Lesgeheel 2: Spiegelen, verschuiven en draaien in het vlak

Meetkunde
2 Spiegelen, verschuiven en draaien
in het vlak
M4
Spiegelingen herkennen en tekenen
200
M5
Eigenschappen van de spiegeling
205
M6
Symmetrie
208
M7
Verschuivingen herkennen en tekenen
210
M8
Eigenschappen van de verschuiving
216
M9
Draaiingen herkennen en tekenen
218
M10 Eigenschappen van de draaiing
224
M11 De puntspiegeling
226
199
herkennen en tekenen
Titel
M4
1 Spiegelingen
609 E
Teken het spiegelbeeld t.o.v. de rechte m van:
a
b
de punten A, B en C
C
A’
B’
B
B
d
de driehoek ABC
m
A
m
C’
B’
B
de rechthoek ABCD
A’
C
610 E
m
= C’
A’
m
A
B’
A
c
het lijnstuk [AB]
A
B
B’
A’
D
C
C’
D’
Teken het spiegelbeeld t.o.v. de rechte m van:
a
b
de punten A, B en C
m
B’
C’ = C
c
de vierhoek ABCD
A
het vierkant ABCD
B
A
A
C’
A’
B
D
m
=
D’
A’
C
A’
Kleur het spiegelbeeld van het vierkant:
•
•
•
rood na spiegeling t.o.v. x
groen na spiegeling t.o.v. y
blauw na spiegeling t.o.v. p
x
y
p
200
M4
Spiegelingen herkennen en tekenen
C
D
C’
B’
B’
611 B
D’
B
m
612 V*
Coördinaten bij de spiegeling.
a
b
c
d
y
Teken het spiegelbeeld van de rechthoek
ABCD met y als spiegelas.
Benoem je spiegelbeelden als volgt: A', B', C'
en D'.
Teken het spiegelbeeld van de rechthoek
ABCD met x als spiegelas.
Benoem je spiegelbeelden als volgt: A'', B'', C''
en D''.
B’
A’
7
6
5
4
3
2
1
A
B
C’
D’
D
C
–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7
–1
C’’
–2 D’’
–3
–4
–5
–6
A’’
B’’
–7
x
Bepaal de coördinaten:
Coördinaat van
het oorspronkelijke punt
Coördinaat van het punt dat
gespiegeld wordt t.o.v. de x–as
Coördinaat van het punt dat
gespiegeld wordt t.o.v. de y–as
A(. . . .2
. . . . . . ,. . .5
. . . . . . .)
A'(. .–2
. . . . . . . . ,. . . .5
. . . . . .)
A''(. . .2
. . . . . . . ,. . –5
. . . . . . . .)
. . . . . . ,. . .5
. . . . . . .)
B(. . . .5
B'(. .–5
. . . . . . . . ,. . . . 5
. . . . . .)
B''(. . . 5
. . . . . . . ,. . –5
. . . . . . . .)
. . . . . . ,. . .1
. . . . . . .)
C(. . . .5
C'(. .–5
. . . . . . . . ,. . . .1
. . . . . .)
C''(. . .5
. . . . . . . ,. . –1
. . . . . . . .)
. . . . . . ,. . .1
. . . . . . .)
D(. . . .2
D'(. .–2
. . . . . . . . ,. . . .1
. . . . . .)
D''(. . .2
. . . . . . . ,. .–1
. . . . . . . .)
Wat gebeurt er met de x–coördinaat als je spiegelt t.o.v. de x–as?
De x coördinaat verandert niet na een spiegeling t.o.v. de x-as.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
e
Wat gebeurt er met de y–coördinaat als je spiegelt t.o.v. de x–as?
De y coördinaat verandert van teken na een spiegeling t.o.v. de x-as.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
f
Wat gebeurt er met de x–coördinaat als je spiegelt t.o.v. de y–as?
De x coördinaat verandert van teken na een spiegeling t.o.v. de y-as.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
g
Wat gebeurt er met de y–coördinaat als je spiegelt t.o.v. de y–as?
De y coördinaat verandert niet na een spiegeling t.o.v. de y-as.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
h
Vul de tabel in.
Coördinaat van
het oorspronkelijke punt
Coördinaat van het punt dat
gespiegeld wordt t.o.v. de x–as
Coördinaat van het punt dat
gespiegeld wordt t.o.v. de y–as
(–37,18)
(–37,–18)
(37,18)
(0,–75)
(0,75)
(0,–75)
(–34,0)
(–34,0)
(34,0)
(–67,–91)
(–67,91)
(67,–91)
Spiegelingen herkennen en tekenen
M4
201
Teken de spiegelassen a, b en c als je weet dat:
sa(P) = P' sb(P) = P'' sc(P) = P'''
613 B
a
P
P’
P’’
P’’’
b
c
Bepaal het snijpunt P van de spiegelassen.
sx(A) = A' sy(B) = B'
614 B
A'
A
B
B'
P
Is de figuur F' het beeld van de figuur F door een spiegeling t.o.v. de rechte a?
Indien ja, teken dan de spiegelas.
615 E
a
b A
B
A
D'
C
B
C'
B'
C' F'
B'
A'
C'
ja
B'
ja
neen
De rechte BF is de spiegelas. Kleur het spiegelbeeld van de blauwe driehoek groen.
616 V*
A
a
B
b
C
H
c
d
e
O
D
G
F
M4
F
C
F'
F
A'
202
B
C
D
F'
A'
A
F
a
a
c
E
Spiegelingen herkennen en tekenen
[ED]
[BC]
SHD([FE]) = .........................
[AB]
SAE([AH]) = ........................
D
SFB(H) = ...............................
FE
SCG(AH) = ...........................
SGC([AB]) =
........................
f
S. . .AE
. . . . . . . . . . . . . ([BC]) = [HG]
g
S. .GC
. . . . . . . . . . . . . . (A) = E
h
S. .GC
. . . . . . . . . . . . . . ([DC) = [BC
i
S. . .AE
. . . . . . . . . . . . . (D) = F
j
S. . .BF
. . . . . . . . . . . . . (CD) = AH
617 B
Zijn de punten A en B t.o.v. dezelfde spiegelas gespiegeld?
Zo ja, teken de spiegelas.
Zo neen, verklaar waarom niet.
a
b
A
a
c
B
A
B’
A’
B
B
A
b
A’
B’
A’
B’
Neen,
.. . . . . . . . . .de
. . .. . .spiegelassen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .vallen
. . . . . . . . . . . . . niet
. . . . . . . . .samen.
. . . . . . . .. . ......................................................................
d
e
A
f
A = A’
A’
B
............................................................. . . . . . . . . . . . .
A
B’
A’
B
B’
B = B’
.. . . .Neen,
. . . . . . . . .. . . het
. . . . . . . .punt
. . . . . . . . . . .B
. . . (=
. . . . . .B')
. . . . . .ligt
. . . . . . . niet
. . . . . . . . . op
......
het punt A (= A') ligt niet op
.. Neen,
. ......................................................................
de spiegelas van [AA']
618 B
de spiegelas van [BB']
Neen, de spiegelassen . . . . . . . . . . . .
