Al heel jong leren kinderen het verschil te kennen tussen een

De uitvinding van de Cirkel
Johan Gielis
Geniaal bvba, Nottebohmstraat 8, B-2018 Antwerpen
1. Inleiding
Al heel jong ontdekken kinderen het verschil tussen een vierkant, een driehoek en een
cirkel.
Ze leren dit aan de hand van tekeningen en diverse objecten.
Zo kunnen ze
gaandeweg vormen en patronen leren onderscheiden in de wereld rondom hen. Later, reeds
in het lager onderwijs, worden gaandeweg meerdere figuren aangeleerd en leren ze
oppervlakte en omtrek van enkele figuren te berekenen.
In het middelbaar onderwijs echter
zullen ze leren dat een euclidische driehoek niet die plastic driehoek is die ze als kleuter
leerden kennen, en een echte meetkundige kubus komt niet overeen met die houten
blokken.
Een CD-tje is niet echt een cirkel en de stam van een boom is wel rond, maar
geen Echte cirkel. Wereldse vormen zijn vierkantig, driehoekig, cirkelvormig, maar geen
Echte vierkanten, driehoeken of cirkels. Erger dus, van dan af worden vormen gereduceerd
tot abstracte objecten, die niet eens in een wereldse vorm bestaan! Als Galileo Galilei zegt
dat het boek van de natuur geschreven is in de taal van de meetkunde, van driehoeken,
vierkanten en cirkels, is dit wel heel optimistisch.
Een driehoek heeft drie hoeken en drie rechte zijden, en een vierkant heeft vier precies
rechte hoeken en vier rechte zijden en de kleinste afwijking van deze regels levert andere
vormen op. De meetkunde is dan van iets herkenbaars verworden tot een taal die weliswaar
nuttig is, al was het maar om te leren logisch te denken, maar die niets met de echte wereld
te maken heeft. Een cirkel is het meest volmaakte object, zonder zijden noch hoeken.
In
meer abstracte zin zijn vormen met dihedrale Dn of cyclische symmetrie Zn subgroepen van
O(2). Pas later, in de lessen natuurkunde, of in hoger onderwijs, leren we dat wiskunde - en
meetkunde in het bijzonder - zeer geschikt zijn om modellen over de werkelijkheid te
construeren.
Hierbij horen dan de analyse, in bijzonderheid differentiaalvergelijkingen.
Het succes van de wiskunde om de werkelijkheid in modellen te beschrijven is werkelijk heel
groot.
De fysicus Eugene Wigner spreekt dan over de « unreasonable effectiveness of
mathematics »
Echter, niettegenstaande belangrijke inspanningen van wiskundeleraren, zijn tegen die tijd
talrijke kinderen en adolescenten de draad allang kwijt. In het middelbaar en in het hoger
onderwijs is voor de meeste leerlingen de cursus wiskunde (inclusief meetkunde) nauwelijks
meer dan een noodzakelijk kwaad, zelfs in wetenschappelijke richtingen, vraag dat maar aan
biologen. Ongetwijfeld is één van de hoofdredenen dat de visualisatie die zo belangrijk was
bij de ontwikkeling van het kind, in het hoger onderwijs niet langer wordt nagestreefd.
1
Ik meen echter dat er een nieuwe, interessante manier is om diverse van deze problemen op
te lossen.
Een aanpak waarbij het verband tussen meetkunde en natuurlijke (en cultuur-)
vormen kan worden gelegd, waarbij verschillende meetkundige vormen terug te brengen zijn
tot één enkele, eenvoudige formule, die kan worden gebruikt in het middelbaar onderwijs.
Deze formule toont hoe verschillende vormen, zoals veelhoeken of kegelsneden, speciale
gevallen zijn. Alles begint bij cirkel en vierkant [1].
2. Lamé-ovalen en supercirkels
Hoewel cirkel en een vierkant altijd als twee compleet verschillende figuren worden
voorgesteld, kunnen ze worden beschreven door één enkele wiskundige vergelijking.
Vertrekkende vanuit de vergelijking van een cirkel x2+ y2 = 1 moeten we eigenlijk weinig
meer doen dan het kwadraat te vervangen door n, dat dan staat voor elk reëel getal. Omdat
dan ook oneven machten mogelijk zijn moeten dan wel absolute waardestrepen worden
gebruikt, anders krijgen we vormen die gekke dingen gaan doen.
