PORTFOLIO 6 DEEL I INTERLUDIUM Oefeningen bij §1 en §2

Naam: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Klas: . . . . . . . . . . . . . . .
Nr.: . . . . .
6
PORTFOLIO
DEEL I INTERLUDIUM
Interludium
Basis
?
Verdieping
?
??
??
1 Machtswortels
2 Machten
1
2
3
4
5
6
4
5
6
7
4
6
8
4
3 Bewerkingen met functies
11
12
13
14
15
16
17
18
4 Inverse functies
24
24
25
24
26
27
28
5 Soorten functies
31
32
33
19
Uitbreiding
?
??
9
10
20
21
22
23
29
30
34
Oefeningen bij §1 en §2
Oefening 1. Welke van de volgende uitdrukkingen zijn gelijk?
B
4
1
x7
4x 7
7
√
4
x
4
√
7
x
1 −7
x
4
7x−4
1
4x7
7
x4
√
4
√
7
x7
x4
Oefening 2. Bereken met behulp van je grafische rekenmachine.
B
(a)
1
− 19
3
−
50
√
1302
(b)
20122013
Oefening
3 (Vlaamse Wiskunde Olympiade 1998 eerste ronde).
√
2
4a
25
=
B
(A) 252a
B
B
B
B
B
B
(B) 252|a|
2
(C) 252a
(D) 52|a|
(E) 52a
Oefening 4. Bereken zonder grafische rekenmachine. Exacte waarde noteren.
√
1
n
(a) 4 2
B? (g)
a3n bn met a, b ∈ R+ en n ∈ N
√
√
1
6
3
(b) 16− 2
B? (h)
9 243
√
√ 2
4
(c) 81−0,25
B? (i)
2 25 − 3 5
s
2
64
3
− 25
??
(d) 100 000
B (j)
1000
− 15
p
1
(e)
B?? (k) 4 (−3)12
32
√
3
√
√
3
3
3
(f)
27a6 b12 met a, b ∈ R
V (l)
16 − 2
Po-25
2
35
U?
U
B??
B?
(b)
B
(3x + 2) = 74
5
0, 7 x = 58
5
2
3x = 7x
3
=6
B (d) √
4
5x
?
B (c)
?
(b)
(c)
B
B
7
a
b
−1 − 13
√ 43
a
a− 6
c
6
a
b
c
1
−2 −4 6 − 2
√
4
x
(C)
x
1
1
81−1 a− 2 b3
1
16−2 a 2 b−3
(D)
√
8
x3
!r
ab
87, 969
Mercurius
224, 701
Venus
365, 250
Aarde
Mars
227, 939
Jupiter
778, 294
Saturnus
1429, 373
9
4
ab
12
√
8
x7
Johannes Kepler
(1571 - 1630)
(E)
3
2
19
= −2, 375
8
en
5
= 0, 454545 . . .
11
π = 3, 141592 . . .
Po-26
1619. Kepler stelde zijn wetten op vanuit experimentele gegevens. Zo’n zeventig jaar later bewees Isaac Newton
van Kepler met behulp van de universele wet van de zwaartekracht.
1 Kepler
de wetten
1. Als vanaf een zekere index i de getallen ai allen nul zijn, dan nemen we deze getallen niet op in de schrijfwijze.
We schrijven dus 6, 318 in plaats van 6, 318000 . . .. In dat geval spreken we van een begrende decimale vorm.
Hierbij zijn enkele opmerkingen op hun plaats.
−
en
waarbij a0 ∈ Z en a1 , a2 , a3 , a4 , . . . ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
De getallen a1 , a2 , a3 , . . . noemen we decimalen. Zo is bijvoorbeeld
r = a0 , a1 a2 a3 a4 . . .
Oefening 10 (decimale vorm van een reëel getal). Zoals je gezien hebt in het derde jaar, kan elk reëel getal r
geschreven worden in een decimale vorm (of decimale voorstelling)
halve grote as a (in miljoen km)
planeet
(b) Van de volgende planeten is de halve grote as a van de ellips, die ze om de zon
beschrijven, gegeven. Bepaal de omlooptijd T in jaren en dagen (gebruik 1 jaar
≈ 365, 25 dagen, afronden op 1 dag nauwkeurig).
omlooptijd T (in dagen)
planeet
(a) Van de volgende planeten is de omlooptijd T gegeven. Bepaal de halve grote as
a van de ellips die ze om de zon beschrijven (in miljoen km, op twee cijfers na
de komma).
