FUNCTIES, TELPROBLEMEN en REKENEN MET

FUNCTIES,
TELPROBLEMEN en
REKENEN MET
KANSEN
leerweg 4
Philip Bogaert
Filip Geeurickx
Marc Muylaert
Roger Van Nieuwenhuyze
Erik Willockx
m.m.v. Björn Carreyn
Cartoons
Dave Vanroye
4
1
1
Definities vind je op een
rode achtergrond,
methodes staan in een
oranje kader.
2
2
Eigenschappen vind je op
een groene achtergrond.
3
Geschiedenis van de
wiskunde en herkomst van
begrippen.
4
3
We stimuleren het gebruik
van wiskundesoftware
zoals GeoGebra.
5
Aan het einde van elke
paragraaf vind je een
samenvatting.
4
5
pictogrammen
TE ONTHOUDEN
BETEKENIS
GESCHIEDENIS
REKENMACHINE
ICT
V O OR WOORD
6
6
7
Bij sommige oefeningen
vind je een of twee
sterretjes. Dit duidt de
moeilijkheidsgraad aan.
7
Achteraan in dit boek vind
je een woordje uitleg over
een veel gebruikte
wiskundige verhouding.
8
8
Elk hoofdstuk eindigt met
een vaardigheid.
9
Hier wordt uitgelegd hoe
een grafische
rekenmachine kan
helpen.
9
ISBN: 978 90 4861 359 3
Kon. Bib.: D/2012/0147/47
Bestelnr.: 94 505 0072
NUR: 126
Lay-out en opmaak: die Keure
Druk: die Keure
Foto’s: Shutterstock, fotostock die Keure.
Copyright by die Keure Brugge
Verantwoordelijke uitgever: N.V. die Keure,
Kleine Pathoekeweg 3 - 8000 Brugge - België H.R. Brugge 12.225
Druk: 2012
Niets uit deze uitgave mag verveelvoudigd en/of openbaar gemaakt
worden door middel van druk, fotokopie, microfilm of op welke wijze
ook zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever.
No part of this book may be reproduced in any form by print,
photoprint, microfilm or any other means without written permission
from the publisher.
Tijd voor een nieuwe reeks wiskundige uitdagingen die (waar mogelijk) een link zullen leggen
met de realiteit. Wiskunde is immers geen saaie
wetenschap, maar een boeiende en levendige materie. En laat dat nu net het vertrekpunt zijn van de
schrijvers van dit boek.
Wat is bijvoorbeeld de kans om de hoofdprijs bij de
lotto te winnen, zodat ik mijn eigen achtbaan kan
laten construeren?
En wat zal de wiskundige vergelijking zijn van de
weg die de wagentjes afleggen op deze achtbaan?
Hoe hoog moeten de houten stellingen zijn bij een
welbepaalde stijging (of daling) van de weg?
Deze achtbaan vind je in Movie World (Bottrop,
Duitsland) en bevat o.a. 6400 kg moertjes en bouten, waarvan de plaats niet 1 mm mag afwijken
van het punt dat vooraf werd bepaald. Een (heel)
exacte wetenschap dus. Veel plezier!
I n hou d
De kwadratische functie
Telproblemen en rekenen met
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
Even herhalen > 8
Functies van de tweede graad > 12
Vergelijkingen van de tweede graad > 33
Toepassingen op vergelijkingen van de
tweede graad > 48
Tekenverloop van een
tweedegraadsfunctie > 56
Toepassingen op de kwadratische functie > 72
Vaardigheden
Meetkundige plaatsen en parameters > 88
Elementaire functies
2
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
Veeltermfuncties > 92
Rationale functies > 95
Irrationale functies > 98
Invloed van het teken > 100
Invloed van constanten > 103
Toepassingen > 107
Vaardigheden
Een groepsopdracht > 120
3
kansen
3.1Telproblemen > 188
3.2Rekenen met kansen > 206
Vaardigheden
Simuleren van kansexperimenten met ICT > 232
Bijlagen > 235
De gulden snede > 238
Trefwoordenregister
> 240
Wiskunde is overal. Bovenaan de brug is een
horizontale rechte terug te vinden. De boog
daaronder heeft de vorm van een (deel van een)
parabool. Als je de coördinaten van enkele
punten kent, kun je de vergelijking van de
parabool terugvinden. Die leidt dan weer naar
andere berekeningen zoals de hoogte van de
brug en de breedte van de rivier.
In dit hoofdstuk bespreken we de vergelij­kingen
en ongelijkheden van de tweede graad en
illustreren ze met een waaier aan realistische
toepassingen.
