Functies en veranderingen in de derde graad TSO met twee

Smaakmakers in lessen wiskunde
Gilberte Verbeeck
Kortrijk, 22 november 2014
INHOUD
Inleiding............................................................................................................................... 3
1
Goochelen en wiskunde ................................................................................................... 4
1.1
Goochelen met kaarten .............................................................................................. 4
1.1.1
Kaarten verplaatsen ............................................................................................ 4
1.1.2
Tweemaal kleuren breken .................................................................................... 5
1.1.3
Volgorde voorspellen - Kaarten verwisselen ............................................................ 6
1.1.4
Kaarten vinden zelf de kaart ................................................................................. 7
1.1.5
Aantal kaarten voorspellen ................................................................................... 8
1.2
De Einstein truc ........................................................................................................ 9
1.3
Rekentrucjes .......................................................................................................... 10
1.3.1
Bliksemsnel vermenigvuldigen. ........................................................................... 10
1.3.2
De erfenis ........................................................................................................ 11
1.3.3
Snel rekenen met de rij van Fibonnaci ................................................................. 11
1.4
Goochelen en meetkunde: Fibonacci en verdwijnen ..................................................... 13
2
Wiskunde in de keuken: experimenteel werken ................................................................ 16
2.1
Koffie en exponentiele functies.................................................................................. 16
2.2
Koekjes en herhalingscombinaties ............................................................................. 18
2.3
Een exponentiele radioactieve les. ............................................................................. 19
2.4
Cake en inhouden ................................................................................................... 20
3
Wiskunde en spelen ...................................................................................................... 20
3.1
De torens van Hanoi ................................................................................................ 20
3.2
Formules inoefenen met een dominospel .................................................................... 23
3.3
Verbanden leggen met een kwartetspel ...................................................................... 24
4
Werken met film en (online) kranten of magazines. .......................................................... 26
4.1
Het drie deuren probleem......................................................................................... 26
4.2
Aardbevingen en de schaal van Richter ...................................................................... 29
4.3
(Politieke) peilingen in de media. .............................................................................. 29
4.4
YouTube filmpjes..................................................................................................... 31
4.5
Film in de handel en clips op het net. ......................................................................... 32
5
Werken met regelmatige veelhoeken en wiskunst ............................................................. 33
2
Inleiding
Je lessen met smaak brengen, is dat niet wat elke leerkracht wenst? Bij het voorbereiden van deze
nascholing zijn we gaan grasduinen in boeken, tijdschriften, artikelen en het onuitputbare internet.
Vooral dit laatste brengt een gigantisch aantal mogelijkheden binnen ons bereik. Maar wat is
bruikbaar? En wanneer? En hoe? Een oefening voor elke individuele leerkracht… Des te meer
ervaring je hebt als leerkracht, des te meer je beseft hoe moeilijk onze opdracht is. Er bestaan geen
kant en klare oplossingen voor dé smaakmaker van de wiskundeles. Wat in de ene situatie prachtig
is, werkt in een andere situatie helemaal niet.
Deze cursus geeft een aantal ideeën. We hopen hiermee wat prikkels te geven. Het zal vooral de
houding zijn van de leerkracht, misschien zelfs het charisma, het acteertalent, het bespeeltalent om
net dat ietsje extra in de les te leggen zodat leerlingen zeggen: ‘He, dit was boeiend’ of ‘Hoe kan
dat?’.
Soms gaat het enkel over de juiste insteek… een voorbeeldje: Een leerkracht wiskunde heeft net het
getal e ingevoerd. Hij bouwt een heel verhaal rond speciale irrationale getallen in de wiskunde. In
essentie geeft hij de volgende opdracht aan zijn leerlingen;
‘e, i en

