a
a 0
0
b .
b
a. (a + b)3
b. a3 + b3
c. ab(a + b)
Exercise 8.
Bereken
0
b
0
a 0
c d .
e 0
2
1 0 .
−1
−1
a. 0
b. bd + ae
c. ab + de
Exercise 9.
Gegeven is dat
a
d
g
Bepaal de determinant van
a
2d − 3g
g
Exercise 10.
Gegeven is dat
Bepaal de determinant van
b
c 2e − 3h 2f − 3i .
h
i a
d
g
b c e f = 4.
h i
a
d
g
b c e f = 4.
h i
a − b
d − e
g − h
Exercise 11.
Gegeven is dat
b c e f = 4.
h i
a+b
d+e
g+h
3
c f .
i
Bepaal de determinant van
a
b + 2a
−c
d
e + 2d
−f
g h + 2g .
−i Exercise 12.
Zij A een n × n-matrix en λ ∈ R. Dan is det(λA) gelijk aan
a. λ det(A)
b. nλ det(A)
c. λn det(A)
Exercise 13.
1 2 −1
Zij A = 5
. Bepaal de determinant van A.
1 2
Exercise 14.
Beschouw het stelsel vergelijkingen
x1
x1
Is de volgende bewering waar: de
1
1
x1 = 1
1
+ 3x2
− x2
=4
.
=0
regel van Cramer geeft ons als oplossing
4 3 4
0 −1
0
x2 = 1 3 .
3 1 −1
−1
4
a. Waar
b. Niet waar
Exercise 15.
Los met de regel van Cramer het stelsel
x1
x1
x1
− 2x2
+ x3
+ x3
− 2x2
= −1
=3
=0
op en geef de waarde van x1 .
Exercise 16.
Welk van de volgende determinanten is nul voor willekeurige
0
a
0
a
0
−a 0
0 a
, (2) −a 0 b , (3) (1) 0 −b
−a 0
0 −b 0
0
0
keuze van a, b, c?
0 0
b 0
0 c −c 0
a. determinant (1)
b. determinant (2)
c. determinant (3)
Exercise 17.
Welk van de volgende determinanten is niet altijd nul voor willekeurige keuze
van a, b, c?
1
1
1 1 1
1
1 1
1 b
c , (2) a2
b2
c2 , (3) a b
c (1) a
b + c a + c a + b
b2 + c2 a2 + c2 a2 + b2 bc ac ab
5
a. determinant (1)
b. determinant (2)
c. determinant (3)
6
Lineaire Algebra, Eigenwaarden
Opgave 1.
0
Bepaal de karakteristieke vergelijking van de matrix M =
3
variabele.
Opgave 2.
0
Bepaal de eigenwaarden van de matrix M =
3
Opgave 3.

2
0
Beschouw de matrix A = 
0
0
2
1
3
0
0
Bepaal de eigenwaarden van A2 .
7
2
0
0
−1
met λ als
2
1
.
2

11
2 
3 .
4
1
Opgave 4.
Een inverteerbare vierkante matrix M heeft eigenwaarden λ en µ met bijbehorende eigenvectoren s u, respectievelijk, v.
Welk van de volgende beweringen is in het algemeen waar?
a. λ + µ is een eigenwaarde voor M met eigenvector u + v.
b. λ − µ is een eigenwaarde voor M met eigenvector u − v.
c. λ−1 is an eigenwaarde voor M met eigenvector u−1 .
d. λ−1 is an eigenwaarde voor M −1 met eigenvector u.
1
Opgave 5.
De vierkante matrix A heeft een eigenwaarde λ en corresponderende eigenvector
u.
Welk van de volgende beweringen is waar, welke onwaar en welke mogelijk waar
of onwaar, afhankelijk van de waarden van A, λ en u?
Hierbij is I de identiteitsmatrix.
(a) det(A − λI) = 0.
(b) det(A − λI) 6= 0.
(c) A is invertible.
(d) A − λI is invertible.
(e) The system (A − λI)x= 0 has exactly one solution.
(f) The system (A − λI)x= 0 has a nonzero solution.
Opgave 6.
De vierkante matrix A heeft een eigenwaarde λ en corresponderende eigenvector
u.
Dan is v is ook een eigenvector voor 3I + 2A. Wat is de corresponderende
eigenwaarde?
Hierbij is I de identiteitsmatrix.
Opgave 7.
1 2
De matrix A=
heeft eigenwaarden λ1 = 1 and λ2 = 5. Bepaal een
4 3
v
eigenvector v = 1 corresponderend met de eigenwaarde 5.
v2
Opgave 8.

