Korte inleiding in de Algemene Relativiteits Theorie en dan een

Zwaartekracht &
Structuur in het Heelal
Prof. dr. Léon V.E. Koopmans
Korte inleiding in de Algemene Relativiteits Theorie
en dan een overzicht over structuur vorming in het Heelal.
De Oerknal
Het observationeel bewijs voor de Oerknal en een uitdijend Heelal is er nu in vele vormen:
1) Objecten verder weg (minder helder) bewegen van ons weg met steeds grotere snelheid
(Hubble expansie/Roodverschuiving).
2) Kosmische Achtergrond Straling die is overgebleven uit het vroege/hete Heelal is
waargenomen en in detail gemodelleerd.
3) De hoeveelheid Helium + lichtere elementen (Nucleosynthese) in het heelal gevormd uit
waterstof in de eerste drie minuten van de Oerknal komt overeen met modellen.
Het Heelal bevat ook andere componenten, die nodig zijn om de structuur
in het Heelal te beschrijven op kleine (sterrenstelsel) en grote (Heelal als geheel) schalen:
1) Donkere Materie: Onbekende materie met zwaartekracht (WIMS/Axions ?).
2) Donkere Energie: Iets wat het het Heelal versneld doet uitdijen (Kosmologische
constante of ander deeltjes veld ?) net als tijdens inflatie.
Om dit alles in een kader te kunnen plaatsen hebben wij de algemene
relativiteitstheorie (ART) nodig.
Gekromde Ruimte
Deze beschrijft/verklaart de structuur en uitdijing van het Heelal als geheel, maar
ook roodverschuiving, tijdsvertraging, zwaarte-kracht lenzen, zwaarte-kracht
golven, zwarte gaten, etc. Velerlei aspecten van de kosmologie/sterrenkunde.
Algemene Relativiteit Theorie
Deze is gebaseerd op het equivalentie principe dat zegt dat zwaarte kracht
en versnelling volledig equivalent zijn
Door de ruimte-tijd kromming te geven
(niet zoals in Newton’s wereld), beweegt een
object langs een gekromde lijn (geodeet)
waar de zwaarte-kracht en versnelling elkaar
opheffen (b.v. de vallende lift, maar ook
planeten rond de zon, licht in ruimte, etc).
Dit heeft enorme consequenties voor de
structuur van het Heelal, leidt tot zwaartekracht golven, gravitatie lenzen, zwarte gaten,
tijdsvertraging, rood/blauw verschuiving van
licht, etc. etc.
Algemene Relativiteit Theorie
Stel dat wij naar een lift kijken in de vrije
ruimte (Fig.a; geen zwaartekracht).Voor ons
als waarnemer van buiten de lift moet een
lichtstraal dan op een recht lijn bewegen.
In de versnellende lift (kracht naar beneden)
lijkt het alsof de lichtstraal afbuigt naar
beneden (voor ons is dat een rechte lijn).
Het equivalentie principe vertelt ons dan dat
zwaarte-kracht dit ook moet doen, als
de lift stilstaat op aarde en dezelfde kracht
wordt ervaren als in de lift.
Dus licht buigt af in een zwaartekracht veld.
Algemene Relativiteit Theorie
Maar de relativiteitstheorie zegt ook dat de
lichtsnelheid altijd hetzelfde is (voor ons en
in de lift).
Voor ons in de vrije ruimte (Fig.a) beweegt
het licht langs een rechte lijn van een kant
van de lift naar de andere kant in aan tijd
Δt = L/c (L=lengte lift).
In de lift daarentegen lijkt het licht een
langer gekromd pad te nemen met een
tijd Δt’ > Δt.
Dus licht legt een langere weg af in een
zwaartekracht veld, waardoor er een extra
tijds vertraging (Shapiro vertraging) in een
zwaartekracht veld optreedt.
Algemene Relativiteit Theorie
Nog een consequentie is dat als men naar
een versnellende lift kijkt van onderen in de
vrije ruimte en de straal licht monochromatisch is.