Oefening 9 (derde wet van Kepler). De planeten van ons zonnestelsel bewegen
in ellipsvormige banen rond de zon. Noemen we a de halve grote as van deze ellips (in
miljoen km) en T de omlooptijd rond de zon (in dagen), dan geldt volgens de derde
wet van Kepler1
a3 = 2, 9277 · T 2
(B) x
√
8
B (f)
??
3
a− 2 b 2
√
√
5
a3 b ab3
√
10
a ab7
4
− 83
Oefening 8 (toelatingsexamen Koninklijke Militaire School 1987).
Werk uit en vereenvoudig
√
3
(x2 )3 x−4 x5
q
√
p
3
x2 3 4 (x2 )3
√
(A) x x
1
2
(d)
B? (e)
B
Oefening 7 (Vlaamse
q p Wiskunde Olympiade 1991 tweede ronde).
√
Als x ≥ 0 dan is x x x =
(a)
B
p
Oefening 6. Vereenvoudig telkens zo veel als mogelijk, in je resultaat mogen geen gebroken of negatieve exponenten
voorkomen (hierbij is a, b, c ∈ R+
0 ):
(a)
B
4
Oefening 5. Los algebraı̈sch de volgende vergelijkingen op.
⇔
r is een begrensde decimale vorm of een onbegrensde repeterende decimale vorm
5, 74245245245 . . .
(c)
...
...
...
R\Q
Q
R\Q
g(x) = x2
...
R\Q
−2
−1
1
2
3
x
−3
−2
−1
−2
−3
−3
−1
−2
−1
2
y = f (x)
1
3
x
Po-27
2 Het is eenvoudig in te zien dat een reëel getal r precies één decimale voorstelling heeft als en slechts als r geen begrensde decimale
vorm toelaat. En reële getallen die wel een begrensde decimale vorm hebben, kunnen op twee verschillende manieren als decimale vorm
geschreven worden.
y = f (x)
−3
1
2
2
1
3
3
(b)
y
(a)
y
Oefening 13. De volgende grafieken stellen de grafiek van een functie f voor. Schets telkens de grafiek van |f |.
(c)
Q
B
en
π
f (x) = 2x −
4
g(x) = x−1
1
g(x) = √
x
...
... Q
Oefening 12. Gegeven is de functie f (x) = x2 . Bepaal (f ◦ f ◦ f ◦ f )(3).
en
f (x) = x + 2
(b)
en
f (x) = x − 1
(a)
f
, 3 · g, f ◦ g en g ◦ f .
g
(d) π = 3, 141592 . . .
√
(e)
2 = 1, 414213 . . .
5123
(f) −
= −6, 8765 . . .
745
Oefening 11. Bepaal telkens het functievoorschrift van f · g,
Oefeningen bij §3
3, 333 . . .
1, 321322323324 . . .
(b)
(a)
Gegeven zijn de volgende decimale getallen. Vul in met ∈ of ∈.
/ Is het decimaal getal rationaal, schrijf het dan als een
breuk.
Zo is −2, 375 ∈ Q en 83, 34581581581 . . . ∈ Q en 1, 01001000100001 . . . ∈ R \ Q.
r∈Q
Men kan aantonen voor elk reëel getal r geldt:
3. Als vanaf een zekere index i er een groep decimalen is die zich herhaald (verschillend van 00 . . .), dan spreken
5
we van een onbegrensde repeterende decimale vorm. Bijvoorbeeld 11
= 0, 454545 . . .. De eerste groep decimalen
met het kleinst aantal cijfers die zich blijft herhalen noemen we de periode.
B
B
1
= 3 · (0, 333 . . .) = 0, 999 . . .
3
waaruit we besluiten dat wel degelijk 0, 999 . . . = 1. Zo is ook −2, 375 = −2, 374999 . . ..
1=3·
2. Een decimale voorstelling van een reëel getal r is niet noodzakelijk uniek2 . Zo heeft bijvoorbeeld het getal 1
twee verschillende decimale voorstellingen, want
(B) 3 +
1
x
(C) 1 +
1+
1
1+
1
1
x
(D) 1 +
3
x
(E) 1 +
3
x3
U
V??
V?
f ◦ g : x 7→ f (g(x));
(B) 1
(E) 4
g ◦ f : x 7→ g(f (x));
(D) 3
f · g : x 7→ f (x) · g(x);
(C) 2
g
g(x)
: x 7→
f
f (x)
(B) f ◦ g
−4
−3
−2
−1
1
2
3
(D) g ◦ f
||x| − 1| + 1
|x − 1| + |x + 1|
||x| + 1| + 1
4
5
g
(E)
f
2
x − 1 + 1
x
Po-28
(b) Controleer je resultaat in (a) met je grafische rekenmachine.
