Van een formule naar tabel / grafiek

Hoe?Zo! Algebra
Formules
In de onderstaande rijtjes zit regelmaat. Bij regelmatige rijtjes kun je een formule opschrijven.
Zie de voorbeelden hieronder. De elementen van rijtjes nemen steeds met een vast aantal toe.
Voorbeeld 1
De eerste figuur bestaat uit 2 sterren. Er komen steeds 2 sterren bij. De vaste toename is 2
Bij dit patroon kunnen we een formule maken: aantal sterren = 2 x nummer




Voorbeeld 2
Bij de figuren rij hieronder tellen we vanaf de nul!
De figuur met nummer 0 bestaat uit 3 hartjes. Er komen steeds 2 hartjes bij. De vaste toename is 2.
Bij dit patroon kunnen we een formule maken: aantal = 2 x nummer + 3


?


Waarom zou je bij nul beginnen te tellen?
Omdat,……………………………………….………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………
Vaste toename
………………………………..……………………………………………
Als een rijtje niet uit dingen maar uit getallen bestaat, dan kan de vaste toename ook een breuk zijn.
Als de getallen afnemen dan is de toename een negatief getal.
Voorbeeld 3
1 , 1 13 , 1 23 , 2 , 2 13 , 2 32 , 3 , 3 13 , ... De vaste toename is hier
Voorbeeld 4
100 , 95 , 90 , 85 , 80 , … De getallen nemen steeds met 5 af. De vaste toename is hier -5.
1
3
4
Een formule is een ‘rekenrecept’
Bijvoorbeeld: “Vermenigvuldig het gegeven
Getal IN
getal met 2 en tel er vervolgens 1 bij op.”
Getal UIT
x2 +1
Dus als het gegeven getal 3 is, dan geeft de formule als antwoord 7, want 2 x 3 + 1 = 7.
En, als het gegeven getal 9 is, dan geeft de formule als antwoord 19, want 2 x 9 + 1 = 19.
We kunnen de formule ook als “sommetje” met letters schrijven
2x
a +1 = b
de letter a houdt de plek voor het gegeven getal bezet.
de letter
b
houdt de plek van het antwoord bezet.
a
IN
UIT
b
x2 +1
Bij elk gegeven getal a hoort een uitkomst b.
a
b
a
0
1
2
3
4
5
bij a =0 hoort uitkomst b =1, want 2 x 0 + 1 = 1
0
1
b
1
3
5
7
9
11
bij a =1 hoort uitkomst b =3, want 2 x 1 + 1 = 3
1
3
bij a =2 hoort uitkomst b =5, want 2 x 2 + 1 = 5
2
5
bij a =3 hoort uitkomst b =7, want 2 x 3 + 1 = 7
3
7
bij a =4 hoort uitkomst b =9, want 2 x 4 + 1 = 9
4
9
bij a =5 hoort uitkomst b =11, want 2 x 5 + 1 = 11
5
11
....enzovoort
Maak
Of, zo.
een
tabel
b
 (5,11)
Bij de tabel kun je een grafiek maken.
 (4,9)
De lijn door de punten is de grafiek bij de formule.
 (3,7)
 (2,5)
 (1,3)
 (0,1)
a
5
Rekenen met letters
In een formule kunnen de letters vervangen worden door getallen. Omdat de waarde van de letter kan
varieren noemen we de letters variabelen.
In formules kunnen stukjes voorkomen, die bij elkaar opgeteld of van elkaar afgetrokken worden. Zulke
stukjes heten termen. De volgende formule bestaat uit 3 termen 2 x a + 4 x b - c = 51
Termen waarin dezelfde letter voorkomt noemen we gelijksoortige termen .
Gelijksoortige termen kun je bij elkaar optellen of van elkaar aftrekken.
Voorbeeld: 2 x a + 3 x a = 5 x a
Afspraak: In de wiskunde wordt het keerteken soms vervangen door een punt of helemaal weggelaten.
Dus 5b en 5b
betekent 5 x b
Trouwens in “gewone” taal laten we het woord “keer” ook vaak weg.
We zeggen: “ik heb 3 appels op” en niet “ik heb 3 keer een appel op.”
Afspraak: In de wiskunde laten we vaak het getal 1 weg.
Dus a = 1a en -c = -1c
Optellen en aftrekken
Vermenigvuldigen en delen
4  k  5  k  9  k  9k
5  3 p  15 p
8  m  2  m  6  m  6m
3z  2  6 z
15  6n  5  20  6n
12q
 6q
2
3a  7 p  kan niet korter !
3k  9  7 m  4k  2m  7 k  5m  9
34 w
w
34
6
Hoe maak je een formule bij een tabel?
𝒙
0
1
2
3
𝒚
0
4
8
12 16 20 24
Stap 1
5
6
Wat is de vaste toename van 𝒚 als 𝒙 met één toeneemt :

