Van Latijns tot magisch vierkant - Faculteit Wetenschappen en Bio

Faculteit Wetenschappen en Bio-Ingenieurswetenschappen
Departement Wiskunde
Van Latijns tot magisch vierkant
Carlo Emerencia
Promotor:
Prof. Dr. Philippe Cara
28 januari 2016
Inhoudsopgave
1 Inleiding
2
2 Latijnse Vierkanten
2.1 Latijnse vierkanten (in standaardvorm) . . . . . . . . . . . .
2.2 Orthogonale Latijnse vierkanten . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Dubbel diagonale Latijnse vierkanten . . . . . . . . . . . . . .
4
4
5
9
3 Magische Vierkanten
15
3.1 Definities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2 Constructies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4 Verbanden Met Andere Combinatorische
Structuren
18
4.1 Steinersystemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.2 Projectieve Vlakken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1
1
Inleiding
Deze bachelorproef gaat over magische vierkanten, objecten die vooral worden bestudeerd in een tak van de wiskunde, genaamd “recreatieve wiskunde”. Hier bestudeert men, in tegenstelling tot zeer fundamentele problemen, zoals fysische bewegingen en symmetrie van bijvoorbeeld moleculen,
meer problemen die ontstaan uit puzzels en raadsels, die niet meteen een
antwoord geven op moeilijke vragen, zoals eerder geformuleerd. Meestal zijn
voor onderwerpen binnen de recreatieve wiskunde niet zeer gevorderde technieken nodig om de theorie erachter te begrijpen, maar kan het wel nuttig
zijn om kinderen en/of volwassenen die niet dagelijks met wiskunde bezig
zijn te motiveren dat dat wel interessant kan zijn.
Maar wat zijn nu deze “magische”vierkanten, en wat maakt ze zo “magisch”? Om dat uit te leggen, keren we terug naar het oude China: in
het jaar 2800 voor Christus, waar de rivier Lo, volgens de legende, dikwijls
overstroomde. Men geloofde dat er offers aan de riviergod gebracht moesten
worden om de rivier te kalmeren, maar ieder offer was echter tevergeefs.
Op een dag merkte een kind na een overstroming op dat er een schildpad
aanspoelde op het land, met negen opmerkelijke tekens op haar schild, in
een drie bij drie raster. Deze tekens leken op graffen met elk een bepaald
aantal toppen. Wordt het aantal toppen per graf in een nieuw raster (of
vierkant) gezet, krijgt men dit:
4
3
8
9
5
1
2
7
6
Op het allereerste zicht, ziet zelfs iemand met wat getalleninzicht misschien
niet echt iets opvallends. Maar kijk je er wat langer naar, zie je met wat
experimenteerwerk dat voor iedere rij in het vierkant geldt dat de som van
de getallen gelijk is aan 15. Net hetzelfde voor de drie kolommen en de
hoofd- en nevendiagonaal.
Dat was dus de oplossing: er moest niet een, maar 15 offers aan de riviergod
gebracht worden, om de rivier te kalmeren. Dit vierkant werd voortaan “Lo
Shu”genoemd, wat betekent: “Boek van de rivier Lo”, en het getal 15 had
2
nu een zeer speciale betekenis gekregen.
1
Een magisch vierkant is zelfs te vinden in de kerk van de Sagrada Familia in Spanje:
1
11
8
13
14
7
10
2
14
6
10
3
4
9
5
15
De som van de rijen, kolommen en diagonalen in dit vierkant is 33, de
leeftijd van Jezus toen hij gekruisigd werd. 2
Dit leidt nu tot een aantal andere vragen, namelijk: “Bestaan er nog andere
magische vierkanten van dezelfde orde?”, “Bestaan er anders nog grotere
magische vierkanten?”, “Hoe construeert men, indien ze bestaan, deze vierkanten?” en “Zijn er misschien verbanden met andere interessante wiskundige objecten?”. In deze bachelorproef zal er naar constructies toegewerkt
worden met behulp van Latijnse vierkanten, wat meteen in het volgende
hoofdstuk besproken wordt.
1
2
http://plaza.ufl.edu/ufkelley/magic/history.htm
http://www.taliscope.net/Sagrada en.html
3
2
Latijnse Vierkanten
Dit hoofdstuk zal gewijd worden aan mogelijke bouwstenen voor magische
vierkanten, namelijk Latijnse vierkanten, en speciale klassen ervan: de paarsgewijs orthogonale. Alle definities en eigenschappen die nodig zullen zijn,
staan opgesomd. Eerst uiteraard de definitie van een Latijns vierkant.
2.1
Latijnse vierkanten (in standaardvorm)
Definitie 2.1.1 [5] Een Latijns vierkant van orde n met n verschillende
symbolen (bijvoorbeeld: 0, 1, . . . , n − 1) is een n × n raster, waarbij op iedere
rij en iedere kolom ieder symbool juist een keer voorkomt.
Voorbeeld 2.1.2
0
2
1
1
0
2
2
1
0
is een Latijns vierkant van orde 3.
Voorbeeld 2.1.3 [8] ∀n ∈ N0 : de Cayley-tabel van (Zn ,+) is een
Latijns vierkant van orde n.
Bewijs:
+
0
1
...
n−1
0
0
1
...
n−1
1
1
2
...
n
...
...
...
...
...
n−1
n−1
0
...
n−2
Stel dat er twee getallen op een rij gelijk zijn, of ook: ∃a, b, c ∈ Zn :
a + b = a + c. We trekken van beide leden a af en we zien dat b = c. Wegens
commutativiteit van de groep Zn , geldt hetzelfde voor de kolommen en de
Cayley-tabel is dus een Latijns vierkant van orde n.
Opmerking: In het algemeen geeft iedere Cayley-tabel van een groep van
orde n aanleiding tot een Latijns vierkant van orde n, maar niet omgekeerd.
Definitie 2.1.4 [5] Een Latijns vierkant van orde n noemt men in standaardvorm, indien de symbolen op eerste rij van het vierkant in een vooraf
afgesproken volgorde staan.
4
Zo is het Latijns vierkant uit voorbeeld 2.1.2 ook een Latijns vierkant in
standaardvorm: de eerste rij is 0, 1, 2, volgens de orde van N.
In wat volgt, zullen we in alle Latijnse vierkanten de symbolen
0, 1, 2, · · · , n − 1 gebruiken.
Stelling 2.1.5 [5] Ieder Latijns vierkant van orde n kan in standaardvorm
gezet worden.
