John von Neumann

John von Neumann
Stefan Wintein (Erasmus University Rotterdam)
17 october 2014
1 / 58
Introductie
John von Neumann
(1903-1957)
Over von Neumann’s
mentale capaciteiten
Anekdote: raadsel van
de vlieg
Summing the infinite
series. . .
Introductie
Invloed op het
wereldtoneel
Plan
Speltheorie
2 / 58
John von Neumann (1903-1957)
Introductie
John von Neumann
(1903-1957)
Over von Neumann’s
mentale capaciteiten
Anekdote: raadsel van
de vlieg
Summing the infinite
series. . .
Invloed op het
wereldtoneel
Plan
Speltheorie
3 / 58
Over von Neumann’s mentale capaciteiten
Introductie
John von Neumann
(1903-1957)
Over von Neumann’s
mentale capaciteiten
Anekdote: raadsel van
de vlieg
Summing the infinite
series. . .
Invloed op het
wereldtoneel
Plan
Speltheorie
∎ John von Neumann wordt algemeen beschouwd als een van de grootste
wiskundigen uit de moderne geschiedenis:
- “I have sometimes wondered whether a brain like von Neumann’s does not
indicate a species superior to that of man”. (Bethe*)
- “one had the impression of a perfect instrument whose gears were machined to
mesh accurately to a thousandth of an inch.” (Wigner*)
- “He was the cleverest man I ever knew, without exception. He was a genius.”
(Bronowski)
- “On a seminar for advanced students. . . I came to a certain theorem, and I said
it is not proved and it may be difficult. Von Neumann didn’t say anything but
after five minutes he raised his hand. When I called on him he went to the
blackboard and proceeded to write down the proof. After that I was afraid of
von Neumann.” (Polya)
∎ Op zijn zesde kon hij getallen van acht cijfers uit zijn hoofd op elkaar delen, op
zijn achtste had hij de beginselen van differentiaal- en de integraalrekening
onder de knie.
4 / 58
Anekdote: raadsel van de vlieg
Introductie
John von Neumann
(1903-1957)
Over von Neumann’s
mentale capaciteiten
Anekdote: raadsel van
de vlieg
∎ Twee treinen staan op een afstand van 20 km van elkaar en rijden naar
elkaar toe, beide met een snelheid van 10 km /h. Een vlieg vliegt met
een snelheid van 15 km /h heen en weer tussen de treinen.
⇒ Welke afstand legt de vlieg af voordat hij geplet wordt?
Summing the infinite
series. . .
Invloed op het
wereldtoneel
Plan
Speltheorie
5 / 58
Anekdote: raadsel van de vlieg
Introductie
John von Neumann
(1903-1957)
Over von Neumann’s
mentale capaciteiten
Anekdote: raadsel van
de vlieg
∎ Twee treinen staan op een afstand van 20 km van elkaar en rijden naar
elkaar toe, beide met een snelheid van 10 km /h. Een vlieg vliegt met
een snelheid van 15 km /h heen en weer tussen de treinen.
⇒ Welke afstand legt de vlieg af voordat hij geplet wordt?
Summing the infinite
series. . .
Invloed op het
wereldtoneel
- “Trick”: Het duurt 1 uur voordat de treinen botsen en in 1 uur legt de
vlieg 15 km af.
Plan
Speltheorie
5 / 58
Anekdote: raadsel van de vlieg
Introductie
John von Neumann
(1903-1957)
Over von Neumann’s
mentale capaciteiten
Anekdote: raadsel van
de vlieg
∎ Twee treinen staan op een afstand van 20 km van elkaar en rijden naar
elkaar toe, beide met een snelheid van 10 km /h. Een vlieg vliegt met
een snelheid van 15 km /h heen en weer tussen de treinen.
⇒ Welke afstand legt de vlieg af voordat hij geplet wordt?
Summing the infinite
series. . .
Invloed op het
wereldtoneel
- “Trick”: Het duurt 1 uur voordat de treinen botsen en in 1 uur legt de
vlieg 15 km af.
Plan
Speltheorie
- Op een feestje werd JvN het raadsel van de vlieg voorgelegd, na een
minuut in de lucht staren gaf hij het correcte antwoord.
- Ahh, you know the trick . . .
- JvN: what trick? I just summed the infinite series.
5 / 58
Summing the infinite series. . .
Introductie
John von Neumann
(1903-1957)
Over von Neumann’s
mentale capaciteiten
Anekdote: raadsel van
de vlieg
Summing the infinite
series. . .
Invloed op het
wereldtoneel
Plan
Speltheorie
∎ Twee treinen staan op een afstand van 20 km van elkaar en rijden naar
elkaar toe, beide met een snelheid van 10 km /h. Een vlieg vliegt met
een snelheid van 15 km /h heen en weer tussen de treinen.
⇒ Welke afstand legt de vlieg af voordat hij geplet wordt?
- an : afstand tussen treinen aan begin van “vlucht” n.
- tn : tijd benodigd voor vlucht n.
tn =
- vn : afgelegde afstand op vlucht n.
an
(15+10)
=
(a1 = 20 km)
an
25 uur.
vn = 15 ⋅ tn = 53 an km
∞ 3
v
=
⇒ ∑∞
∑
n
n=1 5 an
n=1
- an+1 = an − (10 + 10) ⋅ a25n .
3
⇒ ∑∞
n=1 5 an =
3
5
an+1 =
⋅ 20 ⋅ (1 + 51 +
1
52
a1
5n
=
20
5n
+ . . .)
1
= 54
- Geometrische rij met rede r = 51 en begin 1. Som = 1−r
⇒ De vlieg legt in totaal
3
5
⋅ 20 ⋅
5
4
= 15 km af.
6 / 58
Introductie
John von Neumann
(1903-1957)
Over von Neumann’s
mentale capaciteiten
Anekdote: raadsel van
de vlieg
Summing the infinite
series. . .
Invloed op het
wereldtoneel
∎ Geboren in Boedapest waar hij op 23 jarige leeftijd promoveerde
(verzamelingenleer). Doceerde in Berlijn (1927-1929) en Hamburg
(1929-1930) maar vanwege Joodse afkomst naar Princeton.
Zeer belangrijke bijdragen aan diverse velden in zuivere wiskunde:
verzamelingenleer, meetkunde, ergodische theorie, maattheorie,
operatoren theorie, tralietheorie, lineair programmeren, statistiek.
Plan
Speltheorie
Over zijn werk in ergodische theorie: “if von Neumann had never done anything
else, they would have been sufficient to guarantee him mathematical
immortality” (P.Halmos)
∎ Maar ook op zeer veel gebieden van meer toegepaste wiskunde:
quantum mechanica, speltheorie, wiskundige economie, vloeistof
dynamica, weermodellen, computerwetenschap.
- “many mathematicians had developed methods useful to economists, but that
von Neumann was unique in having made significant contributions to economic
theory itself.” (P. Samuelson*)
7 / 58
Invloed op het wereldtoneel
Introductie
John von Neumann
(1903-1957)
Over von Neumann’s
mentale capaciteiten
Anekdote: raadsel van
de vlieg
Summing the infinite
series. . .
Invloed op het
wereldtoneel
Plan
Speltheorie
∎ Na WOII: consultant voor de CIA, de United States Army, de RAND
Corporation, Standard Oil, IBM en anderen.
∎ Betrokken bij het Manhattan Project (o.a. Feynmann, Oppenheimer,
Teller en vele andere)
- Ontwikkeling technieken voor ontsteking atoombom.
- Ontwikkeling computer (+ simulaties) om impact van inslagen te
bepalen.
- Lid van commissie die verantwoordelijk was voor keuze Hiroshima an
Nagasaki als doelen voor atoombom.
∎ Na WOII: rol in koude oorlog (ontwikkeling waterstofbom, H-bom) en
voorstander van pre-emptive strike op Rusland.
8 / 58
Plan
Introductie
John von Neumann
(1903-1957)
Over von Neumann’s
mentale capaciteiten
Anekdote: raadsel van
de vlieg
∎ Een bespreking van JvN’s contributies aan de speltheorie.
- Tekst van Hurwicz: book review van Theory of Games and Economic
Behavior (vN en Morgenstern, 1947).
Summing the infinite
series. . .
Invloed op het
wereldtoneel
Plan
Speltheorie
9 / 58
Introductie
Speltheorie
Conflicterende
belangen
Belangrijkste
contributies van JvN in
speltheorie
Utility
De St. Petersburg
paradox
Speltheorie
Oplossing St
Petersburg paradox?
Von
Neumann-Morgenstern
utility
Axioma 1: Voorkeuren
over alternatieven zijn
transitief en volledig
Axioma 2: Reductie
van samgenstelde
loterijen
Axioma 3: loterij
alternatieven
Axioma 4: substitutie
Axioma 5:
monotoniciteit
Axioma 6: transitieve
voorkeuren over
loterijen
10 / 58
Conflicterende belangen
Introductie
Speltheorie
Conflicterende
belangen
Belangrijkste
contributies van JvN in
speltheorie
Utility
De St. Petersburg
paradox
Oplossing St
Petersburg paradox?
Von
Neumann-Morgenstern
utility
Axioma 1: Voorkeuren
over alternatieven zijn
transitief en volledig
Axioma 2: Reductie
van samgenstelde
loterijen
Axioma 3: loterij
alternatieven
Axioma 4: substitutie
Axioma 5:
monotoniciteit
Axioma 6: transitieve
voorkeuren over
loterijen
∎ Speltheorie bestudeert situaties waarin individuen / instituties (spelers)
conflicterende belangen hebben.
- De spelers kunnen verschillende beslssingen nemen en het totaal van
de genomen beslissingen bepaalt de uitkomst van de situatie.
- Economische situaties / oorlog / tradtionele spelen zoals poker /schaken
etc.
∎ De spelers hebben conflicterende voorkeuren over de uitkomst en
moeten bij het nemen van beslissingen rekening houden met de
(mogelijke) beslissingen van de andere spelers. Een idealiserende
aanname is dat alle spelers “rationeel” zijn.
