Zomercursus Wiskunde Module 7 Poolcoördinaten

Zomercursus Wiskunde
Katholieke Universiteit Leuven
Groep Wetenschap & Technologie
September 2011
Module 7
Poolcoördinaten
(versie 22 augustus 2011)
Module 7: Poolcoördinaten
Inhoudsopgave
1 Poolcoördinaten
1
2 Poolvergelijkingen
3
2.1
Cartesiaanse coördinaten versus poolcoördinaten . . . . . . . . . . . . .
3
2.2
Poolvergelijking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3 Transformatie formules
5
3.1
Van poolcoördinaten naar cartesiaanse coördinaten . . . . . . . . . . .
5
3.2
Van cartesiaanse coördinaten naar poolcoördinaten . . . . . . . . . . .
5
4 Extra Oefening
7
5 Oplossingen
7
Zomercursus Wiskunde
Groep Wetenschap & Technologie
7-1
Module 7: Poolcoördinaten
1
Poolcoördinaten
...
Y ..............
y.
p
•
...
.....
.....
.....
.....
.
.
.
.
....
.....
.....
.....
.....
.
.
.
.
.....
.....
.....
.....
...............
.
.
.
.
...
...
...
.....
.....
...
....
r
1
o
θ
x
1
X
.......................
fig. 1
In fig.1 worden er op twee verschillende manieren coördinaten gegeven aan het punt p.
Een eerste manier zijn de gebruikelijke cartesiaanse coördinaten (x, y). De getallen x
en y zijn hier afstanden (met een teken), respectievelijk op de X-as en de Y -as.
Het andere koppel coördinaten (r, θ) zijn ook twee getallen die het punt p eenduidig
bepalen. Met eenduidig bedoelen we dat je slechts 1 punt kan aanduiden op de figuur
als de coördinaten gegeven zijn.
• r is de afstand van de oorsprong o tot p. r is dus een positief reëel getal.
• θ is het maatgetal van de georiënteerde hoek tussen de positieve X-as en het
lijnstuk op, uitgedrukt in radialen.
(r, θ) wordt een koppel poolcoördinaten van p genoemd.
Oefening 1
Geef een koppel poolcoördinaten voor de punten a, b, c en d uit de onderstaande figuur.
Teken op onderstaande figuur de punten p1 tot en met p9 .
Zomercursus Wiskunde
Groep Wetenschap & Technologie
7-2
Module 7: Poolcoördinaten
.....................................................................
..........
............. ....
..
..........
...
......
..
..............
.
.
.. ...............
.
...
.
.
.
.
...
...
..
........
.......
.
... .................................................................................... ....
...........
.
.
.. ...........
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
...
......
......
...
..
...........
......
...
................. .....
.....
.. ..................
..
.......
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... ............................................................ ..
. ........
..........
... ......
.... ....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..........
..... ......
...... ........ .........
...
...
.
.
.........
.
.
....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.......
...
........... ..
.
. .............
..........
...
....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
...
.
.........
......
.... .........
.........
..... ........ ........... ......
......................................................................
..... .....
... ..................
.
.........
.
... .......... ........
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
.
.
.
.
...
... ........ ..
.......
.......
.......
. ...............
.
........
..
.
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
.
. ...
... ....... .............
..
......... .... ....... ........ ....
... ...................................... ....
...
... .................
.......... ....
........
...
... ................
.
.
.
.......
.
.
.
.
.
.
.
.
............... ....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... ........... ..
.............. .....
. ....... ...... ......
.
.........
... ........ ....... ....
. ...................
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
.
...
..... ....
.
...........
..... .......... ... ...
. ... ............ ......
........
.
.
.
.......
... ............ ....
...
.
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
........
..
.
.
...
.........
...
........ .... .. .. ............................... ..... ............... ......... .....
.. ....
...
...
...
. ............. ..... .... .....
... .................
. .......... ..... .................. ........ ................................
.
........... ....
.
.
.
.
.
.
.
.
........
.
......
...
.......................
.
.
.. ... .................... .............
.
....... .............. ....................... ..... ....
.
.
.
...
.
.
.
.
.
.
.... ...................... ....
.
... ............ ...
...........
.. ............ ....... ...... ...... .... ... .. ........ ... ... .... ............. ........ ............... .....
.
...
.
.
.
...
.
.
...
.
.
..
.
... .............. ... ..... .......
.
... ..................
...
...
..
............... ............. ........ ...................
... .....................
...
........ .... ..... ... ............ .....
...
...
........
.
.
.
.
........ ..... ...... ...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... .................
.
....
.
