Lineaire Algebra SUPPLEMENT I

Lineaire Algebra
SUPPLEMENT I
F.Beukers
Departement Wiskunde
2012
UU
Hoofdstuk 12
Vectorruimten
12.1
Axioma’s
Tot nu toe hebben we het uitsluitend over Rn gehad. In de geschiedenis van
de wiskunde blijkt dat veel andere verzamelingen ook gezien kunnen worden
als vectorruimten. Met name oplossingsverzamelingen van lineaire differentiaalvergelijkingen. Misschien is dit niet één-twee-drie duidelijk, maar we zullen
er later in dit hoofdstuk op terugkomen. Voorbeelden waarvan je je misschien
wel kunt voorstellen dat ze Rn generaliseren zijn bijvoorbeeld de oneindige rijtjes reële getallen, aan te geven met R∞ .
Een andere generalisatie is om de reële getallen los te laten en in andere
getalsystemen te rekenen. Bijvoorbeeld, we kunnen naar verzameling vectoren (x1 , . . . , xn ) met xi ∈ C kijken en deze ruimte Cn noemen. Matrixvermenigvuldiging, oplossing van lineaire vergelijkingen, lineaire deelruimten, determinanten, dit alles zou even goed kunnen plaats vinden met complexe getallen.
Ook gaan onze stellingen over rang en dimensie onveranderd door. Evenzo kunnen we kijken naar Qn . Om niet alles tegelijk te generaliseren beperken we ons
voorlopig tot vectorruimten met scalairen R.
De belangrijkste generalisatie bestaat er in dat we vectoren zien als objecten
die los staan van hun beschrijving door coördinaten. We concentreren ons op
de belangrijkste eigenschappen van vectoren, namelijk dat er een optelling en
scalaire vermenigvuldiging bestaan. De rest, zoals coördinaten, komt later.
Een vectorruimte over R is een niet-lege verzameling V met daarin een optelling
x, y ∈ V 7→ x + y en een scalaire vermenigvuldiging λ ∈ R, x ∈ V 7→ λx die
voldoet aan de volgende eigenschappen.
1. Voor alle x, y ∈ V geldt x + y = y + x.
2. Voor alle x, y, z ∈ V geldt (x + y) + z = x + (y + z).
3. Bij elke x, y ∈ V is er een uniek bepaalde z ∈ V zó dat x + z = y.
4. Voor alle λ, µ ∈ R en x ∈ V geldt λ(µx) = (λµ)x.
5. Voor alle λ ∈ R en alle x, y ∈ V geldt λ(x + y) = λx + λy.
6. Voor alle λ, µ ∈ R en alle x ∈ V geldt (λ + µ)x = λx + µx
3
4
HOOFDSTUK 12. VECTORRUIMTEN
7. Voor alle x ∈ V geldt 1 · x = x.
De elementen van V noemen we vectoren. Allereerst een aantal belangrijke
opmerkingen.
1. We noemen de oplossing z in eigenschap (3) het verschil van de vectoren
y en x. Notatie: y − x.
2. Er is een uniek bepaald element 0 ∈ V zó dat x + 0 = x voor alle x ∈ V .
Om te zien dat zo’n element bestaat kiezen we v ∈ V (dat kan, V is
immers niet leeg) en nemen 0 = v−v. Dus v+0 = v. Zij nu x willekeurig
en tel aan beide zijden x − v op. We vinden (x − v) + v + 0 = (x − v) + v.
Per definitie geldt dat (x − v) + v = x. Onze gelijkheid gaat dus over in
x + 0 = x. Het element 0 heeft dus de gewenste eigenschap.
Nu moeten we ons er nog van overtuigen dat er maar één element is met
deze eigenschap. Stel dat er nog een element 0′ zo dat x + 0′ = x voor
alle x ∈ V . Dan geldt in het bijzonder dat 0 + 0′ = 0. Anderzijds, omdat
0 ook de rol van nulelement speelt, geldt dat 0′ + 0 = 0′ . We zien dat de
som 0 + 0′ gelijk is aan zowel 0 als 0′ . Dus zijn deze gelijk 0′ = 0.
3. Voor elke x ∈ V geldt 0 · x = 0. Dit zien we uit het feit dat x + 0 · x =
(1 + 0)x = 1 · x = x. Aangezien 0 de unieke vector is met de eigenschap
dat x + 0 = x concluderen we dat 0 · x = 0.
4. Voor elke x, y ∈ V geldt y − x = y + (−1) · x. Stel z = y + (−1) · x. Dan
geldt x + z = x + y + (−1) · x = y + (1 − 1)x = y + 0 · x = y. Hieruit
zien we dat ook z = y − x.
Voortaan noteren we 0 − x als −x. In het bijzonder geldt −x = (−1) · x.
Hier zijn een aantal voorbeelden van vectorruimten. Ga van elk van de voorbeelden na dat ze inderdaad een vectorruimte vormen.
1. De intuı̈tieve vectoren uit onze inleiding.
2. De verzamelingen Rn (eindige rijen van lengte n van elementen uit R,
R∞ (oneindige rijen) en R∞
0 (oneindige rijen met eindig veel termen ̸= 0)
vormen vectorruimten over R. Optelling en scalaire vermenigvuldiging
zijn de gebruikelijke coördinaatsgewijze bewerkingen.
3. De verzameling van m × n-matrices met elementen uit R en gebruikelijke
optelling en scalaire vermenigvuldiging vormen een vectorruimte over R.
4. De verzameling van polynomen
{ak X k + ak−1 X k−1 + · · · + a1 X + a0 | ai ∈ R}
met de voor de hand liggende optelling en scalaire vermenigvuldiging.
Notatie: R[X]
12.1. AXIOMA’S
5
5. Zij I ⊂ R een interval. De verzameling van continue functies f : I → R
vormen een vectorruimte over R als we optelling en scalaire vermenigvuldiging als volgt kiezen:
(f + g)(x) = f (x) + g(x)
(λf )(x) = λf (x).
Notatie: C 0 (I).
6. In plaats van bovenstaand voorbeeld kunnen we natuurlijk ook de verzameling van continu differentieerbare functies, (C 1 (I)) oneindig vaak differentieerbare functies (C ∞ (I)), of willekeurige functies nemen.
7. De complexe getallen vormen een vectorruimte over R als we gebruikelijke
optelling en scalaire vermenigvuldiging nemen.
Definitie 12.1.1 (Deelruimte) Zij V een vectorruimte over R en W ⊂ V
een deelverzameling. We noemen W een (lineaire) deelruimte van V als de
volgende eigenschappen gelden:
1. 0 ∈ W .
2. Als x, y ∈ W dan x + y ∈ W .
3. Als λ ∈ R en x ∈ W dan λx ∈ W
Stelling 12.1.2 Een lineaire deelruimte W van een vectorruimte V is zelf ook
een vectorruimte als we de optelling en scalaire vermenigvuldiging uit V nemen.
Bewijs: Zij W een deelruimte van V . Uit de definitie van deelruimte volgt
dat we in W een optelling en scalaire vermenigvuldiging van vectoren hebben.
Omdat deze optelling en vermenigvuldiging aan de axioma’s voor de ruimte
V voldoen, voldoen ze zeker ook als we ons beperken tot de vectoren in W .
Daarmee is W zelf ook een vectorruimte.
2
Voorbeelden van deelruimten.
1. V = Rn en W is oplossingsverzameling van een stelsel homogene lineaire
vergelijkingen Ax = 0 in x ∈ Rn . (Deze kenden we al).
2. Zij I ⊂ R een interval en V = C 0 (I). Dan zijn C 1 (I) en C ∞ (I) voorbeelden van lineaire deelruimten.
3. Zij V = R[X]. Dan zijn de volgende deelverzamelingen ook deelruimten
(a) Kies n ∈ N. De polynomen met graad ≤ n. Notatie: R[X]n .
(b) De verzameling p(X) ∈ R[X] met p(1) = 0. Of algemener, kies a ∈ R
en neem als W de verzameling polynomen met p(a) = 0.
4. V = R∞ . Ga na dat de volgende deelverzamelingen lineaire deelruimten
zijn:
6
HOOFDSTUK 12. VECTORRUIMTEN
∞ met x = 0 als n
(a) R∞
n
0 : de verzameling van alle (x1 , x2 , . . .) ∈ R
groot genoeg is.
(b) l∞ : de verzameling (x1 , x2 , . . .) ∈ R∞ zó dat limn→∞ xn = 0.
(c) l2 : (lastig) de verzameling (x1 , x2 , . . .) ∈ R∞ zó dat limn→∞ x21 +
x22 + · · · + x2n bestaat.
Ga tevens na dat we in dit voorbeeld de inclusies
2
∞
R∞
⊂ R∞
0 ⊂l ⊂l
hebben.
5. Gegeven een vectorruimte V over R en een eindige verzameling vectoren
v1 , . . . , vn . Het opspansel van deze vectoren gegeven door
Span(v1 , . . . , vn ) = {λ1 v1 + · · · + λn vn |λ1 , . . . , λn ∈ R}
is een lineaire deelruimte van V .
6. Gegeven een vectorruimte V over R en een willekeurige deelverzameling
S ⊂ V . De verzameling van alle (eindige) lineaire combinaties van elementen uit S noemen we het opspansel van S. Notatie: Span(S). Merk
op dat Span(S) ook een lineaire deelruimte van V is.
Verder geldt voor elke deelruimte W ⊂ V met de eigenschap S ⊂ W , dat
alle lineaire combinaties van elementen uit S ook in W bevat moeten zijn.
Met andere woorden, Span(S) ⊂ W . Op deze manier kunnen we Span(S)
zien als de kleinste deelruimte die een gegeven verzameling S omvat.
12.2
Afhankelijkheid
Ook in onze abstracte vectorruimten hanteren we het begrip (on)afhankelijkheid.
Stel we hebben een vectorruimte V over het lichaam R en zij v1 , v2 , . . . , vr een
r-tal vectoren in V . Een lineaire combinatie van v1 , v2 , . . . , vr is een vector van