De kwadratische
functie
6 Omzetting breuken - kommagetallen > 22
1.1
1
2
3
4
1.2
Even herhalen
Reële functies > 8
Domein, beeld en nulwaarde van een functie > 8
Eerstegraadsfuncties > 9
Oefeningen > 10
Functies van de tweede
graad
1 Definitie > 12
2 Grafiek van de functie f met f (x) = x2 > 14
3 Grafiek van de functie f met f (x) = ax2 (a Π0) > 16
4 Grafiek van de functie f met f (x) = ax2 (a Õ 0) > 17
2
5 Grafiek van de functie f met f (x) = (x − a) > 18
2
6 Grafiek van de functie f met f (x) = x + β > 19
2
7 Grafiek van de functie f met f (x) = a(x − a) + β > 20
2
8 Grafiek van de functie f met f (x) = ax + bx + c > 21
9 Onderzoek van een kwadratische functie > 24
10 Samenvatting > 25
11 Oefeningen > 26
1.3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Vergelijkingen van de
tweede graad
Vergelijkingen herleiden naar de
standaardvorm > 33
Onvolledige vierkantsvergelijkingen > 34
Volledige vierkantsvergelijkingen (algemeen
geval) > 35
Eigenschappen van de wortels > 38
ax2 + bx + c ontbinden in factoren > 39
Bikwadratische vergelijkingen > 41
Vergelijkingen van de vorm
2
a[f (x)] + b[f (x)] + c = 0 > 41
Samenvatting > 42
Oefeningen > 43
1.4
1
2
3
4
1.5
1
2
3
4
5
6
1.6
1
2
3
4
5
6
7
1
Toepassingen op vergelijkingen
van de tweede graad
Vraagstukken oplossen met behulp van vierkantsvergelijkingen > 48
Aantal en teken van de wortels > 51
Samenvatting > 52
Oefeningen > 53
Tekenverloop van een
tweedegraadsfunctie
Voorbeelden > 56
Ongelijkheden van de tweede graad > 61
Ongelijkheden met in het linkerlid een product van
eerste- en tweedegraadsfuncties > 64
Stelsels van ongelijkheden > 66
Samenvatting > 67
Oefeningen > 68
Toepassingen op de
kwadratische functie
Opstellen van de vergelijking van een parabool
(met as // y-as) > 72
Vraagstukken > 74
Extremumvraagstuk > 76
Onderlinge ligging van een parabool en een rechte > 77
Onderlinge ligging van twee parabolen > 80
Samenvatting > 81
Oefeningen > 82
Vaardigheden
ICT: Meetkundige plaatsen en parameters > 88
Even herhalen
1.1
1 ) Reële functies
Hieronder vind je de grafische voorstellingen van een aantal verbanden tussen twee veranderlijke grootheden.
Zijn deze verbanden functies?
y
5
y
5
y
5
4
4
4
3
3
3
2
2
2
1
1
1
−5 −4 −3 −2 −1 0
−1
1
2
3
4
−5 −4 −3 −2 −1 0
−1
5 x
2
3
4
−5 −4 −3 −2 −1 0
−1
5 x
−2
−2
−2
−3
−3
−3
−4
−4
−4
−5
−5
1
JA
1
2
3
4
5 x
−5
NEEN
JA
NEEN
JA
NEEN
functie
Een functie is een verband tussen twee veranderlijken x en y, waarbij voor elke x-waarde hoogstens één
y-waarde bestaat.
Merk op:
Als de twee veranderlijken reële getallen zijn, dan spreken we van reële functies.
Notatie:
f (x) = 4x + 1
of
f : x → 4x + 1
of
y = 4x + 1
functievoorschrift van f
De functiewaarde voor 3 is dan f (3) = 4 ⋅ 3 + 1 = 13. Het beeld van 3 is 13. Het koppel (3, 13) behoort tot de functie f.
2 ) Domein, beeld en nulwaarde van een functie
domein
Het domein van een functie is de verzameling van de x-waarden waarvoor de functie gedefinieerd is, waarvoor
het beeld bestaat.
Notatie: dom f
Merk op:
Het domein van een functie kun je grafisch vinden door de grafiek te projecteren op de x-as.
8
hoofdstuk 1
•
De kwadratische functie
beeld of bereik
Het beeld (of bereik) van een functie is de verzameling van de y-waarden waarvoor er een x-waarde bestaat
zodat y = f (x).
Notatie: bld f
Merk op:
Het beeld van een functie kun je grafisch vinden door de grafiek te projecteren op de y-as.
nulwaarde
Een nulwaarde van een functie is een x-waarde waarvoor de functiewaarde nul is.
Merk op:
- De nulwaarden zijn de oplossingen van de vergelijking y = f (x) = 0.
- Een functie kan meer dan één nulwaarde hebben.
- De nulwaarden zijn de eerste coördinaatgetallen van de snijpunten van de grafiek van de functie met de x-as.
Voorbeelden:
f
y
5
y
5
4
4
3
3
2
2
1
1
−5 −4 −3 −2 −1 0
−1
1
2
3
4
−5 −4 −3 −2 −1 0
−1
5 x
y
5
g
4
3
2
1
1
2
3
4
−5 −4 −3 −2 −1 0
−1
5 x
−2
−2
−2
−3
−3
−3
−4
−4
−4
−5
−5
h
dom f = R
bld f = R
nulwaarde: −3
1
2
3
4
5 x
−5
dom g = [-3, +∞[
dom h = ]-∞, -2] U [1, +∞[
bld g = [-2, +∞[
bld h = [-4, +∞[
nulwaarde: −2
nulwaarde: −4
3 ) Eerstegraadsfuncties
Vorig jaar bestudeerde je de lineaire functies of de eerstegraadsfuncties.
D : doorsnede
U : unie
\ : verschil
Teken de grafieken van de functie f met voorschrift f (x) = 2x − 1 en
de functie g met voorschrift g (x) = −2x + 5.