........... ....
.
.
...
...
.. ...................
.. ............ .............. .................
........... ... .......... ......... ....
.
.
...
.
...
.
... .................................
.
.
.
.
... ...............................
........... ............. ...
...........
........
.
.
.
.
.
......................
.
.
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
.
.
.
.
...
.
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.....
.....
.
......
...
...
...
.
.
.... ............ ................. .... ...........................................
...
...
...
.... ........................................ ............ ..................
....
...
...
.....
...
.........................
.
...
. .................
.
.
.
.
...
...
...
...
.
.
....
...
...
...
...
...
...
....
..
...
....
....
....
...
....
....
.....
.
.
.
..
.
..
..
..
..
...
..
...
...
..
...
...
...
...
...
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
............... ...
.
.
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
..
.
.
.
...
.
...
.
...
.
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
................... .
......... ......
.
.
..
.
... ..................................... .......... ................
.
...
...
.
.
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
......... ......... .
......... ..........
............ ..........
.
. ................................
.
...
..........
.
...
.
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
........ .
.....
...
.. .........
...
......
... ..................................
.
.......
... .................................
...
... ............. ................ .....................
... ..................... ............... ............. .....
.......... ...
...
............ ...... ........... ... ...............
...
..
..
.......... ... ............ ....... ..............
...
...
...
.
. .
.. .....
.... ... .. ........
...
.......................
...
...
...
. ................
........... .... ........ ...... ..
..
........... ...
... ................ .......................... ..... .... ........................ ..... ...... ........................ ............... ...
... ......................
...
.
...........
..
..........
..... ...
.
... .. ... ..........
...... ... .. ...
... ......
.........
.
.
...
.
... ................
.
.
.
.
.
.......
. ....
. .. ....... ....
.......
.
... ..............
.....
........... ...
.... ...... . .
... ..............
...
... ......... ......... ....... .................................. ................................... ........ ......... ......... ..... ..................
.. .....
...
...
........
..
. . . ........ .. ... ... ........
..
.........
..
...
... ...............
..
..
... ...... ..
... .. .... ...... .....
.
.......... ... .. ..
...
........... ...
.............. ..... .................
... ........
............. ....... ................ .... ....
..
.
.
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..........
..........
..... ...
... ......
... ............. ....
. ........ ....
. .............. ...
.
.
... .......... .....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..................................... ...
......
... .........
.
......
.
.....
...
.......
...
...
.. .... .....
..... .....
...
...
..
...
... .......... ......... ........ ................
...
..... ........ ...............
...
...
... .................
.. ..
..........
...
...
....... ...
......
...
.
...
.......
......... ....
.......
...
.... ...................... .....
.........
... ......... ........
.... ..................
..... .......... .....
.
. ..........................................................
.
.
..... ........ ........... ......
.
........
.
.
..... ....
......
.. .....
...
...
.........
.
.....
..
........
...
.. ................
....
..........
..
.....
...
....
...
.....
... ....................
...
..........
.....
.... .....
.. ...................
... .......... ........ .........
. ... ..
..... ........ ............ .....
.......
..........
.. ............................................................... .....
........
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
...
......
... ......... ....
...
..
......
... ...................
...
...
. .....
.....
..
...... ....
.
... ............
............
.................... ...
.........
.................................................................... ....
....
.......
...
...
...
.
.....
.
.
........ ...
.
.
.
.
.
.
...
.. ..........
...........
..
...........
...
..
...........
.................
..................................................................
b•
c•
o•
•
1
•
a
................
X̄
•d
a
b
c
d
(. . . , . . .)
(. . . , . . .)
(. . . , . . .)
(. . . , . . .)
p1
p2
(2, π6 )
)
(2, 7π
6
p3
p4
p5
p6
p7
p8
p9
(2, 13π
)
6
(3, 27π)
(1, 1)
(2, − 11π
)
6
(0, 0)
(0, 1)
(0, 10π)
In deze oefening stelde je vast dat één punt verschillende koppels poolcoördinaten kan
hebben. Dit is niet het geval bij cartesiaanse coördinaten. Bv. elk koppel van de vorm
(2, π6 + 2kπ) met k ∈ Z is een stel poolcoördinaten van het punt p1 . Meer algemeen zijn
de koppels (r, θ + 2kπ) met k ∈ Z verschillende stellen poolcoördinaten van hetzelfde
punt.
Voor de oorsprong o is er nog meer vrijheid. Elk koppel (0, θ) met θ ∈ R is een stel
poolcoördinaten van o.