de vorm
λ1 v1 + λ2 v2 + · · · + λr vr
waarin λ1 , . . . , λr ∈ R. Onder een (lineaire) relatie tussen v1 , v2 , . . . , vr verstaan we een lineaire combinatie die de nulvector oplevert.
Definitie 12.2.1 Zij V een vectorruimte over het lichaam R. Een r-tal vectoren v1 , v2 , . . . , vr ∈ V noemen we (lineair) onafhankelijk als de enige relatie
λ1 v1 + λ2 v2 + · · · + λr vr = 0
met λ1 , λ2 , . . . , λr ∈ R de triviale is, dat wil zeggen λ1 = λ2 = · · · = λr = 0.
We noemen de vectoren (lineair) afhankelijk als er een niet-triviale relatie
bestaat.
We kunnen ook lineaire onafhankelijkheid voor willekeurige verzamelingen definiëren
(dus ook oneindige verzamelingen).
12.2. AFHANKELIJKHEID
7
Definitie 12.2.2 Zij V een vectorruimte over het lichaam R. Een deelverzameling S ⊂ V heet (lineair) onafhankelijk als elke eindige deelverzameling van
S onafhankelijk is.
Met dit begrip onafhankelijkheid kunnen we ook het begrip basis van een vectorruimte invoeren.
Definitie 12.2.3 Zij V een vectorruimte over het lichaam R. Een deelverzameling S van V heet een basis van V als
1. S onafhankelijk is
2. Elke vector in V lineaire combinatie van een eindig aantal vectoren uit S
is.
In deze definitie hebben we het woord eindig onderstreept om duidelijk te maken
dat we in dit stadium niet kunnen spreken over lineaire combinatie van een
oneindig aantal elementen. Om over oneindige sommen te kunnen spreken
hebben we ook een convergentiebegrip nodig. In een aantal gevallen zullen we
deze later zien. Vooralsnog hebben oneindige sommen geen betekenis.
Als een vectorruimte V een eindige basis heeft, bestaande uit n vectoren, dan
noemen we n de dimensie van V . Het bewijs dat de dimensie onafhankelijk van
de basiskeuze, gaat op dezelfde manier als in Stelling 4.2.4.
De dimensie van de triviale vectorruimte, dat wil zeggen de vectorruimte die
alleen uit de nulvector bestaat, definiëren we als nul.
Bij abstracte vectorruimten kan het gebeuren dat er helemaal geen eindige
basis bestaat. In dat geval bevat de vectorruimte een oneindige onafhankelijke
deelverzamneling en we zeggen dat de dimensie van V oneindig is. In dergelijke
gevallen kan het gebeuren dat we een oneindige basis kunnen aanwijzen, maar
veel vaker gebeurt het dat er helemaal geen basis aangegeven kan worden.
Twee mooie voorbeelden worden gegeven door R∞ bestaande uit de oneindige
rijen reële getallen, en R∞
0 , bestaande uit de oneindige rijen reële getallen die
vanaf zeker moment nul zijn. De vectoren
(1, 0, 0, 0, . . .)
(0, 1, 0, 0, . . .)
(0, 0, 1, 0, . . .)
...
vormen een basis van R∞
0 . Ga zelf na dat dit zo is. Begrijp je ook waarom
bovenstaand stelsel geen basis van R∞ is?
Definitie 12.2.4 Zij V een vectorruimte en S ⊂ V een deelverzameling. De
rang van S wordt gedefinieerd als de dimensie van het opspansel van S. Notatie
rang(S).
Hier volgt een aantal voorbeelden van (on)afhankelijke verzamelingen en eventuele
bases van vectorruimten.
8
HOOFDSTUK 12. VECTORRUIMTEN
Voorbeeld 12.2.5. Beschouw de vectorruimte over R bestaande uit de reëelwaardige
continue functies op ]0, 1[. We geven deze aan met C 0 (]0, 1[). De rol van de nulvector in deze ruimte wordt gespeeld door de constante functie 0. Als voorbeeld
laten we zien dat 1/x, 1/x2 , 1/(1 − x) onafhankelijk zijn. Stel namelijk
a
1
1
1
+b 2 +c
≡0
x
x
1−x
voor zekere a, b, c ∈ R. Met het ≡-teken geven we hier nog een keer extra aan
dat het om een gelijkheid van functies gaat. Dat wil zeggen dat de gelijkheid
geldt voor alle keuzen van x.
Om onafhankelijkheid aan te tonen kunnen we een aantal waarden van x kiezen.
Neem bijvoorbeeld achtereenvolgens x = 1/3, 1/2, 2/3. We vinden dan,
3a + 9b + 3c/2 = 0
2a + 4b + 2c = 0
3a/2 + 9b/4 + 3c = 0
Oplossing van dit stelsel leert dat a = b = c = 0. Met andere woorden, alleen
de triviale relatie geldt, en de functies zijn onafhankelijk.
♢
Voorbeeld 12.2.6. De ruimte C(R) van continue functies op R. De nulvector
in deze ruimte is de triviale functie 0. Beschouw de functies f0 , f1 , f2 , . . . gegeven
door fm (x) = emx . Wij beweren dat de functies f0 , f1 , . . . , fn onafhankelijk zijn
voor elke gehele n. Stel dat er a0 , a1 , . . . , an ∈ R bestaan, zó dat
an fn + an−1 fn−1 + · · · + a1 f1 + a0 f0 = 0
Anders gezegd,
an enx + an−1 e(n−1)x + · · · + a1 ex + a0
is identiek gelijk nul voor alle keuzen van x. Anders geschreven, P (ex ) = 0 voor
alle x, waarin
P (X) = an X n + an−1 X n−1 + · · · + a1 X + a0 .
Anders gezegd, het polynoom P (X) heeft oneindig veel verschillende nulpunten,
namelijk X = ex met x ∈ R willekeurig. Als P (X) een niet-triviaal polynoom
zou zijn, dan kunnen er hooguit n nulpunten zijn. We moeten dus concluderen
dat P (X) het triviale polynoom is. Met andere woorden, an = an−1 = · · · =
a1 = a0 = 0.
In het bijzonder zien we dat het opspansel van f0 , f1 , f2 , . . . in C(R) een oneindigdimensionale deelruimte van C(R) is.
♢
Voorbeeld 12.2.7. Oplossingen van een homogene lineaire differentiaalvergelijking
dn
dn−1
d
y
+
p
(x)
y + · · · + p1 (x) y + p0 (x)y = 0
n−1
n
n−1
dx
dx
dx
12.2. AFHANKELIJKHEID
9
waarin de pi (x) voldoende vaak differentieerbare functies in het open interval
(−1, 1) zijn (je kunt natuurlijk ook andere open intervallen kiezen). We kunnen
de vergelijking iets korter schrijven door
y (n) + pn−1 (x)y (n−1) + · · · + p1 (x)y ′ + p0 (x)y = 0.
Zij V de verzameling oplossingen van deze vergelijking. Ga zelf het volgende
na: als y1 , y2 twee oplossingen zijn en λ ∈ R, dan zijn y1 + y2 en λy1 ook
oplossingen. Met andere woorden, V is een vectorruimte ten aanzien van de
gewone optelling en scalaire vermenigvuldiging van functies.
Uit de theorie van de lineaire differentiaalvergelijkingen volgt dat de dimensie
van V gelijk is aan n. Met andere woorden, er bestaan n onafhankelijke oplossingen y1 , . . . , yn van onze differentiaalvergelijking zo dat iedere iedere oplossing
in de vorm λ1 y1 + · · · + λn yn te schrijven is met λi ∈ R voor alle i.
Hier volgen een paar specifieke voorbeelden.
1.
dn
y = 0.
dxn
De verzameling oplossingen bestaat uit alle polynomen van graad < n,
λ0 + λ1 x + λ2 x2 + · · · + λn−1 xn−1 .
2.
d2
d
y − 3 y + 2y = 0.
2
dx
dx
Laten we een oplossing van de vorm y = eλx voor nog nader te bepalen λ ∈
R proberen. Invullen in de vergelijking geeft (λ2 − 3λ + 2)eλx = 0, waaruit
volgt λ2 − 3λ + 2 = 0 en dus λ = 1 of 2. Twee oplossingen zijn dus ex en
e2x en volgens de theorie spannen deze de volledige oplossingsverzameling
op.
3.
d2
y − xy = 0.
dx2
Deze vergelijking is niet met de ons bekende klassieke functies op te lossen
en we moeten oneindige Taylorontwikkelingen in de strijd gooien. Dit
zullen we hier niet doen, maar wel opmerken dat desondanks de oplossingsruimte een vectorruimte over R van dimensie 2 is.
♢
Voorbeeld 12.2.8. De vectorruimte van complexe getallen√over R. Elk complex getal
√ kan op unieke manier geschreven worden als a + b −1. Hieruit volgt
dat 1, −1 een basis van onze vectorruimte is. De dimensie van C over R is
dus twee.
♢
10
HOOFDSTUK 12. VECTORRUIMTEN
12.3
Lineaire afbeeldingen
Van bijzonder belang zijn afbeeldingen tussen vectorruimten die de vectorruimtestructuur intact laten. Om wat preciezer te zijn, zij V, W een tweetal
vectorruimten over het scalairenlichaam R. Een lineaire afbeelding A : V → W
is een afbeelding met de volgende eigenschappen
1. Voor elke x, y ∈ V geldt A(x + y) = A(x) + A(y).
2. Voor elke λ ∈ R, x ∈ V geldt A(λx) = λA(x).
Om wat houvast te hebben, matrixvermenigvuldiging is het standaardvoorbeeld van een lineaire afbeelding. Preciezer, zij M een m × n-matrix met reële
coëfficienten. De afbeelding Rn → Rm die aan x ∈ Rn de vector M x ∈ Rm
