Theorie Sterkteleer

EXAMENVRAGEN
STERKTELEER
© R.C. Hibbeler “Sterkteleer”
© Lincy Pyl, Jan Helsen
OPEN VRAGEN THEORIE
1) Licht de inwendige belastingen toe van het lichaam dat hieronder weergegeven is. (H1)
Om de inwendige belastingen te bepalen die in een in bepaald oppervlak in het lichaam werken
is het nodig om een denkbeeldige snede (EN: mental cut) te maken door het gebied waar de
inwendige belastingen moeten worden bepaald (zie a).
Vervolgens worden de delen van het lichaam gescheiden en van één van de twee delen wordt
het vrijlichaamsschema getekend. (zie b)
Vervolgens gaan we de evenwichtsvergelijkingen gebruiken om de uitwendige krachten op het
lichaam te relateren aan de resulterende kracht en het resulterend moment, Fr en Mro, die door
deze verdeling op een bepaald punt O in het oppervlak van de doorsnede worden uitgeoefend
(zie c)
Het punt O wordt vaak gekozen in het zwaartepunt van het oppervlak van de doorsnede. We
kiezen dus altijd deze plaats voor punt O.
We zullen de de componenten van Fr en Mro bekijken die RAKEND en LOODRECHT op het
vlak van de doorsnede werken; in andere woorden in drie richtingen! In deze drie richtingen
zullen er VIER RESULTERENDE BELASTINGEN inwerken op het punt O.
1) Normaalkracht N
te bepalen met ∑ 𝐹𝑥 = 0
2) Dwarskracht V
te bepalen met ∑ 𝐹𝑦 = 0
3) Buigmoment M
te bepalen met ∑ 𝑀𝑜 = 0
4) Wringmoment T
2) Leid de formule voor spanning af (H1)
Spanning is een term voor de intensiteit van de inwendige kracht die werkt op een bepaald
oppervlak door een punt. Spanning wordt uitgedrukt in N/m² (=1Pa).
We starten met het verdelen van het doorsnedeoppervlak in KLEINERE oppervlaktes. Als we ΔA
steeds kleiner maken, moeten we 2 veronderstellingen doen ivm de materiaaleigenschappen:
* materiaal moet continu zijn (zonder lege ruimtes)
* materiaal moet coherent zijn (geen breuken of spleten)
Indien we een kracht hebben die inwerkt op het doorsnedeoppervlak dan kunnen we die
opsplitsen in drie componenten: ΔFx, ΔFy, en ΔFz.
Aangezien het punt waarin we de spanning definiëren ééndimensionaal is, zullen we de
oppervlakte ΔA naar nul laten naderen (een punt dus). Indien de oppervlakte dit doet, zullen de
krachtcomponenten dat ook doen.
De verhouding van de krachtcomponent en de oppervlakte zal zodoende een EINDIGE GRENS
bereiken die we kunnen definiëren als SPANNING.
In formulevorm is dit:
∆𝐹
∆𝐴
∆𝐴→0
𝜎 = lim
Er bestaan verschillende soorten spanningen:
1) Normaalspanning σ
De intensiteit van de kracht die haaks op ΔA werkt (ΔFz), wordt gedefinieerd als de
normaalspanning σ.
2) Schuifspanning 𝜏
De intensiteit van de kracht die in het vlak van ΔA werkt (ΔFx voor zx vlak of ΔFy voor zy
vlak), wordt gedefinieerd als de schuifspanning 𝜏.
3) Bespreek rek en de afschuifhoek op een lichaam. (H2)
Om de vervorming van een lichaam te kunnen beschrijven voeren we de begrippen rek en
afschuifhoek in. We bestuderen hierbij de verandering van lengte van lijnstukken en
veranderingen in de hoek tussen deze lijnstukken.
De rek en de afschuifhoek worden meestal experimenteel gemeten en zodra ze bepaald zijn
kunnen we ze relateren aan de spanningen in het lichaam.
1) Rek
De rek is de lengteverandering van een lijn per eenheid van lengte. Het is een dimensieloze
grootheid. Stel een lijn AB voor in een lichaam dat vervormd wordt. De afstand tussen A
en B in het onvervormde lichaam is Δs terwijl de afstand tussen A en B in het vervormde
lichaam Δs’ is. De gemiddelde rek over de lijn AB kunnen we dan definiëren als:
𝜀𝑔𝑒𝑚 =
∆𝑠′ − ∆𝑠
∆𝑠
Indien we (net zoals bij de spanningen) de rek in een punt willen weten (ééndimensionaal),
zullen we de punten A en B naar mekaar toe moeten laten komen. Δs zal naar 0 naderen
en bijgevolg ook Δs’. Bijgevolg kunnen we de rek in een punt dan beschrijven als:
∆𝑠′ − ∆𝑠
∆𝑠
𝐵→𝐴
𝜀 = lim
2) Afschuifhoek
Door vervormingen worden lijnsegmenten niet alleen korter of langer, ook de oriëntatie
waarin ze liggen zal veranderen. Bekijken we twee lijnsegmenten die in eerste instantie
loodrecht op mekaar staan, dan wordt de verandering van de hoek tussen deze twee
als gevolg van vervorming de afschuifhoek genoemd. We kunnen de afschuifhoek in
punt A tov de n- en t-as dan beschrijven als:
𝜋
2
𝛾𝑛𝑡 = − lim 𝜃′
𝐵→𝐴
𝐶→𝐴
Met behulp van deze gegevens kunnen we de lengtes van de zijdes berekenen en de verandering
in volume (zie p69 Hibbeler voor meer detail hieromtrent).
4) Bespreek het spannings-rekgedrag van taaie en brosse materialen. (H3)
Materialen kunnen ingedeeld worden in taai en bros, afhankelijk van de kenmerken van hun
spannings-rekdiagram.
1) Taai materiaal
Een materiaal dat aanzienlijk vervormd alvorens het breekt is een taai materiaal. Deze
materialen kunnen vaak schokken of energie opnemen en bij overbelastingen zullen ze
aanzienlijk vervormen alvorens ze gaan bezwijken. Als we spreken over taaie materialen
kunnen we de procentuele verlenging van het materiaal omschrijven als:
𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑛𝑡𝑢𝑒𝑙𝑒 𝑣𝑒𝑟𝑙𝑒𝑛𝑔𝑖𝑛𝑔 =
𝐿𝑏𝑟𝑒𝑢𝑘 − 𝐿0
𝐿0
(100%)
Een andere manier om de taaiheid aan te geven is de procentuele oppervlakteverkleining
(gelijkaardig in notatie, zie p 88 theorie).
Een taai materiaal zal doorgaans:
* elastisch spanning-rek gedrag vertonen
* vloeien bij constante spanning
* verstevigen
* insnoeren en breken
Taaie materialen hebben meestal geen constante vloeiing en geen goed gedefinieerd
vloeipunt. Als gevolg hiervan wordt er een vloeigrens bepaald.
2) Bros materiaal
Een materiaal dat weinig of niet vloeit alvorens het bezwijkt is een bros materiaal. Een
gekend aantal brosse materialen zijn gietijzer en beton, die door onvolkomenheden of
microscopische scheurtjes zullen bezwijken. Een bros materiaal zal echter beter tegen
axiale druk kunnen. Het is ook om die reden dat er bvb wapeningsstaven zitten in beton,
omdat er altijd ongewenst trek kan optreden in het beton, waarbij het kan afbrokkelen.
Een materiaal kan ook zowel eigenschappen van bros én taai materiaal hebben. Zo heeft
staal een bros gedrag wanneer het een hoog koolstofgehalte heeft en een taai gedrag als
het weinig koolstof bevat.
5) Bespreek het gedrag van materiaal adhv een spanning-rek diagram. (H3)
Proportionaliteitsgrens (𝜎𝑝𝑟𝑜𝑝 ):
Hieronder is het lineair elastisch gebied en is de wet van
Hooke geldig (σ = E * ε )
Elasticiteitsgrens (𝜎𝑒𝑙𝑎𝑠𝑡 ):
Verder gaan geeft blijvende vervorming en we komen in
het plastisch vervormgebied.
Vloeispanning (𝜎𝑣 ):
Bij staalsoorten met lage koolstofgehalte of warmgewalste
profielen is er een hoogte- en laagte vloeipunt. Na het
laagste vloeipunt valt het vermogen om belasting te
dragen weg en verlengt het materiaal verder zonder dat
de kracht toeneemt. Na het vloeien is er de versteviging.
Vloeien stopt hier.
Maximale spanning (𝜎𝑡𝑟𝑒𝑘 𝑚𝑎𝑥 ):
Tot aan dit punt is er een lengteverandering en
vermindering van de dwarsdoorsnede over de gehele
lengte. Pas daarna ontstaat er een lokale insnoering wat
uiteindelijk leid tot een breuk.
