Speciale relativiteitstheorie

die Keure
Sp
ec
ia
le
re
la
t
iv
ite
its
th
eo
rie
SPECIALE
RELATIVITEITSTHEORIE
MODULE INTERACTIE - 3 e GRAAD
2
ONDERZOEKERS DENKEN DAT WARPDRIVE MO
GELIJK IS
Bron: Wikipedia, tweakers.net
ec
ia
le
re
la
t
iv
ite
its
th
eo
rie
In de jaren ’60 was de televisieserie Star Trek erg popu
ruimteschepen sneller dan het licht te laten voortbewegen.lair. In die serie gebruikt men de fictieve warptechnologie om
Volgens de Star Trekgeschiedschrijving is de warpaandrijvin
uitgevonden door Zefram Cochrane in het jaar 2063.
g
Het principe waarop deze aandrijving zou werken is het
samentrekken (to warp is vervormen) van de ruimte die
ligt en het uitrekken van de ruimte die achter je ligt. De feitel
vóór je
ving zou je zo een snelheid krijgen groter dan de lichtsnelhe ijk af te leggen afstand wordt zo kleiner. Met de warpaandrijid, zonder dat de wetten van de relativiteitstheorie overtreden
worden.
De warpdrive zou volgens sommige onderzoekers bij NASA
Miguel Alcubierre een dergelijke warpdrive door, maar mogelijk zijn. In 1994 rekende de Mexicaanse natuurkundige
de conclusie luidde dat de energie van een kleine ster nodig
zijn om zo'n drive te laten werken.
zou
NASA-wetenschapper Harold White denkt echter dat de beno
met een donutachtig gevormde ring in plaats van een platte digde energie kan worden gereduceerd. Dat kan volgens hem
oscilleren zou de warpdrive nog zuiniger kunnen worden. ring om de ruimte te vervormen. Door het warpveld te laten
Volgens White kan een warpdrive daarmee op termijn welli
realiteit worden.
cht
Sp
De speciale relativiteitstheorie
behandelt systemen die bewegen
met constante snelheid, systemen
die niet versnellen. De algemene
relativiteitstheorie geldt
algemeen, ook voor systemen die
versnellen.
In heel wat sciencefictionseries wordt verwezen naar de “relativiteitstheorie” van Einstein.
In tegenstelling tot wat velen denken is het niet Einstein die de “relativiteit” heeft uitgevonden. In 1632
had Galileo Galilei het relativiteitsbegrip al geformuleerd. In de 17e eeuw ontwikkelden o.a. Christiaan
Huygens en Isaac Newton dit verder. Christiaan Huygens bestudeerde o.a. de eigenschappen van licht en
Newton stelde wetten van de beweging op. Op basis van die wetten lukte men er in om bewegingen van
projectielen, planeten … te verklaren en te voorspellen. Halfweg de 19e eeuw stelde James Clerk Maxwell
4 wetten op die de elektrische en magnetische verschijnselen van de materie beschrijven.
Einstein was erg geïnteresseerd in de theorieën van Maxwell, omdat het relativiteitsbeginsel van Galilei wel
in overeenstemming was met de wetten van Newton, maar niet met de wetten van Maxwell. Dat was voor
Albert Einstein de aanzet zijn speciale relativiteitstheorie op te stellen die we in deze module bestuderen.
En ook al is warpaandrijving voorlopig nog fictie, met zijn speciale relativiteitstheorie heeft Einstein onze
ideeën over tijd, ruimte, snelheid, massa en energie helemaal overhoop gegooid.
3
1 DE KLASSIEKE MECHANICA
rie
1.1
eo
Rust en beweging
its
th
Galileo was de eerste die de wetenschappelijke methode gebruikte die je leerde kennen als OVUR:
O = observeren van een natuurverschijnsel, een onderzoeksvraag opstellen
V = verzamelen van informatie, voorbereiden van het experiment
U = uitvoeren van het experiment
R = rapporteren van en reflecteren over de resultaten
ec
ia
le
re
la
t
iv
ite
Galileo voerde reële experimenten uit. Zo beklom hij bv. de toren van Pisa om de val van voorwerpen te
bestuderen.
Sp
Een gedachte-experiment is een
experiment dat je in gedachten
uitvoert en waarbij je steunt op
gekende wetten. Einstein maakt
daarvan veelvuldig gebruik. Zo
vroeg hij zich als jonge knaap al af
hoe de wereld er zou uitzien als je
op een lichtstraal kon meereizen.
Een gedachte-experiment stellen
we in het vervolg voor met volgend
pictogram:
☞
reëel experiment
gedachte-experiment
Hij voerde ook gedachte-experimenten uit: stel dat je in het kraaiennest van een schip zit en een bal
naar beneden laat vallen. We veronderstellen dat de boot niet schommelt en rechtdoor vaart met constante snelheid.
•Isaac zit op de boot en ziet de bal naast de mast recht naar beneden vallen: de bal voert een
rechtlijnige beweging uit.
•Tycho staat op de kade en ziet de bal een paraboolvormige baan beschrijven. Ook voor hem bevindt
de bal zich op elk moment naast de mast, maar de mast beweegt naar rechts en de bal doet dat ook,
waardoor de bal voor hem een kromlijnige baan volgt.
Je kunt niet zomaar antwoorden op de vraag welke baan de bal volgt: Isaac zegt “Het is een rechte
baan”, Tycho zegt “Het is een kromme baan” en ze hebben allebei gelijk!
De baan die een voorwerp volgt is niet absoluut, maar hangt af van het referentiestelsel van waaruit je
de beweging van het voorwerp bekijkt. Een baan is “relatief”.
eo
its
Je kunt dat op geen enkele manier te weten komen! In beide ruimteschepen kun je experimenten uitvoeren: een bol rondzwieren aan een touw, de kracht meten die op de bol werkt, ballen laten botsen, een bol
in de ruimte hangen … het resultaat van al die experimenten is in beide ruimteschepen identiek!
ite
Galileo beschreef zo’n experiment voor schepen in zijn bekende boek Gesprekken en wiskundige bewijzen
in twee nieuwe wetenschappen uit 1637. Hij suggereerde ook om vissen in een aquarium en vliegende insecten mee te nemen. Noch aan het gedrag van de dieren, noch aan het bewegen van een bal of aan een
lantaarn die ophangt kan men uitmaken of een schip eenparig rechtlijnig beweegt of stil ligt.
iv
Het wordt anders als het ruimteschip zou versnellen: dan voel je
dat je in je zetel gedrukt wordt en
dan weet je dat je beweegt! Maar
bij systemen die in rust zijn of bewegen met constante snelheid ten
opzichte van elkaar, kun je niet
zeggen welk systeem beweegt en
welk systeem in rust is.
th
Je kunt zelf ook een gedachte-experiment doen: stel
dat je in een ruimteschip zit, diep in het heelal. Het
ruimteschip heeft een geluidloze en trillingloze aandrijving. Je hebt een dutje gedaan en je hebt geen idee
of de motoren werken of niet. Je kijkt door het raampje
en ziet de sterrenhemel. Plots zie je een ander ruimtetuig voorbij bewegen met een constante snelheid.
Is jouw ruimteschip in rust en bewegen zij, of zijn zij
in rust en gaan jullie hen voorbij, of bewegen beide
ruimteschepen?
rie
4
re
la
t
Meestal bekijken we rust en beweging ten opzichte van de aarde. Maar … de aarde draait zelf rond de zon
aan 30 km/s. De zon dan maar als referentiestelsel? Maar … het zonnestelsel draait rond het centrum van
de melkweg met een snelheid van 220 km/s! Dan de melkweg als referentiestelsel? Maar … onze melkweg
maakt deel uit van een cluster van 30 à 40 sterrenstelsels (de Lokale Groep) en beweegt zelf ook ten opzichte van de andere sterren …
We zouden graag een absolute ruimte willen hebben ten opzichte waarvan we kunnen zeggen of iets beweegt of niet, maar noch de aarde, noch de zon, noch de sterren geven ons houvast … alles beweegt ten
opzichte van elkaar!
le
☞
Sp
ec
ia
De begrippen rust en beweging zijn niet absoluut, maar hangen af van het referentiestelsel van waaruit je
naar het voorwerp kijkt: rust en beweging zijn relatief. Iets is maar in rust of in beweging ten opzichte van
een referentiestelsel. Dat is het relativiteitsprincipe van Galilei.
Relativiteitsprincipe
Vanwaar het woord relativiteitsprincipe?
Relatief betekent in relatie tot iets anders, ten opzichte van.
Een voorbeeld: klein en groot zijn relatieve begrippen.
Je pa is bv. 1,65 m groot. Je omgeving zal zeggen “Je
pa is klein!”, maar als je met je pa op safari gaat en een
stam Pygmeeën bezoekt, zullen zij zeggen “Baba yako ni
kubwa”. Door je kennis van het swahili begrijp je dat ze
zeggen “Je pa is groot”. Je pa is klein ten opzichte van de
mensen uit je omgeving waar je woont, maar je pa is groot
ten opzichte van de Pygmeeën.
5
1.2
rie
Inertiaalstelsels
its
th
eo
Een trein rijdt met constante snelheid op een lang, recht, horizontaal en perfect vlak spoor voorbij een
station. De trein voert dus een ERB uit t.o.v. het station. Op de vloer van de trein ligt een bal in rust.
Op de bal werkt de zwaartekracht en de normaalkracht. Die krachten zijn even groot en tegengesteld,
zodat ze elkaar compenseren en de resulterende kracht gelijk is aan nul.
Isaac zit op de trein, ziet dat de bal in rust is en in rust blijft.
Tycho staat op het perron: voor hem beweegt de bal rechtdoor met constante snelheid.
Voor beide klopt dit met de 1e wet van Newton: een systeem waarop geen resulterende kracht werkt,
behoudt zijn bewegingstoestand: is het systeem in rust, dan blijft het in rust, beweegt het, dan behoudt het de richting, zin en grootte van zijn snelheid.
☞
☞
iv
Wat gebeurt er nu als de trein een versnelling →
a krijgt? Dat is het geval als de trein versnelt, vertraagt
of een bocht neemt. Stel bv. dat de trein vertraagt: de bal vliegt dan naar voren. Voor iemand die op de
trein zit, klopt dat niet met de 1e wet van Newton: de resulterende kracht op de bal is nul, maar toch
komt de bal in beweging!
Als de trein een versnelling →
a heeft, is hij geen inertiaalstelsel.
Dat geldt algemeen:
la
t
De naam inertiaalstelsel komt van
het woord inertie, traagheid. De
1e wet van Newton noemt men ook
de wet van de traagheid en die
geldt in een inertiaalstelsel.
ite
Een stelsel waarin de 1e wet van Newton geldt, noemen we een inertiaalstelsel.
Als een stelsel in rust is of een ERB uitvoert t.o.v. een inertiaalstelsel, is het zelf ook een inertiaalstelsel.
re
Een systeem dat een versnelling →
a heeft, is geen inertiaalstelsel.
Sp
ec
☞
ia
le
De speciale relativiteitstheorie van Einstein gaat over inertiaalstelsels, stelsels die niet versnellen,
maar t.o.v. elkaar in rust zijn of een ERB uitvoeren. Met de eerste wet van Newton kun je niet zeggen of
een systeem in rust is of een ERB uitvoert.