∎ “we wish to find the mathematically complete principles which define “rational
behavior” for the participants in a social economy, and to derive from them the
general characteristics of that behavior. And while the principles ought to be
perfectly general—i.e. valid in all situations—we may be satisfied if we can find
solutions, for the moment, only in some characteristic special cases.”
11 / 58
Belangrijkste contributies van JvN in speltheorie
Introductie
Speltheorie
Conflicterende
belangen
Belangrijkste
contributies van JvN in
speltheorie
Utility
De St. Petersburg
paradox
Oplossing St
Petersburg paradox?
Von
Neumann-Morgenstern
utility
Axioma 1: Voorkeuren
over alternatieven zijn
transitief en volledig
Axioma 2: Reductie
van samgenstelde
loterijen
Axioma 3: loterij
alternatieven
Axioma 4: substitutie
- Axiomatische karakterisering van nut (utility).
- Precieze definitie van spelen in uitgebreide en strategische vorm.
Reductie van spelen in uitgebreide vorm tot strategische vorm.
- Eerste bewijs van het bestaan van evenwichten in twee speler nulsom
spelen. (Minimax theorema)
- Definitie en studie van (transferable utility) coöperatieve spelen.
⇒ In een notendop: grondlegger van de speltheorie.
∎ Een paper en een boek:
- Zur Theorie der Gesellschaftsspiele. (1928)
- Theory of games and economic behavior (met O. Morgenstern) (1944)
Axioma 5:
monotoniciteit
Axioma 6: transitieve
voorkeuren over
loterijen
12 / 58
Utility
Introductie
Speltheorie
Conflicterende
belangen
Belangrijkste
contributies van JvN in
speltheorie
Utility
De St. Petersburg
paradox
Oplossing St
Petersburg paradox?
Von
Neumann-Morgenstern
utility
Axioma 1: Voorkeuren
over alternatieven zijn
transitief en volledig
Axioma 2: Reductie
van samgenstelde
loterijen
Axioma 3: loterij
alternatieven
∎ In speltheorie zoekt men naar methoden volgens welke een speler het
“gunstigste resultaat” kan behalen.
∎ In zijn [1928] identificeerde JvN “gunstigste resultaat” met het resultaat
dat de verwachte uitbetaling maximaliseert.
∎ U heeft 100E te besteden:
A levert met kans 0.8 80E op en met kans 0.2 200E.
Verwachte uitbetaling: 104E
B levert met kans 0.6 90E op en met kans 0.4 140E.
Verwachte uitbetaling: 110E
⇒ U prefereert B boven A en A boven niet investeren.
∎ Voorkeuren gedefinieerd in termen van hoogste verwachte uitbetaling.
Axioma 4: substitutie
Axioma 5:
monotoniciteit
Axioma 6: transitieve
voorkeuren over
loterijen
- Problematisch, zoals bekend bij JvN [1928]. “Opgelost” door JvN [1944]
13 / 58
De St. Petersburg paradox
Introductie
Speltheorie
Conflicterende
belangen
Belangrijkste
contributies van JvN in
speltheorie
Utility
De St. Petersburg
paradox
Oplossing St
Petersburg paradox?
Von
Neumann-Morgenstern
utility
Axioma 1: Voorkeuren
over alternatieven zijn
transitief en volledig
Axioma 2: Reductie
van samgenstelde
loterijen
Axioma 3: loterij
alternatieven
Axioma 4: substitutie
Axioma 5:
monotoniciteit
Axioma 6: transitieve
voorkeuren over
loterijen
⇒ Hoeveel wilt u betalen om deel te nemen aan het volgende kansspel?
- Het casino legt 1 euro in de pot, waarna u net zo lang met een (eerlijke)
munt gooit tot de uitkomst “munt” is. Op dat moment wint u de inhoud
van de pot en het spel is afgelopen. Is de uitkomst “kop”, dan verdubbelt
het casino de inhoud van de pot en gaat u verder met gooien.
Uitbetaling
4
P (n)
1/2
1/4
1/8
1/16
...
...
...
n
1
2
3
1
2
4
8
∎ Verwachte uitbetaling: 21
+
1
2
+ 12 + . . . = ∞
⇒ Dus u bent bereid elk bedrag te betalen om deel te nemen.
∎ Kans op uitbetaling > 1000 is kleiner dan 1 op 1000.
14 / 58
Oplossing St Petersburg paradox?
Introductie
Speltheorie
Conflicterende
belangen
Belangrijkste
contributies van JvN in
speltheorie
Utility
De St. Petersburg
paradox
Oplossing St
Petersburg paradox?
Von
Neumann-Morgenstern
utility
Axioma 1: Voorkeuren
over alternatieven zijn
transitief en volledig
Axioma 2: Reductie
van samgenstelde
loterijen
Axioma 3: loterij
alternatieven
Axioma 4: substitutie
Axioma 5:
monotoniciteit
Axioma 6: transitieve
voorkeuren over
loterijen
∎ Bernoulli: voorkeuren worden niet bepaald door verwachting van
geldelijke uitbetaling, maar door verwachting van “intrinsieke waarde”
(nut) van geldelijke uitbetaling.
∎ Nut U (x) dat ontleend wordt aan een geldbedrag x is stijgend in x
maar “stijgt steeds minder hard naarmate x groter wordt”.
⇒ De nutsfunctie U (x) is een concave functie.
∎ Bernoulli:
U (x) = log(x)
Verwachte nut van ons kansspel wordt dan:
1
1
1
log(1)
+
log(2)
+
2
4
8 log(4) + . . .
<∞
∎ Dit lost de St. Petersburg paradox op, maar:
√
- Ad hoc: waarom niet U (x) = x of een andere concave functie.
- Waarom voorkeuren bepaald door verwacht nut? In the long run . . .
Misschien voor het casino, maar niet voor individuele gokker.
15 / 58
Von Neumann-Morgenstern utility
Introductie
Speltheorie
Conflicterende
belangen
Belangrijkste
contributies van JvN in
speltheorie
Utility
De St. Petersburg
paradox
Oplossing St
Petersburg paradox?
Von
Neumann-Morgenstern
utility
Axioma 1: Voorkeuren
over alternatieven zijn
transitief en volledig
Axioma 2: Reductie
van samgenstelde
loterijen
Axioma 3: loterij
alternatieven
Axioma 4: substitutie
Axioma 5:
monotoniciteit
Axioma 6: transitieve
voorkeuren over
loterijen
∎ “Nut wordt (operationeel) gedefinieerd op basis van (consistente)
voorkeuren.”
- Als een agent consistente voorkeuren heeft over
een verzameling alternatieven Alt = {A1 , . . . An } en over
alle loterijen gedefinieerd over Alt,
dan is er een nutsfunctie U ∶ Alt → R, zodanig dat
(de verwachte waarde) van U de voorkeuren van de agent reflecteert:
Voor alternatieven: Als Ai ⪰ Aj dan U (Ai ) ≥ U (Aj )
Voor loterijen: Als Li ⪰ Lj dan EU (Li ) ≥ EU (Lj )
∎ Een agent die zijn verwachte nut maximaliseert handelt dus in
overeenstemming met zijn (consistente) voorkeuren. (geen long run . . . )
⇒ JvN geeft een zestal axioma’s die vastleggen wanneer voorkeuren
consistent zijn.
16 / 58
Axioma 1: Voorkeuren over alternatieven zijn transitief en
volledig
Introductie
Speltheorie
Conflicterende
belangen
Belangrijkste
contributies van JvN in
speltheorie
∎ Drie alternatieven:
K (offie), T (hee) en C (ola).
- Voorkeuren over alternatieven representeren door getallen.
- Stel K ≻ T , T ≻ C , C ≻ K .
Utility
De St. Petersburg
paradox
Oplossing St
Petersburg paradox?
Von
Neumann-Morgenstern
utility
Axioma 1: Voorkeuren
over alternatieven zijn
transitief en volledig
Axioma 2: Reductie
van samgenstelde
loterijen
Axioma 3: loterij
alternatieven
Axioma 4: substitutie
Axioma 5:
monotoniciteit
Axioma 6: transitieve
voorkeuren over
loterijen
17 / 58
Axioma 1: Voorkeuren over alternatieven zijn transitief en
volledig
Introductie
Speltheorie
Conflicterende
belangen
Belangrijkste
contributies van JvN in
speltheorie
Utility
De St. Petersburg
paradox
Oplossing St
Petersburg paradox?
Von
Neumann-Morgenstern
utility
Axioma 1: Voorkeuren
over alternatieven zijn
transitief en volledig
Axioma 2: Reductie
van samgenstelde
loterijen
Axioma 3: loterij
alternatieven
Axioma 4: substitutie
∎ Drie alternatieven:
K (offie), T (hee) en C (ola).
- Voorkeuren over alternatieven representeren door getallen.
- Stel K ≻ T , T ≻ C , C ≻ K .
We zoeken getallen om deze voorkeuren te representeren, d.w.z.:
U (K) > U (T ) > U (C) > U (K) !?
∎ Axioma 1. Voorkeuren over alternatieven zijn:
Transitief: X ⪰ Y, Y ⪰ Z ⇒ X ⪰ Z
Volledig: X ≻ Y of Y ≻ X of X ≈ Y .
- Transitiviteit is noodzakelijk voor getalsrepresentatie, maar lijkt ook
intuı̈tief plausibel.
Axioma 5:
monotoniciteit
Axioma 6: transitieve
voorkeuren over
loterijen
17 / 58
Axioma 2: Reductie van samgenstelde loterijen
Introductie
Speltheorie
Conflicterende
belangen
Belangrijkste
contributies van JvN in
speltheorie
Utility
De St. Petersburg
paradox
∎ Een simple loterij is een kansverdeling over Alt = {K, T, C}:
L1 = [1/3K, 0T, 2/3C],
∎ Een samengestelde loterij is (uiteindelijk) opgebouwd uit simpele
loterijen:
Oplossing St
Petersburg paradox?