Bepaal daarna voor elke functie:
- het domein
- het beeld
- de nulwaarden
- de snijpunten van de grafiek met de assen
- de richtingscoëfficiënt van de grafiek
- het stijgen / dalen
- het tekenverloop
9
4 ) Oefeningen
1 Is de grafiek een grafische voorstelling van een functie? Zo ja, neem de letter(s) mee en maak hiermee een woord.
a
MS
d
LS
y
0
e
R
EP
y
0
x
0
x
EE
h
y
0
c
x
y
0
x
KA
y
x
b
I
y
0
g
x
f
BT
y
y
i
AJ
y
0
0
0
x
x
x
2 Hieronder vind je de voorschriften van de functie f, g, h, m en k. Bepaal telkens:
10
- het domein en het beeld
- de nulwaarde
- het snijpunt van de grafiek met de assen
- de richtingscoëfficiënt van de grafiek
- het stijgen en dalen
- het tekenverloop
f (x) = −3x
g (x) = 2x − 5
h (x) = 2
1
2
m (x) = x + 4
3
k (x) =
−3
3
x+
5
7
•
hoofdstuk 1
De kwadratische functie
3 Bepaal het domein, het beeld, de nulwaarden, het tekenverloop en het stijgen / dalen van volgende functies.
a
c
y
5
y
10
4
4
8
3
3
6
2
2
4
1
1
2
y
5
f
−5 −4 −3 −2 −1 0
−1
h
1
2
3
4
−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0
−1
5 x
1
2
−10 −8 −6 −4 −2 0
−2
3 x
−2
−2
−4
−3
−3
−6
−4
−4
−8
−5
−5
−10
b
d
g
e
y
10
4
8
4
3
6
3
2
4
2
1
2
1
1
2
3
4
−10 −8 −6 −4 −2 0
−2
5 x
4
6
8
−5 −4 −3 −2 −1 0
−1
10 x
−2
−4
−2
−3
−6
−3
−4
−8
−4
−5
−10
4
6
y
5
i
2
2
8
10 x
f
y
5
−5 −4 −3 −2 −1 0
−1
j
k
1
2
3
4
5 x
−5
4 In deze Finse saunablokhut kun je je favoriete temperatuur
opzoeken. Er zijn immers banken op verschillende hoogten.
De temperatuur bovenaan kan meer dan 100 °C bedragen,
terwijl het aan de grond maar 20 °C kan zijn. Op deze grafiek
lees je de temperatuur af in functie van de hoogte in de blokhut. Gebruik de grafiek om volgende vragen op te lossen.
°C
110
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
50
100
150
200
250
hoogte
(cm)
a Stel: je zit op de onderste bank en gaat één bank (= 50 cm) hoger zitten. Met hoeveel °C stijgt de temperatuur?
b Noteer het functievoorschrift dat hoort bij de grafiek.
c Een man (met lengte 1,75 m) staat recht in de blokhut. Wat is het temperatuurverschil tussen zijn hoofd en
zijn tenen?
11
Functies van de tweede graad
1.2
1 ) Definitie
Wanneer je een botsballetje op de grond gooit en je zou de weg die het balletje volgt kunnen tekenen, dan krijg je
een baan die er als volgt uitziet:
Wanneer een speerwerper zijn speer werpt en je zou de baan van de speer in slow motion weergeven, dan zou je
volgende figuur te zien krijgen.
Wanneer Jules een bal uittrapt, dan zou de baan die de bal volgt er als volgt kunnen uitzien:
h
10
8
T
6
4
2
−4
−2 0
−2
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
s
−4
r
12
VERPLAATSING
s
IN METER
HOOGTE
h
IN METER
0
0,00
3
3,06
6
5,04
10
6,00
14
5,04
17
3,06
20
0,00
hoofdstuk 1
•
De kwadratische functie
Het kwadratisch verband tussen s (horizontale verplaatsing in meter) en h (hoogte in meter) wordt weergegeven
door:
h=−
3 2 6
s + s
50
5
- De baan van de bal wordt bepaald door de tweedegraadsfunctie h met voorschrift h (s) = −
3 2 6
s + s
50
5
- De grafiek van deze functie is een parabool.
- Uit de grafiek leiden we af dat de maximumhoogte van de bal 6 m is bij een horizontale verplaatsing van 10 m. Het hoogste punt T (10, 6) wordt de top van de parabool genoemd.
- De grafiek is symmetrisch t.o.v. de rechte r ↔ x = 10. Deze rechte r wordt de as van de parabool genoemd.
- Als de bal niet tegengehouden wordt, zal hij de grond raken op 20 m van zijn vertrekpunt. We noemen 0 en 20 de nulwaarden van de kwadratische functie h.
kwadratische functie
Een kwadratische functie is een functie f met voorschrift f (x) = ax2 + bx + c waarbij a, b en c gegeven reële getallen
zijn (met a ≠ 0). Dit noemen we ook een tweedegraadsfunctie of een functie van de tweede graad.
Voorbeelden:
Tegenvoorbeelden:
f (x) = 2x f (x) = 2x3 - 2x + 8
g (x) = −x + 4x − 3
g (x) = −x + 3
2
2
h (x) = 6x − 9x
h (x) = 6
Verklaar waarom deze functies geen kwadratische functies zijn.
2
In wat volgt behandelen we de verschillende gevallen die kunnen voorkomen. We starten met het eenvoudigste geval, waarbij a = 1 en b = c = 0.
13
2 ) Grafiek van de functie f met f (x) = x 2
Om de grafiek van de kwadratische functie f met voorschrift f (x) = x2 te tekenen, bepalen we een aantal koppels van
f in een visgraatdiagram. We kiezen een aantal x-waarden en we zoeken voor elk van deze waarden het beeld of de
functiewaarde.
x
-4
-3,5
-3
-2,5
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
x2
16
12,25
9
6,25
4
2,25
1
0,25
0
0,25
1
2,25
4
6,25
9
12,25
16
Wanneer we deze punten uitzetten in een georthonormeerd assenstelsel (dit is een assenstelsel waarbij x-as en
y-as loodrecht op elkaar staan en de lengten van de eenheden op beide assen gelijk zijn) en deze door een vloeiende lijn verbinden, zien we een kromme ontstaan die we een parabool noemen.
y = x2 wordt de vergelijking van de parabool genoemd.
y
8
y = x2
7
6
5
4
3
2
1
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
6
7
x
−1
Kenmerken:
−2
a D o m e i n va n d e f u n c t i e
Het domein van een functie is de verzameling van de x-waarden waarvoor de functie gedefinieerd is, waarvoor het
beeld bestaat.