Einstein veralgemeende dat en stelde dat je met geen enkel experiment kan uitmaken of een systeem in
rust is of een ERB uitvoert: de resultaten van alle experimenten en alle wetten die je uit die experimenten kan afleiden, zijn in beide gevallen dezelfde.
In elk inertiaalstelstel gelden dezelfde natuurkundige wetten. Ook dat is het relativiteitsprincipe.
→
u
→
u
6
1.3
1.3.1 Coördinatentransformatie
th
eo
In een (x, y, z)-assenstelsel kun je de beweging van een voorwerp beschrijven met bewegingsvergelijkingen
zoals je zag in InterActie 6. Die vergelijkingen geven weer hoe de x-, y- en z-coördinaten van het voorwerp
veranderen met de tijd. Als je die beweging wil beschrijven in een ander assenstelsel (x’, y’, z’), dan
moet je een coördinatentransformatie doen: met die formules kun je de nieuwe coördinaten (x’, y’, z’)
berekenen met de coördinaten (x, y, z).
its
De galileitransformaties gelden
enkel in de klassieke mechanica,
niet in de relativistische!
rie
De galileitransformaties
z
z’
z
z’
P
→
v’
O’
O
→
u
y
le
y
Sp
ec
ia
fig a
Let goed op de accenten: een
v )
grootheid zonder accent (bv. →
is een grootheid die gemeten is
door een waarnemer in O, een
v ' ) is
grootheid met accent (bv. →
een grootheid die gemeten is door
een waarnemer in O’.
O’
O
re
x
la
t
iv
z
ite
Fig. a stelt een inertiaal (x, y, z)-assenstelsel voor: dat is het stelsel O. In dat stelsel voert een punt O’ een
ERB uit langs de x-as met constante snelheid →
u.
Vermits O’ een ERB uitvoert, geldt:
x(O’) = xo + ux ∙ (t – to)
→
u
x’
x
y’
O’
O
y
fig b
→
u
x’
x
y’
fig c
(zie InterActie 6.2 p 31)
Als punt O’ zich op 0 s in de oorsprong van O bevindt, is to = 0 s en xo = 0 m. Dus
x(O’) = ux ∙ t (*)
We koppelen nu een tweede assenstelsel (x’, y’, z’) aan punt O’ zoals in fig b. Dat stelsel noemen we O’.
Stelsel O’ is ook een inertiaalstelsel omdat het een ERB met constante snelheid →
u uitvoert t.o.v. inertiaalstelsel O.
Stel dat een voorwerp P een beweging uitvoert in de ruimte (fig c). Je kunt beweging daarvan beschrijven
t.o.v. stelsel O of t.o.v. stelsel O’.
In stelsel O heeft P als coördinaten (x, y, z, t), in stelsel O’ zijn die coördinaten (x’, y’, z’, t).
De snelheid van P t.o.v. O is →
v, t.o.v. O’ is de snelheid →
v '.
7
De snelheid van O’ t.o.v. O is 10 m/s. Op het ogenblik t = 20 s is de positie van O’ t.o.v. O gelijk aan:
x(O’) = ux ∙ t = 10 m/s ∙ 20 s = 200 m
z’
eo
z
th
we gebruiken (*)
rie
Voorbeeld:
Op het ogenblik t = 20 s meet een waarnemer in O’ de positie van P en vindt x ’(P) = 50 m.
O’
200 m
y
10 m/s
50 m
x’
t = 20 s
x
ite
O
its
P
y’
la
t
iv
Voor een waarnemer in O is de positie van P op t = 20 s is gelijk aan
x(P)= 50 m + 200 m = 250 m
= x ’(P) + x(O’)
Dan geldt algemeen voor een willekeurig tijdstip t :
☞
le
re
x(t) = x’(t) + ux ∙ t
De formule geeft weer hoe je coördinaten van een voorwerp in één inertiaalstelsel kunt omzetten naar
die in een ander inertiaalstelsel. Dat is de galileitransformatie voor coördinaten.
1.3.2 Snelheidstransformatie
Sp
ec
ia
Uit de coördinatentransformatie kun je afleiden hoe je de snelheid van het voorwerp P moet omzetten.
x(t) = x’(t) + ux ∙ t
Afleiden naar t geeft
d (ux ∙ t)
dx = dx ' +
dt dt
dt
dx = dx ' + ux
dt dt
dx = v is de ogenblikkelijke snelheid van P t.o.v. O
dt x
dx ' = v ’ is de ogenblikkelijke snelheid van P t.o.v. O’
x
dt
Dus:
☞
vx = vx’ + ux
Die formule geeft weer hoe je snelheid van een voorwerp in één inertiaalstelsel kunt omzetten naar de
snelheid ervan in een ander inertiaalstelsel. Dat is de galileitransformatie voor snelheid.
8
z
Voorbeeld:
z’
y’
x’
x
th
y
→
u
80 km/h
its
O’
O
eo
rie
3,0 km/h
ite
Een trein (O’) rijdt met een constante snelheid van 80 km/h:
ux = 80 km/h
In de trein stapt een conducteur naar voren met een snelheid van 3,0 km/h. De conducteur is het voorwerp P.
vx’ = 3,0 km/h
De snelheid van de conducteur t.o.v. het perron (O) is:
vx = vx’ + ux = 3,0 km/h + 80 km/h = 83 km/h
la
t
iv
Die optelwet voor snelheden ken
je uit het dagelijkse leven.
le
re
1.3.3 Afspraken
z’
z
P
ec
ia
→
v’
O’
Sp
O
y’
y
→
u
x’
x
In hetgeen volgt werken we met inertiaalstelsels. We bekijken treinen en
ruimteschepen die stilstaan of bewegen aan kleine of enorm grote snelheden. We
maken volgende afspraken:
- de trein of het ruimteschip bevindt zich in rust in het stelsel O’.
- het stelsel O’ beweegt met snelheid →
u in de positieve zin van de x-as ten
opzichte van stelsel O.
- in de trein of het ruimtetuig kunnen voorwerpen zoals staven, knikkers,
kogels, lichtbronnen … bewegen of in rust zijn. Zo’n voorwerp stellen we
voor door P. De snelheid ervan t.o.v. de trein of het ruimtetuig (O’) is →
v ',
de snelheid t.o.v. O is →
v.
- de waarnemers bij onze gedachte-experimenten (Isaac, Tycho, Spock en
Kirk) zijn gekoppeld aan het stelsel O of O' en kunnen in dat stelsel onmiddellijk en op gelijk welke plaats hun waarneming doen.
De galileitransformaties gelden in het algemeen voor vectoren, zo geldt voor de snelheidstransformatie:
→
v=→
v'+→
u
Indien de beweging van O’ en van P gebeuren in de positieve zin van de x -as, geldt:
☞
x = x ’ + u ∙ t voor de coördinaten
v = v ’ + u
voor de snelheden
Het zijn die formules die we zullen gebruiken voor de galileitransformaties.
Opmerking: in boeken of op internet vind je ook de formule v = v ’ – u. Dat is bv. het geval als je O en O’
omwisselt. Let dus goed op de definitie en de zin van beweging van de assenstelsels!
9
rie
1.3.4 Gevolgen
•
eo
In de klassieke mechanica is de wereld eenvoudig: een meter is een meter lang, een seconde duurt een
seconde, of je nu beweegt of niet. Dat lijkt evident, maar dat is niet waar in de relativistische mechanica! We bewijzen eerst of dit in de klassieke mechanica wel klopt.
Lengtes zijn absoluut
z’
ite
z
its
th
Isaac zit in een trein (stelsel O’) die met constante snelheid →
u beweegt t.o.v. Tycho die op het perron
(stelsel O) staat. In de trein ligt een staaf.
Voor Isaac (O’) is de staaf in rust en heeft ze een lengte L’.
Voor Tycho (O) beweegt die staaf met snelheid →
u en heeft ze een lengte L.
We tonen aan dat de lengte L gelijk is aan de lengte L’.
x r’
iv
xl’
→
u
la
t
y
O’
x’
x
y’
re
O
le
In de trein (O’) is de positie van de linkerkant van de staaf xl’ en die van de rechterkant xr’ (op tijdstip t).
De lengte van de staaf in O’ is:
L’ = xr’ - xl’
Sp
ec
ia
We passen de coördinatentransformatie toe:
xr(t) = xr’(t) + u ∙ t (1)
xl(t) = xl’(t) + u ∙ t (2)
(1) – (2) geeft
xr(t) - xl(t) = xr’(t) + u ∙ t - [xl’(t) + u ∙ t]
= xr’(t) - xl’(t)
xr(t) - xl(t) is de lengte van de staaf voor een waarnemer op het perron (O). Daaruit volgt:
L = L’
De lengte van de staaf is dezelfde voor Isaac en Tycho!
☞
In de klassieke mechanica is de lengte van een voorwerp in alle inertiaalstelsels dezelfde.
Lengte is absoluut. Je kunt spreken van DE lengte van een voorwerp.
10
eo
rie
We verplaatsen de trein naar de ruimte waar de gravitatiekracht nul is.
De trein met Isaac (O’) beweegt met snelheid →
u t.o.v. Tycho (O).
In de trein staat een opstelling met 2 horizontale platen op een afstand h’ van elkaar. Een knikker gaat
met constante snelheid →
v ’ van de onderste naar de bovenste plaat.
Voor Isaac (O’) is de opstelling in rust en heeft de knikker een tijdsduur ∆t’ nodig om de afstand h’ af te
leggen.
Voor Tycho (O) beweegt de opstelling met snelheid →
u en heeft de knikker een tijdsduur ∆t nodig om van de
onderste naar de bovenste plaat te bewegen.
We tonen aan dat de tijdsintervallen ∆t en ∆t’ even groot zijn.
z’
z
th
… met constante snelheid… :
daarom gaan we in gedachten naar
een gebied waar de gravitatiekracht nul is: de knikker behoudt
v ’ als hij naar
dan zijn snelheid →
boven geworpen wordt.
Tijdsintervallen zijn absoluut
its
•
→
v’
ite
O’
w
h’
→
u
x’
x
d
la
t
iv
O
h’
y’
re
y
fig. afig. b
le
Voor Isaac (O’) is de tijdsduur ∆t’ gelijk aan
∆t ’ = h’ / v ’
Sp
ec
ia
Tycho (O) ziet de knikker naar boven gaan en tegelijkertijd opzij bewegen met de trein (fig b). Stel dat de
knikker een tijdsduur ∆t nodig heeft om de bovenste plaat te bereiken. In die tijd legt de trein de afstand d af:
d = u ∙ ∆t
→
v (= →
v’ + →
u)
→
De totale afstand die de knikker aflegt, is w.
v’
Met de stelling van Pythagoras kun je die afstand bepalen:
Waarom mag je hier niet de
formule v = v ’ + u gebruiken?
w=
(h') 2 + d 2 =
_h 'i2 + _u · Tt i2
Voor Tycho (O) is de snelheid van de knikker :
→
v =→
v’ + →
u
De grootte van de snelheid →
v is:
v=
2
_v ’i + u
2
De tijdsduur ∆t is gelijk aan de afstand w gedeeld door de snelheid v :
∆t = w =
v
(h') 2 + (u ∙ ∆t) 2
(v ') 2 + u 2
→
u
11
Kwadrateren en uitwerken geeft:
(∆t)2 =
(h') 2 + u 2 ∙ (∆t) 2
(v ') 2 + u 2
rie
Wat is het verschil tussen
(∆t)2 en ∆t2 ?
eo
(∆t)2 ∙ [(v ’)2 + u2] = (h’)2 + u2 · (∆t)2
(∆t)2 ∙ (v ’)2 + (∆t)2 ∙ u2 = (h’)2 + u2 · (∆t)2
(∆t)2 ∙ (v ’)2 = (h’)2
(h') 2
(v ') 2
th
(∆t)2 =
its
∆t = h' = ∆t’
v'
ite
De tijdsduur is voor Isaac en voor Tycho dezelfde!