.............................................................
vallen niet samen.
Teken het spiegelbeeld van de halfrechte [AB t.o.v. rechte x.
a
b
B
A
B
A
x
A’
x
B’
B’
c
d
B
B’
B
A’
A’
A
x
x
A
B’
2
a
Hoeveel punten moet je spiegelen om het spiegelbeeld van een halfrechte te kunnen tekenen?
b
Het grenspunt A.
Welk punt van de halfrechte moet je altijd spiegelen? ...................................................................................................
................
c
Wat is het spiegelbeeld van een snijpunt met de spiegelas en de halfrechte?
d
Welk punt heb je gespiegeld als het grenspunt op de spiegelas ligt?
e
Wat merk je op als de rechte loodrecht op de spiegelas staat?
............... . . . . . . . . . . . . . . . .
Het snijpunt zelf.
........................................................ . . . . . . . . . . . . . . .
Een willekeurig punt.
........................................................................ . . . . . . . . . . . . . . . .
Het beeld van de halfrechte staat loodrecht op de spiegelas en de drager van
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
de halfrechte valt samen met de drager van het beeld
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
Spiegelingen herkennen en tekenen
M4
203
619 V* •
•
Spiegel, door zo weinig mogelijk punten te spiegelen, de rechten a en b t.o.v. rechte m.
Noem de spiegelbeelden a’ en b’.
a
b
m
a
a’
a’
b’
m
b = b’
a
b
Je speelt biljart. Je wenst met bal A via de bovenste band bal B
te raken. Dit wil zeggen dat de speelbal eerst de bovenste band
raakt en daarna speelbal B. Maak de constructie.
620 V*
TIP: Je moet naar het spiegelbeeld van B t.o.v. de bovenste band mikken.
B'
B
A
621 V**
Je speelt biljart. Je geeft geen effect. Je wenst met bal A, bal B te raken. Nu moet bal A echter eerst
twee banden raken. Eerst band I en dan band II. Maak de constructie.
TIP: Je moet naar het spiegelbeeld van bal B mikken.
B'
B
Band II
A
Band I
204
M4
Spiegelingen herkennen en tekenen
M5 Eigenschappen van de spiegeling
Gegeven: sM([AB]) = [A'B']
622 E
a
b
| A'B' | = .5
. . . . cm
......
Welke eigenschap van de spiegeling heb je gebruikt om dit antwoord te vinden?
| AB | = 5 cm
De spiegeling behoudt de lengte van een lijnstuk.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
623 E
•
•
Is de figuur F’ het beeld van de figuur F door een spiegeling t.o.v. de rechte a?
Verklaar waarom (niet).
a
b
c
a
a
a
F
F
F'
F
F'
Ja
Neen.
......................................................................
.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
624 B
De lengte blijft niet bewaard.
Is figuur F’ het beeld van figuur F door een spiegeling?
Zo ja, teken dan de spiegelas
Zo nee, verklaar waarom niet.
a
F'
Neen.
........................................................ . . . . . . . . . . . . . .
De oriëntatie van hoeken is niet omgekeerd.
b
F’
F
F’
F
Neen,
de oriëntatie van hoeken werd niet .omgekeerd.
......................................................................................
..............
. . . . . ................................................................................................
c
d
F
F’
F
F’
Neen, de lengte blijft niet bewaard.
. . . . . . ................................................................................................
625 V*
....................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
Is figuur F’ het beeld van figuur F door een spiegeling?
Zo ja, teken dan de spiegelas
Zo nee, verklaar waarom niet.
a
b
F
c
F
F’
F’
F
. . . . . ........................................................
F’
.............................................................
Neen,..............................................
de lengte blijft niet bewaard.
...............
Eigenschappen van de spiegeling
M5
205
626 B
Spiegel zo weinig mogelijk punten t.o.v. de rechte m om het beeld van de vierhoeken te vinden.
a
Rechthoek ABCD.
A
B
m
D
•
•
C
C’
B’
D’
Hoeveel punten heb je gespiegeld?
Welke eigenschap(pen) van de spiegeling heb je gebruikt?
A’
2
............................. . . . . . . . . . . . . . . .
Een spiegeling behoudt de evenwijdigheid. Een spiegeling behoudt de
Een spiegeling behoudt de grootte van een hoek.
.lengte
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .van
. . . . . . . . . . . .een
. . . . . . . . . . . lijnstuk.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................
................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . .
b
Ruit EFGH.
E’
m
E
H
F’
F
H’
G’
G
•
•
2
Hoeveel punten heb je gespiegeld?
Welke eigenschap(pen) van de spiegeling heb je gebruikt?
........................... . . . . . . . . . . . . . . . .
Een spiegeling behoudt de evenwijdigheid. Een spiegeling behoudt de
grootte van een hoek.
.lengte
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .van
. . . . . . . . . . . .een
. . . . . . . . . . . lijnstuk,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................
................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . .
c
Trapezium KLMN.
•
•
Hoeveel punten moet je ten minste spiegelen om een trapezium te spiegelen?
Controleer door te tekenen.
K
2
........................... . . . . . . . . . . . . . . . .
L
N
M
M’
a
L’
K’
•
Welke eigenschap(pen) van de spiegeling heb je gebruikt? N’
Een spiegeling behoudt de evenwijdigheid. Een spiegeling behoudt de
grootte van een hoek.
.lengte
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .van
. . . . . . . . . . . .een
. . . . . . . . . . . lijnstuk,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................
................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . .
206
M5
Eigenschappen van de spiegeling
627 V*
Gegeven: a//b en a c.
a
Vul in: b . . . . . . . . . . c
b
Spiegel de rechte a, b en c t.o.v. rechte x. Steun op de eigenschappen van de spiegeling.
Hoeveel punten moet je spiegelen?
a
b
Twee
c
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .........................................................
c
628 V* •
•
Vul in: a’ . . . .//
. . . . . . b’
a’ . . . . . . . . . . c’ ⇒
en
c'
b’
b'
..........
a'
c'
x
ruit.
Het beeld van een ruit na een spiegeling is een ...........................................................................................................
...............
Waarom is F’ geen ruit?
De spiegelas is geen rechte.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
m
A’
A
D
F
B
F’
B’
D’
C
C’
629 V*
Waarom is het spiegelbeeld van het huis niet mooi recht?
De spiegels staan niet allemaal op één rechte lijn
. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
630 V**
Van de driehoek ABC zijn twee hoekpunten afgeknipt.
Teken het zwaartepunt (het snijpunt van de drie zwaartelijnen) van deze driehoek als een zwaartelijn gegeven is.
TIP: Teken een spiegelas en zoek het spiegelbeeld van de lijnstukken.
A
Z
C
G
z
B
Eigenschappen van de spiegeling
M5
207
M6 Symmetrie
631 B
•
•
Zijn de figuren symmetrisch?