L = [1/2L1 , 1/2L2 ]
Von
Neumann-Morgenstern
utility
Axioma 1: Voorkeuren
over alternatieven zijn
transitief en volledig
Axioma 2: Reductie
van samgenstelde
loterijen
L
1/2
L1
1/3
2/3
Axioma 3: loterij
alternatieven
K
Axioma 4: substitutie
Axioma 5:
monotoniciteit
Axioma 6: transitieve
voorkeuren over
loterijen
L2 = [0K, 1/4T, 3/4C]
∎ Simple reductie van L:
C
1/2
1/4
T
L2
3/4
C
L∗ = [4/24K, 3/24T, 17/24C]
18 / 58
Axioma 2: Reductie van samgenstelde loterijen
Introductie
Speltheorie
Conflicterende
belangen
Belangrijkste
contributies van JvN in
speltheorie
Utility
De St. Petersburg
paradox
∎ Een simple loterij is een kansverdeling over Alt = {K, T, C}:
L1 = [1/3K, 0T, 2/3C],
∎ Een samengestelde loterij is (uiteindelijk) opgebouwd uit simpele
loterijen:
Oplossing St
Petersburg paradox?
L = [1/2L1 , 1/2L2 ]
Von
Neumann-Morgenstern
utility
Axioma 1: Voorkeuren
over alternatieven zijn
transitief en volledig
Axioma 2: Reductie
van samgenstelde
loterijen
L
1/2
L1
1/3
2/3
Axioma 3: loterij
alternatieven
K
Axioma 4: substitutie
Axioma 5:
monotoniciteit
Axioma 6: transitieve
voorkeuren over
loterijen
L2 = [0K, 1/4T, 3/4C]
∎ Simple reductie van L:
C
1/2
1/4
T
L2
3/4
C
L∗ = [4/24K, 3/24T, 17/24C]
Axioma 2 Voor alle samengestelde L: L ≈ L∗ .
18 / 58
Axioma 3: loterij alternatieven
Introductie
Speltheorie
Conflicterende
belangen
Belangrijkste
contributies van JvN in
speltheorie
Utility
De St. Petersburg
paradox
Oplossing St
Petersburg paradox?
Von
Neumann-Morgenstern
utility
Axioma 1: Voorkeuren
over alternatieven zijn
transitief en volledig
Axioma 2: Reductie
van samgenstelde
loterijen
Axioma 3: loterij
alternatieven
Axioma 4: substitutie
Axioma 5:
monotoniciteit
Axioma 6: transitieve
voorkeuren over
loterijen
∎ Stel Alt
= {K, T, C} en K ≻ T ≻ C
Geen info over sterkte voorkeur maar:
∎ “Plaats T op een K
K T
K
T
− C schaal”. Bijvoorbeeld:
C
of
C
- L = [pK, (1 − p)C]. Voor welke p: T ≈ L?
- Sterke (zwakke) voorkeur voor T t.o.v C : hoge (lage) waarde voor p
⇒ preferenties over loterijen geven een impliciete maat voor sterkte
voorkeuren.
∎ Maar kunnen we altijd zo’n p vinden waarvoor T
≈ L?
Axioma 3 Laast B + een beste en S − een slechtste alternatief zijn.
Voor elk alternatief A is er een p z.d.d. A ≈ LA = [pB + , (1 − p)S − ]
∎ We noemen de loterij L
het loterij alternatief van A
19 / 58
Axioma 4: substitutie
Introductie
Speltheorie
Conflicterende
belangen
Belangrijkste
contributies van JvN in
speltheorie
Utility
De St. Petersburg
paradox
Oplossing St
Petersburg paradox?
Von
Neumann-Morgenstern
utility
Axioma 1: Voorkeuren
over alternatieven zijn
transitief en volledig
∎
Alt = {K, T, C} en K ≻ T ≻ C
- Stel dat het loterij alternatief voor thee als volgt is: LT = [0.9K, 0.1C]
⇒ Een sterke voorkeur voor thee boven cola.
∎ Laat L1
= [0.1K, 0.2T, 0.7C] een simpele loterij zijn.
- Dan is L2 = [0.1K, 0.2LT , 0.7C], verkregen door in L1 T te
substitueren voor zijn loterij alternatief LT , een samengestelde loterij.
∎ Prefeert u L1 of L2 ?
Axioma 2: Reductie
van samgenstelde
loterijen
Axioma 3: loterij
alternatieven
Axioma 4: substitutie
Axioma 5:
monotoniciteit
Axioma 6: transitieve
voorkeuren over
loterijen
20 / 58
Axioma 4: substitutie
Introductie
Speltheorie
Conflicterende
belangen
Belangrijkste
contributies van JvN in
speltheorie
Utility
De St. Petersburg
paradox
Oplossing St
Petersburg paradox?
Von
Neumann-Morgenstern
utility
Axioma 1: Voorkeuren
over alternatieven zijn
transitief en volledig
Axioma 2: Reductie
van samgenstelde
loterijen
Axioma 3: loterij
alternatieven
∎
Alt = {K, T, C} en K ≻ T ≻ C
- Stel dat het loterij alternatief voor thee als volgt is: LT = [0.9K, 0.1C]
⇒ Een sterke voorkeur voor thee boven cola.
∎ Laat L1
= [0.1K, 0.2T, 0.7C] een simpele loterij zijn.
- Dan is L2 = [0.1K, 0.2LT , 0.7C], verkregen door in L1 T te
substitueren voor zijn loterij alternatief LT , een samengestelde loterij.
∎ Prefeert u L1 of L2 ?
Axioma 4 Laat L1 een loterij zijn en laat L2 een (samengestelde) loterij
zijn die verkregen wordt door een alternatief A in L1 te vervangen door
zijn loterij alternatief LA . Dan: L1 ≈ L2 .
Axioma 4: substitutie
Axioma 5:
monotoniciteit
Axioma 6: transitieve
voorkeuren over
loterijen
20 / 58
Axioma 5: monotoniciteit
Introductie
Speltheorie
Conflicterende
belangen
Belangrijkste
contributies van JvN in
speltheorie
∎ Stel Alt
= {K, T, C} en K ≻ T ≻ C
- L1 = [ 32 K, 13 C],
L2 = [ 43 K, 14 C]
Utility
De St. Petersburg
paradox
Oplossing St
Petersburg paradox?
Von
Neumann-Morgenstern
utility
Axioma 1: Voorkeuren
over alternatieven zijn
transitief en volledig
Axioma 2: Reductie
van samgenstelde
loterijen
Axioma 3: loterij
alternatieven
Axioma 4: substitutie
Axioma 5:
monotoniciteit
Axioma 6: transitieve
voorkeuren over
loterijen
21 / 58
Axioma 5: monotoniciteit
Introductie
Speltheorie
Conflicterende
belangen
Belangrijkste
contributies van JvN in
speltheorie
Utility
De St. Petersburg
paradox
Oplossing St
Petersburg paradox?
Von
Neumann-Morgenstern
utility
Axioma 1: Voorkeuren
over alternatieven zijn
transitief en volledig
Axioma 2: Reductie
van samgenstelde
loterijen
Axioma 3: loterij
alternatieven
∎ Stel Alt
= {K, T, C} en K ≻ T ≻ C
- L1 = [ 32 K, 13 C],
L2 = [ 43 K, 14 C]
- Stel L1 ≻ L2 . We willen deze voorkeur representeren door verwachte
waarde: EU (L1 ) > EU (L2 ), ofwel
2/3 ⋅ U (K) + 1/3 ⋅ U (C) > 3/4 ⋅ U (K) + 1/4 ⋅ U (C)
(1)
- Omdat K ≻ C moeten we ook hebben U (K) > U (C): er zijn geen
getallen U (K), U (C) die aan (1) voldoen.
Axioma 5 Laat L1 = [pB + , (1 − p)S − ] en L2 = [qB + , (1 − q)S − ].
We hebben dat L1 ⪰ L2 dan en slechts dan als p ≥ q .
Axioma 4: substitutie
Axioma 5:
monotoniciteit
Axioma 6: transitieve
voorkeuren over
loterijen
21 / 58
Axioma 6: transitieve voorkeuren over loterijen
Introductie
Speltheorie
Conflicterende
belangen
Belangrijkste
contributies van JvN in
speltheorie
Utility
∎ Axioma 6 De voorkeursrelatie over loterijen is transitief. D.w.z, als L1 ,
L2 en L3 loterijen zijn dan geldt:
Als L1 ⪰ L2 en L2 ⪰ L3 dan L1 ⪰ L3 .
∎ Is de relatie volledig? Dit kun je bewijzen uit andere axioma’s.
De St. Petersburg
paradox
Oplossing St
Petersburg paradox?
Von
Neumann-Morgenstern
utility
Axioma 1: Voorkeuren
over alternatieven zijn
transitief en volledig
Axioma 2: Reductie
van samgenstelde
loterijen
Axioma 3: loterij
alternatieven
Axioma 4: substitutie
Axioma 5:
monotoniciteit
Axioma 6: transitieve
voorkeuren over
loterijen
22 / 58
Consistente voorkeuren en de von Neumann Morgenstern
axioma’s
Introductie
Een agent heeft consistente voorkeuren over alternatieven en loterijen
als zijn voorkeuren voldoen aan de vN-M axioma’s:
Speltheorie
Conflicterende
belangen
Belangrijkste
contributies van JvN in
speltheorie
Axioma 1 De voorkeuren over de alternativen zijn transitief en volledig.
Utility
Axioma 2 De agent is indifferent tussen een samengestelde loterij L en de
simpele reductie L∗ van L.
De St. Petersburg
paradox
Oplossing St
Petersburg paradox?
Axioma 3 Ieder alternatief A heeft een loterij alternatief LA
Von
Neumann-Morgenstern
utility
Axioma 4 Wanneer we in een simple loterij L1 een alternatief A vervangen door
zijn loterij alternatief LA en zo een samengestelde loterij L2 verkrijgen,
Axioma 2: Reductie
dan is de agent indifferent tussen L1 en L2 .