☞
Gelijktijdigheid is absoluut
la
t
•
iv
In de klassieke mechanica is de duur van een tijdsinterval in alle inertiaalstelsels dezelfde.
Een tijdsinterval is absoluut. Je kunt spreken van DE duur van een tijdsinterval.
Sp
ec
ia
le
re
Een explosie van een vuurpijl gebeurt op een bepaalde plaats in de ruimte en op een bepaald tijdstip.
Als twee gebeurtenissen plaatsvinden op hetzelfde ogenblik, gebeuren ze gelijktijdig.
Bv. als een trein vertrekt in Berchem station op het moment dat de vuurpijl explodeert, gebeuren de
explosie en het vertrek gelijktijdig.
Dat lijkt logisch, maar verder zul
je zien dat dat niet waar is in de
relativistische mechanica!
Alle gebeurtenissen die zich op een bepaald ogenblik op aarde (of in het heelal) voordoen, gebeuren
gelijktijdig!
We tonen aan dat gelijktijdigheid absoluut is: als twee gebeurtenissen gelijktijdig zijn in één inertiaalstelsel, zijn ze gelijktijdig in elk ander inertiaalstelsel.
12
z
z’
L’
eo
Voor Isaac (O’) bereiken de knikkers gelijktijdig de de tegenoverliggende wand.
We tonen aan dat dat ook het geval is voor Tycho (O).
L’
th
We gaan in gedachten naar een
gebied waar de gravitatiekracht
nul is omdat de knikker dan een
ERB uitvoert i.p.v. een horizontale
worp.
rie
u t.o.v. Tycho (O).
We bevinden ons nog altijd in de ruimte. De trein met Isaac (O') beweegt met snelheid →
In de trein bevindt zich een experimenteerruimte. In het midden daarvan staat een lanceertoestel dat op
hetzelfde moment twee knikkers wegschiet met dezelfde snelheid v ’ zoals in de figuur.
O’
O
→
u
iv
y’
x
ite
x’
y
v’
its
v’
re
la
t
Voor Isaac (O’) moet de rechterknikker een afstand L’ afleggen om de wand te bereiken. De tijdsduur daarvoor nodig is ∆tr’ = L’ / v ’. Voor de linkerknikker geldt dezelfde formule: ∆tl’ = L’ / v ’.
Vermits de knikkers op hetzelfde moment vertrekken en er even lang over doen, bereiken ze de wand inderdaad gelijktijdig.
Sp
ec
ia
le
Voor Tycho (O) bewegen niet alleen de knikkers maar ook de trein (O’).
We bekijken de rechterknikker. Stel dat die een tijdsduur ∆tr nodig heeft om tot aan de wand te geraken.
In die tijdsduur legt de rechterwand een afstand d af gelijk aan
d = u ∙ ∆tr
→
u
L’
u · ∆tr
De totale afstand wr die de knikker moet afleggen, is
wr = L’ + u ∙ ∆tr
De snelheid v van de knikker (t.o.v. O) is:
v = v ’ + u
De tijdsduur die de rechterknikker nodig heeft om de afstand wr af te leggen is
w L’ + u ∙ ∆t r
∆tr = r =
v
v’ + u
Uitwerken:
∆tr ∙ (v ’ + u) = L’ + u ∙ ∆tr
∆tr ∙ v ’ + ∆tr ∙ u = L’ + u ∙ ∆tr
∆tr ∙ v ’ = L’
∆tr = L’ / v ’ = ∆tr’
13
rie
De tijdsduur die de rechterknikker nodig heeft om de wand te bereiken is even groot voor Isaac als voor
Tycho. Dat was te verwachten want tijdsduur is absoluut.
Dat geldt ook voor de linkerknikker. Ga dat na.
De twee knikkers zullen dus op hetzelfde moment (gelijktijdig) de wand bereiken.
☞
th
eo
In de klassieke mechanica is gelijktijdigheid absoluut: als twee gebeurtenissen zich gelijktijdig voordoen in één inertiaalstelsel, doen ze zich ook gelijktijdig voor in elk ander inertiaalstelsel.
Je kunt spreken van HET tijdstip waarop twee gebeurtenissen voordoen.
Sp
ec
ia
le
re
la
t
iv
ite
its
Rosetta’s journey
Gelijktijdigheid is belangrijk als je bv. met je vriend of vriendin afgesproken
hebt: jullie moeten gelijktijdig op de plaats van afspraak zijn, anders mis je de
afspraak.
Gelijktijdigheid is ook belangrijk bij het lanceren van een ruimtetuig. Op 2 maart
2004 werd Rosetta gelanceerd om het landingstuig Philae te doen landen op
een meteoriet. Het ruimtetuig en de meteoriet moeten gelijktijdig op dezelfde
plaats in de ruimte zijn. Met de wetten van Newton uit de klassieke mechanica
kon men het juiste lanceertraject berekenen naar de voorspelde (maar toen nog
lege plek) in de ruimte. Op 12 november 2014, ruim 10 jaar later, kon men het
landingstuig Philae perfect neerzetten op de meteoriet.
14
rie
2LICHT
eo
2.1
th
Licht … deeltjes of golven?
ite
its
Licht is een mysterieus iets. Je kunt het niet horen, voelen of uit elkaar
halen om het te onderzoeken. Je kunt het zelfs niet zien: een lichtbundel in
een stofvrije kamer zonder meubelen en met zwarte wanden zie je niet! Je
kunt enkel voorwerpen zien die licht terugkaatsen en verstrooien. Lichtstralen bewegen rechtlijnig en kaatsen terug zoals een biljartbal die zonder effect op een band botst: de invalshoek en de terugkaatsingshoek zijn gelijk.
Dat leerde je in het 3e jaar.
re
la
t
iv
Die fenomenen kun je verklaren als je aanneemt dat licht bestaat uit achter
elkaar bewegende deeltjes: dat is de deeltjestheorie van licht. Newton was
een felle aanhanger van die theorie.
Volgens Christiaan Huygens, een tijdgenoot van Newton, zou licht echter
bestaan uit golven en zou het zich voortbewegen zoals bv. watergolven zich
voortplanten over een wateroppervlak: dat is het golfmodel van licht.
ec
ia
le
Het aanzien van Newton en het feit dat zijn deeltjesmodel toeliet verschijnselen zoals de rechtlijnige voortbeweging en terugkaatsing te verklaren,
maakte dat het golfmodel op de achtergrond verdween.
In het begin van de 19e eeuw stelden o.a. Thomas Young en Augustin Fresnel vast dat licht interferentiepatronen kan geven zoals water- en geluidsgolven. Die fenomenen kan men niet met het deeltjesmodel verklaren, maar
wel met het golfmodel.
Sp
h is de constante van Planck:
h = 6,63 · 10-34 Js
☞
De golftheorie van licht werd dan vrijwel algemeen aanvaard, tot op het einde van de 19e eeuw een aantal
fenomenen ontdekt werden zoals het foto-elektrisch effect, die enkel konden verklaard worden door aan te
nemen dat licht bestaat uit deeltjes, ‘pakketjes energie’ (lichtquanta of fotonen genoemd), met een hoeveelheid energie E gelijk aan E = h · f en een hoeveelheid van beweging p gelijk aan p = h .
m
Eigenschappen van deeltjes (energie E en hoeveelheid van beweging p) zijn zo gekoppeld aan eigenschappen van golven (frequentie f en golflengte λ)!
En … hoewel we ons dat niet kunnen voorstellen, heeft licht zowel een golf- als een deeltjeskarakter!
Licht heeft zowel een deeltjes- als een golfkarakter.
15
2.2
rie
De lichtsnelheid
ite
Armand Fizeau (1819-1896)
In 1849 bepaalde Fizeau de lichtsnelheid met een draaiend tandrad tot op
ongeveer 5% nauwkeurig. Foucault verbeterde dat resultaat met een draaiende spiegel. In 1879 vond
Michelson 299 901 km/s.
De snelheid van het licht hangt af van de middenstof. In lucht en vacuüm is de lichtsnelheid ongeveer
even groot en bijna gelijk aan 300 000 km/s.
iv
De letter c voor de lichtsnelheid is
afkomstig van celeritas,
het Latijnse woord voor snelheid.
its
th
eo
Lange tijd dacht men dat de lichtsnelheid oneindig groot zou zijn. Galileo
Galilei probeerde de lichtsnelheid te meten door met lantaarns tussen bergtoppen te seinen, maar door de reactiesnelheid van het oog is die methode
te traag om de grote lichtsnelheid te kunnen meten.
In 1676 bleek uit waarnemingen van Giovanni Cassini dat de eclipsen van Io,
een maan van Jupiter, soms later en soms vroeger optraden dan voorspeld
werd met de wetten van Kepler. Op basis daarvan kon Olaf Römer de lichtsnelheid bepalen en vond iets meer dan 200 000 km/s (zie oef. 12 reeks 2).
☞
re
la
t
De lichtsnelheid is eindig. De lichtsnelheid in vacuüm stelt men voor door c:
c = 300 000 km/s
2.3
le
De wetten van Maxwell
Sp
ec
ia
In het 5e jaar maakte je kennis met elektrische en
magnetische velden. In 1865 formuleerde James Clerk
Maxwell 4 wetten die de theorie van het
elektromagnetisme samenvatten.
Uit zijn theorie kon Maxwell besluiten dat een
wisselstroom in een geleider een veranderend
elektrisch en magnetisch veld creëert dat zich als een
golf in de ruimte voortplant. Zo’n ‘elektromagnetische’
golf (em-golf) beweegt zich (in vacuüm) voort met een
1
snelheid gelijk aan
.
James Clerk Maxwell (1831-1879)
fO · nO
De waarde daarvan is gelijk aan de lichtsnelheid, die
Fizeau in 1849 vrij nauwkeurig bepaald had.
Daaruit ontstond het idee dat licht zelf een elektromagnetische golf zou zijn. Naar analogie met
mechanische golven (die een middenstof nodig hebben om zich voort te planten), zouden lichtgolven
zich voortbewegen in de “ether”, zoals golven op het water of geluidsgolven in lucht. Die onzichtbare
ether zou het hele heelal vullen.
16
2.4
ite
its
th
eo
rie
De ether
re
la
t
iv
Isaac zit in een luchtballon (stelsel O’) die zich met de wind aan 36 km/h (= 10 m/s) beweegt t.o.v. Tycho
op het aardoppervlak (stelsel O).