Teken alle mogelijke symmetrieassen
a
b
Ja
Ja
. . . . ............................................................
d
e
Neen
•
•
f
Ja
Ja
................................................................
b
Ja
................................................. . . . . . . . . . . . . . . .
d
................................................................
e
Ja
. . . . ............................................................
Symmetrie
c
Ja
. . . . ............................................................
M6
................................................. . . . . . . . . . . . . . . .
Zijn de figuren symmetrisch?
Teken alle mogelijke symmetrieassen
a
208
Neen
................................................................
. . . . ............................................................
632 B
c
f
Neen
................................................................
Neen
(hoofden zijn niet symmetrisch)
................................................. . . . . . . . . . . . . . . .
Neen
................................................. . . . . . . . . . . . . . . .
633 B
Maak de figuren symmetrisch.
634 B
Teken de symmetrieassen in de vlakke figuren.
635 V*
Lees aandachtig de zinnen.
•
•
Zijn ze waar of niet waar?
Verbeter de zinnen die fout zijn.
zinnen
a
waar
Een driehoek met twee even lange zijden heeft
..één
. . . . . . . . .. symmetrieas.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...............................................................................
x
.. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...............................................................................
b
niet waar
Een driehoek met twee even lange zijden heeft twee symmetrieassen.
Een driehoek met drie even lange zijden heeft drie symmetrieassen.
.. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...............................................................................
x
.. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...............................................................................
c
Een driehoek met één symmetrieas is gelijkbenig.
.. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...............................................................................
x
.. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...............................................................................
d
Een driehoek met twee symmetrieassen is gelijkzijdig.
Een gelijkzijdige driehoek heeft drie symmetrieassen.
symmetrieassen bestaat niet.
..Een
. . . . . . . . .. driehoek
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .met
. . . . . . . . . . . . juist
. . . . . . . . . . . . . twee
. . . . . . . . . . . . . ...............................................................................
.. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...............................................................................
e
Een driehoek met twee even grote hoeken heeft drie symmetrieassen.
Een driehoek met twee even grote hoeken heeft
..één
. . . . . . . . .. symmetrieas.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...............................................................................
.. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...............................................................................
f
x
Een driehoek waarbij de drie hoeken een verschillende grootte hebben is symmetrisch.
Een driehoek met drie even grote hoeken
..is
. . . .symmetrisch.
. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...............................................................................
.. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...............................................................................
x
x
Symmetrie
M6
209
636 B
Teken de volledige figuur als je weet dat x een symmetrieas is.
x
M7 Verschuivingen herkennen en tekenen
637 E
638 E
Omcirkel de ware uitspraken.
a
t_AB› (T) = V
b
t_› (M) = L
f
tPQ (P) = Q
c
t_AB› (P) = V
g
›
t_
PQ (B) = Z
d
t_AB› (L) = M
h
›
t_
PQ (M) = T
AB
e
L
t_AB› (I) = L
I
M
K
_›
A
De verschuiving wordt bepaald door de vector AB.
Verschuif de punten X en Y.
M7
Verschuivingen herkennen en tekenen
V
B
Z
Q
A
B
Y’
210
T
P
X’
Y
X
639 E
De verschuiving wordt bepaald door de vector KL.
Verschuif de punten M, N, O en P.
O
M
K
N
L
P
O’
M’
N’
640 B
De verschuiving wordt bepaald door de vector XY.
Teken de punten A, B, C en D.
D
X
A
B
P’
B’
C
D’
Y
C’
A’
641 V*
Verschuif het vierkant ABCD volgens t_XY›.
a
b
Noem je beeldpunten A’, B’, C’ en D’.
Bepaal de coördinaten.
+4
.........
X(. . . .1
. . . . . . ,. . .6
. . . . . . .)
y
+4
.........
Y(. . . 6
. . . . . . . ,. . 10
. . . . . . . .)
A(. . . . 2
. . . . . . ,. . . 1
. . . . . . .)
+5
A'(. . . . 7
. . . . . . ,. . . .5
. . . . . .)
+5
.........
.........
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
Y
X
0
+4
B(. . . .2
. . . . . . ,. . .5
. . . . . . .)
B
C
A
D
C(. . . . .6
. . . . . ,. . . .5
. . . . . .)
+5
.........
D’
x
+4
.........
.........
B'(. . . . . 7
. . . . . ,. . . . 9
. . . . . .)
A’
C’
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011
+4
.........
B’
C'(. . .11
. . . . . . . ,. . . . .9
. . . . .)
D(. . . .6
. . . . . . ,. . .1
. . . . . . .)
+5
D'(. . 11
. . . . . . . . ,. . . .5
. . . . . .)
+5
. ........
.........
Wat gebeurt er telkens met de x–coördinaat bij deze verschuiving? Noteer dit bij de pijl.
Bij de x-coördinaat wordt steeds 5 opgeteld.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
Wat gebeurt er met de y–coördinaat bij deze verschuiving? Noteer dit bij de pijl.
Bij de y-coördinaat wordt steeds 4 opgeteld.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
c
Bepaal de coördinaten van E’ en F’ zonder de punten te tekenen.
t_XY› (E) = E' en t_XY› (F) = F'
E(0,6)
(0 + 5, 6 + 4) = E’(5,10)
E' ....................................................................................
F(4,–3)
F' . . . . .(4
......+
. . . . . .5,
. . . . . . -3
. . . . . . .+
. . . . . .4)
......=
. . . . . .F’(9,1)
. ...................................
Verschuivingen herkennen en tekenen
M7
211
642 V*
Verschuif de vijfhoek ABCDE volgens vector w.
y
A’
B’
C’
E’
4
w
A
B
D’
C
4
x
E
D
a
b
c
Bepaal de coördinaten van A, B, C, D en E.
Bepaal de coördinaten van A’, B’, C’, D’ en E’.
Bepaal de coördinaat van het eindpunt van de vector die de verschuiving bepaalt.
A(. . .–2
. . . . . . . ,. . . . .2
. . . . .)
B(. . . . .1
. . . . . ,. . . .2
. . . . . .)
C(. . . . .2
. . . . . ,. . . .0
. . . . . .)
d
e
A'(. . . . 5
. . . . . . ,. . . 7
. . . . . . .)
_›
7 5
w(..........,..........)
B'(. . . . 8
. . . . . . ,. . . .7
. . . . . .)
C'(. . . .9
. . . . . . ,. . .5
. . . . . . .)
D(. . .–1
. . . . . . . ,. . . . .3
. . . . .)
D'(. . . .6
. . . . . . ,. . .8
. . . . . . .)
E(. .–3
. . . . . . . . ,. . . . –1
. . . . . .)
Bereken:
E'(. . . . .4
. . . . . ,. . . .4
. . . . . .)
•
Het verschil van de x–coördinaat van A’ en de x–coördinaat van A.
•
Het verschil van de x–coördinaat van C’ en de x–coördinaat van C.
• Het verschil van de x–coördinaat van E’ en de x–coördinaat van E.
Bekijk de x–coördinaat van elk punt en zijn beeld. Wat stel je vast?