zijn enkele speciale getallen in de wiskunde. Bereken e i ’.
Geef toe … een verrassende uitkomst die je klas in verwondering kan brengen… als je het maar goed
speelt. Het is geen verplichte leerstof om de formule van Euler te onderwijzen. Het is echter een
kleine smaakmaker vanuit de exacte hoek die heel anders overkomt dan wanneer je doceert: ‘De
formule van Euler is e i  1  0 .’ Je kunt deze ‘mooiste formule ooit’ met wat moeite ook met
secundaire
school
wiskunde
bewijzen
zoals
je
kan
lezen
op
http://www2.cs.kuleuven.be/~paul/PYTHAGORAS_JG50_No5_p23-25.pdf.
Een uitdaging dus… hoe scheppen we een sfeer waarbij de leerlingen genieten van de schoonheid
van ons vak?
En… heb jij nog leuke smaakmakers? Stuur ze naar [email protected] en vermeld
hierbij of jouw idee mag opgenomen worden in een artikel van Uitwiskeling. Op deze manier kan je
je idee delen met heel wat andere leerkrachten.
3
1 Goochelen en wiskunde
Heel wat goocheltrucs zijn gebaseerd op wiskundige principes of wetenswaardigheden. Eens we deze
principes kennen en ons geheugen trainen, kunnen we behoorlijk verrassend uit de hoek komen. De
goochelaar zegt hierover echter: ‘Dit zijn slechts puzzels. Je bent hiermee nog niet aan het
goochelen. Het publiek zou de puzzel kunnen oplossen of kent het principe.’ De goochelaar brengt
magie, doet zijn publiek verstomd staan… is de beste wiskundige te snel af.
We bekijken een voorbeeld waarbij een wiskundig principe aan de basis ligt.
Principe: Als je de elementen van een rij met hun volgorde kent en je verandert de volgorde niet,
dan moet je maar een element kennen om elk ander element terug te kunnen vinden. Op een
kaartspel toegepast: Als je een kaartspel niet echt schudt, blijven de kaarten in dezelfde volgorde
zitten. Met niet echt schudden bedoelen we o.a. ‘couperen’: een hoopje afnemen van de stok en het
andere hoopje er terug opleggen of schudden op een welbepaalde manier.
Simpele goocheltruc: Vraag iemand uit het publiek een kaart te kiezen en deze bovenop de stapel te
leggen. Je moet enkel de onderste kaart kennen om de kaart van het publiek terug te vinden.
Goocheltruc: Denk aan een kaart. Tel op welke plaats ze ligt in de stapel. Zeg dat getal niet.
Coupeer de kaarten zo veel als je wil. De goochelaar vindt ze toch terug. Hoe kan dat? Hier komt de
handigheid en de timing van de goochelaar aan te pas.
In 2012 gaven Michel en ik in Kortrijk een volledige workshop op de dag van de wiskunde over
‘Goochelen en wiskunde’. In wat volgt lees je een aantal andere trucs. Het goochelen is een leuke
smaakmaker om leerlingen te prikkelen. Het kan gewoon een tussendoortje zijn waarbij je enkel je
leerlingen even wil verrassen of animeren. Heel wat trucs zetten echter aan om met leerlingen te
werken rond probleemoplossend denken: hoe zit de truc in elkaar? Hoe werkt hij? Is er onderliggend
een wiskundig model op te stellen dat de truc verklaart?. Een aantal trucs sluiten rechtstreeks aan
bij onderwerpen van de leerplannen. Een dergelijke truc kan je bij de aanbreng of het behandelen
van een bepaald wiskundig begrip gebruiken.
Goocheltrucjes kunnen leuk zijn, als afwisseling in de les, maar het is niet meer dan een hulpmiddel,
en dus op zichzelf even onbelangrijk als andere hulpmiddelen (bijvoorbeeld computers). De
wiskundige inhoud van de les en de keuze van de opgaven vinden we belangrijker dan de gebruikte
media. Afwisseling is de beste saus om leerlingen gemotiveerd en aandachtig te houden: denk dus
niet dat we ervoor pleiten om dagelijks of wekelijks te gaan goochelen.
Het doel blijft om via de juiste insteek leerlingen te prikkelen of te motiveren voor de boeiende
wereld van de wiskunde.
1.1 Goochelen met kaarten
1.1.1 Kaarten verplaatsen
Voorbereiding
Je hebt de kaarten van 1 tot 9 nodig uit een stok kaarten. De kleuren maken niet uit. Ideaal is om
over grote kaarten te beschikken.
Uitleg
Je legt 9 kaarten in een rij in volgorde omgedraaid op tafel. Het publiek mag een aantal kaarten
verplaatsen in volgorde van de linkerkant van de rij naar de rechterkant. De goochelaar doet dit één
keer voor. Hij verplaatst een aantal kaarten. Hij laat het publiek bepalen hoeveel kaarten hij moet
verplaatsten, bv 3. Hij draait dan één kaart om en dat is een 3, precies de kaart die aangeeft
hoeveel kaarten hij verplaatste. Elke keer na een verplaatsing draait hij de kaart om waar precies
het aantal verplaatste kaarten op staat. Een 9 komt overeen met 0 of 9 verplaatste kaarten.
Wiskunde achter die uitleg
4
De eerste stap is belangrijk. De kaarten liggen op volgorde van 1 tot 9 van links naar rechts. Als het
publiek wil dat de goochelaar 3 kaarten verplaatst, zal bij de eerste stap de kaart met een 3 op de
laatste plaats in de rij liggen, waar voordien 9 lag. 9 zelf ligt op plaats 3+1 als we van rechts
beginnen tellen.
1 2 3 4 5 6 7 8 9
wordt
4 5 6 7 8 9 1 2 3
Het aantal kaarten dat men bij een volgende stap verplaatst zal dan liggen op plaats 4 als we van
rechts beginnen tellen (de plaats waar nu de 9 ligt). Stel dat men geen kaarten verplaatst, dan
draait de goochelaar 9 om en dat staat voor 0. Stel dat men 5 kaarten verplaatst dan zal de 5 de
plaats van de 9 ingenomen hebben.
4 5 6 7 8 9 1 2 3
wordt
9 1 2 3 4 5 6 7 8
Bij de volgende stap zal het aantal kaarten op plaats 4+5 liggen van rechts te tellen, nl. op de 9 de
plaats van rechts. We volgen dus waar 9 ligt. De goochelaar moet telkens de 2 vorige posities
onthouden en optellen. Stel dat we 4 kaarten verplaatsen dan ligt 4 op de 9 de positie van rechts te
tellen.
9 1 2 3 4 5 6 7 8
wordt
4 5 6 7 8 9 1 2 3
Bruikbaarheid in wiskundelessen
Animatie of probleem oplossend denken.
1.1.2 Tweemaal kleuren breken
Voor de volgende twee trucs maak je vooraf een spel kaarten klaar.
Voorbereiding 1
Neem een kaartspel. Steek een aantal kaarten klaar volgens afwisselend rode en zwarte kaarten.
Uitleg
Laat één persoon de kaarten een aantal keer couperen. Hij laat 2 andere personen elk een kaart
kiezen van bovenop de stapel en geeft de stok terug aan de goochelaar. De 2 personen moeten hun
kaarten goed onthouden. Persoon 1 legt de kaart eerst terug op de stapel en vervolgens persoon 2.
De goochelaar laat een vierde persoon de kaarten couperen en haal vervolgens vlotjes de juiste
kaarten uit de stapels zonder deze aan het publiek te laten zien.
Wiskunde achter de uitleg
Door kaarten te couperen verandert de volgorde waarin de kaarten steken niet. De 2 personen
leggen echter kun kaarten in omgekeerde volgorde op de stapel dan dat ze deze namen. Hierdoor is
de schakel rood-zwart doorbroken. Je haalt uit het kaartspel die twee kaarten die deze schakel niet
meer volgen.
Voorbereiding 2
Steek je stok klaar met rode en zwarte kaarten samen.
Uitleg
Leg één rode en één zwarte kaart op tafel. Laat je publiek de kleur voorspellen van de volgende
kaarten die je in je handen hebt. Leg elke kaart met de rug bij de kleur die het publiek aangeeft. Als
het publiek rood zegt, leg je de kaart met de rug naar boven onder de rode kaart. Halverwege wissel
5
je. Als het publiek rood zegt, zeg je dat ze een foutje maken en laat je de kaart zien. Je legt de
kaart bij de zwarte kaart. Op het einde liggen er 4 stapels telkens bij de zwarte of de rode kaart. Als
de goochelaar de stapels laat omdraaien of zelf omdraait blijk de kleuren juist te liggen: rode
kaarten bij de rode kaart en zwarte bij de zwarte kaart.
Wiskunde achter de uitleg
Er komt niet veel wiskunde bij deze truc kijken. Nadat de twee kaarten bloot op tafel gelegd zijn,
heeft de goochelaar nog 50 kaarten in de hand. 25 rode en 25 zwarte. Wat het publiek ook zegt, de
eerste kaarten zijn allemaal rode. Dus onder de rode kaart liggen allemaal rode kaarten en onder de
zwarte ook. Halverwege, dus bij de 26 ste kaart, maakt het publiek zogezegd een fout. De goochelaar
draait de eerste zwarte kaart om en maakt zo de aanzet voor twee nieuwe stapeltjes deze keer met
allemaal zwarte kaarten. Eens alle stapeltjes liggen, doet de goochelaar aan misleiding bij het
omdraaien. Twee stapeltjes met rode en respectievelijk zwarte kaarten moeten verwisseld worden
om netjes allemaal rode en zwarte kaarten onder de oorspronkelijke blote rode en zwarte kaart te
krijgen.
Bruikbaarheid in wiskundelessen
Animatie of probleem oplossend denken.
1.1.3 Volgorde voorspellen - Kaarten verwisselen
Voorbereiding
Neem de kaarten van 1 tot en met 9 in de juiste volgorde 1,2,3….9. Neem ze bedekt in uw hand,
dus de 1 van boven, 2 eronder enz.
Uitleg
Het publiek mag kiezen uit twee mogelijkheden: ofwel de kaart bloot op de tafel leggen ofwel twee
kaarten verwisselen. Doe dit voor. Draai de 1 om en leg de kaart 1 bloot op tafel. Verwissel de
bedekte kaart 2 en bedekte kaart 3, draai ze samen om en leg ze bloot op tafel. Kaart 3 leg je dus
bovenop kaart 1 en daarboven komt kaart 2. Herhaal dit, dus “ofwel een kaart op tafel” en leg 4
bloot, “ofwel 2 kaarten verwisselen van positie “ en leg 6 en 5 bloot boven op 4. Je laat zo zien dat
de volgorde voortdurend wijzigt. Als er op het einde één kaart over is, leggen we die kaart gewoon
boven op de stapel. Verwissel is dan niet meer aan de orde omdat we maar één kaart mee hebben.
Het publiek mag beslissen of de kaarten verwisseld moeten worden of niet. De goochelaar zal
