or-week4dl1

Operations Research
Hoorcollege week 4
Deel 1
o.a. Poisson-verdeling en
Negatief-exponentiële verdeling
R.B.J. Pijlgroms
Instituut Informatica en Elektrotechniek
Hogeschool van Amsterdam
Discrete kansverdelingen
 discrete uniforme verdeling (N-aselector)
 Bernoulli-verdeling
 binomiale verdeling
 meetkundige of geometrische verdeling
 logaritmische verdeling (Benford-verdeling)
 Poisson-verdeling
2
Verdelingen en typische voorbeelden
 N-aselector (zuivere munt, dobbelsteen)
 Bernoulli-experiment of alternatief
(Bernoulli-trial): 2 uitkomsten; 2 kansen.
 binomiale verdeling: geeft de kans op k
successen in een rij van n Bernoulli-trials.
Er geldt: 0 < k < n
 geometrische verdeling of meetkunige
verdeling: geeft de kans op succes na pas n
Bernoulli-trials, (n=1,2,3,...)
Samenvatting van het voorafgaande
N-aselector
Bernoulli-experiment
binomiale verdeling
meetkundige of
geometrische
verdeling
…
…
 discrete uniforme verdeling (N-aselector)

Stochast X; uitkomstenverzameling:{1, 2, 3, ..., N}

P(X=x) = 1/N; E(X) = m =(N+1)/2; s2 = (N2 - 1)/12
 Bernoulli-verdeling

Stochast I; uitkomstenverzameling: {0, 1}

P(I=0) = q = 1- p; P(I=1) = p; E(I)= m= p; s2 = pq
 binomiale verdeling: Bin(n, p)

Stochast B; uitkomstenverz.: k = {0, 1, 2, ..., n}

P(B=k)= (n boven k)pkqn-k; E(B) = m= n p; s2 = n pq
 meetkundige of geometrische verd.: Geom(p)

Stochast N; uitkomstenverz.: n = {1, 2, 3, ...}

P(N=n)= pqn-1; E(N) = m= 1/p; s2 = q/p2
Het verjaardagprobleem
 Hoe groot is de kans pm dat in een gezelschap
van m personen, er tenminste twee op
dezelfde dag jarig zijn?
 Complementaire kans
Hoe groot is de kans dat er geen van de m op
dezelfde jarig zijn, of: hoe groot is de kans
dat ze alle m op verschillende dagen jarig
zijn?
1- pm
 Samen zijn deze kansen gelijk aan één!
6
De Poisson-verdeling
Poisson-verdeling
 Genoemd naar één van de pioniers op het
gebied van de theorie van de kansrekening
Siméon Dénis Poisson (1781-1840)

Definitie:

Beschouw U={0, 1, 2, 3, ... oneindig }; laat m een vast
getal >0 zijn. De onderstaande waarden voor p(n) zijn
de kansen van de Poissonverdeling met parameter m
pn  e
m
m
n
n!
( n  0 , 1, 2 ,...)
8
Poisson-verdeling






p(0) = e-m = exp(-m)
p(1) = e-m (m/1!) = exp(-m).m1/1!= m.exp(-m)
p(2) = exp(-m). m2 /2!
p(3) = exp(-m). m3 /3!
p(4) = exp(-m). m4 /4!
...
m
p ( n )  pn  e
(n  0, 1, 2,...)
n!
m
n
9
Poisson-verdeling
 Wat is de betekenis van de parameter m in
verband met de grootheid die Poisson(m)verdeeld is, in samenhang dus met de
stochast of kansvariabele ?
 We bekijken eerst wat voorbeelden van
Poisson-verdeelde kansvariabelen.
10
Poisson-verdeling (vervolg)
 Voorbeelden
het aantal moleculen van de soort X in een bepaald
volumedeel van met X verontreinigde vloeistof.
 het aantal vaste deeltjes in een vast gekozen
volumedeel van de atmosfeer.
 het aantal registraties in een Geiger-Muller-teller
(radio activiteit) gedurende een vast gekozen
tijdsinterval.
 het aantal windhozen in Nederland dat vergezeld
gaat met aanzienlijke schade per tijdvak van
bijvoorbeeld 20 jaar.

