3.4 De continuïteitsvergelijking van Castelli

Hydromechanica HZS-OE5-GN240 - C. Reynaerts
3-1
3 Inleiding tot de hydrodynamica
In dit hoofdstuk leer je

diverse stromingsvormen onderscheiden,

modellen voor vloeistoffen hanteren,

het begrip debiet kennen en het gebruiken om het behoud van massa in een
geschikte vorm te gieten voor de hydrodynamica,

het begrip viscositeit kennen en het belang ervan voor de stroming van
vloeistoffen onderkennen,

bewust worden van het gevaar van het verschijnsel waterslag en van
mogelijke maatregelen om het te vermijden.
Versie 7.0
December 2011
3-2
Hydromechanica HZS-OE5-NW240 - C. Reynaerts
3.1 Soorten stromingen
3.1.1 Eendimensionale vs. tweedimensionale stroming
Men spreekt van eendimensionale stroming als zowel de eigenschappen van het
stromende fluïdum als van de stroming slechts in één enkele richting variëren.
In de praktijk komt dit geïdealiseerde geval slechts zelden voor. Vaker variëren de
parameters in twee richtingen, met andere woorden heeft men te maken met
tweedimensionale stroming.
In het geval van tweedimensionale stroming is het vaak zinvol om te werken met
gemiddelde waarden van grootheden over een doorsnede loodrecht op de
stroomrichting. Op die manier wordt het tweedimensionale probleem vereenvoudigd
tot een eendimensionaal.
3.1.2 Stationaire of permanente stroming
De stroming wordt stationair of permanent genoemd als de parameters die de
stroming beschrijven niet expliciet van de tijd afhangen, maar enkel van de ruimtelijke
coördinaten.
3.1.3 De begrippen stroomlijn, stroombaan en stroombuis
Een stroomlijn is een dusdanige kromme dat op een gegeven tijdstip de snelheid van
een fluïdumdeeltje dat zich in een punt van de kromme bevindt, rakend is aan de
kromme. Bij niet permanente stroming zal zich over het algemeen op een ander
tijdstip in een punt een vloeistofdeeltje bevinden met een verschillende
snelheidsvector en heeft de stroomlijn een andere vorm.
In geval van permanente stroming echter zijn de banen gevolgd door
vloeistofdeeltjes, de zogenaamde stroombanen, onafhankelijk van de tijd.
Stroomlijnen en stroombanen vallen samen en hun vorm is tijdsonafhankelijk.
Versie 7.0
December 2011
Hydromechanica HZS-OE5-GN240 - C. Reynaerts
3-3
Een bundel stroomlijnen wordt een stroombuis genoemd. Merk op dat een dergelijke
stroombuis schijnbaar omhuld is door een ondoordringbare wand: de
snelheidsvectoren van de vloeistofdeeltjes zijn immers rakend aan die wand, met
andere woorden er lekt geen vloeistof doorheen. De doorsnede van een stroombuis
loodrecht
op
de
stroomlijnen,
wordt
een
stromingsdoorsnede
of
stroombuisdoorsnede genoemd.
3.1.4 Laminaire vs. turbulente stroming
Men spreekt van laminaire stroming indien de vloeistof in laagjes naast elkaar glijdt
zonder dat er menging optreedt tussen de vloeistoflagen. Indien er in meerdere of
mindere maten wervelingen optreden, wordt de stroming turbulent genoemd.
3.2 Ideale vs. reële vloeistof
Zoals in de mechanica van starre lichamen in eerste instantie het ideaalmodel van
het conservatieve systeem wordt gehanteerd, zal de fundamentele vergelijking voor
de hydrodynamica eerst opgesteld worden voor een ideaal fluïdum. Een ideaal
fluïdum voldoet aan elk van de volgende voorwaarden:
Versie 7.0
December 2011
3-4
Hydromechanica HZS-OE5-NW240 - C. Reynaerts