(a) Schets zonder gebruik te maken van je grafische rekenmachine de grafiek van de functie f .
Omdat het functievoorschrift niet enkelvoudig is, zeggen we dat f een meervoudig functievoorschrift heeft.
Oefening 20 (meervoudig functievoorschrift). Beschouw de functie
(
x+2
als x < 3
f (x) =
4
als x ≥ 3
(b) Bepaal g(x).
(a) Bepaal g(3).
Oefening 19. Gegeven is de functie f (x) = x − 1 en een functie g waarvoor (g ◦ f )(x) = x2 − 1.
|x − 1| + 1
Bepaal algebraı̈sch welke van de volgende vijf voorschriften bij deze functie hoort.
−5
1
2
3
4
5
y
(C) f · g
Oefening 18. Gegeven is de grafiek van een functie
f
(A)
g
Twee van deze vijf functies hebben hetzelfde domein. Twee andere functies hebben ook hetzelfde domein. Welke is de
overblijvende functie?
f (x)
f
: x 7→
;
g
g(x)
(A) 0
Oefening 17 (Vlaamse Wiskunde Olympiade
2005 eerste ronde).
√
Met de functies f : x 7→ x2 en g : x 7→ x construeert men vijf nieuwe functies:
3
V
1
x
Oefening 16 (Vlaamse Wiskunde Olympiade
eerste ronde).
2000
Het aantal oplossingen in R van de vergelijking 1 − x2 = 1 − x is gelijk aan
1+
Oefening 15. Zij g(x) = ax+b waarbij a, b reële getallen zijn. Bepaal alle koppels (a, b) waarvoor (g ◦g)(x) = 9x+28.
V
(A)
Oefening 14 (Vlaamse Wiskunde Olympiade 2002 eerste ronde).
1
dan is f (f (f (x))) gelijk aan
x
Als f (x) = 1 +
B??
B?
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
x
(f)
(e)
(d)
dom |f | = dom f
dom(f · g) = dom f ∩ dom g
f
= dom f ∩ dom g
dom
g
Oefeningen bij §4
B? (e)
Aanwijzing. Ga uit van de schrijfwijze (∗) en vervang x door −x om de functies g en h te achterhalen.
f (x) = g(x) + h(x)
(∗)
Oefening 23 (ontbinden van een functie als de som van een even en een oneven functie). Gegeven is een
functie f met dom f = R. Bewijs dat er precies één even functie g(x) en één oneven functie h(x) bestaat waarvoor
dom(f ) = dom f
dom(f + g) = dom f ∩ dom g
waarbij r ∈ R0
waarbij r ∈ R0
(b)
r
dom(r · f ) = dom f
(c)
(a)
x 7→ x2 − 6x + 3
f : [4, +∞[ → R
V?
waarbij a, b ∈ R en a 6= 0
ax + b
cx + d
waarbij a, b, c, d ∈ R en c 6= 0 en ad 6= bc
Po-29
(b) Geef nodige en voldoende voorwaarden op a, b, c, d waarvoor geldt dat f −1 = f .
(a) Bewijs dat f inverteerbaar is.
f (x) =
Oefening 28. Gegeven is een homografische functie
(b) Geef nodige en voldoende voorwaarden op a en b waarvoor geldt dat f −1 = f .
f (x) = ax + b
Oefening 27. Gegeven is een lineaire functie
V
(a) Bewijs dat f inverteerbaar is.
Oefening 26. Stel dat f een functie is die weergeeft hoeveel kilogram wortelen je kan kopen voor een bepaald bedrag
x. Als f inverteerbaar is, wat geeft de inverse functie f −1 dan weer?
V
Zo ja, bepaal het functievoorschrift van de inverse functie.
3
(b) f (x) = x2
Oefening 24. Ga telkens algebraı̈sch na of de functie inverteerbaar is. Zo ja, bepaal het functievoorschrift van de
inverse functie.
p
B (a) f (x) = −3x + 2
B? (d) f (x) = x2 − 25
B
−4
y = f (x)
Oefening 22 (invloed van het domein bij bewerkingen van functies). Gegeven zijn twee functie f en g en
een reëel getal r. Waar of vals? Beoordeel de volgende uitspraken. Indien vals, geef een tegenvoorbeeld.
−5
1
2
3
4
5
Oefening 21 (meervoudig functievoorschrift). Gegeven is de grafiek van een functie. Bepaal het (meervoudig)
functievoorschrift dat bij deze functie hoort.
y
f (x) = (x − 1)3 − 5
x−2
B (c) f (x) = x
V (f) f (x) =
x+2
B?? Oefening 25. Ga na of de volgende functie inverteerbaar is:
U?
U?