toekent, is een lineaire afbeelding. Uit de elementaire regels van matrixvermenigvuldiging volgt immers dat
M (x + y) = M x + M y
en
M (λx) = λM x.
In het volgende hoofdstuk zal blijken dat lineaire afbeeldingen tussen eindigdimensionale vectorruimten allemaal kunnen worden teruggebracht tot matrixvermenigvuldiging met een matrix M waarvan met coëfficienten in R.
Alvorens verdere voorbeelden te bespreken, maken we een aantal opmerkingen
en voeren wat begrippen in.
Lemma 12.3.1 Zij V, W een tweetal vectorruimten over het scalairenlichaam
R en A : V → W een lineaire afbeelding. Dan geldt,
1. Voor elk tweetal x, y ∈ V en λ, µ ∈ R geldt A(λx + µy) = λA(x) + µA(y).
2. A(0) = 0.
Geef zelf een bewijs voor dit Lemma.
Een belangrijke ruimte die bij een lineaire afbeelding hoort is de kern. Zij
f : V → W een lineaire afbeelding, dan is de kern van f de verzameling van
alle x ∈ V met f (x) = 0. Notatie: ker(f ).
In het voorbeeld van matrixvermenigvuldiging x 7→ M x wordt de kern gegeven
door de nulruimte van de matrix M .
Lemma 12.3.2 De kern van een lineaire afbeelding f : V → W is een lineaire
deelruimte van V .
Geef ook van dit Lemma zelf een bewijs. Verder geldt,
Stelling 12.3.3 Zij V, W een tweetal vectorruimten en A : V → W een lineaire
afbeelding. Dan is A injectief precies dan als ker(A) = {0}.
12.3. LINEAIRE AFBEELDINGEN
11
Bewijs: Dit is niet lastig in te zien. Stel namelijk dat A injectief is. Dan geldt
x ∈ ker(A) ⇒ A(x) = 0 = A(0) en wegens injectiviteit van A volgt hieruit dat
x = 0. Dus ker(A) = {0}.
Stel anderzijds dat ker(A) alleen uit de nulvector bestaat. Dan volgt uit Ax =
A(y) dat A(x − y) = 0 wegens de lineariteit van A. Omdat de kern triviaal is
impliceert dit x − y = 0 en dus x = y. Met andere woorden, A is injectief.
2
Hier zijn een aantal voorbeelden van lineaire afbeeldingen.
1. Als vectorruimte V nemen we de intuı̈tieve vectoren in de ruimte, waarmee
we dit college begonnen. Meetkundig realiseren we deze ruimte door de
punten in de driedimensionale ruimte met gegeven oorsprong O. Let op:
we voeren geen coördinaten in! Beschouw nu de volgende twee speciale
voorbeelden.
(a) Zij W een vlak door O met normaalvector n. De loodrechte projectie
P van V op W is een voorbeeld van een lineaire afbeelding. Zij
namelijk v ∈ V . De loodrechte projectie van v op W is dat punt op
de lijn x = v+λn met de eigenschap dat x·n = 0. Dus (v+λn)·n = 0
waaruit volgt v · n + λ|n|2 . Dus λ = −v · n/|n|2 en
P (v) = v −
v·n
n.
|n|2
(12.1)
Dat P lineair is volgt uit:
(x + y) · n
n
|n|2
x·n
y·n
= x+y−
n−
n
|n|2
|n|2
= P (x) + P (y)
P (x + y) = x + y −
en
(λx) · n
n
|n|2
x·n
= λx − λ 2 n
|n|
= λP (x)
P (λx) = λx −
De kern bestaat uit alle vectoren die naar 0 geprojecteerd worden,
in dit geval alle vectoren die loodrecht op het vlak W staan.
2. Zij V = R[X], de ruimte van polynomen. Dan is differentiatie naar X een
lineaire afbeelding van V naar V . Immers,
d
d
(λf (X)) = λ
f (X).
dX
dX
en
d
d
d
(f (X) + g(X)) =
f (X) +
g(X).
dX
dX
dX
12
HOOFDSTUK 12. VECTORRUIMTEN
De enige polynomen die na differentiatie nul worden, zijn de constante
polynomen. Deze constante polynomen vormen dus de kern.
3. Zij V = C(R) de ruimte van continue functies op R. Integratie van een
continue functie over het interval [0, 1] (of een ander interval) geeft een
lineaire afbeelding van V naar R. Immers,
∫ 1
∫ 1
∫ 1
(f (x) + g(x))dx =
f (x)dx +
g(x)dx
0
en
0
∫
0
∫
1
λf (x)dx = λ
0
1
f (x)dx.
0
De kern wordt gegeven door alle functies waarvan de integraal nul is.
4. Zij M2,2 de ruimte van 2 × 2-matrices met elementen in R. De afbeelding
M2,2 → R4 gegeven door
(
)
a b
7→ (a, b, c, d)t
c d
is lineair. Ga dit na!
We noemen twee vectorruimten V, W isomorf als er een bijectieve lineaire afbeelding A : V → W bestaat. Er geldt:
Stelling 12.3.4 Zij A : V → W een bijectieve lineaire afbeelding tussen twee
vectorruimten V, W . Dan is de inverse afbeelding A−1 : W → V ook lineair.
Bewijs: Zij x, y ∈ W . Kies u, v ∈ V zó dat A(u) = x en A(v) = y. Dan
geldt, wegens lineariteit van A, dat A(u + v) = A(u) + A(v) = x + y. Gevolg:
A−1 (x + y) = u + v = A−1 (x) + A−1 (y). Hiermee is het eerste kenmerk van
lineariteit aangetoond.
Kies nu x ∈ W en λ ∈ R. Stel v zó dat x = A(v). Dan geldt dat A(λv) =
λA(v) = λx. Dus A−1 (λx) = λv = λA−1 (x).
2
We kunnen isomorfe vectorruimten zien als twee incarnaties van dezelfde vectorruimte structuur. De 1-1-duidige correspondentie tussen de twee wordt gegeven
door de bijectie A. Hier zijn een paar voorbeelden.
1. Zij M2,2 de ruimte van 2 × 2-matrices met elementen in R. De afbeelding
M2,2 → R4 gegeven door
(
)
a b
7→ (a, b, c, d)t
c d
is een bijectieve lineaire afbeelding tussen M2,2 en R4 . Goed beschouwd
maakt het ook niet uit of we de vier componenten van vectoren uit R4 in
een rij, kolom of vierkantsvorm opschrijven.
12.4. LINEAIRE AFBEELDINGEN IN EINDIGE DIMENSIE
13
2. Zij R een oneindig lichaam. De ruimten R[X] van polynomen en R∞
0 zijn
isomorf via de lineaire bijectie
a0 + a1 X + a2 X 2 + · · · + an X n 7→ (a0 , a1 , a2 , . . . , an , 0, 0, 0, 0, . . .).
Hier is nog een algemene opmerking.
Lemma 12.3.5 Zij V, W een tweetal vectorruimten en A : V → W een lineaire
afbeelding. Dan is A(V ) een lineaire deelruimte van W .
Opgave 12.3.6. Geef zelf een bewijs van dit Lemma.
Tenslotte wijzen we erop dat een eindigdimensionale vectorruimte over R altijd
isomorf is met Rn . Dit gaat als volgt Zij V een eindigdimensionale vectorruimte
over R en B = {b1 , . . . , bn } een geordende basis. Elke vector x ∈ V kan op
unieke manier geschreven worden als x = x1 b1 + x2 b2 + · · · + xn bn met xi ∈ R.
We noemen x1 , x2 , . . . , xn de coördinaten van x ten opzichte van B. De kolom
bestaande uit deze coördinaten noemen we de coördinatenkolom. We geven
deze aan met xB .
Opgave 12.3.7. Laat zien dat de toekenning
x 7→ xB
een bijectieve lineaire afbeelding tussen V en Rn geeft.
We zien hieruit dat alle eindigdimensionale vectorruimten over R isomorf zijn
met Rn voor zekere n. Men zou dus kunnen zeggen dat, wat betreft eindigdimensionale vectorruimten, alles weer bij het oude is. In de praktijk blijkt het
echter vaak onhandig of omslachtig een basis te kiezen. Vaak is zo’n keuze
helemaal niet voor de hand liggend. In zulke gevallen is het veel eleganter
om coördinaatvrij te werken. Dit is de kracht van een axiomatische opzet van
vectorruimten.
12.4
Lineaire afbeeldingen in eindige dimensie
In deze paragraaf geven we aan wat het verband is tussen lineaire afbeeldingen en matrixvermenigvuldiging. Zij V, W een tweetal vectorruimten over
het scalairenlichaam R en A : V → W een lineaire afbeelding. We nemen
aan dat V, W eindigdimensionaal zijn met dimensies n respectievelijk m. Zij
B = {b1 , b2 , . . . , bn } een geordende basis van V en C = {c1 , c2 , . . . , cm } een
geordende basis van W . We geven de coördinatenkolom van x ∈ V ten opzichte
van B aan met xB . En evenzo is yC de coördinatenkolom van y ∈ W ten
opzichte van C.
Stelling 12.4.1 Gegeven V, W , hun geordende bases B, C, en A : V → W als
daarnet. Stel x ∈ V, y ∈ W zó dat y = A(x). Zij AB
C de m × n-matrix die we
krijgen door als i-de kolom de coördinatenkolom van A(bi ) ten opzichte van C
te nemen. Dan geldt:
yC = AB
C xB .
14
HOOFDSTUK 12. VECTORRUIMTEN
Bewijs: De volgende stappen spreken hopelijk voor zich. We beginnen met
y = A(x). Neem nu de coördinatenkolommen ten opzichte van C,
yC
= (A(x))C
n
∑
= (
xi A(bi ))C
=
i=1
n
∑
xi A(bi )C
i=1
= AB
C xB
2
Hier is een viertal voorbeelden van de vorm A : V → V , dus W = V . We kiezen
in beide copieën van V dezelfde basis B = C.
Voorbeeld 12.4.2. We nemen de projectie afbeelding (12.1) op pagina 11 met
n = (1, 1, 2) ten opzichte van de standaard basis e1 , e2 , e3 die we aangeven met
E. Er geldt
  