Breukspanning (𝜎𝑏𝑟𝑒𝑢𝑘 ):
Richting de breukspanning gaande neemt de spanning af
omdat we blijven rekenen met de originele oppervlakte van
de doorsnede terwijl die in de werkelijkheid steeds kleiner
wordt door de insnoering. Ook wordt steeds de originele
lengte gebruikt terwijl deze langer wordt. Typische taaie
breuk is conisch.
Werkelijke breukspanning (𝜎𝑏𝑟𝑒𝑢𝑘 ):
Houdt wel rekening met het veranderde oppervlak van de
dwarsdoorsnede.
6) Bespreek de wet van Hooke en leg uit wanneer deze geldig is adhv een spanningrekdiagram. (H3)
Voor de meeste constructiematerialen tonen de spannings-rek diagramma’s een LINEAIR
VERBAND tussen spanning en rek. Een toename van spanning zal dus een evenredige toename
in rek veroorzaken. Dit is de wet van Hooke, die geldig is in het lineair elastisch gebied:
𝜎=𝐸∗ 𝜀
met
σ = spanning [ N/m² ]
ε = rek
E = elasticiteitsmodulus [ MPa of GPa]
De wet van Hooke mag ENKEL maar gebruikt worden in het lineair elastisch gebied, en NIET
meer als de proportionaliteitsgrens overschreden is!
7) Bespreek vervorrmingsenergie van een materiaal. Geef volgende zaken: specifieke
herstelenergie, breuktaaiheidsmodulus. (H3)
Een materiaal dat door een uitwendige belasting wordt vervormd, wil inwendig in het hele
volume energie opslaan. Aangezien deze energie verband houdt met de vervorming van het
materiaal, wordt deze energie vervormingsenergie genoemd.
Om deze vervormingsenergie te bepalen bekijken we een volume
element materiaal van een trekproefstuk. Het wordt in één richting
belast.
1) Spanning veroorzaakt een kracht op boven en onderzijde van het element nadat het
element een verplaatsing ε . Δz heeft ondergaan:
∆𝐹 = 𝜎 ∗ ∆𝐴 = 𝜎 ∗ (∆𝑥 ∗ ∆𝑦)
2) Kracht is gelijk aan de gemiddelde grootte van de kracht (ΔF/2) vermenigvuldigd met
de verplaatsing ε . Δz
3) De ‘uitwendige energie’ op element = vervormingsenergie in element
4) Daardoor geldt:
1
1
∆𝑈 = (2 ∗ ∆𝐹) ∗ 𝜀 ∗ ∆𝑧 = (2 ∗ 𝜎 ∗ ∆𝑥 ∗ ∆𝑦) ∗ 𝜀 ∗ ∆𝑧
5) Als het volume ∆𝑉 = ∆𝑥 ∗ ∆𝑦 ∗ ∆𝑧 is,
1
2
dan is ∆𝑈 = ∗ 𝜎 ∗ 𝜀 ∗ ∆𝑉
∆𝑈
6) Je krijgt de dichtheid van vervormingsenergie u ( = ∆𝑉 )
De specifieke herstelenergie is de waarde van de dichtheid van vervormingsenergie u wanneer
de spanning σ de proportionaliteitsgrens bereikt.
1
1
𝑢ℎ = 2 ∗ 𝜎𝑝𝑟𝑜𝑝 ∗ 𝜀𝑝𝑟𝑜𝑝 = 2 ∗
𝜎 2 𝑝𝑟𝑜𝑝
𝐸
8) Bespreek de dwarscontractiecoëfficiënt en leg uit mbv een figuur. (H3)
Wanneer een vervormbaar lichaam wordt belast door een trekkracht in axiale richting, wordt dat
lichaam niet alleen verlengt, maar bovendien treedt er dwarscontractie op. Een goed voorbeeld
is een plat elastiekje dat uitgerekt wordt: het zal minder dik en minder breed worden. Op eenzelfde
manier heeft een drukkracht op een lichaam verkorting tot gevolg in de krachtrichting terwijl de
zijden in dwarsrichting expanderen.
De vervormingen in axiale richting en dwarsrichting zijn respectievelijk:
𝜀𝑎𝑥𝑖𝑎𝑎𝑙 =
𝛿
𝐿
𝜀𝑑𝑤𝑎𝑟𝑠𝑟𝑖𝑐ℎ𝑡𝑖𝑛𝑔 =
𝛿′
𝑟
De verhouding tussen deze vervormingen in axiale richting en dwarsrichting is CONSTANT
aangezien de vervormingen δ en δ’ evenredig zijn. Deze constante noemen we de
dwarscontractiecoëfficiënt (ook wel de coëfficiënt van Poisson genoemd).
𝜈=−
𝜀𝑑𝑤𝑎𝑟𝑠𝑟𝑖𝑐ℎ𝑡𝑖𝑛𝑔
𝜀𝑎𝑥𝑖𝑎𝑎𝑙
9) Bespreek het schuifspanning-afschuifhoekdiagram. Geef het verband tussen de drie
materiaalconstanten E, ν en G. (H3)
We beschouwen een klein element dat zuivere afschuiving ondervindt (zie figuur). Om voor
evenwicht te zorgen liggen de spanningen naar of vanaf twee tegenover elkaar liggende
hoekpunten van het element. De schuifspanning zal uniform vervormen als het materiaal
homogeen is. Verder zal het materiaal ook vervormen met een afschuifhoek 𝛾.
Net zoals we vooraf al besproken hebben zullen de meeste constructiematerialen een elastisch
gedrag vertonen dat lineair is. In dit lineair elastisch gebied is de wet van Hooke geldig. We
kunnen dus schrijven:
met
𝜏 =𝐺∗𝛾
met
𝜏
𝐺 = 𝛾𝑝𝑟𝑜𝑝
𝑝𝑟𝑜𝑝
𝜏 = schuifspanning [ Pa, MPa, GPa]
G = glijdingsmodulus (helling van de lijn in 𝜏 − 𝛾 diagram)
𝛾 = de afschuifhoek [ Pa, MPa, GPa ]
Het volgende verband tussen de drie materiaalconstanten bestaat:
𝐺=
𝐸
2 ∗ (1 + 𝜈)
Een voordeel van dit verband is het feit dat we nu ν kunnen berekenen mits we G en E weten,
terwijl dit vroeger experimenteel gemeten diende te worden.
10) Bespreek axiale belasting en de elastische vervorming van een axiaal belast onderdeel. (H4)
Voorwaarden:
1) Lineair elastisch gebied -> wet van Hooke toepasbaar
2) Verwaarlozen van lokale vervormingen
3) Gelijkmatige vervorming (𝜎𝑁 = 𝑐𝑡𝑒)
tekening:
axiaal belaste staaf, voor en na de belasting
We beschouwen een differentiaalelement (links figuur).
𝜎=
𝑁(𝑥)
𝐴(𝑥)
en
𝜎 =𝐸∗𝜀
en
𝜀=
∆𝑠′ − ∆𝑠
∆𝑠
=
𝑑𝛿
𝑑𝑥
Zolang de spanning de de proportionaliteitsgrens niet overschrijdt, mogen we de wet van
Hooke toepassen:
wet van Hooke
𝜎 =𝐸∗𝜀
𝑁(𝑥)
𝐴(𝑥)
𝑑𝛿
combinatie van formule voor rek, spanning, Hooke
= 𝐸 ∗ 𝑑𝑥
𝑑𝛿 =
𝑁(𝑥)∗𝑑𝑥
𝐴(𝑥)∗𝐸
de verlenging van het differentiaal element afzonderen
𝐿 𝑁(𝑥)∗𝑑𝑥
integratie over hele lengte L van de staaf
𝛿 = ∫0
𝐴(𝑥)∗𝐸
Indien
𝑁∗𝐿
𝛿 = ∑ (𝐸∗𝐴)
E = cte
en
A(x) = cte
dan
:
Abrupte veranderingen in variabelen? Segment per segment rekenen!
11) Leg het principe van Barré de Saint Venant uit. (H4)
Het principe van Barré de Saint Venant stelt dat de spanning en rek in punten van een lichaam
die voldoende ver verwijderd zijn van het gebied waar de kracht aangrijpt, dezelfde zijn als de
spanning en rek als gevolg van belastingen die dezelfde statische equivalente resultante hebben
en in hetzelfde gebied op het lichaam werken.
12) Geef het idee achter het principe van superpositie. (H4)
Het superpositieprincipe wordt vaak gebruikt om spanning of verplaatsing in een punt in een
lichaam te bepalen wanneer het lichaam een complexe belasting ondervindt.
Door de belasting in COMPONENTEN te verdelen, geeft het superpositieprincipe aan dat de
resulterende spanning of verplaatsing in het punt kan worden bepaald door eerst de spanning of
verplaatsing als gevolg van de afzonderlijke belastingscomponenten te bepalen en die vervolgens
algebraïsch bij elkaar op te tellen.
