Inproduct Les 4 Hoeken en inproduct

Inproduct
Les 4
Hoeken en inproduct
(Deze les sluit aan bij het lespakket Inproduct van de Wageningse Methode
http://www.wageningsemethode.nl/m/456V%20wiskunde%20D/5.%20Inproduct/Hoofdstuk.pdf)
De tangens van een hoek
In het assenstelsel geldt:
𝑦
tan 𝜑 =
𝑥
Je kunt uit de verhouding
hoek terug vinden met:
𝑦
𝑥
de bijbehorende
𝑦
𝜑 = arctan( )
𝑥
𝑦
Met de GR: 𝜑 = tan−1 (𝑥 )
Zet de GR op graden of radialen!
𝜑
x
y
De cosinus van een hoek
r is de afstand van O tot P.
In het assenstelsel geldt:
cos 𝜑 =
Je kunt uit de verhouding
hoek terug vinden met:
𝑥
𝑟
𝑥
𝑟
de bijbehorende
𝑥
𝜑 = arccos( )
𝑟
𝑥
Met de GR: 𝜑 = cos −1 (𝑟 )
Zet de GR op graden of radialen!
P
r
𝜑
x
y
De tangens van een hoek
Voorbeeld (opgave 1)
ABCD.EFGH is een kubus.
BH is de snijlijn van de vlakken BEH en BGH.
Bereken de hellinghoek van lijn BH.
De tangens van een hoek
Voorbeeld (opgave 1)
ABCD.EFGH is een kubus.
BH is de snijlijn van de vlakken BEH en BGH.
Bereken de hellinghoek van lijn BH.
Uitwerking
De hellinghoek is ∠ 𝐷𝐵𝐻 in driehoek BDH.
De tangens van een hoek
Voorbeeld (opgave 1)
ABCD.EFGH is een kubus.
BH is de snijlijn van de vlakken BEH en BGH.
Bereken de hellinghoek van lijn BH.
Uitwerking
De hellinghoek is ∠ 𝐷𝐵𝐻 in driehoek BDH.
DH = 1, BD = 2
1
tan(∠𝐷𝐵𝐻) = 2
Met de GR: ∠𝐷𝐵𝐻 = tan-1 (1/ 2) = 35,26
Let op: zet de GR op ‘degree’
Vooraf
Lees de tekst en de opgaven 1 tot en met 4 op bladzijde 27, 28 en 29.
NB: Je hoeft de opgaven dus niet te maken!
De hoek tussen twee vlakken
V en W zijn twee vlakken die elkaar snijden.
• Bepaal de snijlijn m van beide vlakken.
• Kies een punt P op de snijlijn
• Kies in V een lijn door P loodrecht op m.
• Kies in W een lijn door P loodrecht op m.
De hoek tussen beide lijnen is de hoek
tussen beide vlakken.
Deze hoek heet de standhoek.
U
P
V
m
W
De hoek tussen twee vlakken
Voorbeeld (opgave 5)
ABCD.T is een piramide waarvan alle ribben
lengte 6 hebben.
Hoe bepaal je de hoek die zijvlak ADT maakt
met het grondvlak?
De hoek tussen twee vlakken
Voorbeeld (opgave 5)
ABCD.T is een piramide waarvan alle ribben
lengte 6 hebben.
Hoe bepaal je de hoek die zijvlak ADT maakt
met het grondvlak?
P
Q
AD is de snijlijn tussen beide vlakken.
P is het midden van AD en Q is het midden
van BC.
 PQ staat loodrecht op AD.
 TP staat loodrecht op AD (want middelloodlijn in gelijkbenige  ATD).
 TPQ is de hoek tussen beide vlakken.
De hoek tussen twee vlakken
Voorbeeld (opgave 5)
ABCD.T is een piramide waarvan alle ribben
lengte 6 hebben.
TPQ is de hoek tussen beide vlakken.
P
TM staat loodrecht op het grondvlak.
𝑇𝑀
𝑇𝑀
tan(TPQ) = 𝑃𝑀 = 3 .