daarna de kaarten toch terug goochelen op de goede volgorde. Dit doen we natuurlijk door de
kaarten BEDEKT op tafel te leggen want anders zouden we kunnen zien in welke volgorde de
kaarten liggen. Vraag aan een persoon in het publiek om willekeurig “wisselen” of “niet” te zeggen.
Niemand mag de volgorde van de kaarten zien!!! Dus de kaarten steeds goed bedekt houden. Vraag
nu aan enkele andere personen om hetzelfde te doen zodat de kaarten goed door elkaar zitten. Als
het publiek overtuigd is dat de kaarten erg door elkaar zitten dan gaat de goochelaar ze met enkele
verwisselingen toch terug op de goede plaats steken want hij heeft zogezegd alle verwisselingen
onthouden. De goochelaar verwisselt nu enkele paren van kaarten volgens hetzelfde systeem als
hierboven, draait de kaarten om en ze zitten allemaal in de goede volgorde. Het kan zijn dat ze nu
in omgekeerde volgorde zitten namelijk 9,8,7... maar door de kaarten toch van 1 naar 9 op tafel te
leggen valt dit niet zo op.
Wiskunde achter de uitleg
Doordat de kaarten bedekt op tafel worden gelegd blijft hun positie onveranderd. Stel we wisselen
kaarten 2 en 3: kaart 2 lag boven kaart 3, we steken nu kaart 2 onder kaart 3 en leggen dit kleine
stapeltje bedekt op kaart 1. Dus wordt de volgorde op tafel onderaan 1, dan 2 dan 3. Dus geen
wijziging van volgorde. Het enige wat gebeurt, is dat de totale volgorde wordt omgedraaid. We zijn
gestart met een stapeltje in ons hand met 1 bovenaan. Als we de negen kaarten op tafel hebben
6
gelegd nemen we het stapeltje bedekt in ons hand en nu ligt kaart 9 boven aan. Maar de globale
volgorde is niet gewijzigd.
Bruikbaarheid in de wiskundeles
We kunnen aan de uit te voeren bewerking functies koppelen. De eerste twee functies zorgen al dan
niet dat de volgorde van de kaarten verandert
𝑓1 : leg de kaart bedekt op tafel
geen verandering van volgorde
𝑓2 : eg de kaart bloot op tafel
volgorde verandert
𝑓3 : verwissel de kaart met de volgende op de stapel
Stellen we twee functies samen dan krijg je het volgende op tafel
𝑓1 (𝑓3 ): stapel is van in de hand 1 van boven naar op tafel 9 van boven - bedekt
𝑓2 (𝑓3 ): 2,1,4,3,6,5,8,7,9 - bloot
We laten eerst 𝑓2 (𝑓3 ) zien aan publiek als misleiding om vervolgens 𝑓1 (𝑓3 ) uit te voeren.
1.1.4 Kaarten vinden zelf de kaart
Voorbereiding
Neem een normaal kaartspel met 52 kaarten.
Uitleg
Laat het publiek negen willekeurige kaarten kiezen en ze bloot op tafel leggen zodat het publiek de
kaarten kan zien maar jij niet. Vraag om een willekeurig kaart te kiezen. Het publiek ziet welke
kaart dit is en houdt ze even bij. Laat hen de 8 overblijvende kaarten bedekt op tafel leggen. Nu
mag jij de situatie bekijken. Maak een stapeltje van de bedekte kaarten. Laat hierop de gekozen
kaart met de rug naar boven leggen. De rest van het kaartspel leg je bovenop dit stapeltje met de
rug naar boven.
De kaarten zullen beslissen waar de gekozen kaart zich bevindt! Je draait een voor een de kaarten
om en telt hierbij af van 10 naar 1. Als een kaart de waarde heeft die je juist noemde stop je en
start je een nieuw stapeltje. Dus je neemt de stapel kaarten en legt de bovenste kaart bloot op tafel
en zegt 10. Als deze kaart een 10 is stop je, anders tel je verder. Je legt de volgende kaart er boven
op en telt 9. Als deze kaart een 9 is, stop je, anders tel je verder. Zo doe je verder totdat je aan één
komt. Stel dat je bij één geen overeenkomst hebt, dan leg je bovenop de laatste blote kaart nog een
kaart met de rug naar boven. Je herhaalt dit totdat je vier stapeltjes hebt.
Stel dat je nu een stapeltje met een zeven als bovenste kaart, een tweede stapeltje met zes, een
afgedekt stapeltje en een vierde stapeltje met één als bovenste kaart. Je hebt ook nog een hoopje
kaarten in uw hand. Je begint uit uw hoopje kaarten, kaarten bloot te leggen en stopt bij de kaart
die door het publiek gekozen werd. Hiervoor tel je het aantal kaarten dat zichtbaar ligt van het
hoopje kaarten in hun hand. In dit geval is dat 7+6+0+1 = 14. De veertiende kaart van uw hoopje
is de gezochte kaart. Het minst leuke is als je nooit overeenkomst hebt, dan heb je vier afgedekte
stapeltjes, de gezochte kaart is dan de kaart die het vierde stapeltje afdekt, maar de kans dat dit
zich voordoet is erg klein.
Wiskunde achter de uitleg
De gezochte kaart zit op de 44ste positie namelijk 43 kaarten, de gekozen kaart en daaronder de
acht niet gekozen kaarten. We maken vier stapeltjes en die zijn steeds ‘elf waard’. Namelijk 10 + 1
afgedekte kaart als er geen overeenkomst is. Of bij overeenkomst bv. bij het getal zeven, telden we
10-9-8-7 dus er liggen al vier kaarten en nadien nemen we voor deze stapel nog eens zeven kaarten
van het laatste hoopje, dus 4+7 is ook 11. De vier stapeltjes verplichten ons steeds om de 44ste
kaart om te draaien
Bruikbaarheid in de wiskundeles
Rekenen en problem solving
7
1.1.5 Aantal kaarten voorspellen
Voorbereiding
Je neemt een gewoon spel kaarten.
Uitleg
We schudden een pak van 52 kaarten. Dan maken we vier stapeltjes: we nemen de bovenste kaart
en kijken welke kleur dat is. Een zwarte kaart leggen we bloot op stapeltje Z0, een rode kaart
leggen we op stapeltje R0. Voor elke kaart die we op deze stapeltjes leggen, leggen we ook een
bedekte kaart op het stapeltje eronder.
Z0
Z
Z1+R1
R0
R
Z2+R2
Dus stel dat we een zwarte kaart leggen op Z0, dan leggen we een bedekte kaart op Z, daarna
trekken we bijvoorbeeld een rode kaart die leggen we op R0 en we leggen een bedekte kaart op
stapeltje R. In de stapeltjes Z en R zit dus een ongekende mengeling van zwarte en rode kaarten.
De goochelaar voorspelt dat er evenveel zwarte kaarten in Z zitten als rode kaarten in R. Het publiek
controleert. De goochelaar neemt nu stapeltje Z, het publiek krijgt het stapeltje R. De goochelaar
bekijkt zijn kaarten eens goed en kan dan zeggen hoeveel zwarte en rode kaarten er in stapeltje R
zitten.
We kunnen het nog iets ingewikkelder doen lijken door aan het publiek te vragen of ze kaarten uit
stapeltjes Z willen verwisselen met kaarten uit stapeltje R. Het geruilde aantal kaarten moet
hetzelfde zijn: dus als men 3 kaarten uit stapel Z neemt, moet men ook 3 kaarten uit stapel R
teruggeven aan stapel Z.
Wiskunde achter de uitleg
We kunnen de gegevens omzetten in vergelijkingen. Het aantal zwarte in Z noemen we Z1, het
aantal rode in Z noemen we R1. Analoog voor stapeltje R met Z2 en R2 kaarten. We hebben bij het
neerleggen de kaarten niet geteld dus Z0, Z1, Z2, R0, R1 en R2 zijn onbekenden.
We verdelen 52 kaarten in twee, nl. de bovenste stapels en de onderste:
(1) Z0+R0 =26 en (2) Z1+R1+Z2+R2 = 26
Voor elke kaart die we in Z0/R0 leggen, leggen we een kaart in Z/R:
(3) Z0=Z1+R1 en (4) R0= Z2+R2
Totaal aantal zwarte kaarten in kaartspel = 26 = totaal aantal rode kaarten in kaartspel:
(5) Z0+Z1+Z2 = 26 en (6) R0+R1+R2 =26
We maakten een stelsel met 6 vergelijkingen.
Als we (3) en (5) combineren en (4) en (6) krijgen we achtereenvolgens
Z1+R1+Z1+Z2=26 en Z2+R2+R1+R2=26
2Z1+R1+Z2=2R2+R1+Z2
2Z1=2R2
R2=Z1 (7)
De bewering dat het aantal rode kaarten in R gelijk is aan het aantal zwarte kaarten in Z geldt altijd.
Als de goochelaar stapeltje Z neemt, zijn Z1 en R1 geen onbekende. Het aantal rode kaarten R2
kent hij nu exact door te kijken naar het aantal zwarte kaarten die hijzelf vastheeft. We moeten
enkel nog Z2 oplossen in functie van Z1 en R1 om het aantal zwarte kaarten in R te bepalen.
8
Combineer (7) en (4): R0=Z2+Z1. Uit (1) vinden we dat R0=26-Z0 en dus is 26-Z0=Z2+Z1.
Combineer dit met (3) en je vindt 26-Z1-R1 = Z2 +Z1 en dus is Z2=26-2xZ1-R1 (8)
Dus om het aantal zwarte kaarten te bepalen in stapel, trekken we twee keer het aantal zwarte
kaarten dat we vast hebben en een keer het aantal rode kaarten dat we vast hebben af van 26 en
we kennen de oplossing.
Het versteken van kaarten door het publiek heeft geen invloed op onze vergelijkingen. Stel we
versteken m zwarte en n rode kaarten van Z naar R, en p zwarte en q rode kaarten van R naar Z
waarbij het aantal kaarten in de stapel niet verandert. Dus m+n=p+q. Dan wordt het aantal kaarten
in Z:
Z= Z1+R1, geeft Z= (Z1-m+p)+(R1-n+q) = Z’1 +R’1 na het versteken van kaarten.
Analoog voor R: R= Z2+R2, geeft R= (Z2-p+m)+(R2-q+n) = Z’2+R’2.
Analoog als bij de vorige bewering kunnen we nu aantonen dat R’2=Z’1 en Z’2=26-2xZ’1-R’1.
Bruikbaarheid in de wiskundeles
Deze truc is gebaseerd op algebra. Hij kan gebruikt worden in lessen over vergelijkingen en stelsels
van vergelijkingen.
1.2 De Einstein truc
Voorbereiding
Een doos of schaal met een 100-tal koperen muntjes, bv allemaal 5 eurocent. De precieze
hoeveelheid maakt niet uit.
Uitleg
Je nodigt iemand van het publiek uit en voert het volgende gesprek:
 Neem wat muntjes, niet te veel.
 Ik neem er ook een deel (zorg er voor dat je er meer neemt).
 We tellen allebei onze muntjes.
 Ik heb evenveel muntjes als jij.
 Ik heb er een aantal (bv2) meer.
 Nu heb ik er nog zoveel meer om jouw totaal op een bepaald aantal cent (bv 50) te brengen.
 Leg nu jouw muntjes op tafel en bepaal hoeveel geld je hebt.
 De goochelaar legt evenveel muntjes neer, het aantal meer en vult met de rest van zijn
muntjes het bedrag aan tot het aantal dat hij vermeldde.
Wiskunde achter de uitleg