Axioma 1: Voorkeuren
over alternatieven zijn
transitief en volledig
van samgenstelde
loterijen
Axioma 5 Voor twee simpele loterijen met als uitkomsten het beste en slechtste
alternatief geldt dat de agent die loterij prefereert met de grootste kans
Axioma 4: substitutie
Axioma 5:
op het beste alternatief.
monotoniciteit
Axioma 3: loterij
alternatieven
Axioma 6: transitieve
voorkeuren over
loterijen
Axioma 6 Voorkeuren over simpele loterijen zijn transitief.
23 / 58
Von Neumann-Morgenstern Utility stelling
Introductie
Speltheorie
Conflicterende
belangen
Belangrijkste
contributies van JvN in
speltheorie
Utility
De St. Petersburg
paradox
Oplossing St
Petersburg paradox?
Von
Neumann-Morgenstern
utility
Axioma 1: Voorkeuren
over alternatieven zijn
transitief en volledig
Axioma 2: Reductie
van samgenstelde
loterijen
Axioma 3: loterij
alternatieven
Axioma 4: substitutie
Axioma 5:
monotoniciteit
Axioma 6: transitieve
voorkeuren over
loterijen
∎ Als een agent consistente voorkeuren over alternatieven Alt en loterijen
heeft dan is er een nutsfunctie U ∶ Alt → R z.d.d. U de voorkeuren van
deze agent representeert:
Ai ⪰ Aj ⇐⇒ U (Ai ) ≥ U (Aj )
Laat L1 = [p1 A1 , . . . , pn An ] en L2 = [q1 A1 , . . . , qn An ]:
L1 ⪰ L2 ⇐⇒ ∑i pi U (Ai ) ≥ ∑i qi U (Ai )
∎ I.h.b. wordt een voorkeur repr. nutsfunctie U ⋆ als volgt verkregen
Als B + een beste alternatief is: U ⋆ (B + ) = 1
Als S − een slechtste alternatief is: U ⋆ (S − ) = 0
Als Ai een ander alternatief is met loterij alternatief
LA = [pi B + , (1 − pi )S − ] dan: U ⋆ (Ai ) = pi
∎ Op een positieve lineaire transformatie na is U ⋆ uniek:
U is een voorkeur representerende nutsfunctie ⇐⇒
U = aU ⋆ + b met a > 0.
24 / 58
Een voorbeeld (1)
Introductie
Speltheorie
Conflicterende
belangen
∎
Alt = {K, T, C, M }, K ≻ T ≻ C ≻ M (elk).
∎
L1 = [0.25K, 0.25T, 0.25C, 0.25M ],
L2 = [0.15K, 0.5T, 0.15C, 0.2M ]
Belangrijkste
contributies van JvN in
speltheorie
Utility
De St. Petersburg
paradox
Oplossing St
Petersburg paradox?
Von
Neumann-Morgenstern
utility
Axioma 1: Voorkeuren
over alternatieven zijn
transitief en volledig
∎ Welke loterij wordt geprefereerd?
⇒ Vraag naar loterij alternatief van T en C Axioma 3
Stel T ≈ LT = [0.6K, 0.4M ] en C ≈ LC = [0.2K, 0.8M ]
∎ Gebruik makend van de stelling:
U ⋆ (K) = 1, U ⋆ (T ) = 0.6, U ⋆ (C) = 0.2, U ⋆ (C) = 0
EU ⋆ (L1 ) = 0.25 ⋅ 1 + 0.25 ⋅ 0.6 + 0.25 ⋅ 0.2 + 0.25 ⋅ 0 = 0.45
EU ⋆ (L2 ) = 0.15 ⋅ 1 + 0.5 ⋅ .6 + 0.15 ⋅ 0.2 + 0.2 ⋅ 0 = 0.48
Axioma 2: Reductie
van samgenstelde
loterijen
Axioma 3: loterij
alternatieven
Axioma 4: substitutie
Axioma 5:
monotoniciteit
Axioma 6: transitieve
voorkeuren over
loterijen
Axioma 1
∎
EU ⋆ (L2 ) > EU ⋆ (L1 ) en dus L2 ≻ L1
∎ Het is interessanter om te zien hoe voorkeur tussen twee loterijen uit de
axioma’s volgt. . .
25 / 58
Een voorbeeld (2)
Introductie
Speltheorie
Conflicterende
belangen
∎
Alt = {K, T, C, M }, K ≻ T ≻ C ≻ M
∎
T ≈ LT = [0.6K, 0.4M ] en C ≈ LC = [0.2K, 0.8M ] Ax. 3
Belangrijkste
contributies van JvN in
speltheorie
L1 = [0.25K, 0.25T, 0.25C, 0.25M ],
L2 = [0.15K, 0.5T, 0.15C, 0.2M ]
Utility
De St. Petersburg
paradox
L3 = [0.25K, 0.25[0.6K, 0.4M ], 0.25C, 0.25M ]
L4 = [0.25K, 0.25[0.6K, 0.4M ], 0.25[0.2K, 0.8M ], 0.25M ]
Oplossing St
Petersburg paradox?
Von
Neumann-Morgenstern
utility
Axioma 1: Voorkeuren
over alternatieven zijn
transitief en volledig
Axioma 2: Reductie
van samgenstelde
loterijen
Axioma 3: loterij
alternatieven
Axioma 4: substitutie
Axioma 5:
monotoniciteit
Axioma 6: transitieve
voorkeuren over
loterijen
Ax. 1
∎
L1 ≈ L3
∎
L4 ≈ [0.45K, 0.65M ] Ax. 2
∎
L1 ≈ [0.45K, 0.65M ] Ax. 6
Ax. 4
∎ Op gelijke wijze:
∎ En dus L2
≻ L1
L3 ≈ L4
Ax. 4
L1 ≈ L4
Ax. 6
L2 ≈ [0.48K, 0.52M ]
Ax. 5
26 / 58
Spelen in uitgebreide vorm
Introductie
Speltheorie
Conflicterende
belangen
Belangrijkste
contributies van JvN in
speltheorie
Utility
De St. Petersburg
paradox
Oplossing St
Petersburg paradox?
Von
Neumann-Morgenstern
utility
Axioma 1: Voorkeuren
over alternatieven zijn
transitief en volledig
Axioma 2: Reductie
van samgenstelde
loterijen
Axioma 3: loterij
alternatieven
Axioma 4: substitutie
Axioma 5:
monotoniciteit
Axioma 6: transitieve
voorkeuren over
loterijen
∎ Een spel in uitgebreide vorm wordt vastgelegd door:
- Verzameling van spelers : {P1 , . . . Pn }
- Welke speler wanneer aan de beurt is en wat dan zijn mogelijke acties
zijn. (spelboom)
- Wat de spelers weten over het voorgaande spelverloop wanneer zij aan
de beurt zijn. (informatie verzameling)
- Payoffs (utilities) behorende bij elke uitkomst van het spel die
verkregen wordt als gevolg van de gekozen acties.
∎ Deze ingredienten kunnen wiskundig precies gemaakt worden (JvN); wij
zullen volstaan met illustraties van spelen in uitgebreide vorm.
∎ We onderscheiden spelen met perfecte en imperfecte informatie.
27 / 58
Spel met perfecte informatie
Introductie
P1
Speltheorie
Conflicterende
belangen
Belangrijkste
contributies van JvN in
speltheorie
A
B
Utility
De St. Petersburg
paradox
P2
P2
Oplossing St
Petersburg paradox?
Von
Neumann-Morgenstern
utility
L1
R1
L2
R2
Axioma 1: Voorkeuren
over alternatieven zijn
transitief en volledig
Axioma 2: Reductie
van samgenstelde
loterijen
Axioma 3: loterij
alternatieven
Axioma 4: substitutie
Axioma 5:
monotoniciteit
Axioma 6: transitieve
voorkeuren over
loterijen
(1, 0)
(0, 1)
(3, 2)
(1, 2)
∎ In een spel met imperfecte informatie weten alle spelers op elk moment
precies welke keuzen de (andere) spelers gemaakt hebben: alle
informatie verzamelingen (gestippelde circels) bestaan uit enkele
punten.
28 / 58
Spel met imperfecte informatie
Introductie
P1
Speltheorie
Conflicterende
belangen
Belangrijkste
contributies van JvN in
speltheorie
A
B
Utility
De St. Petersburg
paradox
P2
Oplossing St
Petersburg paradox?
Von
Neumann-Morgenstern
utility
L
R
L
R
Axioma 1: Voorkeuren
over alternatieven zijn
transitief en volledig
Axioma 2: Reductie
van samgenstelde
loterijen
Axioma 3: loterij
alternatieven
Axioma 4: substitutie
(1, 0)
(0, 1)
(3, 2)
(1, 2)
∎ Speler 2 weet niet of speler 1 A of B gekozen heeft: zijn informatie
verzameling bestaat uit 2 punten.
Axioma 5:
monotoniciteit
Axioma 6: transitieve
voorkeuren over
loterijen
29 / 58
De analyse van een spel
Introductie
Speltheorie
Conflicterende
belangen
Belangrijkste
contributies van JvN in
speltheorie
Utility
De St. Petersburg
paradox
Oplossing St
Petersburg paradox?
Von
Neumann-Morgenstern
utility
Axioma 1: Voorkeuren
over alternatieven zijn
transitief en volledig
∎ Rationale spelers willen hun (verwachte) nut maximaliseren.
Nutsmaximalisatie onder de aanname dat:
- Alle spelers zijn volledig op de hoogte van het spel: spelboom,
spelersverzameling, informatiepartitie en elkaars nutsfuncties.
∎ Een (zuivere) strategie voor een speler specificeert voor elk van zijn
informatie verzamelingen precies 1 actie.
∎ Centrale vraag: Welke strategie moet een speler spelen om zijn
verwachte nut te maximaliseren?
Axioma 2: Reductie
van samgenstelde
loterijen
Axioma 3: loterij
alternatieven
Axioma 4: substitutie
Axioma 5:
monotoniciteit
Axioma 6: transitieve
voorkeuren over
loterijen
30 / 58
Beslissen in een spel met perfecte informatie
Introductie
P1
Speltheorie
Conflicterende
belangen
Belangrijkste
contributies van JvN in
speltheorie
A
B
Utility
De St. Petersburg
paradox
P2
P2
Oplossing St
Petersburg paradox?