De algemene formule
wordt dan :
xn + yn = 1
(1)
De prachtige resultaten zijn de zogenaamde supercirkels [2,3].
Het is duidelijk dat de cirkel
dan maar 1 speciaal geval is van een oneindig grote verzameling van supercirkels, namelijk
voor n = 2. Als n erg groot wordt duikt een vierkant op, maar wiskundig is het omschreven
vierkant enkel bepaald als n naar oneindig gaat. Als een exponent kleiner dan 2 wordt
gekozen krijgen we bijvoorbeeld het ingeschreven vierkant voor n = 1, of een asteroïde voor
n = 2/3.
Voor n = 0 krijgen we gewoon het assenkruis. De algemene naam voor deze
figuren is Supercirkels, hier met hoofdletter.
Alle vormen met exponent n groter dan 2 zijn
dan supercirkels, als n kleiner is dan 2 krijgen we zogenaamde subcirkels. De cirkel (n = 2)
lijkt de precieze overgang tussen deze twee groepen.
Maar in feite is n=1 de overgang
tussen supervormen met n en supervormen met exponent 1/n, of tussen convexe en
concave figuren.
Het is fascinerend als je in je verbeelding tracht het assenkruis wiskundig te vervormen door
n van nul tot oneindig te laten variëren langsheen alle reële getallen.
Dit geeft aan deze
vormen een heel dynamisch karakter. Aanvankelijk zie je hoe zich vanuit een assenkruis
een asteroïde ontwikkelt, die zich dan verder ontwikkelt tot het ingeschreven vierkant.
Dan blazen de zijden van dit vierkant zich op om dan over te gaan tot de cirkel. Als je dan
deze cirkel verder laat groeien zal je aanvankelijk een tussenvorm zien tussen cirkel en
vierkant, maar al snel, wanneer n groter dan 10 wordt, begint de vorm heel snel op een
vierkant te gelijken (zie figuur 1, rij 5 voor m=4).
2
Ook bij ellipsen met een korte en een lange as met vergelijking (x/a)2+ (y/b)2 = 1 kunnen we
de vergelijking op een gelijkaardige manier aanpassen als voor de cirkel, en het kwadraat
vervangen door een algemene exponent n. De vergelijking van de superellips is dan:
(x/a)n + (y/b)n = 1
(2)
Zo kan je vanuit het assenkruis een ellips vervormen tot een ruit (voor n = 1) en tot een
rechthoek voor n→∞. De superellipsformule is echter meer algemeen omdat die ook de
mogelijkheid omvat dat a gelijk is aan b, en dan is de supercirkelformule (1) een speciaal
geval van de meer algemene superellipsformule (2).
De vormen die men door deze
superellipsformule kan bekomen noemt men ook wel Lamé-ovalen.
3. Over Supereieren
Supercirkels en superellipsen zijn al lang bekend, eigenlijk al vanaf het midden van de 19e
eeuw. Maar het blijft voor mij een mysterie waarom zo een belangrijke ontdekking, namelijk
dat cirkel en vierkant zo nauw verwant zijn, zelfs bijna hetzelfde (het enige verschil is de
waarde van n), zo weinig aandacht heeft gekregen. Na Gabriel Lamé is er zeer weinig
informatie te vinden over supercirkels. Enkel in de jaren zestig en zeventig van de 20e eeuw
was er een bepaalde interesse in supercirkels, vanuit architectonisch oogpunt.
En deze
periode is dan vooral verbonden met de naam Piet Hein, een Deense dichter-wiskundigegenie [3].
De Superellips-Piet-Hein is in Denemarken even bekend als de Zilvervloot-Piet-
Hein in Nederland.
Toen in de late jaren vijftig een bepaald plein in Stockholm, Sergel’s Square, aan heraanleg
toe was stonden de architecten voor een probleem.
centraal moest een winkelcentrum komen.
zou de oppervlakte te beperkt zijn.
Het was een rechthoekig plein, en
Als het winkelcentrum ellipsvormig zou worden,
Als het rechthoekig zou worden gebouwd is het
winkelcentrum weliswaar zo groot mogelijk, maar zou het verkeer sterk belemmerd worden;
auto’s en autobestuurders houden namelijk helemaal niet van rechte hoeken.
