Examen Liegroepen 2009 (1e zit)

Examen Liegroepen 2009 (1e zit)
Theorie (mondeling met voorbereiding met open boek)
1) Wat is een afleidingsoperator? Toon aan dat de lie – algebra van afleidingsoperatoren voor
de commutator een ideaal is van de lie – algebra van lineaire afbeeldingen. Toon aan dat voor
een nilpotente afleidingsoperator D: exp(D) een autormorfisme is van een lie – algebra op
zichzelf.
2) Wat is een liedeelgroep van een liegroep? Toon aan dat een algebraïsche deelgroep van
liegroep die tevens een deelvariëteit is van die liegroep een liedeelgroep is.
Bewijs volgende stelling: zij G een p – dimensionale Liegroep en M een q – dimensionale
differentieerbare variëteit met q < p en zij : G  M een differentieerbare afbeelding en
onderstel dat range() = q. Stel H := -1((e)) en dat H de bijkomende eigenschap heeft dat
(hg) = (g), h  H, g  G. Dan kan H voorzien worden van de structuur van een
liedeelgroep van G met dim(H) = p – q.