De windsnelheid is “de snelheid waarmee de lucht zich verplaatst t.o.v. het aardoppervlak”, maar je kan
evengoed zeggen “de snelheid waarmee de aarde zich verplaatst t.o.v. de lucht”. Dat is het relativiteitsbeginsel.
Isaac zendt met een toeter een geluidspuls uit evenwijdig met de windrichting, in fig. a met de wind mee,
in fig b. tegen de wind in. De luchtballon beweegt met de wind mee en heeft dezelfde snelheid als de wind.
Voor Isaac (O’) is de lucht in rust en is de geluidssnelheid 340 m/s (bij 14°C).
Voor Tycho (O) is de geluidssnelheid 340 m/s + 10 m/s = 350 m/s in het geval van fig. a en
340 m/s – 10 m/s = 330 m/s voor fig. b.
ia
ec
Sp
y
O O
y
z
z’ z’
z
le
z
O’ O’
10 m/s
10 m/s
340340
m/sm/s
x’ x’x
fig. a
O’ O’
10 m/s
10 m/s
O O
x
y
y’ y’
z’ z’
z
340340
m/sm/s
x’ x’x
y’ y’
y
fig. b
Omgekeerd kun je zo ook de windsnelheid bepalen:
als Tycho in fig. a voor de geluidssnelheid 355 m/s meet, is de windsnelheid 15 m/s!
Om de windsnelheid zo te kunnen bepalen, moet je wel de windrichting kennen, maar dat is geen probleem
want wind kun je voelen.
Men dacht dat licht zich in de ether op een analoge wijze zou voortplanten. Dat was een bijzonder aantrekkelijk idee, want je zag dat we noch de aarde, noch de zon, noch de melkweg, noch de sterren kunnen
beschouwen als absoluut in rust want alles beweegt ten opzichte van elkaar, maar … als die ether zich over
heel het heelal zou uitstrekken, zou die als referentiestelsel kunnen dienen en zouden we elke beweging
kunnen bekijken t.o.v. de ether. Met dat idee in het achterhoofd voerden Michelson en Morley in 1887 hun
beroemde experiment uit om de snelheid van de aarde t.o.v. de ether te bepalen … of de snelheid van de
ether t.o.v. de aarde: daarom spreekt men ook van de “etherwind”.
x
17
Het experiment van Michelson en Morley
rie
2.5
th
eo
Hét probleem is dat je de ether niet kunt waarnemen: de ether is onzichtbaar, kun je niet wegen, voelen, ruiken of proeven. Je weet dus ook niet in welke richting de aarde t.o.v. de ether beweegt (of in
welke richting en zin de etherwind waait). Albert Michelson en Edward Morley vonden daarvoor een
elegante oplossing met de interferometer.
its
aarde
zomer
ite
ZON
A
2
2’
1
iv
S
3’’
la
t
aarde
winter
fig a
re
etherwind
3
3’
2’’
scherm
fig b
Sp
ec
ia
le
Een lichtstraal (1) valt in op een halfdoorlatende spiegel (S). Een deel van die straal wordt teruggekaatst (2) naar spiegel A en wordt daar opnieuw teruggekaatst (2’). Een deel van straal 1 wordt door
de spiegel (S) doorgelaten (3), valt in op spiegel B en wordt daar teruggekaatst (3’).
Op de halfdoorlatende spiegel wordt straal 2’ gedeeltelijk doorgelaten (2”) en straal 3’ gedeeltelijk
teruggekaatst (3”).
De spiegels staan even ver van de halfdoorlatende spiegel. Omwille van de richting van de etherwind
zou de snelheid van de lichtstralen 2 en 2’ en van de stralen 3 en 3’ niet gelijk zijn en is de tijd die ze
over die (gelijke) afstand doen verschillend (zie ook oef. 9 reeks 1).
Er treedt daardoor een kleine faseverschuiving op en op het scherm zie je een interferentiepatroon.
Omdat de richting en zin van de etherwind niet gekend is, was de opstelling draaibaar opgesteld. Bij
het draaien zou zo toch ergens een duidelijk interferentiepatroon moeten te zien zijn! Er werd dag en
nacht gemeten vanwege de draaiing van de aarde om zijn as. En gedurende alle jaargetijden vanwege
de draaiing van de aarde om de zon. Maar … Michelson en Morley vonden geen interferentiepatroon,
ook niet nadat ze een nauwkeurigere interferometer bouwden. Het bestaan van de ether moest worden
verworpen!
B
18
2.6
rie
De donkere wolken …
th
eo
Op het einde van de 19e eeuw waren de meeste wetenschappers ervan overtuigd dat de natuurkunde bijna
“af” was. Met het relativiteitsbeginsel van Galilei, de wetten van Newton en de wetten van Maxwell kon
men in principe alles berekenen. Dat men bepaalde vergelijkingen nog niet kon oplossen, was enkel een
probleem van wiskunde en rekencapaciteit… dacht men. Maar er waren twee donkere wolken die boven de
klassieke fysica hingen.
ite
its
Eerste wolk: de wetten van Maxwell kloppen niet met het relativiteitsbeginsel van Galilei.
Bekijk een elektrische lading die beweegt t.o.v. de aarde. In het 5e jaar leerde je dat die lading een elektrisch én een magnetisch veld schept. Stel nu dat je samen met die lading zou bewegen, dan ben je in rust
t.o.v. die ladingen en vind je er enkel een elektrisch veld, geen magnetisch!
Maar volgens het relativiteitsbeginsel moet je in elk inertiaalstelsel dezelfde natuurkundige wetten vinden!
Sp
ec
ia
le
re
la
t
iv
Tweede wolk: voor licht kloppen de wetten van Maxwell niet met de snelheidstransformatie van Galilei.
Uit de wetten van Maxwell volgt dat de lichtsnelheid constant is, en niet afhangt van het referentiestelsel
(zie 3.2). Dat wordt ook bevestigd door de proef van Michelson en Morley: omdat er geen interferentie optreedt, is de snelheid van de lichtgolven altijd en overal even groot!
Het waren die twee donkere wolken die Albert Einstein verdreef door de publicatie van zijn speciale relativiteitstheorie. Einstein baseerde zich niet zo zeer op de resultaten van de proef van Michelson en Morley,
maar op de problemen van de klassieke mechanica met de wetten van Maxwell. Het is dan ook terecht dat
Einstein schreef “The special theory of relativity owes its origins to Maxwell’s equations of the electromagnetic field”.
19
rie
3 DE RELATIVISTISCHE MECHANICA
eo
3.1
☞
In 1905 publiceerde Einstein zijn beroemd artikel Zur Elektrodynamik bewegter Körper. De theorie die
daarin beschreven wordt, is sindsdien bekend als de speciale relativiteitstheorie en gaat uit van 2 postulaten.
its
Een postulaat is een beweging die
je niet kunt bewijzen, maar waarvan je aanneemt dat ze waar is.
th
De postulaten van Einstein
ite
- In elk inertiaalstelstel gelden dezelfde natuurkundige wetten (relativiteitsprincipe).
- De lichtsnelheid (in vacuüm) is gelijk aan 300 000 km/s en is even groot in elk inertiaalstelsel.
iv
3.2
re
la
t
De lichtsnelheid en de galileitransformaties
Het ruimteschip van Spock (O’) beweegt met een snelheid van 100 000 km/s (= u) t.o.v. Kirk (O). In de
experimenteerruimte zendt Spock een lichtpuls uit.
Voor Spock is de snelheid van de lichtpuls
v’ = 300 000 km/s (= c)
le
Spock en Kirk zijn helden uit de
TV-serie Star Trek die in de jaren
’60 erg populair was.
ec
ia
Voor Kirk (O) is de snelheid volgens de galileitransformatie:
v = v’ + u = c + u = 300 000 km/s + 100 000 km/s = 400 000 km/s
z
z’
Sp
c
→
O’ u
100 000 km/s x’
O
y
x
y’
Dat klopt niet met de wetten van Maxwell:
1
de lichtsnelheid in vacuüm is gelijk aan
(= 300 000 km/s), zowel voor Spock als voor Kirk,
fO · nO
(zie oef. 7 reeks 1).
☞
De galileitransformaties zijn niet in overeenstemming met het tweede postulaat.
20
We bekijken het experiment in detail.
∆x’
∆x’
∆x’
→
u
th
→
u
eo
rie
Stel dat de lichtflits een tijdsduur ∆t nodig heeft om de tegenoverliggende wand te bereiken.
∆x’
u · ∆t
its
u · ∆t
fig. a
fig. b
c = ∆x ’(1)
∆t
iv
ite
Lichtsnelheid voor Spock (O’):
In stelsel O' legt de lichtpuls in de tijdsduur ∆t de afstand ∆x’ af (fig. a). Spock meet voor de lichtsnelheid:
re
la
t
Lichtsnelheid voor Kirk (O):
In de tijdsduur ∆t legt de wand van het ruimteschip (O’) de afstand u · ∆t af ten opzichte van stelsel O (fig. b).
De totale afstand die de lichtpuls aflegt ten opzichte van O is dus
∆x = ∆x’ + u ∙ ∆t
le
Kirk meet voor de lichtsnelheid
c = ∆x
∆t
= 3 x’ + u · 3 t 3t
(2)
Sp
ec
ia
Volgens het tweede postulaat is de lichtsnelheid even groot voor Spock als voor Kirk.
Dan moet (1) gelijk zijn aan (2):
☞
Die transformaties waren al
opgesteld door Lorentz in verband
met de wetten van Maxwell.
∆x ' = 3 x’ + u · 3 t
3t
∆t
Daaruit volgt dat u · ∆t = 0 en dus ∆t = 0.
De lichtpuls heeft in dat geval een oneindig kleine tijdsduur ∆t nodig om de wand te bereiken. Maar dan
zou de lichtsnelheid oneindig groot zijn en dat is niet het geval: de lichtsnelheid is eindig.
De galileitransformaties zijn niet in overeenstemming met het 2e postulaat omdat de lichtsnelheid eindig is.
De galileitransformaties moeten vervangen worden door andere. Einstein gebruikte de lorentztransformaties en die zijn wel in overeenstemming met het 2e postulaat.
21
3.3
z’
y
→
u
x’
→
u O
x
y’
y
la
t
iv
x’ = x - u ∙ t 2
1 – u2
c
t - u2 ∙ x
c
t’ =
2
1 – u2
c
re
le
ia
1
2
1 – u2
c
1
γ=
x
y’
x = x ’ + u ∙ t ’2
De factor
ec
x’
O’ is in rust en O beweegt in de negatieve
zin van de x ’-as met snelheid u.
t ’ + u2 ∙ x ’
c
t=
2
1 – u2
c
Sp
O’
O is in rust en O’ beweegt in de positieve
zin van de x-as met snelheid u.