Bewijs: Zij L = (li,j ) een Latijns vierkant, niet noodzakelijk in standaardvorm. Zij verder σ ∈ Sn de permutatie die de rij l1,1 , l1,2 , . . . , l1,n op de
rij 0, 1, . . . , n − 1 stuurt. Beschouw dan het vierkant: L∗ = (σ(li,j )), en
stel dat in een bepaalde rij i van L∗ geldt: σ(li,k ) = σ(li,m ). Omdat σ een
permutatie is, kan de inverse permutatie toegepast worden en vinden we:
li,k = li,m . Maar nu is L een Latijns vierkant, waaruit volgt: k = m. Een
analoog argument kan toegepast worden op de kolommen van L∗ , en dus is
L∗ een Latijns vierkant in standaardvorm.
We noteren dus voortaan voor een willekeurig Latijns vierkant L het ermee geassocieerde Latijns vierkant in standaardvorm als L∗ .
0
2
Voorbeeld 2.1.6: Stel dat we
1
3
2
0
3
1
3
1
2
0
1
3
0
2
in standaardvorm willen
brengen. Als we de permutatie (0)(1 3 2) op ieder element van het
vierkant toepassen, krijgen we:
0
1
3
2
1
0
2
3
2
3
1
0
3
2
0
1
, wat weer een Latijns
vierkant is, deze keer in standaardvorm.
2.2
Orthogonale Latijnse vierkanten
De Latijnse vierkanten die interessant zullen zijn om uiteindelijk magische
vierkanten te construeren, zijn de paren die orthogonaal zijn. Het magisch
vierkant dat we willen bekomen, zal namelijk een bepaalde lineaire combinatie van de twee Latijnse vierkanten zijn. Eerst een definitie van wat er
5
bedoeld wordt met orthogonaliteit van twee Latijnse vierkanten.
Definitie 2.2.1 [5] Men noemt twee Latijnse vierkanten L1 en L2 van orde
n orthogonaal, indien het vierkant gevormd door koppels van overeenkomstige elementen van L1 en L2 alle n2 mogelijke koppels bevat.
Voorbeeld 2.2.2:
0
1
2
3
4
3
4
0
1
2
1
2
3
4
0
4
0
1
2
3
2
3
4
0
1
0
1
en 2
3
4
2
3
4
0
1
4
0
1
2
3
1
2
3
4
0
3
4
0
1
2
zijn twee orthogonale Latijnse
vierkanten van orde 5.
Stelling 2.2.3 [5] Als L1 en L2 orthogonale Latijnse vierkanten van orde n
zijn, dan zijn L∗1 en L∗2 dat ook.
Bewijs: Verloopt analoog aan het bewijs van Stelling 2.1.5
Stelling 2.2.4 Zij n een priemmacht (n = ph , p priem, h ∈ N). Dan is
het maximaal aantal Latijnse vierkanten van orde n, waarvan iedere twee
orthogonaal zijn, gelijk aan n − 1.
Bewijs: Hiervoor bewijzen we eerst een lemma:
Lemma 2.2.5 Zij n een willekeurig niet-nul natuurlijk getal. Dan is het
maximaal aantal Latijnse vierkanten van orde n, waarvan iedere twee orthogonaal zijn, hoogstens n − 1.
Bewijs: Zij L1 , L2 , . . . , Lk een verzameling van k Latijnse vierkanten, die
paarsgewijs orthogonaal zijn. We veronderstellen dat k > 0 en we mogen
wegens Stelling 2.2.3, zonder de algemeenheid te schaden, veronderstellen
dat ze in standaardvorm staan (door achteraf een inverse permutatie toe te
passen). Neem Li en Lj zo twee vierkanten. We beschouwen nu het element
i uit het vierkant L .
l2,1
i
6
Li =
0
i
l2,1
1
...
n−1
i = 0.
Omdat Li een Latijns vierkant is, kan het niet dat l2,1
i = lj voor j verschillend van i, want wegens
Verder kan het ook niet dat l2,1
2,1
het in standaardvorm staan van Li en Lj , zou daaruit volgen dat eenzelfde
koppel meer dan een keer voorkomt in het vierkant gevormd door de kopi , waardoor k ook ten
pels. Er blijven dus n − 1 mogelijkheden over voor l2,1
hoogste n − 1 kan zijn.
Bewijs van Stelling 2.2.4: Als n een priemmacht is, bestaat er een veld
F van orde n [1] . Noteer voor de elementen van F : {f1 , f2 , . . . , fn }. We
spreken af dat fn = 0. Zij nu voor alle 1 ≤ k ≤ n − 1 het vierkant Lk als
volgt gedefinieerd:
k
li,j
= fi · fk + fj
Er moet nu bewezen worden dat Lk een Latijns vierkant is, en dat Lk1 en
Lk2 orthogonaal zijn voor willekeurige 1 ≤ k1 , k2 ≤ n − 1.
k = lk , dan:
Voor de rijen: zij li,j
i,m
fi · fk + fj = fi · fk + fm
⇐⇒ fj = fm
⇐⇒ j = m
k = lk , dan:
Voor de kolommen: zij li,j
m,j
fi · fk + fj = fm · fk + fj
⇐⇒ fi · fk = fm · fk
⇐⇒ fi = fm (omdat k 6= n, is fk 6= 0)
⇐⇒ i = m
k1 k2
k1 , lk2 ), dan:
Zij (li,j
, li,j ) = (lq,r
q,r
k1
k2 en lk1 = lk2
li,j
= lq,r
q,r
i,j
⇐⇒ fi · fk1 + fj = fq · fk1 + fr en fi · fk2 + fj = fq · fk2 + fr
⇐⇒ fi · (fk1 − fk2 ) = fq · (fk1 − fk2 ) (aftrekken van beide gelijkheden)
⇐⇒ fi = fq (k2 6= k1 , en dus fk2 6= fk1 en (fk1 − fk2 ) inverteerbaar)
⇐⇒ i = q
7
⇐⇒ fi · fk1 + fj = fi · fk1 + fr (vorig resultaat invullen in de eerste vergelijking)
⇐⇒ fj = fr
⇐⇒ j = r
Dit bewijst de orthogonaliteit van Lk1 en Lk2
We weten dus dat er voor n een priemmacht minstens n − 1 paarsgewijs
orthogonale Latijnse vierkanten bestaan. Wegens het lemma hiervoor, is dit
aantal dus juist n − 1.