0
1
0
De matrix A= 0
4 −17
λ1 = 4. Bepaal de andere

0
1 heeft drie verschillende eigenwaarden, waaronder
8
twee eigenwaarden.
Opgave 9.
Definitie: Een vierkante matrix heet een transitiematrix als de entries van elke
kolom optellen tot 1.
2


0.95 0.1 0.1
Beschouw de transitiematrix M = 0.05 0.8 0.05 met de eigenwaarden
0
0.1 0.85
λ1 = 1, λ2 = 0.85 and λ3 = 0.75.
Er bestaan een diagonaalmatrix D en inverteerbare matrix P met M = P DP −1 .
Bepaal D en P .
Opgave 10.
Beschouw de symmetrische matrices A en B van de zelfde grootte. A heeft een
eigenwaarde λ met eigenvector v and B een eigenwaarde µ met eigenvector v.
Welk bewering is in het algemeen waar?
a. AB heeft eigenwaarde λµ
b. AT heeft eigenwaarde λ
c. AT B heeft eigenwaarde λµ
d. B T has eigenvector v
3
Lineaire Algebra, Inproducten
Opgave 1.
Wat is de waarde van het inproduct hx, yi tussen twee loodrecht op elkaar
staande vectoren x, y uit een vectorruimte V ?
a. 90,
b. 0,
c. π/2
Opgave 2.
Veronderstel dat h·, ·i en (·, ·) inproducten zijn op een vectorruimte V . Slechts
één van de volgende uitspraken is correct voor iedere keuze van de twee genoemde inproducten. Welke?
a. [·, ·] := h·, ·i + (·, ·) is een inproduct op V ,
b. [·, ·] := h·, ·i(·, ·) is een inproduct op V .
c. [·, ·] := h·, ·i − (·, ·) is een inproduct op V .
Opgave 3.
Welke twee functies op [0, 1] staan loodrecht op elkaar in het standaardinproduct
Z 1
(f, g) =
f (x)g(x)dx
0
a. f : [0, 1] → R : x 7→ x en g : [0, 1] → R : x 7→ 1 − x,
b. f : [0, 1] → R : x 7→ x en g : [0, 1] → R : x 7→ −x,
c. f : [0, 1] → R : x 7→ x −
1
2
en g : [0, 1] → R : x 7→ 1,
Opgave 4.
Precies één van de volgende uitspraken is correct. Welke?
1
a. Er bestaan inproductruimtes waarin loodrecht op elkaar staande vectoren
(beide ongelijk aan nul) linear afhankelijk kunnen zijn.
b. Er bestaat een inproduct h·, ·i op R2 zodanig dat de standaard basisvectoren
van R2 niet loodrecht op elkaar staan.
c. Als twee vectoren v, w in een inproductruimte V loodrecht op elkaar staan,
en L : V → V is een lineaire afbeelding, dan staan ook L(v) en L(w) loodrecht
op elkaar.
Opgave 5.
Schrijf P 1 (I) voor de vectorruimte van polynomen op het interval I = [−1, 1].
We definieren op P 1 (I) het volgende inproduct:
Z 1
hp, qi =
p0 (x)q 0 (x)dx + p(0)q(0).
−1
Schrijf k · k voor de geassocieerde norm.
Laat p : I → R : x 7→ 1.
Bereken kpk.
Opgave 6.
Schrijf P 1 (I) voor de vectorruimte van polynomen op het interval I = [−1, 1].
We definieren op P 1 (I) het volgende inproduct:
Z 1
hp, qi =
p0 (x)q 0 (x)dx + p(0)q(0).
−1
Schrijf k · k voor de geassocieerde norm.
Laat p : I → R : x 7→ 1.
Voor welke a, b ∈ R heeft de functie q : I → R : x 7→ a + bx de volgende twee
eigenschappen?
kqk = 1,
q staat loodrecht op p.
Opgave 7.
2
Schrijf M voor de vectorruimte van 2×2 matrices, en definieer op M het volgende
inproduct,
hA, Bi = sp(At B),
waarbij sp(A) het spoor van een matrix is, gedefinieerd als de som van zijn
diagonaal-entries is, en At de getransponeerde van A is.
Schrijf k · k voor de geassocieerde norm.
Laat
A=
1
−1
−1
1
Bereken kAk.
Opgave 8.
Schrijf M voor de vectorruimte van 2×2 matrices, en definieer op M het volgende
inproduct,
hA, Bi = sp(At B),
waarbij sp(A) het spoor van een matrix is, gedefinieerd als de som van zijn
diagonaal-entries is, en At de getransponeerde van A is.
Schrijf k · k voor de geassocieerde norm.
Laat
A=
1
−1
−1
1
en
B=
0
1
Bereken hA, Bi.
3
−1
0
Lineaire Algebra, Lineaire afbeedlingen
Introductie.
Toets Lineaire Algebra over Lineaire afbeeldingen.
Opgave 1.
Welk van de volgende afbeeldingen is lineair?
a. De afbeelding A : R3 → R met (x, y, z) met x · y · z
b. De afbeelding A : M2×2 → M2×2 met A(M ) = M > − M voor alle matrices
M ∈ M2×2
c. De afbeelding op de verzameling oneindig differentieerbare functies van R
naar R die aan elke functie f de functie f ◦ f 0 toekent
Opgave 2.
Zij Pn de vectoruimte van reële polynomen in de variabele x van graad < n.
Beschouw voor n ≥ 2 de volgende afbeeldingen:
f : Pn → P2n gegeven door f (p)(x) = p(x2 );
g : Pn → Pn gegeven door g(p)(x) = xp0 (x);
h : Pn → Pn gegeven door f (p)(x) = x + p(x).
Welk van deze afbeeldingen is linear?
a. Alleen f en g.
b. Alleen f en h.
c. Alleen g en h.
d. Alle drie
Opgave 3.
De lineaire afbeelding A : R2 → R2 beeldt de vectoren (1, 3) en (3, 8) af op
respectievelijk (12, 12) en (33, 33).
1
Bepaal de matrix van A t.o.v. de standaard basis.
Opgave 4.
De lineaire afbeelding P : R3 → R3 is de orthogonale projectie op het vlak V
gegeven door de vergelijking x − 2y − 2z = 0.
Bepaal de matrix van P ten opzichte van de standaard basis.
Opgave 5.
De lineaire afbeelding A : R3 → R3