Dus als een koppel poolcoördinaten gegeven is kan je juist één punt tekenen met die
coördinaten, maar als een punt in het vlak gegeven is, kan je verschillende koppels
poolcoördinaten geven voor dat punt. Indien θ ∈ [0, 2π[ en r ∈ R+
0 , noemt men (r, θ)
de poolcoördinaten van een punt p.
Oefening 2
Geef alle koppels poolcoördinaten van het punt met gegeven poolcoördinaten (2, 12).
Oefening 3
Geef van de volgende punten gegeven in poolcoördinaten het stel poolcoördinaten met
θ ∈ [0, 2π[ :
Zomercursus Wiskunde
Groep Wetenschap & Technologie
7-3
Module 7: Poolcoördinaten
1. p(5, 7π
)
2
)
2. q(3, 15π
4
2
2.1
Poolvergelijkingen
Cartesiaanse coördinaten versus poolcoördinaten
Oefening 4
Teken in onderstaand cartesiaans assenstelsel de punten (x, y) waarvoor x2 + y 2 = 4.
Geef de vergelijkingen van deze figuur in poolcoördinaten.
...
......
Y .........
1
o
1
X
.......................
Het nut van poolcoördinaten is onder andere dat sommige vergelijkingen eenvoudiger
worden in poolcoördinaten dan in cartesiaanse coördinaten. Een duidelijk voorbeeld
hiervan is een cirkel met centrum in de oorsprong. Dit is een tweedegraadsvergelijking
in cartesiaanse coördinaten en een eerstegraadsvergelijking in poolcoördinaten. Omgekeerd zijn er ook vergelijkingen die eenvoudiger zijn in cartesiaanse coördinaten. Bv.
de rechte x = 2, een rechte die niet door de oorsprong gaat. We zullen later zien wat
de vergelijking hiervan is in poolcoördinaten.
2.2
Poolvergelijking
Oefening 5
In de figuur hieronder zijn de punten getekend die voldoen aan de 1ste graadsvergelijking 2r = θ met r ≥ 0. Deze kromme noemt men een Archimedische spiraal.
Zomercursus Wiskunde
Groep Wetenschap & Technologie
7-4
Module 7: Poolcoördinaten
Het punt met poolcoördinaten (5, 10) voldoet aan de vergelijking. Duid het aan op
de figuur. Voldoet het koppel (5, 10 − 2π) aan de vergelijking ? Ligt het punt met
poolcoördinaten (5, 10 − 2π) op de kromme ?
Een vergelijking van een kromme in poolcoördinaten wordt een poolvergelijking van
die kromme genoemd. Een punt p behoort tot een kromme met gegeven poolvergelijking als en slechts als een stel poolcoördinaten van p voldoet aan de poolvergelijking.
Deze zijn niet noodzakelijk de poolcoördinaten van het punt p. Merk op dat θ steeds
uitgedrukt wordt in radialen!
Oefening 6
Maak een tabel om bij enkele waarden van θ de bijhorende waarde van r te berekenen
en maak een schets van de volgende krommen :
1. r =
1
θ
voor θ > 0
2. r = | cos 2θ|
3. r =
θ
sin θ
(hyperbolische spiraal)
(rozet)
voor 0 < θ < π
Zomercursus Wiskunde
Groep Wetenschap & Technologie
7-5
Module 7: Poolcoördinaten
3
Transformatie formules
3.1
Van poolcoördinaten naar cartesiaanse coördinaten
Veronderstel dat p een punt is met poolcoördinaten (r, θ) (zie fig. 1). De cartesiaanse
coördinaten (x, y) worden dan gegeven door
x = r cos θ
y = r sin θ
Merk op dat een ander stel poolcoördinaten van p hetzelfde koppel (x, y) oplevert. We
kunnen dus besluiten dat indien een stel poolcoördinaten (r, θ) van een punt p gegeven
is, dan worden de cartesiaanse coördinaten gegeven door
x = r cos θ
(1)
y = r sin θ
Oefening 7
Geef de cartesiaanse coördinaten van de volgende punten met gegeven poolcoördinaten:
1. p(2, 17π
)
6
2. q(5, 5π
)
4
3.2
Van cartesiaanse coördinaten naar poolcoördinaten
Stel nu dat de cartesiaanse coördinaten (x, y) van een punt p gegeven zijn. We zoeken
nu een stel poolcoördinaten (r, θ).
p
2
2
2
x2 + y 2 .
Uit (1) leiden we af dat
x
+
y
=
r
,
dus
r
=
p
Substitueren we r = x2 + y 2 in (1), dan krijgen we :

 cos θ = √ x2 2
 sin θ = √
x +y
y
x2 +y 2
Dit stelsel bepaalt ondubbelzinnig de hoek θ.