Uit deze stelling blijkt nu dat n = 6 het kleinste natuurlijk getal is, waarvoor
er niet noodzakelijk n − 1 = 5 paarsgewijs orthogonale Latijnse vierkanten
bestaan. Men kan zelfs meer zeggen: [5] Voor n = 6 bestaan er zo niet eens
twee. Dit houdt verband met het volgende probleem waar Euler zich mee
bezighield: “Is het mogelijk om 36 officieren van 6 verschillende rangen en
van iedere rang 6 verschillende afdelingen, in een zes bij zes opstelling te
krijgen, zodat op iedere rij en iedere kolom van de opstelling iedere officier
een verschillende afdeling en rang heeft?”. Euler vermoedde in 1782 dat dit
probleem geen oplossing had, waardoor er dus ook geen paar orthogonale
latijnse vierkanten bestaat van orde 6. Hij vermoedde zelfs meer: voor geen
enkel natuurlijk getal n, met n ≡ 2 (mod 4) bestond dit paar van orde n.
Dit is nu een van de vermoedens in de wiskunde, dat niet bewezen, maar
ontkracht werd in 1960 door Bose, Shrikhande en Parker.
Een tegenvoorbeeld van 2 orthogonale latijnse vierkanten van orde 10:
0
8
9
5
7
6
3
1
2
4
4
1
8
9
6
7
0
2
3
5
1
5
2
8
9
0
7
3
4
6
7
2
6
3
8
9
1
4
5
0
2
7
3
0
4
8
9
5
6
1
9
3
7
4
1
5
8
6
0
2
8
9
4
7
5
2
6
0
1
3
3
4
5
6
0
1
2
7
8
9
6
0
1
2
3
4
5
8
9
7
5
6
0
1
2
3
4
9
7
8
0
6
5
9
3
8
7
4
1
2
7
1
0
6
9
4
8
5
2
3
8
7
2
1
0
9
5
6
3
4
6
8
7
3
2
1
9
0
4
5
9
0
8
7
4
3
2
1
5
6
3
9
1
8
7
5
4
2
6
0
5
4
9
2
8
7
6
3
0
1
4
5
6
0
1
2
3
7
9
8
1
2
3
4
5
6
0
8
7
9
2
3
4
5
6
0
1
9
8
7
[3] Wat Euler beweerde was niet helemaal fout, want voor het geval n = 6
werd in 1900 door Tarry bewezen dat zulk een paar van orde 6 wel degelijk
niet bestaat.
8
De constructie van orthogonale Latijnse vierkanten zal echter niet genoeg
zijn om magische vierkanten te construeren, met de reden dat het niet noodzakelijk zo is dat de som van de rijen en de kolommen ook de som van de
hoofd- en nevendiagonaal is. Hieraan wijden we de volgende paragraaf.
2.3
Dubbel diagonale Latijnse vierkanten
Definitie 2.3.1 [2] Een dubbel diagonaal Latijns vierkant van orde
n, is een Latijns vierkant van orde n, waarbij bovendien op de hoofd- en
nevendiagonaal ervan ook alle n verschillende symbolen staan.
Voorbeeld 2.3.2:
0
3
1
2
1
2
0
3
2
1
3
0
3
0
2
1
is een dubbel diagonaal Latijns vier-
kant van orde 4.
Voorbeeld 2.3.3: Er bestaan geen dubbel diagonale Latijnse vierkanten
van orde 3.
Bewijs: Laten we proberen er een te construeren. We vullen de hoofddiagonaal in met de symbolen 0,1,2 (zie figuur onderaan). Merk op dat we
de algemeenheid niet schaden, omdat we altijd permutaties op de symbolen
kunnen toepassen. Op rij 1 kolom 2 moet een 2 staan, omdat 0 in dezelfde
rij, en 1 in dezelfde kolom staat. Om een analoge reden moet op rij 2 kolom
1 een 2 staan. Met deze informatie kunnen we de ontbrekende symbolen
invullen:
0
2
1
2
1
0
1
0
2
We zien nu dat op de nevendiagonaal enkel het symbool 1 staat, waardoor
we geen dubbel diagonaal Latijns vierkant bekomen.
Merk op dat indien we in het begin de nevendiagonaal zouden ingevuld
hebben, we wegens symmetrie een probleem zouden gekregen hebben met
de hoofddiagonaal.
Ook belangrijk om op te merken is dat als L een dubbel diagonaal Latijns
vierkant is, dat dan ook L∗ er een is. Dit volgt uit een redenering analoog
aan Stellingen 2.1.5 en 2.2.3.
9
Het volgende dat we willen bespreken is hoeveel van deze vierkanten er
bestaan die opnieuw paarsgewijs orthogonaal zijn, maar dan ook hoe ze geconstrueerd kunnen worden. Een bovengrens geven op dit aantal is niet erg
moeilijk:
Stelling 2.3.4 [4] Zij n ∈ N \ {0, 1}. Als n even is, is het maximaal aantal dubbel diagonale paarsgewijs orthogonale Latijnse vierkanten hoogstens
n − 2. Voor n oneven is dit aantal hoogstens n − 3.
Bewijs: Zij n een natuurlijk getal, oneven, en niet 1. Zij L1 , L2 , . . . , Lk
een stel dubbel diagonale Latijnse vierkanten, zodanig dat ieder paar orthogonaal is. Neem Li en Lj met i 6= j. We mogen weer veronderstellen dat
de twee vierkanten in standaardvorm staan. Omdat n oneven is, is er een
n+1
i
element op de n+1
2 -de rij en op de 2 -de kolom van Li . Noem dit l n+1 , n+1 .
2
0
...
n+1
2
...
2
n−1
lin+1 , n+1
2
2
Dit symbool mag niet 0 of n − 1 zijn, omdat het vierkant dan anders niet
dubbel diagonaal is. Bovendien mag dit ook niet n+1
2 zijn, omdat het vierkant dan anders niet Latijns is. Er zijn blijven dus n − 3 mogelijkheden
over voor lin+1 , n+1 . Vanwege de orthogonaliteit van Li en Lj kan k dus ook
2
2
hoogstens n − 3 zijn.
Zij nu n even, en niet 0. Omdat n even is, bestaat er geen symbool dat
op zowel de hoofd- als de nevendiagonaal ligt. Met dezelfde notatie als in
i . Dit symbool ligt op de
het oneven geval, beschouwen we het symbool l2,2
hoofddiagonaal van het vierkant en mag niet gelijk zijn aan 0 of 1. Bijgevolg
zijn er voor dit symbool dus slechts n − 2 mogelijkheden en kan k dus hier
ten hoogste n − 2 zijn.