Het eerste golffront wordt uitgezonden
vanaf een bepaalde afstand. Het tweede
golffront van een afstand die net iets groter
is. Gezien beide golffronten met de lichtsnelheid naar ons bewegen lijkt het tweede
golffront dus iets vertraagd (tov een
stilstaande lift) aan te komen, waardoor de
golflengte langer is geworden.
Dus licht komende uit een zwaartekracht
veld wordt rood-verschoven.
Bv. een roodverschuiving van een factor
twee betekent ook dat 1 sec op de klok in
het zwaartekrachtveld voor ons 2 sec lijkt.
Dit is equivalent aan de Shapiro vertraging.
Afbuigings-hoek
Als we nu praktisch gaan worden kunnen we uit de ART exact de afbuiging van
een licht-straal berekenen voor een punt massa (deze berekening heeft de ART
nodig en zal ik hier niet uitvoeren; maar zie Appendix).
Als we hier de massa (M) en straal (b) van de zon
invullen, zien we en afbuiging van 1.74
boogseconde (1 radiaal = 206265 boogseconde).
Dit effect is al in 1919 waargenomen tijdens
een zonsverduistering.
Voor massa’s van een sterrenstelsel van ~1011
zonsmassa maar b = 5 kpc, vinden we ook
ongeveer 1 boogseconde
1 pc = 3.26 lichtjaar = 3.086x1016 meter.
Roodverschuiving
We kunnen ook een afschatting maken van de roodverschuiving van licht, maar
doen dat op een “klassieke” manier (afbuiging van licht kan ook klassiek worden
berekend, maar er is een factor 2 verschil met de ART in zwakke velden).
We geven hierbij de foton een massa:
Voor fotonen geldt ook:
Dus als we nu aannemen dat een foton
dat uit een zwaartekracht veld beweegt
van r1 naar r2, potentiële energie verliest
m.b.v. de Newtoniaanse fysica:
Roodverschuiving
We kunnen ook een afschatting maken van de roodverschuiving van licht, maar
doen dat op een “klassieke” manier (afbuiging van licht kan ook klassiek worden
berekend, maar er is een factor 2 verschil met de ART in zwakke velden).
En de wet van energie behoud gebruiken:
Dan vinden we:
De ART geeft:
identiek in eerste orde benadering.
Tijd vertraging
Zoals we zagen zijn tijds-vertraging en roodverschuiving nauw met elkaar verbonden.
De ART geeft dan ook:
welke identiek is aan de vergelijking voor de roodverschuiving.
bv. Als de roodverschuiving een factor twee is van een lichtstraal uit een zwaartekracht
veld, dan loopt de klok twee keer zo traag in dat veld.
Zwaartekracht Golven
Dit is momenteel natuurlijk sterk in het nieuws met LIGO.
Zwaartekracht Golven
Samensmelten van twee zwarte gaten kan bv tot zwaartekracht golven leiden.
Zwaartekracht Golven
Eerste detectie !!
Zwarte Gaten
Deze detectie is ook meteen een directe bevestiging van het bestaan van zwarte gaten.
Deze hebben een Schwarzschild straal:
Als we dit vergelijken met de rood-verschuiving/
tijdsvertraging vergelijkingen vinden we dat tijd
stilstaat op een afstand van de Schwarzschild straal
vanaf een zwart gat. Uitgezonden licht wordt
oneindig rood verschoven en bereikt ons nooit.
In het Engels heet dit de “event horizon”
Zwarte Gaten
Door deze “event horizon” te combineren met
quantum velden theorie, kan met laten zien dat
een zwarte gat “verdampt” (Hawking straling).
Energie wordt tijdelijk “geleend” uit het vacuum.
Een deeltje-paar kan worden gecreëerd waarbij
een deeltje (met negatieve totale energie) in het
zwarte gat valt en de ander ontsnapt. Hierdoor
krimpt/verdampt het zwarte gat.
Zwarte Gaten
Onze eigen Melkweg heeft een zwart gat in het centrum van ong. 3x106 zonsmassa
Zwarte Gaten
Onze eigen Melkweg heeft een zwart gat in het centrum van ong. 3x106 zonsmassa
Het Uitdijend Heelal
Het uitdijend heelal is ook een oplossing van de vergelijkingen van de ART, maar er zijn
vele oplossingen mogelijk afhankelijk van de materie/energie in het Heelal (baryonisch,
donkere materie/energie, etc). Ook hier komen de aspecten van roodverschuiving,
tijdsvertraging, afbuiging van licht, etc weer terug.
