Natuurkunde 1A - Universiteit Leiden

Starre voorwerpen
Starre voorwerpen, middelpuntzoekende
kracht, bewegingsvgl., traagheidsmoment,
hoekmoment, .....
Universiteit Leiden, Opleiding Natuur- en Sterrenkunde
1
Zwaartepunt
• Ruimtelijke uitgebreidheid in rekening brengen.
• Onderscheid interne en externe coordinaten.
• De beweging van een star lichaam kan altijd worden gescheiden
in een onafhankelijke translatie van het zwaartepunt en rotatie
rond het mmp.
• De kinetische energie is de som van de translatie energie van het
zwaartepunt en de rotatie energie rond het zwaartepunt.
• Kracht die aangrijpt op het zwaartepunt veroorzaakt geen rotatie.
Universiteit Leiden, Opleiding Natuur- en Sterrenkunde
2
Translatie vs rotatie
Universiteit Leiden, Opleiding Natuur- en Sterrenkunde
3
Zwaartepunt *
 ( x1  x2 ) w2  x1 N  0
Definitie van zwaartepunt:
Wrcg  i wi ri
 i xi wi  Wx cg  0
N
rcg
w1
rcg
r1
O
x1
x2
W  i wi
i wi ri

W
w2
r2
Massamiddelpunt:
w vervangen door mg, 
vergelijkingen in termen van massa
Universiteit Leiden, Opleiding Natuur- en Sterrenkunde
4
Zwaartepunt *
Definitie van zwaartepunt:
W  i wi
rcg
i wi ri

W
Eventueel als drie vgl. voor resp. x, y, en z.
Voor vaste lichamen sommatie vervangen door integraal
Bijv. Voor xcg:
xcg
i xi wi 1
 lim
  x dw
W
W
wi 0
Massamiddelpunt: w vervangen door mg, 
vergelijkingen in termen van massa
Universiteit Leiden, Opleiding Natuur- en Sterrenkunde
5
Zwaartepunt **
Merk op:
• Kubus, bol, CO2, benzeen: zwaartepunt valt samen met
centrum van symmetrie
• Wiel, kegel, H2O: zwaartepunt ligt op de symmetrie-as
• Het zwaartepunt kan ook buiten het lichaam liggen (v.b.:
hoefijzer)
Universiteit Leiden, Opleiding Natuur- en Sterrenkunde
6
Traagheidsmoment
Deeltje m bewegend over een circel
Tangentiële kracht
Fa  maT  m( rα)
Moment v.d. kracht
  rFa  mr   I
2
I  mr 2
Vectornotatie:
τ  r  Fa  I α
Universiteit Leiden, Opleiding Natuur- en Sterrenkunde
7
Traagheidsmoment *
Vectornotatie:
τ  r  Fa  I α
m
r
τ
Fa
α
Universiteit Leiden, Opleiding Natuur- en Sterrenkunde
8
Traagheidsmoment **
Voorwerp bestaande uit meerdere deeltjes:
I  i mi ri2

I   r 2 dm
N.B.: traagheidsmoment hangt af van rotatieas!!
Parallel-as stelling:
(X is loodrecht afstand tussen
Parallelle rotatie-assen)
Universiteit Leiden, Opleiding Natuur- en Sterrenkunde
I  I cm  mX
2
9
Platte ring
I   r 2 dm
R2
dm: smalle ring tussen r en r + dr
Oppervlak: 2r dr
R1
dm
2r dr
2 r dr

 2
2
2
M  ( R2  R1 ) R2  R12
R1
R1
2M
2M 1 4 
3
r
dr

r
2
2 
2
2
R2  R1 R2
R2  R1  4  R2
M 1 4
M 1 2
4
2
2
2
 2
R

R

R

R
R

R
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
R2  R1
R2  R1
I   r 2 dm 


I  12 M R12  R22





Geldt ook voor holle cilinder!
Universiteit Leiden, Opleiding Natuur- en Sterrenkunde
10
Een vlakke plaat
z
d z  xi2  yi2
xi
dmi
yi
x
2
dI x  yi dmi
dI y  xi2 dmi
dz
y


dI z  d z2 dmi  xi2  yi2 dmi  dI x  dI y
Iz  Ix  I y
Platte ring:

I z  12 M R12  R12

 Ix  I y 
Universiteit Leiden, Opleiding Natuur- en Sterrenkunde
1M
4
R12  R12 
11
Kinetische energie van rotatie
K
2
1
2 i mi vi
Vgl. translaties:

1
2
i mi ri 
K
2
2
 I
1
2
2
1 mv 2
2
Universiteit Leiden, Opleiding Natuur- en Sterrenkunde
12
Kinetische energie van rotatie
K
2
1
mv
2 i i i

1
2
i mi ri2  2  12 I 2
  vr
1 mv 2
K

Vgl. translaties:
2
K tot  K rot  K transl
Gecombineerde transl./rotatie van een voorwerp:
2
Ktot  12 I zp 2  12 mv zp
Universiteit Leiden, Opleiding Natuur- en Sterrenkunde
zp = zwaartepunt
13
Cilinder
Rollen zonder slippen:
vcm  R
    
        



v cm
v cm
1
v cm
v2

v 2'
4
2 v
cm
v 3  2 v cm
v 3 '  v cm
3
O
v cm
v '4
v4
v1  0
v cm
v1'   v cm
K transl  K rot  K tot
Universiteit Leiden, Opleiding Natuur- en Sterrenkunde
14
Op een hellend vlak.
Wat rolt sneller:
Hol  massief?
Grote  kleine R
Zwaar  licht?
straal R
K1  0
U1  Mgh
2
K 2  12 Mvcm
 12 I cm 2
U2  0
h
K1  U1  K 2  U 2
2
2  vcm 
1
1
0  Mgh  2 Mvcm  2 cMR 

 R 
vcm
2 gh

1 c
2
c  12
Dunwandig: c  1
Massief:
Universiteit Leiden, Opleiding Natuur- en Sterrenkunde
15
Vallende staaf met draaipunt
1L
2
Staaf, lengte L, massa M
Wordt losgelaten vanuit
Horizontale positie.
Mg
  MgL 2
I  13 ML2
  I

1 MgL
2
1 ML2
3
3g

2L
Wat is de lineaire versnelling
van uiteinde?
De hoekversnelling is hetzelfde
voor elk punt op de staaf.
Lineaire snelheid van uiteinde:
aT  L  23 g
N.B.: aT  g !
Universiteit Leiden, Opleiding Natuur- en Sterrenkunde
16