Weetje
_›
Een verschuiving w(7,5) toepassen betekent: de verschuiving
waarbij het beginpunt als coördinaat (0,0) heeft en als eindpunt coördinaat (7,5).
5 – (-2) = 7
9–2=7
......................................................
................
4 – (-3) = 7
......................................................
................
...................................................... . . . . . . . . . . . . . . . .
Bij de x – coördinaat wordt steeds 7 opgeteld om het beeld te vinden.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
f
Bereken het verschil van de x-coördinaat van het beginpunt van de vector en de x-coördinaat van het eindpunt
van de vector.
7–0=7
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
g
h
Bereken:
•
Het verschil van de y–coördinaat van A’ en de y–coördinaat van A.
•
Het verschil van de y–coördinaat van C’ en de y–coördinaat van C.
• Het verschil van de y–coördinaat van E’ en de y–coördinaat van E.
Bekijk de y–coördinaat van elk punt en zijn beeld. Wat stel je vast?
7–2=5
5–0=5
......................................................
................
4 – (-1) = 5
......................................................
................
...................................................... . . . . . . . . . . . . . . . .
Bij de y – coördinaat wordt steeds 5 opgeteld om het beeld te vinden.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
i
Bereken het verschil van de y-coördinaat van het beginpunt van de vector en de y-coördinaat van het eindpunt
van de vector.
5–0=5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
j
212
M7
Bereken de coördinaat van S’ en van T’ zonder de punten te tekenen en t_w› (S) = S' en t_w› (T) = T'.
S(–5,3)
5) = S’ (2,8)
S' . . (-5
. . . . . . . . .+
. . . . . .7,
. . . . .3
. . . . .+
. . . . . ...............................................................................
T(1, –6)
5) = T’ (8,-1)
T’. . (1
. . . . . . .+
. . . . . .7,
. . . . .-6
.......+
. . . . . ...............................................................................
Verschuivingen herkennen en tekenen
643 V*** •
•
_›
Pas op figuur F een verschuiving v (–2,
13) toe. Je vindt figuur F1.
_›
Daarna pas je op F1 een verschuiving w(–6, –5) toe en je vindt figuur F2.
(Deze vectoren hebben als begincoördinaat (0,0))
a
Teken de pijlen van figuur F naar figuur F2.
b
Bekom je een verschuiving?
c
Zo ja, wat is de coördinaat?
Ja
(-8,8)
..................................................................................................
................
.................................................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . .
y
A’
8
A’’
E’’
–10
–8
B’’
Fig F2
–6 D’’ –4
Fig F1
E’
6
B’
C’
D’
4
2
C’’
0
–2
2
4
6
8
10 x
–2
A
–4
E
–6
C(. . . 8
. . . . . . . ,. . –7
. . . . . . . .)
D
F1
F2
A'(. . . . .2
. . . . . ,. . . .9
. . . . . .)
A(. . .4
. . . . . . . ,. .–4
. . . . . . . .)
B(. . . 7
. . . . . . . ,. . –4
. . . . . . . .)
Fig F
C
–8
F
B
B'(. . . . .5
. . . . . ,. . . . 9
. . . . . .)
_›
v (–2,13)
C'(. . . . .6
. . . . . ,. . . .6
. . . . . .)
A''(. . –4
. . . . . . . . ,. . . . .4
. . . . .)
_›
w(–6,–5)
B''(. . .–1
. . . . . . . ,. . . . .4
. . . . .)
C''(. . . .0
. . . . . . ,. . .1
. . . . . . .)
D(. . .3
. . . . . . . ,. .–8
. . . . . . . .)
D'(. . . . .1
. . . . . ,. . . .5
. . . . . .)
D''(. . –5
. . . . . . . . ,. . . . .0
. . . . .)
E(. . . .2
. . . . . . ,. . .–6
. . . . . . .)
E'(. . . . . 0
. . . . . ,. . . . 7
. . . . . .)
E''(. . .–6
. . . . . . . ,. . . . . 2
. . . . .)
(. .–8
. . . . . . . . ,. . . . .8
. . . . .)
644 V***
_›
Jan past op_ Fig. F een verschuiving u (0, 5) toe. Hij vindt Fig. F1. Nadien
past hij op Fig. F1 een ver_›
›
schuiving v (5, 0) toe en vindt Fig. F2. Op deze laatste figuur past hij w(–5, –5) toe en bekomt uiteindelijk Fig. F3.
•
•
Maak een schema van de verschillende verschuivingen.
Geef de coördinaten van volgende verschuivingen:
a
verschuiving Fig. F naar Fig. F2:
b
verschuiving Fig. F1 naar Fig. F3:
c
verschuiving F naar F3:
d
verschuiving F2 naar F1:
(0 + 5, 5 + 0) = (5,5)
(5 +(-5), 0 + (-5)) = (0,-5)
..................................................................................................................................
................
(0 + 5 – 5, 5 + 0 – 5) =(0,0)
..................................................................................................................................
................
(-5,0)
..................................................................................................................................
................
.................................................................................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . .
Verschuivingen herkennen en tekenen
M7
213
645 B
Werden de punten A en B door een zelfde verschuiving verschoven?
Zo ja, verschuif het punt C volgens dezelfde verschuiving.
Zo nee, verklaar waarom niet.
a
A’ B’
b
C’
c
A’ B
A’ B’
A B’ C
A
A B C
Ja
....................................................
d
A’
B’
Neen,
de verschuivingen hebben ....................................................
Neen, de verschuivingen hebben
. ...................................................
een verschillende zin.
een verschillende richting.
e
f
B’ C’
A’
A
A’
A B C
A
Neen,
. . . . .de
. . . . . .verschuivingen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .hebben
.........
een verschillende lengte.
646 B
B C
B
B
C
C
Ja
B’
C’
Ja
. ...................................................
....................................................
Onderzoek de figuren. Is Fig. F’ het beeld van F door een verschuiving?
Zo ja, teken de vector die deze verschuiving bepaalt.
Zo neen, verklaar waarom niet.
A
a
F
b
c
F
F’
e
B
d
F
F
P
F’
f
F
F
F’
F’
g
F’
F
Q
T
F’
U
F’
b, d, e: de hoekpunten worden niet volgens dezelfde verschuiving verschoven
. (lengte
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .is
. . . . .verschillend)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
. f:
. . . . . de
. . . . . . . . .figuur
. . . . . . . . . . . . . . . . . .is
. . . . . .gespiegeld
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
647 B
Zijn de beweringen waar of niet waar?
a
Ruiter B is het schuifbeeld van ruiter A door de verschuiving t_AB›.
b
Ruiter A is het schuifbeeld van ruiter B door de verschuiving t_AB›.
c
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .........................................................
Ruiter A is het schuifbeeld van ruiter B door de verschuiving t_›.
d
›
Ruiter D is het schuifbeeld van ruiter A door de verschuiving t_
AD.
e
Ruiter I is het schuifbeeld van ruiter H door de verschuiving t_AB›.
f
Ruiter E is het schuifbeeld van ruiter F door de verschuiving t_BA›.