In feite willen we ook een ondergrens aantonen voor dit aantal voor n groter
dan 1. In het geval dat n een priemmacht is, zullen deze grenzen samenvallen, wat ideaal is. Hiervoor hebben we een extra operatie nodig die we
op Latijnse vierkanten kunnen toepassen om nieuwe Latijnse vierkanten te
verkrijgen met dezelfde eigenschappen.
10
Definitie 2.3.5: [7] Zij A, B een Latijnse vierkanten van orde respectievelijk
n en m, dan definiëren we het Kronecker-product (soms ook direct proa1,1 ⊗ B a1,2 ⊗ B . . . a1,n ⊗ B
a ⊗ B a2,2 ⊗ B . . . a2,n ⊗ B
duct genoemd) van A en B als: A⊗B = 2,1
...
...
...
...
an,1 ⊗ B an,2 ⊗ B . . . an,n ⊗ B
Of concreter:
(a1,1 , b1,1 )
(a1,1 , b2,1 )
...
(a1,1 , bn,1 )
...
(an,1 , b1,1 )
(an,1 , b2,1 )
...
(an,1 , bn,1 )
(a1,1 , b1,2 )
(a1,1 , b2,2 )
...
(a1,1 , bn,2 )
...
(an,1 , b1,2 )
(an,1 , b2,2 )
...
(an,1 , bn,2 )
...
...
...
...
...
...
...
...
...
(a1,1 , b1,n )
(a1,1 , b2,n )
...
(a1,1 , bn,n )
...
(an,1 , b1,n )
(an,1 , b2,n )
...
(an,1 , bn,n )
...
...
...
...
...
...
...
...
...
(a1,n , b1,1 )
(a1,n , b2,1 )
...
(a1,n , bn,1 )
...
(an,n , b1,1 )
(an,n , b2,1 )
...
(an,n , bn,1 )
(a1,n , b1,2 )
(a1,n , b2,2 )
...
(a1,n , bn,2 )
...
(an,n , b1,2 )
(an,n , b2,2 )
...
(an,n , bn,2 )
...
...
...
...
...
...
...
...
...
(a1,n , b1,n )
(a1,n , b2,n )
...
(a1,n , bn,n )
...
(an,n , b1,n )
(an,n , b2,n )
...
(an,n , bn,n )
Deze notatie is alleen ter verduidelijking en is voor bewijzen omslachtig en
neemt veel plaats in beslag. Daarom zal de eerste notatie gebruikt worden.
Voorbeeld 2.3.6: Zij A =
(0,0)
(0,1)
(0,2)
Dan is A ⊗ B =
(1,0)
(1,1)
(1,2)
(0,1)
(0,2)
(0,0)
(1,1)
(1,2)
(1,0)
0
1
1
0
(0,2)
(0,0)
(0,1)
(1,2)
(1,0)
(1,1)
0
1
2
2 0
(1,1)
(1,2)
(1,0)
(0,1)
(0,2)
(0,0)
en B = 1
(1,0)
(1,1)
(1,2)
(0,0)
(0,1)
(0,2)
2
0
1
(1,2)
(1,0)
(1,1)
(0,2)
(0,0)
(0,1)
Misschien is het de aandachtige lezer al opgevallen dat:
Stelling 2.3.7: [4] Als A en B Latijnse vierkanten zijn van orde respectievelijk n en m, dan is A ⊗ B een Latijns vierkant van orde n · m
Bewijs: Neem: (ai1 ,j1 , bi2 ,j2 ) en (ai1 ,j3 , bi2 ,j4 ) op dezelfde rij, en elk in een
verschillende kolom in het vierkant A ⊗ B (een analoge bewering kan toegepast worden indien “rij” en “kolom” omgewisseld worden). Als ai1 ,j1 6= ai1 ,j3 ,
dan zijn de koppels niet gelijk, en is het bewijs klaar. Als ai1 ,j1 = ai1 ,j3 , dan
weten we dat (ai1 ,j1 , bi2 ,j2 ), (ai3 ,j3 , bi2 ,j4 ) ∈ ai1 ,j1 ⊗ B, omdat A een
Latijns vierkant is. Maar hieruit volgt meteen dat bi2 ,j2 6= bi2 ,j4 , aangezien
B ook een Latijns vierkant is. Hieruit volgt weer dat de koppels niet gelijk
kunnen zijn, en dus dat A ⊗ B een Latijns vierkant is.
Stelling 2.3.8: [4]
11
1. Als A en B dubbel diagonale Latijnse vierkanten zijn, dan is A ⊗ B
dat ook.
2. Als A en B een constante diagonaal hebben, dan heeft A ⊗ B dat ook.
3. Als A en B orthogonale Latijnse vierkanten zijn, en C en D ook, dan
zijn A ⊗ C en B ⊗ D dat ook.
Bewijs:
1. Analoog aan Stelling 2.3.7.
2. Stel: a het constante element op de hoofddiagonaal van A en b dat
van B. Dan zal het constante hoofddiagonaalelement van A ⊗ B, het
koppel (a, b) zijn. Hetzelfde argument kan toegepast worden op de
nevendiagonaal.
3. Stel: ((ai1 ,j1 , ci2 ,j2 ), (bi1 ,j1 , di2 ,j2 )) = ((ai3 ,j3 , ci4 ,j4 ), (bi3 ,j3 , di4 ,j4 )),
(ai1 ,j1 , ci2 ,j2 ) = (ai3 ,j3 , ci4 ,j4 ) en (bi1 ,j1 , di2 ,j2 ) = (bi3 ,j3 , di4 ,j4 )
ai1 ,j1 = ai3 ,j3 en bi1 ,j1 = bi3 ,j3 en ci2 ,j2 = ci4 ,j4 en di2 ,j2 = di4 ,j4
(ai1 ,j1 , bi1 ,j1 ) = (ai3 ,j3 , bi3 ,j3 ) en (ci2 ,j2 , di2 ,j2 ) = (ci4 ,j4 , di4 ,j4 )
i1 = i3 en i2 = i4 en j1 = j3 en j2 = j4 .
Hieruit volgt de orthogonaliteit van A ⊗ C en B ⊗ D.
dan:
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
Merk op dat deze eigenschappen uitgebreid kunnen worden voor niet alleen
het product van twee, maar ook voor een product van een willekeurig eindig
aantal vierkanten.