Stap 2
4
𝒚 neemt elke keer met 4 toe als 𝒙 met één toeneemt.
De formule is dan :

𝑦 = 4 × 𝑥 of korter 𝑦 = 4𝑥
De tabel hierboven begint mooi in 0 voor 𝑥 en 𝑦 , daarnaast zie je ook dat er in de toename ook
een regelmaat zit. We spreken hier van een verhoudingstabel .
Dit hoeft natuurlijk niet altijd zo te zijn, kijk maar naar de tabel hieronder:
Stap 1
0
1
2
3
4
5
6
𝒚
5
3
1
-1
-3
-5
-7
Wat is de vaste toename van 𝒚 als 𝒙 met één toeneemt :

Stap 2
𝒙
𝒚 neemt elke keer met 2 af als 𝒙 met één toeneemt.
De formule zou dan zijn :

𝑦 = −2 × 𝑥 of korter 𝑦 = −2𝑥
Maar, omdat deze tabel bij 𝑥 = 0 een 𝑦 heeft met waarde 5 , moet je in de formule er dus ook nog
5 bij optellen. De formule wordt dus:

𝒚 = −𝟐 × 𝒙 + 𝟓 of korter 𝒚 = −𝟐𝒙 + 𝟓
De tabel hierboven is geen verhoudingstabel, er is wel een constante toename, maar als 𝑥 = 0
dan is de 𝑦 geen 0 maar 5.
7
Hoe kan je controleren of de formule goed is?
Gebruik altijd twee uitkomsten van de tabel om te kijken of je formule wel klopt.
Vb.
𝒙
0
1
2
3
4
5
6
𝒚 7,5 10 12,5 15 17,5 20 22,5
De Formule die bij deze tabel hoort is : 𝑦 = 2,5 × 𝑥 + 7,5 of korter 𝑦 = 2,5𝑥 + 7,5
Controle:
𝑥=1
→ 𝑦 = 2,5 × 1 + 7,5 = 10
𝑥=4
→ 𝑦 = 2,5 × 4 + 7,5 = 17,5
dit klopt met de gegevens uit de tabel.
dit klopt ook met de gegevens uit de tabel.
Je mag nu aannemen dat de formule die je gevonden hebt goed is.
8
Vergelijkingen oplossen
Terugrekenen met bordjes
Voorbeeld 1:
40  a  20  90
Door welk getal moeten we de letter vervangen zodat het sommetje klopt??
We kunnen de vraag beantwoorden door terug te rekenen.
40  20  a  90
40  20 50
 a  90
20  a  50
We leggen een bordje over 20 x a, want
vermenigvuldigen gaat voor optellen.
Omdat op het bordje 50 moet
staan geldt: 20 x a = 50
20  a2  50
2 21
1
2
a2
1
2
Nu leggen we een bordje over de a.
Als a=2 12 dan klopt het !
40  a  20  90 noemen we een vergelijking
a  2 12 noemen we de oplossing van de vergelijking.
Voorbeeld 2
Wat is de oplossing?
a  7  50  78
a  7  28
a4
9
Tip:
Geef met een markerstift
aan waar het bordje komt.
De weegschaal
Raadsel: In elk doosje zitten evenveel knikkers.
We weten alleen niet hoeveel. We weten wel dat 2
doosjes plus 3 losse knikkers evenzwaar is als 6
losse knikkers plus één doosje. Ra-ra Hoeveel
knikkers zitten er in elk doosje?
2xd+3
d+6
2xd+3=d+6
Als je aan beide kanten één doosje weghaalt,
dan blijft de weegschaal in balans. De nieuwe
vergelijking wordt dan:
d +3
6
d
3
d+3=6
Als je daarna aan beide kanten 3 knikkers
wegneemt, dan blijft de weegschaal nog steeds in
balans.
Je ziet dan dat er 3 knikkers in een doosje zitten.
Met andere woorden: d = 3
De oplossing van ons raadsel is dus dat er 3 knikkers in elk zakje zitten.
Het raadsel kunnen we schrijven als vergelijking
2×d+3= d+6
