Straatverlichting - Jet-Net

Straatverlichting,
wat kost dat?
een wiskundeproject
Colofon
Dit is een uitgave van:
Philips Human Resources Benelux / Jet-Net
Gebouw VB-12
Postbus 80003
5600 JZ Eindhoven
Uitgave: versie 2.0, september 2012
© Koninklijke Philips N.V. 2012, All rights reserved.
Straatverlichting … wat kost dat?
een wiskundeproject
Inhoud
1.
Straatverlichting? Allicht! ............................................. 2
1.1
1.2
2.
Een straat verlichten .................................................... 4
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
3.
Goed verlicht?.............................................................4
Licht verspreidt zich.....................................................4
Eén straatlantaarn .......................................................6
Een straatlantaarn staat nooit alleen ..............................7
Midden op de weg .......................................................8
Een weg heeft twee kanten ...........................................9
Het kostenplaatje ....................................................... 11
3.1
4.
Goed verlicht! .............................................................2
Een algemene probleemaanpak .....................................3
Knopen doorhakken ................................................... 11
HET SPEL .................................................................... 14
1
Straatverlichting … wat kost dat?
een wiskundeproject
1. Straatverlichting? Allicht!
1.1 Goed verlicht!
Nog geen honderd jaar geleden was het ’s avonds op straat
aardedonker. Een enkele gaslantaarn of een flakkerend
olielampje – en verder niets dan inktzwarte duisternis.
Tegenwoordig is dat wel anders. Paal na paal na paal zorgen
felle straatlantaarns ervoor dat het wegdek redelijk gelijkmatig
verlicht is. Als je ’s avonds over de Nederlandse wegen rijdt zou
je bijna denken dat het niets kost. Maar niets is minder waar.
Verlichting kost elektriciteit. En elektriciteit kost geld. Elke meter
verlichte weg kost de Nederlandse staat daarom jaarlijks geld.
Maar hoeveel eigenlijk? Liefst zo weinig mogelijk. Als er een
nieuwe weg wordt aangelegd, bekijkt een ingenieur wat de
goedkoopste manier is om de weg te verlichten. De goedkoopste
manier is natuurlijk door helemaal geen straatlantaarns te
plaatsen. Maar dat is geen goede oplossing. Een weg moet veilig
zijn en dat betekent onder meer dat hij ’s avonds goed verlicht
is.
De vraag die we gaan onderzoeken, is:
Hoeveel geld is er minimaal nodig om een weg goed te
verlichten?
2
Straatverlichting … wat kost dat?
een wiskundeproject
1.2 Een algemene probleemaanpak
Je hebt vast wel eens vaker een moeilijke vraag voorgeschoteld
gekregen. Misschien ook wel bij wiskunde. Het probleem bij een
moeilijke vraag is vaak dat je niet weet waar je moet beginnen.
En daar willen we je nu bij helpen. Je zult zien dat er een
bepaalde lijn zit in hoe je deze vraag gaat beantwoorden. In een
kader, zoals hier, lichten we steeds de stappen toe die je maakt.
Die stappen vormen samen een probleemaanpak. Deze
probleemaanpak is heel algemeen en die kun je een volgende
keer dus ook gebruiken om een heel andere vraag te
beantwoorden. En dat kan nog wel eens van pas komen!
De eerste stap die je moet nemen, als je een moeilijke vraag
krijgt, die je niet direct kunt oplossen, is nagaan of je de vraag
wel snapt. Begrijp je wat er gevraagd wordt? Zijn alle termen
duidelijk? Bij onze vraag zou je je bijvoorbeeld kunnen afvragen,
wat goed verlicht nu eigenlijk betekent. Soms helpt het ook om
enkele aannames te doen. Een aanname is een
veronderstelling. Je gaat uit van iets, wat misschien niet eens
altijd waar hoeft te zijn. Door een aanname wordt het probleem
iets concreter en daardoor vaak iets makkelijker. Als je het
probleem bij een bepaalde aanname hebt opgelost, kun je
vervolgens kijken of je het ook bij andere aannames kunt
oplossen. Dit klinkt misschien ingewikkeld, maar in de volgende
tekst en opdrachten gaan we hierop verder in.