Grafisch vinden we het domein van een functie door de grafiek te projecteren op de x-as.
Het domein van de functie f is R.
We noteren dom f = R.
b H e t b e e l d va n d e f u n c t i e
Het beeld van een functie is de verzameling van de y-waarden waarvoor er een x-waarde bestaat zodat y = f (x).
Grafisch vinden we het beeld van een functie door de grafiek te projecteren op de y-as.
Het beeld van de functie f is [0, +∞[. We noteren: bld f = [0, +∞[ = R+.
14
hoofdstuk 1
•
De kwadratische functie
c D e n u lw a a rd e n va n d e f u n c t i e
De nulwaarden van een functie zijn de x-waarden waarvoor de functiewaarde nul wordt, m.a.w. de nulwaarden zijn
de oplossingen (ook wel de wortels genoemd) van de de vergelijking y = f (x) = 0.
Grafisch vinden we de nulwaarden als de eerste coördinaatgetallen van de snijpunten van de grafiek met de x-as.
Hier hebben we één nulwaarde, nl. 0 want
f (x) = x2 = 0
B
x=0
d Te ke n ve r lo o p va n d e f u n c t i e
De grafiek van de functie ligt steeds boven de x-as. In de nulwaarde is de functiewaarde gelijk aan 0.
In een tekentabel geeft dit:
x
0
-∞
f (x)
+
0
+∞
+
e S t i j g e n e n d a le n va n d e f u n c t i e
We zien duidelijk dat deze functie eerst daalt, een minimum bereikt en nadien weer stijgt. Het punt van de grafiek
waarin de functie de minimumwaarde bereikt, noemen we de top T van de parabool. In dit geval is de top T(0, 0).
0
-∞
+∞
→
0
→
f (x)
=
x
min.
f D a l p a ra b o o l
De opening van de parabool is naar boven gericht (hol); we noemen deze parabool een dalparabool.
g S y m m e t r i e a s
De grafiek is symmetrisch t.o.v. de y-as. Dit blijkt trouwens ook al uit het visgraatdiagram want f (−x) = f (x). De y-as
noemen we daarom de symmetrieas van de parabool of kort: de as van de parabool. Het snijpunt van de parabool
met zijn symmetrieas is precies de top van de parabool.
15
3 ) Grafiek van de functie f met f (x) = ax 2 (a Π0)
We tekenen in één assenstelsel de grafieken van de functies met voorschrift:
f1(x) = x2
x
x2
1
f3(x) = x2
2
f2(x) = 2x2
-3
-2,5
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
9
6,25
4
2,25
1
0,25
0
0,25
1
2,25
4
6,25
9
2
2x
18
12,5
8
4,5
2
0,5
0
0,5
2
4,5
8
12,5
18
1 2
x
2
4,5
3,125
2
1,125
0,5
0,125
0
0,125
0,5
1,125
2
3,125
4,5
f2(x) = 2x2
y
8
1
f1(x) = x2 f3(x) = x2
2
7
6
5
4
3
(−1, 2)
2
(1, 2)
(−1, 1)
1
(1, 1)
( )
−1,
−7
−6
−5
−4
−3
−2
( )
1
2
−1
1,
0
1
1
2
2
3
4
5
6
7
x
Kenmerken:
1
De grafiek van de functie f2 met f2(x) = 2x2 en de grafiek van de functie f3 met f3(x) = x2 vertonen dezelfde algemene
2
2
kenmerken als de grafiek van f1 met f1(x) = x .
De opening van de grafiek van f2 met f2(x) = 2x2 is smaller dan deze van de grafiek van f1 met f1(x) = x2. De opening
1
van grafiek van f3 met f3(x) = x2 is breder dan deze van de grafiek van f1 met f1(x) = x2.
2
Merk op:
• Als a (a Œ 0) groter wordt, dan wordt de opening van de parabool smaller. We noemen a de openingscoëfficiënt
van de parabool.
• Grafische betekenis van a:
16
Als T(0, 0) de top is van de grafiek, dan zijn A(1, a) en B(−1, a) punten van de grafiek.
hoofdstuk 1
•
De kwadratische functie
4 ) Grafiek van de functie f met f (x) = ax 2 (a Õ 0)
We tekenen in één assenstelsel de grafieken van de functies met voorschrift:
f1(x) = x2
f2(x) = −x2
f3(x) = −2x2
1
f4(x) = − x2
2
-3
-2,5
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
9
6,25
4
2,25
1
0,25
0
0,25
1
2,25
4
6,25
9
−x
−9
−6,25
−4
−2,25
−1
−0,25
0
−0,25
−1
−2,25
−4
−6,25
−9
−2x2
−18
−12,5
−8
−4,5
−2
−0,5
0
−0,5
−2
−4,5
−8
−12,5
−18
1
− x2
2
−4,5
−3,125
−2
−1,125
−0,5
−0,125
0
−0,125
−0,5
−1,125
−2
−3,125
−4,5
7
x
x
x2
2
y
2
f1(x) = x2
1
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
6
−1
−2
−3
f3(x) = −2x2
−4
f2(x) = −x2
1
f4(x) = − x2
2
Kenmerken:
De grafiek van de functie f2 met f2(x) = −x2 is het spiegelbeeld t.o.v. de x-as van de grafiek van f1 met f1(x) = x2. Voor
dezelfde x-waarden krijgen we immers tegengestelde y-waarden.