Von
Neumann-Morgenstern
utility
L1
R1
L2
R2
Axioma 1: Voorkeuren
over alternatieven zijn
transitief en volledig
Axioma 2: Reductie
van samgenstelde
loterijen
Axioma 3: loterij
alternatieven
Axioma 4: substitutie
Axioma 5:
monotoniciteit
Axioma 6: transitieve
voorkeuren over
loterijen
(1, 0)
∎
(0, 1)
(3, 2)
(1, 1)
P2 zal strategie R1 L2 kiezen.
P1 weet dit en zal dus strategie B kiezen.
- Nutsmaximalisatie via B (voor P1 ) en R1 L2 (voor P2 ).
We maken hierbij gebruik van backwards induction.
31 / 58
Evenwicht
Introductie
∎ De strategieën B en R1 L2 vormen een evenwicht:
Speltheorie
Conflicterende
belangen
- Gegeven dat P1 strategie B speelt is er geen strategie voor P2 die
beter is dan R1 L2 .
Belangrijkste
contributies van JvN in
speltheorie
Utility
- Gegeven dat P2 strategie R1 L2 speelt is er geen strategie voor P1 die
beter is dan B .
De St. Petersburg
paradox
Oplossing St
Petersburg paradox?
Von
Neumann-Morgenstern
utility
Axioma 1: Voorkeuren
over alternatieven zijn
transitief en volledig
Axioma 2: Reductie
van samgenstelde
loterijen
Axioma 3: loterij
alternatieven
Axioma 4: substitutie
Axioma 5:
monotoniciteit
Axioma 6: transitieve
voorkeuren over
loterijen
∎ Onder welke condities heeft een spel een evenwicht?
⇒ Von Neumann-Morgenstern: Voor spelen met perfecte informatie levert
backwards inductie (“werk terug en selecteer op elk punt een beste
actie”) altijd een evenwicht (in zuiverse strat.) op.
Vraag: Maar hoe zit het met spelen met imperfecte informatie?
∎ JvN: Definite spel in strategische vorm. Reductie uitgebreide vorm tot
strategische vorm en (deels) beantwoording Vraag door (wiskundig
simpelere) strategische vorm te bestuderen.
32 / 58
Spelen in strategische vorm
Introductie
Speltheorie
Conflicterende
belangen
Belangrijkste
contributies van JvN in
speltheorie
∎ Een spel in strategische vorm bestaat uit:
- Een verzameling spelers {P1 , . . . Pn }
- Voor iedere speler Pi een eindige verzameling (zuivere) strategien Si
Utility
De St. Petersburg
paradox
Oplossing St
Petersburg paradox?
Von
Neumann-Morgenstern
utility
Axioma 1: Voorkeuren
over alternatieven zijn
transitief en volledig
Axioma 2: Reductie
van samgenstelde
loterijen
Axioma 3: loterij
alternatieven
Axioma 4: substitutie
Axioma 5:
monotoniciteit
Axioma 6: transitieve
voorkeuren over
loterijen
- Voor ieder strategie profiel (uitkomst) s ∈ S1 × . . . × Sn een uitkomst Os .
- Iedere speler heeft consistente voorkeuren (vN) over de uitkomsten (en
loterijen) zodat deze gerepresenteerd kunnen worden met een
nutsfunctie.
∎ Vn: Ieder spel in uitgebreide vorm kan op unieke wijze worden
gereduceerd tot spel in strategische vorm.
∎ Een (zuivere) strategie voor een speler in de normaal vorm bestaat uit
een specificatie van precies 1 actie voor ieder van zijn informatie
verzamelingen.
33 / 58
Voorbeeld reductie uitgebreide vorm tot normaal vorm
Introductie
P1
Speltheorie
Conflicterende
belangen
A
Belangrijkste
contributies van JvN in
speltheorie
B
P2
P2
Utility
De St. Petersburg
paradox
L1
R1
L2
R2
(1, 0)
(0, 1)
(3, 2)
(1, 1)
Oplossing St
Petersburg paradox?
Von
Neumann-Morgenstern
utility
Axioma 1: Voorkeuren
over alternatieven zijn
transitief en volledig
Axioma 2: Reductie
van samgenstelde
loterijen
A
B
L1 L2
L 1 R2
R1 L 2
R1 R2
(1,0)
(1,0)
(0, 1)
(0,1)
(3,2)
(1,1)
(3,2)
(1,1)
Axioma 3: loterij
alternatieven
Axioma 4: substitutie
Axioma 5:
monotoniciteit
Axioma 6: transitieve
voorkeuren over
loterijen
Als P1 strategie A speelt en P2 strategie L1 R2 dan is de uitbetaling
(1, 0): 1 voor P1 , 0 voor P2 .
34 / 58
2 speler 0-som spelen
Introductie
Speltheorie
Conflicterende
belangen
Belangrijkste
contributies van JvN in
speltheorie
Utility
De St. Petersburg
paradox
Oplossing St
Petersburg paradox?
Von
Neumann-Morgenstern
utility
∎ Eerst: 2 speler 0-som spelen (strict competetief)
- In zo’n spel hebben de 2 spelers “inverse preferenties” over loterijen en
uitkomsten. D.w.z voor alle loterijen L, L′ :
P1 prefereert L boven L′ ⇐⇒ P2 prefereert L′ boven L.
- In zo’n spel nutsfuncties van de 2 spelers op dusdanige wijze gekozen
worden dat voor iedere uitkomst O : U1 (O) + U2 (O) = 0
- Zo’n spel kunnen we als volgt in matrix vorm weergeven:
Axioma 1: Voorkeuren
over alternatieven zijn
transitief en volledig
Axioma 2: Reductie
van samgenstelde
loterijen
Axioma 3: loterij
alternatieven
Axioma 4: substitutie
Axioma 5:
monotoniciteit
Axioma 6: transitieve
voorkeuren over
loterijen
α1
α2
α3
α4
α5
β1
β2
β3
β4
18
0
5
16
9
3
3
4
4
3
0
8
5
2
0
2
20
5
25
20
(α1 , β1 ) : 18 voor P1 , -18 voor P2 .
35 / 58
Analyse 2 speler 0-som spelen (1)
Introductie
Speltheorie
α1
α2
α3
α4
α5
Conflicterende
belangen
Belangrijkste
contributies van JvN in
speltheorie
Utility
De St. Petersburg
paradox
Oplossing St
Petersburg paradox?
Von
Neumann-Morgenstern
utility
Axioma 1: Voorkeuren
over alternatieven zijn
transitief en volledig
Axioma 2: Reductie
van samgenstelde
loterijen
Axioma 3: loterij
alternatieven
Axioma 4: substitutie
Als P2 kiest voor
Dan is beste antwoord P1
Als P1 kiest voor
Dan is beste antwoord P2
β1
β2
β3
β4
18
0
5
16
9
3
3
4
4
3
0
8
5
2
0
2
20
5
25
20
β1
α1
α1
β3
β2
α3 of α4
β3
α2
β4
α4
α2
β1
α4
β3
α5
β3
α3
β2
Als de speler de strategie van hun opponent kennen is het duidelijk wat ze
moeten doen, maar. . .
Axioma 5:
monotoniciteit
Axioma 6: transitieve
voorkeuren over
loterijen
36 / 58
Analyse 2 speler 0-som spelen (2)
Introductie
Speltheorie
Conflicterende
belangen
Belangrijkste
contributies van JvN in
speltheorie
∎
Utility
De St. Petersburg
paradox
Oplossing St
Petersburg paradox?
Von
Neumann-Morgenstern
utility
Axioma 1: Voorkeuren
over alternatieven zijn
transitief en volledig
Axioma 2: Reductie
van samgenstelde
loterijen
Axioma 3: loterij
alternatieven
Axioma 4: substitutie
Axioma 5:
monotoniciteit
Axioma 6: transitieve
voorkeuren over
loterijen
∎
α1
α2
α3
α4
α5
β1
β2
β3
β4
18
0
5
16
9
3
3
4
4
3
0
8
5
2
0
2
20
5
25
20
Als P1 kiest voor
Dan kan P1 zich garanderen:
α1
α2
α3
α4
α5
0
0
4
2
0
α4 garandeert P1 2: garantie niveau van α4 is 2.
- α3 maximaliseert het garantie niveau van P1 . (maxmin strategie)
∎
Als P2 kiest voor
Dan kan P2 zich garanderen:
β1
β2
β3
β4
-18
-4
-8
-25
- β2 maximaliseert het garantie niveau van P2 . (minmax strategie)
∎ Moeten de spelers altijd een strategie spelen die hun garantie niveau
maximaliseert?
37 / 58
Analyse 2 speler 0-som spelen
Introductie
Speltheorie
Conflicterende
belangen
Belangrijkste
contributies van JvN in
speltheorie
Utility
De St. Petersburg
paradox
Oplossing St
Petersburg paradox?
Von
Neumann-Morgenstern
utility
Axioma 1: Voorkeuren
over alternatieven zijn
transitief en volledig
Axioma 2: Reductie
van samgenstelde
loterijen
Axioma 3: loterij
alternatieven
Axioma 4: substitutie
Axioma 5:
monotoniciteit
Axioma 6: transitieve
voorkeuren over
loterijen
∎ Het strategiepaar (α3 , β2 ) heeft de volgende eigenschappen:
I α3 (β2 ) maximaliseert het garantie niveau van P1 (P2 ).
(m.a.w. α3 is een maxmin strat., β2 is een minmax strat.)
II Het is een evenwichtspaar: α3 (β2 ) is het beste antwoord op β2 (α3 )
III garantieniveau α3 (=4) = minus garantieniveau β2 (= −4)
∎ Voor een willekeurig 2 speler 0-som spel geldt:
Als (α, β) een evenwichtspaar is, dan
is α een maxmin strategie en β een minmax strategie en. . .
het garantieniveau van α = - garantieniveau van β
⇒ Maar heeft ieder 2 speler 0-som spel een evenwichtspaar en als het er
een heeft, is het uniek?