De architecten hadden een oplossing, een soort tussenvorm tussen rechthoek en ellips,
maar zoals dat gaat in de architectuur werd dat dan een aaneenschakeling van boogjes en
rechte stukjes (en dat is ook nog nu zo met de meest gesofisticeerde tekenpakketten).
van de architecten was bevriend met Piet Hein en vertelde hem hierover.
Eén
Piet Hein stelde
de oplossing voor in de vorm van een superellips, die de voordelen van rechthoek en ellips in
één enkele vergelijking combineert.
En zo kreeg Sergel’s Square zijn uiteindelijke
superelliptische vorm, met een bijna-rechthoekig winkelcentrum met optimale grootte, en een
bijna-elliptische baan er omheen zodat het verkeer zo vlot mogelijk zou kunnen verlopen.
3
4. Superkwadrieken
Piet Hein ontwikkelde later nog diverse voorwerpen gebaseerd op deze superelliptische
vorm.
Superelliptische tafels in restaurants hebben het voordeel groot te zijn, maar toch
zonder vervelende hoeken waar iedereen tegen aanloopt.
Piet Hein’s supereieren.
Het meest bekend echter zijn
Dit zijn drie dimensionale superellipsen, zogenaamde
superellipsoïden met een ei-achtig vorm, met dit grote voordeel dat ze echt rechtop kunnen
staan zonder om te vallen. Dit wordt veroorzaakt door het Flachpunkt van deze vormen.
Meer algemeen spreekt men bij deze driedimensionale vormen men over superbollen,
superellipsoïden of superkwadrieken. Dergelijke vormen hebben belangrijke toepassingen in
computeromgevingen, zowel grafische systemen als beeldherkenning en computervisie,
omdat superkwadrieken een bijzonder compacte beschrijving van vormen mogelijk maakt.
Deze superkwadrieken worden verkregen door het bolproduct van twee superellipsvormen
[4]. De basis hiervoor is de omzetting in poolcoördinaten. Eén bepaalde parametrizatie van
superellipsen in poolcoördinaten werd uitgewerkt in [5, 6].
r :=
1
n
(
cos ( φ)
)n + (
sin ( φ)
)n
(3)
Men kan deze basisformule voor supercirkels en superellipsen op verschillende manieren
verder veralgemenen.
Vooreerst hoeven
de exponenten n niet gelijk te zijn. Door de
exponenten n verschillend te nemen op cosinus en sinus, respectievelijk als n2 en n3
verhoogt zeker de flexibiliteit, omdat men dan bij een pseudo-vierkant, of vierkant, de
aanliggende zijden kan laten verschillen van elkaar, de ene zijde bijvoorbeeld recht, de
aanliggende zijde inbuigend. Door de exponent n1 worden hier nog extra mogelijkheden
toegevoegd.
r :=
1
n1
(
cos ( φ)
) n2 + (
sin ( φ)
) n3
(4)
5. Supercirkels bij verschillende verdelingen van het vlak
Een tweede veralgemening betreft de verdeling van het vlak. Bij vierkant en superellipsen in
het algemeen, is het vlak verdeeld in vier kwadranten, en dit is ook zo bij vlakke doorsneden
van superbollen en superellipsoïden. Dit is is in feite één van de grootste tekortkomingen
van superkwadrieken, omdat ze andere symmetrieën niet eenvoudig kunnen weergeven.
Maar het vlak kan wel degelijk in meerdere sectoren worden verdeeld. Een verdeling in drie
sectoren van 120° bijvoorbeeld maakt het mogelijk om super- en subdriehoeken te maken.
Zo ook kunnen diverse andere superveelhoeken worden gemaakt.
4
Deze transformatie omvat de berekening van superellipsen voor bepaalde waarden van φ ,
en deze waarden worden dan getekend op een andere hoek. De waarde van de vorm
berekend op 90° (2π/4) in een superellips (m=4) wordt dan getekend op 2π/m. In het geval
van een zeshoek dus op 60°.
Hierdoor wordt het rechthoekige assenstelsel uit- en
invouwbaar als een waaier. In het boek “De uitvinding van de Cirkel” [1] wordt hiervoor een
hele elegante analytische vorm gegeven, Supercirkelformule, of Superformule genoemd.