Twee voorwaarden:
* Lineair verband tussen belasting en te bepalen spanning/verplaatsing!
* Belasting mag geen belangrijke veranderingen aanbrengen in geometrie.
Bijkomend mogen we superpositie ENKEL toepassen als de wet van Hooke geldig is.
Voorbeeld:
13) Leg de krachtenmethode bij axiaal belaste onderdelen uit. (H4)
De krachtenmethode is een manier om STATISCH ONBEPAALDE problemen op te lossen (aka
er zijn te weinig gegevens voor de evenwichtsvergelijkingen op te stellen) door de
compatibiliteitsvergelijking op te stellen en het superpositieprincipe toe te passen.
STAP 1: COMPATIBILITEIT
Maak één van de ondersteuningen overbodig/redundant en stel de
compatibiliteitsvergelijking op. Om dit te doen wordt de bekende verplaatsing in de
overbodige/redundante ondersteuning, die meestal gelijk is aan nul, gelijkgesteld aan de
verplaatsing in de ondersteuning die uitsluitend veroorzaakt wordt door de externe
belastingen op het constructieonderdeel plus (vectorieel) de verplaatsing in deze
ondersteuning uitsluitend veroorzaakt door de overbodige/redundante reactie op het
constructieonderdeel.
•
•
Druk de externe belasting en de overbodige/redundante verplaatsingen uit
als functie van de belastingen met behulp van een belasting𝑁𝐿
verplaatsingrelatie zoals 𝛿 = 𝐴𝐸
Daarna kan de compatibiliteitsvergelijking worden opgelost voor de
grootte van de reduntante/overbodige kracht.µ
STAP 2: EVENWICHT
Teken een vrijlichaamsschema en stel de betreffende evenwichtsvergelijkingen op voor
het constructieonderdeel met behulp van het berekende resultaat voor de redundante
kracht. Los deze vergelijkingen op voor eventuele andere reacties.
Voorbeeld ter illustratie:
14) Leg thermische spanning uit en geef de formule. (H4)
Een verandering in temperatuur kan tot gevolg hebben dat de afmetingen van een lichaam
veranderen en dat het dus zal uitzetten of krimpen. Dit gebeurt bij de meeste materialen. Normaal
gezien staat deze uitzetting of krimp in lineaire verhouding met de temperatuurstoename of afname. Indien het materiaal daarbovenop ook homogeen en isotroop is, dan is de experimenteel
aangetoond dat de verplaatsing van een onderdeel met de lengte L kan worden berekend met
de vergelijking:
𝛿𝑇 = 𝛼 ∗ ∆𝑇 ∗ 𝐿
met
𝛼 = lineaire thermische uitzettingscoëfficiënt (materiaaleigenschap)
ΔT = de temperatuursverandering
L = de beginlengte van het constructieonderdeel
𝛿𝑇 = de lengteverandering van het constructieonderdeel
In STATISCH BEPAALDE constructieonderdelen is de lengteverandering gemakkelijk te
berekenen met deze formule.
In STATISCH ONBEPAALDE constructieonderdelen zullen de thermische verplaatsingen echter
door de ondersteuningen beperkt worden. Hierdoor ontstaan er thermische spanningen in het
lichaam, waarbij men bij de berekening rekening mee moet houden (bvb bij treinsporen, zie figuur).
Een
bekend
statisch
onbepaald
constructieonderdeel is treinsporen. Indien
met niet (genoeg) rekening houdt met
thermische belastingen in de rails kunnen ze
gaan knikken en de volgende situatie
veroorzaken.
De
NMBS
wenst
verontschuldigen.
zich
alvast
te
De eiffeltoren zet in de zomer ongeveer 20
centimeter uit door de temperatuurstoename.
15) Geef het belang van spanningsconcentraties op een structuur weer. Leg volgende zaken
uit: spanningsconcentratiefactor K. (H4)
Spanningsconcentraties zijn van uiterst belang voor constructies. We weten dat een spanning
een ingewikkelde spanningsverdeling veroorzaakt in het lokale gebied rondom het punt waar de
belasting wordt aangebracht.
Ingewikkelde spanningsverdelingen ontstaan niet alleen precies onder een puntbelasting, maar
kunnen ook ontstaan op plaatsen waar de dwarsdoorsnede van het constructieonderdeel
verandert.
Het materiaal bevindt zich in lineair elastisch gebied en de wet van Hooke is dus geldig. Als we
naar de onderstaande figuren kijken merken we dat de spanningsconcentratie sterk afhangt van
de vorm van de constructie en het type discontinuïteit aanwezig (bvb gaten in een balk).
De spanningsconcentratiefactor:
𝜎
𝐾 = 𝜎𝑚𝑎𝑥
𝑔𝑒𝑚
grote spanningsconcentraties
lage spanningsconcentraties
Een belangrijk voorbeeld van hoe
belangrijk spanningsconcentraties zijn op
structuren is de Dehaviland Comet, een
straalvliegtuig uit de jaren zestig waarvan
er een heleboel neergestort zijn. Dit kwam
door metaalmoeheid veroorzaakt door de
grote spanningsconcentraties veroorzaakt
door de vierkante venstertjes.
16) Bespreek torsievorming van een ronde as en geef bijhorende figuren ter uitleg. (H5)
Als gevolg van torsie of wringing zal een onderdeel om zijn lengteas willen verdraaien. Het effect
daarvan is van bijzonder belang voor aandrijfassen en draagassen van voertuigen en machines.
𝜋
We weten dat de afschuifhoek 𝛾 = 2 − 𝜃 ′ is.
De afschuifhoek kan gerelateerd worden aan
lengte Δx en de hoek Δφ tussen de gearceerde
vlakken door lengte BD te beschouwen:
𝐵𝐷 = 𝜌 ∗ ∆𝜑 = ∆𝑥 ∗ 𝛾
Δx laten we naderen tot dx en Δφ naar dφ:
𝛾 =𝜌∗
𝑑𝜑
𝑑𝑥
= cte
dus
𝑑𝜑
𝑑𝑥
je kan 𝛾 enkel veranderen door ρ te veranderen.
De afschuifhoek binnen
de as varieert lineair langs
elke radiale lijn, van nul ter
plaatse van de hartlijn tot
een maximum 𝛾𝑚𝑎𝑥 aan
het oppervlak.
Aangezien
𝑑𝜑
𝑑𝑥
𝛾
=𝜌=
𝛾𝑚𝑎𝑥
𝑐
geldt
𝛾=(
𝜌
) ∗ 𝛾𝑚𝑎𝑥
𝑐
17) Leid de torsieformule af en geef bijhorende figuren ter uitleg. (H5)
De torsieformule relateert de inwendige torsie aan de
schuifspanningsverdeling op de dwarsdoorsnede!
Aannames:
* Lineaire elastische vervorming, wet van Hooke geldig
* vlak van de dwarsdoorsnede blijft vlak
* cirkelvormige assen
Gevolg van de wet van Hooke:
𝜌
𝜏 = ( 𝑐 ) ∗ 𝜏𝑚𝑎𝑥
de lineaire verandering van de afschuifhoek 𝛾 leidt tot een
overeenkomstige lineaire verandering van de
schuifspanning 𝜏.
(*)
𝑑𝐹 = 𝜏 ∗ 𝑑𝐴
Elk oppervlak ondervindt door de afgelegde kracht dF een
𝑑𝑇 = 𝜌 ∗ (𝜏 ∗ 𝑑𝐴)
torsiebeweging/spanning. dT is dus het veroorzaakt
wringmoment.
𝑇 = ∫𝐴 𝜌 ∗ (𝜏 ∗ 𝑑𝐴)
𝜌
= ∫ 𝜌 ∗ ( ) ∗ 𝜏𝑚𝑎𝑥 ∗ 𝑑𝐴
𝑐
𝐴
=
𝜏𝑚𝑎𝑥
𝑐
∫ 𝜌2 𝑑𝐴 = polair traagheidsmoment J
∗ ∫ 𝜌2 𝑑𝐴
(alleen afhankelijk van de geometrie van de as)
(*) omvormen
𝜏𝑚𝑎𝑥 =
𝑇∗𝐶
𝐽
→ 𝜏=
𝑇∗𝜌
𝐽
Voor een massieve as:
combinatie formules
18) Wat is de torsiehoek? Leid de formule af en geef bijhorende figuren ter uitleg. (H5)
Aannamen:
* Torsiehoek φ (phi)
* ronde doorsnede
* ΔA kan licht variëren
* homogeen en isotroop materiaal
* lineair elastisch gebied (wet van Hooke geldig)
* verwaarlozen van de plaatselijke vervormingen
isoleer een oneindig dun schijfje van je as
T(x) is je inwendig wringmoment, T(x) zorgt dat je schijfje tordeert.
relatieve rotatie dφ
Een stukje materiaal op willekeurige afstand ρ in de schijf met afschuifhoek 𝛾
𝑑𝜑 = 𝛾 ∗
𝑑𝑥
𝜌
Wet van Hooke van toepassing (lineair elastisch)
met 𝜏 =
𝑑𝜑 =
𝑇(𝑥)
𝐽(𝑥)∗𝐺
𝑇(𝑥) ∗ 𝜌
𝐽(𝑥)
∗ 𝑑𝑥
integratie over lengte L
𝐿
𝜑=∫
0
𝑇(𝑥)
∗ 𝑑𝑥
𝐽(𝑥) ∗ 𝐺
integraal oplossen
𝜑=
𝑇∗𝐿
𝐺∗𝐽
𝜏 =𝐺∗𝛾
𝜏
↔ 𝛾=𝐺
19) Hoe zal een massieve, niet cirkelvormige as vervormen bij het aanleggen van een
wringmoment? In welke mate verschilt dit van cirkelvormige assen? (H5)
* De dwarsdoorsneden zullen holtrekken of bollen
Niet cirkelvormige assen zijn niet axisymmetrisch (symmetrie rond alle assen) waardoor
de afschuifhoek in alle punten anders kan zijn.