We lijken momenteel te leven in een versnellend Heelal (dankzij “Donkere Energie”).
Het Uitdijend Heelal
Het uitdijend heelal is ook een oplossing van de vergelijkingen van de ART, maar er zijn
vele oplossingen mogelijk afhankelijk van de materie/energie in het Heelal (baryonisch,
donkere materie/energie, etc). Ook hier komen de aspecten van roodverschuiving,
tijdsvertraging, afbuiging van licht, etc weer terug.
We lijken momenteel te leven in een versnellend Heelal (dankzij “Donkere Energie”).
De Oerknal en
Structuurvorming in het Heelal
Een diepe blik in ons heelal
We zien veel structuur,
maar hoe is dit ontstaan?
Spiraal stelsels
We zien sterrenstelsels
en quasars (massieve
zwarte gaten) die al bestaan
zo’n 1 miljard na de
Oerknal of 13 miljard jaar
geleden.
Quasars
Elliptische stelsels
Om dit te begrijpen
moeten we “terug in de
tijd” gaan.
In de sterrenkunde:
“verder weg” is
“terug in de tijd”
Ultra-diep veld
Hubble Ruimte
Telescoop
Kort Overzicht van vandaag
Inflatie
Oerknal
Kosmische Achtergrond
Straling
Vorming elementen
Vormingsjaren
Heelal
Structuur-vorming
Nu
Deze lezing gaat over de eerste een miljard jaar van ons Heelal (13.8 miljard jaar oud!),
van de Oerknal, via inflatie en de vorming van de lichtere elementen (kort), tot de vorming
van de eerste sterren en sterrenstelsel, en “(her)ionisatie” van waterstof gas.
Een explosieve geboorte!
• De Oerknal: het begin, kwantum-gravitatie?
• Inflatie: ons “vlakke” Heelal
• Donkere Materie: meer dan het oog kan zien
• Vorming van elementen: waterstof en iets meer
• Het eerste sterlicht: massieve sterren & zwarte gaten
• [Expansie en donkere energie]: een verhaal op zich!
Laten we hier eerst eens stap-voor-stap doorheen gaan,
zodat we een algemeen overzicht krijgen.
Een geschiedenis
gevormd door
donkere krachten
Een geschiedenis
gevormd door
donkere krachten
Een geschiedenis
gevormd door
donkere krachten
Een geschiedenis
gevormd door
donkere krachten
Een geschiedenis
gevormd door
donkere krachten
Een geschiedenis
gevormd door
donkere krachten
Om te begrijpen hoe structuren in ons Heelal zich
vormen moeten we eerst weten welke materie er zich in bevindt.
Elke vorm van materie gedraagt zich namelijk anders.
De Bouwstenen van het Heelal
Het Heelal is geen vacuum.
Wat bevindt zich in ons Heelal?
Donkere materie, Donkere energie, Gas, Neutrinos, Straling!
De bouwstenen
Compositie:
Ons heelal bestaat tegenwoordig voor een groot
deel (95%) uit
“Donkere Materie” en “Donkere Energie”.
We zien hun effect via de zwaartekracht en de
uitdijing van het Heelal, maar we weten niet wat
het is! Dit blijft een open vraag in de sterrenkunde!
Maar een klein deel bestaat uit materie die we
kunnen zien (gas, sterren, etc).
Vlak na de Oerknal was deze verdeling anders,
en was er weinig donkere Energie, en meer
stralingsenergie en neutrino's.
Donkere Materie
Melkweg-stelsels draaien sneller rond dan men
verwacht op grond van hun ster en gas massa.
Ruimtekromming laat donkere materie “zien”
van een andere vorm dan gas of sterren.
Uitdijing van het Heelal en Structuurvorming is
in overeenstemming met meer (donkere)
materie dan we waarnemen via licht.
