Hoofdstuk 7 : Delen van veeltermen
advertisement
Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 7: Delen van veeltermen - 193 - Naam: ...................................................... Klas: ............ Hoofdstuk 7 : Delen van veeltermen Delen van veeltermen door een veelterm: (boek pag 146) Bepaal het quotient en de rest van de volgende delingen (oefeningen pag 149 nr. 4- 5 -6) 1.. Deeltal : −18 − 9 x + 11x 2 + 6 x 3 .............................................................. Deler : 2 x + 3 .......................................... ......................................... ............................. ......................................... ......................................... ........................................ ........................................ 2. Deeltal : 7 − 2a 3 + 6a 5 Deler : 2a 3 − 2a 2 + 5 ................................................................ ......................................... ................................................................ ............................. ............................................................... ............................. ................................................................ ................................................................ ................................................................ ................................................................ ................................................................ ................................................................ ................................................................ Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 7: Delen van veeltermen 3. Naam: ...................................................... Deeltal : 15 x 4 − 7 x 3 − 38 x 2 + 16 ................................................................ ................................................................ - 194 - Klas: ............ Deler : 3 x 2 + x − 2 ......................................... ............................. ............................................................... ............................. ................................................................ ................................................................ ................................................................ ................................................................ ................................................................ ................................................................ ................................................................ 4. Deeltal : 2 z 4 − 9 z 2 − z − 4 ................................................................ ................................................................ Deler : − 2 z 2 + 4 z − 3 ......................................... ............................. ............................................................... ............................. ................................................................ ................................................................ ................................................................ ................................................................ ................................................................ ................................................................ ................................................................ Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 7: Delen van veeltermen - 195 - Naam: ...................................................... Klas: ............ Delen van een veelterm in de onbepaalde x door een tweeterm van de vorm x –a: Voorbeeld: Deeltal: 5 x 3 − 7 x 2 − 4 Deler : x − 2 Deeltal volledig maken : 5 x 3 − 7 x 2 ..................... − 4 Deling uitvoeren : 5x 3 − 7 x2 − 5x 3 + 10 x 2 3 x2 − 3x 2 0x + 4 − x − 2 5 x 2 + 3x + 6 + 0 x + 6 x 6x − 6x − 4 + 12 8 Deeltal : ………………………….. ...... ..... ....... −7 0 −4 10 6 12 3 6 8 Rest : ………………………….. Quotient : ………………………….. Deler : ………………………….. Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 7: Delen van veeltermen - 196 - Naam: ...................................................... Klas: ............ Voer de volgende deling uit met de regel van horner en bepaal quotient en rest. (oefeningen pag 151 nr. 7) 1. Deeltal : − 3 x 3 + 6 x 2 + 15 x − 4 .............................................................. Deler : x + 2 ................................................................... ..... ................................................................... .................................................................... Quotient:................................................ rest: ........................................ 2. Deeltal : 5 x 4 − 7 x 3 − 4 x 2 + 8 x − 2 .............................................................. Deler : x − 1 ................................................................... ..... ................................................................... .................................................................... Quotient:................................................ rest: ........................................ 