De grafiek van f2 met f2(x) = −x2 heeft de volgende kenmerken:
- dom f2 = R
- bld f2 = ]−∞, 0]
- T(0, 0) is de top. Het eerste coördinaatgetal is de nulwaarde van de functie. Het tweede coördinaatgetal is het
maximum van de functie. De opening van de parabool is nu naar onder gericht (bol), we spreken van een
bergparabool.
- de as is de y-as.
Deze kenmerken gelden ook voor f3 en f4.
Besluit:
De ligging van de opening van de parabool wordt bepaald door het teken van a.
- Is a Π0, dan is de opening naar boven gericht; we hebben een dalparabool.
Is a Õ 0, dan is de opening naar onder gericht; we hebben een bergparabool.
We noemen a de openingscoëfficiënt van de parabool.
- Als |a| groter wordt, dan wordt de opening van de parabool smaller.
Als |a| kleiner wordt, dan wordt de opening van de parabool breder.
17
2
5 ) Grafiek van de functie f met f (x) = (x - α)
We tekenen in één assenstelsel de grafieken van de functies met voorschrift:
f1(x) = x2
f2(x) = (x + 2) 2
f3(x) = (x - 3)
2
-3
-2,5
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
9
6,25
4
2,25
1
0,25
0
0,25
1
2,25
4
6,25
9
(x + 2)
1
0,25
0
0,25
1
2,25
4
6,25
9
12,25
16
20,25
25
(x - 3)
36
30,25
25
20,25
16
12,25
9
6,25
4
2,25
1
0,25
0
x
x
2
2
2
f2(x) = (x + 2)
y
8
2
f1(x) = x2
f3(x) = (x − 3)
2
7
6
5
4
3
2
1
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
0
2
−1
1
2
3
4
5
6
7
x
3
−2
Kenmerken:
De grafiek van de functie f2 met f2(x) = (x + 2) is congruent met de grafiek van f1 met f1(x) = x2. Ze wordt verkregen
2
door deze laatste twee eenheden naar links te verschuiven. De as is de rechte x = −2 en het punt T(−2, 0) is de top.
Om dezelfde functiewaarden te bekomen moeten we x-waarden nemen die 2 eenheden kleiner zijn.
f1(3) = f2(1) = 9
De grafiek van f3 is congruent met de grafiek van f1. Ze wordt verkregen door deze laatste 3 eenheden naar rechts
te verschuiven. De as is de rechte x = 3 en het punt T(3, 0) is de top.
Om dezelfde functiewaarden te bekomen moeten we x-waarden nemen die 3 eenheden groter zijn.
f1(3) = f3(6) = 9
Besluit:
De grafiek van f met f (x) = (x - α) is congruent met de grafiek van g met g (x) = x2.
2
Ze wordt verkregen door deze laatste te verschuiven evenwijdig met de x-as:
Is α Œ 0, dan verschuiven we horizontaal naar rechts met α-eenheden
Is α Õ 0, dan verschuiven we horizontaal naar links met |α|-eenheden
De as is de rechte x = α en het punt T(α, 0) is de top.
18
hoofdstuk 1
•
De kwadratische functie
2
6 ) Grafiek van de functie f met f (x) = x + β
We tekenen in één assenstelsel de grafieken van de functies met voorschrift:
f1(x) = x2
x
x
2
x2 + 3
2
x -2
f2(x) = x2 + 3
f3(x) = x2 - 2
-3
-2,5
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
9
6,25
4
2,25
1
0,25
0
0,25
1
2,25
4
6,25
9
12
9,25
7
5,25
4
3,25
3
3,25
4
5,25
7
9,25
12
7
4,25
2
0,25
-1
-1,75
-2
-1,75
-1
0,25
2
4,25
7
3
4
y
5
f3(x) = x2 − 2
f2(x) = x2 + 3
4
3
f1(x) = x2
2
3
1
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
0
−1
1
2
5
6
7
x
2
−2
Kenmerken:
De grafiek van de functie f2 met f2(x) = x2 + 3 is congruent met de grafiek van f1 met f1(x) = x2. Ze wordt verkregen door
deze laatste 3 eenheden naar boven te verschuiven. De as is de y-as en het punt T(0, 3) is de top. Het beeld van de
functie is [3, +∞[.
Merk op dat bij dezelfde x-waarden de functiewaarden bij f2 drie eenheden groter zijn. Merk ook op dat er geen snijpunten met de x-as zijn. De functie heeft dus geen nulwaarden.
De grafiek van f3 met f3(x) = x2 - 2 is congruent met de grafiek van f1 met f1(x) = x2. Ze wordt verkregen door deze
laatste twee eenheden naar onder te verschuiven. De symmetrieas is de y-as en het punt T(0, −2) de top. Het beeld
van de functie is [−2, +∞[.
Merk op dat bij dezelfde x-waarden de functiewaarden bij f3 twee eenheden kleiner zijn. Merk ook op dat er twee
snijpunten met de x-as zijn. De functie heeft dus twee nulwaarden.
Besluit:
De grafiek van f met f (x) = x2 + b is congruent met de grafiek van g met g (x) = x2.