Stelling 2.3.9: [4] Zij n ∈ N \ {0, 1}, n = pα1 1 · pα2 2 · . . . · pαr r en zij
P (n) = min{pαi i − xi |i ∈ {1, . . . , r} met xi = 2 als pi = 2, en xi = 3 als
pi 6= 2}. Dan geldt dat het maximaal aantal dubbel diagonale paarsgewijs
orthogonale Latijnse vierkanten minstens P (n) is.
Bewijs: We tonen eerst aan dat voor een priemmacht de bovengrens, zoals
er in stelling 2.3.4 staat, bereikt wordt, en vervolgens dat voor n willekeurig
de ondergrens klopt. Om het voor priemmachten te kunnen bewijzen, kijken
we eerst naar een priemmacht van een priemgetal groter dan 2.
We weten dat er juist p − 1 paarsgewijs orthogonale Latijnse vierkanten
geconstrueerd kunnen worden met de elementen van het veld F van orde p
(zie stelling 2.2.4). Waar eerst de volgorde van de elementen vrij gekozen
kon worden, leggen we nu de volgorde van de elementen zodanig vast, zodanig dat: f p+1 = 0 en ∀i ∈ {1, . . . , p} : fi + fp−i+1 = 0. Neem het vierkant
2
12
Li , 1 ≤ i ≤ n − 1. Stel: la,a = lb,b voor a, b ∈ {1, . . . , p}, dan geldt:
fa · fi + fa = fb · fi + fb ⇐⇒ fa · (fi + 1) = fb · (fi + 1).
Hier kunnen we fi + 1 enkel schrappen als fi 6= p − 1. In dat geval
krijgen we dat fa = fb en dus a = b. In het geval dat fi = p − 1 is, bevat
de hoofddiagonaal van Li overal het getal 0, en is het dus geen dubbel diagonaal Latijns vierkant.
Stel: la,p−a+1 = lb,p−b+1 voor a, b ∈ {1, . . . , p}, dan geldt, dankzij de volgorde die we opgelegd hebben:
fa · fi + fp−a+1 = fb · fi + fp−b+1 ⇐⇒ fa · (fi − 1) = fb · (fi − 1).
Hier kunnen we fi − 1 enkel schrappen als fi 6= 1. In dat geval krijgen
we dat fa = fb en dus a = b. In het geval dat fi = 1 is, bevat de nevendiagonaal van Li overal het getal 0, en is het dus geen dubbel diagonaal Latijns
vierkant.
In het geval waar p = 2, zijn zowel de hoofd- als de nevendiagonaal van
het enige Latijnse vierkant van orde 2 gelijk. Dan bevat de ene diagonaal
het getal 0, en de andere het getal 1. Er bestaan dus geen dubbel diagonale
Latijnse vierkanten van orde 2.
We gaan de p − 1 dubbel diagonale orthogonale Latijnse vierkanten van
orde p nu gebruiken om dubbel diagonale orthogonale Latijnse vierkanten
van orde ph te construeren. Neem het Latijns vierkant L van orde p met de
constante nevendiagonaal. Uit stelling 2.3.8 weten we dat, indien we h keer
het Kronecker-product van L met zichzelf nemen, het resulterende vierkant
van orde ph de constante nevendiagonaal behoudt. Het vierkant dat we dan
bekomen bevat h-tupels van elementen uit het veld met p elementen, die
opgevat kunnen worden als vectoren in F h , wat als additieve groep isomorf
is met het veld met ph elementen, wegens het feit dat dit veld, als additieve
groep, h voortbrengers heeft. We kunnen met iedere vector (h-tupel) op
de eerste rij van het vierkant een element uit het veld met ph elementen
associëren als volgt: het inwendig product van deze vector met de vector
van de h voortbrengers (een lineaire combinatie van de voortbrengers van
het veld van orde ph met als coëfficiënten de elementen uit het h-tupel met
elementen uit het priemveld). Als we dit toepassen op de eerste rij van het
net geconstrueerde vierkant, kunnen we stelling 2.2.4 opnieuw toepassen,
13
waardoor we ph − 1 orthogonale vierkanten krijgen, waarvan er ph − 3 dubbel diagonale tussen zijn als p oneven is (zie bovenstaande berekeningen),
en ph − 2 als p even is (omdat dan de vierkanten met constante hoofd- en
nevendiagonaal gelijk zijn).
Nu kunnen we het algemeen geval bewijzen: zij n een willekeurig
natuurlijk getal. Voor iedere priemmacht pαi i die n deelt, bestaan er pαi i − xi
(herinner dat xi = 2 als pi = 2 en xi = 3 als pi > 2) dubbel diagonale
orthogonale Latijnse vierkanten. Kies dan voor iedere priemmacht P (n)
vierkanten Li1 , Li2 , . . . , LiP (n) . De Kronecker-producten L1j ⊗ L2j ⊗ · · · ⊗ Lrj
zullen wegens stelling 2.3.4 een stel dubbel diagonale orthogonale Latijnse
vierkanten van orde n vormen voor iedere j tussen 1 en P (n).
14
3
Magische Vierkanten
We keren nu terug naar hoe we magische vierkanten zoals de Lo Shu kunnen
construeren. Eerst een aantal definities.
3.1
Definities
Definitie 3.1.1: [8] Een magisch vierkant van orde n, is een vierkant
van n bij n (in dit geval gehele) getallen, zodanig geplaatst dat de som van
iedere rij getallen gelijk is aan de som van iedere kolom getallen, gelijk aan
de som van de getallen op de hoofd- en nevendiagonaal, gelijk aan een vast
getal k.
k noemt men het magisch getal van dat vierkant.
Een magisch vierkant heet zuiver (of normaal) indien het de getallen van 1
tot en met n2 bevat (en dus niet gewoon willekeurige getallen).
Een vierkant heet semi-magisch, indien men enkel eist dat de som van de
rijen en de kolommen gelijk is aan k.
De Lo Shu is dus een zuiver magisch vierkant van orde 3, met k = 15.
Voor zuivere magische vierkanten is er slechts een mogelijkheid voor k.
Stelling 3.1.2: [8] Voor een zuiver magisch vierkant geldt: k =
n·(n2 +1)
2
Bewijs: We nemen de som van alle getallen van alle rijen. Enerzijds is dit
k·n, anderzijds is dit de som van alle gehele getallen van 1 tot en met n2 . Als
n2
2
2
2
P
we dit gelijkstellen, krijgen we:
i = n ·(n2 +1) = n · k ⇒ k = n·(n2 +1)
i=1
Zo hebben alle zuivere magische vierkanten van orde 4, 5 en 6 respectievelijk als magisch getal 34, 65 en 111.
