Java Printing

Basiskennis van machten
© WISNET-HBO
update juli 2007
1 Inleiding
Deze les doorwerken met pen en papier!
4
• We noemen de uitdrukking a een macht van a (in dit geval de vierde macht van a).
Het grondtal is a en de exponent is hier het getal 4.
• Eerst oefenen we met gehele exponenten om de rekenregels te leren kennen.
• Als er een spatie tussen de letters staat, dan betekent dat een vermenigvuldiging: a × b =
a b.
Voor de invoer van de formule moet je dan een sterretje tikken als je keer bedoelt!
2 Basisrekenregels voor machten
Voor a en b ongelijk aan 0 gelden de volgende algemene rekenregels voor het werken met
machten.
Hierbij kunnen de getallen m en n (de exponenten) zowel negatief als positief, maar ook
gebroken zijn.
Ga onderstaande rekenregels nog eens na en probeer in gedachten even een voorbeeld
erbij te bedenken.
Als je geen voorbeelden kunt bedenken, ga je naar de voorbeelden van machten.
m
n
m n
m
a ×a =a a =a
m
a
a
n
m
=a
n
n
voorbeeld:
3 4
5
voorbeeld:
3
a a =a
a
a
3
5
=a
3
4
=a
2
=a
7
n
a
1
=
a
0
n
a
ab
a
b
n
n
=
n
10
3
1
=
3
10
iets tot de macht 0 is altijd gelijk aan 1
a =1
m
voorbeeld:
mn
voorbeeld:
=a
n n
n
a
n
a
voorbeeld:
=a b
n
n
=a b
4
3
3a
voorbeeld:
b
2
12
=a
2 2
=3 a =9a
2
3
3
=
3
2
3
3
=
2
8
27
Rijtje om te bekijken
3
a
4
a = kan niet verder opgeteld worden
a
3
4
a =a
3
1
a
(Een andere manier van opschrijven, kijk ook bij ontbinden in factoren en haakjes
wegwerken.)
3 4
a a =a
a
3
a
3 Voorbeelden
3
4
7
12
=a
3
a =2 a
3
Ga zorgvuldig de volgende voorbeelden na.
voorbeeld 1
Wat is het verschil tussen de volgende uitdrukkingen?
2
3
3×2
2×3
3
2
3
2
antwoord
Zie ook de basisrekenregels.
3
De betekenis van 2 = 2 × 2 × 2
De betekenis van 3 × 2 = 2
2
2
De betekenis van 2 × 3 = 3 + 3
De betekenis van 2
3
is
1
3
2
De betekenis van
3
2
is ( 3) × ( 3) = +9.
voorbeeld 2a
Vereenvoudig
a
a
antwoord
manier 1
In feite staat er
5
3
=
5
a
aaaaa
2
=a
aaa
=
3
a
Je kunt dus boven en onder de breukstreep wegstrepen.
manier 2
Je kunt voor
1
a
3
ook schrijven a
3
en verder weer met de rekenregels werken.
5
3
a a
=a
5
3
2
=a
voorbeeld 2b
Vereenvoudig
5
3
a ×a
=
antwoord
5
a a
3
=a
5
3
=a
2
voorbeeld 3
Vereenvoudig
3
5
a ×a
=
antwoord
3
a a
5
3
=a
5
=a
2
=
1
a
2
Aanwijzing
Bij machten met negatieve exponent is er dus sprake van een deling.
voorbeeld 4
Vereenvoudig
3
2 2
antwoord
5
2
=
manier 1
Je kunt op beginnen met hetgeen tussen haakjes staat eerst te vereenvoudigen en
daarna te kwadrateren.
Neem de rekenregels van de machten erbij.
3
2 2
3
2
2
2
1
2
4
2
5
=
2
5
=
2
2
=
4
=
1
16
=
manier 2
Maar je kunt ook alles wat tussen haakjes staat eerst kwadrateren en dan komt het
op het volgende neer:
3
2 2
2
6
2
2
1
2
Vereenvoudig
5
2
6
voorbeeld 5
=
2
3
10
2 ×2
met de computer
2
5
4
10
4
=
=
=
=
1
16
2
=
2 3 0
a b c
ab
=
7
antwoord
De teller en de noemer van de breuk bevatten gemeenschappelijke factoren die
bijelkaar genomen kunnen worden.
Let wel op dat er geen +-tekens mogen staan als je de volgende rekenregels toepast.
Als er niets tussen de letters staat, betekent het dat er sprake is van
vermenigvuldiging.
2 3 0
a b c
ab
=
7
aanwijzing
Als er niets tussen staat wordt keer bedoeld.