1 – u2
c
☞
z’
ite
O’
O
z
th
z
Inverse lorentztransformaties
eo
Lorentztransformaties
its
We geven de formules zonder
bewijs.
rie
De coördinatentransformaties van Lorentz
noemt men de lorentzfactor. Gewoonlijk stelt men die voor door γ :
2
1 – u2
c
Meestal bekijken we de situatie vanuit stelsel O, waarbij stelsel O’ in de positieve zin van de x-as beweegt met snelheid u. Dan gelden de ”gewone” lorentztransformaties:
Lorentztransformaties voor de coördinaten:
x = γ ∙ (x’ + u ∙ t’)
t = γ ∙ (t’ + u2 ∙ x’)
c
met γ =
1
2
1 – u2
c
Einstein en Lorentz in Leiden (1921)
22
hallo Kirk
x’ = 2500 km
t’ = 10h15
z’
its
O’
O
th
Oké Spock
nu kan ik
en
x en t
u = 100 000 km/s berekenen
eo
z
rie
Bespreking van de formules:
- Hoe kun je de formule eenvoudig begrijpen?
Kirk bevindt zich in stelsel O. Spock bevindt zich in zijn ruimteschip (stelsel O’) en geeft de coördinaten
x’ en t’ door van een vreemd object. Kirk kent de snelheid →
u van stelsel O’. Met de coördinatentransformaties van Lorentz kan hij nu de coördinaten x en t van het voorwerp in zijn stelsel O berekenen.
→
u
y
iv
y’
x
ite
x’
la
t
- Merk op dat niet alleen de plaatscoördinaten, maar ook de tijd getransformeerd wordt! Een gebeurtenis
in O’ wordt gekenmerkt door een plaats en een tijdstip. In O doet die gebeurtenis zich voor op een andere
plaats maar ook op een ander tijdstip! Er bestaat geen absolute tijd in de relativistische mechanica.
re
- Uit de formules volgt ook dat de lichtsnelheid de maximale snelheid is.
2
2
2
1 - u 2 volgt immers 1 – u 2 > 0 en dus 1 > u 2 en u2 < c2 en bijgevolg u < c.
c
c
c
ia
le
Uit
De snelheidstransformatie van Lorentz
z
Sp
ec
3.4
z’
O’
O
y
y’
P
Uit de coördinatentransformatie kun je de
snelheidstransformatie afleiden.
Stel dat een voorwerp P met snelheid →
v ’ beweegt
in stelsel O’ zoals in de figuur.
→
v’
→
u
x’
x
23
rie
Snelheid van P voor Spock (O’):
Op tijdstip t1’ is de positie van het voorwerp x1’, op t2’ is de positie x2’.
De snelheid v ’ is
x ’ – x1 ’
v’ = 2
(1)
t2 ’ – t1 ’
ite
its
De verplaatsing ∆x is
∆x = x2 – x1
= γ ∙ (x2’ + u · t2’) - γ ∙ (x1’ + u · t1’)
= γ ∙ x2’ + γ ∙ u ∙ t2’ - γ ∙ x1’ - γ ∙ u ∙ t1’
= γ ∙ (x2’ - x1’) + γ ∙ u ∙ (t2’ - t1’)
= γ ∙ (∆x’ + u ∙ ∆t’)
th
eo
Snelheid van P voor Kirk (O):
Op tijdstip t1 is de positie van het voorwerp x1, op t2 is de positie x2.
We passen de lorentztransformaties toe:
x2 = γ ∙ (x2’ + u · t2’)
x1 = γ ∙ (x1’ + u · t1’)
iv
Voor het tijdsinterval ∆t vind je op analoge wijze
∆t = γ ∙ (∆t’ + u2 ∙ ∆x’)
la
t
c
De snelheid v is
c ∙ (∆x ’ + u ∙ ∆t’) ∆x ’ + u ∙ ∆t ’
v = ∆x =
=
∆t c ∙ (∆t ’ + u ∙ ∆x ’) ∆t ’ + u ∙ ∆x ’
2
c
c2
re
ia
Sp
ec
☞
le
Teller en noemer delen door ∆t’ geeft:
v = v’ + u
1 + u2 ∙ v ’
c
Dat is snelheidstranformatie volgens Lorentz.
Bespreking van de formule:
-symmetrie
De formule voor de snelheidstransformatie is symmetrisch in v’ en u: je mag u vervangen door v’ en
omgekeerd. Een stelsel O’ met een snelheid 100 000 km/s (= u) waarin een ruimteschip met snelheid
van 50 000 km/s (= v’) beweegt, is hetzelfde als een stelsel O’ met snelheid 50 000 km/s (= u)
waarin een ruimteschip met een snelheid van 100 000 km/s (= v ’) beweegt.
- voor kleine snelheden geven de galileitransformatie en z
de lorentztransformatie geen merkbaar verschil:
Het ruimteschip van Spock (O’) beweegt
met snelheid →
u t.o.v. Kirk (O). De
snelheid →
u is gelijk aan 800 km/h. In
de experimenteerruimte vuurt Spock een
kogel af met snelheid →
v ’ van 300 km/h.
z’
P
300 km/h
O’
O
→
u
800 km/h
y
→
v’
y’
x’
x
24
rie
Volgens de galileitransformatie is de snelheid van de kogel voor Kirk (O) gelijk aan
v = v’ + u = 300 km/h + 800 km/h = 1100 km/h = 0,305 555 555 … km/s
Volgens de lorentztransformatie is de snelheid van de kogel
v=
300 km/h + 800 km/h
v’ + u =
= 0,305 555 555 … km/s
u
800 km/h
1 + 2 ∙ v’ 1 +
2 ∙ 300 km/h
c
_300 000 km/si
eo
Let op de eenheden!
th
Het verschil is zo klein dat het niet te merken is!
ite
its
- Voor grote snelheden (in de buurt van de lichtsnelheid) geven de galileitransformatie en de
lorentztransformatie wel een (groot) verschil.
Het ruimteschip van Spock (O’) beweegt met snelheid →
u t.o.v. Kirk (O). De snelheid →
u is nu gelijk aan
90 % van de lichtsnelheid. In de experimenteerruimte vuurt Spock een spacebullet af met een snelheid
→
v ’ van 20 000 km/s.
z
z’
P
→
v’
20 000 km/h
iv
Volgens de galileitransformatie is de snelheid van de kogel voor Kirk
(O) gelijk aan
v = v’ + u = 20 000 km/s + 0,90 c
= 20 000 km/s + 0,90 ∙ 300 000 km/s = 290 ∙ 103 km/s
v=
v ’ + u = 20 000 km/s + 0, 90 c = 276 ∙ 103 km/s
1 + u2 ∙ v ’ 1 + 0, 902 c ∙ 20 000 km/s
c
c
O
O’
→
u
0,90 c
re
la
t
Volgens de lorentztransformatie is die snelheid:
x’
Dat is een verschil van 14 ∙ 103 km/s!
Sp
ec
ia
le
y
y’
- Controle van het tweede postulaat:
Het ruimteschip van Spock (O’) beweegt met snelheid →
u t.o.v. Kirk (O).
Spock zendt een lichtpuls uit in zijn ruimteschip (O’). De snelheid v’ van die lichtpuls is voor hem gelijk
aan de lichtsnelheid: v ’ = c
z
z’
O
→
O’ u
c
x’
x
y
y’
Voor Kirk (O) is de snelheid van de lichtpuls (lorentztransformatie):
v=
v’ + u = c + u = c + u = c + u · c = c
1 + u2 ∙ v ’ 1 + u2 ∙ c 1 + u c + u
c
c
c
Dat klopt met het 2e postulaat: de lichtsnelheid (in vacuüm) is even groot in elk inertiaalstelsel.
x
25
Gevolgen
We bekijken een aantal vreemde gevolgen van de relativiteitstheorie.
Lorentzcontractie
eo
•
rie
3.5
th
Het ruimteschip van Spock (O’) beweegt met snelheid →
u t.o.v. Kirk (O). In zijn ruimteschip bevindt zich
een staaf. Voor Spock is de staaf in rust en heeft ze een lengte L’.
xl’
la
t
O’
O
iv
→
u
xr’
ite
L’
z’
z
its
Voor Kirk (O) beweegt die staaf met snelheid →
u en heeft ze een lengte L.
We tonen aan dat de lengte L kleiner is dan de lengte L’.
x’
x
Spock in rust
Spock met lorentzcontractie
y’
Spock bepaalt de coördinaat van de linkerkant van de staaf en vindt xl’. Voor de rechterkant vindt hij xr’.
De lengte van de staaf is:
L’ = xr’ – xl’
le
re
y
Sp
ec
ia
Gebruik van de inverse lorentztransformatie geeft
xr’ = γ ∙ (xr - u ∙ tr) xl’ = γ ∙ (xl - u ∙ tl)
en dus
xr’(t) - xl’(t) = γ ∙ (xr - u ∙ tr) - γ ∙ (xl - u ∙ tl)
tl en tr zijn de tijdstippen waarop Kirk (O) respectievelijk de positie van de linkerkant en de rechterkant
van de staaf meet. Hij moet die posities meten op één en hetzelfde tijdstip, want de staaf beweegt!
Dus tl = tr:
xr’(t) - xl’(t) = γ ∙ (xr - xl)
L
L’ = γ ∙ L =
2
1 - u2
c
en dus:
L=
Vermits
☞
2
1 - u 2 ∙ L’
c
2
1 - u 2 kleiner is dan 1, is L kleiner dan L’.
c
De lengte van een voorwerp is korter als je het ziet bewegen, dan wanneer je het voorwerp in rust ziet.
Dat is de lorentzcontractie. Lengte is relatief. Je kunt niet spreken van DE lengte van een voorwerp.
26
Bespreking:
- De lorentzcontractie doet zich enkel voor in de bewegingsrichting.
rie
- Als we spreken van dé lengte van een voorwerp, dan bedoelen we de lengte in een inertiaalstelsel ten
opzichte waarvan het voorwerp in rust is.
eo
- Als de snelheid van het voorwerp klein is, is de lorentzcontractie van geen betekenis: een wagen met
een lengte van 4,00 m die aan 100 km/h rijdt, zie je 2 ∙ 10-18 m korter dan wanneer je de wagen in rust
ziet. Reken dat na. Dat is minder dan de diameter van een proton!
•
ite
its
th
- Je kunt de situatie ook omgekeerd bekijken: stel dat naast Kirk (O) een identieke staaf ligt. Voor Spock
(O’) beweegt Kirk (O) t.o.v. hem. Hij ziet dat de staaf naast Kirk korter is!
Wie heeft er dan gelijk? Lengte is relatief, juist zoals beweging. Denk eens terug aan dat ruimtetuig dat
je voorbij ziet komen. Bewegen zij of bewegen jullie? Alles hangt af vanuit welk referentiestelsel je het
bekijkt! Kirk zegt tegen Spock: jouw staaf is de kortste. Spock zegt tegen Kirk: jouw staaf is het kortst
en … beiden hebben gelijk!
Tijddilatatie
re
la
t
iv
Kwalitatieve afleiding:
Het ruimteschip van Spock (O’) beweegt met snelheid →
u t.o.v. Kirk (O).
In de experimenteerruimte van het ruimteschip bevindt zich een lichtklok: die bestaat uit 2 spiegels waartussen een lichtpuls heen en weer gaat. De spiegels kaatsen de lichtpuls volledig terug, zodat de lichtpuls,
eenmaal uitgezonden, over en weer blijft gaan.
z’
ec
ia
le
z
→
O’ u
Sp
O
y
x’
x
weg van de lichtpuls voor Kirk
y’
Spock (O’) ziet de puls in het ruimteschip verticaal op en neer gaan. We kunnen de afmetingen van het
ruimteschip zo maken dat de afstand tussen de twee spiegels 1,5 ∙ 108 m is. In een gedachte-experiment is
dat geen enkel probleem! Voor Spock zal de lichtpuls er dan telkens 1 seconde over doen om heen en weer
te gaan. Reken dat na.