38 / 58
Bestaan van evenwichten
Introductie
Speltheorie
∎ Heeft ieder 2 speler 0-som spel een evenwichtspaar?
Conflicterende
belangen
Belangrijkste
contributies van JvN in
speltheorie
Utility
α1
α2
β1
β2
3
2
1
4
De St. Petersburg
paradox
Oplossing St
Petersburg paradox?
Von
Neumann-Morgenstern
utility
Axioma 1: Voorkeuren
over alternatieven zijn
transitief en volledig
Axioma 2: Reductie
van samgenstelde
loterijen
Axioma 3: loterij
alternatieven
Axioma 4: substitutie
Axioma 5:
monotoniciteit
Axioma 6: transitieve
voorkeuren over
loterijen
39 / 58
Bestaan van evenwichten
Introductie
Speltheorie
∎ Heeft ieder 2 speler 0-som spel een evenwichtspaar?
Conflicterende
belangen
Belangrijkste
contributies van JvN in
speltheorie
α1
α2
Utility
β1
β2
3
2
1
4
De St. Petersburg
paradox
Oplossing St
Petersburg paradox?
Von
Neumann-Morgenstern
utility
Axioma 1: Voorkeuren
over alternatieven zijn
transitief en volledig
Axioma 2: Reductie
van samgenstelde
loterijen
Beste antwoord op α1 is β2 . Beste antwoord op β2 is α2 .
Beste antwoord op α2 is β1 . Beste antwoord op β1 is α1 .
⇒ Geen evenwichtspaar !
∎ (αi , βj ) is evenwichtspaar precies dan als corresponderende uitbetaling
Oij (op rij i, kolom j ) minimaal is in rij i, maximaal in kolom j .
Axioma 3: loterij
alternatieven
Axioma 4: substitutie
Axioma 5:
monotoniciteit
Axioma 6: transitieve
voorkeuren over
loterijen
39 / 58
Uniciteit van evenwichtsparen
Introductie
Speltheorie
∎ Als een 2 speler 0-som spel een evenwichtspaar heeft, is het dan uniek?
Conflicterende
belangen
Belangrijkste
contributies van JvN in
speltheorie
Utility
α1
α2
β1
β2
β3
4
3
5
0
4
1
De St. Petersburg
paradox
Oplossing St
Petersburg paradox?
Von
Neumann-Morgenstern
utility
Axioma 1: Voorkeuren
over alternatieven zijn
transitief en volledig
Axioma 2: Reductie
van samgenstelde
loterijen
Axioma 3: loterij
alternatieven
Axioma 4: substitutie
Axioma 5:
monotoniciteit
Axioma 6: transitieve
voorkeuren over
loterijen
40 / 58
Uniciteit van evenwichtsparen
Introductie
Speltheorie
∎ Als een 2 speler 0-som spel een evenwichtspaar heeft, is het dan uniek?
Conflicterende
belangen
Belangrijkste
contributies van JvN in
speltheorie
Utility
α1
α2
β1
β2
β3
4
3
5
0
4
1
De St. Petersburg
paradox
Oplossing St
Petersburg paradox?
Von
Neumann-Morgenstern
utility
Axioma 1: Voorkeuren
over alternatieven zijn
transitief en volledig
Axioma 2: Reductie
van samgenstelde
loterijen
Axioma 3: loterij
alternatieven
Axioma 4: substitutie
Axioma 5:
monotoniciteit
Axioma 6: transitieve
voorkeuren over
loterijen
∎ Zowel (α1 , β1 ) als (α1 , β3 ) zijn evenwichtsparen.
∎ Hoewel evenwichtsparen niet uniek zijn levert dit “geen problemen op”:
- Als (α, β) en (α′ , β ′ ) evenwichtsparen zijn, dan. . .
zijn ook (α, β ′ ), (α′ , β) evenwichtsparen en . . .
de uitbetalingen aan de spelers in elk evenwichtspaar is hetzelfde.
⇒ Als (α, β) een evenwichtspaar is dan noemen we de coresponderende
uitbetaling v aan P1 de waarde van het spel. (uitbetaling P2 is −v )
40 / 58
Gemengde strategieën
Introductie
Speltheorie
Conflicterende
belangen
Belangrijkste
contributies van JvN in
speltheorie
Utility
De St. Petersburg
paradox
Oplossing St
Petersburg paradox?
Von
Neumann-Morgenstern
utility
Axioma 1: Voorkeuren
over alternatieven zijn
transitief en volledig
Axioma 2: Reductie
van samgenstelde
loterijen
Axioma 3: loterij
alternatieven
Axioma 4: substitutie
Axioma 5:
monotoniciteit
Axioma 6: transitieve
voorkeuren over
loterijen
∎
α1
α2
β1
β2
3
2
1
4
∎ α2 maximaliseert het garantieniveau van P1 (2)
β1 maximaliseert het garantieniveau van P2 (-3)
∎ Maar geen evenwicht...P1 indifferent tussen α1 en α2 ?
- Stel P1 gooit een zuivere munt. Kop: α1 , Munt: α2 .
- Dit is een gemengde strategie, notatie: (0.5α1 , 0.5α2 )
∎ Als P2 β1 speelt, dan verwacht nut van 0.5 ∗ 3 + 0.5 ∗ 2 = 2.5
Als P2 β2 speelt, dan verwacht nut van 0.5 ∗ 1 + 0.5 ∗ 4 = 2.5
En dus, als P2 (pβ1 , (1 − p)β2 ) speelt, ook verwacht nut van 2.5.
∎ Het garantieniveau van (0.5α1 , 0.5α2 ) is 2.5.
⇒ Het spelen van een gemengde strategie kan het garantieniveau verhogen!
41 / 58
Gemengde strategieën
Introductie
Speltheorie
Conflicterende
belangen
Belangrijkste
contributies van JvN in
speltheorie
Utility
De St. Petersburg
paradox
Oplossing St
Petersburg paradox?
Von
Neumann-Morgenstern
utility
Axioma 1: Voorkeuren
over alternatieven zijn
transitief en volledig
Axioma 2: Reductie
van samgenstelde
loterijen
Axioma 3: loterij
alternatieven
∎
α1
α2
β1
β2
3
2
1
4
∎ Het garantieniveau van α∗ ∶= (0.5α1 , 0.5α2 ) = 2.5
Het garantieniveau van β ∗ ∶= (0.75β1 , 0.25β2 ) = 2.5
∎ We kunnen laten zien dat:
- α∗ maximaliseert het garantieniveau van P1 (maxmin strat.)
- β ∗ maximaliseert het garantieniveau van P2 (minmax strat.)
- (α∗ , β ∗ ) vormt een evenwichtspaar.
⇒ Hoewel het spel dus geen evenwichtspaar heeft in zuivere strategieën, is er wel
zo’n paar wanneer we gemengde strategieen toelaten.
Bovendies bestaat het paar uit maxmin en minmax strategieen.
Axioma 4: substitutie
Axioma 5:
monotoniciteit
Axioma 6: transitieve
voorkeuren over
loterijen
∎ In zijn beroemde Minimax stelling heeft Von Neumann laten zien dat
bovenstaande in het algemeen geldt.
42 / 58
Von Neumann’s Minimax stelling
Introductie
Speltheorie
Conflicterende
belangen
Belangrijkste
contributies van JvN in
speltheorie
Utility
De St. Petersburg
paradox
Oplossing St
Petersburg paradox?
Von
Neumann-Morgenstern
utility
Axioma 1: Voorkeuren
over alternatieven zijn
transitief en volledig
Axioma 2: Reductie
van samgenstelde
loterijen
Axioma 3: loterij
alternatieven
Axioma 4: substitutie
Axioma 5:
monotoniciteit
Axioma 6: transitieve
voorkeuren over
loterijen
∎ Voor een willekeurig 2 speler 0-som spel, waarbij we toestaan dat de
spelers gemengde strategieën spelen bestaat er altijd een strategiepaar
(α, β) zodanig dat
i (α, β) is een evenwichtspaar
ii α is een maxmin strategie, β is een minmax strategie.
iii (α′ , β ′ ) is een evenwichtspaar ⇐⇒ α′ is een maxmin strategie en β ′
een minmax strategie.
iv De uitbetalingen aan de spelers zijn hezelfde in elk evenwichtspaar
(zeg v voor P1 en −v voor P2 )
⇒ De theorie van 2 speler 0-som spelen (feitelijk ontwikkeld door vN in zijn
[1928]) is “volledig” te noemen: het is duidelijk wat de (rationele) spelers
moeten doen.
43 / 58
Enkele verschillen met algemene 2 speler spelen (1)
Introductie
CV
BV
(2,1)
(-1, -1)
(-1,-1)
(1,2)
Speltheorie
Conflicterende
belangen
Belangrijkste
contributies van JvN in
speltheorie
Utility
De St. Petersburg
paradox
Oplossing St
Petersburg paradox?
Von
Neumann-Morgenstern
utility
Axioma 1: Voorkeuren
over alternatieven zijn
transitief en volledig
Axioma 2: Reductie
van samgenstelde
loterijen
Axioma 3: loterij
alternatieven
Axioma 4: substitutie
Axioma 5:
monotoniciteit
Axioma 6: transitieve
voorkeuren over
loterijen
Battle of the Sexes:
CM
BM
- Zowel (CM , CV ) als (BM , BV ) zijn evenwichten, maar (CM , BV ) en
(CV , CM ) zijn dit niet: coördinatie probleem!
∎ Geen communicatie mogelijk tussen M an enV rouw.
Toegeven? Als de ander het ook doet zeer slecht af.
- m∗ ∶= (0.4CM , 0.6BM ) maximaliseert het garantie niveau van M (0.2).
(m∗ , CV ) geeft (verwachte) uitbetaling van (0.2, −0.2)
(m∗ , BV ) geeft (verwachte) uitbetaling van (0.2, 0.8)
- v ∗ ∶= (0.6CV , 0.4BV ) maximaliseert het garantie niveau van V (0.2).