er treedt geen wrijving op tussen de fluïdumdeeltjes onderling,
er treedt evenmin wrijving op tussen de fluïdumdeeltjes en eventuele vaste
wanden waarmee het in contact staat,
het fluïdum is onsamendrukbaar, met andere woorden het heeft een constante
dichtheid ,
de stroomsnelheid is constant in een stroombuisdoorsnede.
In het geval van reële vloeistoffen moet doorgaans vanzelfsprekend wel rekening
gehouden worden met wrijvingsverliezen. Het is bovendien meestal ook zo dat de
stroomsnelheid wel varieert doorheen een stroombuisdoorsnede. Dat euvel kan
echter simpelweg omzeild worden door te werken met de gemiddelde waarde van de
stroomsnelheid over de doorsnede.
In het geval van gassen zal over het algemeen de dichtheid allerminst als constant
kunnen beschouwd worden.
3.3 Debiet
3.3.1 Het massadebiet
Het massadebiet dat door een stromingsdoorsnede stroomt, wordt gedefinieerd als
de massa fluïdum die per tijdseenheid door de doorsnede passeert.
Qm 
dm
dt
[Qm] = kgs-1
3.3.2 Het volumedebiet
Het volumedebiet dat door een stromingsdoorsnede stroomt, wordt gedefinieerd als
het volume fluïdum dat per tijdseenheid door de doorsnede passeert.
Qv  Q 
Indien de index
bedoeld.
V
dV
dt
[QV] = m3s-1
weggelaten is en men kortweg over debiet spreekt, wordt in de regel volumedebiet
3.4 De continuïteitsvergelijking van Castelli
De wet van behoud van massa, die in de hydrodynamica beter bekend staat als de
continuïteitsvergelijking van Castelli, kan voor een stromend fluïdum uitgedrukt
worden door te stellen dat door eender welke doorsnede van een welbepaalde
stroombuis per tijdseenheid dezelfde massa vloeistof stroomt.
A1
A2
v1
v2
Met andere woorden, het massadebiet Qm is constant:
dm
 Q m  1  A 1  v 1   2  A 2  v 2 .
dt
Versie 7.0
December 2011
3-5
Hydromechanica HZS-OE5-GN240 - C. Reynaerts
Deze vorm is toepasbaar zowel voor vloeistoffen als voor gassen.
Voor onsamendrukbare fluïda, dus voor vloeistoffen in de meeste omstandigheden,
kan een afgeleide vorm gebruikt worden, die wordt bekomen door in bovenstaande
uitdrukking de constante dichtheid  = 1= 2 weg te delen. Het volumedebiet QV is
constant:
Q
dV
 QV  m  A1  v1  A 2  v 2 .
dt

In bovenstaande uitdrukkingen stellen de v’s gemiddelde waarden van de
stroomsnelheid over een stroombuisdoorsnede voor. Soortgelijke uitdrukkingen zijn
van toepassing voor de lokale stroomsnelheden op voorwaarde dat de
macroscopische oppervlaktes A vervangen worden door elementaire oppervlaktes
dA.
3.5 Viscositeit
3.5.1 De absolute of dynamische viscositeit
De viscositeit of dikvloeibaarheid van een vloeistof is een maat voor haar
stroperigheid.
Bekijken we een hoeveelheid vloeistof ingesloten tussen twee evenwijdige vlakke
platen, elk met een oppervlakte A en met een onderlinge tussenafstand x.
v
A
F//
x
0
Om de bovenste plaat met een constante snelheid in beweging te houden ten op
zichte van de onderste, blijkt het nodig te zijn om er evenwijdig met het het plaatvlak
een kracht op uit te oefenen waarvan de grootte F// :



recht evenredig is met de oppervlakte A
recht evenredig is met de snelheid v
omgekeerd evenredig is met de tussenafstand x.
Met andere woorden de schuifspanning

F//
A
is recht evenredig met de
dv
, waarbij de evenredigheidscoëfficiënt  de absolute of
dx
dynamische viscositeitscoëfficiënt van het fluïdum wordt genoemd:
snelheidsgradiënt

Versie 7.0
F//
dv
.
 