 

1
1
5/6
1
e1 · n
n =  0  −  1  =  −1/6  .
P (e1 ) = e1 −
|n|2
6
2
0
−1/3
Evenzo volgt


−1/6
P (e2 ) =  5/6  ,
−1/3


−1/3
P (e3 ) =  −1/3  .
1/3
De matrix van P ten opzichte van E wordt dus gegeven door

PEE
5/6 −1/6
=  −1/6 5/6
−1/3 −1/3

−1/3
−1/3  .
1/3
♢
Voorbeeld 12.4.3. Beschouw het platte vlak met een oorsprong en een
coördinatenkeuze zo dat we het kunnen identificeren met R2 . We beschouwen
nu de rotatie-afbeelding R van het vlak naar zichzelf met de oorsprong (0, 0)
als rotatiepunt, tegen de richting van de klok in, over een hoek α. Wij beweren dat R een lineaire afbeelding is. Om eigenschap (1) te zien kiezen we
twee vectoren a en b en draaien die beide om de hoek α. Hieronder staan het
optelparallellogram van a en b met daarnaast het resultaat na draaiing door
R.
15
a+
b
)
12.4. LINEAIRE AFBEELDINGEN IN EINDIGE DIMENSIE
R(
a
R(
b
R(
b)
a)
a+b
Uit het plaatje rechts is nu direct duidelijk dat de gedraaide somvector R(a+b)
precies de diagonaal is van het parallellogram opgespannen door R(a) en R(b).
Met andere woorden, R(a + b) = R(a) + R(b). Op analoge manier heeft voor
willekeurige λ ∈ R≥0 de gedraaide vector R(λa) precies dezelfde richting als
R(a) en is de lengte λ maal de lengte van R(a). Dus R(λa) = λR(a) als
λ ∈ R≥0 . Voor negatieve λ kunnen we een soortgelijk argument geven.
Als basis in R2 kiezen we de geordende standaard basis e1 , e2 die we kort
aangeven met E. De matrix die bij R hoort is de matrix waarvan de eerste
kolom gelijk is aan R(e1 ) en de tweede kolom R(e2 ) (beiden in gewone coordinaten, dus ten opzichte van e1 , e2 ). Ga zelf na dat
(
)
(
)
cos α
− sin α
R(e1 ) =
, R(e2 ) =
sin α
cos α
De matrix behorende bij R wordt dus
(
cos α
E
RE =
sin α
− sin α
cos α
)
.
♢
Voorbeeld 12.4.4. Zij R[X]3 de vectorruimte van polynomen van graad ≤ 3
en beschouw de lineaire afbeelding D : R[X]3 → R[X]3 gegeven door D :
p(X) 7→ p′ (X). Omdat bereik en domein hetzelfde zijn kunnen we voor B en C
dezelfde basis van de ruimte R[X]3 nemen. We kiezen B = {1, X, X 2 , X 3 }. De
afbeelding D losgeleten op deze elementen geeft achtereenvolgens 0, 1, 2X, 3X 2 .
Schrijven we deze vectoren uit ten opzichte van C = B, dan vinden we de
coördinaten kolommen
 