Ze wordt verkregen door deze laatste te verschuiven evenwijdig met de y-as:
Is b Π0, dan verschuiven we verticaal naar boven met b-eenheden
Is b Õ 0, dan verschuiven we verticaal naar onder met |b|-eenheden
De as is de y-as en het punt T(0, β) is de top.
bld f = [β, +∞[
19
2
7 ) Grafiek van de functie f met f (x) = a (x − α) + β
Voorbeeld 1:
f (x) = (x − 2) + 3
2
De grafiek van deze functie wordt bekomen door de parabool met vergelijking y = x2 tweemaal te verschuiven, eerst
horizontaal naar rechts met twee eenheden en daarna verticaal naar boven met drie eenheden, of omgekeerd.
y
7
y = x2
y = (x − 2)
6
2
y = (x − 2)2 + 3
4
T
2
−14
−12
−10
−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
x
10
12
14
−2
Kenmerken:
- de coördinaat van de top T is (2, 3)
- de as gaat door de top en heeft als vergelijking x = xT of x = 2
- dom f = R
- bld f = [yT, +∞[ = [3, +∞[
Voorbeeld 2:
f (x) = 2(x + 4) − 1
2
De grafiek van deze functie wordt bekomen door de parabool met vergelijking y = x2 te versmallen met een
openingscoëfficiënt 2 en daarna te verschuiven, eerst horizontaal naar links met vier eenheden en daarna verticaal
naar onder met één eenheid, of omgekeerd.
y
8
y = 2(x + 4)
2
y = 2x2
y = x2
6
4
2
y = 2(x + 4) − 1
2
−14
−12
−10
−8
−6
−4
T
−2
0
2
−2
Kenmerken:
- de coördinaat van de top T is (−4, −1)
- de as gaat door de top en heeft als vergelijking of x = xT of x = −4
- dom f = R
- bld f = [yT, +∞[ = [−1, +∞[
20
4
6
8
10
12
14
x
hoofdstuk 1
•
De kwadratische functie
8 ) Grafiek van de functie f met f (x) = ax2 + bx + c
f (x) = x2 - 6x + 8
Voorbeeld 1:
We herschrijven de functie:
f (x) = x2 - 6x + 8
F f (x) = (x2 − 6x + 9) − 1
F f (x) = (x − 3) − 1
2
De grafiek van deze functie wordt dus bekomen door de parabool met vergelijking y = x2 tweemaal te verschuiven.
Eerst horizontaal naar rechts met drie eenheden en daarna verticaal naar onder met één eenheid, of omgekeerd.
y
7
y = (x − 3)
2
y = x2
y = (x − 3) − 1
2
6
5
4
3
2
1
3
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
1
−1
−2
4
5
6
7
x
T
x=3
Kenmerken:
- de coördinaat van de top T is (3, −1)
- de as gaat door de top en heeft als vergelijking: x = xT of x = 3
- dom f = R
- bld f = [yT, +∞[ = [−1, +∞[
- snijpunt met de y-as:
x=0
L
f (0) = 02 - 6 ⋅ 0 + 8 = 8
A(0, 8) is dus het snijpunt van de grafiek van f met de y-as
Voorbeeld 2:
f (x) = −x2 + 2x + 8
Toon aan dat je dit functievoorschrift kunt herschrijven tot f (x) = −[(x - 1) − 9].
2
Geef van deze functie de kenmerken.
21
Voorbeeld 3:
f (x) = −2x2 + 4x − 3
We herschrijven het voorschrift:
f (x) = −2x2 + 4x − 2 − 1
F f (x) = −2(x2 − 2x + 1) − 1
F f (x) = −2(x − 1) − 1
2
De grafiek van f wordt dus bekomen door de parabool y = x2 achtereenvolgens:
- te versmallen met factor 2
y = 2x2
- te spiegelen in de x-as
y = −2x2
- twee eenheden horizontaal naar rechts te verschuiven y = −2 (x − 1)
2
y = −2 (x − 1) − 1
2
- één eenheid verticaal naar onder te verschuiven
y
y = x2
y = 2x2
4
3
2
1
−7
−6
−5
−4
−3
−2
0
−1
1
4
5
6
7
x
y = −2x2 + 4x − 2
−2
−3
3
T
−1
y = −2x2
2
A
−4
y = −2x2 + 4x − 3
Kenmerken:
- de coördinaat van de top T is (1, −1)
- de as heeft als vergelijking x = 1
- dom f = R
- bld f = ]-∞, −1]
- snijpunt met de y-as: A(0, −3)
Parabolen
Parabolen werden al in de Oudheid bestudeerd. De Griekse wiskundige Apollonius van Perga
(derde eeuw voor Christus) gaf de naam parabool aan de doorsnede van een kegel met een vlak dat
evenwijdig is aan een beschrijvende van de kegel (zie figuur).
De grote natuurkundige Galileo Galilei (1564-1642) ontdekte 2000 jaar later dat projectielen afgevuurd
met een kanon een parabolische baan volgen (mits verwaarlozing van luchtweerstand). Ook
spoorwegtunnels en bruggen zijn soms parabolisch. De lob van een voetbalspeler, de worp van een
speerwerper of een kogelstoter zijn parabolen als er niet teveel wind staat … Laat men een parabool
wentelen rond zijn as, dan onstaat er een omwentelingsparaboloïde. Een voorbeeld daarvan is een
schotelantenne.
22
parabool
•
hoofdstuk 1
De kwadratische functie
Algemeen:
De functie f met f (x) = ax2 + bx + c kunnen we herschrijven als:
(
)
(
(
[( )
( )
b
c
f (x) = a x2 + x + a
a
F f (x) = a x2 + 2 ⋅
F f (x) = a x2 + 2
F f (x) = a x +
F f (x) = a x +
(a ≠ 0)
b
b2
b2 c
x+ 2- 2+
2a
4a 4a a
)
b
b2 −b2 + 4ac
x+ 2+
2a
4a2
4a
2
b
−b2 + 4ac
+
2a
4a2
)
]
2
b
−b2 + 4ac
+
2a
4a
F f (x) = a(x - α) + β 2
met α =
( )
−b
−b
−b2 + 4ac
=f
, b=
2a
2a
4a
De grafiek van de functie f met f (x) = a(x - α) + b ontstaat uit de grafiek van de functie f1 met f1(x) = x2 in maximaal
2
vier stappen:
- Is a negatief, doe dan eerst een spiegeling t.o.v. de x-as.
