het bestaan van W- en Z-bosonen

Chapter 11
Higgs-mechanisme: het bestaan van
W- en Z-bosonen
11.1
De Higgs-Lagrangiaan
Beschouwd wordt de volgende Lagrangiaan L :
2
1
1
1
1
1
L = (∂µ φ1 )(∂ µ φ1 ) + (∂µ φ2 )(∂ µ φ2 ) + µ2 φ21 + µ2 φ21 − λ φ21 + φ22 .
2
2
2
2
4
(11.1)
Deze Lagrangiaan beschrijft twee scalarvelden φ1 , φ2 tegelijkertijd: de eerste twee termen
zijn het kinetische deel van de velden, de twee termen erna de inherente eigenschap ’µ’ van
de velden, en de laatste term is de interactie tussen φ1 en φ2 .
Een aantal eigenschappen van de twee velden kunnen snel worden geconcludeerd: wanneer
we deze Lagrangiaan vergelijken met die van een Klein-Gordon-deeltje, zien we direkt dat
de twee velden een spin hebben van nul. Daaruit volgt dat deze deeltjes voldoen aan
Bose-Einstein statistiek, oftewel dat het Pauli Principe niet geldt en er dus een willekeurig
aantal φ1 en φ2 deeltjes tegelijkertijd in dezelfde quantumtoestand kunnen zijn. Tenslotte
laat de laatste term in de Lagrangiaan zien dat de twee deeltjes een fysische interactie
met elkaar aangaan: deze term zal immers, via de Euler-Lagrange vergelijking, termen
opleveren in de bewegingsvergelijking van elk deeltje waarin het andere deeltje een rol
speelt. Het is eenvoudig om dit expliciet te maken: volgens de Euler-Lagrangevergelijking
zijn de bewegingsvergelijkingen van de twee deeltes de volgende:
2 − µ2 φ1 = −λ φ21 + φ22 φ1 ,
(11.2)
2 − µ2 φ2 = −λ φ21 + φ22 φ2 ,
(11.3)
Twee verdere conclusies kunnen nog worden getrokken. Ten eerste is duidelijk de ’massatermen’ µ2 φ1 en µ2 φ2 met het verkeerde minteken uitkomen, en ten tweede is te zien dat de
rollen van de twee typen deeltjes geheel symmetrisch zijn: het onderling gelijk verwisselen
van de velden φ1 met φ2 levert precies dezelfde Lagrangiaan en bewegingsvergelijkingen op.
1
2 CHAPTER 11. HIGGS-MECHANISME: HET BESTAAN VAN W- EN Z-BOSONEN
Deze laatste twee observaties hebben een nauwe verwantschap door middel van het begrip
Spontane Symmetriebreking, en zullen cruciaal blijken te zijn voor het Higgs-mechanisme.
11.2
Spontane Symmetriebreking
De beschouwde Lagrangiaan heeft een Hamiltoniaandichtheid H die kan worden berekend
met de gebruikelijke uitdrukking uit het Noether Theorema
H =
∂L
∂L
∂0 φ1 +
∂0 φ2 − L .
∂(∂0 φ1 )
∂(∂0 φ2 )
(11.4)
Uitgewerkt voor de huidige Lagrangiaan levert dit de volgende uitdrukking op:
1
1
1
1
H = (∂0 φ1 )2 + (∂0 φ2 )2 − µ2 (φ21 + φ22 ) + λ2 (φ21 + φ22 )2 .
(11.5)
2
2
2
4
De ruimteintegraal van deze uitdrukking levert dan de energie op van het fysische systeem,
en volgens het Noether Theorema is deze uitdrukking constant in de tijd. Duidelijk is
dat de oplossing φ1 = 0, φ2 = 0 niet de minimale energie oplevert voor dit systeem: door
(even) te schrijven (φ21 + φ22 ) = x en de afgeleide te nemen van het ’potentiele’ deel van de
Hamiltoniaan en die gelijk te stellen aan nul, volgt dat de laagste energietoestand van het
systeem voldoet aan
µ2 1 2
− λ x=0
(11.6)
2
2
oftewel wanneer er voor de velden geldt
µ 2
φ21 + φ22 =
.