3
Straatverlichting … wat kost dat?
een wiskundeproject
2. Een straat verlichten
2.1 Goed verlicht?
Veel verlichting kost veel geld. Bovendien kan te veel verlichting
hinderlijk zijn. Een weg is goed verlicht als er overal een
minimale lichtsterkte is. Minimale lichtsterkte is de minimale
lichtenergie die nodig is om een vierkante meter weg goed te
verlichten. In het vervolg gaan we ervan uit dat een weg goed
verlicht is als de lichtsterkte overal tenminste 10 Watt per
vierkante meter bedraagt. Als we nu nog weten hoeveel euro
één kWh elektrische energie kost en hoeveel vierkante meter de
oppervlakte van een weg is, zijn we misschien al een heel eind.
Aanname 1: Een weg is goed verlicht als de lichtsterkte overal
tenminste 10 Watt per vierkante meter bedraagt.
Opdrachten
1. Lees de tekst op pagina 1 en 2 van deze handleiding
opnieuw. Geef twee eisen waaraan goede wegverlichting
moet voldoen.
2. Hoe kan een ingenieur de intensiteit van de wegverlichting
variëren? Noem twee dingen.
3. Waarom is teveel verlichting hinderlijk? Noem twee redenen.
4. In het vervolg gaan we ervan uit dat 1 kWh elektriciteit €
0,15 kost.
Reken uit hoeveel het minimaal per jaar kost om één
kilometer weg van 8 meter breed te verlichten. Neem aan
dat gemiddeld de lantaarns 8 uur per etmaal aan zijn en dat
er geen licht naast de weg komt.
Aanname 2: Eén kWh elektriciteit kost € 0,15.
2.2 Licht verspreidt zich
Helaas is het niet zo simpel. Je zult vast wel eens gemerkt
hebben dat het vlak onder een straatlantaarn lichter is dan een
eindje verderop. Dat komt omdat het licht uitgesmeerd wordt
over een groter oppervlak. En dat gaat niet zo gelijkmatig als je
misschien wel zou willen. Punten vlak bij een lichtbron
ontvangen veel meer Watt per vierkante meter dan punten
verder weg. Er zijn dus lichte en donkere plekken op de weg.
4
Straatverlichting … wat kost dat?
een wiskundeproject
B
A
Hierboven zie je een lichtbron, bijvoorbeeld een lamp. We kijken
naar het licht dat de lamp door de vierkante ramen A en B
straalt. De lichtbron is zo sterk dat er een vermogen van 10 Watt
door het raam A gestraald wordt. Dat wil zeggen dat elke
seconde 10 Joule aan energie door raam A gestraald wordt.
Raam B staat precies twee keer zo ver van de lichtbron af. En de
grootte van raam B is zo gekozen dat al het licht dat door raam
A straalt ook door raam B straalt. Dus door raam B straalt ook
10 Watt.
Opdrachten
5. Laat zien dat de oppervlakte van raam B vier keer zo groot is
als de oppervlakte van raam A. Schrijf je uitleg op.
6. We vergelijken de lichtsterkte bij raam A en raam B.
Hoeveel keer groter of kleiner is de lichtsterkte bij raam B
dan bij raam A? Leg je antwoord uit.
7. Beschouw een lichtbron die een vermogen P uitstraalt door
een oppervlak ter grootte van 1 m2 dat zich op 1 m van die
lichtbron bevindt.
Laat zien dat op een afstand d van die lichtbron de
lichtsterkte S gegeven is door de formule S =
P
d2
.
Hierbij is S de lichtsterkte in Watt/m2, P het vermogen in
Watt en d de afstand in meter.
5
Straatverlichting … wat kost dat?
een wiskundeproject
2.3 Eén straatlantaarn
De formule die we bij opdracht 7 gezien hebben, is heel
belangrijk. De formule zegt ons dat de lichtsterkte van een lamp
afhangt van de afstand. Hoe verder een lamp weg is, hoe
zwakker de lichtsterkte. Dat lijkt heel logisch. Maar het betekent
ook dat zelfs op willekeurig grote afstand nog een beetje licht
over blijft. Zelfs op de planeet Mars valt nog een klein beetje
licht van de straatlantaarns hier op aarde. En straatlantaarns
een eindje verder op kunnen zelfs heel behoorlijk bijdragen aan
de lichtsterkte hier vlakbij. Dat maakt het probleem wat
ingewikkelder. Laten we daarom eerst gaan kijken naar het
geval van één straatlantaarn.