Waar
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .........................................................
Niet waar
Waar
B
A
I
H
BA
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .........................................................
Waar
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .........................................................
Niet waar
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .........................................................
Niet waar
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .........................................................
214
M7
Verschuivingen herkennen en tekenen
D
E
F
648 B
Hieronder vind je ‘Sky and water’ van M.C. Escher
a
b
c
d
Kan vogel 2 het beeld zijn van vogel 1 door een verschuiving? Zo ja: teken de vector u.
Kan vogel 3 het beeld zijn van vogel 1 door een verschuiving? Zo ja: teken de vector v.
Kan vis 2 het beeld zijn van vis 3 door een verschuiving? Zo ja: teken de vector w.
Kan vis 2 het beeld zijn van vis 1 door een verschuiving? Zo ja: teken de vector t.
1
_›
v
_›
u
2
_›
3
t
_›
1
2
w
3
649 B
Behoud het patroon en maak de tekening af.
650 E
De verschuiving wordt bepaald door vector LS. Verschuif het lijnstuk AB.
a
b
S
L
c
A’
A’
A
S
A’
L
A
A
B’
651 E
B’
B’
B
B
S
L
B
De verschuiving wordt bepaald door vector PV. Verschuif de driehoek ABC.
a
b
A’
A
B’
B
C
P
C’
V
c
A’
A
B’
B
C’
C
P
A
P
V
C
B A’
V B’
C’
Verschuivingen herkennen en tekenen
M7
215
M8 Eigenschappen van de verschuiving
652 B
Teken het beeld van het vierkant ABCD volgens t_XY›.
Verschuif zo weinig mogelijk punten om je beeld te vinden.
a
Hoeveel punten heb je verschoven?
b
Welke eigenschappen heb je toegepast?
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .........................................................
A
B
D
C
X
A’ B’
D’
Y
C’
van een lijnstuk.
.De
. . . . . . verschuiving
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . behoudt
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .de
. . . . . .lengte
. . . . . . . . . . . . .........................................................
De verschuiving behoudt de evenwijdigheid van rechten.
.Een
. . . . . . . .lijnstuk
. . . . . . . . . . . . . . . .en
. . . . . .zijn
. . . . . . . .beeld
. . . . . . . . . . . . .na
. . . . . .een
. . . . . . . . verschuiving
. . . . . .........................................................
zijn evenwijdig.
653 B
De verschuiving behoudt de hoekgrootte.
Verschuif telkens de rechte m volgens t_AB›.
a
b
A
B
P
m
c
P
m’
P’
m
A
P’
B
m’
Wat is de onderlinge ligging van een rechte en zijn schuifbeeld?
Een rechte en zijn schuifbeeld zijn evenwijdig.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
d
Hoeveel punten moet je ten minste verschuiven om het beeld van een rechte te vinden?
Eén
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
654 V*
Teken t_AB› (m) , t_AB› (p) en t_AB› (r).
Noem de beelden m’, p’ en r’.
A
P
P’ R
m’ p
m
655 B
Teken ∆X’Y’Z’ door een verschuiving met
X’ ∊ [OB en Z’∊ [OA zo dat de zijden van
∆X’Y’Z’ en van ∆XYZ twee aan twee even
lang en evenwijdig zijn.
B
X’
O
216
M8
Eigenschappen van de verschuiving
r = r’
B
X
Y’
Z’
Y
Z
A
R’
p’
656 B
Een tekenaar heeft enkele fouten gemaakt bij het verschuiven van zijn tekening. Verbeter de fouten
op de tekening.
657 B
Vul het patroon verder aan.
A
B
figuur 1
a
a
figuur 2
b
figuur 3
figuur 4
figuur 5
Hoe kun je Fig. 1 op Fig. 2 afbeelden?
Door een spiegeling.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
b
Hoe kun je Fig. 1 op Fig. 3 afbeelden?
Door twee spiegelingen over evenwijdige spiegelassen a en b of door een verschuiving t .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
658 B
Is figuur F' het beeld van figuur F door een verschuiving?
Zo ja, teken de vector die de verschuiving bepaalt.
Zo neen, verklaar waarom niet.
a
B
A
b
c
F'
F'
F
F
F'
F
Ja
Neen de lengte en hoekgrootte
e werden niet bewaard
d
F
F'
Ja
Neen de oriëntatie van hoeken
werd omgekeerd
R
L
K
f
F
F'
F
Neen het beeld van het
lijnstuk is niet evenwijdig aan
het origineel
S
Ja
Eigenschappen van de verschuiving
F'
M8
217
Voer twee spiegelingen na elkaar uit.
659 V*
a
b
c
Sx (∆ABC) = ∆A’B’C’
Sy (∆A’B’C’) = ∆A’’B’’C’’
Hoe kun je ∆A’’B’’C’’ nog bekomen?
x
Δ A"B"C" is het schuifbeeld van
.driehoek
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ABC.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .........................
Wat is de onderlinge ligging van de twee
spiegelassen?
e
Vul aan:
De samenstelling van twee spiegelingen waarvan
de spiegelassen evenwijdig zijn is een
A’
A
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .........................
d
y
A’’
B
B’’
B’
De spiegelassen zijn evenwijdig.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .........................
C’
C
C’’
verschuiving (t_› ).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . AA
. . . . . ”. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .........................
660 V**
Onderzoek.
Je krijgt twee punten B en C en een rechte x. Op die rechte x beweegt een punt A. Voor elke stand van A kun je een
parallellogram ABCD tekenen. Het punt D is bijgevolg ook een bewegend punt. Op welke figuur beweegt het punt D?
(Deze oefening kun je uittesten met geogebra.)
Punt D beweegt op een
rechte evenwijdig aan x.
B
A
A’
A’’
x
D
C
D’
D’’
M9 Draaiingen herkennen en tekenen
661 B
Bepaal de draaihoeken.
a
b
r(0, . . . . . . . . . . ) (fig. F) = fig. F'
r(0, . . . . . . . . . . ) (fig. F) = fig. F'
fig. F
fig. F
fig. F’
O
90° of –270°
218
M9
Draaiingen herkennen en tekenen
O
fig. F’
–82° of 278°
662 B
Over welke hoek draait de grote wijzer?
10
minuten ⇒ 10 · (-6°) = -60°
. . . . ........................................................................................
30
minuten ⇒ 30 · (-6°) = -180°.
. . . . ........................................................................................
1. . .minuut
⇒ 1 · (-6°) = -6°.
. ........................................................................................
50
minuten ⇒ 50 · (-6°) = -300°.
. . . . ........................................................................................
Van 02.00 uur tot 02.10 uur.
Van 18.30 uur tot 19.00 uur.
Van 20.02 uur tot 20.03 uur.
Van 04.10 uur tot 05.00 uur.
360° : 60 = 6° Op één minuut draait de grote wijzer over een hoek van 6°.