De goochelaar telt zijn eigen munten en bepaalt hoeveel geld hij in zijn handen heeft. Dat is het
bedrag dat hij vermeldt. Hij zal het bedrag van de vrijwilliger aanvullen tot dit bedrag.
Een voorbeeld: De vrijwilliger uit het publiek heeft 11 munten. De goochelaar heeft 20 munten. Hij
zegt: ‘Ik heb er 3 meer en dan nog genoeg om jouw bedrag aan te vullen tot €1’. Hij telt 11 munten
af en legt er dan nog 3 bij. Hij vraagt hoeveel geld dat al is. Men rekent en vindt 70 cent. De
goochelaar telt verder met het bedrag en vult aan tot 75, 80, 85… en uiteindelijk 100 cent of €1. Hij
had immers nog 6 muntstukken.
Bruikbaarheid in de wiskundeles
Rekenen en problem solving.
9
1.3 Rekentrucjes
Voor de rekentrucjes heb je geen voorbereiding nodig. Vaak heb je aan bord, krijt, papier en pen
genoeg.
1.3.1 Bliksemsnel vermenigvuldigen.
Uitleg
Je schrijft het volgende getal op een bord of flap: 5 882 352 941 176 470. Je vraagt het publiek een
getal te geven tussen 1 en 16 of 17. Jij vermenigvuldigt deze twee getallen supersnel.
Wiskunde achter de uitleg
Je vermenigvuldigt het getal van het publiek enkel met 5. Als je vermenigvuldigt met een getal:
 van 1 tot en met 7, ga je op zoek naar het getal in de rij dat net groter is. Je schrijft vanaf
dit getal alle cijfers in dezelfde volgorde op en voegt één 0 toe, dit is het gevraagde product;
 Van 8 tot en met 14, ga je op zoek naar het getal dat niet net groter is maar het daarop
volgende, je vult weer alle cijfers in volgorde aan met nog een 0;
 Van 15 tot en met 16, ga je op zoek naar het 3de volgende getal;
 17. De uitkomst is dan 100 000 000 000 000 000
Kijk eens naar het omgekeerde van 17: 0,05882352941176470. Vind eenzelfde truc voor 19.
Bruikbaarheid in de wiskundeles
Problem solving, onderzoekscompetenties.
Ik heb de precieze verklaring of het bewijs voor de methode nog niet gevonden. Zoek mee en breng
me op de hoogte. Bij mijn zoektocht naar de verklaring voor bovenstaande vond ik allerlei rond het
getal 17 op http://weetlogs.scilogs.be/index.php?op=ViewArticle&articleId=580&blogId=11
Een voorbeeldje:
Wisten jullie dat je op de volgende manier kan nagaan of een getal deelbaar is door 17:
neem het laatste cijfer 5 maal, en trek het resultaat af van je oorspronkelijke getal waar je het
laatste cijfer van weggelaten hebt.
Dus bijvoorbeeld:
90 826 302 424 wordt 9 082 630 222
want je trekt van 9 082 630 242 het getal 20 (=4 x 5) af.
Herhaal de procedure:
9 082 630 222 wordt 908 263 012
908 263 012 wordt 90 826 291
90 826 291 wordt 9 082 624
9 082 624 wordt 908 242
908 242 wordt 90 814
90 814 wordt 9 061
9 061 wordt 901
901 wordt 85
Dan stopt het. Indien het getal dat overblijft deelbaar is door 17, dan is het startgetal dat ook.
Wiskunde achter dit algoritme
Als x het gegeven getal is, met a als laatste cijfer, dan kunnen we schrijven: 𝑥 = 10. 𝑏 + 𝑎. En
dus is het volgende getal in het algoritme:𝑦 = 𝑏 − 5𝑎. En dus: 𝑥 = 10𝑦 + 51𝑎.
Omdat 51 een veelvoud van 17 is (en omdat 10 geen gemene delers heeft met 17) zien we dat x
deelbaar is door 17 enkel als y dit is.
10
1.3.2 De erfenis
Voorbereiding
Niets of maak (een tekening van) 11 kamelen en een magiër om je verhaal visueel te maken.
Uitleg
Vertel het volgende verhaal. Een vader verdeelt zijn erfenis van 11 kamelen als volgt: zoon 1 krijgt
de helft, zoon 2 krijgt ¼ en zoon 3 krijgt 1/6. Het lukt niet om dit te verdelen tot er een magiër
langskomt. Hij stelt zijn kameel ter beschikking. Zoon 1 krijgt nu 6 kamelen, zoon 2 krijgt er 3 en de
laatste zoon 2. De magiër vertrekt met zijn kameel en iedereen is tevreden.
Wiskunde achter de uitleg
Reken de verdeling na:
11
2
+
11
4
+
11
6
=
11(6+3+2)
12
=
121
12
< 11 en 11 −
121
12
=
132
12
−
121
12
11
= 12
Als de vader zijn 11 kamelen op deze manier verdeelt, heeft hij nog een restant van
kamelen. De magiër voegt 1 kameel bij om er 12 te hebben. Hij voegt dus
1
12
11
12
van zijn 11
aan de erfenis bij en
krijgt zijn deel nadien gewoon zelf terug. We kunnen het ook anders bekijken als we vertrekken van
12 kamelen, blijft er ook 1 kameel over om weg te schenken.
12 12 12
+
+
= 6 + 3 + 2 = 11
2
4
6
Een variante las ik op de site vermeld onder 2.3.1: 17 is ook het aantal, dat een sjeik met 3 zonen
in zijn testament had staan. Die moesten zo verdeeld worden: de oudste krijgt de helft van de
kamelen, de middelste zoon krijgt een derde, en de jongste moet het stellen met het negende deel.
Hoe gaan ze dat regelen?
17 17 17 17(9 + 6 + 2) 17 ∙ 17
+
+
=
=
< 17
2
3
9
18
18
Bruikbaarheid in de wiskundeles
De leerlingen kunnen nadenken over de werking van de truc in een les rond problem solving. De tips
passen verder in het thema ‘rekenen met breuken’.
1.3.3 Snel rekenen met de rij van Fibonnaci
Uitleg
Vraag een leerling om op het bord onder elkaar twee willekeurige getallen kleiner dan 10 te
schrijven. Ga met je rug naar het bord staan zodat je niet kunt zien wat je leerling noteert. Geef de
volgende rekenopdrachten: “Tel de twee getallen op en schrijf deze som onder de twee getallen. Tel
nu het tweede en het derde getal op en schrijf dit onder de drie vorige. Blijf dit doen tot je dertien
getallen onder elkaar hebt staan in een verticale kolom.” Als je leerling klaar is draai je je om, trek
een lijn onder de tien eerste getallen en vraag de leerling de som te maken van deze tien getallen.
Ondertussen schrijf jij op een andere plek van het bord of op een papiertje een getal. Wat blijkt…
het door jou genoteerde getal is de gevraagde som.
Wiskunde achter de uitleg
De leerling creëert een rij van getallen die doet denken aan de rij van Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8,
13… waarbij telkens de som gemaakt wordt van de twee voorgaande getallen in de rij. We kunnen
deze rij voorstellen als de rij { ti } met als recursief voorschrift: tn 2  tn  tn1 waarbij t1  t2  1 . Bij een
‘willekeurige rij van Fibonacci’ zijn de eerste twee termen niet noodzakelijk één of gelijk. De rij die
de leerling hierboven vormt is dus een willekeurige rij van Fibonacci { f i } met als recursief
11
voorschrift: f n 2  f n  f n1 . Eén van de identiteiten voor getallen uit elke rij van Fibonacci is de
volgende:
f1  f 2 
 f n  f n2  f 2 (1)
De som van de eerste tien getallen is het twaalfde getal min het tweede. Het dertiende getal dat je
liet opschrijven diende enkel als misleiding.
Bruikbaarheid in wiskundelessen
Deze truc is geschikt als inleiding voor een les over rijen. Zo vindt hij een plaats in de tweede graad
of als warmmaker bij een herhalingsles in de derde graad. Afhankelijk van de keuze die je maakt
moeten leerlingen al dan niet de volgende begrippen in de vorige lessen geleerd hebben: recursief
voorschrift van een rij en de som van een eindig aantal termen van een meetkundige rij.
De rij van Fibonacci komt in heel wat toepassingen voor en vormt een geschikte context om
leerlingen te leren bewijzen. De getallen uit de rij voldoen aan identiteiten zoals (1) waarvan de
bewijzen toegankelijk zijn voor de leerlingen uit gemiddeld tot sterk wiskundige richtingen. Andere
identiteiten leveren mogelijks input voor varianten van de truc. Wat denk je van
t1  t3  t5 
 t2n1  t2n of t1  t2  t2  t3  t3  t4 
 t2 n1  t2 n  t2 n  als goochel inspiratie?
2
Een vraag die je aan leerlingen kunt stellen is precies om varianten te bedenken. De identiteit (1)
levert er alvast een aantal. Je kunt immers eender welke eindige som laten maken en snel het
resultaat vinden. Zo is de som van een rij van vijftien getallen, het zeventiende getal min het
tweede.
Een variant op bovenstaande truc is toegankelijk voor leerlingen van de eerste graad. Hierbij laat je
de leerling stoppen na het tiende getal en de som maken van deze getallen. Om snel de som te
vinden, onthoud je enkel het vierde getal geteld vanaf het onderste en vermenigvuldig je dat met
elf.
In een les ‘rekenen met letters’ kun je de leerlingen de rij getallen laten veralgemenen als volgt: a
en b zijn de willekeurige getallen van de leerling. De tien getallen die gevormd worden, zijn de
volgende: a, b, a  b, a  2b, 2a  3b, 3a  5b, 5a  8b, 8a  13b,13a  21b, 21a  34b . Nemen we de som van
deze tien getallen dan vinden we inderdaad 11 maal het vierde laatste getal:
a  b  a  b  a  2b  2a  3b  3a  5b  5a  8b  8a  13b  13a  21b  21a  34b
 a 1  1  1  2  3  5  8  13  21  b 1  1  2  3  5  8  13  21  34 
 55a  88b
 11 5a  8b 
Laten we de lesmogelijkheden van de goocheltruc voor de tweede graad verder bestuderen. We
kunnen de identiteit f1  f 2   f n  f n2  f 2 op verschillende manieren bewijzen.
Een eerste mogelijk bewijs steunt op een bewijstechniek waarbij identiteiten lid aan lid opgeteld
worden om zo een nieuwe identiteit te creëren. In sterke groepen is de bewijsvorm voor n=10 ook
toegankelijk voor de eerste graad, mits niet te werken met indices maar met a, b,…,l.
f1  f3  f 2
f 2  f 4  f3
f3  f5  f 4
f n  f n  2  f n 1
f1 
 f n  f n  2  f n 1  f n 1  f n 
f1 
 f n  f n2  f 2
 f 4  f3  f3  f 2
12
Een tweede mogelijk bewijs steunt op het expliciete voorschrift van de rij van Fibonacci en de
formule voor de som van de eerste n termen van een meetkundige rij. Het expliciete voorschrift is
heel wat moelijker dan het recursieve en komt in de handboeken vaak niet aan bod.
tn 