(CM , v ∗ ) geeft (verwachte) uitbetaling van (0.8, 0.2)
(BM , v ∗ ) geeft (verwachte) uitbetaling van (−0.2, 0.2)
V verwacht m∗ ⇒ V speelt BV .
M verwacht v ∗ , ⇒ M speelt CM .
(m∗ , v ∗ ) is geen evenwicht.
44 / 58
Algemene spelen en John Nash
Introductie
Speltheorie
Conflicterende
belangen
Belangrijkste
contributies van JvN in
speltheorie
Utility
De St. Petersburg
paradox
Oplossing St
Petersburg paradox?
Von
Neumann-Morgenstern
utility
∎ De theorie van algemene spelen verschilt sterk van die van 0-som
spelen.
∎ John Nash: elk n persoons spel in strategische vorm heeft een
evenwicht in gemengde strategieen. (1950).
⇒ Dit resultaat leverde Nash (in 1994) uiteindelijk de nobelprijs op. Het
bewijs voor zijn stelling is een veralgemenisering van het bewijs dat JvN
heeft gegeven voor het bestaan van evenwichten in 2 persoons 0-som
spelen.
Axioma 1: Voorkeuren
over alternatieven zijn
transitief en volledig
Axioma 2: Reductie
van samgenstelde
loterijen
Axioma 3: loterij
alternatieven
Axioma 4: substitutie
Axioma 5:
monotoniciteit
Axioma 6: transitieve
voorkeuren over
loterijen
45 / 58
Coöperatieve spelen
Introductie
Speltheorie
Conflicterende
belangen
Belangrijkste
contributies van JvN in
speltheorie
Utility
De St. Petersburg
paradox
Oplossing St
Petersburg paradox?
Von
Neumann-Morgenstern
utility
Axioma 1: Voorkeuren
over alternatieven zijn
transitief en volledig
Axioma 2: Reductie
van samgenstelde
loterijen
Axioma 3: loterij
alternatieven
∎ In een 2-persoons 0-som spel heeft ‘coalitievorming’ geen zin.
∎ Een 3-persoons 0-som spel: Koppelen.
Spelers 1, 2 en 3 moeten elk één andere speler noemen die hun
voorkeur heeft. B.v. 1 kiest 2 of 3.
- Als 2 spelers elkaar kiezen vormen ze een koppel. Als er, nadat de
spelers hebben gekozen precies 1 koppel is, is het nut voor beide leden
van het koppel 0.5, en dat van de andere speler -1. Geen koppel: alle 3
nut 0.
⇒ De spelers hebben een incentive om een coalitie (koppel) te vormen.
∎ Na het uiteenzetten van de theorie van 2 persoons 0-som spelen richten
vN en Morgenstern zich op 3 (en n) persoons 0-som spelen.
Axioma 4: substitutie
Axioma 5:
monotoniciteit
Axioma 6: transitieve
voorkeuren over
loterijen
∎ Coöperatieve speltheorie: de spelers kunnen bindende afspraken
maken. Welke coalties zullen gevormd worden en wat zijn de
uitbetalingen aan de coaltitie leden?
46 / 58
Karakteristieke functie en Transferable Utility
Introductie
Speltheorie
Conflicterende
belangen
Belangrijkste
contributies van JvN in
speltheorie
Utility
De St. Petersburg
paradox
Oplossing St
Petersburg paradox?
Von
Neumann-Morgenstern
utility
Axioma 1: Voorkeuren
over alternatieven zijn
transitief en volledig
Axioma 2: Reductie
van samgenstelde
loterijen
Axioma 3: loterij
alternatieven
∎ De karakteristieke functie v van een (n persoons 0-som) spel kent aan
iedere mogelijke coalitie S de maximale waarde toe die de coalitie zich
kan garanderen.
∎ Uitbreiding maximin idee: Gegeven n persoons 0-som spel is v(S) de
waarde van het 2 persoons 0-som spel S tegen S .
∎ De karakteristiek functie voor het koppelspel:
v(∅) = 0 (per definitie)
v({1}) = v({2}) = v({3}) = −1
v({1, 2}) = v({1, 3}) = v({2, 3}) = 1
v({1, 2, 3}) = 0
∎ Aanname: een coalitie S kan de waarde v(S) op elke mogelijke manier
(via side payments) over haar leden verdelen: transferable utility.
Axioma 4: substitutie
Axioma 5:
monotoniciteit
Axioma 6: transitieve
voorkeuren over
loterijen
∎ De karakteristieke functie v is een maat voor de sterkte van de coalities.
47 / 58
De karakteristieke functie
Introductie
Speltheorie
Conflicterende
belangen
Belangrijkste
contributies van JvN in
speltheorie
Utility
De St. Petersburg
paradox
Oplossing St
Petersburg paradox?
Von
Neumann-Morgenstern
utility
Axioma 1: Voorkeuren
over alternatieven zijn
transitief en volledig
Axioma 2: Reductie
van samgenstelde
loterijen
Axioma 3: loterij
alternatieven
Axioma 4: substitutie
Axioma 5:
monotoniciteit
Axioma 6: transitieve
voorkeuren over
loterijen
∎ Ieder spel in strategische vorm geeft aanleiding tot een karakteristieke
functie v , waarbij v(S) de waarde is die coalitie S zich kan garanderen
als de spelers in S zich op de meest ongunstige manier voor S
gedragen.
∎ De karakteristieke functie v die aldus wordt verkregen voldoet aan:
i. v(∅) = 0 (per definitie)
ii. Als R ∩ S = ∅: v(R ∪ S) ≥ v(R) + v(S) (super additief)
- Als R ∩ S = ∅: v(R ∪ S) = v(R) + v(S) dan is het spel triviaal.
Battle of the Sexes:
CM
BM
CV
BV
(2,1)
(-1, -1)
(-1,-1)
(1,2)
∎ M kan zichzelf 0.2 garanderen door m∗ ∶= (0.4CM , 0.6BM )
V kan zichzelf 0.2 garanderen door v ∗ ∶= (0.6CV , 0.4BV )
∎ v(∅) = 0, v({M } = 0.2, v({V }) = 0.2, v({V, M }) = 3
48 / 58
Eigenschappen karakteristieke functie constante-som spel
Introductie
Speltheorie
Conflicterende
belangen
Belangrijkste
contributies van JvN in
speltheorie
Utility
De St. Petersburg
paradox
Oplossing St
Petersburg paradox?
Von
Neumann-Morgenstern
utility
Axioma 1: Voorkeuren
over alternatieven zijn
transitief en volledig
Axioma 2: Reductie
van samgenstelde
loterijen
∎ In [1947] bestuderen Von Neumann en Morgenstern met name de
karakteristieke functies afkomstig van (n persoons) constante som
spelen.
∎ Voor de kar. func.
v van een n persoons constant-som spel geldt:
a. v(∅) = 0
b. v(S) + v(S) = v(N )
c. Als R ∩ S = ∅: v(R ∪ S) ≥ v(R) + v(S)
⇒ iedere v die hieraan voldoet is karak. func. van n persoons
constant-som spel.
∎ Een 0-som spel is een speciaal geval van een constante som spel.
Axioma 3: loterij
alternatieven
Axioma 4: substitutie
Axioma 5:
monotoniciteit
Axioma 6: transitieve
voorkeuren over
loterijen
49 / 58
Oplossingen voor een coöperatief spel
Introductie
Speltheorie
Conflicterende
belangen
Belangrijkste
contributies van JvN in
speltheorie
Utility
De St. Petersburg
paradox
Oplossing St
Petersburg paradox?
Von
Neumann-Morgenstern
utility
Axioma 1: Voorkeuren
over alternatieven zijn
transitief en volledig
∎
xi : totale betalingen aan speler i.
x ∶= (x1 , . . . xn ): welke x zullen resulteren in evenwichts toestand?
Welke x vormen een oplossing van het spel?
∎ x wordt een imputatie genoemd als:
xi ≥ v({i} : individuele rationaliteit.
∑i xi = v(N ) : collectieve rationaliteit.
∎ Von Neumann en Morgenstern stellen een bepaalde stabiele
verzameling van imputaties voor als oplossing van een spel.
Axioma 2: Reductie
van samgenstelde
loterijen
Axioma 3: loterij
alternatieven
Axioma 4: substitutie
Axioma 5:
monotoniciteit
Axioma 6: transitieve
voorkeuren over
loterijen
50 / 58
Voorbeeld
Introductie
Speltheorie
Conflicterende
belangen
Belangrijkste
contributies van JvN in
speltheorie
Utility
De St. Petersburg
paradox
Oplossing St
Petersburg paradox?
Von
Neumann-Morgenstern
utility
Axioma 1: Voorkeuren
over alternatieven zijn
transitief en volledig
Axioma 2: Reductie
van samgenstelde
loterijen
Axioma 3: loterij
alternatieven
Axioma 4: substitutie
Axioma 5:
monotoniciteit
Axioma 6: transitieve
voorkeuren over
loterijen
∎ Beschouw het volgende constante som spel:
v(∅) = 0
v({1}) = v({2}) = v({3}) = 0
v({1, 2}) = v({1, 3}) = v({2, 3}) = v({1, 2, 3}) = 1
∎ Stel dat coalitie {1, 2} vormt. Omdat 1 en 2 “symmetrische spelers” zijn
lijkt het redelijk dat ze de waarde verdelen: (0.5, 0.5, 0).
∎ Meer in het algemeen lijkt de volgende verzameling imputaties redelijk:
F = {(0.5, 0.5, 0), (0, 0.5, 0.5), (0.5, 0, 0.5)}
∎ Stel {1, 2} vormt en ze spreken (0.5, 0.5, 0) af.
3 kan 2 overhalen door (0, 0.75, 0.25) voor te stellen.
- y = (0, 0.75, 0.25) domineert x = (0.5, 0.5, 0) m.b.t. {2, 3}, want:
i. y2 > x2 en y3 > x3 , (beter voor alle leden van {2, 3})
ii. y2 + y3 ≤ v({2, 3}) (realiseerbaar voor {2, 3})
- (0.5, 0, 0.5) domineert (0, 0.75, 0.25) m.b.t. {1, 3}
51 / 58
Stabiele verzameling
Introductie
Speltheorie
Conflicterende
belangen
Belangrijkste
contributies van JvN in
speltheorie
Utility
De St. Petersburg
paradox
Oplossing St
Petersburg paradox?