3. Deeltal : −3 x 3 + 7 x 2 − 5 x + 1 Deler : x − 1 3 ................................................................... ..... ................................................................... .................................................................... Quotient:................................................ rest: ........................................ Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 7: Delen van veeltermen Naam: ...................................................... Deeltal : 4 x 3 − 8 x 2 + 7 Deler : x + 1 - 197 - Klas: ............ 4. Deeltal volledig schrijven en rangschikken volgens dalende graad: ............................................................................................................................... ................................................................... ..... ................................................................... .................................................................... Quotient:................................................ rest: ........................................ 5. Deeltal : 3 + 5a − a 2 − a 4 Deler : a − 3 Deeltal volledig schrijven en rangschikken volgens dalende graad: .................................................................................................................. ................................................................... ..... ................................................................... .................................................................... Quotient:................................................ rest: ........................................ Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 7: Delen van veeltermen Naam: ...................................................... Deelbaarheid van een veelterm door x – a - 198 - Klas: ............ Een veelterm is deelbaar door een veelterm van de vorm x – a als de rest van die deling gelijk is aan nul. We spreken van een opgaande deling. Voorbeeld: Is de veelterm 2 x 3 + 3 x 2 − 5 x + 12 deelbaar door de veelterm x + 3? We passen de regel van Horner toe en als de rest gelijk is aan nul dan is de veelterm ...................................................................................................................................... 2 3 -5 12 2 ....... ...... ......... ..... We rekenen de getalwaarde uit van de veelterm voor het getal - 3: A(- 3) = …………………………………………. = ………………………………………….. = ................................................................... We merken dus dat een veelterm A(x) deeltbaar is door x - a als de getalwaarde van de veelterm A(x) voor a gelijk is aan nul. Onderzoek of veelterm A deelbaar is door veelterm B(vb oef: boek pag 158 nr 25) A = 4x 2 − 5x − 6 B= x−2 ................................................................................................................... A = 5x 3 − x 2 − x − 3 B = x −1 ..................................................................................................................... Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 7: Delen van veeltermen Naam: ...................................................... A = 5x 3 − x 2 − x − 3 B = x +1 - 199 - Klas: ............ ................................................................................................................... A = x 4 − 4 x 3 − 11x 2 + 64 x − 80 B=x−4 ................................................................................................................... A = x 4 − 4 x 3 − 11x 2 + 64 x − 80 B=x + 4 ................................................................................................................... Deelbaarheid van een veelterm door x – 1 : Voorbeeld: We veronderstellen dat de veelterm A( x) = ax 3 + bx 2 + cx + d deelbaar is door x - 1 Dan mogen we zeggen dat: A (1) = 0 ⇔ a ⋅ 13 + b ⋅ 12 + c ⋅1 + d = 0 ⇔ a+b+c+d =0 maw: Een veelterm in de onbepaalde x is deelbaar door x – 1 als de som van de coëfficiënten nul is Deelbaarheid van een veelterm door x + 1 : Voorbeeld: We veronderstellen dat de veelterm A( x) = ax 3 + bx 2 + cx + d deelbaar is door x + 1 Dan mogen we zeggen dat: A ( − 1) = 0 ⇔ a ⋅ (− 1)3 + b ⋅ (− 1)2 + c ⋅ (− 1) + d = 0 ⇔ −a + b − c + d = 0 ⇔ b+d =a+c maw: Een veelterm in de onbepaalde x is deelbaar door x + 1 als de som van de evengraadscoëfficiënten gelijk is aan de som van de onevengraadscoëfficiënten Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 7: Delen van veeltermen - 200 - Naam: ...................................................... Klas: ............ Is de eerste veelterm deelbaar door de tweede (opgave zie boek pag 156) a. 5x 2 − 7 x + 3 x −1 …………………………………………………………………………….. b. 3x 2 + x + 5 x +1 …………………………………………………………………………….. c. 3 x 3 − 7 x 2 − 6 x + 10 x −1 …………………………………………………………………………….. d. 8 x 2 − 7 x − 15 x +1 …………………………………………………………………………….. e. 2a 2 + 8a + 1 a −1 …………………………………………………………………………….. f. 3x 2 − 5 x − 2 x +1 …………………………………………………………………………….. g. 6x3 − 4x 2 + 7 x + 3 x +1 …………………………………………………………………………….. h. 5a 2 − 7 a − 24 a −1 …………………………………………………………………………….. i. x4 + 2x2 − 1 x−2 …………………………………………………………………………….. j. x 3 − 2 x 2 − 12 x + 9 x+3 …………………………………………………………………………….. k. x 3 − 3 x 2 − 10 x − 5 x−5 …………………………………………………………………………….. Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 7: Delen van veeltermen Naam: ...................................................... Delen van veeltermen - 201 - Klas: ............ Delen van een veelterm door een veelterm: Eerst het deeltal ................................................ Daarna het deeltal ................................. schrijven .......................... daarna deler en deeltal naar ..............................................exponenten in x ................. de hoogstegraadsterm van het deeltal door de ...................................................... van de deler ............................... deze eerste term van het quotient met de deler en trek het verkregen product van het deeltal af. Herhaal deze werkwijze totdat de rest de .........................is of van een ..................... graad is dan de deler. Algoritme van Horner Delen van een veelterm door een tweeterm van de vorm x-a Werkwijze : boek pag 161 Restregel De rest van de deling van een veelterm A(x) door x-a is de .......................... van het deeltal A(x) voor a Deelbaarheid van een veelterm A door een veelterm B ( B niet 0) A is deelbaar door b ⇔ De deling van A door B is .............................. Deelbaarheid van een veelterm door x-a A ( x) is deelbaar door x − a ⇔ ................................ Deelbaarheid van een veelterm door x - 1 Een veelterm in x is deelbaar door x – 1 ⇔ ................................................ Deelbaarheid van een veelterm door x + 1 Een veelterm in x is deelbaar door x + 1 ⇔ ................................................. Bepaal het quotient en de rest van de volgende delingen (oefeningen pag 149 nr. 4- 5 -6) 1 .. Deeltal : −18 − 9 x + 11x 2 + 6 x 3 .............................................................. Deler : 2 x + 3 .......................................... ......................................... ......................................... ......................................... ........................................ ........................................ ............................. Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 7: Delen van veeltermen 2. - 202 - Naam: ...................................................... Klas: ............ 3 5 3 Deeltal : 7 − 2a + 6a Deler : 2a − 2a 2 + 5 ................................................................ ................................................................ ......................................... ............................. ............................................................... ............................. ................................................................ ................................................................ ................................................................ ................................................................ ................................................................ ................................................................ ................................................................ 3. Deeltal : 15 x 4 − 7 x 3 − 38 x 2 + 16 ................................................................ ................................................................ Deler : 3 x 2 + x − 2 ......................................... ............................. ............................................................... ............................. ................................................................ ................................................................ ................................................................ ................................................................ ................................................................ ................................................................ ................................................................ Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 7: Delen van veeltermen 4. Naam: ...................................................... Deeltal : 2 z 4 − 9 z 2 − z − 4 ................................................................ ................................................................ - 203 - Klas: ............ Deler : − 2 z 2 + 4 z − 3 ......................................... ............................. ............................................................... ............................. ................................................................ ................................................................ ................................................................ ................................................................ ................................................................ ................................................................ ................................................................ 5. Deeltal : x 5 + x 2 Deler : x 3 + x − 1 ................................................................ ......................................... ................................................................ ............................. ............................................................... ............................. ................................................................ ................................................................ ................................................................ ................................................................ ................................................................ ................................................................ ................................................................ Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 7: Delen van veeltermen - 204 - Naam: ...................................................... Klas: ............ Voer de volgende deling uit met de regel van horner en bepaal quotient en rest. (oefeningen pag 151 nr. 7) 1. Deeltal : 3 + 5a − a 2 − a 4 .............................................................. Deler : a − 3 ................................................................... ..... ................................................................... .................................................................... Quotient:................................................ rest: ........................................ 2. Deeltal : − 3 x 3 + 6 x 2 + 15 x − 4 .............................................................. Deler : x + 2 ................................................................... ..... ................................................................... .................................................................... Quotient:................................................ rest: ........................................ 3. Deeltal : 5 x 4 − 7 x 3 − 4 x 2 + 8 x − 2 .............................................................. Deler : x − 1 ................................................................... ..... ................................................................... .................................................................... Quotient:................................................ rest: ........................................ Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 7: Delen van veeltermen 4. - 205 - Naam: ...................................................... Deeltal : 4 x 3 − 8 x 2 + 7 Deler : x + 1 Klas: ............ ................................................................... ..... ................................................................... .................................................................... Quotient:................................................ rest: ........................................ Vervolledig het volgende rekenschema van Horner en bepaal deeltal, deler, quotient en rest (vb oef: boek pag 158 nr 24) 1. ................................................................... 2 .................................................................. 5 6 19 30 Deeltal : ......................................... Deler: .................................... Quotient : ........................................ Rest: ...................................... 2. ............................................................................ -3 ......................................................................... 1 -5 7 -21 68 Deeltal : ......................................... Deler: .................................... Quotient : ........................................ Rest: ...................................... Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 7: Delen van veeltermen - 206 - Naam: ...................................................... Klas: ............ 3. ................................................................ ................................. 3 4 8 ............. 15 26 Deeltal : ......................................... Deler: .................................... Quotient : ........................................ Rest: ...................................... 4. .............. 5 ................ -3 .......... ....................................................................... 3 -1 6 ........ 24 Deeltal : ......................................... Deler: .................................... Quotient : ........................................ Rest: ...................................... Bepaal het reëel getal p telkens zo dat de volgende delingen opgaand zijn: (vb oef: boek pag 159 nr 31) 1. A( x ) = px 3 − 5 x 2 + 7 x − 4 Deler : x − 1 ................................................................................................................... ................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 7: Delen van veeltermen 2. Naam: ...................................................... A( x ) = 4 x 2 − 3 px + 8 Deler : x + 1 - 207 - Klas: ............ ................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... 3. A ( x ) = 2 x 3 − px 2 + 7 x + 2 Deler : x + 2 ................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... d. A ( x ) = 5 px 3 − 2 x 2 − px − 114 Deler : x − 3 ................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... e. A ( x ) = 9a 3 − 7 pa 2 + 4 p Deler : a + 2 ................................................................................................................... .................................................................................................................... .................................................................................................................... Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 7: Delen van veeltermen Naam: ...................................................... - 208 - Klas: ............ Studiehulp : Hermaak alle oefeningen uit dit mapje opnieuw en controleer jezelf door na te kijken of je de oplossing juist heb. Door de oefeningen aan te duiden die je fout hebt of waar je moeite mee hebt, weet je bij het voorbereiden van je examen welke oefeningen je zeker moet hermaken. Maak ook de oefeningen uit toets jezelf in je boek pag 162. De oplossingen van deze oefeningen kan je achteraan in je boek vinden. Maak ook extra oefeningen, er is steeds verwezen naar de oefeningen in je boek en je kan dus gerust nog extra oefeningen uit die reeks maken. Heb je vragen, kom dan gerust langs.... Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 7: Delen van veeltermen - 209 - Naam: ...................................................... Klas: ............ Toets jezelf : Delen van veeltermen b. Opgave ( boek pag 149 nr. 5) Deeltal Deler 2 3x + 4 15 x + 14 x − 8 3x − 7 12 x 2 − 7 x + 5 c. 4 y 3 + 4 y 2 − 29 y + 20 a. d. − 18 − 9 x + 11x + 6 x e. 2y − 3 Oplossing quotiënt 5x − 2 rest 0 4x + 7 54 2y2 + 5y − 7 -1 2x + 3 3x + x − 6 0 3 x 4 + 16 x 3 − 17 x + 6 3x − 2 x3 + 6x 2 + 4x − 3 0 f. 16 z 6 4 z 2 + z 2 + 0,25 0,25 g. x − x3 4z 2 − 1 x+3 − x 2 + 3x − 8 24 h. 2a 4 − 2a 3 + 11a 2 − 3a + 12 2a 2 + 3 a2 − a + 4 0 i. x4 + 1 x2 − 1 2 j. 243 x 5 + 32 k. 7 − 127 p + 7 p 2 + p 3 − 7 p 4 1 − 7 p 81x 4 − 54 x 3 + 36 x 2 − 24 x + 16 -11 p 3 − p + 18 a. Opgave ( boek pag 149 nr. 6) 2x 2 − x + 5 6 x 3 − 11x 2 + 19 x − 20 3x − 4 0 b. 18 x 2 + 6 x − 4 3x 2 − x + 6 6 12 x − 40 c. 6 y 4 + 38 y − 23 y 2 − 15 2y2 + 4y − 3 3y2 − 6 y + 5 0 d. x 5 − 3x 2 + 2 x − 7 x2 − x + 4 x 3 + x 2 − 3 x − 10 4 x + 33 2 3 x2 + 1 3x + 2 2 e. 15 x − 7 x − 38 x + 16 3x + x − 2 5x − 4x − 8 f. 7 − 2a 3 + 6a 5 2a 3 − 2a 2 + 5 3a 2 + 3a + 2 g. 12 x 4 − 4 x 3 + 5 x 2 3x 2 + 2 x − 2 4x 2 − 4x + 7 h. x 4 − 5x 2 + 4 x 2 + 3x + 2 x 2 − 3x + 2 i. 2z 4 − 9z 2 − z − 4 − 2z 2 + 4z − 3 − z 2 − 2z + 2 j. 4 8 3 16 x − 100 x 2 4 2 2 2x − 2x − 3 0 2 6 5 0 − 11a 2 − 15a − 3 − 22 x + 14 0 − 15 z + 2 4 3 8 x + 8 x + 20 x + 32 x + 12 x 2 + 60 x + 78 336 x + 234 k. x5 + x2 x3 + x + 1 Opgave ( boek pag 151 nr. 7) x2 − 1 2x 2 + x − 1 Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 7: Delen van veeltermen b. Naam: ...................................................... x−2 3x − 2 x 2 − 9 x + 2 x −1 5x 4 − 7 x 3 − 4 x 2 + 8x − 2 c. − 3 x 3 + 6 x 2 + 15 x − 4 a. 2 x+2 - 210 - Klas: ............ 3x + 4 x − 1 0 5x 3 − 2x 2 − 6x + 2 0 − 3 x 2 + 12 x − 9 14 2 d. 3 x + 2 x − 16 x + 15 x+3 3x − 7 x + 5 0 e. − 13 x 2 + 7 x + 5 x 3 − 2 x−2 5 x 2 − 3x + 1 0 f. 50 + 28 x + 2 x 2 − 11x 3 + 2 x 4 x−4 2 x 3 − 3 x 2 − 10 x − 12 2 g. 3 x 4 + 11 + 4 x 3 − 21x − 60 x 2 x+5 3 x 3 − 11x 2 − 5 x + -9 h. 4 x 3 − 8x 2 + 7 x +1 4 x 2 − 12 x + 12 -5 2 2 2 i. x + x −8 x+2 x − x + 2x − 4 0 j. 3 + 5a − a 2 − a 4 a−3 − a 3 − 3a 2 − 10a − 25 -72 k. 1 − x4 x− 2 − x3 − 2x 2 − 4x − 8 -15 l. a + 15a 3 + 7 a 4 a+2 7 a 3 + a 2 − 2a + 5 -10 m. x5 − x4 + x3 − x2 + x 0 a. x +1 x + x6 Opgave ( boek: pag 153 nr. 9 ) A = 4x3 − 6x 2 − x − 2 b. B = 6 − x − 2x 2 − x3 B ( 4 ) = 94 4 3 3 2 A ( − 2 ) = − 44 c. C = 2x − 4x + 5 C ( − 3 ) = − 37 d. D ( 5 ) = 1104 a. D = − 6 − 3x + 4 x 3 + x 4 Opgave ( boek : pag 154 nr. 10) Deeltal A ( x ) = 7 x 3 + 5 x 2 + 9 x + 36 b. A ( x ) = 2 x 4 + 5 x 3 − 17 x 2 + 3 x − 5 Deelbaar? Ja: A = B ⋅ ( 7 x + 12) 2 B ( x ) = 2 x − 3 x + 1 Neen c. A (x ) = x 4 − x 3 − x − 5 B (x ) = x 2 + 1 d. b. A ( x ) = 2 x 4 + 21x + 18 − x 5 B (x ) = x 2 − 2 x − 3 Opgave (boek : pag 156 nr.11) Deeltal Deler 2 x−1 5x − 7 x + 3 2 x +1 3x + 8x + 5 c. 3 x 3 − 7 x 2 − 6 x + 10 x− 1 Ja d. 8 x 2 − 7 x − 15 x +1 Ja e. 2 a 2 + 8a + 1 a +1 Neen f. 3x 2 − 5x − 2 x−2 Ja a. 3 Deler B (x ) = x 2 − x + 3 Neen ( Ja: A = B ⋅ − x 3 − 3 x − 6 Deelbaar? Neen Ja ) Werkboek Algebra (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 7: Delen van veeltermen h. Naam: ...................................................... x+2 6x − 4x 2 + 7 x + 3 a−3 5a 2 − 7 a − 24 i. x4 + 2x2 − 1 g. - 211 - Klas: ............ Neen 3 Ja x− 2 Neen j. x − 2 x − 12 x + 9 x+3 Ja k. x 3 − 3 x 2 − 10 x − 5 x−5 Neen l. x 3 + 7 x 2 − 48 x+4 Ja m. 4 a 3 + 5a 2 − a − 2 a +1 Ja n. 3 x 3 + 7 x + 10 Opgave (boek pag156 nr.12) Deeltal x −1 neen Deelbaar door x + 1 neen 3 2 a. 5 x − 3x − 4 x + 2 Deelbaar door x − 1 ja b. 5 x 3 − 3x 2 − 4 x + 4 neen ja 3 2 c. x − 2x + 1 ja neen d. x 4 − 2x 2 + 1 ja ja e. 2 x 4 − 8x 3 − 5x 2 + x − 4 neen ja 3 f. x − x + x + 2x − 4 neen neen g. 2 x 4 − 3x 3 − x − 2 ja neen h. 3x 4 + x 3 − 5x 2 − x + 2 ja ja i. 3x 4 − x − 5 neen neen j. x 2 + 3x + 2 neen ja neen ja 4 3 2 k. 3x − x − 4 l. a. ja 7x 2 − x − 6 Opgave (boek: pag 160 nr. 32) Deeltal Deler 3 2 x−2 x − 5 x + 2 px − 1 b. x 3 − px 2 − 2 px − 3 x −1 c. x 4 + px 3 − px 2 − 4 px + 4 x +1 2 neen rest p 3 23 − 5 ⋅ 2 2 + 2 p ⋅ 2 − 1 = 3 ⇔ p = 4 -8 13 − p ⋅ 12 − 2 p ⋅ 1 − 3 = − 8 ⇔ p = 2 11 (− 1)4 + p ⋅ (− 1)3 − p ⋅ (− 1)2 − 4 p ⋅ (− 1) + 4 =11 ⇔ p =3 d. px 3 + 2 px 2 + 3 x + 7 p x+3 p 3 p ⋅ (− 3) + 2 p (− 3 ) 2 + 3(− 3) + 7 p = p ⇔ p = −3