5
1
n
 1   
n
 met hierin   1 2 5 , de gulden snede.
Dit tweede bewijs is enkel bedoeld voor leerlingen die deze expliciete formules al eens zijn
tegengekomen.
Voor de rij van Fibonacci wordt de identiteit (1): t1  t2 
t1  t2 
n
n
 tn   ti  
i 1
i 1
 tn  tn  2  1 .
   1   
5
1
i
i
n 1
1  n i n
1  n 1  1 1     1 
i 




     1     
1    1 
5  i 1
5    1
i 1

n 1
n2
n2
1  n 1  1 1     1  1      1       1 









   1 
5    1
5 



n  2  1   
5
n2

1  2
5
 tn  2  1
In de getallenrij f i komt de rij van Fibonacci als volgt bovendrijven:
a , t1b , t1a  t2b , t2 a  t3b ,
, t8a  t9b,
fi  ti 2 a  ti 1b voor i  3 met f1  a en f 2  b
of
In de truc moet de leerling de getallen optellen. Laat nu sn de som van de eerste n ‘Fibonaccitermen’ zijn. Dan vinden we voor de som die de leerling maakte de volgende veralgemening:
f1  f 2 
 f n  a 1  t1  t2 
 tn 2   b  t1  t2 
 tn 2  tn 1   a  1  sn 2   b  sn 1
 a 1  tn  1  b   tn 1  1  a  tn  b  tn 1  b  f n  2  f 2
Hiermee hebben we opnieuw de identiteit (1) aangetoond. De voorlaatste stap van het bewijs
hierboven levert aan Fibonacci-specialisten een variant. Als je de termen van de rij van Fibonacci
goed van buiten kent, dan kun je elke willekeurige som van een willekeurige Fibonacci-rij snel
berekenen van zodra je leerling zijn eerste getallen gekozen heeft: f1  f 2   f n  a  tn  b   tn1  1 .
1.4 Goochelen en meetkunde: Fibonacci en verdwijnen
Benodigdheden
Ruitjespapier, een liniaal, een pen en een schaar.
Voorbereiding
Geen, tenzij je niet te veel tekentijd wil verliezen in je les. Dan kan je het
volgende werk al thuis doen. Knip voor elke leerling uit ruitjespapier een
vierkantje van 13 op 13 met de lijnen zoals op de figuur hiernaast. Het vierkant
is eerst verdeeld in 2 rechthoeken met beiden lengte 13 en breedte
respectievelijk 5 en 8. Vervolgens is de kleinste rechthoek in twee even grote
driehoeken verdeeld en de grootste in twee even grote trapezia met kleinste
breedte 5.
13
Uitleg
Geef je leerlingen de volgende instructie. Knip de driehoeken en
trapezia uit en herschik ze tot een rechthoek van 8 op 21. Vergelijk nu
oppervlakte van vierkant en rechthoek. Op mysterieuze wijze is er één
vierkantje, een eenheid verdwenen. Hoe kan dat?
Wiskunde achter de uitleg
Het is inderdaad zo dat de oppervlakte van het vierkant 169 eenheden is en die van de rechthoek
168. Voor de verklaring verwijzen we naar de truc ‘meetkundig verdwijnen’. De diagonaal in de
rechthoek is geen echte diagonaal. In die zin kan je eenzelfde verklaring opbouwen. Martin Gardner
besteedt in zijn boek twee hoofdstukken aan ditzelfde onderwerp. Wij hebben hier enkel het thema
Square variation aangeraakt waarbij we bovendien vertrekken van… de rij van Fibonacci. 8, 13 en
21 zijn immers opeenvolgende getallen uit deze rij.
Bruikbaarheid in de wiskundelessen
De truc kan gebruikt worden in een les over rijen of vierkantsvergelijkingen in de tweede graad. Het
is bovendien bruikbaar in een les analytische meetkunde over punten, vergelijkingen en/of
oppervlakten. Dit is n.a.v. een andere goocheltruc uitgewerkt in de syllabus ‘Goochelen en wiskunde’
die we tijdens de ‘Dag van de wiskunde’ in 2012 gaven of in Uitwiskeling jaargang 28 nummer 2.
Het is in ieder geval interessant om leerlingen deze rechthoek in een assenstelsel te plaatsen: waar
leg je x- en y-as? Bepaal de coördinaten van de punten… Daarnaast kan hij als onderzoeksopdracht
gepresenteerd worden in tweede of derde graad. Je kunt de leerlingen zelf analoge puzzels laten
ontwerpen en zo hun eigen ‘goocheltruc’ laten uitvinden.
De volgende onderzoeksopdracht sluit aan bij het bovenstaande:
Ontwerp vierkanten en rechthoeken zoals de figuren hierboven voor een aantal andere
getallen van de rij van Fibonacci en tracht een verband, een wetmatigheid, een eigenschap
te ontdekken. Controleer je eigenschap voor voldoende voorbeelden, zonder speciale
gevallen uit het oog te verliezen. Formuleer je bevindingen met juiste wiskundige symbolen.
Zoek tenslotte naar een bewijs.
De onderzoeksopdracht onder de loep
Mogelijks gaan je leerlingen als volgt te werk. In ons geval is 13 het 7 de getal van de rij en we
merken dat 132  8  21  1 . Het volgende getal voldoet aan 212  13  34  1 . Door voldoende vierkanten
te onderzoeken kan men een eerste versie van de eigenschap formuleren: als je het kwadraat
neemt van een willekeurig getal van de rij van Fibonacci, dan is dat gelijk aan het product van de
voorganger en de opvolger van dit getal plus of min één. De vraag is nu of er een regelmaat inzit?
Het volgende rekenblad toont deze regelmaat
tn 2
tn 1  tn 1
1
1
2
1
3
2
4
3
-1
4
3
9
10
1
5
5
25
24
-1
6
8
64
65
1
7
13
169
168
-1
8
21
441
442
1
9
34
1156
1155
-1
10
55
3025
3026
1
N
tn
1
1
2
14
Nemen we een getal uit de rij van Fibonacci dat op een even plaats staat (dus 2 de, 4de, 6de … in de
rij) als zijde van het ‘vertrekvierkant’, dan heeft de (omgevormde) rechthoek één vierkantje minder.
Getallen op een oneven plaats, leveren een vierkantje winst. Op deze manier ontdekken we een
eigenschap van de getallen uit de rij van Fibonacci:
tn 2  tn1  tn1   1 .
n
Een bewijs – zij het uitbreiding - kan gegeven worden door volledige inductie.
 We bewijzen dat de eigenschap geldt voor de eerste getallen uit de rij:
t22  t1  t3   1  1  1 3  1
2