* De dwarsdoorsnede zal welven
De variatie van de schuifspanningsverdeling bij niet cirkelvormige assen is ingewikkeld
20) Geef de buigingsvervorming van een recht element en leid de formule af. Geef tevens
bijhorende figuren ter uitleg. (H6)
Aannames:
* Het vlak van de dwarsdoorsnede blijft vlak
* De lengte van de lengteas blijft gelijk
* Een vlakke dwarsdoorsnede blijft loodrecht op de lengteas
* De vervorming in het vlak van de dwarsdoorsnede is verwaarloosbaar
Figuren:
Formules:
𝜀 = lim (
∆𝑠→0
∆𝑠 ′ − ∆𝑠
)
∆𝑠
∆𝑥 = ∆𝑠 = 𝜌 ∗ ∆𝜃
(𝜌−𝑦)∗∆𝜃−𝜌∗∆𝜃
𝜀 = lim (
𝜌∗∆𝜃
∆𝜃→0
𝜀
𝜀𝑚𝑎𝑥
)=
−𝑦
𝜌
en
∆𝑠 ′ = (𝜌 − 𝑦) ∗ ∆𝜃
toont aan dat rek afhankelijk is van:
1) locatie y in de balk
2) de kromtestraal r
𝑦
⁄𝜌
= − (𝑐 )
⁄𝜌
𝑦
𝜀 = − ( ) ∗ 𝜀𝑚𝑎𝑥
𝑐
lineaire variatie met y tot de neutrale lijn
21) Geef de afleiding van de buigformule en geef bijhorende figuren ter uitleg. (H6)
Aannames:
* Lineaire elastische vervorming, dus de wet van Hooke geldt.
* Lineaire variatie van de rek veroorzaakt lineaire variatie van de spanning.
Formules:
met de wet van Hooke kunnen we schrijven:
𝑦
𝜀 = − ( ) ∗ 𝜀𝑚𝑎𝑥
𝑐
𝑦
spanningverdeling over het oppervlak van de dwarsdoorsnede
𝜎 = − ( 𝑐 ) ∗ 𝜎𝑚𝑎𝑥
;
𝐹𝑟 = ∑ 𝐹𝑥
0 = ∫𝐴 𝑑𝐹 = ∫𝐴 𝜎 ∗ 𝑑𝐴
𝑦
= ∫𝐴 − ( ) ∗ 𝜎𝑚𝑎𝑥 ∗ 𝑑𝐴
𝑐
=
−𝜎𝑚𝑎𝑥
∗ ∫𝐴 𝑦
𝑐
∗ 𝑑𝐴
≠ nul !
= ∫𝐴 𝑦 ∗ 𝑑𝐴
(𝑀𝑅 )𝑧 = ∑ 𝑀𝑧 ;
M is moment door de
spanningen om de neutrale lijn
𝑀 = ∫𝐴 𝑦 ∗ 𝑑𝐹
= ∫𝐴 𝑦 ∗ (𝜎 ∗ 𝑑𝐴)
𝑦
= ∫𝐴 𝑦 ∗ ( 𝑐 ∗ 𝜎𝑚𝑎𝑥 ) ∗ 𝑑𝐴
=
DUS
𝜎𝑚𝑎𝑥 =
𝑀∗𝑐
𝐼
𝜎𝑚𝑎𝑥
𝑐
∗ ∫𝐴 𝑦 2 ∗ 𝑑𝐴
traagheidsmoment van dwarsdoorsnede (=I)
voor maximale buigspanning
samen worden deze de
𝜎=−
𝑀∗𝑦
𝐼
voor buigspanning bij tussenafstand y
de buigformule genoemd
22) Leg assymetrische buiging uit. (H6)
We weten dat de buigformule enkel maar toepasbaar is wanneer de dwarsdoorsnede
symmetrisch is ten opzichte van een as, loodrecht op de neutrale lijn. Bovendien moet het
resulterende inwendige moment M om de neutrale lijn werken (zoals bij T of U profielen).
Indien hier niet aan voldaan wordt moeten we een aangepaste versie van de buigformule
gebruiken die ook kan toegepast worden op assymetrische en willekeurige vormen.
Moment om de hoofdas
Beschouw volgende balk met asymmetrische doorsnede:
voorwaarden:
voldaan (z-as door zwpt)
𝝈𝒎𝒂𝒙 𝒉𝒊𝒆𝒓𝒊𝒏 𝒔𝒕𝒆𝒌𝒆𝒏
substitueer hierin +
integreren geeft 𝝈𝒎𝒂𝒙 =
0=
−𝜎𝑚𝑎𝑥
𝑐
∗ ∫𝐴 𝑦𝑧 ∗ 𝑑𝐴
𝑴∗𝒄
𝑰
z-as valt samen met neutrale lijn → lineaire toename
normaalspanning van 0 tot y=c (zie figuur linksboven)
𝑦
de spanningsverdeling is dus als volgt: 𝜎 = − ( 𝑐 ) ∗ 𝜎𝑚𝑎𝑥
vereiste: traagheidsproduct van het oppervlak = 0
Moment om een willekeurige as
Soms is een onderdeel zodanig belast dat het moment M niet om één van de hoofdassen van de
dwarsdoorsnede werkt. Wanneer dat het geval is, moet het moment eerst worden ontbonden in
componenten langs de hoofdassen. Vervolgens kan de buigformule worden toegepast om de
normaalspanning als gevolg van elke afzonderlijke momentcomponent te bepalen. Ten slotte kan
de resulterende normaalspanning in het punt worden bepaald met behulp van superpositie.
22) Leg buiging uit bij samengestelde balken. (H6)
Balken die uit twee of meer verschillende materialen bestaan, worden samengestelde balken
genoemd. Omdat de buigformule alleen maar geldt voor balken van een homogeen materiaal,
kan deze niet direct toegepast worden om de normaalspanning in een samengestelde balk vast
te stellen. Oplossing?
transformatiemethode:
We gaan de dwarsdoorsnede van de samengestelde balk laten transformeren in een
dwarsdoorsnede van een balk die uit één materiaal bestaat.
We gaan het minst stijve materiaal dat deel uitmaakt van de samengestelde balk
transformeren met een zogenaamde transformatiefactor n die de balk terug van
homogeen materiaal maakt. Hierdoor zal het minst stijve materiaal natuurlijk in afmetingen
veranderen (bvb de afmetingen van een staaf aluminium zullen groter zijn dan die van een
staaf staal om een bepaalde kracht aan te kunnen).
𝐸
𝑛 = 𝐸1
2
of
𝐸1 ∗ 𝜀 ∗ 𝑑𝑧 ∗ 𝑑𝑦 = 𝐸2 ∗ 𝜀 ∗ 𝑛 ∗ 𝑑𝑧 ∗ 𝑑𝑦
Om de afmetingen van het deel met het minst stijve materiaal te veranderen zullen we bvb
doen:
𝑏2 = 𝑏 ∗ 𝑛
Op deze manier zal je de breedte van dit deel veranderen zodat de verdeling van de
normaalspanning over de getransformeerde dwarsdoorsnede lineair is.
Voor gedetailleerde uitleg over dit onderwerp: zie Hibbeler p329 of oefeningen.
24) Bespreek afschuiving in rechte constructie-elementen. (H7)
Aannames:
* De ligger is onderworpen aan niet uniforme buiging
→ resultaat:
1) Buigende momenten in doorsneden
2) Dwarskrachten in doorsneden
𝜎𝒙 = −
𝑀∗𝑦
𝐼
Gevolgen:
buigspanningen
dwarsdoorsnede blijft niet vlak (aangezien er zowel buiging als
dwarskrachten inwerken op de balk)
welving door hoekvervorming (komt door ongelijkmatige afschuifhoekverdeling)
vooral bij dikke balken! Bij slanke balken verwaarloosbaar!