 
 
 
0
0
1
0
0
2
0
0
 ,  ,  ,  .
3
0
0
0
0
0
0
0
De matrix van D ten opzichte van B wordt dus


0 1 0 0
0 0 2 0
B

DB
=
0 0 0 3.
0 0 0 0
16
HOOFDSTUK 12. VECTORRUIMTEN
♢
Voorbeeld 12.4.5. Zij C de vectorruimte van complexe getallen over R. Kies
a + bi ∈ C. De afbeelding µ : C → C geven door µ : z 7→ (a + bi)z is linear. We
kiezen de natuurlijke basis B = {1, i} van C. Deze basisvectoren gaan onder µ
over in a + bi, −b + ai. De coördinaatkolommen van deze vectoren ten opzichte
van C = B zijn,
(
)
( )
a
−b
,
.
b
a
De matrix van µ ten opzichte van B wordt dus
(
)
a −b
.
b a
Controle, als we het complexe getal x + iy met a + bi vermenigvuldigen krijgen
we ax − by + (bx + ay)i. Matrixvermenigvuldiging levert
(
)( ) (
)
a −b
x
ax − by
=
.
b a
y
bx + ay
Vergelijk de resultaten!
√
Merk op ook dat de gevonden matrix precies a2 + b2 maal de draaiingsmatrix
(
) (
)
1
a −b
cos ϕ − sin ϕ
√
=
sin ϕ cos ϕ
a2 + b2 b a
waarin ϕ het argument van a + bi is.
♢
Stel we hebben een lineaire afbeelding A : V → W met dim(V ) = n, dim(W ) =
m. We definieren de rang van A als volgt. Kies een geordende basis B van V
en een geordende basis C van W . De matrix van A ten opzichte van deze bases
geven we aan met AB
C . De rang van A definieren we als de rang van de matrix
B
AC . Notatie rang(A).
Opdat rang(A) welgedefinieerd is, moet de rang van AB
C onafhankelijk zijn van
de keuze van B en C. Hiertoe merken we op dat de nulruimte van AB
C precies
gegeven wordt door de coördinatenkolommen van de vectoren uit ker(A). Dus
C
dim(ker(A)) = dim(Nul(AC
B )). We weten uit Stelling 4.3.2 ook dat rang(AB ) =
C
n − dim(Nul(AC
B ). En dus rang(AB ) = n − dim(ker(A)). Hiermee zien we
C
dat rang(AB ) onafhankelijk is van de keuze van B, C en bovendien zien we de
volgende stelling.
Stelling 12.4.6 Zij A : V → W een lineaire afbeelding tussen twee eindig
dimensionale vectorruimten V, W en stel n = dim(V ). Dan geldt,
dim(ker(A)) = n − rang(A).
Een speciaal geval van Stelling 12.4.1 is het geval dat W = V en A de identieke
afbeelding I : V → V gegeven door I : x → x. De stelling toegepast op y = x
luidt nu als volgt.
12.4. LINEAIRE AFBEELDINGEN IN EINDIGE DIMENSIE
17
Gevolg 12.4.7 Zij B, C een tweetal geordende bases van V en ICB de n × nmatrix die we krijgen door als i-de kolom de coördinaten ten opzichte van C
van de vector bi te nemen. Dan geldt
xC = ICB xB .
Dit gevolg is te interpreteren als de relatie tussen de B-coördinaten en Ccoördinaten van x. We noemen dit een coördinatentransformatie.
C )−1 .
Lemma 12.4.8 Met de notaties als boven geldt dat ICB = (IB
Bewijs:
Als we in Gevolg 12.4.7 B en C verwisselen dan zien we dat
C x . Anderzijds volgt door inverteren ook dat x = (I B )−1 x . We
xB = IB
C
C
B
C
C = (I B )−1 .
concluderen dat IB
C
2
Voorbeeld 12.4.9. Gegeven de vector v = (1, 1, 0)t in R3 . Beschouw nu
de geordende basis F van R3 bestaande uit f1 = (1, 2, 0)t , f2 = (0, 1, 1)t , f3 =
(1, 0, 1)t . Gevraagd wordt de coördinaten van v ten opzichte van F te bepalen.
Laten we de standaardbasis van R3 aangeven met E.
We zullen het eerst doen zonder de expliciete coördinatentransformaties aan te
geven. Er wordt gevraagd naar getallen y1 , y2 , y3 zó dat
 
 
 
  
 
1
1
0
1
1 0 1
y1
 1  = y1  2  + y2  1  + y3  0  =  2 1 0   y2  .
0
0
1
1
0 1 1
y3
Hieruit volgt dat

 
y1
1
 y2  =  2
y3
0
0
1
1

−1   
1
2/3
1
0   1  =  −1/3  .
0
1/3
1
De 3 × 3-matrix van daarnet is precies de matrix IEF . Volgens onze formules
geldt IEF = (IFE )−1 en vF = IEF vE . Voeren we deze berekening uit,