Het probleem blijkt wat ingewikkelder te zijn dan we dachten.
We nemen daarom een stapje terug, waardoor het probleem iets
minder ingewikkeld wordt. Dat kun je op meerdere manieren
doen. Wij kijken nu eerst naar het geval dat er maar één
straatlantaarn is. Wat is er dan aan de hand? Ook maken we
het probleem iets concreter. Daarvoor doen we bepaalde
aannames. Zo stellen we in de tekst hieronder dat de hoogte van
de straatlantaarn 5 meter is en het vermogen van de
straatlantaarn 1000 Watt.
Opdrachten
Stel je voor dat je vlak onder een straatlantaarn met een hoogte
van 5 meter staat. Die straatlantaarn heeft een vermogen van
1000 Watt. Daarmee bedoelen we dat de straatlantaarn op één
meter afstand een vermogensdichtheid heeft van 1000 Watt per
m2.
Aanname 3: De hoogte van een straatlantaarn is 5 meter.
Aanname 4: De straatlantaarn heeft een vermogen van 1000
Watt.
8. Laat zien dat de lichtsterkte op de weg recht onder de
straatlantaarn gelijk is aan 40 Watt/m2.
Nu loop je een paar meter opzij, evenwijdig aan de stoeprand.
Die paar meter noemen we x.
6
Straatverlichting … wat kost dat?
een wiskundeproject
9. Laat zien dat op de plaats waar je nu staat geldt:
d = x2 + 25.
Leg vervolgens uit dat de lichtsterkte op deze plaats gelijk is
aan:
S=
1000
x 2 + 25
10. 10 Vul de tabel in die hieronder staat.
x
0
5
10
15
20
S
Schets een grafiek met de afstand x en de lichtsterkte S.
Zet horizontaal de afstand x uit en verticaal de lichtsterkte
S.
Laat de x-as lopen van 0 tot 75 meter en de y-as van 0 tot
50 Watt/m2.
Zo teken je de iso-lichtsterktelijnen (dit zijn lijnen of
krommen die punten met gelijke lichtsterkte met elkaar
verbinden).
2.4 Een straatlantaarn staat nooit alleen
Langs een weg staat nooit maar één straatlantaarn. Er staan er
altijd meer. Daar gaan we nu naar kijken. Neem aan dat de
afstand tussen twee straatlantaarns steeds 30 meter is.
Aanname 5: De afstand tussen twee straatlantaarns is steeds
30 meter.
Nu we het probleem voor één straatlantaarn bekeken hebben,
maken we het iets moeilijker. We nemen er steeds één
straatlantaarn bij. En we doen weer een aanname. De afstand
tussen de twee straatlantaarns is steeds 30 meter.
Opdrachten
11. Teken in de grafiek bij vraag 10 ook de lichtsterktes van de
lantaarnpalen die 30 meter en 60 meter verderop staan (dus
in de grafiek bij x=30 en x=60).
7
Straatverlichting … wat kost dat?
een wiskundeproject
Als je op een weg staat, straalt licht van alle straatlantaarns op
je. De totale lichtsterkte in een bepaald punt, is de lichtsterktes
van alle afzonderlijke straatlantaarns bij elkaar opgeteld.
12. Teken in de grafiek bij vraag 10 nu ook de totale lichtsterkte
op een bepaalde plek. Gebruik voor de duidelijkheid voor
deze grafiek een andere kleur.
2.5 Midden op de weg
Nu we de lichtsterkte kunnen berekenen als je recht onder de
straatlantaarns loopt, kunnen we het probleem weer iets
realistischer maken en dus moeilijker. Wat nu als je midden op
de weg loopt? Dat gaan we nu bekijken. We gaan uit van maar
één straatlantaarn. Het moet ook niet meteen te moeilijk
worden!
Tot nu toe liepen we recht onder de straatlantaarns. Dan komt
het licht van loodrecht boven je. Dat is natuurlijk niet altijd zo.