Bereken TM.
M
Q
De hoek tussen twee vlakken
Voorbeeld (opgave 5)
ABCD.T is een piramide waarvan alle ribben
lengte 6 hebben.
TPQ is de hoek tussen beide vlakken.
P
TM staat loodrecht op het grondvlak.
𝑇𝑀
𝑇𝑀
tan(TPQ) = 𝑃𝑀 = 3 .
Bereken TM.
TM2 + AM2 = AT2 = 36 .
AM = 3 2  TM2 = 36 − 18  TM = 18 = 3 2
tan(TPQ) =
3 2
3
= 2 → TPQ = 54.7.
M
Q
De hoek tussen twee vlakken
Maak opgave 7 van bladzijde 30
De hoek tussen twee vlakken
Voorbeeld (opgave 8)
ABCD.EFGH is een kubus.
Bepaal de hoek tussen de vlakken ACH en ABGH.
De hoek tussen twee vlakken
Voorbeeld (opgave 8)
ABCD.EFGH is een kubus.
Bepaal de hoek tussen de vlakken ACH en ABGH.
AH is de snijlijn tussen beide vlakken.
P
Q
De hoek tussen twee vlakken
Voorbeeld (opgave 8)
ABCD.EFGH is een kubus.
Bepaal de hoek tussen ACH en ABGH.
AH is de snijlijn tussen beide vlakken.
Vlak EFCD staat loodrecht op AH.
P is het midden van AH
en Q is het midden van BG.
 PQ en PC staan loodrecht op AH.
PC ligt in vlak ACH.
Dus  QPC is de standhoek.
P
Q
De hoek tussen twee vlakken
Voorbeeld (opgave 8)
ABCD.EFGH is een kubus.
Bepaal de hoek tussen ACH en ABGH.
QPC is de gevraagde hoek.
Ga uit van ribbe 1.
Driehoek PQC is rechthoekig.
1
QC = 2 2 en PQ = 1.
tan(QPC) =
1
2
2
1
1
= 2 2 en QPC = 35,26.
P
Q
De hoek tussen twee vlakken
Maak opgave 9 op bladzijde 30
De hoek tussen twee lijnen
Voorbeeld
De lijnen door AE en HC kruisen elkaar.
Hoe groot is de hoek tussen deze lijnen?
De hoek tussen twee lijnen
Voorbeeld
De lijnen door AE en CH kruisen elkaar.
Hoe groot is de hoek tussen deze lijnen?
Verplaats de lijn CH evenwijdig aan zich zelf
zodat die lijn de lijn AE snijdt.
In dit geval is de hoek 45.
De hoek tussen twee lijnen
Maak opgave 15 op bladzijde 33.
De hoek tussen een lijn en een vlak
De lijn k snijdt het vlak V.
k′ is de loodrechte projectie van k op V.
De hoek die k met V maakt is de hoek tussen k en k′.
De hoek tussen een lijn en een vlak
Voorbeeld (opgave 20b)
Bereken de hoek tussen lijn EC en vlak ABGH.
De hoek tussen een lijn en een vlak
Voorbeeld (opgave 20b)
Bereken de hoek tussen lijn EC en vlak ABGH.
Vlak CDEF staat loodrecht op vlak ABGH.
MN is de snijlijn van beide vlakken.
M
N
De hoek tussen een lijn en een vlak
Voorbeeld (opgave 20b)
Bereken de hoek tussen lijn EC en vlak ABGH.
Vlak CDEF staat loodrecht op vlak ABGH.
MN is de snijlijn van beide vlakken.
S is het snijpunt van MN en EC.
EM staat loodrecht op vlak ABGH, dus MS is de
loodrechte projectie van ES op vlak ABGH.
M
S
N
De hoek tussen een lijn en een vlak
Voorbeeld (opgave 20b)
Bereken de hoek tussen lijn EC en vlak ABGH.
Vlak CDEF staat loodrecht op vlak ABGH.
MN is de snijlijn van beide vlakken.
S is het snijpunt van MN en EC.