25) Bespreek schuifspanning en leid de schuifspanningsformule af. Geef ook de beperkingen bij
het gebruik van de schuifspanningsformule. (H7)
Aangezien de rekverdeling voor dwarskrachten niet zoals bij axiale belastingen (torsie en
buiging) eenvoudig kan worden gedefinieerd, zullen we de schuifspanningsformule op een
indirecte manier afleiden.
Doordat je met +dM zit rechts, zal je niet kunnen voldoen aan
je krachtenevenwicht (∑ 𝐹𝑥 = 0)!
TENZIJ axiale schuifspanning 𝜏 op onderzijde van element
aanname: 𝜏 = 𝑐𝑡𝑒
over hele breedte t
we weten dat ∑ 𝐹𝑥 = 0
∑ 𝐹𝑥 = 0
;
horizontaal krachtenevenwicht + buigingsformule toepassen
∫ 𝜎 ′ ∗ 𝑑𝐴′ − ∫ 𝜎 ∗ 𝑑𝐴′ − 𝜏 ∗ (𝑡 ∗ 𝑑𝑥) = 0
𝐴′
𝐴′
buigformule
∫ (
𝐴′
𝑀 + 𝑑𝑀
𝑀
) ∗ 𝑦 ∗ 𝑑𝐴′ − ∫ ( ) ∗ 𝑦 ∗ 𝑑𝐴′ − 𝜏 ∗ (𝑡 ∗ 𝑑𝑥) = 0
𝐼
𝐴′ 𝐼
𝑑𝑀
( ) ∗ ∫ 𝑦 ∗ 𝑑𝐴′ = 𝜏 ∗ (𝑡 ∗ 𝑑𝑥)
𝐼
𝐴′
Opgelost naar 𝜏 vinden we:
beschouw 𝑉 =
𝑑𝑀
𝑑𝑥
en
1
𝑑𝑀
𝜏 = 𝐼∗𝑡 ∗ ( 𝑑𝑥 ) ∗ ∫𝐴′ 𝑦 ∗ 𝑑𝐴′
𝑄 = ∫𝐴′ 𝑦 ∗ 𝑑𝐴 = 𝑦̅′ ∗ 𝐴′
DUS
𝜏=
𝑉∗𝑄
𝐼∗𝑡
26) Bespreek de schuifstroom in samengestelde onderdelen. (H7)
In praktijk worden onderdelen soms vaak samengesteld uit meerdere delen zodat ze zwaarder
belast kunnen worden. Om deze delen aan mekaar te bevestigen dienen we bevestigingsmiddelen te gebruiken, en om te bepalen welke we moeten gebruiken en op welke onderlinge
afstand deze moeten aangebracht worden, is het nodig om te weten welke dwarskracht ze
moeten opnemen.
Deze belasting wordt, wanneer die wordt uitgedrukt als kracht per lengte-eenheid van de balk,
de schuifstroom q genoemd.
𝑑𝑀
∗ 𝑦 ∗ 𝑑𝐴′ = 𝜏 ∗ 𝑡 ∗ 𝑑𝑥
𝐼
𝐴′
∫
𝑑𝑀
𝐼
= 𝑑𝑥
;
∫𝐴′ 𝑦 ∗ 𝑑𝐴′ = 𝑄 ;
𝜏 ∗ 𝑡 ∗ 𝑑𝑥 = 𝑑𝐹
𝑑𝑀
∗ 𝑄 = 𝑑𝐹
𝐼
beide leden delen door dx
𝑄 𝑑𝑀 𝑑𝐹
∗
=
𝐼 𝑑𝑥
𝑑𝑥
herleiden
𝑉∗𝑄
𝐼
=𝑞
Voorbeeld:
met 𝑄 = 𝑦̅ ′ ∗ 𝐴′ waarin A’ de oppervlakte van de dwarsdoorsnede is van het
segment dat op de balk bevestigd is ter plaatse van de aanhechting waar de
schuifstroom moet worden bepaald.
27) Bespreek de schuifstroom in dunwandige constructie-elementen. (H7)
q varieert altijd lineair langs de segmenten die
LOODRECHT op de richting van V staan.
q varieert altijd paraboolvormig langs de delen die scheef
staan ten opzichte V of evenwijdig zijn ten opzichte van V.
Voor extra informatie betreffende schuifstroom in dunwandige constructie-elementen, zie p406.
28) Bespreek de schuifstroom in open dunwandige constructie-elementen. Bespreek ook het
dwarskrachtmiddelpunt bij assymmetrische profielen. (H7)
Als je kracht P aangrijpt zoals hierboven zal het U-profiel buigen en torderen. Dit gebeurt als de
werklijn van de kracht P samenvalt met de eerder verticale, assymmetrische as die door de hartlijn
C van de dwarsdoorsnede gaat.
Dit zie je duidelijk wanneer je de momenten veroorzaakt door 𝐹𝑓𝑙𝑒𝑛𝑠 , V = P en 𝐹𝑓𝑙𝑒𝑛𝑠 optelt
rond punt A. Dan krijg je duidelijk torsie.
Men kan deze ongewenste torsie vermijden door de kracht P op een punt O op een
excentrische afstand e van de lijfplaat van het U-profiel worden uitgeoefend. We stellen als
voorwaarde:
∑ 𝑀𝐴 = 𝐹𝑓𝑙𝑒𝑛𝑠 ∗ 𝑑 = 𝑃 ∗ 𝑒
oftewel
𝑒=
𝐹𝑓𝑙𝑒𝑛𝑠 ∗ 𝑑
𝑃
Dit punt O wordt het dwarskrachtmiddelpunt of elastisch middelpunt genoemd. Als de werklijn
van P door het dwarskrachtmiddelpunt gaat, zal de balk buigen zonder te torderen.
Het dwarskrachtmiddelpunt ligt ALTIJD op een symmetrieas van de dwarsdoorsnede!
29) Bespreek cilindrische vaten. (H8)
∑ 𝐹𝑥 = 0
𝜎1 =
∑ 𝐹𝑦 = 0
𝜎2 =
met
;
2 ∗ [𝜎1 ∗ (𝑡 ∗ 𝑑𝑦)] − 𝑝 ∗ (2 ∗ 𝑟 ∗ 𝑑𝑦) = 0
𝑃∗𝑟
𝑡
;
𝜎2 ∗ (2𝜋 ∗ 𝑟 ∗ 𝑡) − 𝑝 ∗ (𝜋 ∗ 𝑟 2 ) = 0
𝑝∗𝑟
2∗𝑡
t = wanddikte
r = straal
𝜎1 = tangentiële of omtreksrichting spanning
𝜎2 = axiale of lengterichting spanning
30) Bespreek bolvormige vaten. (H8)
∑ 𝐹𝑦 = 0
𝜎2 =
met
;
𝜎2 ∗ (2𝜋 ∗ 𝑟 ∗ 𝑡) − 𝑝 ∗ (𝜋 ∗ 𝑟 2 ) = 0
𝑝∗𝑟
2∗𝑡
t = wanddikte
r = straal
𝜎2 = axiale of lengterichting spanning
31) Hoe dimensioneer je een prismatische balk (profielen e.d.). (H11)
De meeste balken zijn gemaakt van taaie materialen en in dat geval is het over het algemeen niet
nodig om de spanningstrajectoria voor de balk te tekenen. Het is afdoende om te controleren of
de buig- en schuifspanningen in de balk niet groter worden dan de toelaatbare buig- en
schuifspanning voor het materiaal, die te vinden zijn in de contstructienormen. In het merendeel
van de gevallen zal de overspanning van de balk relatief lang zijn, waardoor de inwendige
momenten groot worden. Wanneer dat het geval is, zal de constructeur de constructie eerst
dimensioneren voor de buigbelasting en vervolgens controleren of de gevonden oplossing ook
voldoet voor afschuiving.
Bij een ontwerp op buiging moet het weerstandsmoment van de balk worden bepaald. Dit is een
geometrische eigenschap die de verhouding tussen I en c uitdrukt; 𝑊 = 𝐼⁄𝑐.
Toepassen van de buigingsformule ( 𝜎 =
𝑀∗𝑐
𝐼
) levert dus:
𝑊𝑏𝑒𝑛𝑜𝑑𝑖𝑔𝑑 =
𝑀𝑚𝑎𝑥
𝜎𝑡𝑜𝑒𝑙
Hier wordt M bepaald uit de momentenlijn van de balk, en de toelaatbare buigspanning 𝜎𝑡𝑜𝑒𝑙
wordt voorgeschreven in een constructienorm.
Indien:
* Prismatische balk = simpele vorm (vierkant, cirkel, rechthoek)
→ afmetingen direct uit 𝑊𝑏𝑒𝑛𝑜𝑑𝑖𝑔𝑑 bepalen ( 𝑊 = 𝐼⁄𝑐 )
* Prismatische balk = meerdere vormen (I-profiel, U-profiel, T-profiel, ...)