2
Stel dat de eigenschap geldt voor tn : tn  tn 1  tn 1   1 , toon aan dat ze ook geldt voor tn 1
n
?
tn21  tn  tn  2   1
n 1
RL  tn  tn  2   1
n 1
 tn   tn  tn 1    1
 tn2  tn  tn 1   1
n
n
 tn 1  tn 1   1  tn  tn 1   1
n
n
 tn 1   tn 1  tn 
 tn21  LL
Vierkantsvergelijkingen
Als we nog verder gaan variëren stuiten we op stelsels en vierkantsvergelijkingen. We vertrekken
dan van een willekeurige rij van Fibonacci. Nemen we bijvoorbeeld uit de rij 2, 4, 6, 10, 16, 26… drie
opeenvolgende getallen waarmee we een analoog patroon opstellen als hierboven, dan zullen er
meer vierkantjes verloren gaan of gewonnen worden.
Neem een vierkant met zijde 10 en deel dit op in 2 rechthoeken met beiden lengte 10 en breedte
respectievelijk 4 en 6. Deel vervolgens de kleinste rechthoek in twee even grote driehoeken en de
grootste in twee even grote trapezia met kleinste breedte 4. Herschik het vervolgens in een
rechthoek van 6 op 16, dan heeft deze 4 vierkantjes minder dan het vierkant: 102  6 16  4 . De
getallen 10, 16 en 26 voldoen aan de identiteit 162  10  26  4 . Een vierkant met zijde 16
herschikken in een rechthoek van 10 op 26, zorgt voor 4 vierkantjes meer. Als goocheltruc is dit niet
subtiel genoeg. 4 vierkantjes meer of minder kunnen we immers niet zomaar verdoezelen. We zijn
aan ons wiskundig zijsprongetje begonnen.
Om een model op te stellen voor het bovenstaande, vertrekken we van drie opeenvolgende getallen
A, B en C uit een willekeurige rij van Fibonacci. We stellen ons het volgende probleem: Gegeven B
en X, ontwerp een rechthoek met breedte A en lengte C waarbij we X vierkantjes verliezen of
winnen tegenover het vierkant met zijde B. Dit vertaalt zich in het volgende stelsel:

A B  C
 2

 B  AC  X
Door voor B en X willekeurige getallen te kiezen kunnen we eender welk verschil of winst in
vierkantjes, koppelen aan eender welke zijde van het grote vierkant en zo de bijhorende rechthoek
opstellen. Dit leidt tot een vierkantsvergelijking die de zijden A en C van de rechthoek geeft,
horende bij het gekozen vierkant met zijde B. Het vierkant heeft X vierkantjes ‘verloren’ als
B2  AC  X en X vierkantjes ‘gewonnen’ als B2  AC  X .
Enkele voorbeelden van opgaven:
Opgave 1
Hoe kan je een vierkant van 7 op 7 opsplitsen zo dat er 5 vierkantjes verdwijnen? Welke Fibonaccirij zit hier achter?
15
Oplossing
A 7  C

 A 7  C
 A 7  C
C  11
 C  4
 2
 2

of 
 2
7  AC  5 7  A  A  7   5  A  7 A  44  0  A  4
 A  11
Antwoord: Alleen de opsplitsing van 7 als 4+3 is correct, met een herschikking naar een rechthoek
van 4 op 11. De Fibonacci rij is dan 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47…
Opgave 2
Hoe kan je een vierkant van 12 op 12 opsplitsen zo dat er 5 vierkantjes verdwijnen?
Oplossing
A  12  C
A  12  C

 A  12  C

 2
 2
 2
12  AC  5 12  A  A  12   5  A  12 A  139  0


 C  6  5 7  19, 23
 C  65 7

of 
 A  6  5 7  7, 23


 A  6  5 7
Antwoord: De diophantische vergelijking1 heeft geen oplossingen. Het getal 12 kan niet opgesplitst
worden in gehele delen zodat er 5 vierkantjes verdwijnen. Het kan wel opgesplitst worden in
irrationale delen,
van
Fibonacci
6  5 7 en 18  5 7 . De rechthoek heeft dan breedte 6  5 7 en 6+5 7 . De rij
als
we
vertrekken
van
twee
positieve
getallen,
is
dan:
108  40 7,  66  25 7, 42 15 7, 24 10 7,18  5 7, 6  5 7, 12, 6  5 7, 18  5 7 ...
Opgave 3
Neem de 4de, 5de en 6de term uit de volgende Fibonacci rij:
2,2 2,3 2,5 2... Hoeveel vierkantjes
winst of verlies zijn er als we van een vierkant met zijde 8 2 een rechthoek met zijden
5 2 en 13 2 maken?

 5 2  8 2  13 2
 128  65  2  X  128  130  2 dus X  2 'verloren'