(11.7)
λ
Zoals is te zien is er een continuum aan oplossingen voor deze toestand van laagste energie.
Elke keuze is, wat de fysica van het systeem betreft, identiek aan elke andere; immers, de
Lagrangiaan is symmetrisch onder elke onderling gelijke verwisseling van de twee velden.
We zullen als toestand van laagste energie de volgende kiezen:
µ
(φ2 )0 = 0.
(11.8)
(φ1 )0 = ,
λ
(waarbij het onderschrift ’0’ aangeeft dat we met de waarde van het veld te maken hebben
waarin de energie de laagste waarde heeft).
Het wiskundig apparaat van de Quantumvelden Theorie gaat uit van het principe dat de
natuur de laagste energietoestand aan probeert te houden; elke afwijking van de laagste
energietoestand (bijvoorbeeld door deeltjes op elkaar te laten botsen in een versneller) moet
gezien worden als een verstoring van die laagste energietoestand. Het is daarom handig om
de oorspronkelijke Lagrangiaan te herschrijven in een (wiskundig identieke!) vorm waarin
het duidelijk is welke bijdragen de laagste energietoestand beschrijven en welke bijdragen
de verstoring van de laagste energietoestand. Hiertoe schrijven we de twee velden als
φ1 = (φ1 )0 + η,
φ2 = (φ2 )0 + ξ,
(11.9)
11.3. HET HIGGS-MECHANISME
3
oftewel als een (constante) term ( (φ1 )0 voor φ1 en (φ2 )0 voor φ2 ) overeenkomend met de
laagste energietoestand en een (dynamische) verstoring van die laagste energietoestand (η
voor φ1 en ξ voor φ2 ). Voor onze gemaakte keuze levert dit op:
φ1 =
µ
+ η,
λ
φ2 = ξ.
(11.10)
Door deze herschrijving in te vullen in de Lagrangiaan wordt een (wiskundig identieke!)
uitdrukking gevonden die, deze keer, de dynamica van de fysica beschrijft in termen van de
afwijkingen η en ξ van de laagste energietoestand van het systeem. Er wordt dan gevonden
dat de Lagrangiaan gegeven wordt door
!
!
1
1
L =
(∂µ η)(∂ µ η) − µ2 η 2 +
(∂µ ξ)(∂ µ ξ)
2
2
!
µ4
1
(11.11)
+
µλη 3 + µληξ 2 − λ(η 4 + ξ 4 + 2η 2 ξ 2 ) + 2 .
4
2λ
De eerste set haakjes is de Klein-Gordonvergelijking voor een deeltje η met massa µ, en
de tweede set haakjes is de Klein-Gordonvergelijking voor een deeltje ξ met massa nul.
Daarna volgen een aantal interacties van de twee deeltjes met elkaar, en tenslotte is er een
constante term (die geen fysische betekenis heeft; hij wordt immers altijd weggedifferentieerd wanneer de Lagrangiaan wordt ingevuld in de Euler-Lagrangevergelijking).
Zo is gevolgd dat de Lagrangiaan wel degelijk fysisch acceptabele (dit wil zeggen: met reële
massa) deeltjes beschrijft, mits we maar het systeem beschrijven vanuit de toestand met
laagste energie. Een deeltjesinterpretatie blijkt pas mogelijk wanneer we velden identificeren die de afwijkingen zijn van de laagste energietoestand. De werkelijke deeltjes worden
dus beschreven door de velden η en ξ, en niet door de velden φ1 en φ2 . Het herschrijven van
de Lagrangiaan in termen van de afwijkingen van de laagste energietoestand is ten koste
gegaan van de symmetrie van de Lagrangiaan: waar de oorspronkelijke versie nog invariant
was onder een onderling gelijke verwisseling van de twee velden, is de nieuwe versie dat
niet. Met zegt dan dat de symmetrie is gebroken. De algemene regel is dit: na het breken
van de symmetrie van een Lagrangiaan door over te gaan op velden die de afwijkingen van
de laagste energietoestand beschrijven, worden imaginaire massa’s reeel en zal een van de
velden een scalardeeltje beschrijven dat geen massa heeft. Dit feit staat bekend als het
Theorema van Goldstone.