Werk alfabetisch alle letters af.
Dus
2 3 0
2
a b c
ab
a
2
3
a
b
0
=
×
×c
7
a
b
7
1 3
b
4
ab
7 0
c =
1=
a
4
b
met de computer
voorbeeld 6
Vereenvoudig de volgende vorm zodat er geen breuken meer in voorkomen.
2
y
3x
1
y
2
antwoord
Begin met alles samen te brengen tot één kwadratische vorm.
2
y
3x
1
y
2
=
2
1
y
y 3x
Vervolgens binnenin eerst haakjes wegwerken, dan krijg je dat hier de breuk wegvalt.
2
1
y
y 3x
2
= 3xy
1 .
1
= 1.
y
met de computer
Immers y ×
voorbeeld 7
Bestudeer de volgende regels zorgvuldig en verklaar ze voor jezelf met de rekenregels.
Kijk eventueel nog even naar de rekenregels in de eerst paragraaf.
0
3x
=1
0
3x = 3
0
3 = 1
3
0
=1
met de computer
voorbeeld 8
Vereenvoudig de volgende vorm zo goed mogelijk.
3x
y
2
1
=
antwoord
Zoals je weet is er bij een macht met negatieve exponent sprake van een deling.
3x
3x
y
1
1
y
2
=
2
=
1
3x
=
2
1
y
2
Vermenigvuldig nu de teller en de noemer van de breuk met y :
2
y
2
y
2
1
y
3x
=
Breng in de noemer alles bijelkaar tot één kwadraat.
2
y
2
1
y
y 3x
=
Werk nu de binnenste haakjes in de noemer weg.
Je zult zien dat dan de breuk in de noemer weggewerkt is.
2
y
3xy
1
2
met de computer
4 Oefeningen om zelf te doen
Neem nu pen en papier ter hand en maak de volgende oefeningen.
oefening 1
Wat is het verschil tussen de volgende vier voorbeelden:
1
2
1
2
5
1
2
1
2
5
5
=
=
5
=
=
antwoord
Er is verschil in volgorde van bewerking zoals de haakjes staan.
1
in zijn geheel tot de macht 5. (Óók het minteken
2
Bij de eerste doe je bijvoorbeeld
tot de vijfde!!)
5
Bij de tweede reken je eerst uit 2 = 32 en daarna deel je daardoor en je zet er een
minteken voor.
Bij de derde reken je eerst
Bij de laatste doe je
1
tot de vijfde uit en zet er een minteken voor.
2
1 gedeeld door 32.
Toevallig komt dat hier allemaal op hetzelfde neer. De uitkomst is steeds
1
.
32
Dus uiteindelijk is er geen verschil.
Vraag: Is dat altijd zo dat het niet uitmaakt?
Klik het juiste antwoord aan:
• Ja het is altijd zo dat het niet uitmaakt
• Nee soms maakt het niet uit en andere keren wel
oefening 2
Wat is het verschil en de overeenkomst tussen de onderstaande vier vormen?
1
2
1
2
6
1
2
1
2
6
6
=
=
6
=
=
antwoord
Er is weer verschil tussen de volgorde van bewerking. Kijk goed waar de haakjes voor
staan.
Bij de eerste moet het minteken ook tot de zesde macht en dat wordt daardoor een
plusteken en de uitkomst is
1
.
64
Bij de tweede moet nou juist niet het minteken tot de zesde macht maar alleen de 2
moet tot de zesde macht.
De uitkomst is dus
1
.
64
Bij de derde en vierde is daardoor ook steeds de uitkomst
1
omdat het minteken
64
niet tot de zesde macht gaat.
conclusie
Als het een even macht betreft, resulteert een minteken tot een even macht in een
plusteken. Vergelijk dit met oefening 1.
oefening 3
Wat is het verschil tussen de volgende vormen?
3
1
2
x
1
2
3
x
1
3
2
x
1
3
2
x
antwoord
Klik op het juiste antwoord.
• De mintekekens vallen overal weg omdat je steeds x tot de zesde macht krijgt en
dat is een even macht.
• Overal komt hetzelfde antwoord uit en met een minteken.
• Uit de eerste en de derde komt een negatief antwoord en uit de tweede en de
vierde een positief antwoord.
• Uit de tweede en de vierde komt een negatief antwoord en uit de eerste en de
derde een positief antwoord.
oefening 4
Vereenvoudig
27
xy
3 9
.
x y
antwoord
Werk de vorm om tot
x
3
x
27
×
y
=x
9
2
18
×y
y
18
=
y
2
x
De teller en de noemer bevatten gemeenschappelijke factoren die je samen kunt
nemen (machten met hetzelfde grondtal, kun je samen nemen).