64

2

5
2

13
2

X


Antwoord: Er zijn dan 2 vierkantjes verloren gegaan.
Merk op dat de vierkanten en rechthoeken die we op deze manier opbouwen gelijkvormig zijn met
deze uit de onderzoeksopdracht. Vermits de oppervlakte door de gelijkvormigheidsfactor
2 zal
2
verdubbelen volgt bovenstaande ook uit de eigenschap tn  tn 1  tn 1   1 . De 5de term staat
n
immers op een oneven plaats.
2 Wiskunde in de keuken: experimenteel werken
2.1 Koffie en exponentiele functies
Opdracht:
Breng een tas hete koffie mee naar het klaslokaal. Stel een leerling aan om gedurende het volgende
lesuur (of de volgende twee lesuren) om de 5’ de temperatuur van de koffie te meten en dit in een
tabel op te tekenen.
1
Een Diophantische vergelijking is een onbepaalde polynomiale vergelijking, waarvan de variabelen alleen gehele getallen
mogen zijn.
16
De onderstaande werktekst vind je in Uitwiskeling jaargang 19 nummer 2, waar de leerlingen in de
tabel onder vraag 1 de gemeten waarden moeten optekenen.
De warmtewet van Newton
Als we een kop koffie inschenken, zal die na verloop van tijd ‘koud’ geworden zijn. Een experiment
bij kamertemperatuur van 22°C waarin een badthermometer in een kop koffie werd gestopt, leverde
de onderstaande temperatuurmetingen op. Hierin is T(t) de temperatuur van de koffie in graden
Celsius en t de tijd in minuten.
t
0
5
10
15
20
25
30
60
T(t)
50
46
43
41
39
37
35
28
T(t) – 22
1. Herhaal het experiment terwijl je de vragen oplost. Je krijgt een kop koffie en een thermometer.
Meet eerst de omgevingstemperatuur en dan elke 5 minuten de temperatuur van de koffie.
Omgevingstemperatuur T0 =
t
0
5
10
15
20
25
30
35
T(t)
2. Voer de gegevens in als lijsten in je GRM. Zet de t-waarden in L1 en de T-waarden in L2. Zet de
temperatuurwaarden T(t) in functie van de tijd t uit in een spreidingsdiagram. Welk verband
bestaat er tussen de gegevens? Naar welke waarde zal de temperatuur naderen na lange tijd?
Maak een nieuw spreidingsdiagram waarbij je de rol van de omgevingstemperatuur uitschakelt.
Stel L3 gelijk aan L2  22 en vul ook de waarden aan in de gegeven tabel met als label T(t)  22.
3. Bepaal de groeifactor per tijdsinterval van vijf minuten en per minuut (op 0,0001 nauwkeurig)
van de waarden van T(t)  22. Bereken ook het gemiddelde van de groeifactoren per minuut.
tijdsinterval
groeifactor per 5 minuten
groeifactor per minuut
0–5
5–10
10–15
15–20
20–25
25–30
30–35
4. Bepaal aan de hand van de gemiddelde groeifactor per minuut een functievoorschrift voor T(t) 
22 en daaruit voor T(t). Plot beide grafieken met je GRM, voer ze in als Y1 en Y2.
5. Het best passende verband tussen L3 en L1 bepaal je met de opdracht ExpReg L1, L3, Y3. Je vindt
deze opdracht in STAT CALC optie 0. Het resultaat komt in Y3. Stel Y4 = Y3 + 22. Vergelijk deze
twee voorschriften met de voorschriften uit 4.
6. In dit model betekent het gedrag op oneindig van de functie dat de grafiek voor grote waarden
van t zal aansluiten bij de horizontale rechte op omgevingstemperatuur (22°C). Deze rechte is
17
een horizontale asymptoot van de functie. De omgevingstemperatuur zelf wordt in het model
nooit bereikt. Na hoeveel tijd is de temperatuur van de koffie 1°C boven de
omgevingstemperatuur? Los grafisch op met je GRM.
Als we een fles melk uit de koelkast halen, zal de temperatuur van de melk langzaam oplopen
van de temperatuur in de koelkast tot de temperatuur van de omgeving. Bij een zekere instelling
van de koelkasttemperatuur en een bepaalde omgevingstemperatuur geldt het volgende verband:
 3
T (t )  19  13   
 4
t
Hierin is T(t) de temperatuur van de melk in graden Celsius en t de tijd in minuten die verstreken
is nadat de melk uit de koelkast is gehaald.
7. Bereken de temperatuur van de melkfles op 1°C nauwkeurig na één minuut, na vijf minuten, na
een kwartier en na een uur.
8. Bepaal de koelkasttemperatuur. Hoe groot is de omgevingstemperatuur?
9. Plot de grafiek van T(t) voor positieve t-waarden met je grafische zakrekenmachine. Voeg ook de
horizontale asymptoot toe aan de grafiek.
Besluit: beide warmteproblemen zijn illustraties van de wet van Newton. Die zegt dat de
opwarmings- of afkoelingssnelheid van een voorwerp recht evenredig is met het temperatuurverschil
tussen de omgeving en het voorwerp. Hieruit kan men aantonen dat het verband tussen het
temperatuurverschil met de omgeving en de tijd exponentieel is. Dit levert functies van de vorm
T (t )  b  at  c op.
2.2 Koekjes en herhalingscombinaties
Voorbereiding
Laat je kooktalent de vrije loop en bak koekjes om je leerlingen te verwennen. Breng de koekjes
mee naar de les. Ben je geen Jeroen, dan kan je ook een zak identieke koekjes kopen. Je hebt
minstens 10 koekjes nodig, 13 identieke papiertjes en 3 balpennen.
Opdracht
Ga na op hoeveel manieren je 10 identieke koekjes kan verdelen over 4 leerlingen.
Wiskunde achter de opdracht
Uit het spinnenweb van Uitwiskeling jaargang 27 nummer 4. Het verhaal van een leerkracht:
Ik vertel mijn leerlingen dat ik 10 identieke koekjes heb en deze wil verdelen over 4 leerlingen.
Hoeveel mogelijke verdelingen zijn er zo mogelijk? Het gaat hier om een telprobleem waarbij de
volgorde van het verdelen over de leerlingen niet belangrijk is (omdat de koekjes identiek zijn) en
herhaling toegelaten is (in dit geval zelfs nodig: er zijn meer koekjes dan leerlingen, dus zal je bij de
verdeling in herhaling moeten vallen). Dergelijk telprobleem noemen we een herhalingscombinatie
10
en het aantal mogelijkheden noteren we als C 4 . Ik laat hen dan allen naar mijn bureau komen en
haal effectief 10 identieke koekjes uit mijn boekentas. Omdat mijn bureau een beetje stoffig is, heb
ik ook enkele (identieke) papiertjes meegebracht om de koekjes op te leggen (één papiertje per
koekje); achteraf zal blijken dat deze papiertjes nog een andere functie hebben. Nu moet ik deze 10
koekjes, die mooi op één rij liggen, nog verdelen over 4 leerlingen. Een eerlijke verdeling kan niet
(ik wil geen koekjes breken), maar dat hoeft voor mij ook niet. Ik vraag aan een leerling om mij drie
balpennen te geven, die ik als ʽtussenschot’ zal gebruiken. Alle koekjes die links van de eerste
balpen liggen zijn voor de eerste leerling, de koekjes tussen balpen één en twee zijn voor de tweede
leerling, de koekjes tussen balpen twee en drie zijn voor de derde leerling en alle koekjes rechts van
de derde balpen zijn voor de vierde leerling. Dan laat ik een aantal mogelijke verdelingen zien: 3-33-1, 2-3-2-3, 1-0-5-4, 0-0-6-4... Blijft de vraag: hoeveel dergelijke verdelingen zijn er mogelijk?
Tussendoor vraag ik wat er verandert als ik mijn 10 koekjes wil verdelen over 5 leerlingen, of over
3? De leerlingen begrijpen dadelijk dat het aantal balpennen dan wijzigt. Op dat moment geef ik de
18
balpennen terug aan de rechtmatige eigenaar en stel voor om de balpennen te vervangen door extra
papiertjes (identiek aan de papiertjes waarop de koekjes liggen): tussen de koekjes komen nu lege
papiertjes die de scheiding aangeven. En hiermee is mijn telprobleem opgelost! Ik heb het
oorspronkelijk probleem namelijk herleid tot een nieuw probleem waarbij 10 identieke koekjes
moeten verdeeld worden over 13 (10 + 3) papiertjes, waarbij de volgorde niet belangrijk is (koekjes
leggen op 1-2-4-6-7-8-10-11-12-13 = koekjes leggen op 2-4-6-8-10-12-1-7-11-13 = ... want de
koekjes zijn identiek) en herhaling niet toegelaten is (op elk papiertje ligt hoogstens één koekje).
10
Het oorspronkelijk probleem is dus herleid tot een gewone combinatie van 10 uit 13, zodat C4  C13
10
Mijn leerlingen kunnen nadien zonder problemen de formule veralgemenen: als je p identieke
koekjes moet verdelen over n leerlingen, heb je n – 1 ʽtussenschotten’ nodig en moet je dus p
koekjes verdelen over p + n – 1 papiertjes, zodat
p
Cn  C pp  n1 . Wanneer mijn leerlingen terug op
hun plaats gaan zitten, krijgen ze elk een koekje mee (ik heb er dus meer dan 10 bij!).
Hoewel mijn leerlingen 17-jarigen zijn, is deze les elk jaar opnieuw een succes en krijg ik nog vaak
de vraag of er nog andere lekkere problemen volgen ... En dat leerlingen niet enkel het koekje maar
ook de redenering onthouden, bewees een oud-leerling mij toen hij jaren later nog exact kon
navertellen wat het ʽkoekjesprobleem’ inhield.
2.3 Een exponentiele radioactieve les.
Voorbereiding
Breng voldoende zakjes M&M’s mee en een bekertje voor elke
leerling. Elke leerling heeft een blad nodig om de eigen data te
noteren.
Opdracht
De M&M’s symboliseren radioactieve deeltjes. Als een M&M met
de ‘m’ naar boven ligt, is het deeltje radioactief. Als de ‘m’ naar
onder ligt is de radioactiviteit uitgewerkt. Geef de leerlingen de
volgende opdracht.
 Bepaal de (begin)massa door het aantal snoepjes te tellen dat in je zakje zet.
 Maak een tabel waarbij je in kolom één het nummer van de worp zet en in kolom twee het aantal
radioactieve deeltje. De beginsituatie levert dus bijvoorbeeld de volgende tabel:
worp
0
1