Kirk (O) ziet de lichtpuls bewegen zoals in de rechter figuur omdat de puls niet alleen verticaal beweegt,
maar zich met het ruimteschip ook horizontaal verplaatst!
27
ite
its
th
eo
rie
Aangezien de lichtsnelheid constant is en de lichtpuls voor Kirk een grotere weg aflegt, doet de puls er
voor hem langer dan 1 s over. Kirk ziet de tijd in het bewegende ruimteschip trager verlopen!
Vergelijk dat met de penduleklok bij je grootmoeder die elke seconde 1 tik geeft:
tik … tik … tik ….
Na 60 tikken is er 1 minuut voorbij.
Als de klok trager tikt, gaat de tijd trager. Het duurt langer eer de klok 60 tikken (= 1 min) gegeven heeft.
tik ………..tik ……... tik ……...
Hoe trager de klok tikt, hoe langzamer de tijd (volgens die klok!) gaat. Als de klok stilvalt, staat de tijd
stil! De lichtklok kun je ook zo bekijken: iedere keer dat de lichtpuls toekomt, is er een tik. Voor Kirk (O)
tikt de klok van Spock (O') trager dan zijn eigen lichtklok. En dat is niet alleen zo voor de lichtklok, ook
de biologische processen (hartslag, denken ….) van Spock verlopen trager.
Maar beweging is relatief: zoals Spock voor Kirk beweegt, beweegt Kirk voor Spock! En voor Spock loopt
de lichtklok van Kirk trager dan zijn lichtklok. Wie heeft er dan gelijk? Tijdsduur is relatief, juist zoals
beweging. Alles hangt af vanuit welk referentiestelsel je het bekijkt! Kirk zegt tegen Spock: jouw klok
loopt trager. Spock zegt tegen Kirk: jouw klok loopt trager en … beiden hebben gelijk!
re
la
t
iv
Kwantitatieve afleiding:
We bekijken opnieuw het ruimteschip van Spock (O’). Stel dat de lichtpuls voor hem een tijdsduur ∆t’
nodig heeft om 1 maal heen en terug te gaan. Voor Kirk (O) heeft de lichtpuls daarvoor een tijdsduur
∆t nodig. We tonen aan dat ∆t > ∆t’.
z’
Sp
ec
ia
le
z
y
O’
O
→
u
x’
x
y’
In het ruimteschip (O’) ziet Spock de lichtpuls vertrekken op tv’ en aankomen op ta’. De tijdsduur ∆t’ is:
∆t’ = ta’ – tv’
Kirk (O) ziet de lichtpuls vertrekken op tv en aankomen op ta. De tijdsduur ∆t is:
∆t = ta – tv
We gebruiken de lorentztransformatie voor ta en tv.
ta = γ ∙ (ta’ + u2 ∙ xa’)
c
tv = γ ∙ (tv’ + u2 ∙ xv’)
c
en dus
∆t = ta - tv = γ ∙ (ta’ + u2 ∙ xa’) - γ ∙ (tv’ + u2 ∙ xv’)
c
c
28
rie
xv’ en xa’ zijn de respectievelijke coördinaten van het vertrek en de aankomst van de lichtpuls (in stelsel
O’). Door de opstelling van de lichtklok beweegt de lichtpuls verticaal en zijn die coördinaten gelijk:
xv’ = xa’.
2
1 – u2
c
2
2
1 – u 2 kleiner is dan 1, is 1 /
c
1 – u 2 groter dan 1 en is ∆t groter dan ∆t’.
c
its
Vermits
∆t'
th
∆t =
eo
En dus:
∆t = γ ∙ (ta’ – tv’) = γ ∙ ∆t’
☞
ite
Een klok die je ziet bewegen loopt trager dan een klok die je in rust ziet. Dat is de tijddilatatie.
Een tijdsduur van een proces is relatief. Je kunt niet spreken van DE tijdsduur van een proces.
la
t
iv
Als de snelheid van het voorwerp klein is, is de tijddilatatie van geen betekenis: een dag telt 86 400 s. In
een ruimtetuig dat aan 20 000 km/h vliegt, duurt 1 dag 0,000 03 s korter. Reken dat na.
Sp
ec
ia
le
re
De levensduur van muonen
Muonen zijn deeltjes die op grote hoogte (6 à 10 km)
gevormd worden door kosmische straling. Een muon
heeft een halveringstijd van 2,2 ∙ 10-6 s.
De hoog in de atmosfeer gevormde muonen hebben
een zeer grote snelheid, ongeveer 99,5 % van de
lichtsnelheid (= 298 500 km/s).
Volgens de klassieke mechanica zou na een afstand
van 2,2 ∙ 10-6 s ∙ 298 500 km/s = 660 m, de helft van
de muonen vervallen zijn. Na 6,6 km zouden er nog
maar ongeveer 0,1 % van de muonen overblijven.
Toch bereiken ongeveer 15 à 20 % van muonen het aardoppervlak.
Met de tijddilatatie kunnen we dat verklaren: voor een waarnemer op aarde
bewegen de muonen met een zeer grote snelheid, verloopt de tijd trager en duurt
het langer eer een muon gemiddeld gezien vervalt (de halveringstijd ∆t van het
muon is groter). Voor een muon met snelheid 0,995 ∙ c geldt
∆t =
∆t’
2
1 – u2
c
=
1–
∆t’
= 10 ∙ ∆t’
2
_0, 995 ci
c2
∆t’ is de halveringstijd van het muon in rust (= 2,2 ∙ 10-6 s)
Dus ∆t = 10 ∙ 2,2 ∙ 10-6 s = 22 ∙ 10-6 s.
In dat tijdsverloop legt het muon een afstand af gelijk aan
22 ∙ 10-6 s ∙ 298 500 km/s = 6600 m = 6,6 km
29
•
Gelijktijdigheid
z’
O’
→
u
x’
y’
re
y
x
la
t
iv
O
ite
its
z
th
eo
Kwalitatieve afleiding:
Het ruimteschip van Spock (O’) beweegt met snelheid →
u t.o.v. Kirk (O).
rie
Twee gebeurtenissen die op hetzelfde moment plaatsvinden in een inertiaalstelsel (O'), vinden niet op
hetzelfde ogenblik plaats in een ander inertiaalstelsel (O)!
le
Precies in het midden van de experimenteerruimte hangt een lamp. Spock (O’) steekt de lamp heel
even aan, waardoor op precies hetzelfde ogenblik een lichtpuls naar voren en naar achteren vertrekt.
Spock (O’) ziet de puls op hetzelfde ogenblik de voorkant en de achterkant van de experimenteerruimte
bereiken, want de lichtsnelheid is constant en de afstand van de lamp tot de voor- en achterwand is
gelijk. Beide gebeurtenissen vinden gelijktijdig plaats.
Sp
ec
ia
Voor Kirk (O) beweegt de voorkant van de experimenteerruimte weg van de lichtpuls en de achterkant
beweegt naar de lichtpuls toe. Dat betekent dat de lichtpuls naar voren toe een grotere afstand moet
afleggen, want de voorkant gaat weg. Naar achteren is de afstand korter, want de achterwand komt
dichterbij. Omdat de lichtsnelheid voor alle waarnemers constant is, zal een kleinere afstand in een
kortere tijd overbrugd worden. Voor Kirk zal de puls de achterwand eerder bereiken dan de voorwand!
Hij ziet die gebeurtenissen niet gelijktijdig plaatsvinden. Gelijktijdigheid hangt af van het referentiekader waarin je je bevindt!
We bekijken de afleiding voor
twee knikkers, maar ze kan evengoed gemaakt worden voor de
twee lichtpulsen.
Kwantitatieve afleiding:
We bekijken opnieuw het ruimteschip van Spock (O’). In het midden van de experimenteerruimte staat
een lanceertoestel dat op hetzelfde moment twee knikkers met dezelfde snelheid v ’ weg schiet zoals
in de figuur. We bewijzen dat de knikkers voor Spock (O’) gelijktijdig de voor- en de achterkant van de
ruimte bereiken, maar dat dat niet het geval is voor Kirk (O).
30
L’
L’
v’
v’
z’
xr’
its
x
y’
ite
y
x’
th
→
O’ u
O
eo
xl’
rie
z
la
t
iv
Voor Spock (O’) moet de rechterknikker een afstand L’ afleggen om de wand te bereiken. De tijdsduur daarvoor nodig is L’ / v ’. Voor de linkerknikker geldt dezelfde formule L’ / v ’.
Vermits de knikkers op hetzelfde moment vertrekken en er even lang over doen, bereiken ze de tegenoverliggende wand op hetzelfde tijdstip. We noemen die tijdstippen tl’ (linkerknikker) en tr’ (rechterknikker):
tl’ = tr’
re
Kirk (O) ziet de linkerknikker de wand bereiken op ogenblik tl , de rechterknikker op ogenblik tr .
Het tijdsverschil tussen die twee ogenblikken is
∆t = tl - tr
ia
le
Als de knikkers de wand gelijktijdig bereiken, is dat tijdsverschil nul. Dat onderzoeken we.
Volgens de lorentztransformaties is
Sp
ec
Wat is xl’ ?
En xr’ ?
☞
+
+
Het tijdsverschil is
∆t = tl - tr
= c ∙ atl ’ + u2 ∙ xl ’k - c ∙ atr ’ + u2 ∙ xr ’k
c
c
u
= c ∙ tl’ + c ∙ 2 ∙ xl’ - c ∙ tr’ - c ∙ u2 ∙ xr’
c
c
u
u
= c ∙ 2 ∙ xl’ - c ∙ 2 ∙ xr’
(want tl’ = tr’)
c
c
= c ∙ u2 · (xl’ - xr’)
c
Vermits xl’ ≠ xr’ is ∆t niet gelijk aan nul!
Gelijktijdigheid is relatief: als twee gebeurtenissen zich gelijktijdig voordoen in één inertiaalstelsel, doen
ze zich NIET gelijktijdig voor in een ander inertiaalstelsel dat beweegt ten opzichte van het eerste.
31
3.6
De tweelingparadox
Een paradox is een schijnbare tegenstelling: iets wat onmogelijk lijkt, maar bij nader inzien toch kan
verklaard worden.
De tweelingparadox is een beroemd gedachte-experiment uit de relativiteitstheorie. Spock heeft een
eeneiige tweelingbroer, Spack. Terwijl Spock op ruimtereis vertrekt met zijn ruimteschip, blijft Spack op
aarde. Spock gaat tegen bijna de lichtsnelheid op onderzoek naar ver afgelegen sterrenstelsels. Als hij
terug op aarde komt, blijkt dat Spack veel ouder geworden is dan hij.
Dat kun je verklaren met de tijddilatatie.