Na de eerste rekenstap wordt de vergelijking
2×d = d+3
Na de tweede rekenstap wordt de vergelijking
1×d =3
De oplossing van de vergelijking schrijven we als
d =3
10
Nog een raadsel
In elk doosje zitten evenveel dropjes. We weten alleen niet
hoeveel. We weten wel dat 4 doosjes plus 12 losse dropjes
evenzwaar is als 6 doosjes drop waaruit 8 dropjes zijn
weggesnoept. Ra-ra hoeveel dropjes horen er in elk doosje?
De vergelijking die bij dit raadsel hoort, luidt: 4 x d + 12 = 6 x d − 8
Als we aan beide kanten 8 dropjes toevoegen, dan blijft de weegschaal in balans en dan hebben
we links 4 doosjes en 20 losse dropjes en rechts 6 volle doosjes drop.
De nieuwe vergelijking wordt dan 4 x d + 20 = 6 x d . Als we aan beide kanten 4 doosjes drop weg
halen, dan wordt de nieuwe vergelijking: 20 = 2 x d . Dus dan is de oplossing van de vergelijking
10 = d.
4 x d + 12 = 6 x d − 8
De berekening, die bij deze oplossing hoort is 
4 x d + 20 = 6 x d
20 = 2 x d
10 = d
Eerlijk is eerlijk
We kunnen de weegschaal methode ook gebruiken om vergelijkingen op te lossen, waarbij we niet meer
aan dropjes kunnen denken. De enige regel die we moeten onthouden is
“eerlijk is eerlijk” wat je links doet, moet je rechts ook doen.
Doen we links
+5
Doen we rechts -4m , dan doen we links ook
-4m
Doen we rechts
:2
Doen we links
11
+5 , dan doen we rechts ook
:2 , dan doen we links ook
x-3 , dan doen we rechts ook x -3
ff tjekke: regelmaat en formules
Ik kan
 regelmaat ontdekken in een rij figuren of getallen
 de vaste toename of afname vinden in een rij figuren of getallen
 een formule maken bij een rij figuren of getallen
 een formule maken bij een tabel
 met een formule rekenen
 een formule controleren
 bij een onregelmatige tabel een formule maken 
Ik weet
 dat een formule niets anders is dan een “rekenrecept”
 dat een afname gelijk is aan een negatieve toename
 dat een regelmatige tabel niet altijd een verhoudingstabel hoeft te zijn 
12
ff tjekke
Ik weet
□ hoe de voorrangsregels luiden

Eerst uitrekenen wat tussen haakjes staat

Dan vermenigvuldigen en delen van links naar rechts

Dan optellen en aftrekken van links naar rechts
□ dat je gelijksoortige termen bij elkaar kunt nemen
𝑎+5×𝑏
□ wat een formule is
8 x a+ 5 = k
□ wat een vergelijking is
8 x a+ 5 = 21
3×𝑎+5×𝑎+5×𝑏=8×
□ wat het verschil is tussen een formule en een vergelijking
□ wat wordt bedoeld met de onbekende in een vergelijking:
bijv.
□ wat er wordt bedoeld met de oplossing van een vergelijking: a = 2
□ dat met 3 a , 3 x a wordt bedoeld
□ dat met 3a ook 3 x a wordt bedoeld
Ik kan
□ bij een verhaaltje of raadsel een vergelijking maken
□ vergelijkingen oplossen door terug te rekenen met bordjes
□ vergelijkingen oplossen met de eerlijk is eerlijk regel
13
a in 8 x a+ 5 = 21