- Versmal of verbreed de parabool, naargelang |a| Œ 1 of |a| Õ 1.
Zo bekom je de grafiek van f2 met f2(x) = ax2
- Verschuif evenwijdig met de x-as.
Zo bekom je de grafiek van f3 met f3(x) = a(x - α)
2
- Verschuif evenwijdig met de y-as.
Zo bekom je de grafiek van f met f (x) = a(x - α) + b
2
Kenmerken:
a G ra f i e k
De grafiek van de functie f (x) = ax2 + bx + c is een parabool p waarvan de
G rafie k van f ( x ) = ax 2 + bx + c
as evenwijdig is met de y-as.
Als a Π0, dan is p een dalparabool.
A(0, c)
Als a Õ 0, dan is p een bergparabool.
b To p c A s (
) ( ( ))
−b −b2 + 4ac
−b −b
=T ,f
T(α, β) = T ,
2a
2a 2a
4a
−b
x = α of x =
2a
d D o m e i n
dom f = R
e B e e l d
Als a Œ 0, dan is bld f = [β, +∞[ =
aŒ0
y
y = ax2 + bx + c wordt de vergelijking van de parabool genoemd.
[
]
( )
f −
b
2a
(
T−
b −b2 + 4ac
,
2a
4a
x
0
b
x=−
2a
[ [( ) [
] ] ( )]
−b
−b2 + 4ac
, +∞ = f
, +∞
2a
4a
Als a Õ 0, dan is bld f = ]-∞, β] = -∞,
f N u lw a a rd e n
De nulwaarden zijn de oplossingen van de vergelijking ax2 + bx + c = 0. (zie 1.3)
g S t i j g e n e n d a le n
Als a Π0
( )
−b
2a
Als a Õ 0
x
+∞
f (x)
−b
2a
-∞
→
f
−b
−b2 + 4ac
= -∞, f
2a
4a
f
( )
−b
2a
+∞
→
→
f (x)
−b
2a
-∞
→
x
)
h S n i j p u n t m e t d e y - a s Als x = 0, dan is y = 0 + 0 + c = c
Dus A(0, c) is het snijpunt met de y-as
23
9 ) Onderzoek van een kwadratische functie
Bespreek de kenmerken van de kwadratische functie f met f (x) = x2 + 2x - 8.
- Omdat a = 1 (Π0), is de grafiek van de kwadratische functie een dalparabool.
−b −2
= -1
- Top T a =
=
2a 2 ⋅ 1
−b2 + 4ac -4 + 4 ⋅ 1 ⋅ (-8) -4 - 32 -36
=
=
= -9
=
4a
4
4
4
b=
m.a.w. de coördinaat van de top T is (-1, -9)
controle: b = f (-1) = (-1) + 2(-1) - 8 = -9
- As
2
x = a F x = -1
- Visgraatdiagram
Om de grafiek te kunnen schetsen, berekenen we nu enkele punten van de
grafiek aan de hand van een visgraatdiagram. Hierbij maken we dankbaar
gebruik van de symmetrieas.
f (-1) = (-1) + 2(-1) - 8 = -9
f (0) = (0) + 2 ⋅ 0 - 8 = -8
f (-2) = (-2) + 2 ⋅ (-2) - 8 = -8
f (1) = (1) + 2 ⋅ 1 - 8 = -5
f (-3) = (-3) + 2 ⋅ (-3) - 8 = -5
f (2) = (2) + 2 ⋅ 2 - 8 = 0
f (-4) = (-4) + 2 ⋅ (-4) - 8 = 0
f (3) = (3) + 2 ⋅ 3 - 8 = 7
f (-5) = (-5) + 2 ⋅ (-5) - 8 = 7
f (4) = (4) + 2 ⋅ 4 - 8 = 16
f (-6) = (-6) + 2 ⋅ (-6) - 8 = 16
…
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
x
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
f (x)
16
7
0
-5
-8
-9
-8
-5
0
7
16
top
- dom f = R
- bld f = [b, +∞[ = [-9, +∞[
- Nulwaarden
De nulwaarden zijn de x-waarden waarvoor de functiewaarde nul wordt. Blijkbaar kunnen we in dit geval
de nulwaarden aflezen uit het visgraatdiagram (dit is niet steeds mogelijk).
nulwaarden: -4 en 2
-∞
+∞
−1
f (x)
→
x
−9
→
- Stijgen en dalen
- Snijpunt met de y-as: A(0, −8)
- Grafiek
f (x) = x2 + 2x − 8
y
5
−10
−5
0
5
−5
24
T
A
x
hoofdstuk 1
•
De kwadratische functie
10 ) Samenvatting
• Je kent de definitie van een kwadratische functie.
Een kwadratische functie is een functie f met f (x) = ax2 + bx + c waarbij a, b en c gegeven reële getallen zijn (met a ≠ 0). Dit noemen we ook een tweedegraadsfunctie of een functie van de tweede graad.
• Je weet wat bedoeld wordt met het domein, het beeld en de nulwaarden van een functie.
- Het domein van een functie is de verzameling van de x-waarden waarvoor de functie gedefinieerd is
- Het beeld van een functie is de verzameling van de y-waarden waarvoor er een x-waarde bestaat
(of waarvoor het beeld bestaat).
zodat y = f (x).