Dit biedt heel grote mogelijkheden. In de analytische vergelijking wordt het aantal sectoren in
het vlak bepaald door m. Als het vlak verdeeld wordt in 1 sector van 360° (m=1) kunnen we
superéénhoeken maken, bij een verdeling van het vlak in 2 stukken van 180° (m=2) kunnen
we supertweehoeken maken. Ook de klassieke regelmatige veelhoeken duiken dan op als
één welbepaalde vorm.
In Figuur 1 worden een aantal voorbeelden getoond voor
verschillende waarden van m en n1,2,3 .
Figuur 1: Veelhoeken met exponenten n1,2,3 verschillend of gelijk bij een verdeling van het
vlak in diverse sectoren m.
5
De formule kan nog algemener worden gemaakt.
We kunnen het vlak namelijk ook
verdelen in een niet-geheel aantal sectoren waarbij m een rationaal of irrationaal getal kan
zijn. Op deze manier kunnen we 1.5-hoeken maken met m = 3/2.
Een 3/2-hoek heeft 3
hoeken op 2 omwentelingen, een 5/2-hoek heeft 5 hoeken op 2 omwentelingen.
Een
pentagram of ster-vijfhoek is hiervan een voorbeeld; om de figuur in 1 vloeiende beweging te
tekenen moet je twee keer rond gaan.
Een 21/13-hoek sluit pas volledig na 13
omwentelingen en heeft 21 hoeken. De getallen 3/2 en 5/2 geven dan de precieze nietgehele symmetrie weer van de figuur.
Ook hier kunnen we super- en subveelhoeken
definiëren. De superellipsen van Lamé en Piet Hein zijn dan 4/1 hoeken.
Figuur 2: Niet-geheelhoeken: a: halfhoek (m=1/2);
b: één-achtstehoek (m=1/8) en c: een π-hoek
(m=π).
Veelhoeken waarbij de verdeling van het vlak in
een rationale verhouding gebeurt, zullen altijd
ergens wel sluiten, maar als we een irrationaal
getal gebruiken, zal de figuur nooit sluiten. En op
deze manier kunnen dan e-hoeken, π-hoeken, √2hoeken, en hoeken volgens de Gulden Snede
worden gemaakt.
Al deze vormen kunnen we
maken met enkel reële getallen, en ze kunnen
bovendien dynamisch in mekaar overvloeien, net
als bij de supercirkel.
Dit maakt de meetkunde veel flexibeler en aantrekkelijker in vergelijking met de klassieke,
starre meetkunde. Piet Hein zei over zijn superellipsen dat « ze ons bevrijden uit de
dwangbuis van eenvoudigere eerste en tweedegraadsvergelijkingen, de rechte en de
kegelsneden ». Deze algemene formule gaat echter nog verschillende stappen verder dan
de supercirkelformule van Piet Hein.
De formule kan ook worden beschouwd als een
transformatie van het vlak of de ruimte waarbij het assenstelsel als een waaier kan worden
open- of toe geplooid, bepaald door m, terwijl de schikking van getallen op de
coördinaatsassen ongewijzigd blijft in vergelijking met het orthogonaal stelsel.
6
Door deze transformatie zijn er bovendien een aantal invarianties. Zo blijven voor gegeven
vormfactoren (n1,2,3) de oppervlakte en het traagheidsmoment van figuren gelijk, ongeacht de
waarde van m. In Figuur 1 hebben bijvoorbeeld de vormen in kolom 2 dezelfde oppervlakte,
met uitzondering van de nulhoek of cirkel (m = 0).
5. Allemaal eenheidscirkels
Vooraleer in te gaan op de mogelijkheden voor het onderwijs, moet toch benadrukt worden
dat een gigantische veelheid aan vormen nu voorkomt uit één enkele formule. En het zijn
allemaal eenheidscirkels in een welbepaalde metriek. Hierdoor kan je eenvoudig aantonen
dat alle supervormen Cirkels zijn met alle punten op gelijke afstand van het centrum. Alle
punten op een supercirkel liggen dan op afstand 1 van het centrum. De zogenaamde
Minkowski Lp metrieken zijn hiervan een voorbeeld, met de taximetriek, de Euclidische
metriek en de maxmetriek als speciale gevallen.