Poisson-verdeling (vervolg)
 Voorbeelden (vervolg)
het aantal zetfouten per pagina van een boek.
 het aantal klanten per tijdseenheid aan een loket.
 het aantal weeffouten per oppervlakte-eenheid van
een rol textiel.
 het aantal schepen dat per uur de Rotterdamse
haven binnenvaart.
 het aantal passerende auto's per minuut op een
bepaald punt van een autosnelweg.
 het aantal universeelmeters dat per maand defect
raakt op een bepaald practicum.

Poisson-verdeling (vervolg)
 Globaal: De Poisson-verdeling is een model
voor het optreden van ‘zeldzame’
verschijnselen.
 Toelichting op het begrip ‘zelden’. Als het
bijvoorbeeld gaat om verschijnselen in de
tijd, dan wordt met ‘zelden’ bedoeld:

de tijdsduur van het verschijnsel is klein t.o.v.
de tijdsduur tussen twee opeenvolgende
verschijnselen.
13
Poisson-verdeling (vervolg)
 Toelichting op het begrip ‘zelden’.
Als het bijvoorbeeld gaat om exemplaren in
een volume, dan wordt met ‘zelden’ bedoeld:

dat het exemplaar zelf een klein volume inneemt
ten opzichte van het gemiddelde volume dat aan
elk exemplaar ter beschikking staat.
Het aantal exemplaren behoeft beslist niet klein
te zijn.
14
Poisson-verdeling (vervolg)
 De parameter is gelijk aan het gemiddelde
aantal exemplaren per eenheid van volume
of tijd.

Gemiddeld over een zeer groot volume of
gemiddeld over een zeer lange tijdsperiode.
15
Klassiek voorbeeld (Bortkiewicz, 1898)
 Uit 200 jaarverslagen van 10 Pruisische
cavaleriekorpsen over een periode van 20 jaar
volgen de onderstaande aantallen ongelukken
per jaar met dodelijke afloop tengevolge van de
trap van een paard.
k
0
1
2
3
4
aantal
rel.freq.
theorie #trappen
109
0.545
0.544
0
65
0.325
0.331
65
22
0.110
0.101
44
3
0.015
0.021
9
1+
0.005 +
0.003 +
4+
200
1
1
122
gemiddeld aantal trappen per jaar = 122/200 = 0.61
Klassiek voorbeeld (Bortkiewicz, 1898)
p(k)
0,6
0,5
Observed
0,4
Theory
l=0.61
k=0, 1, 2, 3, 4,...
0,3
0,2
p(k)=exp(-0.61).(0.61)k
0,1
0
0 1 2 3 4
k!
k
17
Het verjaardagsprobleem
 P(1 of meer) = 1 - P(0)
 P(1 of meer) = 1 - Bin((1/2)*m*(m-1);1/365)
 P(1 of meer) = 1 - Poisson(0; (1/2)*m*(m-1))
n
 Bin(n; p)
 Poisson(m)
10
20
22
23
24
25
50
100
200
400
Bin
0,11614
0,406229
0,469399
0,500477
0,531023
0,560908
0,965291
0,999999
1
1
Poisson
0,115991
0,405805
0,468938
0,500002
0,530536
0,560412
0,965131
0,999999
1
1
18
Binomiaal vergeleken met
Poissonbenadering
n
De benadering
werkt als n groot
is en p klein.
n*p = m
De kansen op k
successen zijn
praktisch gelijk.
10
20
22
23
24
25
50
100
200
400
Bin
0,11614
0,406229
0,469399
0,500477
0,531023
0,560908
0,965291
0,999999
1
1
Poisson
0,115991
0,405805
0,468938
0,500002
0,530536
0,560412
0,965131
0,999999
1
1
19
De logarithische-verdeling of
wet van Benford
De logaritmische verdeling of
de wet van Benford
Frank Benford
(1883 - 1948)
 De wet van Benford:
In veel getallenverzamelingen
(die random zijn ontstaan)
bezitten de eerste cijfers van de
getallen een aflopende verdeling
die begint met ongeveer 30%
voor het cijfer 1, ca. 18% voor
het cijfer 2, en zo verder tot
ongeveer 5% voor het cijfer 9.
21
twee vragen dringen zich op
 Wat is een
getallenverzameling
die ‘random’ is
ontstaan ?
 Hoe groot zijn die kansen
voor het optreden van de
eerste cijfers 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8 en 9 dan wel
precies?