11.3
Het Higgs-mechanisme
In wat volgt zullen we ons verder verdiepen in de symmetrie die de oorspronkelijke Lagrangiaan had. Zoals is besproken is de oorspronkelijke Lagrangiaan invariant onder onderlinge verwisseling van de twee oorspronkelijke velden φ1 en φ2 . Hiermee wordt niet
louter bedoeld dat de twee velden door elkaar vervangen mogen worden, maar ook dat er
de verwisseling zodanig mag zijn dat er net zoveel ’φ1 -heid’ als 0 φ2 -heid’ is voor als na de
4 CHAPTER 11. HIGGS-MECHANISME: HET BESTAAN VAN W- EN Z-BOSONEN
verwisseling. Dit is compleet analoog aan de bespreking uit een eerder hoofdstuk van de
verwisseling van de kleuren. Daar was aangetoond dat zo’n toegestane kleurverwisseling
beschreven kan worden met een unitaire matrix; in het huidige geval van de verwisseling
van de velden φ1 en φ2 is dat een te strenge eis: deze keer zijn de velden niet complex
maar reëel, waardoor een orthogonale matrix volstaat. (een orthogonale matrix O is een
matrix waarvan de getransponeerde gelijk is aan de inverse, oftewel een matrix waarvoor
geldt dat OT O gelijk is aan de eenheidsmatrix). We zouden daarom de verwisselingstransformatie als een orthogonale matrix kunnen schrijven en dan, analoog aan de bespreking
in het hoofdstuk over Yang-Mills theorie, kunnen uitzoeken wat de consequentie van de
invariantie onder deze verwisseling is.
Dit is een wiskundig volkomen correcte aanpak, maar het is iets eenvoudiger om de symmetrie als volgt te onderzoeken: de huidige Lagrangiaan staat toe om de twee reële velden
φ1 en φ2 te schrijven als een enkel complex veld, Φ. De velden φ1 en φ2 spelen dan de rol
van de componenten dit complexe veld Φ. We definieren daarom:
Φ = φ1 + i φ2 .
(11.12)
Hieruit volgt direkt dat we kunnen schrijven:
φ21 + φ22 = Φ∗ Φ,
(11.13)
en
1
1
1
(∂µ φ1 )(∂ µ φ1 ) + (∂µ φ2 )(∂ µ φ2 ) = (∂µ Φ)(∂ µ Φ)∗ .
(11.14)
2
2
2
Hiermee kan de oorspronkelijke Lagrangiaan geschreven worden in de wiskundig equivalente
vorm
1
1
1
L = (∂µ Φ)(∂ µ Φ)∗ + µ2 (Φ∗ Φ) + λ(Φ∗ Φ)2 .
(11.15)
2
2
4
Zoals gezegd is deze omschrijving gedaan om makkelijker de symmetrie van de Lagrangiaan
onder verwisseling van de velden φ1 en φ2 te kunnen onderzoeken. Immers, aangezien deze
velden nu de componenten zijn van het veld Φ en de componenten van elk complex getal
in elkaar kunnen worden overgeschreven door middel van een complexe faseverschuiving,
is de nieuwe vorm van de Lagrangiaan invariant onder de transformatie
Φ → eiθ Φ.
(11.16)
Dit is precies het type transformatie en invariantie dat we al hebben onderzocht in het
hoofdstuk over ijkinvariantie, en wat leidde tot het bestaan van fotonen en het Maxwellveld.