Deze Minkowski metrieken kunnen nog
verder worden veralgemeend, omdat de algebraische afstand van een punt op alle
supervormen precies is gekend met de nieuwe techniek (zie [1] en figuur 1). Net als de
cirkel en de ellips, zijn de klassieke Minkowski-metrieken dan speciale gevallen van onze
meer algemene benadering.
Dat maakt van deze formule dan meteen ook een conversieformule. De meetlat waarmee je
meet wordt door een hoekafhankelijke metriek aangepast.
figuur meten met een Euclidische meetlat.
Je kan de afstanden van een
De intelligentie die de waarden inleest voor een
zeester, kan dan meteen de precieze parameters van de formule weergeven.
Maar je kan
ook met een rekbare meetlat gaan meten. De intelligentie die de meetresultaten krijgt weet
precies hoe de meetlat is uitgerekt in bepaalde richtingen, en kan daardoor ook de waarden
invullen in de formule.
Deze intelligentie kan een computer zijn.
Je kan op de twee
manieren gaan meten, het resultaat blijft hetzelfde.
6. Een natuurlijke formule
Als we de begrippen vierkant en driehoekig dan werkelijk meetkundige parameters kunnen
toekennen die ook kleine afwijkingen toelaten, krijgen ook ineens die vorm van die plastic
driehoeken en de houten blokken uit de kindertijd opeens zin en betekenis binnen een
logisch en meetkundig kader. Vooral omdat blijkt dat het Euclidisch vierkant, of de perfecte
cirkel ook maar speciaal gevallen zijn van een meer algemene formule, waarin ook
natuurlijke vormen naadloos passen. Minkowski-metrieken die tot nog toe enkel een vooral
theoretische betekenis hadden, met uitzondering van drie speciale gevallen, krijgen nu een
direct verband met de wereld rondom ons.
7
Vierkantige stengels, of vijftallig-symmetrische zeesterren, kunnen op deze wijze in een
vormformule worden ingepast. De figuur 3 maakt dit duidelijk.
De bovenste rij figuren 3a-
d zijn doorsneden van diverse plantenstengels. De vorm van de stengel hangt sterk samen
met de wijze waarop bladeren zijn gerangschikt rond de stengel. Vierkante stengels komen
o.m. voor bij vierkante bamboes, bij lipbloemigen (dovenetel en verschillende kruiden als
salie, munt en tijm). Zelfs de jonge stengels van teak-bomen zijn vierkant en meerhoekige
stengels komen bijvoorbeeld voor bij bramen, reuzenbalsemien, paardestaarten (Equisetum)
en bosrank (Clematis).
Andere uitstekende voorbeelden vinden we zeker in vetplanten.
Zeestervormen (figuur 3e en 3f) worden nu ook door één enkele formule gegeven, net als de
superellipsen. De vormen 3a tot 3f verschillen onderling slechts in drie (3) getallen. In het
boek ‘De uitvinding van de Cirkel’, worden honderden foto’s van natuurlijke vormen getoond,
zowel uit organische als anorganische natuur.
Figuur 3: Natuurlijke veelhoeken in poolcoördinaten: doorsneden van stengels, zeesterren,
schelpen en bloemen (zie hoofdtekst). In 3l zijn de trigoniometrische functies van 3j en 3k
weergegeven in X,Y-coördinaten.
Als conversieformule, of als metriek, kan je de Superformule ook gaan toepassen op andere
vergelijkingen, zoals spiraalfuncties (Figuur 3g, 3h en 3i) of trigoniometrische functies (Figuur
3j, 3k en 3l), die zijn ingeschreven in een bepaalde superveelhoek.
Elke functie heeft
namelijk een grafische representatie – niet noodzakelijk in poolcoördinaten - voor elke
mogelijke supervorm.
8
De logaritmische spiraal wordt vaak als één van de meest vooraanstaande voorbeelden
wordt gebruikt om de band tussen biologie en wiskunde. Deze functie levert het verband
tussen de reeks van Fibonacci en de schelpen van Nautilus soorten.
Met onze
conversieformule kan de logaritmische spiraal ook hoekafhankelijk worden vervormd.