- De nulwaarden van een functie zijn de x-waarden waarvoor de functiewaarde 0 is.
• Je weet de de grafiek van de functie f met f (x) = a(x - α) + b ontstaat uit de grafiek van de functie f1
2
met f1(x) = x2 in maximaal vier stappen:
- Is a negatief, doe dan eerst een spiegeling t.o.v. de x-as.
- Versmal of verbreed de parabool, naargelang |a| Œ 1 of |a| Õ 1.
Zo bekom je de grafiek van f2 met f2(x) = ax2
- Verschuif evenwijdig met de x-as.
Zo bekom je de grafiek van f3 met f3(x) = a(x - α)
2
- Verschuif evenwijdig met de y-as.
Zo bekom je de grafiek van f met f (x) = a(x - α) + b
2
• Je kunt een kwadratische functie f met f (x) = ax2 + bx + c als volgt onderzoeken.
a Grafiek
De grafiek is een parabool met vergelijking y = ax2 + bx + c en waarvan de as evenwijdig is met de y-as.
(
) ( ( ))
b Top
T(α, β) = T
−b −b2 + 4ac
−b −b
,
of T , f
2a
2a 2a
4a
c As x = α of x =
−b
2a
d Domein
dom f = R
e Beeld
Als a Œ 0, dan is bld f = [β, +∞[ =
Nulwaarden
g Stijgen en dalen
Als a Π0
x
h Snijpunt met de y-as
f
( )
−b
2a
Als a Õ 0
x
+∞
f (x)
−b
2a
-∞
f
( )
−b
2a
+∞
→
f (x)
−b
2a
-∞
→
−b
−b2 + 4ac
= -∞, f
2a
4a
De nulwaarden zijn de x-waarden van de snijpunten van de grafiek met de x-as.
→
f
[ [( ) [
] ] ( )]
−b
−b2 + 4ac
, +∞ = f
, +∞
2a
4a
Als a Õ 0, dan is bld f = ]-∞, β] = -∞,
[
]
→
A(0, c)
25
11 ) Oefeningen
1 Welke vergelijkingen stellen een rechte voor?
Welke vergelijkingen stellen een parabool voor?
Welke vergelijkingen stellen noch een rechte noch een parabool voor?
a y = 2x - 1
1
1
b y = x2 - x + 3
8
c y = x3 - x2 + 1
y = -x2 + 3x - 4
1
g y = 2
x
h y = 6
d y = x2 - 4
3x - 1
e y =
4
i
y = √x2 - 5
j
y = √2 x2 - x
f
2 Bespreek de kenmerken van de volgende functies (berg- dalparabool, domein, extreme waarde, beeld,
symmetrieas, stijgen-dalen, nulwaarden, tekenverloop) aan de hand van hun grafiek.
a
b
d
y
4
3
3
2
2
1
1
−5 −4 −3 −2 −1 0
−1
f
y
4
1
2
3
4
−5 −4 −3 −2 −1 0
−1
x
−2
−2
−3
−3
−4
−4
e
y
6
1
2
3
4
x
f
f
y
2
1
5
x
4
3
−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0
−1
2
−2
1
−3
−6 −5 −4 −3 −2 −1 0
−1
1
2
3
4
5
6
−4
x
−5
−6
−2
−3
−4
c
f
y
2
x
1
3
2
1
−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0
−1
−3
26
2
x
−2
−5
f
3
1
−4
y
5
4
2
−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0
−1
f
f
−2
1
2
3
hoofdstuk 1
•
De kwadratische functie
3 Teken de grafiek door voldoende punten te bepalen. Bespreek de kenmerken van de volgende functies aan de hand
van de grafiek.
x2
3
-x+
2
2
f(x) = x2 + 4x + 5
a f(x) = x2 + 2x - 3
e f(x) =
b f(x) = x2 - 9
f
c f(x) = -x2 + 4x
2
d f(x) = - x2 + 4x3
3
g f(x) = x2 - 2x
h f(x) = x2 + 2x + 1
4 Stel het voorschrift op van de functie g als je de grafiek van de functie f met f(x) = x2 …
a … twee eenheden horizontaal verschuift naar links.
b … vier eenheden verticaal verschuift naar onder.
c … drie eenheden horizontaal verschuift naar rechts en één eenheid vertical verschuift naar boven.
d… eerst spiegelt t.o.v. de x-as en daarna twee eenheden horizontaal naar links verschuift en drie eenheden
e… eerst vier eenheden horizontaal naar rechts verschuift en twee verticaal naar onder, om daar te spiegelen
f… eerst versmalt tot openingscoëfficiënt 3 en daarna één eenheid horizontaal naar links en verticaal naar
verticaal naar boven.
t.o.v. de x-as.
onder verschuift.
5 Bereken de top van de grafieken van volgende functies van de tweede graad en zet het voorschrift om in de vorm
f(x) = a(x - a)2 + b
a f(x) = x2 - 6x + 1
x2
b f(x) = - + 3x - 4
2
x2
3
-x+
2
2
d f(x) = - 4x2 + 3x
c f(x) =
6 Welke transformatie heeft de grafiek van y = x2 ondergaan om tot de grafiek f te komen?
a f(x) = (x + 1)2 - 2
1
b f(x) = - (x + 1)2
3
c f(x) = (2 - x)2 + 3
d f(x) = 2x2 - 8x + 1
7 Wat is er merkwaardig aan de coördinaten van de top van de grafieken van volgende functies?
f(x) = 2x2 - 4x + 6
en
g(x) = x2 - 2x + 3
en
j(x) =
x2 3
+ x-1
3 2
27