3.2
Constructies
In dit gedeelte leggen we onder andere de link tussen Latijnse vierkanten
van orde n en (zuivere) semi-magische vierkanten van orde n.
Stelling 3.2.1: [8] Zij n ∈ N en A en B, indien ze bestaan, twee orthogonale Latijnse vierkanten van orde n met symbolen 0, . . . , n − 1 , dan is
M = n · A + B + Jn altijd een semi-magisch vierkant van orde n.
15
1
1
Jn is notatie voor de matrix (1)i,j van orde n. Jn =
...
1
1
1
...
1
...
...
...
...
1
1
...
1
Bewijs: Laten we een willekeurige rij beschouwen in M . Als we de som
van de getallen op die rij nemen, krijgen we:
n
P
(n · ai,j + bi,j + 1) =
j=1
n
P
n · ai,j +
j=1
= (n + 1) ·
n
P
= (n + 1) ·
j=1
n·(n−1)
2
n
P
bi,j +
j=1
n
P
1 = n·
j=1
n
P
ai,j +
j=1
n
P
bi,j + n
j=1
(j − 1) + n (A en B zijn Latijnse vierkanten)
2
+ n = n · ( n 2−1 + 1) = n ·
n2 +1
2 .
We weten dus dat de rijsom constant is. Met dezelfde redenering is ook
de kolomsom constant.
We moeten nog aantonen dat M alle getallen bevat tussen 1 en n2 . Dit
doen we door aan te tonen dat alle getallen verschillend zijn, en geen enkel
getal in M kleiner kan zijn dan 1, of groter dan n2 .
We weten dat het kleinste getal in A gelijk is aan 0, net als in B, en is
dus het kleinste getal in M is: n · 0 + 0 + 1 = 1. Het grootste getal
in A is n − 1, net als in B, en is dus het grootst mogelijke getal in M :
n · (n − 1) + (n − 1) + 1 = n2 − n + n − 1 + 1 = n2 .
Stel: ∃i1 , j1 , i2 , j2 ∈ {1, . . . , n} : n · ai1 ,j1 + bi1 ,j1 + 1 = n · ai2 ,j2 + bi2 ,j2 + 1,
dan: n · ai1 ,j1 + bi1 ,j1 = n · ai2 ,j2 + bi2 ,j2 ⇐⇒ n · (ai1 ,j1 − ai2 ,j2 ) = bi2 ,j2 − bi1 ,j1 .
Omdat ai1 ,j1 , ai2 ,j2 , bi1 ,j1 , bi2 ,j2 ∈ {0, . . . , n − 1}, geldt:
|ai1 ,j1 −ai2 ,j2 |, |bi1 ,j1 −bi2 ,j2 | ≤ n−1, maar het kan niet dat: |ai1 ,j1 −ai2 ,j2 | > 0,
omdat anders: |bi1 ,j1 − bi2 ,j2 | ≥ n. Hieruit volgt dat: ai1 ,j1 = ai2 ,j2 , en dus
ook dat bi1 ,j1 = bi2 ,j2 . Uit de orthogonaliteit van A en B volgt dat i1 = i2
en j1 = j2 , waardoor in M getallen op een verschillende positie verschillend
zijn.
Stelling 3.2.2: [8] Met dezelfde notaties als in Stelling 3.2.1 geldt dat
M een magisch vierkant is van orde n, als voldaan is aan een van deze twee
voorwaarden:
1. A en B zijn dubbel diagonaal
16
2. n is oneven, de hoofddiagonaal van A bevat alleen
nevendiagonaal van B bevat alleen n−1
2 .
n−1
2
en de
Bewijs: In beide gevallen weten we dat M al een semi-magisch vierkant is,
dus het volstaat om na te gaan dat de som van de hoofd- en nevendiago2
naalelementen gelijk is aan n·(n2 +1) .
Geval 1:
n
P
(n · ai,i + bi,i + 1) =
i=1
n
P
n · ai,i +
i=1
= (n + 1) ·
n
P
= (n + 1) ·
i=1
n·(n−1)
2
n
P
n
P
bi,i +
i=1
1=n·
i=1
n
P
ai,i +
i=1
n
P
bi,i + n
i=1
(i − 1) + n (A en B zijn dubbel diagonaal)
2
+ n = n · ( n 2−1 + 1) = n ·
n2 +1
2 .
Voor de nevendiagonaal kan exact dezelfde berekening uitgevoerd worden,
maar met ai,n−i+1 , bi,n−i+1 in plaats van ai,i , bi,i .
Geval 2:
Hier geven we ook alleen een bewijs voor de hoofddiagonaal.
n
P
(n · ai,i + bi,i + 1) =
i=1
n2 ·
n−1
2
= n2 ·
+
n
P
n
P
n · ai,i +
i=1
n
P
bi,i +
i=1
n
P
1 = n·
i=1
n
P
i=1
ai,i +
n
P
bi,i + n =
i=1
(i − 1) + n
i=1
n·(n−1)
n−1
2 +
2
2
+ n = n · ( n 2−1 + 1) = n ·
n2 +1
2 .
In de berekening ook wordt gebruikt dat omdat n oneven is, de nevendiagonaal van A, en de hoofddiagonaal van B wel alle symbolen 0, . . . , n − 1
bevatten.
17
4
Verbanden Met Andere Combinatorische
Structuren
Niet alleen zijn Latijnse vierkanten en magische vierkanten aan elkaar gerelateerd, maar er zijn nog andere objecten te construeren met Latijnse
vierkanten, en omgekeerd.
4.1
Steinersystemen
Definitie 4.1.1: [1] Zij V een verzameling met v elementen (die men punten noemt), en zij R ⊂ P(V ) met b elementen (die men blokken noemt).
Men noemt (V, R) een (t, k, v)-Steinersysteem als aan volgende twee voorwaarden voldaan is:
1. Ieder blok bevat juist k punten
2. Iedere t punten in V komen voor in juist 1 blok
Voorbeeld 4.1.2: Zij V = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.
Samen met {{1,2,3},{1,4,5},{1,6,7},{2,4,6},{2,5,7},{3,4,7},{3,5,6}}
is dit een (2, 3, 7)-Steinersysteem.