A
dx
December 2011
3-6
Hydromechanica HZS-OE5-NW240 - C. Reynaerts
De SI-eenheid van de absolute viscositeit is  

 dv 
 dx 
 

Pa
Pa
 1  Pa  s .
1
ms
s
m
3.5.2 De relatieve of kinematische viscositeit
Naast de absolute viscositeit wordt in de hydrodynamica ook vaak de eruit afgeleide
relatieve of kinematische viscositeitscoëfficiënt gebruikt



De SI-eenheid van de absolute viscositeit is  

Pa  s
kg  m 1  s 1


 m 2  s 1 .
3
3
 kg  m
kg  m
Indien men over viscositeit zonder meer spreekt, wordt in de regel de absolute viscositeit  bedoeld.
3.6 Het dimensieloze kental van Reynolds
Het dimensieloze kental van Reynolds, of kortweg getal van
Reynolds, wordt als volgt gedefinieerd:
Re 
met
v d

v
: de (gemiddelde) stroomsnelheid in de stroombuis
d
: de diameter van de stroombuis
(of een andere karakteristieke afmeting voor de stroming)


: de relatieve/kinematische viscositeitscoëfficiënt v.h. fluïdum


: de absolute/dynamische viscositeitscoëfficiënt v.h. fluïdum

: de dichtheid v.h. fluïdum
Verifiëren we even dat het inderdaad om een dimensieloze grootheid gaat:
Re   v  d   v d  m  2s 1m  m2  s 1

m s
m s
  
1
2
1
.
Zoals we verder in de cursus zullen zien, speelt dit getal een belangrijke rol bij de
berekening van wrijvingsverliezen bij de stroming van een reële vloeistof. In eerste
instantie vormt dit getal de basis van een criterium om te bepalen of stroming
laminair dan wel turbulent verloopt:
Re < 2000
Re > 2000
Versie 7.0


laminaire stroming
turbulente stroming .
December 2011
Hydromechanica HZS-OE5-GN240 - C. Reynaerts
3-7
3.7 De waterslag (E: water hammer, Fr: coup de bélier)
De waterslag is een verschijnsel dat optreedt wanneer de stroming in een leiding
plotseling gestopt of gestart wordt, bijvoorbeeld door het abrupt sluiten van een
afsluitkraan of stilvallen van een pomp, of door het abrupt starten van een pomp. De
energie van de stromende vloeistof wordt daarbij omgezet in een lopende drukgolf
waardoor de leiding mogelijks kan breken.
De waterslag is een niet permanent stromingsverschijnsel. De berekening ervan is
een onderwerp dat buiten het bestek van deze basiscursus valt, maar zonder
ingewikkelde berekeningen is het mogelijk om inzicht in het verschijnsel te
verwerven. Zoals eerder gezegd, mag een vloeistof in de meeste toepassingen die in
volgende hoofdstukken aan bod komen als een onsamendrukbaar fluïdum
beschouwd worden. Om de waterslag te begrijpen moet je wel rekening houden met
de – weliswaar geringe – samendrukbaarheid van een vloeistof.
Beschouw een leiding die aangesloten is op een vloeistofreservoir. Aanvankelijk
stroomt de vloeistof met snelheid v door de leiding. Plots (op t = 0 s) wordt de leiding
door middel van een afsluitklep op een afstand L van de instroomopening afgesloten.
Tengevolge van haar traagheid blijft de vloeistof nog verder bewegen naar de
afsluiter toe waardoor de druk daar begint te stijgen. Er ontstaat een drukgolf die zich
in tegenovergestelde zin verplaatst met een voortplantingssnelheid v wave (= de
geluidsnelheid in de vloeistof). De drukgolf veroorzaakt een uitzetting van de leiding
(overdreven groot getekend).
Op het tijdstip t = L/vwave staat het hele stuk leiding op overdruk en het instromen van
vloeistof valt stil. De drukgolf bereikt het reservoir en de vloeistof in de leiding kan
zich opnieuw beginnen ontspannen (je kunt de kolom vloeistof in de leiding
vergelijken met een veer die werd samengedrukt en zich dan weer begint te
ontspannen).
Vloeistof stroomt nu met snelheid v uit de leiding, dus weg van de afsluiter en de druk
in de leiding daalt. Er ontstaat een drukgolf die zich met voortplantingssnelheid vwave
naar de afsluiter verplaatst, dus weerom in tegenovergestelde zin als waarin de
vloeistof stroomt.
Op het tijdstip t = 2•L/vwave staat het hele stuk leiding opnieuw op de druk die er
heerste voor het afsluiten. Tengevolge van haar traagheid gaat de vloeistof nog door
met uitstromen uit de leiding waardoor de druk begint te dalen. Er ontstaat een
drukgolf die zich met voortplantingssnelheid vwave weg van de afsluiter verplaatst, dus
nu in dezelfde zin als waarin de vloeistof stroomt.
Op het tijdstip t = 3•L/vwave staat het hele stuk leiding op onderdruk en het uitstromen
van vloeistof valt stil. De drukgolf bereikt het reservoir en de vloeistof in de leiding
kan opnieuw beginnen ontspannen (je kunt de kolom vloeistof in de leiding
vergelijken met een veer die werd uitgerekt en dan weer begint samen te trekken).
Vloeistof stroomt nu weer met snelheid v in de leiding, dus naar de afsluiter en de
druk in de leiding stijgt. Er ontstaat een drukgolf die zich met voortplantingssnelheid
vwave naar de afsluiter verplaatst, dus andermaal in dezelfde zin als waarin de
vloeistof stroomt.
Op het tijdstip t = 4•L/vwave staat het hele stuk leiding opnieuw op de druk die er
heerste voor het afsluiten. Het systeem is weer aanbeland in de initiële toestand
(zoals bij het tijdstip t = 0s) en het hele proces begint van voor af aan.
In werkelijkheid blijft de golf natuurlijk niet eeuwig heen en weer lopen, maar sterft
het verschijnsel uit ten gevolge van de viskeuze demping.
Versie 7.0
December 2011
3-8
Hydromechanica HZS-OE5-NW240 - C. Reynaerts
L
Legende
v
t=0
Vloeistof in reservoir
Vloeistof in leiding
v
vwave
0 < t < L/vwave
t = L/vwave