663 E
Voer de draaiing uit. Zoek het beeld van de punten A, B en C.
r(0,–60°)
A'
B
C
O
A
B'
664 E
C'
Voer de draaiing uit. Zoek het beeld van [AB]
r(0,95°)([AB])
B
A
B'
O
A'
665 E
Voer de draaiing uit.
r(0,45°)([DE])
r(0,–45°)(∆ABC)
A'
D
B
E
C'
E'
D'
B'
O
A
C
O
Draaiingen herkennen en tekenen
M9
219
Vul in.
666 B
a
r(A, –60°)(B) =
b
r(D, 180°)(C) =
c
r(H, –120°)(B) =
d
r(H,–60°
(B) = D
....................)
e
r(F,–60°
(H) = D
....................)
B
A
. . .H
...................................
. . .F
...................................
. . .F
...................................
C
H
D
r(B, 120°)(. . . . .H
. . . . . . . .) = C
f
G
E
F
Onderzoek of A’ het beeld is van A.
667 B
a
b
door r(O, 70°)
c
door r(O, 40°)
A'
door r(O, 75°)
A'
O
40°
A
105°
70°
A
O
.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ja
................................
A'
A
O
Neen,........................................................
de draaizin is fout. –40° i.p.v. 40°.
Neen, de hoekgrootte
. .........................................
. . . . . . . .is
......
fout: 105° i.p.v. 75°.
Hanne heeft de volgende draaiingen uitgevoerd. Wat is fout gelopen?
668 V*
a
b
r(O,50°) ([AB]) = [A'B']
wijzerzin
. De
. . . . . . .draaizin
. . . . . . . . . . . . . . . . . .is
. . . .fout.
. . . . . . . . . . Het
. . . . . . . . .lijnstuk
. . . . . . . . . . . . . . . is
. . . . in
. . . ............................
gedraaid i.p.v. in tegenwijzerzin.
B
r(O, 50°)(∆ABC) = ∆A’B’C’
Punten A en C zijn over een hoek van 50° gedraaid,
maar
....................................................................................
...............
Hanne heeft bij het draaien van punt B haar geodriehoek
A en B gedraaid over een hoek van 130°.
verkeerd afgelezen
De punten werden gedraaid over een hoek van 130°.
B'
B
A'
O
C
A’
A
B’
O
C’
Voer de draaiingen uit.
r(C,90°) (A) = A'
r(C,–270°) (A) = A''
669 V*
a
A
Wat merk je op?
Het punt A’ en het punt A” vallen samen.
. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................
b
Tel de absolute waarden van de twee draaihoeken bij
elkaar op. Wat stel je vast?
De som van de absolute waarden van de
twee draaiingshoeken is 360°.
. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................
220
M9
Draaiingen herkennen en tekenen
A' = A"
C
670 V*
5
Hoeveel graden moet het rad draaien om:
a
In wijzerzin van positie 1 naar positie 2 te gaan?
b
In tegenwijzerzin van positie 1 naar positie 2 te gaan?
c
In wijzerzin van positie 1 naar positie 4 te gaan?
d
In tegenwijzerzin van postitie 1 naar positie 4 te gaan?
4
6
45°
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....................................
315°
3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....................................
7
135°
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....................................
2
8
225°
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .....................................
671 V*
De aarde draait in 365 dagen rond de zon in tegenwijzerzin.
Bepaal de plaats van de aarde na 146 dagen.
365 146
=
360 x
. . . . . . . . . . . . . . .......................................................................................................
. . . . . . . . . . . . . . .......................................................................................................
146 · 360
= 148
.x
. . . . .=
. . . . . . . . .......................................................................................................
365
A'
148°
. . . . . . . . . . . . . . .......................................................................................................
Antwoord: na 146 dagen is de aarde
rond de zon met een hoek van 148°
. gedraaid
. . . . . . . . . . . . . .......................................................................................................
. . . . . . . . . . . . . . .......................................................................................................
672 V*
A
Z
M'
De maan draait in 27,3 dagen rond de aarde in tegenwijzerzin.
Bepaal de plaats van de maan na 21 dagen.
27,3 7
=
360 x
. . . . . . . . . . . . . . .......................................................................................................
. . . . . . . . . . . . . . .......................................................................................................
x=
7 · 360
= 92,3
27,3
. . . . . . . . . . . . . . .......................................................................................................
. . . . . . . . . . . . . . .......................................................................................................
M
A
. . . . . . . . . . . . . . .......................................................................................................
. . . . . . . . . . . . . . .......................................................................................................
673 V**
Geef de kleinst mogelijke draaihoek in tegenwijzerzin van een draaiing die de figuur op zichzelf
afbeeldt.
a
b
40°
360° : 9 = 40°
. . . . . ...........................................................
c
90°
360° : 4 = 90°
................................................................
90°
360° : 4 = 90°
.................................................. . . . . . . . . . . . . . .
Draaiingen herkennen en tekenen
M9
221
Welk van de onderstaande figuren kan niet ontstaan door een draaiing van een van
de andere figuren? Verklaar je antwoord.
674 V*
figuur 1
figuur 2
Ja
Neen
.....................................................
.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................
figuur 3
figuur 4
Neen
.....................................................
Ja
...................................... . . . . . . . . . . . . . . .
O
is het snijpunt van de diagonalen van het vierkant.
. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
r. . . .(O,
Fig. 4 = Fig. 1 r . . . . . . . . . . . . . . . .Fig.
4 = Fig. 1 r (O,–180°) Fig. 1 = Fig. 4 r (O, –180°) Fig. 1. .=
Fig. 4
. . . . .180°)
. . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(O,–180°)
.......................................................................................................................................
.............
Een kraanbestuurder kreeg van zijn opdrachtgever de volgende
instructie: ‘Verplaats de stenen over een hoek van –120°.’ Ter plaatse
merkt hij dat er een boom in de weg staat.
675 V*
a
b
Hoe kan de kraanbestuurder toch zijn opdracht uitvoeren zonder de boom
om te hakken?
Teken dit.
s te
boom
stenen
kraan
kr a
. . . . . . . . . . . . . . ...........................................................................................
nen
De kraanbestuurder kan de stenen
een hoek van 240° draaien.
. over
. . . . . . . . . . . . . ...........................................................................................
– 120° = 240°)
. (360°
. . . . . . . . . . . . . ...........................................................................................
. . . . . . . . . . . . . . ...........................................................................................
an
. . . . . . . . . . . . . . ...........................................................................................
676 V* •
•
•
•
Kun je fig. 1 op fig. 2 afbeelden door een draaiing?
Kun je fig. 3 op fig. 4 afbeelden door een draaiing?
Zo ja, teken het centrum en de draaihoek.
Noteer de draaiing.
3
4
1
2
222
M9
Draaiingen herkennen en tekenen
Ja r(0, –120°)
Neen
677 V*
•
•
•
De figuur F’ is het draaibeeld van de figuur F.
Rond welk centrum werd de figuur gedraaid?
Hoe groot is de draaiingshoek?
Noteer je antwoord met symbolen.
C’’
C
C’
F’
F’
F
C’’
F
C’
C
r
.. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(C,
. . . . . –50°)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..........................