NB: Het gaat om het
eerste cijfer (van links
naar rechts gaande) dat
ongelijk is aan nul; d.w.z.
het meest significante
cijfer.
22
de antwoorden
 verzameling van fundamentele
natuurconstanten
 getallen in kranteartikelen
 oppervlakten van meren en
rivieren
 lengten van telefoongesprekken
 helderheidsverdelingen van
sterren
 tegoeden op bankrekeningen
 grootten in bytes van
printbestanden
 de logaritmische
verdeling
De logaritmische verdeling
 In het tientallige stelsel is de
uitkomstenverzameling: {1,2,3,4,5,6,7,8,9}
 Kansen zijn:
i  1

pi  log
 ; i = 1,2,...,8,9
 i 
10
 Opgave: Toon zelf aan dat de som van deze negen
kansen gelijk is aan 1.
24
Paginagrote advertentie van ah in de
dagbladen van 12 juli 1989
 Geteld









cijfer 1
cijfer 2
cijfer 3
cijfer 4
cijfer 5
cijfer 6
cijfer 7
cijfer 8
cijfer 9
 Theoretisch verwacht
42.2 %
16.5 %
9.1 %
5.5 %
7.3 %
8.3 %
3.7 %
3.7 %
3.7 %









cijfer 1
cijfer 2
cijfer 3
cijfer 4
cijfer 5
cijfer 6
cijfer 7
cijfer 8
cijfer 9
30.0 %
17.6 %
12.5 %
9.7 %
7.9 %
6.7 %
5.8 %
5.1 %
4.58%
Kunnen we de verschillen verklaren ??
25
De meetkundige of geometrische
kansverdeling
De logaritmische verdeling vergeleken met
de meetkundige of geometrische verdeling
0,3
logaritmisch
geometrisch
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
27
De meetkundige of geometrische
verdeling
p
qp
qqp
qqqp
qqqqp
…
+
1
p  qp  qqp  qqqp   
p (1  q  q 2  q 3  q 4  ) 
 1  p
p
  1
1  q  p
…
1  q  qq  qqq  qqqq...  S
q  qq  qqq  qqqq  ...  qS af
1  S  qS
1  S (1  q )
S  1 /(1  q)
28
De negatief-exponentiële
kansverdeling
1
0.8
0.6
0.4
0.2
2
4
6
8
10
29
De negatief-exponentiële
verdeling
l
1
f(x)=l e
0.5
lx
l =1
0.8
f(x)
f(x) = l e –lx
= l exp(-lx)
0.5
l  0.5
l = 0.5
0.4
0.3
0.6
0.2
0.4
0.1
1
0.2
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1/l 2
0.5
1.5
2.5
1/l
3.5
4.5
5.5
6.5
7.5
8.5
9.5
x
30
De negatief-exponentiële
verdeling

De stochast Y met U = {y | y>0} heet (negatief-)
exponentieel verdeeld als:
f ( x)  le
l x

l x 
F ( x)  1 e 
E (X) = 1/l
Var(X) = 1/l
x  0 ( l  0)
2
31
De negatief-exponentiële
verdeling
 Voorbeelden
 De
tussentijden bij radioactieve
desintegratie
 De
levensduur van sommige artikelen
(gloeilampen)
 Tijdstippen tussen twee opeenvolgende
telefoongesprekken of bezoeken aan een
loket (giromaat,...)
32
De negatief-exponentiële verdeling
rij van neg.-exp.
verd. intervallen
rij van Bernoulliexperimenten
0 .5
0 .4
0 .3
0 .2
0 .1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
t
binomiale
verdeling
geometrische
verdeling
Poisson-verdeling
0 .2
0 .1 5
0 .1
0 .0 5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
aantal per
tijdseenheid
t
33
10
De negatief-exponentiële verdeling
Hieronder staat het resultaat van het tellen van ‘het aantal
begintijdstippen per 5 seconden’ van een rij van 1000
Exp(l=0,5 sec)-verdeelde aaneengesloten
tijdsintervallen.
0.25
experimenteel gevonden fracties
theoretische kansen, berekend
met de Poisson(2.5)-verdeling
0.2
0.15
0.1
2 sec
0.05
0
1
2
3
4
5
6
7
8
aantal per 5 sec
5 seconden
Twee kanten van één medaille
Poissonverdeling
(aantallen aankomsten
per vaste tijdseenheid)
Negatief-exponetiële
verdeling (verdeling van
tussenaankomsttijden)
35