→ oneindig aantal combinaties van lijfplaat- en flensafmetingen met waarde die
hoger is dan 𝑊𝑏𝑒𝑛𝑜𝑑𝑖𝑔𝑑 .
Realiteit:
kiezen uit een handboek met verschillende dwarsdoorsnedes maar hetzelfde
weerstandsmoment.
De volgende stap is controleren of het gekozen profiel de toelaatbare schuifspanning niet
overtreed.
Er is een onderverdeling voor:
1) Staalprofielen
2) Houtprofielen
3) Samengestelde profielen
meer info op p576-577 Hibbeler
32) Hoe dimensioneer je assen? (H11)
Assen met cirkelvormige doorsneden worden vaak toegepast in het ontwerp van mechanische
apparatuur en machines. Dat betekent dat ze vaak aan cyclische belasting en vermoeiing worden
blootgesteld als gevolg van de gecombineerde buig- en torsiebelastingen die ze moeten
overbrengen of opnemen.
Naast deze belastingen kunnen er ook spanningsconcentraties aanwezig zijn in spiebanen,
koppelingen en plotselinge veranderingen van het oppervlak van de doorsnede. Om een as goed
te kunnen dimensioneren, is het dus van belang om met al deze effecten rekening te houden.
In deze paragraaf worden enkele van de belangrijkste aspecten van het dimensioneren van assen
bespreken die vermogen moeten overbrengen.
Door de verschillende belastingen die inwerken op de as zal er een wringmoment optreden langs
de as. Deze kunnen we uittekenen op een wringmomentlijn.
Wanneer we de wringmomentlijn weten, kunnen we te toelaatbare spanning berekenen met
behulp van de spanningstransformatievergelijking. Zie Hibbeler p596 voor meer details.
33) Bespreek de elastische lijn en geef de afleiding ervan (differentiaalvergelijking). Geef ook het
verband tussen moment en kromming. (H12)
De elastische lijn is soms moeilijk te bepalen, en daarom is het soms beter om eerst de
buigmomentenlijn te tekenen. Het is m.a.w. heel simpel om de elastische lijn te berekenen als je
de momentlijn kent. Een positief inwendig moment zal namelijk het profiel hol naar boven maken
en een negatief inwendig moment zal het profiel hol naar onder maken.
Verband tussen moment en kromming:
* Daar waar de helling van de elastische lijn = 0 zal het moment MAXIMAAL zijn.
* In het buigpunt van de elastische lijn zal het moment NUL zijn.
We zullen nu een belangrijke relatie afleiden tussen het inwendige moment in de balk in een
bepaald punt en de kromtestraal 𝜌 van de elastische lijn.
We bekijken een segment met breedte dx.
ρ = kromtestraal (afstand
van O’ tot neutrale lijn)
ds = lengte voor vervorming
ds’= lengte na vervorming
O’ = punt waarrond balk
draait
dθ = hoek tussen
doorsnedes van de balk
dx = breedte elementje
de rek in dit segment, op afstand y van de neutrale lijn:
𝜀=
𝑑𝑠′ −𝑑𝑠
𝑑𝑠
waarbij
ds = dx = ρ . dθ
𝑑𝑠 ′ = (𝜌 − 𝑦) ∗ 𝑑𝜃
zodoende wordt dit:
𝜀=
en dus:
1
𝜌
(𝜌−𝑦−𝜌)∗𝑑𝜃
𝜌∗𝑑𝜃
𝜀
= −𝑦
𝑦
= −𝜌
𝜎
vervolgens combinatie:
1) Wet van Hooke ( 𝜀 = 𝐸 ) → lineair elastisch + homogeen mat.
2) Buigingsformule ( 𝜎 = −
𝑀∗𝑦
𝐼
)
dit geeft
1
𝜌
𝑀
OF
= 𝐸∗𝐼
(E.I = buigstijfheid)
1
𝜌
𝜎
VERBAND GELEGD!
= − 𝐸∗𝑦
(opgelet voor teken!)
Berekening van de helling en verplaatsing met behulp van integratie
De vergelijking van de elastische lijn van een balk kan wiskundig voorgesteld worden als v=f(x).
Om deze vergelijking te vinden moeten we eerst de kromming (1/ρ) uitdrukken als functie van v
en x. Deze heeft de volgende vorm:
1
=
𝜌
𝑑²𝑣⁄
𝑑𝑣²
2 3/2
[1 + (𝑑𝑣⁄𝑑𝑥 ) ]
1
𝑀
substitueer dit in de relatie tussen kromming en moment ( 𝜌 = 𝐸∗𝐼 )
𝑀
1
= =
𝐸∗𝐼 𝜌
𝑑²𝑣⁄
𝑑𝑣²
2 3/2
[1 + (𝑑𝑣⁄𝑑𝑥 ) ]
≈
𝑑2 𝑣
𝑑𝑥 2
𝑛𝑖𝑒𝑡 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑖𝑟𝑒 𝑑𝑖𝑓𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑖𝑎𝑎𝑙𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑙𝑖𝑗𝑘𝑖𝑛𝑔 (2𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑒)
De oplossing van deze vergelijking geeft levert de exacte vorm van de elastische lijn. Hou
rekening met de ontwerpvoorschriften die een beperking in doorbuiging vermelden (ivm
toleranties of esthetisch). Hierdoor vormen de elastische doorbuigingen bij de meeste balken
maar een zéér lichte kromme, waardoor de helling van de elastische lijn maar zéér klein zal zijn
en we het kwadraat bij (dv/dx) kunnen weglaten!
𝑑²𝑣
𝑀
=
𝑑𝑥² 𝐸 ∗ 𝐼
𝑘𝑟𝑜𝑚𝑚𝑖𝑛𝑔 𝑘𝑎𝑛 𝑏𝑒𝑛𝑎𝑑𝑒𝑟𝑑 𝑤𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 𝑎𝑙𝑠
1 𝑑²𝑣
=
𝑎𝑎𝑛𝑔𝑒𝑧𝑖𝑒𝑛 𝑘𝑤𝑎𝑑𝑟𝑎𝑎𝑡 𝑤𝑒𝑔𝑣𝑎𝑙𝑡
𝜌 𝑑𝑥²
𝑑
𝑑2 𝑣
∗ (𝐸𝐼 ∗ 2 ) = 𝑉(𝑥)
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑏𝑒𝑖𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑖𝑓𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑖ë𝑟𝑒𝑛 𝑛𝑎𝑎𝑟 𝑥 𝑒𝑛 𝑉 =
𝑑²
𝑑2 𝑣
∗ (𝐸𝐼 ∗ 2 ) = 𝑞(𝑥)
𝑑𝑥
𝑑𝑥²
𝑛𝑜𝑔𝑚𝑎𝑎𝑙𝑠 𝑑𝑖𝑓𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑖ë𝑟𝑒𝑛, 𝑚𝑒𝑡 𝑞 =
𝑑𝑀
𝑠𝑢𝑏𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑒𝑟𝑒𝑛
𝑑𝑥
𝑑𝑉
𝑑𝑥
Bij veel gevallen is de buigstijfheid EI = cte over de lengte van de balk. In dat geval krijgen we
volgende drie vergelijkingen:
35) Leid de formule voor knik af. Doe dit voor ideale kolommen en kolommen met verschillende
soorten ondersteuning. Te vermelden: gyrostraal, slankheid, effectieve slankheid (H13)
Knik is het plots doorbuigen in dwarsrichting en bezwijken van een balk/kolom/as die axiaal belast
wordt. De maximale axiale belasting die een kolom kan dragen wanneer deze op het punt staat
te gaan knikken, wordt de kritische belasting 𝑃𝑘𝑟𝑖𝑡𝑖𝑠𝑐ℎ genoemd. Er zijn drie mogelijke situaties
voor structuren die knik kunnen ondergaan, en we hebben ze even vergeleken met het rollen van
knikkers:
* stabiel evenwicht ( 𝑃 <
𝑘∗𝐿
4
)
Als je de knikker een duw geeft, zal deze terug naar zijn oorspronkelijke locatie
rollen. Hetzelfde bij balken. Als de balk knikt bij last P zal deze de neiging hebben
terug te veren naar zijn oorspronkelijke situatie.
* labiel evenwicht ( 𝑃 >
𝑘∗𝐿
4
)
Als je de knikker een duw geeft, zal deze naar beneden rollen en niet meer naar
zijn oorspronkelijke locatie rollen. Hetzelfde bij balken. Als de balk knikt bij last P
zal deze de neiging hebben om uit evenwicht te raken en niet meer naar de
oorspronkelijke situatie terug te keren.