678 V**
r
....................................................................................................
.....
(C, 45°)
Het vierkant F kan door verschillende draaiingen
op vierkant F’ afgebeeld worden.
a
b
A
Noteer deze draaiingen.
Teken telkens het centrum.
r(A, –90°)
r(B, 180°)
r(C, 90°)
r(B, –180°) r(C, –270°)
.r(A,
. . . . . . . . . . .270°)
. . ....................................................................................................
F’
. . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................
B
F
C
. . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................
. . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................
679 V**
Op de eerste figuur kun je zien hoe een bij danst om aan te tonen waar
de voedselbron is. De zon en de voedselbron vormen een hoek van 120°.
Het kwispelende deel van de dans vormt bijgevolg ook een hoek van
120° met de verticale as van het honingraat.
bovenkant kast
zon
120°
120°
kast
onderkant kast
a
Welke situatie past bij deze bijendans?
bovenkant kast
onderkant kast
b
Teken een overeenkomstige
bijendans op de bijenraat.
voedselbron
Weetje
Bijen communiceren door
te dansen. Als een werkster nectar gevonden heeft
vertelt ze de plaats aan de
andere bijen door te dansen. Ze voert een ronde
dans uit als de bloemen in
de directe omgeving van
de bijenkorf staan en een
kwispeldans als de bloemen
verder verwijderd zijn. De
hoek van het rechte (kwispelende) stukje van de dans
met de verticale as van het
bijenraat komt overeen met
de hoek tussen de bloemen en de zon. Hoe meer
ze kwispelt, hoe verder de
voedselbron verwijderd is.
Draaiingen herkennen en tekenen
M9
223
M10 Eigenschappen van de draaiing
680 B
681 B
682 B
Een rechthoek met een oppervlakte van 100 cm² wordt gedraaid over een hoek van 60°.
a
Wat is de oppervlakte van het draaibeeld?
b
Welke eigenschap heb je gebruikt?
100 cm2
De draaiing behoudt de lengte van. .een
..................................................................................................
. . . . . . . . . . . .lijnstuk.
..
.................................................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . .
Een vierkant met een oppervlakte van 36 cm² wordt gedraaid over een hoek van 120°.
a
Wat is de lengte van de zijde van het draaibeeld?
b
Welke eigenschap heb je gebruikt?
6 cm
De draaiing behoudt de lengte van. .een
..................................................................................................
. . . . . . . . . . . .lijnstuk.
..
.................................................................................................. . . . . . . . . . . . . . . . .
Gegeven: r(A, 90°)
Gevraagd: Kleur het draaibeeld van de gekleurde driehoek.
A
B
E
683 B
Kleur het beeld van de blauwe zeshoek door de draaiing.
•
•
•
684 B
r(A,–120°) groen
r(C,–120°) rood
r(E,180°) roze
C
D
A
Teken door zo weinig mogelijk punten te draaien r(K,–70°) ( ABCD) = A'B'C'D'.
a
Hoeveel punten heb je gedraaid om het beeld te
vinden.
Twee
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .........................
b
Welke eigenschap(pen) van de draaiing heb je
gebruikt?
De draaiing behoudt de lengte
. van
. . . . . . . . . . . . een
. . . . . . . . . . . .lijnstuk.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . De
. . . . . . . . . .draaiing
. . . . . . . . . . . . . .........................
van
. behoudt
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .de
. . . . . . . . loodrechte
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .stand
. . . . .........................
de
. rechten.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .De
. . . . . . . . .draaiing
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . behoudt
. . . . . . . . . . . .........................
. evenwijdigheid
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .van
. . . . . . . . . . . .rechten.
. . . . . . . . . . . . . .........................
A
B
D
C
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .........................
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .........................
224
M10
Eigenschappen van de draaiing
C’
K
B’
685 V*
Teken de volgende figuur in de rij.
O
O
O
O
Verklaring:
je moet telkens 1 trapezium draaien over 90° rond O.
. . . . . . . . . . . . . . ........................................................................................................................................................................................................
................
a'
686 V*
Bepaal het draaibeeld van de rechte a, b en c.
r(0,80°)
b'
Y'
Gegeven: c // b
c⊥a
c'
X'
c
X
b
Y
a
O
. . . . . . b' en c' . . . . . . . . . a'.
Vul in: c' . . .//
687 V**
Het samenstellen van spiegelingen met snijdende spiegelassen.
Voer de volgende spiegelingen na elkaar uit:
•
•
•
Sx(∆ABC) = ∆A'B'C'
Sy(∆A'B'C') = ∆A''B''C''
Sz(∆A''B''C'') = ∆A'''B'''C'''
x
C
B
y
A’
A
B’
O
C’
u
C’’
B’’
B’’’
C’’’
A’’
A’’’
a
Hoe kun je driehoek A"B"C" nog bekomen?
b
Hoe kun je driehoek A”’B”’C”’ nog bekomen?
z
Je kunt driehoek ABC onmiddellijk afbeelden op driehoek A”B”C” door een draaiing.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
Door een spiegeling t.o.v. de rechte u.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................
t.o.v. de rechte u.
Eigenschappen van de draaiing
M10
225
688 B
Het draaibeeld van de ruit is fout. Aan welke
eigenschappen wordt er niet voldaan?
De draaihoek is verschillend. Hierdoor
niet
.blijft
. . . . . . . . . . . . ..de
. . . . . . . . lengte
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .van
. . . . . . . . . . . .de
. . . . . . . .lijnstukken
. . . . . . . . . . . . . . . . . ..............................
de grootte
.behouden
. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . en
. . . . . . . . .verandert
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ook
. . . . . . . . . . . ..............................
.van
. . . . . . . . . . . .de
.. . . . . . .hoeken.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..............................
. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..............................
. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..............................
M11 De puntspiegeling
689 V*
Teken:
a
b
sO(A) sO(B).
Wat is het punt O van figuur
AB’A’B?
De puntspiegeling van het
lijnstuk AB met spiegelpunt
O.
c
De puntspiegeling van het
parallellogram ABCD met
spiegelpunt O.
.Het
. . . . . . . .punt
. . . . . . . . . . .O
. . . .is
. . . .het
. . . . . . . .symmetriepunt
......................
van dit vierkant.
B’
A
A
A
B
B
O
O
D
A’
B’
C
B’
Teken sO (Fig. F).
b
a
F’
F
O
O
F’
226
M11
De puntspiegeling
C’
D’
A’
B
690 V*
O
F
A’
691*
a
b
c
y
Teken r (O, 180°) (∆ABC) en noem de beeldpunten
A’, B’ en C’.
A(. –3
. . . . . . . . . ,. . . .4
. . . . . .)
A'(. . 3
. . . . . . . . ,. –4
. . . . . . . . .)
B(. .–2
. . . . . . . . ,. . . .2
. . . . . .)
B'(. . . 2
. . . . . . . ,. . –2
. . . . . . . .)
C(. .–5
. . . . . . . . ,. . . .1
. . . . . .)