Kijk eventueel nog naar de rekenregels in de eerste paragraaf.
Ga op de rode invoerregel staan en druk op Enter.
x*y^27/(x^3*y^9);
y18
x2
oefening 5
Vereenvoudig
27
xy
3 9
2
.
x y
hint
Vereenvoudig eerst de vorm tussen haakjes (zie daarvoor oefening 4).
antwoord
Ga op de rode invoerregel staan en druk op Enter.
(x*y^27/(x^3*y^9))^2;
36
y
x4
oefening 6
Vereenvoudig de volgende vorm
27
xy
x
3 9
y
2
hint
Vereenvoudig eerst de vorm tussen de haakjes
27
xy
y
27
x
1
y
×
3
x
=
3 9
x
3 27
x
=
9
y
9
y
=
4 18
x y
antwoord
(x*y^27/(x^(-3)*y^9))^2;
8 36
x y
oefening 7
Vereenvoudig de volgende vorm
2
p p
a
b
2
a b
1
aanwijzing 1
Schrijf eventueel
a
2
p
2 p
als a a
Als dit niet duidelijk is, ga dan nog eens naar de eerste twee basisrekenregels.
aanwijzing 2
Neem machten met hetzelfde grondtal bij elkaar.
Bijvoorbeeld
2
p
a
a
2
=a
2
p
2
p
=a .
Als dit niet duidelijk is, ga dan nog eens kijken naar de basisrekenregels.
aanwijzing 3
Ga met de basisrekenregels na dat
1
b
= b.
1
antwoord
Let eens op hoe je deze ingewikkelde vorm intikt en druk op Enter.
a^(2+p)*b^p/(a^2*b^(-1)):%=simplify(%);
a2 p b p b
= ap bp 1
2
a
oefening 11
Vereenvoudig de volgende vorm
4ab
3
1
=
aanwijzing
Alles tussen haakjes moet tot de macht 1.
Je kunt dan heel snel ook alles ónder de breukstreep zetten.
antwoord
(4*a*b^3)^(-1);
1
3
4ab
oefening 12
Vereenvoudig de volgende vorm.
4a b
3
1
=
aanwijzing
3
Alleen b moet tot de macht 1 en even apart berekend:
3
b
b
3
=
1
=
1
b
antwoord
3
4*a*(b^3)^(-1);
4a
b3
oefening 13
Vereenvoudig de volgende vorm.
2
2
x
x
3
2
3
=
5
y
y
aanwijzing
Behandel eerst beide breuken apart.
Behoefte aan een voorbeeld? Kijk dan onder de volgende knop.
voorbeeld
De eerste breuk even apart afhandelen.
Boven en onder de breukstreep alles dus tot de macht -2.
2
2
x
4
x
=
3
y
y
6
4 6
=x y
Nog een voorbeeld zien?
voorbeeld
De tweede breuk afhandelen: boven en onder de breukstreep alles tot de tweede
macht doen.
3
x
5
y
2
=
6
x
10
y
=
1
6 10
x y
en vermenigvuldig het resultaat van eerste en tweede breuk met elkaar.
antwoord
Let goed op hoe deze ingewikkelde vorm ingetikt wordt. In de uitvoer van de
computer wordt er direct vereenvoudigd, dus je kunt de invoer eigenlijk niet goed
controleren. Je kunt de invoer wel goed controleren als je op de knop met het Mapleleaf klikt in de context-bar, dan toggel je tussen executable en nonexecutable
uitdrukking.
(x^(-2)/(y^3))^(-2)*(x^(-3)/(y^5))^2;
1
2 4
x y
5 Oneigenlijke machten
In bovenstaande oefeningen en voorbeelden hebben we steeds gehele exponenten gezien.
Het is ook mogelijk om met gebroken exponenten te rekenen.
Dat komt meestal neer op het werken met wortels.
De rekenregels zijn dezelfde als in de basisrekenregels.
Voor meer informatie over oneigenlijke machten (als de exponent gebroken is of negatief of
beide), zie de les met wortelvormen.
Of zoek met de zoekfunctie naar "wortel".
voorbeeld
x =x
1
2
De exponent is nu een gebroken getal.
In de exponent kunnen ook negatieve getallen voorkomen.
Daarvan hebben we al voorbeelden gezien in voorbeeld 1 van paragraaf 3 en verder.
Als de exponent een gebroken getal is, dan werken we in feite met wortelvormen.
Zie verder in de les met de wortelvormen.