* onverschillig evenwicht ( 𝑃 =
𝑘∗𝐿
4
)
Bij een lichte aanraking zal de balk niet verder uit evenwicht geraken en in
geknikte positie blijven, net zoals een knikker die je over een horizontaal
oppervlak duwt.
Bij het afleiden van de formule voor knik moeten we een onderscheid maken in:
* ideale kolommen met scharnierende ondersteuningen
* Kolommen met verschillende soorten ondersteuningen
Ideale kolommen met scharnierende ondersteuning
Voor het aanbrengen van de belasting is de kolom PERFECT recht en uit homogeen materiaal
gemaakt.
Zoals we daarnet gezien hebben moeten we bepalen of de kolom stabiel of labiel wordt wanneer
er een kracht axiaal aangebracht wordt. Dit is afhankelijk van de mate waarin de kolom zichzelf
kan herstellen, wat op zich gebaseerd is op de weerstand tegen buiging. We passen daarom
volgende formule toe (zie p611).
𝐸𝐼 ∗
𝑑2 𝑣
=𝑀
𝑑𝑥 2
𝑒𝑛𝑘𝑒𝑙 𝑡𝑜𝑒𝑝𝑎𝑠𝑏𝑎𝑎𝑟 𝑏𝑖𝑗 𝑘𝑙𝑒𝑖𝑛𝑒 ℎ𝑒𝑙𝑙𝑖𝑛𝑔𝑒𝑛
(𝑘𝑤𝑎𝑑𝑟𝑎𝑎𝑡 𝑖𝑠 𝑤𝑒𝑔𝑔𝑒𝑙𝑎𝑡𝑒𝑛)
𝐸𝐼 ∗
𝑑2 𝑣
= −𝑃 ∗ 𝑣
𝑑𝑥 2
𝑀 𝑚𝑜𝑒𝑡 𝑔𝑒𝑙𝑖𝑗𝑘 𝑧𝑖𝑗𝑛 𝑎𝑎𝑛 − 𝑃 ∗ 𝑣
𝑣𝑜𝑜𝑟 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑤𝑖𝑐ℎ𝑡! (𝑧𝑖𝑒 𝑓𝑖𝑔𝑢𝑢𝑟)
𝑑2 𝑣
𝑃
+( )∗𝑣 = 0
2
𝑑𝑥
𝐸𝐼
ℎ𝑜𝑚𝑜𝑔𝑒𝑛𝑒, 𝑡𝑤𝑒𝑒𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑒,
𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑖𝑟𝑒 𝑑𝑖𝑓𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑖𝑎𝑎𝑙𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑙𝑖𝑗𝑘𝑖𝑛𝑔
𝑚𝑒𝑡 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑐𝑜ë𝑓𝑓𝑖𝑐𝑖ë𝑛𝑡𝑒𝑛
𝑃
𝑃
𝑣 = 𝐶1 ∗ 𝑠𝑖𝑛 (√ ∗ 𝑥) + 𝐶2 ∗ 𝑐𝑜𝑠 (√ ∗ 𝑥)
𝐸𝐼
𝐸𝐼
𝑜𝑝𝑔𝑒𝑙𝑜𝑠𝑡𝑒 𝑑𝑖𝑓𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑖𝑎𝑎𝑙𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑙𝑖𝑗𝑘𝑖𝑛𝑔
De twee integratieconstanten worden bepaald uit de
randvoorwaarden in de uiteinden van de kolom.
Aangezien v=0 in x=0 →
𝐶2 = 0
Aangezien v=0 als x=L geld er:
𝑃
𝐶1 ∗ 𝑠𝑖𝑛 (√𝐸𝐼 ∗ 𝐿) = 0
hieraan wordt voldaan als 𝐶1 = 0 → 𝑣 𝑖𝑠 𝑒𝑐ℎ𝑡𝑒𝑟 0
TRIVIALE OPLOSING! (kolom moet altijd recht blijven,
ondanks instabiliteit tgv belasting. Er is echter een andere
mogelijkheid:
𝑃
𝑠𝑖𝑛 (√𝐸𝐼 ∗ 𝐿) = 0
hieraan wordt voldaan als:
𝑃
√ ∗𝐿 = 𝑛∗𝜋
𝐸𝐼
of
𝑃=
𝑛2 ∗ 𝜋 2 ∗ 𝐸 ∗ 𝐼
𝐿2
𝑛 = 1,2,3, …
de kleinste waarde van P treed op als n = 1
dan is de kritische belasting voor de kolom:
𝑃𝑘𝑟𝑖𝑡𝑖𝑠𝑐ℎ =
𝑃𝑘𝑟𝑖𝑡𝑖𝑠𝑐ℎ
𝜋2 ∗𝐸∗𝐼
𝐿2
𝜋 2 ∗ 𝐸 ∗ (𝐴 ∗ 𝑟 2 )
=
𝐿2
Deze vgl kan ook voor ontwerpdoeleinden in meer bruikbare vorm
worden geschreven: 𝐼 = 𝐴 ∗ 𝑟 2 met A = oppervlakte van de
dwarsdoorsnede en r = gyrostraal van de dwarsdoorsnede
𝑃
𝜋2 ∗ 𝐸
→ ( )
=
𝐴 𝑘𝑟𝑖𝑡𝑖𝑠𝑐ℎ (𝐿⁄ )2
𝑟
𝐴𝐹𝐺𝐸𝐿𝐸𝐼𝐷!
De verhouding L / r wordt de slankheid genoemd. Het is een maat voor de buigbaarheid en
dient voor het indelen van kolommen in lang, gemiddeld en kort.
Kolommen met verschillende soorten ondersteuningen
We hebben de kniklast van Euler afgeleid voor een kolom die aan
de uiteinden scharnierend wordt ondersteund. Kolommen worden
echter vaak op andere manieren ondersteund. Beschouw een
kolom waarvan de onderkant ingeklemd is en de bovenkant vrij is.
Als de kolom knikt zal de belasting zich verplaatsen over een afstand
𝛿 en is de verplaatsing in x gelijk aan v. Het inwendig moment in een
willekeurige doorsnede is 𝑀 = 𝑃 ∗ (𝛿 − 𝑣)
𝑑2 𝑣
𝐸𝐼 ∗ 2 = 𝑃 ∗ (𝛿 − 𝑣)
𝑑𝑥
differentiaalvergelijking van de
𝑑2 𝑣
𝑑𝑥 2
𝑃
𝑃
+ 𝐸𝐼 ∗ 𝑣 = 𝐸𝐼 ∗ 𝛿
elastische lijn
in tegenstelling tot ideale kolommen is deze vergelijking
niet homogeen (want term rechts ≠ 0). De oplossing
bestaat dus uit een homogene en particuliere oplossing:
𝑃
𝑃
𝑣 = 𝐶1 ∗ 𝑠𝑖𝑛 (√ ∗ 𝑥) + 𝐶2 ∗ 𝑐𝑜𝑠 (√ ∗ 𝑥) + 𝛿
𝐸𝐼
𝐸𝐼
Constanten worden bepaald uit de randvoorwaarden.
Bij x = 0 → v = 0 zodat
𝐶2 = −𝛿
𝑑𝑣
𝑃
𝑃
𝑃
𝑃
= 𝐶1 ∗ √ ∗ 𝑐𝑜𝑠 (√ ∗ 𝑥) − 𝐶2 ∗ √ ∗ 𝑠𝑖𝑛 (√ ∗ 𝑥)
𝑑𝑥
𝐸𝐼
𝐸𝐼
𝐸𝐼
𝐸𝐼
Bij x = 0 → dv/dx = 0
De elastische lijn is dus:
𝑃
𝑣 = 𝛿 ∗ [1 − 𝑐𝑜𝑠 (√ ∗ 𝑥)]
𝐸𝐼
zodat
𝐶1 = 0
Uitwijking is aan bovenkant van kolom = 𝛿
dus in x = L → v = 𝛿
moet je dit doen:
𝑃
𝛿 ∗ cos (√ ∗ 𝐿) = 0
𝐸𝐼
De triviale oplossing 𝛿 = 0 betekend dat er geen knik
optreed, ongeacht de belasting P. In plaats daarvan:
𝑃
𝐸𝐼
cos (√ ∗ 𝐿) = 0
of
𝑃
𝐸𝐼
√ ∗𝐿 =
𝑛∗𝜋
2
, 𝑛 = 1,3,5, …
De kleinste kritische belasting treed op als n = 1 zodat:
𝑃𝑘𝑟𝑖𝑡𝑖𝑠𝑐ℎ =
𝜋2 ∗ 𝐸 ∗ 𝐼
4 ∗ 𝐿2
𝐴𝐹𝐺𝐸𝐿𝐸𝐼𝐷!
Zoals eerder aangegeven is de formule van Euler ontwikkeld voor kolommen waarvan de
uiteinden met scharnieren verbonden zijn (en dus vrij kunnen draaien).