En
dan blijkt dat de meeste schelpen wel dergelijke uitstulpingen hebben -kammen of varices
genaamd (Figuur 3h), en niet volgens een perfecte logaritmische spiraal groeien. Echte
bloemen zijn ingeschreven in superveelhoeken (Figuur 3j en 3k).
Planten en bloemen,
zeesterren en schelpen maken ons duidelijk dat de natuur is op een SuperCirkelvormige
manier gekromd.
7. Toepassingen in het onderwijs
Naast een nieuwe benadering van natuurlijke vormen, kan deze aanpak een aantal van de
problemen die in de inleiding werden geschetst, helpen oplossen.
wat beschreven is geen vaste weg is of kan zijn.
een leidraad.
Wel is opgemerkt dat
Eerder zie ik de beschreven ideeën als
De ideeën in dit artikel kunnen op verschillende manieren worden
aangebracht, op diverse moeilijkheidsgraden en ze kunnen naadloos worden geïntegreerd
met bestaande wiskundige technieken.
Enkele belangrijke aandachtspunten:
1. De bijzondere eenvoud van de techniek.
De Superformule is nauwelijks moeilijker dan
de Stelling van Pythagoras, met een combinatie van trigoniometrische basisfuncties
sinus en cosinus
en machtsverheffing.
Diverse vormen krijgen een precieze
meetkundige weergave, zoals zeester of schelpvormen.
Elke vorm wordt gereduceerd
tot zijn wiskundige of meetkundige essentie.
2. De veelheid van mogelijkheden :
men kan nu meetkunde-onderwijs geven met een
emmer vol met zeesterren, bloemen, bladeren, schelpen. …. Men kan een meetkundige
tuin aanleggen, met planten met bijzonder opvallende meetkundige vormen.
Men kan
de leerlingen wijzen op vormen uit architectuur en design, en het verband met natuurlijke
vormen.
3. Deze vormen kunnen op een eenvoudige manier worden weergegeven op een
rekenmachine met grafische weergave. De gebruikte figuren werden gemaakt met
MathCad, dus ook elk geavanceerd programma kan worden gebruikt, ook programma’s
zoals Derive. Men kan ook software ontwikkelen waarbij in de computer de precieze
vorm kan worden aangepast.
9
4. De vormen kunnen op een dynamische manier in elkaar overvloeien door een
verandering van de parameters van de vergelijking langsheen de as van de reële
getallen te laten variëren.
Mijns inziens kan deze aanpak de interesse voor de wiskunde behoorlijk verhogen met
talrijke mogelijkheden in onderzoek en techniek. Door het dynamische karakter van het
geheel wordt meetkunde letterlijk meer kneedbare materie. De techniek kan worden
aangeleerd in nauwelijks enkele lesuren, in een themales. De formules zijn eenvoudig in te
brengen in een rekenmachine met grafische weergave. Er zijn overlappingen mogelijk met
de lessen biologie, esthetische vorming, en alle vakken waarin vormen of patronen op enige
wijze voorkomen. In het technisch onderwijs is er nu trouwens al een eindwerk gemaakt
rond de superformule en optimalisatie [7].
8. Referenties
1.
J. Gielis, De uitvinding van de Cirkel. Geniaal bvba/Maklu NV (2001; ISBN 90-6215792-0)
2.
G. Loria, Spezielle algebraische und transzendente ebene Kurven.
B.G.Teubner,
Leipzig-Berlin. (1910).
3. M. Gardner, Mathematical Carnival, Knopf 1975; Mathematical Association of America
1989, hoofdstuk 18.
4.
A. Jacklic, A. Leonardis en Solina F., Segmentation and recovery of superquadrics
Kluwer Academic Publishers, Dordrecht (2000).
5. H. Löfelman en E. Gröller, Parametrizing Superquadrics. Technical Report. Institut für
Computergrafik, Technische Universiteit Wenen, Oostenrijk (1994).
6. B. Beirinckx, Supervormen, wortels en bamboe. Ingenieursthesis, Karel De Grote
Hogeschool, Antwerpen (1997).
7. J. De Vos, Optimaal voor optimalisatie - Optimalisatie in de natuur en verpakkingsmateriaal, Eindwerk 6 BIOT, Afdeling Biotechnieken, Provinciaal Instituut voor
Tuinbouwonderwijs PITOM, Mechelen (2002).
10