  
2/3
1
vF = IFE vE = (IEF )−1  1  =  −1/3  .
1/3
0
Kijk goed naar de parallel tussen de aanpak boven en de formules.
♢
Het zal duidelijk zijn dat de matrix van een lineaire afbeelding sterk afhangt van
de bases ten opzichte waarvan deze wordt uitgeschreven. Zij V, W en A : V →
W als aan het begin van deze paragraaf. In plaats van B, C kiezen we een tweetal andere geordende bases B ′ , C ′ van V respectievelijk W . Het verband tussen
B′
AB
C en AC ′ kan bepaald worden door de coördinatentransformatieformules uit
Gevolg 12.4.7. Er geldt
18
HOOFDSTUK 12. VECTORRUIMTEN
Stelling 12.4.10 Met de notaties als boven,
′
′
C B B
AB
C ′ = IC ′ AC IB .
Bewijs: Dit is een kwestie van uitschrijven. Kies een vector x ∈ V . We
moeten laten zien dat de matrix aan de rechterkant, losgelaten of xB ′ de
B ′ los
coördinatenkolom A(x)C ′ geeft. Dit gaat in stapjes. We laten eerst IB
op xB ′ . Dit geeft xB volgens Gevolg 12.4.7 toegepast op B = B ′ en C = B. De
matrix AB
C losgelaten op xB geeft A(x)C , de coördinatenkolom van A(x) ten
opzichte van C. laten we hier tenslotte ICC′ op los dan eindigen we met A(x)C ′ ,
zoals we wilden.
2
Stelling 12.4.10 wordt het meest gebruikt bij lineaire afbeeldingen van een
eindigdimensionale vectorruimte V naar zichzelf. We kiezen daarbij C = B
en C ′ = B ′ .
Gevolg 12.4.11 Zij V een eindigdimensionale vectorruimte en A : V → V
een lineaire afbeelding. Zij B, B ′ een tweetal geordende bases van V en gebruik
verder de notaties zoals boven. Dan geldt,
′
′
B B B
AB
B ′ = IB ′ AB IB .
Het bewijs volgt door Stelling 12.4.10 toe te passen met C = B, C ′ = B ′ .
Zij V een eindigdimensionale vectorruimte en A : V → V een lineaire afbeelding.
Kies een geordende basis B van V en zij AB
B de matrix van A ten opzichte van
B. Dan geldt dat det(AB
)
onafhankelijk
van de keuze van B is. Om dit te
B
zien maken we gebruik van de regels dat als M een n × n-matrix is en S een
inverteerbare n × n-matrix, dan det(SM S −1 ) = det(M ). Passen we dit toe met
B , M = AB dan vinden we
Gevolg 12.4.11 en S = IB
′
B
′
′
B B B
B B B −1
B
det(AB
B ′ ) = det(IB ′ AB IB ) = det(IB ′ AB (IB ′ ) ) = det(AB ).
We noemen det(AB
B ) determinant van de lineaire afbeelding A : V → V . Later
zal blijken dat ook het spoor (=som van de diagonaalelementen) van AB
B onafhankelijk is van de keuze van B. We kunnen dus ook spreken van het spoor
van de afbeelding A : V → V .
12.5
Vectorruimteconstructies
(Optioneel) Gegeven een aantal vectorruimten, dan is het vaak mogelijk om
daaruit op abstracte wijze nieuwe vectorruimten te creëren. Met deze constructies zullen we als beginners in de lineaire algebra niet veel in aanraking
komen. Later zullen ze evenwel van steeds groter belang worden in de algebra,
meetkunde en analyse.
1. Zij V, W een tweetal vectorruimten over R. De directe som van V en W is
de vectorruimte bestaande uit alle geordende paren (v, w), v ∈ V, w ∈ W
met als optelling (v1 , w1 ) + (v2 , w2 ) = (v1 + v2 , w1 + w2 ) en scalaire
vermenigvuldiging λ(v, w) = (λv, λw). Notatie V ⊕ W .
12.6. SCALAIREN
19
2. Zij V een vectorruimte en W een deelruimte. We zeggen dat twee vectoren
v1 , v2 ∈ V equivalent zijn modulo W als v1 −v2 ∈ W . De verzameling van
vectoren die equivalent modulo W zijn met een gegeven vector v noemen
we de equivalentieklasse van v. Notatie: v(mod W ). Merk op, als v1 ∈ V
en v2 ∈ V niet equivalent zijn modulo W dan zijn de klassen v1 (mod W )
en v2 (mod W ) disjunct. Als ze namelijk een element W gemeenschappelijk zouden hebben, dan v1 − w ∈ W en v2 − w ∈ W . Na verschil
nemen, v1 − v2 ∈ W en we hebben een tegenspraak. De ruimte V kan
dus opgedeeld worden in een disjuncte vereniging van equivalentieklassen
modulo W .
Zij v1 (mod W ) en v2 (mod W ) een tweetal klassen modulo W en w1 , w2
een tweetal elementen in de respectievelijke klassen. Dan geldt w1 − v1 ∈
W en w2 − v2 ∈ W . Na optelling, (w1 + w2 ) − (v1 + v2 ) ∈ W . Met andere
woorden, kiezen we twee elementen uit v1 (mod W ) respectievelijk v2
(mod W ) dan zal hun som altijd in de klasse v1 + v2 (mod W ) liggen.
Hiermee hebben we een optelling gedefinieerd op de equivalentieklassen
modulo W . Op dezelfde manier kunnen we een scalaire vermenigvuldiging invoeren, en daarmee krijgen de klassen modulo W een vectorruimte
structuur die we de quotientruimte zullen noemen. Notatie: V /W .
3. Zij V, W een tweetal vectorruimten over R. De verzameling lineaire afbeeldingen A : V → W vormen een vectorruimte als we optelling en
scalaire vermenigvuldiging als volgt definiëren: (A + B)x = Ax + Bx
voor alle x ∈ V en (λA)x = λ(Ax) voor alle λ ∈ R, x ∈ V . Notatie
Hom(V, W ).
4. Nemen we in het bijzonder in voorgaand voorbeeld W = R, dan krijgen
we de vectorruimte Hom(V, R), die we de duale vectorruimte noemen.
Notatie: V d . Een lineaire afbeelding V → R noemen we ook wel een
lineaire vorm op V . De duale vectorruimte is dus de ruimte van lineaire
vormen op V .
5. Zij V, W een tweetal vectorruimten over R. Het tensorproduct van V, W
bestaat uit alle (eindige) lineaire combinaties van symbolen v ⊗ w met
v ∈ V, w ∈ W die voldoen aan de volgende relaties
(a) λ(v ⊗ w) = (λv) ⊗ w = v ⊗ (λw) voor alle v ∈ V, w ∈ W, λ ∈ R.
(b) (v1 + v2 ) ⊗ w = v1 ⊗ w + v2 ⊗ w voor alle v1 , v2 ∈ V, w ∈ W .
(c) v ⊗ (w1 + w2 ) = v ⊗ w1 + v ⊗ w2 voor alle v ∈ V, w1 , w2 ∈ W .
Notatie: V ⊗ W . In het bijzonder, als V, W eindigdimensionaal zijn en
e1 , . . . , en is een basis van V en f1 , . . . , fm een basis van W , dan is ei ⊗ fj
met i = 1, 2, . . . , n; j = 1, 2, . . . , m een basis van V ⊗ W .
12.6
Scalairen
(Optioneel) De verzamelingen R en C zijn voorbeelden van zogenaamde lichamen.
Dat zijn verzamelingen waarin we een optelling en vermenigvuldiging met de
20
HOOFDSTUK 12. VECTORRUIMTEN
gebruikelijke regels hebben en waarbij we door elk element ongelijk aan nul
kunnen delen. De gehele getallen Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .} vormen bijvoorbeeld geen lichaam, want deling van een geheel getal door een ander geheel
getal levert niet altijd een geheel getal op. Daarentegen vormen de rationale
getallen (breuken) Q wel een lichaam. Een ander voorbeeld van een lichaam is
de verzameling van 2 elementen {0, 1} met als optelling
0+0=0
1+1=0
0+1=1
en vermenigvuldiging
0·0=0
0·1=0
1 · 1 = 1.
We geven dit lichaam aan met F2 .
We kunnen de vectorruimte axiomas en alle daarop volgende begrippen ook
hanteren als we een ander scalairenlichaam in plaats van R nemen. Vrijwel alles
uit dit hoofdstuk gaat op precies dezelfde manier door. Hier is een voorbeeld.
De reële getallen vormen een vectorruimte met als scalairen Q als we gebruikelijke optelling en scalaire vermenigvuldiging
(met elementen uit Q) nemen.
√
Beschouw de reële getallen 1, 2. Wij beweren dat ze lineair onafhankelijk
over √
Q zijn. Stel namelijk dat er a, b ∈ Q, niet beide nul, bestaan zó dat
natuurlijk b ̸= 0, want anders zou uit
a + b 2 = 0. Er geldt √
√ de relatie volgen
dat a ook nul is. Dus 2 = −a/b, met andere woorden, 2 is een rationaal
getal (een breuk). We weten echter dat dit niet
√ zo is. Dus onststaat er een
tegenspraak en we moeten concluderen dat 1, 2 onafhankelijk over Q zijn.
We zien hier een voorbeeld waarin lineaire onafhankelijk van getallen over Q
neerkomt op irrationaliteitseigenschappen van getallen.
Het is zelfs mogelijk om oneindige verzamelingen reële getallen aan te geven die
lineair onafhankelijk over Q zijn. Het bewijs hiervan is echter bijzonder lastig.
Voorbeelden zijn,
{1, e, e2 , e3 , . . .}
{1, π, π 2 , π 3 , . . .}
√ √ √ √ √
{1, 2, 3, 5, 7, 11, . . .}
Het laatste voorbeeld bestaat uit de wortels van alle priemgetallen.
Hier is iets wat je wellicht wèl kunt aantonen:
√
1. Laat zien dat de verzameling { n} met n positief geheel, afhankelijk is
over Q.
2. Laat zien dat de verzameling
{log 2, log 3, log 5, log 7, log 11, . . .}
de logaritmen van de priemgetallen, onafhankelijk is over Q.
12.7. OPGAVEN
12.7