Doordat Spock aan relativistische snelheden beweegt, loopt de tijd voor hem trager. Hij merkt dat zelf
niet omdat alles trager verloopt, ook zijn hartslag, ademhaling, het denken … . Hij ziet alleen dat
Spack veel ouder geworden is dan hij op het moment dat hij terug op aarde komt.
ite
its
th
eo
•
rie
Toepassingen en gevolgen
le
re
la
t
iv
Maar … beweging is relatief. Spock ziet de aarde (en Spack) zich met bijna de lichtsnelheid van hem
verwijderen. Vanuit zijn referentiestelsel gezien, loopt de klok van Spack trager en zou hij dus minder
snel verouderen. Dat kan niet: als ze elkaar na enkele jaren ontmoeten, kan Spack niet tegelijk ouder
en jonger zijn dan Spock.
De oplossing van de paradox zit in het feit dat de situatie niet symmetrisch is. Als Spock weg reist van
zijn tweelingbroer, moet hij daarvoor sterk versnellen. Als hij terugkeert op aarde moet hij zeer sterk
vertragen. Spack ondergaat geen versnelling of vertraging. Het eerste postulaat zegt dat alle wetten
van de natuurkunde hetzelfde zijn voor waarnemers in inertiaalstelsels. Maar Spock bevindt zich (door
de versnelling en de vertraging) tijdens zijn reis niet altijd in een inertiaalstelsel. Spock kan dus niet
zomaar zeggen dat over de hele reis gezien, de klok van Spack trager liep. Het is wel degelijk Spock die
jonger is dan Spack bij zijn terugkeer op aarde.
GPS-correctie
De toepassingen van de speciale relativiteitstheorie in het dagelijks leven zijn eerder beperkt. Hoewel
de relativiteitstheorie in alle omstandigheden geldig is, zijn de effecten ervan slechts duidelijk
waarneembaar bij zeer hoge snelheden, dicht bij de lichtsnelheid of wanneer er nauwkeurige tijd- en
lengtemetingen nodig zijn.
Dat laatste is het geval voor het Global Positioning System (GPS). Dat is een militair systeem waarvan
iedereen gebruik mag maken en dat bestaat uit 32 satellieten die rond de aarde draaien en continu een
signaal uitzenden. Een gps-toestel kan die signalen ontvangen. Om de positie te bepalen moet een gps
verbinding hebben met minstens vier satellieten. De positie kan dan bepaald worden uit de afstanden van de satellieten tot de gps.
Sp
ec
ia
•
Wat heeft dat te maken met de relativiteitstheorie?
Elke satelliet heeft een atoomklok. Met het signaal geeft de satelliet
ook het tijdstip door waarop het signaal vertrok. De GPS registreert het
tijdstip van ontvangst, berekent hoe lang het signaal (aan lichtsnelheid!)
onderweg was en bepaalt zo de afstand. Omdat de satelliet met een snelheid van bijna 14 000 km/h rond de aarde beweegt, treedt er tijddilatatie
op: de atoomklok gaat hoe langer hoe meer achter lopen op een klok op aarde. Om een nauwkeurige
plaatsbepaling te verkrijgen, moet daarmee rekening gehouden worden. Dat verwaarlozen zou na 24
uur voor de positie een afwijking geven van enkele kilometer!
32
rie
4. DE FORMULE E = m ∙ c ²
eo
4.1
th
Energie
its
Je leerde reeds verschillende vormen van energie kennen: kinetische energie, potentiële gravitatie-energie, inwendige energie, bindingsenergie van een kern …
Einstein toonde in zijn relativiteitstheorie aan dat massa ook een vorm van energie is:
☞
iv
ite
De energie die overeenkomt met een massa m wordt gegeven door
E = m ∙ c2
We kunnen dat de “massa-energie” noemen, energie omwille van de massa, zoals “kinetische energie”
energie is omwille van de snelheid.
Sp
ec
ia
le
re
la
t
Energie kan van een vorm in een andere vorm worden omgezet:
- potentiële gravitatie-energie wordt omgezet in kinetische energie bij een vallend voorwerp.
- massa-energie wordt omgezet in kinetische energie bij bv. α-verval van een kern.
33
4.2
rie
Massa
eo
→
Met de tweede wet van Newton kun je de kracht F bepalen die nodig is om een massa m een versnelling →
a te geven.
→
a
F =m∙→
its
th
Hoe groter de massa, hoe meer kracht nodig is om een versnelling →
a te krijgen: de motor van een
grote vrachtwagen is daarom veel krachtiger dan de motor van een kleine personenwagen.
ite
En ook: hoe groter de massa, hoe kleiner de versnelling bij een gegeven kracht: als je een even harde
schop geeft tegen een voetbal en tegen een bowlingbal, zal de tweede een veel kleinere versnelling
krijgen omdat zijn massa veel groter is.
iv
We zagen al dat in de klassieke mechanica de wereld eenvoudig is: een meter is een meter, een seconde is een seconde, of je nu beweegt of niet. Dat geldt ook voor massa: één kilogram is één kilogram, of
je nu beweegt of niet. In de klassieke mechanica is massa absoluut.
Het ruimteschip van Spock (O’) beweegt
met snelheid →
u t.o.v. Kirk (O).
In het ruimteschip bevindt zich Laïka, de
hond van Spock. Hij meet de massa van
Laïka en vindt daarvoor mo. Laïka is in rust
t.o.v. stelsel O’. Daarom noemen we die
massa de rustmassa.
z
z’
O
→
O’ u
ec
ia
le
In plaats van het symbool m’ voor
de massa in stelsel O’, gebruiken
we het symbool mo zoals
gebruikelijk.
re
la
t
In de relativiteitstheorie toonde Einstein aan dat dat niet klopt: massa is relatief, juist zoals lengte en
tijdsduur.
Sp
☞
Voor Kirk (O) beweegt Laïka met een
snelheid →
u en geldt voor de massa
daarvan:
m=
mO
2
1 - u2
c
y
x’
y’
Dat is de lorentztransformatie voor massa.
De grafiek geeft weer hoe de massa verandert met de snelheid:
- als het voorwerp in rust is, is de massa mo ;
- hoe groter de snelheid, hoe groter de massa;
- de massa gaat asymptotisch naar oneindig als de snelheid nadert tot de lichtsnelheid c.
x
34
eo
rie
m
mO
c
u
th
Vroeger zag je al dat de lichtsnelheid de maximale
snelheid is.
Dat kun je ook uit de grafiek afleiden: hoe sneller een
voorwerp beweegt, hoe groter de massa en hoe meer
kracht er nodig is om de massa te versnellen. Om het
voorwerp de lichtsnelheid te geven, zou er een oneindig
grote kracht nodig zijn!
its
4.3
ite
Interpretatie van de formule E = m ∙ c ²
De formule E = m ∙ c2 moet goed geïnterpreteerd worden:
iv
la
t
Merk op dat de tweede formule
volstaat: als u gelijk is aan nul,
verkrijg je de eerste formule!
E = mo ∙ c 2 (rustenergie)
mO
2
voor een systeem dat beweegt t.o.v. een waarnemer geldt E =
∙c
2
1 - u2
c
voor een systeem in rust t.o.v. een waarnemer geldt Let op de eenheden!
re
Voorbeeld:
• Een knikker is in rust en heeft een massa van 15,0 g. De rustenergie van de knikker is
E = mo ∙ c 2 = 15,0 g ∙ (300 000 km/s)2 = 1,35 ∙ 1015 J
le
• De knikker zit in een raket die beweegt aan een snelheid van 100 000 km/h. De energie van de knikker is
Sp
ec
ia
Let op de eenheden!
E =
mO
2
1 - u2
c
∙ c2 =
1-
15 g
2
∙ _300 000 km/si
2
_100 000 km/hi
_300 000 km/si
2
= 1,350 000 006 ∙ 1015 J
= 1,350 000 000 ∙ 1015 J + 0,000 000 006 ∙ 1015 J
rustenergie
kinetische energie?
(*)
Volgens de klassieke mechanica is de kinetische energie van de knikker:
Ekin = 1 m ∙ v 2
2
= 1 · 15 g ∙ (100 000 km/h)2 = 5,7 ∙ 106 J
2
= 5,7 ∙ 10-9 ∙ 109 ∙ 106 J
= 0,000 000 0057 ∙ 1015 J
Vergelijk je met (*) dan zie je dat die waarde ongeveer overeen met de toename van de kinetische energie.
De totale energie neemt nauwelijks toe! Dat komt omdat de rustenergie zo enorm groot is: een kleine
massa vertegenwoordigt een enorme hoeveelheid energie.
35
4.4
rie
Toepassing
eo
Bij kernreacties wordt massa in energie omgezet. Dat zag je in het 5e jaar in het deel Kernfysica. Bij
zo’n reactie komt er een enorme hoeveelheid energie vrij. Toch wordt er maar een kleine hoeveelheid
massa omgezet, omdat een kleine massa een enorme hoeveelheid energie vertegenwoordigt.
Sp
ec
ia
le
re
la
t
iv
ite
its
th
Bij een kernbom gebeurt de energie-omzetting op een ongecontroleerde manier, in een kerncentrale
op een gecontroleerde wijze.
36
5 Oefeningen
rie
5. Jordan is een straaljagerpiloot (stelsel O’) en
vliegt met een snelheid van 400,0 km/h voorbij
Tycho (stelsel O). Bij een test gebruikt Jordan zijn
schietstoel en gaat in 0,5000 s verticaal 40,00 m
omhoog.
R E E K S 1
its
→
u
O’
O
th
z’
x’
x
ite
z
eo
1. Beschrijf de baan die een waarnemer in O ziet voor de
beweging van het voorwerp in O’.
Het stelsel O’ beweegt met snelheid →
u t.o.v. O.
y’
iv
y
re
la
t
a) een knikker beweegt met constante snelheid verticaal op
en neer
b)een knikker beweegt met constante snelheid horizontaal
weg en weer
c) een knikker beweegt aan een veer op en neer
b)
u = 15,0 m/s
x = 1000 m
u = 30,0 km/h
ia
a) x’ = 100 m
le
2.De gegevens in onderstaande tabel zijn geregistreerd
op t = 10,0 s. Bereken de ontbrekende grootheid met de
galileitransformaties.
ec
c) v = 100 km/h
d) v ’ = 600 km/h
u = 100 km/h
v = 40,0 m/s
Sp
e) v ’ = 80,0 km/h
u = 20,0 m/s
3. Als het windstil is, meet ik voor de geluidssnelheid 340 m/s.
Als de wind naar me toe waait, meet ik 358 m/s. Bepaal de
windsnelheid in km/h.
4. Een staaf is in rust in een TGV (stelsel O’) en heeft een
lengte van 1,000 m. De TGV rijdt met een snelheid van
300 km/h voorbij Isaac (stelsel O). Bereken lengte van de
staaf voor Isaac met de galileitransformaties.
Bereken met de galileitransformaties:
a)hoe groot de afstand is die Jordan in zijn
schietstoel aflegt in stelsel O’? Hoe groot is
de snelheid waarmee hij naar boven vliegt?
Hoe lang doet hij over die afstand? Welke
veronderstellingen maken we?
b)hoe groot is de snelheid van Jordan voor Tycho?
Hoe groot is de afstand die Jordan aflegt voor
Tycho? Hoe lang doet Jordan over die afstand
voor Tycho?
c) Wat kun je besluiten?