Met andere woorden:
L in de vergelijking is de niet-ondersteunde afstand tussen de punten waar het inwendig moment
nul is. Deze formule kan worden toegepast om de kritische belasting te bepalen van kolommen
met andere soorten ondersteuningen, op voorwaarde dat ‘L’ de afstand is tussen de punten waar
het inwendig moment nul is. Deze afstand wordt de effectieve lengte 𝐿𝑒𝑓𝑓 van de kolom genoemd.
𝐿𝑒𝑓𝑓 = 𝐾 ∗ 𝐿
met K = effectieve lengtefactor
met:
𝐾∗𝐿
𝑟
= 𝑒𝑓𝑓𝑒𝑐𝑡𝑖𝑒𝑣𝑒 𝑠𝑙𝑎𝑛𝑘ℎ𝑒𝑖𝑑 𝑘𝑜𝑙𝑜𝑚
36) Bespreek vervorming door een normaalkracht. Geef volgende drie zaken: verlenging door
normaalkracht (= (N*L) / (E*A) ) , de dwarscontractiecoëfficiënt van Poisson en de knik van een
lange slanke kolom. (H13)
Combinatie van vraag 8, 10 en 35
Normaalkracht:
Dwarscontractiecoëfficiënt:
Knik:
MULTIPLE CHOICE
1) Wat is de maximale spanningsconcentratiefactor K van een rond gat?
a) 1,25
b) 3
c) 1
d) 0,5
2) Bij een ronde staaf op torsie, welke bewering is onjuist?
a) blijft recht
b) dwarsdoorsneden blijven vlak
c) dwarsdoorsneden blijven recht
d) uiteinden kunnen welven
3) Wat is de eenheid van weerstandsmoment?
a) mm³
b) m²
c) MPa
d) N/mm²
4) De elasticiteitsmodulus E is een maat voor de lineaire relatie tussen spanning en rek. De
gebruikelijke eenheid is:
a) kN/mm²
b) MPa
c) GPa
d) Alle antwoorden zijn correct
5) De dwarscontractiecoëfficiënt υ van veelvuldig toegepaste constructiematerialen ligt in het
bereik:
a) 0 ≤ ν ≤ 1
b) 0 ≤ ν ≤ 0,5
c) -1 ≤ ν ≤ 1
d) -0.5 ≤ ν ≤ 0.5
6) De spanningsverdeling in verschillende doorsneden zijn verschillend. Op plaatsen die echter
voldoende ver verwijderd zijn van de ondersteuning en de aangebrachte belasting, wordt de
spanningsverdeling gelijkmatig. Dit is het gevolg van:
a) het principe van superpositie
b) de niet-elastische eigenschap
c) het dwarscontractie-effect
d) het principe van Barré de Saint Venant
7) Het superpositieprincipe is geldig, op voorwaarde dat:
a) er een lineair verband bestaat tussen de belasting en de spanning of verplaatsing
b) de belasting de oorspronkelijke geometrie van het onderdeel niet significant verandert
c) de dwarscontractiecoëfficiënt ν ≤ 0,45 is
d) de elasticiteitsmodulus klein is
8) De constructie bestaat uit 2 steunen met een dwarsdoorsnede A1 van materiaal 1 dat een
elasticiteitsmodulus E1 heeft, en een steun met een dwarsdoorsnede A2 van materiaal 2 met
elasticiteitsmodulus E2. Op de onvervormbare ligger (boven) wordt een centrale belasting P
uitgeoefend. Bepaal de normaalspanning in elke steun. De onderstel ligger is ook onvervormbaar.
definieer 𝑟 =
𝐸1∗𝐴1
𝐸2∗𝐴2
𝑟
a) 𝑃1 = (2𝑟+1) ∗ 𝑃
1
𝑃2 = (2𝑟+1) ∗ 𝑃
1
c) 𝑃1 = (2𝑅+1) ∗ 𝑃
𝑟
)∗𝑃
2𝑟+1
𝑃2 = (
b) 𝑃1 = 𝑟 ∗ 𝑃
𝑃2 = (2𝑟 − 1) ∗ 𝑃
d) 𝑃1 = 𝑟 ∗ (𝑟 + 1) ∗ 𝑃
𝑃2 = (𝑟 + 1) ∗ 𝑃
9) De eenheid van de lineaire thermische uitzettingscoëfficiënt is in het SI-systeem:
a) per °C
b) per °F
c) per K
d) alle antwoorden zijn correct
10) Bij het construeren worden spanningsconcentraties belangrijk als:
a) het materiaal bros is
b) het materiaal taai is maar op vermoeiing belast wordt
c) het materiaal op vermoeiing bij dynamische belastingen wordt belast
d) alle antwoorden zijn correct
11) Het superpositieprincipe kan toegepast worden bij:
a) niet elastische axiale vervorming
b) het bepalen van restspanningen
c) grote vervormingen
d) geen van de antwoorden is correct
12) De waarde van de spanningsconcentratiefactor hangt af van de geometrie. Wat is waar?
a) Ka > Kb > Kc
b) Ka > Kb > Kd
c) antwoord a en b
d) geen van de antwoorden is correct
13) De hoekverdraaiing is klein en de materialen gedragen zich lineair elastisch. Welke bewering
is in dat geval onjuist voor het gedrag van een lange rechte ronde as die op torsie belast wordt?
a) de vorm van de dwarsdoorsnede blijft ongewijzigd
b) een recht onderdeel blijft recht
c) het vlak van de dwarsdoorsnede blijft vlak
d) het uiteinde van het onderdeel kan welven
14) De eenheid van het polair traagheidsmoment J van een as is:
a) kPa
b) 𝑚4
c) m²
d) m³
15) De staaf wordt belast met wringmoment T. De lengte L:
a) blijft gelijk
b) wordt korter
c) wordt langer
d) geen van de antwoorden is correct
16) De vervorming als gevolg van buiging van een recht onderdeel is klein en binnen het
elastisch bereik. Wat is onjuist?
a) het vlak van de dwarsdoorsnede blijft vlak
b) de dwarsdoorsnede blijft recht
c) de lengte van de lengteas blijft gelijk
d) De vervorming in het vlak van de dwarsdoorsnede ter plaatse van de lengteas is niet
verwaarloosbaar
17) Wat is niet juist?
a) Schuifspanningen veroorzaken welven van de dwarsdoorsnede
b) Welven is verwaarloosbaar bij slanke balken
c) “Het vlak van de dwarsdoorsnede blijft vlak” is geldig voor buiging van diepe balken.
d) Afschuifkrachten in balken veroorzaken niet-lineaire afschuifhoekverdelingen over de
doorsnede
18) Wat is onjuist? De schuifspanningsformule mag niet gebruikt worden om de schuifspanning
te bepalen:
a) in dwarsdoorsneden die kort of vlak zijn
b) op punten waar de oppervlakte van de dwarsdoorsnede plotseling veranderd
c) op een punt op een hellende begrenzing
d) geen van de antwoorden is correct
19) Wanneer een lange slanke kolom wordt belast op een axiale drukkracht gelijk aan de
kritische belasting, dan is er sprake van:
a) stabiel evenwicht
b) labiel evenwicht
c) onverschillig evenwicht
d) slechts één mogelijke doorbuigingsvorm mogelijk
20) Geef de eenheid van de buigstijfheid (= E * I):
a) N/mm²
b) Nmm²
b) Nmm
21) Volgens het principe van Barré de Saint Venant blijft de dwarsdoorsnede loodrecht en
onvervormd.
a) juist
b) fout
22) De glijdingsmodulus G is altijd positief
a) juist
b) fout
23) De eenheid van het ogenblikkelijk vermogen op een as is:
a) Nm/s
b) Nm/s²
c) kgm/s³
24) Geef de eenheid van de gyrostraal / traagheidsstraal / gyratiestraal.
a) m
b) m³
c) Nm
25) Geef het aantal onafhankelijke grootheden die sterkte bepalen:
a) E en G
b) E, G en ν
c) ...
26) Geef het verband tussen dwarskracht en verplaatsing
a) kwadratisch
b) kubisch
c) lineair
(zolang je onder de proportionaliteitsgrens blijft; wet van Hooke)
27) Het dwarskrachtmiddelpunt bij een symmetrisch onderdeel valt samen met het
zwaartepunt.
a) juist
( bij niet-symmetrische onderdelen valt het niet samen!)
b) fout
28) Wat is de eenheid van de effectieve lengtefactor K?
a) m
b) dimensieloos
c) Nm
29) Wat is de eenheid van de effectieve slankheid van een kolom?
a) m
b) dimensieloos
c) Nm
30) Wat is de formule voor het traagheidsmoment van een cirkelvormig profiel?
a) 𝐼 =
𝜋∗𝐷 4
64
b) 𝐼 =
𝜋∗𝐷 4
32
c) 𝐼 =
𝜋∗𝐷 3
64
d) 𝐼 =
𝜋∗𝐷 3
32