C'(. . .5
. . . . . . . ,. .–1
. . . . . . . .)
A’
A
Bepaal de coördinaten.
B
B’
2
C’
C
2
O
B’’
Wat merk je op?
De x - coördinaat en de y - coördinaat
.krijgen
. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .een
. . . . . . . . . . . tegengesteld
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . teken.
. . . . . . . . . ..................................
x
C’’
. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................
A’’
. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................
692 V*
Bereken de coördinaten.
coördinaat
coördinaat na draaiing rond
de oorsprong over 180°
(–35,8)
(0,–14)
(30,–7)
(35,–8)
(0,14)
(–30,7)
(8,92)
(–5,7)
693 V*
coördinaat na een puntspiegeling
met de oorsprong als centrum
(–8,–92)
(5,–7)
(–35,8)
(0,–14)
(30,–7)
(–8,-92)
(5,-7)
(35,–8)
(0,14)
(–30,7)
(8,92)
(–5,7)
Het samenstellen van spiegelingen met loodrecht op elkaar staande spiegelassen.
a
b
Voer de volgende spiegelingen na elkaar uit:
• Sx (∆ABC) = (∆A’B’C’)
• Sy (∆ABC) = (∆A"B"C")
Hoe kun je de driehoek ABC in een keer op de
driehoek A”B”C” afbeelden?
met de
. Met
. . . . . . . . . . . . .een
. . . . . . . . . . . draaiing
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .over
. . . . . . . . . . . . . .180°
. . . . . . ................................
een punt. oorsprong
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . als
. . . . . . . . . .centrum
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .of
. . . . ................................
de
. spiegeling
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .met
. . . . . . . . . . . .als
. . . . . . . . . spiegelpunt
. . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................
. oorsprong.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................
694 V*
coördinaat na een draaiing
rond de oorsprong over 360°
y
A
C
B”
C”
C’
A”
A’
B
B’
x
Zijn de figuren elkaars beeld door een puntspiegeling?
Zo ja, duid het centrum aan.
a
d
b
ja
ja
e
ja
c
ja
f
neen
neen
De puntspiegeling
M11
227
695 V*
Onderzoek.
a
b
Teken, indien mogelijk, in de nevenstaande figuren de
symmetriepunten in blauw en de symmetrieassen in
het rood.
Hebben alle symmetrische figuren een symmetriepunt?
c
Zijn alle figuren met een symmetriepunt symmetrisch?
Neen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................
Neen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................
696 B
Teken:
•
•
•
sm(A) = A'
t_xy›(B) = B'
r(0, –70°) (D) = D'
a
Hoeveel spiegelbeelden van A heb je getekend?
b
Hoeveel schuifbeelden van B heb je getekend?
Eén
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................
A
B
Eén
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................
c
Eén
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................
A’
draaiverschuiving en
De spiegeling,
ormasf
elden van tran
ing zijn voorbe
ef t elk
he
transformatie
ties. Voor elke
n beeldpunt.
punt slechts éé
m
D’
Is het beeld van de figuur F het resultaat van een spiegeling, een draaiing of een verschuiving?
De figuren zijn elkaars beeld door
.een
. . . . . . . . . . .draaiing
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .met
. . . . . . . . . . . . centrum
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .O
. . . . ..................................
. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................
. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................
. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................
. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................
. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................
O
228
M11
X
D
O
Weetje
697 B
B’
Hoeveel draaibeelden van D heb je getekend?
De puntspiegeling
Y
698 V*
Vul in. Alle driehoeken in de ster zijn gelijkzijdig.
A
G
L
F
K
E
H
M
I
J
B
C
a
sKL (F) =
M
............................................ . . . . . . . . . . . . . . . .
b
s.KH
([JI]) =
.........
[LG]
c
›
t_
MH (G)=
d
t_EJ› ([FL) =
e
r(M, –60°) (I) =
f
r(D,–60°) (J) =
g
sLI (∆GBH) =
h
›
t_
LM (∆AGL) =
i
r(K, –120°) (F) =
j
k
D
l
699 V*
Onderzoek.
t_CI› . . . . . .(G)
............... = L
r(H, 180°). . . . . . .(B)
.............. = I
A
B= B’
90°
A’
a
b
B
............................................ . . . . . . . . . . . . . . . .
[LG
............................................ . . . . . . . . . . . . . . . .
J............................................ . . . . . . . . . . . . . . . .
I............................................ . . . . . . . . . . . . . . . .
Δ
KEJ
............................................
................
Δ
GHM
............................................
................
M
............................................ . . . . . . . . . . . . . . . .
sGJ . . . . .([LK])
. . . . . . . . . . . . . . . . . = [HI]
A
a
(of SMH of SKM)
Kunnen A’ en B’ het resultaat zijn van eenzelfde spiegeling?
Zo ja, teken de spiegelas.
Zo neen, verklaar waarom niet.
B= B’
A’
Ja
.................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . .
.................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . .
Kunnen A’ en B’ het resultaat zijn van eenzelfde verschuiving?
Indien ja, teken dan de vector van deze verschuiving.
Neen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
Zo neen, verklaar waarom niet.
Elk punt wordt op dezelfde manier verschoven. Als één punt op zichzelf wordt
afgebeeld, dan worden alle punten op zichzelf afgebeeld
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
c
Kunnen A’ en B’ het resultaat zijn van eenzelfde draaiing?
Zo ja, bepaal het centrum en de draaiingshoek van deze draaiing.
Ja. Het centrum is B en de draaiingshoek is 90° of -270°
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
Zo neen, verklaar waarom niet.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . .
De puntspiegeling
M11
229
700 V*
Onderzoek de verschillende patronen. Ontdek op welke manier ze gevormd werden.
•
Kun je de draaiing, de verschuiving en of de spiegeling vinden?
Duid de gegevens aan op de tekening.
•
Ontwerp zelf je eigen behangpapier. Teken een eenvoudig motief.
Voer hierop een spiegeling uit. Verschuif vervolgens het spiegelbeeld. Tenslotte draai je het schuifbeeld.
Eigen ontwerp van de leerlingen
701 V*
a
Kun je een vlinder door een spiegeling afbeelden op een andere vlinder? Zo ja, duid de vlinders aan en teken de spiegelas.
s (vlinder1) = vlinder 2
b
. . . .a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................
Kun je een vlinder door een verschuiving afbeelden op een andere
vlinder? Zo ja, duid de vlinders aan en teken de vector.
a
1
3
t (vlinder3) = vlinder 4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................
c
r(O, 120°) (vlinder 5) = vlinder 6
d
Kun je een vlinder door een puntspiegeling afbeelden op een andere
vlinder? Zo ja, duid de vlinders aan en teken het spiegelpunt.
s (vlinder 6) = vlinder 7
. . . .A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................
230
M11
De puntspiegeling
A
5
Kun je een vlinder door een draaiing afbeelden op een andere vlinder? Zo ja, duid de vlinders aan en teken de draaihoek.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................
2
4
7
B
A 6
0