ZwaartekrachtLenzen
Een zeer krachtige manier
om donkere materie
“zichtbaar” te maken, is
door zijn zwaartekracht
te gebruiken die de ruimte
en tijd rondom zware
objecten buigt.
Dit leidt tot meerdere
afbeeldingen van objecten
achter de “lens”.
We “zien” donkere materie,
en kunnen het wegen en in
kaart brengen, maar we weten
niet wat het precies is (een
nieuw deeltje?)
Donkere Energie
Om donkere energie te begrijpen, moeten we
iets meer weten over de uitdijing van het Heelal.
Alle materie in het Heelal heeft zwaartekracht en trekt
elkaar aan. Het Heelal zou dus steeds langzamer moeten
uitdijen, maar ... precies het omgekeerde gebeurt!
Wat hiervoor verantwoordelijk wordt gemaakt noemen
we:
“DONKERE ENERGIE”
Eerlijk gezegd weten we niet wat dit is, maar zien alleen
het effect op de uitdijing van het Heelal (en op structuur
vorming in het Heelal).
Ik zal hier niet verder op ingaan, want er was bijna geen
donkere energie in de vormingsjaren van het Heelal.
Chemische Samenstelling
Donkere Materie & Energie, leuk...
Maar wat kunnen we wel zien?
Het ontstaan der
elementen
Vlak na de oerknal was het
heelal heel heet en had het een
hoge dichtheid.
Uit dit “plasma” vormden
zich eerst elementaire deeltjes
(bv quarks), daarna protonen,
neutronen en elektronen,
en uiteindelijk de eerste
atoomkernen: waterstof, helium,
een nog een klein beetje meer.
Chemische Samenstelling
Neutronen, protonen bestaan uit quarks, maar komen samen om (zwaardere)
elementen te vormen, vooral waterstof en helium.
Chemische Samenstelling
Het bewijs:
De gemeten verhouding
tussen deze elementen
komt overeen met
berekeningen uit het
standaard model van
ons Heelal.
We weten hierdoor
hoeveel gas er is maar
ook dat het Heelal
inderdaad klein en heet
moet zijn geweest!
Indirect bewijs voor
de uitdijing/Oerknal
theorie.
Na de oerknal, inflatie, en de vorming van donkere materie,
de eerste elementen (waterstof, helium, etc), koelt ons
heelal voldoende af zodat protonen en elektronen combineren
tot “neutraal” waterstof en helium.
Kosmische Achtergrond Straling
De eerste straling uit het vroege heelal dat ons bereikt
en ons veel informatie over de begin-voorwaarden van het Heelal.
Waar zijn we nu in het verhaal?
380,000 jaar na de Oerknal
Kosmische Achtergrond Straling
Protonen en elektronen combineren tot “neutraal waterstof en helium”.
Hier komt straling bij vrij, die we nu (13.8 miljard laten nog kunnen zien)
Kwantumfluctuaties opgeblazen tot de schaal van ons Heelal
Deze straling heeft een temperatuur T=2.7 Kelvin en kleine fluctuaties op
schalen van 0.00001. De dichtheid in het Heelal is niet uniform waardoor
uiteindelijk structuur ontstaat die we zagen in de eerste foto van deze lezing.
Kosmische Achtergrond Straling
Met (ruimte) telescopen kunnen we deze
fluctuaties meten en vergelijken met
theoretische modellen. Het heeft ook de
exacte (begin)condities van het Heelal
zo’n 380,000 na de Oerknal. De overeenkomst tussen de data en theorie is
verbluffend en weer een stuk bewijs voor
het standaard model van het Heelal.
Het Heelal is nu relatief koud en bestaat grotendeels uit waterstof
en helium en donkere materies, plus de straling overgebleven uit de
combinatie van atoom kernen met elektronen.
De “Donkere Tijden” / “Dark Ages” zijn aangebroken. Waterstof en
Helium zijn onzichtbaar geworden en zenden geen straling uit.
Structuur Vorming
Wat gebeurt er daarna?
Donkere materie speelt een grote rol in de vorming van
structuur in het Heelal en de vorming van de eerste sterren uit gas.