Als je midden op straat staat en de straatlantaarns staan langs
de kant van de weg, schijnt het licht van de straatlantaarns van
schuin boven je neer.
In het plaatje hieronder zie je een rijtje straatlantaarns staan.
De afstand tussen de straatlantaarns is weer 30 meter en de
hoogte van de straatlantaarns is 5 meter.
L
30
5
30
30
x
x’
2
8
Straatverlichting … wat kost dat?
een wiskundeproject
Je staat nu niet recht onder de straatlantaarn, maar 2 meter
verder de weg op, zoals je in de tekening ziet.
Opdrachten
13. Bereken de lichtsterkte van de straatlantaarn L op de plek
waar je nu staat.
Je loopt nu in de richting x’ evenwijdig aan de stoep.
14. Wat is de formule van de lichtsterkte van straatlantaarn L op
plaats x’ ? Leg uit hoe je aan deze formule komt.
(Hint: druk eerst d uit in x.)
15. 15 Wat zou het verschil zijn tussen de grafiek die je bij
vraag 10 getekend hebt en de grafiek van de lichtsterkte op
plaats x’ van straatlantaarn L.? Je hoeft deze grafiek niet te
tekenen.
2.6 Een weg heeft twee kanten
Inmiddels weten we al veel. We hebben berekend wat de totale
lichtsterkte is, als je met meer straatlantaarns rekening houdt.
Ook hebben we berekend wat het voor invloed heeft op de
lichtsterkte als je een stuk de weg oploopt en niet recht onder de
straatlantaarns staat.
Maar we zijn er nog niet. Een weg heeft namelijk twee kanten.
En aan de andere kant staan ook straatlantaarns. Die gaan we er
nu ook bij betrekken. We gaan ervan uit dat de straatlantaarns
recht tegenover elkaar staan. Voor de breedte van de weg
nemen we 8 meter.
Aanname 6: De straatlantaarns staan recht tegenover elkaar.
Aanname 7: De breedte van de weg is 8 meter.
Nu gaan we alles met elkaar combineren. We bekijken meerdere
straatlantaarns tegelijk en bekijken de hele weg, dus niet alleen
de randen.
9
Straatverlichting … wat kost dat?
een wiskundeproject
Zoals je in de grafiek van vraag 12 gezien hebt, is het midden
tussen twee lantaarnpalen vaak het donkerst. Hier gaan we voor
de rest van deze opdracht van uit.
In de onderstaande figuur zie je een bovenaanzicht van de weg.
Op de stralende rondjes staan lantaarnpalen. Daar bevinden zich
de lichtste plekken. De donkerste plekjes vind je op de plaatsen
gemerkt met een zwart sterretje, in het midden van de weg en
midden tussen twee straatlantaarns in.
Opdrachten
In de grafiek die je bij vraag 12 getekend hebt, kun je zien dat
de straatlantaarn M (die 30 meter verderop staat) nauwelijks
bijdraagt aan de lichtsterkte onder straatlantaarn L.
16. Leg uit hoe je hieruit kunt afleiden dat ook straatlantaarn N
nauwelijks iets bijdraagt aan de lichtsterkte vlak onder
straatlantaarn L.
17. Laat zien dat de bijdrage van straatlantaarn O aan de
lichtsterkte vlak onder straatlantaarn L gelijk is aan
11,2 Watt/m2.
18. Benader de maximale lichtsterkte op deze weg.
19. Benader ook de minimale lichtsterkte op deze weg.
Het is wettelijk vastgelegd wat de lichtsterkte op een weg
minimaal en maximaal mag zijn. Er geldt dat de minimale
lichtsterkte 10 Watt/m2 is en de maximale lichtsterkte
320 Watt/m2. Hier gaan we in het vervolg van uit.
Aanname 8: De maximale lichtsterkte is 320 Watt/m2.
10
Straatverlichting … wat kost dat?
een wiskundeproject
3. Het kostenplaatje
We zijn al een stuk gevorderd, maar we hebben het nog
nauwelijks over de kosten gehad. Met wat voor kosten krijgen
we eigenlijk te maken?
Elektriciteitskosten:
Verlichting kost elektriciteit en elektriciteit kost geld. We hebben
al eerder gezien dat elektriciteitskosten berekend worden aan de
hand van kWh. Eén kWh kost € 0,15.