Precies dezelfde wiskunde kan hier nu direkt worden toegepast om lokale ijkinvariantie te
bereiken. In direkte navolging van eerder behandelde stof doen we de stap van de minimale
substitutie,
∂µ → ∂µ + iqAµ
(11.17)
voor een zeker ijkveld Aµ , gevolgd door de toevoeging aan de Lagrangiaan van een term
F µν Fµν die de bijdrage van het vrije Aµ -veld beschrijft. De nieuwe Lagrangiaan is dan ook
1
1
1
µ ∗
µ ∗
∂µ Φ + iAµ Φ ∂ Φ − iqA Φ − µ2 (Φ∗ Φ) + λ2 (Φ∗ Φ)2 − F µν Fµν , (11.18)
L =
2
2
4
11.3. HET HIGGS-MECHANISME
5
en deze is lokaal invariant onder de complexe verschuiving eiθ(x) , voor elke functie θ(x). De
symmetrie is op dit moment dus nog geheel behouden. Echter, zoals al aangetoond is een
goede deeltjesinterpretatie alleen mogelijk wanneer de Lagrangiaan wordt omgeschreven
naar de velden die de afwijking zijn van de laagste energietoestand, η en ξ. Hiertoe schrijven
we wederom
µ
φ2 = ξ,
(11.19)
φ1 = + η,
λ
en werken we de Lagrangiaan uit. We vinden dan, na triviale (maar wat lange) algebra de
volgende uitdrukking
!
!
1
1
(∂µ η)(∂ µ η) − µ2 η 2 +
(∂µ ξ)(∂ µ ξ)
L =
2
2
!
qµ 1
Aµ Aµ
+
− F µν Fµν +
2 λ
− 2i
qµ
(∂µ ξ)Aµ +
λ
qη(∂µ ξ)Aµ − qξ(∂µ η)Aµ +
!
1
− λµ(η 3 + ηξ 2 ) − λ2 (η 4 + 2η 2 ξ 2 + ξ 4 )
4
µ 2
λ
2 2
µ
+
.
2λ
1
ηAµ Aµ + q 2 (ξ 2 + η 2 )Aµ Aµ
2
(11.20)
Hiermee is de symmetrie gebroken: door over te zijn gegaan op de afwijkingen η en ξ
van de laagste energietoestand is de symmetrie van de oorspronkelijke Lagrangiaan verloren gegaan. Als gevolg hiervan is, net zoals in het globaal ijkinvariante geval, er een
correcte deeltjesinterpretatie van de velden η en ξ voor teruggekomen: in de eerste regel
beschrijft de eerste set haakjes een scalardeeltje met reële massa en de tweede set haakjes
een massaloos scalardeeltje (het Goldstone boson). Uiteraard zijn er vele extra termen
bijgekomen die, net als in onze eerdere behandeling van het lokaal ijkinvariant maken van
Klein-Gordon velden, de interactie van het Maxwellveld Aµ met de velden η en ξ beschrijven. Deze interacties, beschreven door de gehele derde regel, is een stuk ingewikkelder
dan voorheen, als direkt gevolg van het feit dat het breken van de symmetrie. Bovendien
blijkt dat de twee componenten η en ξ van het veld Φ ook interactie met elkaar hebben,
en wel via de gehele vierde regel. Deze zelf-interactie is het direkte gevolg van de aanwezigheid van de term ∝ (Φ∗ Φ)2 in de Lagrangiaan. In de zo resulterende theorie is het
Maxwell-veld dus niet louter het elektromagnetische veld dat de interactie tussen fotonen
en Klein-Gordondeeltjes beschrijft, maar tevens het veld dat de interactie beschrijft tussen
de twee typen Klein-Gordondeeltjes zelf.
De enige regel die we nog niet hebben beschouwd is de tweede, en het is hier dat het
beroemde Higgs-mechanisme zich presenteert. In deze regel staat de bijdrage van de Lagrangiaan die het vrije Maxwell-veld beschrijft: F µν Fµν ; deze bijdrage is nog in complete overeenkomst met de eerdere behandeling van het lokaal ijkinvariant maken van het
Klein-Gordonveld in een eerder Hoofdstuk. Deze keer, echter, heeft de Lagrangiaan van
het vrije Maxwell-veld een extra bijdrage, ∝ Aµ Aµ . Deze bijdrage is kwadratisch in het
6 CHAPTER 11. HIGGS-MECHANISME: HET BESTAAN VAN W- EN Z-BOSONEN
Maxwell-veld zelf, en stelt daarom een massa-term voor: wanneer de Lagrangiaan van het
vrije Maxwell-veld in de betreffende Euler-Lagrangevergelijking wordt gesubstitueerd om
zo de bewegingsvergelijking te vinden voor de fotonen, dan volgt een Klein-Gordon-achtige
vergelijking1 waarin het veld Aµ zelf voorkomt. Deze term heeft, net zoals in het geval van
een Klein-Gordon vergelijking, de fysische betekenis van een massa. Dit betekent dat in
deze theorie fotonen massa hebben gekregen!