2
−4
2
is gegeven door de matrix

−6 −16
14
38  .
−4 −10
Is A injectief? Zo ja, antwoord met ja, zo nee geef een vector 6= 0 in de kern
van de afbeedling.
Opgave 6.
De matrix van de lineaire afbeelding A : R3 → R3 is


3 6 −21
2 7 −17 .
3 10 −25
Bepaal het volledig origineel onder A van de vector (−12, −14, −20)
Opgave 7.
Zij V de deelruimte van de vectorruimte van oneindig vaak differentieerbare
functies van R naar R opgespannen door de drie onafhankelijke functies f, g en
h met f (x) = ex , g(x) = cos(x) en h(x) = sin(x).
De afgeleide nemen is een lienare afbeelding van V naar V . Wat is de matrix
voor deze lineaire afbeelding t.o.v. de basis (f, g, h) van V ?
Opgave 8.
De drie vectoren (2, 4, 5), (8, 18, 24) en (2, 0, 5) vormen een basis B voor R3 .
Vind de overgangsmatrix T die coördinaten van een vector t.o.v. van de standaardbasis overvoert naar coördinaten t.o.v. B.
2
Opgave 9.
De drie functies f, g en h vormen een basis B voor een deelruimte V van de
vectorruimte van alle differentieerbare functies van R naar R.
De deelruimte V is invariant onder het nemen van de afgeleide.
De matrix voor het nemen van de afgeleide tov de basis B is

1
2
2
1
1
3

0
1
−1
Is de functie die constant 1 is in V ? Zo nee, antwoord met nee, zo ja, wat zijn
dan de coördinaten van de functie die constant 1 is t.o.v. de basis B, als verder
gegeven is dat f (0) = 1, g(0) = 2 en h(0) = 3?
Opgave 10.
Stel A en B zijn twee lineaire afbeeldingen van een vectorruimte V naar zichzelf.
Welk van de volgende beweringen is altijd waar?
(1) Ker(A ◦ B) is een deelruimte van Ker(A);
(2) Ker(A ◦ B) is een deelruimte van Ker(B);
a. Bewering (1)
b. Bewering (2)
c. Bewering (1) en (2)
d. Geen van beide.
3