Straatlantaarnkosten:
Straatlantaarns en lampen moeten aangeschaft worden. Verder
moeten ze eens in de zoveel tijd vervangen worden, omdat ze
kapot zijn gegaan of verouderd. Dit noemen we kosten voor de
afschrijving. Ook zijn er kosten voor het onderhoud.
Straatlantaarns moeten schoongehouden worden en op tijd
geschilderd. We gaan ervan uit dat elke straatlantaarn € 200,per jaar kost aan onderhoud en afschrijving.
Materiaalkosten:
Een lantaarnpaal bestaat uit staal. Ook hieraan zijn kosten
verbonden voor onderhoud en afschrijving. We gaan ervan uit
dat elke meter lantaarnpalenstaal € 50,- per jaar kost aan
onderhoud en afschrijving.
Aanname 9: Elke straatlantaarn kost € 200,- per jaar aan
onderhoud en afschrijving.
Aanname 10: Elke meter lantaarnpalenstaal kost € 50,- per
jaar aan onderhoud en afschrijving.
Opdracht
20. Hoeveel kosten de straatlantaarns langs 1 km weg aan
onderhoud en afschrijving?
3.1 Knopen doorhakken
Nu wordt het tijd dat we beslissingen gaan nemen. Hoever
moeten de lantaarnpalen van elkaar staan zodat het in de
donkerste plekken nog net licht genoeg is? En hoe dicht mogen
ze bij elkaar staan zodat het in de lichtste plekken niet té licht
is? Hoe hoog moeten ze zijn, en hoeveel vermogen moet elke
lantaarnpaal hebben? Dit alles willen we weten om onze
beginvraag te kunnen beantwoorden:
Hoeveel geld is er minimaal nodig om een weg goed te
verlichten?
11
Straatverlichting … wat kost dat?
een wiskundeproject
Zo’n probleem noemen ingenieurs een optimaliseringsprobleem.
Je wilt zo goed mogelijke (optimale) keuzes maken voor de
waardes van een aantal grootheden.
In ons geval zijn die waardes:
• de hoogte, h (in meters), van elke straatlantaarn;
• het vermogen, P (in Watt), van elke lamp;
• de afstand a (in meters), tussen twee opeenvolgende
straatlantaarns.
In de aannames 3, 4 en 5 hebben we vaste waarden voor deze
grootheden genomen (voor de hoogte 5 meter, voor het
vermogen 1000 Watt en voor de afstand tussen twee
lantaarnpalen 30 meter). Deze vaste waarden hadden we nodig
om inzicht in het probleem te krijgen. Nu gaan we deze waarden
laten variëren, om te kijken bij welke waarden de kosten
minimaal zijn.
Nu we het probleem van alle kanten bekeken hebben en er een
goed idee van hebben, kunnen we weer enkele aannames
loslaten. Zo houden we het probleem zo algemeen mogelijk.
Onze keuze is zo goed mogelijk als er twee dingen in orde zijn:
1. Er moet voldaan zijn aan zogenaamde randvoorwaarden: de
maximale lichtsterkte mag niet groter zijn dan 320 Watt/m2,
en de minimale lichtsterkte mag niet kleiner zijn dan 10
Watt/m2;
2. De kosten, per jaar en per (kilo)meter te verlichten weg,
moeten zo laag mogelijk zijn.
Zowel de grootte van h, P als a is van invloed op de kosten. Er
zijn drie soorten kosten, elektriciteitskosten,
straatlantaarnkosten en materiaalkosten.
12
Straatverlichting … wat kost dat?
een wiskundeproject
Opdrachten
21. Op welke kosten heeft de hoogte h van de straatlantaarn
invloed? Beschrijf de invloed.
22. Op welke kosten heeft het vermogen P van de lamp invloed?
Beschrijf de invloed.
23. Op welke kosten heeft de afstand a tussen twee
straatlantaarns invloed? Beschrijf de invloed.
Als we alles bij elkaar nemen, is de formule voor de totale
kosten in euro per jaar per meter weg:
K = (400 + 100h + 0,9P)/a, met h en a in meters en P in Watt
24. Bereken de kosten per jaar per meter weg als
h = 5 m, a = 30 m en P = 1000 W.