Het is op dit punt goed om even pas op de plaats te maken: we zijn begonnen met
een Lagrangiaan waarin twee deeltjes en hun onderlinge interactie werden beschreven. De
Lagrangiaan was van een type dat toeliet dat de twee velden onderling met elkaar worden verwisseld, en we zijn in staat gebleken deze Lagrangiaan te schrijven als die van een
enkel, complex veld, waarin de verwisselingssymmetrie zich presenteerde als de vrijheid om
het complexe veld een willekeurige globale complexe fase te geven. Door vervolgens op te
leggen dat deze symmetrie ook lokaal moet gelden werd minimale substitutie toegepast, en
werd een lokaal ijkinvariante versie van de Lagrangiaan gevonden. Deze draagt, zoals we
al eerder hadden gezien, een Maxwellveld mee, waarmee de interactie tussen de velden en
het Maxwellveld werd vastgelegd. Tenslotte werd er gebruik gemaakt van het feit dat de
velden niet de laagste energietoestand beschrijven van het systeem; door tenslotte over te
gaan op nieuwe velden als verstoringen van de laagste energietoestand. werd de theorie herschreven in een vorm die een massaloos scalardeeltje ξ beschrijft, een massief scalardeeltje
η, en kreeg het Maxwell-veld een massa. Deze procedure heet het Higgs-mechanisme.
Tenslotte kan een laatste herschrijving worden gedaan. Door expliciete constructie is de
theorie invariant gemaakt onder verschuiving van de complexe fase, wat er fysisch op
neerkomt dat de velden φ1 en φ2 op elke plejk en op elk tijdstip naar willekeur onderling
verwisseld mogen worden. In termen van de velden η en ξ bestaat die vrijheid nog altijd:
door een geschikte keuze te maken voor de fasverschuiving θ(x) mag op elke plek en op
elk tijdstip de velden η en ξ in elkaar worden overgeschreven zonder dat dat de fysica
beschreven door de Lagrangiaan verandert. Het is dan eenvoudig om aan te tonen dat er
een keuze voor θ(x) mogelijk is die het Goldstone boson ξ en zijn afgeleiden gelijk maakt
aan nul, zodat er volgt
ξ = 0,
1
∂µ ξ = 0.
(11.21)
Het is officieel geen Klein-Gordonvergelijking, omdat de oplossing geen scalardeeltje is. In plaats
daarvan heet de bewegingsvergelijking de Proca-vergelijking, en deze heeft veelal dezelfde eigenschappen
als de Klein-Gordonvergelijking. Met name geldt óók in de Proca-vergelijking dat elke term evenredig met
de oplossing zelf een massa-term voorstelt.
11.3. HET HIGGS-MECHANISME
7
Voor deze specifieke keuze van de ijking reduceert de Lagrangiaan, tenslotte, tot de volgende
vorm:
!
!
qµ 1
1
(∂µ η)(∂ µ η) − µ2 η 2 + − F µν Fµν +
Aµ Aµ
L =
2
2 λ
! 2
µ 2
µ2
1
1
−
.
(11.22)
ηAµ Aµ + q 2 η 2 Aµ Aµ − λµη 3 − λ2 η 4 +
λ
2
4
2λ
Deze Lagrangiaan, uiteindelijk, beschrijft een enkel massief scalardeeltje η, en zijn interactie
met een massief Maxwellveld Aµ . Het is op deze manier dat massieve krachtvelden worden
gerealiseerd in de natuur: de Z- en W -bosonen van de zwakke interactie.