4.2
Projectieve Vlakken
Definitie 4.2.1: [5] Zij P een niet-lege, eindige verzameling “punten”,
R ⊂ P(P ) een verzameling “rechten”. Dan noemt men (P, R) een
projectief vlak indien voldaan is aan deze drie voorwaarden:
1. Door iedere twee punten gaat juist een rechte.
2. Ieder paar rechten snijdt in juist een punt.
3. Er bestaan vier punten, waarvan geen drie collineair zijn.
Stelling 4.2.2: [6] Voor ieder punt p, en iedere rechte L die dat punt niet
bevat zijn volgende eigenschappen equivalent:
1. L bevat juist n − 1 punten.
2. Er gaan juist n − 1 rechten door p.
Bewijs: Van 1 naar 2: Stel dat L juist n − 1 punten bevat. Omdat p niet
op L ligt, gaan er minstens n − 1 rechten door p (iedere rechte, bepaald door
p en een punt op L). Stel dat er een andere rechte door p gaat. Dan moet
18
deze rechte L snijden in een ander punt dan de n − 1 die oorspronkelijk op
L lagen, wegens het feit dat het snijpunt tussen twee verschillende rechten
uniek is. Dit is onmogelijk.
Van 2 naar 1: Stel dat er juist n − 1 rechten door het punt p gaan. Omdat
p niet op L ligt, snijdt de rechte L iedere rechte door p in juist een punt.
Stel dat er nog een ander punt op L ligt. Dan bepalen dat punt en p nog
een andere rechte door p, wat ook onmogelijk is.
Stelling 4.2.3: [6] Er bestaat een n ∈ N, zodat alle rechten juist n + 1
punten bevatten (en er dus door ieder punt ook juist n + 1 rechten gaan).
Bewijs: Er bestaan vier punten waarvan er geen drie collineair zijn. Noem
deze punten p1 , p2 , p3 , p4 . We weten dus dat, indien deze n bestaat, ze minstens 2 moet zijn (door het punt p1 gaan minstens 3 rechten: die door p1 en
p2 , die door p1 en p3 en die door p1 en p4 ).
Laat n het getal zijn, zodanig dat er juist n+1 rechten door het punt p1 gaan.
Vanwege Stelling 4.2.2 bevatten de rechten door pi en pj (i, j ∈ {2, 3, 4}) juist
n + 1 punten. Zij q nu een willekeurig punt in het projectief vlak. Minstens
een van de drie rechten door pi en pj (i, j ∈ {2, 3, 4}), bevat het punt q niet
(omdat anders p2 , p3 en p4 collineair zijn). Hieruit volgt weer (wegens Stelling 4.2.2) dat er door q juist n + 1 rechten gaan, en het bewijs is klaar.
We noemen deze n de orde van het projectief vlak.
Stelling 4.2.4: [6] Een projectief vlak van orde n, bevat juist n2 + n + 1
punten.
Bewijs: Zij p een punt in het projectief vlak. We weten er door p juist
n + 1 rechten gaan, en dat elk van deze rechten juist n punten bevat, naast
p. Al deze punten zijn verschillend, omdat het snijpunt tussen twee verschillende rechten uniek is. Het aantal punten in het projectief vlak is dus juist
n · (n + 1) + 1 = n2 + n + 1.
Op een analoge manier kan er bewezen worden dat er juist n2 +n+1 rechten
in een projectief vlak liggen.
We hebben al deze voorgaande stellingen nodig voor het volgend resultaat:
19
Stelling 4.2.5: [1] Een projectief vlak van orde n is een
(2, n + 1, n2 + n + 1)-Steinersysteem, en omgekeerd.
Bewijs: Van 1 naar 2: Dit volgt onmiddelijk uit Stellingen 4.2.2 en 4.2.4
Van 2 naar 1: Zij S = {({x, y}, B)|x, y ∈ B, B een blok}.
Dubbeltellen op |S| geeft, met k het aantal blokken dat een paar punten
2
⇐⇒ k · (n2 + n + 1) · (n2 + n) =
= (n2 + n + 1) · n+1
bevat: k · n +n+1
2
2
(n2 + n + 1) · n · (n + 1) ⇐⇒ k = 1. Een analoge berekening geeft dat er
juist een punt op twee verschillende rechten ligt .
Als n ≥ 2, dan is n2 + n + 1 ≥ 7, waardoor er minstens 4 punten aanwezig
zijn. Bovendien bestaan er drie niet-collineaire punten, aangezien n + 1 ≥ 3,
en er dus minstens twee verschillende rechten zijn. Kies dan een punt p1 ,
rechten L1 en L2 door p1 , een punt p2 ∈ L1 \ L2 en p2 ∈ L2 \ L1 . Dit kan
omdat iedere rechte minstens 3 punten bevat. De drie gekozen punten zijn
niet collineair.
Nu deze begrippen ingevoerd zijn, kunnen we een verband leggen tussen
projectieve vlakken van orde n en orthogonale Latijnse vierkanten van orde
n en dus ook, minder rechtstreeks, met magische vierkanten van orde n.
Stelling 4.2.6: [3] Zij n ∈ N. Dan zijn volgende eigenschappen equivalent:
1. Er bestaat een projectief vlak van orde n.
2. Er bestaan n − 1 paarsgewijs orthogonale Latijnse vierkanten van orde
n.
Bewijs: Van 1 naar 2: Neem twee verschillende punten a en b uit het projectief vlak. Er bestaat juist een rechte R door a en b. Zij A de verzameling
van alle rechten die R snijden in a (we noteren A = {A1 , A2 , . . . An }),
B de verzameling van alle rechten die R snijden in b (we noteren B =
{B1 , B2 , . . . Bn }).
Zij nu si,j telkens het snijpunt van de rechten Ai en Bj . De rechte R bestaat
nog uit n − 1 punten, naast a en b. Noem deze r1 , r2 , . . . rn−1 . Definieer nu
voor 1 ≤ m ≤ n − 1 de verzameling R k van alle rechten die R snijden in
rk (we noteren R k = {R1k , R2k , . . . Rnk }). Nu maken we de n − 1 orthogonale
20
Latijnse vierkanten Lk als volgt: kies i, j ∈ {1, 2, . . . , n}. Indien het snijpunt
van Ai en Rjk het punt si,x is, dan stellen we Lki,j = x.
Er moet nog bewezen worden dat deze vierkanten Latijns zijn en paarsgewijs orthogonaal.
Zij Lki,j1 = Lki,j2 , dan geldt dat Ai ∩ Rjk1 = Ai ∩ Rjk2 = {si,x } = Ai ∩ Bx .