Ingenieurs die straatverlichting ontwerpen houden nog met veel
meer dingen rekening. Niet alle lampen zijn even duur; als je
veel elektriciteit afneemt van de elektriciteitsmaatschappij daalt
de prijs per kWh; hoge masten kosten meer onderhoud dan lage
masten; door spiegels en lenzen in de lampen in te bouwen kun
je het licht veel gelijkmatiger proberen te verspreiden, en nog
wel 100 andere factoren. Je moet daarom niet verbaasd zijn dat
in het echt de hoogtes, de afstanden, en de vermogens van
straatlantaarns kunnen afwijken van wat wij in deze opdracht als
antwoord zullen vinden. Maar … je krijgt tenminste een beetje
een idee hoe de beslissingen tot stand komen. En zelfs onze
vereenvoudigde aanpak leert al een aantal belangrijke zaken
over wegverlichting.
Je hebt ook veel geleerd over hoe je een moeilijk probleem kunt
aanpakken. Lees de tekst in de kaders nog eens door.
25. Schrijf op welke dingen je zou kunnen doen als je een
moeilijk probleem krijgt voorgeschoteld.
13
Straatverlichting … wat kost dat?
een wiskundeproject
4. HET SPEL
Nu we een beetje weten hoe het werkt, gaan we het ook eens
uitproberen. We gaan net doen of we zelf de wegverlichting voor
een stuk snelweg moeten ontwerpen. Daarvoor gebruiken we
een computer en een speciaal daarvoor gemaakte
computertoepassing, straatverlichting_wat_kost_dat. In het
kader vind je een handleiding om deze computertoepassing te
gebruiken.
HANDLEIDING straatverlichting_wat_kost_dat
De toepassing straatverlichting_wat_kost_dat start je op door te
dubbelklikken. Het is een zogenaamde EXCEL toepassing, dus je kunt
hem ook opstarten vanuit het programma MS-EXCEL™. Vraag
eventueel je leraar hulp als je nog helemaal geen ervaring hebt met
EXCEL.
Met straatverlichting_wat_kost_dat kun je keuzes voor de waardes van
a, h, en P invoeren. Dat doe je door aan de drie schuifjes, links boven
op het werkblad te trekken. Het lichtgroene schuifje bepaalt de afstand
a; het lichtblauwe schuifje de hoogte h, en het gele schuifje het
vermogen P. Je kunt ook getallen intypen, in plaats van de schuifjes te
gebruiken.
Als je een keuze voor a, h, en P hebt gemaakt, klik je op het grote
vierkant, rechts van de schuifjes. Er staat nieuw plaatje op dit grote
vierkant. Dan rekent het programma uit wat de lichtsterkte is op een
heleboel plaatsen op het wegdek. Het verloop van de lichtsterkte
wordt grafisch weergegeven, onder het kopje verloop van de
lichtsterkte. Je ziet daarin 3 grafieken
f De lichtgele grafiek is meestal (maar niet altijd!) de hoogste. Deze
grafiek geeft de lichtsterkte aan vlak onder de lantaarnpalen.
f De donkergele grafiek geeft het verloop van de lichtsterkte aan als
je op een kwart van de breedte van de weg loopt (in de legenda
staat lichtsterkte 0.25 breedte). De breedte van de weg hebben we
op 8 meter gesteld, dus de donkergele grafiek geeft de lichtsterkte
aan als je 2 meter van de rand van de weg afloopt.
f De oranje grafiek, ten slotte, geeft de lichtsterkte aan op het
midden van de weg (lichtsterkte op 0.50 breedte), in ons geval dus
op 4 meter van de rand van de weg.
Het programma gaat er vanuit dat aan weerszijden van de weg een rij
lantaarnpalen staat en dat de lantaarnpalen recht tegenover elkaar
staan.
In elke grafiek wordt het lichtsterkteverloop tussen de plaatsen van
twee opeenvolgende lantaarnpalen getekend. Dus de meest linkse
waarden in de grafiek zijn de lichtsterktes op de plaats van een
straatlantaarn en de meest rechtse waarden zijn de lichtsterktes op de
plaats van de eerstvolgende straatlantaarn.