21
Opgaven
Een aantal van de opgaven hieronder zijn ontleend aan het boekje ”Lineaire
Algebra”van Paul Igodt en Wim Veys.
Opgave 12.7.1. Controleer of de verzameling R2 = {(x, y)|x, y ∈ R} een
vectorruimte is met de optelling en scalaire vermenigvuldiging gedefinieerd als
volgt:
1. (x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + x2 − 1, y1 + y2 − 1) en λ(x, y) = (λx, λy).
2. (x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 ) en λ(x, y) = (λx, λy).
3. (x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + 2x2 , y1 + 2y2 ) en λ(x, y) = (λx, λy).
4. (x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 ) en λ(x, y) = (λx, y/λ) als λ ̸= 0 en
0(x, y) = (0, 0).
Opgave 12.7.2. Definieer voor x, y ∈ Rn twee bewerkingen ⊕ en · als volgt:
x ⊕ y = x − y,
λ · x = −λx
waarbij de bewerkingen in de rechterleden het gewone verschil en de gewone
scalaire vermenigvuldiging zijn. Aan welke vectorruimte axiomas voldoen deze
bewerkingen? en welke niet?
Opgave 12.7.3. Welk van de volgende verzamelingen met de voor de hand
liggende optelling en scalaire vermeningvuldiging vormen een vectorruimte?
1. De reële continue functies op het gesloten interval [0, 1].
2. De reële niet-negatieve functies op [0, 1].
3. De verzameling polynomen met coefficienten in R van exacte graad n.
4. De symmetrische n × n-matrices met elementen in R.
Opgave 12.7.4. Geef in de voorbeelden van pagina 4 van het dictaat de
nulvector aan.
Opgave 12.7.5. Laat in de voorbeelden op pagina 5 van het dictaat zien dat
de gegeven ruimten inderdaad lineaire deelruimten zijn.
Opgave 12.7.6. Welk van de volgende verzamelingen zijn deelruimten van de
gegeven vectorruimte over R? Leg uit.
1. W1 = {(x, y, z) ∈ R3 |xyz = 0}
2. W2 = {(x, y, z) ∈ R3 |x2 + y 2 − z 2 = 0}
3. W3 = {(x, y, z) ∈ R3 |x, y, z ∈ Q}
4. W4 = {(x, y, z) ∈ R3 |x2 + y 2 + z 2 ≤ 1}
∑
5. W5 = {A ∈ M3,3 (R)| 3i,j=1 Aij = 0}
22
HOOFDSTUK 12. VECTORRUIMTEN
6. W6 = {A ∈ M3,3 (R)|det(A) ̸= 0}
7. W7 = {A ∈ M3,3 (R)|At = A}
8. W8 = {A ∈ M3,3 (R)|At = −A}
9. W9 = {(x, y, z) ∈ R3 |x = 0 of y = 0}
10. W10 = {f : R → R|f (0) = 1}
11. W11 = {f : R → R|f (−x) = −f (x)}
∫1
12. W12 = {f : R → R|f is integreerbaar en
0
f (x)dx = 0}
13. W13 = Q ⊂ R
Opgave 12.7.7. Beschouw de functies f : R → R gegeven door
f (x) = cos2 x, g(x) = sin2 x, h(x) = 1, exp(x) = ex
als elementen van de vectorruimte van alle functies R → R. Bewijs dat f, g, h, exp
lineair onafhankelijk over R zijn.
Opgave 12.7.8. Welk van de volgende verzamelingen vectoren zijn onafhankelijk?
1. {(1, 2, 0), (2, −1, 1), (1, 7, −1)} in R3
{(
) (
) (
) (
−1 1
1 1
0 0
0
,
,
,
2.
0 0
0 0
1 0
0
0
1
)}
in M2,2 (R).
3. {X 3 + 2X 2 , −X 2 + 3X + 1, X 3 − X 2 + 2X − 1} in R[X].
Opgave 12.7.9. Laat zien dat {X +1, X 2 +1, X 2 +X} een basis is van R[X]≤2 ,
de vectorruimte over R van polynomen van graad ≤ 2. Bepaal de coördinaten
van elk van de vectoren 1, X, X 2 ten opzichte van deze basis.
Opgave 12.7.10. Zijn V de vectorruimte van symmetrische 2×2-matrices met
coefficienten in R. Bewijs dat de geordende drietallen
((
)
(
)
(
))
1 0
0 0
0 1
B1 =
,
,
0 0
0 1
1 0
((
en
B2 =
1
1
1
1
)
(
,
−1 1
1 0
)
(
,
0 1
1 2
))
elk een basis van V vormen.
Bepaal van elk element van B2 de coördinaten ten opzichte van B1 .
Bepaal van elk element van B1 de coördinaten ten opzichte van B2 .
Opgave 12.7.11. Beschouw de verzameling V gegeven door de rijen (xn )n≥1
(termen in R) die voldoen aan de differentievergelijking xn+1 = xn + xn−1 voor
n ≥ 2.
12.7. OPGAVEN
23
1. Schrijf de eerste vijf termen op van de rij beginnend met (0, 1, . . .).
2. Schrijf de eerste vijf termen op van de rij beginnend met (1, 0, . . .).
3. Laat zien dat met de voor de hand liggende optelling en scalaire vermenigvuldiging V een vectorruimte is van dimensie 2.
√
√
4. Stel η = (1 + 5)/2 en η ′ = (1 − 5)/2. Laat zien dat de rijen (η n )n≥1
en (η ′n )n≥1 voldoen aan de differentievergelijking.
5. Zij (un )n≥1 de oplossing van de differentievergelijking met begintermen
0, 1. Dit is de rij van Fibonacci. Geef een formule voor un in termen van
η n en η ′n .
Opgave 12.7.12. Zijn de volgende uitspraken juist of onjuist? Bewijs of geef
een tegenvoorbeeld.
1. Als S, T onafhankelijke deelverzamelingen zijn van een vectorruimte V ,
dan is S ∪ T ook onafhankelijk.
2. Als U, W deelruimten zijn van een vectorruimte V en BU een basis van U
en BW een basis van W , dan is BU ∩ BW een basis van U ∩ W .
3. Als U een deelruimte is van een vectorruimte V en v, w ∈ V zó dat
v + w ∈ U dan is v ∈ U en w ∈ U .
4. Zij V een n-dimensionale vectorruimte en Ui ⊂ V voor i = 1, . . . , r zó dat
U1 ⊂ U2 ⊂ · · · ⊂ Ur .
Als r ≥ n + 1 dan is er een index i zó dat Ui = Ui+1 .
5. Zij V een vectorruimte met basis {b1 , b2 , b3 }. Zij W = Span(b1 , b2 ).
Dan is er een basis van v1 , v2 , v3 van V met vi ̸∈ W voor i = 1, 2, 3.
Opgave 12.7.13. Beschouw de verzameling V = R>0 × R>0 met een optelling
en scalaire vermenigvuldiging ⊙ gedefineerd door
(x1 , y1 ) (x2 , y2 ) = (x1 x2 , y1 y2 ),
λ ⊙ (x, y) = (xλ , y λ ).
Is V met deze bewerkingen een vectorruimte over R?
Opgave 12.7.14. Los de opgave onderaan Voorbeeld ?? op.
Opgave 12.7.15. Welk van de volgende afbeeldingen zijn lineair? Bepaal de
kern en het beeld van de lineaire afbeeldingen en controleer de dimensiestelling.
1. L1 : R → R gegeven door L1 : x 7→ 2x + 1
2. L2 : R2 → R gegeven door L2 : (x, y) 7→ x + y
3. L3 : R2 → R gegeven door L3 : (x, y) 7→ |x − y|
4. L4 : R2 → R3 gegeven door L4 : (x, y) 7→ (sin x, 7y, xy)
24
HOOFDSTUK 12. VECTORRUIMTEN
5. L5 : R3 → R2 gegeven door L5 : (x, y, z) 7→ (3y + z, x − y − z)
6. L6 : M2,2 (R) → R gegeven door L6 : A 7→ det(A)
7. L7 : M2,2 → M2,2 gegeven door L7 : A 7→ At
8. L8 : R → R gegeven door L8 : x 7→ xn voor n > 1
9. L9 : R[X] → R[X] gegeven door L9 : Q(X) 7→ P (X)Q(X) voor vast
gegeven P (X) ∈ R[X].
10. L10 : F(R) → R gegeven door L10 | : f 7→ f (a) voor vast gegeven a ∈ R
(hier is F(R) de vectorruimte van reële functies met R als domein.
11. L11 : R → R gegeven door L11 : x 7→ ex .
Opgave 12.7.16. Bepaal de matrix van de lineaire afbeelding T : R[X]≤3 →
R[X]≤3 gegeven door T : f 7→ f ′′ − 4f ′ + f ten opzichte van de geordende basis
(X, 1 + X, X + X 2 , X 3 ).
Opgave 12.7.17. Beschouw de lineaire afbeelding L : R[X]≤4 → R2 gegeven
door
L : a + bX + cX 2 + dX 3 + eX 4 7→ (a + b, c + d + e)
en de geordende basis α = (1, 1 + X, (1 + X)2 , (1 + X)3 , (1 + X)4 ) voor R[X]≤4
en de geordende basis β = e1 + e2 , e1 − e2 ) van R2 .
1. Bepaal de coördinatentransformatie matrix van vectoren ten opzichte van
de basis α naar de standaardbasis 1, X, X 2 , X 3 , X 4 .
2. Bepaal de coördinaten van de vector X + X 3 + X 4 ten opzichte van de
basis α.
3. Bepaal de matrix van L ten opzichte van de standaardbases 1, X, X 2 , X 3 , X 4
en e1 , e2
4. Bepaal de matrix van L ten opzichte van de bases α en β.
Opgave 12.7.18. Beschouw de vectorruimte
R[X, Y ]≤2 = {aX 2 + bXY + cY 2 + dX + eY + f | a, b, c, d, e, f ∈ R}
met de voor de hand liggende optelling en scalaire vermenigvuldiging. Definieer
L : R[X, Y ]≤2 → R[X]≤2 door
L : f (X, Y ) 7→ f (X, 2).
1. Toon aan dat L lineair is.
2. Geef de matrix van L ten opzichte van de geordende bases (X 2 , XY, Y 2 , X, Y, 1)
en (X 2 , X, 1).
3. Bepaal kern, beeld en rang van L.
12.7. OPGAVEN
25
Opgave 12.7.19. Beschouw de volgende deelverzameling in de ruimte M2,2 (R)
van twee bij twee matrices
{(
)
}
a a+b
V =
|a, b, c ∈ R .
0
c
Bewijs dat V een deelruimte van M2,2 (R) is, die isomorf is met R3 .
Opgave 12.7.20. Bepaal twee onafhankelijke oplossingen van de lineaire differentiaalvergelijking
d2
d
y + 3 y − 4y = 0.
2
dx
dx
(hint: probeer oplossingen eλx met nader te bepalen λ.
Opgave 12.7.21. Bepaal twee onafhankelijke oplossingen van de lineaire differentiaalvergelijking
d2
3 d
3
y+
y − 2 y = 0.
2
dx
x dx
x
(hint: probeer oplossingen y = xa voor nader te bepalen a).
Opgave 12.7.22. De lineaire afbeelding A : R3 → R3 wordt gegeven door