Hieruit volgt: Rjk1 ∩ Rjk2 = {si,x } = {rk }, en dus si,x = rk . Maar omdat
si,x ∈ Bx en rk ∈ R, geldt nu: Bx ∩ R = {rk } = {b}, wat een tegenspraak
oplevert, tenzij j1 = j2 .
Stel: Lki1 ,j = Lki2 ,j , dan geldt dat Ai1 ∩ Rjk = Ai2 ∩ Rjk = {si,x } = Ai ∩ Bx .
Hieruit volgt: Ai1 ∩ Ai2 = {si,x } = {a}, en dus a = si,x . Maar omdat
a ∈ Bx en a ∈ R, geldt nu: Bx ∩ R = {a} = {b}, wat alweer een tegenspraak
oplevert, tenzij i1 = i2 .
Stel: (lik1 ,j1 , lim1 ,j1 ) = (lik2 ,j2 , lim2 ,j2 ), dan: lik1 ,j1 = lik2 ,j2 en lim1 ,j1 = lim2 ,j2 ⇐⇒
Ai1 ∩ Rjk1 = Ai2 ∩ Rjk2 = {si,x } = Ai ∩ Bx en Ai1 ∩ Rjm1 = Ai2 ∩ Rjm2 = {sj,y } =
Aj ∩ By ⇐⇒ {si,x } = Rjk1 ∩ Rjk2 = {rk } en {si,x } = Ai1 ∩ Ai2 = {a} (we
hebben slechts een van de twee gelijkheden nodig om de orthogonaliteit te
bewijzen) ⇐⇒ si,x = rk = a, wat een contradictie oplevert, tenzij j1 = j2
(of i1 = i2 , maar we mogen het eerste veronderstellen zonder de algemeenheid te schaden). Maar dan geldt nog steeds: si,x = a, en aangezien dan
si,x ∈ R en si,x ∈ Bx , krijgen we: R ∩ Bx = {b} = {si,x }, zodat a = b, een
tegenspraak.
Van 2 naar 1: Zij L1 , L2 , . . . , Ln−1 paarsgewijs orthogonale Latijnse vierkanten gegeven. Beschouw de n + 1 symbolen: a, b, r1 , . . . , rn−1 . Beschouw
vervolgens een vierkante matrix L van orde n met n2 andere en ook onderling verschillende symbolen. Om een projectief vlak te construeren van
orde n is het wegens Stelling 4.2.5 voldoende om een (2, n + 1, n2 + n + 1)Steinersysteem te construeren. Dit doen we als volgt:
We moeten n2 + n + 1 blokken maken met elk n + 1 punten. We maken eerst
2n blokken met elk n punten. De matrix L heeft n rijen en n kolommen, met
die symbolen vullen we de eerste 2n blokken (noem deze B1 , B2 , . . . , B2n ).
Om de overige n2 − n + 1 = n · (n − 1) + 1 blokken te maken, kijken we voor
iedere 1 ≤ k ≤ n − 1 en 1 ≤ i ≤ n in het Latijns vierkant Lk naar alle vakjes
waar het symbool x voorkomt. In L kijken we dan naar de overeenkomstige
21
vakjes, en de symbolen die daarin staan zetten we telkens in een nieuw blok.
Deze blokken noemen we Bxk .
Vervolgens voegen we aan iedere Bj (1 ≤ j ≤ n) het symbool a toe,
aan iedere Bj (n + 1 ≤ j ≤ 2n) het symbool b toe en aan iedere Bjk
(1 ≤ k ≤ n − 1, 1 ≤ j ≤ n) het symbool rk toe. Het laatste blok B zal
dan bestaan uit de symbolen a, b, r1 , . . . , rn−1 .
Wegens constructie zijn er juist n2 + n + 1 punten. Een punt uit de matrix L
(li,j ) komt voor op juist een rij in L (en dus in het blok Bi ), juist een kolom
in L (en dus in het blok Bn+j ). Voor de rest komt dit punt in juist n − 1
andere blokken voor, namelijk: Bxk met 1 ≤ k ≤ n − 1 en x het symbool in
Lk op de i-de rij en de j-de kolom. Deze x is uniek, omdat iedere Lk een
latijns vierkant is.
Nu rest er enkel nog te bewijzen dat twee verschillende punten tot juist
een blok behoren (of dat twee verschillende blokken juist een punt gemeenschappelijk hebben). Wegens constructie is de doorsnede van het blok B en
een blok Bi (1 ≤ i ≤ 2n) juist het punt a of het punt b. De doorsnede van
B met Bxk (1 ≤ k ≤ n − 1, 1 ≤ x ≤ n) is juist het punt rk en de doorsnede
van Bi en Bj (1 ≤ i ≤ j ≤ 2n) is juist het punt li,j , het punt a of het punt
b. De doorsnede van Bi en Bxk is het punt li,j .
Om de doorsnede van Bxk11 en Bxk22 te bepalen, zoeken we een rij-index i
en een kolomindex j, zodanig dat x1 op de i-de rij en de j-de kolom van
Lk1 ligt, en x2 op de i-de rij en de j-de kolom van Lk2 ligt. De orthogonaliteit van Lk1 en Lk2 zorgt ervoor dat er zo juist een rij- en kolomindex
bestaan.
22
Referenties
[1] Cara Philippe, Codetheorie, VUB, 2014
[2] Colbourn Charles J., Dinitz Jeffrey H., The CRC handbook of
combinatorial designs, Chapter 2: Latin Squares, MOLS and orthogonal
arrays, CRC Press, pp. 97-110, 2006
[3] Connelly Robert, Orthogonal Latin squares and finite projective planes, http://www.math.cornell.edu/ web4520/CG9-0.pdf, 2015
[4] Gergely, E., A remark on doubly diagonalized orthogonal Latin squares., Discrete Math. 10 (1974), 185188
[5] Grimaldi Ralph P. , Discrete And Combinatorial Mathematics, Chapter 17: Finite Fields and Combinatorial Designs, Fifth Edition, AddisonWesley, pp. 815-829, 2004
[6] Kåhrström
Johan,
On
Projective
Planes,
http://kahrstrom.com/mathematics/documents/OnProjectivePlanes.pdf,
2002
[7] Klyve, Dominic; Stemkoski, Lee , Graeco-Latin squares and a mistaken conjecture of Euler., College Math. J. 37 (2006), no. 1, 215.
[8] Vanpoucke Jordy, Mutually orthogonal latin squares and
their
generalizations,
http://homepages.vub.ac.be/
jvpoucke/MasterThesisMOLS.pdf, 2012
23