Von
Neumann-Morgenstern
utility
Axioma 1: Voorkeuren
over alternatieven zijn
transitief en volledig
Axioma 2: Reductie
van samgenstelde
loterijen
Axioma 3: loterij
alternatieven
Axioma 4: substitutie
Axioma 5:
monotoniciteit
Axioma 6: transitieve
voorkeuren over
loterijen
∎ De verzameling imputaties:
F = {(0.5, 0.5, 0), (0, 0.5, 0.5), (0.5, 0, 0.5)}
heeft de volgende eigenschappen:
A Voor elke imputatie x niet in F is er een imputatie y in F z.d.d :
y domineert x.
Stel x = (x1 , x2 , x3 ) niet in F en stel x2 grootste waarde.
als x2 > 0.5 dan x1 , x3 < 0.5 en (0.5, 0, 0.5) domineert x
als x2 ≤ 0.5 dan x1 , x3 ≤ 0.5 en (0.5, 0, 0.5) domineert x of x in F
B Als x en y in F dan is het niet zo dat:
x domineert y of y domineert x.
∎ Een verzameling imputaties voor een spel v die voldoet aan A en B
wordt een stabiele verzameling genoemd.
∎ Von Neumann en Morgenstern stelde voor dat de oplossing van een
coöperatief spel gegeven wordt een stabiele verzameling van imputaties.
52 / 58
Studie van stabiele verzamelingen
Introductie
Speltheorie
Conflicterende
belangen
Belangrijkste
contributies van JvN in
speltheorie
Utility
De St. Petersburg
paradox
Oplossing St
Petersburg paradox?
Von
Neumann-Morgenstern
utility
Axioma 1: Voorkeuren
over alternatieven zijn
transitief en volledig
Axioma 2: Reductie
van samgenstelde
loterijen
Axioma 3: loterij
alternatieven
Axioma 4: substitutie
Axioma 5:
monotoniciteit
Axioma 6: transitieve
voorkeuren over
loterijen
∎ Von Neumann en Morgenstern laat zien dat: elk super additief
niet-triviaal 3 persoons spel heeft tenminste 1 stabiele verzameling.
∎ Vermoeden: elk n persoons constant som spel heeft tenminste 1
stabiele verzameling.
Voor enkele speciale gevallen bewijzen ze het bestaan van stabiele
verzamelingen, maar geen algemeen existentie bewijs.
∎ Lucas [1968] geeft een (niet-constant som) 10 persoons spel die geen
stabiele verzameling heeft.
∎ Bondareva et. all laten zien dat elk 4 persoons (super additief
niet-triviaal) spel een stabiele verzameling heeft.
∎ Heeft elk 5 tot 9 persoons spel een stabiele verzameling? Open
probleem.
∎ Vermoeden van Von Neumann en Morgenstern is tot nu toe nog niet
bevestigd of ontkracht.
53 / 58
Stabiliteit en de Core
Introductie
Speltheorie
∎ Een ander oplossings concept gebaseerd op de notie van stabiliteit is de
core (Gillies 1959): de verzameling van alle imputaties x waarvoor geldt:
Conflicterende
belangen
Belangrijkste
contributies van JvN in
speltheorie
∑ xi ≥ v(S)
i∈S
Utility
De St. Petersburg
paradox
Oplossing St
Petersburg paradox?
Von
Neumann-Morgenstern
utility
Axioma 1: Voorkeuren
over alternatieven zijn
transitief en volledig
Axioma 2: Reductie
van samgenstelde
loterijen
Axioma 3: loterij
alternatieven
Axioma 4: substitutie
Axioma 5:
monotoniciteit
Axioma 6: transitieve
voorkeuren over
loterijen
∎ Imputaties buiten de core zijn niet stabiel: er is dan een coalitie die een
incentive heeft om zich af te splitsen.
∎ Waarom baseert [1947] zich niet op de core?
De core van ieder niet-triviaal constant som spel is leeg!
∎
v(∅) = 0
v({1}) = v({2}) = v({3}) = 0
v({1, 2}) = v({1, 3}) = v({2, 3}) = v({1, 2, 3}) = 1
- x1 + x2 ≥ 1, x1 + x3 ≥ 1, x2 + x3 ≥ 1 Ô⇒
2x1 + 2x2 + 2x3 ≥ 3 Ô⇒ x1 + x2 + x3 ≥ 1.5
54 / 58
Stabiliteit en fairness
Introductie
Speltheorie
Conflicterende
belangen
Belangrijkste
contributies van JvN in
speltheorie
Utility
De St. Petersburg
paradox
Oplossing St
Petersburg paradox?
Von
Neumann-Morgenstern
utility
Axioma 1: Voorkeuren
over alternatieven zijn
transitief en volledig
Axioma 2: Reductie
van samgenstelde
loterijen
∎ Zowel stabiele verzamelingen als de core zijn gemotiveerd door een
notie van stabiliteit.
∎ Een spel kan geen stabiele verzameling hebben en /of een lege core.
Wat te doen?
∎ Als een spel een stabiele verzameling / niet lege core heeft: welke
imputatie zal er gerealiseerd worden?
∎ Voor von Neumann en Morgenstern was antwoord op laatste vraag
“afhankelijk van factoren buiten model”.
∎ Tegenwoordig worden ook “fairness” overwegingen meegenomen om
een imputatie voor te dragen als oplossing voor een coöperatief spel.
Axioma 3: loterij
alternatieven
Axioma 4: substitutie
Axioma 5:
monotoniciteit
Axioma 6: transitieve
voorkeuren over
loterijen
55 / 58
Fairness en de Core
Introductie
Speltheorie
∎ Op de markt kan een paar handschoenen worden verkocht voor 1 Euro.
A: 1L, 2R
Conflicterende
belangen
Belangrijkste
contributies van JvN in
speltheorie
Oplossing St
Petersburg paradox?
Von
Neumann-Morgenstern
utility
Axioma 1: Voorkeuren
over alternatieven zijn
transitief en volledig
Axioma 2: Reductie
van samgenstelde
loterijen
Axioma 3: loterij
alternatieven
Axioma 4: substitutie
Axioma 5:
monotoniciteit
Axioma 6: transitieve
voorkeuren over
loterijen
C : 0L, 1R
∎
v(∅) = 0, v({A}) = 1, v({B}) = 1, v({C}) = 0
v({A, B}) = 3, v({A, C}) = 1, v({B, C}) = 2, v({A, B, C}) = 4
∎
(2, 2, 0) is een element van de core, maar dit is geen “faire” imputatie.
Utility
De St. Petersburg
paradox
B : 3L, 1R
∎ Shapley waarde φ wordt als volgt berekend:
ABC
ACB
BAC
BCA
CAB
CBA
Som
A
B
C
1
1
2
2
1
2
9
2
3
1
1
3
2
12
1
0
1
1
0
0
3
φA = 69 , φB =
12
,
6
φA =
3
6
“som van marginale contributies / aantal speler volgordes”
56 / 58
Shapley waarde gemotiveerd door “fairness axioma’s”
Introductie
Speltheorie
Conflicterende
belangen
Belangrijkste
contributies van JvN in
speltheorie
Utility
De St. Petersburg
paradox
Oplossing St
Petersburg paradox?
Von
Neumann-Morgenstern
utility
Axioma 1: Voorkeuren
over alternatieven zijn
transitief en volledig
Axioma 2: Reductie
van samgenstelde
loterijen
Axioma 3: loterij
alternatieven
Axioma 4: substitutie
Axioma 5:
monotoniciteit
Axioma 6: transitieve
voorkeuren over
loterijen
∎ Laat v een coöperatief spel voor n personen. Er is een unieke imputatie
φ = (φ1 , . . . φn ) (de Shapley waarde) die voldoet aan:
∎ Symmetrie. Als voor iedere coalitie S waarvoor i, j
∈/ S geldt dat:
v(S ∪ {i}) = v(S ∪ {j}), dan φi = φj
∎ Dummy. Als voor iedere coalitie S waarvoor i ∈
/ S geldt dat:
v(S ∪ {i}) − v(S) = v({i}, dan φi = v({i}
∎ Additiviteit Als w een ander spel voor n personen is, dan:
φi (v + w) = φi (v) + φi (w)
(voor iedere speler i)
(waarbij v + w(S) = v(S) + w(S))
∎ Een spel kan een niet lege core C hebben zodanig dat φ ∈
/ C : de
Shapley waarde is gemotiveerd vanuit fairness overwegingen, niet
vanuit stabiliteits overwegingen.
∎ Andere oplossingsconcepten (Tau-value, nucleolus, . . . ) worden
gekarakteriseerd door andere aspecten van fairness.
57 / 58
von Neumann: grondlegger van de speltheorie
Introductie
Speltheorie
Conflicterende
belangen
Belangrijkste
contributies van JvN in
speltheorie
Utility
De St. Petersburg
paradox
Oplossing St
Petersburg paradox?
Von
Neumann-Morgenstern
utility
Axioma 1: Voorkeuren
over alternatieven zijn
transitief en volledig
∎ Zowel coöperatieve als niet-coöperatieve speltheorie zijn boeiende en
bloeiende onderzoeksgebieden.
∎ Toepassingen op vele gebieden (biologie, politieke theorie, filosofie)
maar met name in economie: 11 speltheoretici hebben tot nu toe
Nobelprijs voor economie gewonnen.
Vrijwel alle essentiële concepten in de speltheorie zijn het resultaat van
het denken van de grootste wiskundige van de afgelopen eeuw:
John von Neumann (1903- 1957).
Axioma 2: Reductie
van samgenstelde
loterijen
Axioma 3: loterij
alternatieven
Axioma 4: substitutie
Axioma 5:
monotoniciteit
Axioma 6: transitieve
voorkeuren over
loterijen
58 / 58