14
Straatverlichting … wat kost dat?
een wiskundeproject
Opdracht
26. Vul voor a, h en P de waardes in waar we mee hebben
gewerkt (voor a 30 meter, voor h 5 meter en voor P 1000
Watt). Druk op het grote vierkant en bekijk de grafieken.
Vergelijk de waarden van de minimale, maximale lichtsterkte
die je hebt berekend in vraag 18/19 met de waarden in de
grafiek.
Wat is het verschil en probeer er eens een verklaring voor te
bedenken.
Boven de grafieken zie je de waardes voor de wettelijk vereiste
minimale en maximale lichtsterkte staan (10 en 320 Watt/m2). Als de
drie grafieken eenmaal berekend zijn, is het gemakkelijk in te zien of
de laagste lichtsterkte boven het wettelijk minimum blijft, en de
hoogste lichtsterkte onder het wettelijk maximum. Daarvoor worden in
dezelfde grafiek een donkergrijze lijn getekend op de hoogte van de
minimale lichtsterke (10 Watt/m2), en een lichtgrijze op de hoogte
van de maximale lichtsterkte (320 Watt/m2).
Het programma straatverlichting_wat_kost_dat houdt zelf bij of de
drie gele grafieken tussen het minimum en het maximum blijven. Als
dat zo is komt er te staan ‘minimum akkoord’ (op een groene
achtergrond) en ‘maximum akkoord’ (ook op een groene achtergrond).
Als de lichtsterkte echter ergens te hoog wordt komt er ‘maximum te
hoog’ op een rode achtergrond, en als de lichtsterkte ergens te laag
wordt komt er ‘minimum te laag’ op een rode achtergrond. Zo’n
oplossing is dus niet toegestaan.
Je ziet dat de lichtsterktes op het wegdek bij de waardes waar wij mee
gewerkt hebben, niet te hoog of te laag zijn, en dat het programma
dus akkoord gaat met deze oplossing.
De kosten staan in het gele hokje naast de grafiek. Als het goed is,
komen deze kosten nu overeen met wat je in vraag 24 berekend hebt.
Verderop in het werkblad staan allerlei waardes ingesteld, zoals de
prijs van een kWh (€ 0,15). Deze waardes kun je veranderen, maar
voorlopig is het wel zo makkelijk om alles te laten staan zoals het
staat.
15
Straatverlichting … wat kost dat?
een wiskundeproject
Proberen maar…
Met deze computertoepassing is het vinden van de beste
oplossing een kwestie geworden van proberen. Je stelt waardes
in op de schuifjes voor a, h en P; je klikt om de grafieken te
laten berekenen en je kijkt of zowel het minimum als het
maximum in orde zijn.
De kunst is dat je op zo laag mogelijke totale kosten per jaar per
meter weg uitkomt! Hoe lager de totale kosten, hoe goedkoper
jouw oplossing is. Alleen oplossingen die akkoord zijn voor wat
betreft de minimale en maximale lichtsterkte zijn toegestaan.
Het programma geeft voortdurend informatie over de kosten.
Zodra je een van de grootheden a, h of P een andere waarde
geeft (bijvoorbeeld door aan de schuifjes te trekken) worden de
totale kosten opnieuw berekend en weergegeven in het gele
hokje.
… maar denk wel na!
Om het wat spannender te maken, hebben we daar een
wedstrijd van gemaakt. Je speelt tegen elkaar en de bedoeling is
een zo goedkoop mogelijk oplossing te vinden die akkoord is
voor het minimum en het maximum. Je mag maar veertig keer
klikken op de knop ‘nieuw plaatje’. Je moet dus heel goed
nadenken en zeker op het laatst moet je niet zomaar in de wilde
weg waarden voor a, h en P gokken. Probeer, nadat je een
beetje geëxperimenteerd hebt met het effect van het verhogen
en verlagen van a, h en P, te voorspellen wat er zal gebeuren als
je een nieuwe waarde invoert. Probeer te begrijpen waarom dat
de grafieken eruit zien zoals ze eruit zien – alleen dan kun je
winnen! Het programma straatverlichting_wat_kost_dat laat
steeds zien hoeveel pogingen je nog mag doen. Als er komt te
staan ‘GAME OVER’ is het uit …
Hoe goedkoop kun jij een weg verlichten…?
16