EM staat loodrecht op vlak ABGH, dus MS is de
loodrechte projectie van ES op vlak ABGH.
Hoek ESM is de gevraagde hoek.
M
S
N
De hoek tussen een lijn en een vlak
Voorbeeld (opgave 20b)
Teken vlak CDEF.
tan (ESM) =
1
2
ESM = 54,7
2
1
2
= 2.
E
F
M
2
M
D
N
S
1
C
S
N
De hoek tussen een lijn en een vlak
Maak opgave 20a op bladzijde 35.
Hoeken en inproduct
Gegeven een vector 𝑣 en een lijn k met
richtingsvector 𝑤.
𝑞 is de loodrechte projectie van 𝑣 op k.
𝑞
In de driehoek bij 1 geldt: 𝑞 = 𝑣 ∙ cos(𝜑).
In de driehoek bij 2 geldt: 𝑞 = − 𝑣 ∙ cos(𝜑).
𝑞
Hoeken en inproduct
Gegeven een vector 𝑣 en een lijn k met
richtingsvector 𝑤.
𝑞 is de loodrechte projectie van 𝑣 op k.
𝑝
𝑞
In de driehoek bij 1 geldt: 𝑞 = 𝑣 ∙ cos(𝜑).
In de driehoek bij 2 geldt: 𝑞 = − 𝑣 ∙ cos(𝜑).
𝑝
Algemeen geldt:
𝑣∙𝑤 = 𝑞+𝑝 ∙𝑤 =𝑞∙𝑤+𝑝∙𝑤 =𝑞∙𝑤
𝑞
Hoeken en inproduct
Gegeven een vector 𝑣 en een lijn k met
richtingsvector 𝑤.
𝑞 is de loodrechte projectie van 𝑣 op k.
𝑞
In de driehoek bij 1 geldt: 𝑞 = 𝑣 ∙ cos(𝜑).
In de driehoek bij 2 geldt: 𝑞 = − 𝑣 ∙ cos(𝜑).
Bij 1 geldt 𝑣 ∙ 𝑤 = 𝑞 ∙ 𝑤 = 𝑞 ∙ 𝑤 = 𝑣 ∙ cos 𝜑 ∙ 𝑤 =
= 𝑣 ∙ 𝑤 ∙ cos 𝜑
Bij 2 geldt 𝑣 ∙ 𝑤 = 𝑞 ∙ 𝑤 = − 𝑞 ∙ 𝑤 = 𝑣 ∙ cos 𝜑 ∙ 𝑤 =
= 𝑣 ∙ 𝑤 ∙ cos 𝜑
𝑞
Hoeken en inproduct
Gegeven een vector 𝑣 en een vector 𝑤.
𝜑 is de hoek tussen beide vectoren.
Dan geldt: 𝑣 ∙ 𝑤 = 𝑣 ∙ 𝑤 ∙ cos 𝜑
𝑣
𝜑
𝑤
Dit is een snelle manier om hoeken bij richtingen uit te rekenen.
𝑣∙𝑤
cos 𝜑 =
𝑣 ∙ 𝑤
Hoeken en inproduct
Voorbeeld
M is het midden van de opstaande ribbe.
Bereken de hoek  tussen AM en MG.
Hoeken en inproduct
Voorbeeld
M is het midden van de opstaande ribbe in de kubus.
Bereken de hoek  tussen AM en MG.
Uitwerking
Kies een assenstelsel.
Stel de ribbe heeft lengte 2.
Dan is 𝑀𝐴 = 2,0, −1 en 𝑀𝐺 = 0,2,1 .
cos 𝛼 =
𝐴𝑀∙𝑀𝐺
𝐴𝑀 ∙ 𝑀𝐺
=
−1
4+0+1∙ 0+4+1
𝛼 = cos −1 −0,2 = 101.53°
=
−1
5
= −0,2
O
Oefenen
De opgaven van paragraaf 4, in ieder geval de opgaven 10, 17, 21 en 22.
Huiswerk
Inleveren: Opgave 16 en 23c.