op normale druk

op overdruk

op onderdruk
Wand van de leiding

onvervormd

uitgerekt

samengetrokken
Afsluiter
Stroomsnelheid in de leiding
Golfvoortplantingssnelheid
v
vwave
L/vwave < t < 2•L/vwave
v
t = 2•L/vwave
v
vwave
2•L/vwave < t < 3•L/vwave
t = 3•L/vwave
v
vwave
3•L/vwave < t < 4•L/vwave
v
t = 4•L/vwave
Versie 7.0
December 2011
Hydromechanica HZS-OE5-GN240 - C. Reynaerts
3-9
Men kan aantonen dat de amplitude p van de drukgolf evenredig is met de initiële
stroomsnelheid v van de vloeistof en met de geluidsnelheid vwave. De
voortplantingssnelheid van een drukgolf zoals geluid hangt onder meer af van de
elasticiteitsmoduli van de materialen waarin de voortplanting gebeurt (zie cursus
golven HZS-OE5-NW242).
In het hier beschouwde geval spelen zowel de elasticiteit van de vloeistof als de
elasticiteit van de wand van de leiding een rol, evenals de samendrukbaarheid van
eventueel niet opgelost gas dat in het systeem aanwezig is:
v wav e 
met

Ef
E
d

Bg

1
d
1


Ef   E Bg
de dichtheid van de vloeistof
de elasticiteitsmodulus van Young van de vloeistof
de elasticiteitsmodulus van Young van het leidingmateriaal
de diameter van de leiding
de wanddikte van de leiding
een maat voor de samendrukbaarheid van eventueel
niet opgelost gas.
Om het optreden van een waterslag te proberen vermijden of op zijn minst het
effect te temperen, kan je een aantal voorzorgsmaatregelen treffen.









Versie 7.0
Een eerste voor de hand liggende eenvoudige vuistregel is: vermijd
ten alle prijzen om afsluiters bruusk te sluiten of te openen of om
pompen (turbines) abrupt in- of uit te schakelen! Nauwgezet goede
start-up en shut-down procedures volgen is een must!
Het plaatsen van een vliegwiel op een pomp is een mogelijkheid om het
plots stoppen of starten te vermijden.
Het plaatsen van een UPS (uninterruptible power supply) om het plots
uitvallen van een pomp te vermijden.
Het plaatsen van een bypass over een pomp (turbine) om de eventuele
drukgolven opvangen.
Het plaatsen van luchtinlaatkleppen en overdrukkleppen die lucht in of
vloeistof uit de leiding laten.
Het voorzien van een bufferende waterkolom of een luchtreservoir.
Het gebruik van traag sluitende/openende afsluiters.
Gebruik van flexibele leidingen (kleine elasticiteitsmodulus E).
Een grote leidingdiameter en een kleine stroomsnelheid van de vloeistof.
December 2011