Structuur Vorming
Donkere Materie domineert massa in het heelal en trekt samen onder de invloed
van de zwaartekracht. Waterstof en helium volgen de donkere materie hierin.
Dit model is gebaseerd op donkere materie, energie, en onze kennis
over de beginvoorwaarden gemeten uit de achterrond straling.
Structuur Vorming
Donkere Materie domineert massa in het heelal en trekt samen onder de invloed
van de zwaartekracht. Waterstof en helium volgen de donkere materie hierin.
Dit model is gebaseerd op donkere materie, energie, en onze kennis
over de beginvoorwaarden gemeten uit de achterrond straling.
Structuur in de verdeling
van sterrenstelsels
Vergelijkbare structuren zien we
om ons heen in het Heelal.
Sterrenstelsels lijken inderdaad
de structuren te volgen die
Donkere Materie creëert in
simulatie. Weer een triomf voor
het Heelal model.
Maar in het verhaal van vandaag
kijken we veel vroeger in het
Heelal en zijn er nog geen echte
sterrenstelsels.
SDSS
“Kosmische Zonsopgang/Her-ionisatie”
“Cosmic Dawn/Reionization”
We zijn nu op een punt beland waar het uitdijend Heelal grotendeels bestaat uit
waterstofgas en donkere materie, er is alleen kosmische achtergrond straling,
en zwaartekracht doet zijn werk om kleine verschillen in materie dichtheid te versterken.
Wat staat er nu te gebeuren?
Waar zijn we nu in het verhaal?
100 miljoen jaar na de Oerknal
De Eerste Sterren
De eerste sterren vormen zich een paar honderd miljoen jaar na de Oerknal uit gas dat samenkomt
in donkere materie halo’s. Deze sterren zenden straling uit die het gas opnieuw ioniseert.
De Eerste Sterren
De eerste sterren vormen zich een paar honderd miljoen jaar na de Oerknal uit gas dat samenkomt
in donkere materie halo’s. Deze sterren zenden straling uit die het gas opnieuw ioniseert.
De eerste sterren zijn zwaar en bestaan
alleen uit waterstof en helium.
We weten weinig over deze massieve sterren, maar ze vormen de eerste zware elementen
en waarschijnlijk ook de eerste zwarte gaten met massa’s van 30-100 x de zon.
Tijdens de “Cosmic Dawn” (Kosmische Zonsopgang) vormen zich steeds meer sterren,
zwaardere elementen vormen en mengen met waterstof en helium en nieuwe (lichtere)
sterren vormen daarna.
HER-IONISATIE
Deze sterren zenden uv-straling uit die waterstof opbreekt in
protonen en elektronen
Her-ionisatie:
Waterstof breekt uiteen in een proton en elektron door uv-straling van jonge sterren
Her-ionisatie:
Waterstof breekt uiteen in een proton en elektron door uv-straling van jonge sterren
Wat zien we van al deze
gebeurtenissen?
Welk aanwijzigingen
hebben we hiervoor ?
Er zijn steeds meer aanwijzingen uit
de her-ionisatie periode:
De eerste quasars
De eerste sterrenstelsels
“Polarizatie” van achtergrond
staling
Etc.
Het Heelal wordt Transparant:
Waterstof ioniseert opnieuw
Neutraal waterstof “absorbeert” straling van quasars. Hoe meer neutraal gas hoe minder
licht ons bereikt. Dit effect wordt steeds sterker beneden 1 miljard jaar na de Oerknal.
860 miljoen jaar na de oerknal
990 miljoen jaar na de oerknal
Het Heelal wordt Transparant:
Waterstof ioniseert opnieuw
Neutraal waterstof “absorbeert” straling van quasars. Hoe meer neutraal gas hoe minder
licht ons bereikt. Dit effect wordt steeds sterker beneden 1 miljard jaar na de Oerknal.
860 miljoen jaar na de oerknal
990 miljoen jaar na de oerknal
We zien steeds meer jonge sterrenstelsels.
Tussen 350-950 miljoen jaar na de oerknal neemt het aantal
sterrenstelsels toe met een factor meer dan 10.