Voorbeeld 3.1
√ √
Geef een koppel poolcoördinaten van het punt p met als cartesische coördinaten (− 2, 6):
√
√
√
r = 2+6= 8=2 2
Uit cos θ = √
− 12 volgt θ = 2π
of θ = 4π
.
3
3
3
π
2π
Uit sin θ = 2 volgt θ = 3 of θ = 3 .
√
)
Antwoord : (2 2, 2π
3
Zomercursus Wiskunde
Groep Wetenschap & Technologie
7-6
Module 7: Poolcoördinaten
Oefening 8
Geef een koppel poolcoördinaten van de volgende punten met gegeven cartesische
coördinaten:
1. p(−1, −1)
2. q( 12 ,
√
3
)
2
Oefening 9
Stel met behulp van de transformatieformules een poolvergelijking op voor de rechte
met vergelijking x = 2.
Oefening 10
Geef de cartesiaanse vergelijking van de kromme met poolvergelijking
1. r = 2
2. r =
1
cos θ
We geven nog een andere omschrijving van hoe we θ kunnen vinden, gegeven de cartesiaanse coördinaten x en y. Hiervoor herhalen we eerst de definitie van de functie
boogtangens.
De tangensfunctie op R heeft geen inverse functie. Er zijn bijvoorbeeld oneindig veel
hoeken θ waarden waarvoor tan θ = 1. Om een inverse functie van de tangensfunctie
te kunnen definiëren zullen we het definitiegebied beperken tot ] − π2 , π2 [.
tangensfunctie op R
bgtan
tan
atan
4
4
3
3
2
2
1
1
0
0
−1
−1
−2
−2
−3
−3
−4
−4
−3
−2
−1
0
x
1
2
3
4
−4
−4
−3
−2
−1
0
x
1
2
3
4
We noteren de inverse functie van de tangensfunctie beperkt tot ] − π2 , π2 [ met bgtan of
arctan. Het bereik van deze functie is bijgevolg ] − π2 , π2 [.
Voor θ ∈] − π2 , π2 [ geldt dan: y = tan θ ⇔ θ = arctan y. Bijvoorbeeld tan π4 = 1 en
arctan 1 = π4
Oefening 11
Bereken arctan(tan π4 )
Zomercursus Wiskunde
Groep Wetenschap & Technologie
7-7
Module 7: Poolcoördinaten
Vermits arctan niet de inverse is van de tangensfunctie op R geldt niet altijd dat
arctan(tan θ) = θ. Dit geldt enkel voor hoeken θ in het 1ste en het 4de kwadrant. Voor
hoeken in het 2de en 3de kwadrant kunnen we schrijven dat θ = arctan(tan θ) + π.
Keren we nu terug naar het zoeken van θ gegeven x en y. θ vinden we door het stelsel

 cos θ = √ x2 2
 sin θ = √
x +y
y
x2 +y 2
op te lossen. Dus als x 6= 0 is tan θ = xy . Als x > 0 dan ligt θ in het 1ste of het
4de kwadrant, als x < 0 dan ligt θ in het 2de of het 3de kwadrant. We kunnen dus
besluiten dat
θ = arctan xy
x>0
y
= arctan x + π x < 0
= π2
x = 0, y > 0
= − π2
x = 0, y < 0
Voorbeeld 3.2
√ √
We nemen weer het punt p met als cartesische coördinaten (− 2, 6) en zoeken de
poolcoördinaten
√ van dit
√ punt:
√
r = 2+6= 8=2 2
√
√
x < 0 dus θ = arctan xy + π = arctan −√62 + π = arctan(− 3) + π = − π3 + π = 2π
3
√ 2π
Antwoord : (2 2, 3 )
4
Extra Oefening
Oefening 12
Stel de poolvergelijking op van een cirkel met straal a en centrum (0, a).
5
Oplossingen
2 (2, 12 + 2kπ)
3
)
(a) p(5, 3π
2
)
(b) q(3, 7π
4
√
7 (a) p(− 3, 1)
√
√
(b) q(− 5 2 2 , − 5 2 2 )
√
8 (a) r = 2 en θ =
5π
4
Zomercursus Wiskunde
Groep Wetenschap & Technologie
7-8
Module 7: Poolcoördinaten
(b) r = 1 en θ =
10
π
3
(a) x2 + y 2 = 4
(b) x = 1
12 r = 2a sin θ
Zomercursus Wiskunde
Groep Wetenschap & Technologie