37
14.We bekijken het ruimteschip met de lichtklok (zie
p. 26). Het ruimteschip met Spock (O’) beweegt
met snelheid 200 000 km/s t.o.v. Kirk (O). De twee
spiegels van de lichtklok bevinden zich op 15,00 m
van elkaar. Bereken met de lorentztransformaties:
a)hoe lang doet de lichtpuls er voor Spock over om
eenmaal heen en weer te bewegen?
b)bereken met de lorentztransformatie hoe lang de
lichtpuls er voor Kirk over doet?
c)over welke afstand verplaatst het ruimteschip
zich in die tijd voor Kirk? Hoe groot is de afstand
die de lichtpuls voor Kirk aflegt?
d)bereken snelheid van de lichtpuls voor Kirk met
de resultaten van c) en d).
7. Uit de wetten van Maxwell volgt dat elektromagnetische
golven zich voortplanten met de snelheid 1/ fo ∙ no .
εo is de permittiviteit van vacuüm en is gelijk aan
8,85 ∙ 10-12 C²/N m².
µo is de magnetische permeabiliteit van vacuüm en is gelijk
aan 1,257 ∙ 10-6 T m/A.
Bereken de waarde 1/ fo ∙ no . Controleer de eenheden.
15.Een klok die beweegt, loopt trager (tijddilatatie). Bij
welke snelheid duurt een seconde tweemaal zo lang?
ite
its
th
eo
rie
6. We bekijken de trein met het lanceertoestel (zie p. 12).
Isaac in de trein (O’) beweegt met snelheid 122,4 km/h
t.o.v. Tycho (O). Isaac schiet de twee knikkers weg op
t ’ = 0,0000 s met een constante snelheid van 16,00 m/s.
Elke wand bevindt zich op 4,000 m van het lanceerpunt.
Bereken met de galileitransformaties:
a)Op welk tijdstip bereikt de rechterknikker de wand voor
Isaac? En de linkerknikker? Bereiken de knikkers de
wanden gelijktijdig?
b)Hoe groot is de snelheid van de rechterknikker voor
Tycho? Op welk tijdstip bereikt de rechterknikker de wand
voor hem? En de linkerknikker? Bereiken de knikkers de
wanden gelijktijdig?
c) Wat kun je besluiten?
la
t
iv
16.We bekijken het ruimteschip met het lanceertoestel
(zie p. 29). Het ruimteschip met Spock (O’) beweegt
met snelheid 200 000 km/s voorbij Kirk (O).
Spock schiet twee spaceknikkers weg op tijdstip
to’ = 0,0000 s met een constante snelheid
van 10 000 km/s. Elke wand bevindt zich op
150,0 m van het lanceerpunt. Bereken met de
lorentztransformaties:
a)op welk tijdstip bereikt de rechterknikker de
wand voor Spock? En de linkerknikker? Bereiken
de knikkers de wanden gelijktijdig?
b)op welk tijdstip bereikt de rechterknikker de
wand voor Kirk? En de linkerknikker? Bereiken de
knikkers de wanden gelijktijdig?
c)Wat kun je besluiten?
a) x’ = 100 000 km
b)
re
8. Bereken de ontbrekende grootheid met de
lorentztransformaties.
t’ = 10,0 s u = 150 000 km/s
x = 50 000 km
u = 200 000 m/s
le
c) v = 100 000 km/s
t = 1,00 s u = 30 000 km/s
d) v’= 200 000 km/s v = 250 000 km/s
Sp
ec
ia
9. Een rivier heeft een stroomsnelheid van 4,00 m/s t.o.v. de
aarde. Een motorbootje heeft een snelheid van 9,00 km/h
t.o.v. de rivier. Hoe groot is de snelheid van de boot t.o.v.
een waarnemer op de oever als de boot
a) met de stroom meevaart?
b) tegen de stroom in vaart?
c) loodrecht op de stroomrichting vaart?
10.Toon aan dat de lorentztransformaties overgaan in de
galileitransformaties als de snelheden u en v’ klein zijn.
11.Bereken de lorentzcontractie voor een auto met lengte
4,00 m die aan 100 km/h rijdt.
12.Een staaf die beweegt ondergaat de lorentzcontractie. Bij
welke snelheid is de lengte half zo groot?
13.Een ‘lichtklok’ is een systeem bestaande uit twee spiegels
waartussen een lichtpuls heen en weer gekaatst wordt. Hoe
ver moeten de spiegels (in vacuüm) van elkaar staan opdat
een heen- en terugbeweging juist 1 µs zou duren?
17.Waarom merken we in het dagelijkse leven niets van
de relativiteitstheorie?
18.Een massa van een voorwerp dat beweegt, is groter.
Bij welke snelheid is de massa tweemaal zo groot?
19.Absoluut of relatief?
klassieke
mechanica
lengte
tijdsduur
gelijktijdigheid
lichtsnelheid
massa
relativiteitstheorie
38
rie
4. In een trein heb je soms het gevoel dat je beweegt,
terwijl het de trein naast je is die vertrekt. Als je
dan werkelijk vertrekt is dat zonder meer duidelijk.
Waarom?
th
eo
5. In het ruimteschip van Spock (O’) ligt een staaf met
lengte 1,000 m. Het ruimteschip beweegt met een
snelheid van 250 000 km/s voorbij Kirk (O). Bereken
met de lorentztransformaties de lengte van de staaf
voor Kirk.
6. Een ster is in rust in inertiaalstelsel O’. Het stelsel O’
beweegt met een snelheid van 200 000 km/s t.o.v.
stelsel O. Op het ogenblik 0 s valt de oorsprong van
O’ en O samen en juist op dat moment explodeert
de ster: dat is gebeurtenis E. De lichtflits van
de explosie plant zich o.a. voort langs de x ’-as
en bereikt op een bepaald moment punt P op
100 000 km van de oorsprong O’ gelegen: dat is
gebeurtenis P.
its
20.Muonen zijn deeltjes die op grote hoogte (6 à 10 km)
gevormd worden door kosmische straling.
a) Ga na dat je de massa van een deeltje kunt uitdrukken in
MeV/c 2.
b)De rustmassa van het muon is 106 MeV/c 2. Hoe groot is
de massa van het muon als het een snelheid heeft van
99,4 % van de lichtsnelheid?
c) Hoe groot is de energie van dat muon? Hoeveel bedraagt
de rustenergie? Hoe groot is de kinetische energie?
d)Bereken de kinetische energie van het muon met de
formule Ekin = 1 m ∙ v 2 en vergelijk met c). Wat kun je
2
besluiten?
ite
R E E K S 2
iv
1. Op een bepaalde dag vind ik met de wind mee voor de
geluidssnelheid 364 m/s, tegen de wind in 320 m/s. Bepaal
de geluidssnelheid als het windstil zou zijn.
la
t
2. Het ruimtestation ISS beweegt op een hoogte van 342 km
met een snelheid van 27,7 ∙ 103 km/h.
Op 27 mei 2009 vertrok Frank De Winne, onze tweede
ruimtevaarder na Dirk Frimout, voor 6 maanden naar het ISS.
a) Hoeveel maanden is Frank De Winne ouder bij zijn
terugkeer op aarde volgens de klassieke mechanica?
b)Waarom kun je niet berekenen hoeveel maanden Frank
De Winne in werkelijkheid ouder is bij zijn terugkeer op
aarde volgens de relativistische mechanica?
z’
P
100 000 km
re
le
ia
ec
Sp
3. Kapitein Jonathan Archer van de Enterprise kijkt met zijn
telescoop naar Majoor Talok op de planeet Remulus. Ze
bevinden zich op 60 miljoen kilometer, in rust t.o.v. elkaar
en hun klokken lopen gelijk. Kapitein Archer ziet op zijn
horloge dat het 20h00 is.
a) Welke tijd ziet hij door zijn telescoop op de klok van
Majoor Talok? (Voor de fans: we hebben de Stardatetijdmeting omgezet in standaardtijd.)
b) Waarom mag je hier de lorentztransformatie voor t niet
toepassen?
z
O
O’
200 000 km/s
x
y
y’
a) Wat is de x’- en de t’-coördinaat van gebeurtenis
E in stelsel O’? En van gebeurtenis P?
b) Bereken met de lorentztransformaties de
coördinaten van die gebeurtenissen in stelsel O.
c) Hoe lang doet de lichtpuls er over om tot in P te
bewegen in stelsel O’? En in stelsel O?
d) Hoe groot is de afstand die de lichtpuls aflegt
tot in P in stelsel O’? En in stelsel O?
e) Gebruik c) en d) om de snelheid van de lichtpuls
te berekenen in O’ en in O.
7. Op p. 30 zag je de formule ∆t = γ ∙ u2 ∙ (xl’ - xr’).
c
Gebruik die formule om af te leiden onder welke
voorwaarden twee gebeurtenissen die in stelsel O’
gelijktijdig gebeuren, ook gelijktijdig gebeuren voor
een waarnemer in stelsel O.
x’
39
15. Een rivier heeft een stroomsnelheid van 4,00 m/s
t.o.v. de aarde.
a) Hoe kan de boot loodrecht naar de andere oever
overvaren?
b)Aan welke snelheid moet de boot varen opdat zijn
snelheid t.o.v. de aarde 2,00 m/s zou bedragen?
its
th
10.Bewijs de inverse lorentztransformaties
x’ = γ · (x - u · t)
t’ = γ · at - u2 ∙ xk
c
v
u
v’ =
1 - u2 ∙ v
c
rie
9. Toon aan dat de lorentztranformaties overgaan in de
galileitransformaties als de lichtsnelheid oneindig groot zou
zijn.
14.Gebruik een ruimtetijddiagram om volgende
fenomenen te onderzoeken:
a)lorentzcontractie
b)tijddilatatie
c)gelijktijdigheid
eo
8. Toon met de galileitransformaties aan dat als de 2e wet van
Newton geldt in één inertiaalstelstel
a) ze ook geldt in een ander inertiaalstelsel
b)ze niet geldt in een stelsel dat versnelt
ite
16.Kan γ gelijk aan 0 zijn?
Vertrek van de gewone lorentztransformaties.
la
t
iv
11.Sommige deeltjes, zoals een foton, bewegen met de
lichtsnelheid. Toon aan dat zo’n deeltje rustmassa nul heeft.
le
re
12.Om de lichtsnelheid te meten, steunde Olaf Römer op de
eclipsen van Io, een maan van Jupiter (S= Sun, E = Earth,
J = Jupiter).
J1
J2
E1
ia
s
ec
E2
Sp
a) Verklaar aan de hand van de figuur hoe je zo de lichtsnelheid kunt meten.
b)Romer gebruikte volgende waarden: afstand aarde-zon
140 ∙ 106 km, tijdsverschil 22 min. Welke lichtsnelheid
werd gemeten?
c) Huidige en correctere waarden zijn: afstand aarde-zon
149,6 ∙ 106 km, tijdsverschil 16,7 min. Bereken de lichtsnelheid met die waarden.
13. Zoek op internet wat een ruimtetijddiagram is.
Hoe ziet het ruimtetijddiagram eruit voor
a) een systeem dat in rust is?
b)een systeem dat beweegt met snelheid →
u?
c) een foton dat beweegt met snelheid c?
d)een systeem dat sneller dan c zou bewegen?