 


 

   
1
5
2
6
1
3











A −1 =
4
, A −1 =
2
, A 1 = 4.
1
−4
1
−2
2
2
1. Bereken de matrix van A ten opzichte van de standaardbasis van R3 .
2. Zij gegeven de geordende basis




1
−2
f1 =  2  , f2 =  1  ,
−2
0
 
2
f3 =  4 
5
van R3 . Bepaal de matrix van A ten opzichte van f1 , f2 , f3 .
Opgave 12.7.23. Zij V en W een tweetal vectorruimten met geordende bases
e1 , e2 , e3 respectievelijk f1 , f2 , f3 . De lineaire afbeelding A : V → W wordt
gedefinieerd door A(e1 ) = f1 + f2 , A(e2 ) = 2f2 − f3 , A(e3 ) = 4f1 + 2f2 − f3 .
In V is een tweede basis e′1 = 3e1 + e3 , e′2 = e1 + 2e2 + e3 , e′3 = −e1 + 2e2 + 2e3
gegeven, en in W een tweede basis f1′ = f2 , f2′ = 3f1 + 2f2 + 3f3 , f3′ = −3f1 +
f2 + 2f3 .
1. Bereken de matrix van A ten opzichte van de bases e1 , e2 , e3 en f1 , f2 , f3 .
2. Bereken de matrix van A ten opzichte van de bases e′1 , e′2 , e′3 en f1′ , f2′ , f3′ .
3. Bewijs dat A een bijectieve afbeelding is en bereken de matrix van A−1
ten opzichte van e1 , e2 , e3 en f1 , f2 , f3 .
26
HOOFDSTUK 12. VECTORRUIMTEN
Opgave 12.7.24. In R3 zijn de vectoren
 
 
 
 
 
 
1
1
1
1
2
1











e1 = 1 , e2 = 0 , e3 = 1 , f1 = 1 , f 2 = 2 , f3 = 2 
0
1
1
2
1
2
gegeven.
1. Bewijs dat E = e1 , e2 , e3 en F = f1 , f2 , f3 een tweetal bases van R3 is.
2. Bereken de overgangsmatrix IFE .
3. De lineaire afbeelding A : R3 → R3 heeft ten opzichte van E de matrix


1 1 2
2 2 1.
3 1 2
Bereken de matrix van A ten opzichte van F .
Opgave 12.7.25. Zij e1 , e2 , e3 de standaard basis van R3 . De afbeelding
A : R3 → R3 wordt gegeven door A(x) = (e1 + e2 + e3 ) × x voor elke x ∈ R3 .
1. Bewijs dat A een lineaire afbeelding is.
2. Bereken de matrix van A ten opzichte van de standaard basis.
3. Zij f1 = e1 , f2 = e1 + e2 , f3 = e1 + e2 + e3 . Bereken de matrix van A ten
opzichte van f1 , f2 , f3 .
Opgave 12.7.26. Zij W1 , W2 een tweetal deelruimten van een vectorruimte V .
Laat zien dat W1 ∩ W2 een deelruimte van V is.
Opgave 12.7.27. Zij W1 , W2 een tweetal deelruimten van de vectorruimte V .
Laat zien dat W1 ∪ W2 een deelruimte is precies dan als W1 ⊂ W2 of W2 ⊂ W1 .
Opgave 12.7.28. Zij W1 , W2 een tweetal eindigdimensionale deelruimten van
een vectorruimte V . Laat zien dat W1 + W2 eindigdimensionaal is en dat
dim(W1 + W2 ) = dim(W1 ) + dim(W2 ) − dim(W1 ∩ W2 ).
(Hint: breidt een basis van W1 ∩ W2 uit tot een basis van W1 en van W2 ).
Opgave 12.7.29. Als S1 , S2 niet-lege deelverzamelingen van een vectorruimte
V zijn, dan geven we met S1 + S2 de verzameling {x + y|x ∈ S1 , y ∈ S2 } aan.
Stel dat W1 , W2 deelruimten van V zijn. Laat zien dat W1 + W2 een deelruimte
van V is die W1 , W2 omvat. Laat ook zien dat W1 + W2 de kleinste deelruimte
van V is die W1 en W2 omvat (dat wil zeggen, elke deelruimte die W1 en W2
bevat moet ook W1 + W2 bevatten).
Opgave 12.7.30. Zij V, W een tweetal vectorruimten en A : V → W een
lineaire afbeelding.
1. Bewijs, als dim(V ) < dim(W ), dan is A niet surjectief.
2. Bewijs, als dim(V ) > dim(W ), dan is A niet injectief.