U
U??
U
V
Is f gelijk aan de sign-functie? Verklaar je antwoord.
(B) 1
(C) 2
(D) 3
def
⇔
x≥n
x<n
x−1<n≤x
n≤x<n+1
Po-30
Bewijs met behulp van deze rekenregels de volgende eigenschap:
p
√
b bxcc = b xc
voor elke x ∈ R+
⇔
bxc < n
bxc ≥ n
⇔
⇔
bxc = n
bxc = n
(d)
(c)
(b)
(a)
Oefening 35 (rekenregels voor de floor-functie). De volgende eigenschappen van de floor–functie zijn uitermate
handig om andere eigenschappen te bewijzen. Voor elke twee reële getallen x en n geldt:
(d) Wat vermoed je, op basis van je resultaat in (c), voor de functie f + g? Bewijs je vermoeden.
(c) Beschouw de functies f (x) = bxc + b−xc en g(x) = frac(x) + frac(−x). Teken de grafieken van de functies f ,
g en f + g.
(b) Komt de fractional-functie overeen met de functie fpart(x) uit de grafische rekenmachine?
(a) Teken de grafiek van de fractional-functie. Controleer met behulp van je grafische rekenmachine.
Dit geeft aanleiding tot een nieuwe functie, die we de fractional-functie noemen.
frac(x) = x − bxc
b7 + xc = 7 + bxc
(E) 4
Oefening 34 (fractional-functie). Voor x ∈ R definiëren we het fractioneel deel als
(A) 0
b7xc = 7bxc
b7 + xc = 7 + x
11
Hoeveel van deze uitspraken zijn waar voor alle x ∈ 1,
?
10
b7xc = 7
Oefening 33 (Vlaamse Wiskunde Olympiade 1995 eerste ronde).
Beschouw de volgende uitspraken:
x2
x
√
Oefening 32. Beschouw de irrationale functie
V
f (x) =
Oefening 31. Teken de grafiek van de functie f (x) = sign(1 + x) + sign(1 − x). Controleer met je grafische rekenmachine.
Oefeningen bij §5
Oefening 30 (inverse van de samenstelling van inverteerbare functies). Zij f en g twee inverteerbare functies.
Toon aan dat de functie h = f ◦ g inverteerbaar is, met inverse g −1 ◦ f −1 .
Aanwijzing. Maak gebruik van het criterium voor inverteerbaarheid uit Oefening 29.
B
U?
∀y ∈ bld f
x
x
en g(x) =
f (x) =
1 + |x|
1 − |x|
Maak gebruik van bovenstaande eigenschap om aan te tonen dat f inverteerbaar is. Je mag steunen op het feit
dat bld f = ]−1, 1[.
(b) Beschouw de functies
(f ◦ g)(y) = y
(a) Zij f een inverteerbare functie en g de inverse functie van f . Bewijs dat
(
(g ◦ f )(x) = x ∀x ∈ dom f
vb.
99a
31/12
X
• grafisch rekenmachine (GF)
• rekenfout (RF)
• interpretatie van de opgave (IF)
• denkfout (DF)
• nauwkeurig gewerkt?
• modelvoorbeelden bekeken?
• opgave begrepen?
• leerstof voldoende begrepen?
EF, NF
• eenheden (EF)
gelukt: m.b.v. modelvoorbeelden
• notatiefout (NF)
• opgave goed gelezen?
Welke fouten heb ik gemaakt?
• voldoende tijd besteed?
Waarom is deze oefening gelukt/niet gelukt?
Bovendien maak je je reflectie concreet door aan te stippen of je nog verder moet oefenen op het leerstofonderdeel.
• sterke en zwakke elementen in de uitvoering van je oefeningen.
• efficiëntie van werken,
• leerproces,
datum oefening afgewerkt
en in dat geval is g de inverse functie van f . In (a) wordt gevraagd om een onderdeel van deze eigenschap te bewijzen.
En in (b) gebruik je deze eigenschap om de inverteerbaarheid van een concrete functie na te gaan.
Vul dit overzicht aan telkens je een oefening gemaakt of verbeterd hebt. Zo reflecteer je over je
Reflectie
oefening nummer
Oefening 29 (criterium voor de inverteerbaarheid van een functie). In sommige gevallen kan men de inverteerbaarheid van een functie f aantonen met behulp van de volgende eigenschap:
(
(g ◦ f )(x) = x ∀x ∈ dom f
f is inverteerbaar
⇔
er bestaat een functie g waarvoor geldt dat
(f ◦ g)(y) = y ∀y ∈ bld f
oefening verbeterd? (kruisje)
U?
verder oefenen nodig? (kruisje)