Kosmische Achtergrond Straling wordt
Gepolariseerd
Doordat deze straling door een geïoniseerd “plasma” gaat, verandert krijgt deze een
voorkeurs richting. Door dit effect te meten weten we dat ~500 miljoen jaar na de
oerknal ~50% van alles waterstof opnieuw geïoniseerd was.
Kosmische Achtergrond Straling wordt
Gepolariseerd
Doordat deze straling door een geïoniseerd “plasma” gaat, verandert krijgt deze een
voorkeurs richting. Door dit effect te meten weten we dat ~500 miljoen jaar na de
oerknal ~50% van alles waterstof opnieuw geïoniseerd was.
Na deze eerste 1 miljard jaar groeien structuren
nog verder in sterrenstelsels, clusters, etc.
maar dat is een verhaal op zich.
Vragen ?
APPENDIX (Engels)
Gravitational Lensing: General Relativity
The metric of space-time is modified from special relativity by the presence of energy-density
For a point-mass this becomes
Modification
of time
Modification
of space
A photon follows a geodesic with ds2 = 0.
Gravitational Lensing: General Relativity
This metric leads to an equation for the geodesic of photons
with
The total deflection angle of (in the small-angle and weak-field approximations) is
A (2D) mass distribution is a linear super-position of point-mass deflectors
Gravitational Lensing: Geometric Optics
The gravitational field (Φ) can be regarded as a “lens” with a refractive index (note: Φ<0)
n=1
2
c2
2
= 1 + 2| |
c
In geometric optics (c=speed of light) the “apparent speed of light” is
c
v= ⇡c
n
2
| |
c
Hence the apparent speed of light for an outside observer decreases, which suggests
that a “time-delay” will be incurred by light rays traveling along a path that goes through
a potential compared to path with Φ=0 [in reality the light speed is constant but there is
a longer distance traversed in curved space-time].
This “time-delay” of a signal that travels through a potential can be used to measure the
size of the Universe!
Gravitational Lensing: Time Delays
This time-delay of a signal that travels through a potential is given by
dl
dt =
v
The total time due to the potential will be given, to first order, by
t=
Z
path
dt ⇡
Z
path
2
|
|dl
c3
Note that if we know |Φ| from say a lens model, and we can measure Δt, we can then
derive the path length. This path length turns out the be proportional to 1/H0 and
hence we can measure the Hubble Constant [not part of this lecture].
Gravitational Lensing: Deflection Angles
The second effect of gravitational lensing is the deflection of
light.
Just as in the case of optics, if the refractive index n≠1 a ray of
light is deflected along a different (non-straight) path. Similarly
this happens in gravitational lensing
Z
2
~ ? ndl =
↵
~=
r
2
c
path
Z
path
~ ? dl
r
Hence a light ray is deflected by an angle that depends (to first order) on the integral
over the gradient of the lens potential perpendicular to the line of sight. This approximation
holds because to first order the ray of light travels along a straight path (Born approximation).
NOTE: We can bring both concepts, time-delay and deflection, together in a single
frame work: the “Fermat Principle”.
Gravitational Lensing: Deflection Angles
We will now re-derive the deflection angle for a point mass using the above definitions.
Since we can use the Newtonian/Keplerian potential Φ in the weak-field limits,
we can use
(b, z) =
GM
p
b2 + z 2
Where ‘b’ is the impact parameter and ‘z’ is the distance along the line of sight.
~? =
r
"
@
GM
p
~b · ~b + z 2
@~b
#
GM~b
=+ 2
(b + z 2 )3/2
We can now carry out this integral along the line of sight.
Gravitational Lensing: Deflection Angles
The deflection angle for a point mass then becomes
↵
ˆ point
mass
2
=
c
Z
4GM
~
r? dz = 2
c b
We see a few things from this equation: first GM/c2 has units of a distance (note
the GM/r has units of velocity squared). Hence the deflection angle in radians is
the ratio of some radius divided by the impact parameter. What is this radius?
This radius is twice the Schwarzschild radius:
2GM
Rs ⌘
c2
Hence the deflection angle of a point mass is
2Rs
=
b
↵
ˆ pm
Fundamental
result for lensing