Aantal
53
…
Doe alle snoepjes in een beker, schud goed en gooi de deeltjes uit. De snoepjes die met hun ‘m’
naar boven liggen, stralen nog steeds en zijn gevaarlijk. Tel ze, noteer hun aantal en doe ze
terug in de beker.
De snoepjes die niet meer radioactief zijn mag je vernietigen (lees: opeten)
Herhaal het proces tot alle snoepjes op zijn.
Voor de gegevens in de GRM en bepaal via exponentiële regressie de best passende exponentiële
functie bij dit proces.
Wiskunde achter de opdracht
Via een experiment met M&M’s simuleer je het radioactief verval. Een uitgebreide beschrijving van
deze les vind je in Uitwiskeling jaargang 26 nummer 2. In dit nummer zit bovendien een cd met
filmpjes. Eén van de filmpjes toont een leerkracht die de les in de klas doet.
19
2.4 Cake en inhouden
Voorbereiding
Bak een cake in de vorm van een omwentelingslichaam.
Opdracht
 Welke figuur laat je wentelen om de gebruikte cake vorm te
bekomen? Rond welke as?
 Kies oordeelkundig een assenstelsel en schets het
ruimtelichaam in het assenstelsel.
 Benader de rand van de cake d.m.v. een formule
 Bereken het volume van de cake.
Dit idee vind je terug in ‘Afgeleiden en integralen’, Uitgeverij Acco, 1994, Dirk De Bock, Dirk
Janssens, Michel Roelens en Jan Roels, p142
3 Wiskunde en spelen
Spelen in de handel kunnen gebruikt worden als intro voor een les of als basis om lesmateriaal te
maken.
3.1 De torens van Hanoi
In Uitwiskeling jaargang 20 nummer 3 vind je de onderstaande werktekst. Afhankelijk van de
leeftijd en het niveau van je leerlingen kan je een stukje of de hele werktekst aanbieden. Uiteindelijk
wordt er een recursief voorschrift opgesteld, een voorschrift waarbij we uit een term de volgende
term kunnen vinden.
Werktekst
Het volgende spel ken je misschien wel. Het bestaat uit drie pennen.
Op één van de pennen staat een toren van schijven, onderaan de
grootste en daarop steeds kleiner wordende schijven. De bedoeling van
het spel is nu alle schijven op een andere pen te plaatsen maar wel
volgens de volgende regel: je mag per zet maar één schijf verplaatsen
en je mag geen grotere schijf op een kleinere leggen.
We willen onderzoeken hoeveel zetten minstens nodig zijn. Uiteraard hangt dit af van het aantal
schijven.
1. Speel het spel met een toren van twee schijven. Hoeveel zetten heb je minstens nodig? Teken
de situatie hieronder
3 zetten
2. En bij drie schijven? En bij vier schijven?
Bij drie schijven: 7 zetten
20
Bij vier schijven: 15 zetten
Door te redeneren over het verplaatsen van de schijven willen we nu proberen ook voor meer
schijven het minimaal aantal zetten te bepalen.
3. Probeer op basis van het verplaatsen van de schijven een verband te zoeken tussen het aantal
zetten bij vier schijven en bij drie schijven.
A3 zetten


1 zet



A3 zetten


 2 A3  1
Bijgevolg is A4
Tip:
4. Verklaar dat hetzelfde verband geldt voor het aantal zetten bij vijf en bij vier schijven.
A4 zetten


Bijgevolg is A5
1 zet



A4 zetten


 2 A4  1
5. Met dezelfde redenering moet je nu de recurrente betrekking voor het aantal zetten (stel dit voor
met een symbool) bij n schijven kunnen opstellen. Doe dit.
 A1  1

 An  2 An 1  1
21
6. Maak met je rekentoestel een tabel en een grafiek van het aantal zetten tot 10 schijven.
N
An
1
1
2
3
3
7
4
15
5
31
6
63
7
127
8
255
9
511
10
1023
Volgens een legende bevindt zich in een tempel van Hanoi een toren met 64 schijven. Dag en nacht
zijn monniken bezig met het verplaatsen van de schijven. Volgens de legende zal de wereld vergaan
zodra alle schijven verplaatst zijn.
7. Bepaal met je rekentoestel het aantal zetten voor deze toren.
1,844674 1019
(exact 18446744073709551615)
8. Wat denk je dan over het vergaan van de wereld?
Tip: Maak eerst in je groep een veronderstelling: hoeveel schijven verplaatsen de monniken in een
minuut?
Als de monniken bv. gemiddeld een minuut nodig hebben om een schijf te verplaatsen, duurt het
verplaatsen van de hele toren ongeveer 3,5·10 13 jaren.
De Franse wiskundige Edouard Lucas heeft deze legende in 1883 als spel verzonnen en
gepubliceerd. (Je hoeft dus niet naar Hanoi te gaan om deze toren en de monniken te gaan
bezichtigen.) Er bestaan ook veel varianten op het probleem van ‘de torens van Hanoi’. Op het
internet vind je ook veel verwijzingen naar dit probleem en varianten erop.
9. Bepaal het expliciet voorschrift van deze rij. Werk aan deze vraag niet langer dan 10’!
A2  2 A1  1  2  1
A3  2 A2  1  2  2  1  1  4  2  1  2 2  2  1
A4  2 A3  1  2  4  2  1  1  8  4  2  1  23  2 2  2  1
An  2n 1  2n  2 
2 1
An is dus gelijk aan de som van de eerste n termen van een MR met reden 2 en eerste
term 1 en dus gelijk aan
1
1  2n
 2n  1 ,
1 2
dus An  2  1
n
10. Zoek op het internet naar één of meer varianten van dit spel. Bepaal en verklaar daarbij een
recurrente betrekking voor het aantal zetten. Beschrijf in een kort verslag het spel en het aantal
zetten dat nodig is.
22
3.2 Formules inoefenen met een dominospel
Je kunt een dominospel maken om formules in te oefenen. De bouwstenen van de domino zijn
zodanig dat telkens op de rechterkant het linkerlid van de formule staat en op de linkerkant van een
andere ‘steen’ het rechterlid. Maak best een twaalftal setjes, geplastificeerd en in verschillende
kleuren. Op deze manier kunnen leerlingen snel per 2 oefenen, gaan de setjes langer mee en kan je
ze snel terug op orde brengen.
Bij wijze van voorbeeld vind je hieronder een domino voor de formules van de onbepaalde
integralen. Het uiteindelijke effect is mooier/beter als je dit vanuit liggende afdrukstand maakt.
Je kunt zo’n spel ook als ‘slang’ gebruiken. Elke leerling krijgt dan een kaartje. Hij leest voor welke
integraal op de rechterkant staat. De andere leerlingen in de klas kijken na of zij het juiste
vervolgkaartje in handen hebben. Bij deze werkvorm wordt wel geleidelijk iedereen minder actief…
eens je kaartje weg is, heb je niets meer om te zoeken.
Fundamentele
onbepaalde integralen
 x dx
r
tan x  c
∫
Bgtan x + c
e
𝑑𝑥
𝑥
x
dx
𝑥 𝑟+1
+𝑐
𝑟+1
 dx

 cos 2 x
ln x  c
 dx

 1 x2
ex  c
 sin xdx
 cos x  c
 dx

 1 x2
Bgsin x + c
ax
c
ln a
 cos xdx
sin x  c
 cot x  c
En nu…
splitsen, substitutie,
partiële integratie
a
x
dx
 dx

 sin 2 x
23
3.3 Verbanden leggen met een kwartetspel
Leerlingen leggen zelf vaak geen verbanden tussen verschillende concepten die in een wiskunde les aan bod komen. Een kwartetspel is een
handige manier om hierop te werken. Je kunt over uiteenlopende onderwerpen een kwartetspel maken. Hieronder vind je enkele
voorbeelden. Belangrijk is dat je regels ontwerp waarbij leerlingen niet te lang enkel spelen zonder na te denken.
Wiskunde kwartet
Wiskunde kwartet
4cm
5cm
3cm
3cm
4cm
Wiskunde kwartet
De basis is 3cm, 4cm of 5 cm.
De oppervlakte is …
Wiskunde kwartet
5cm
5cm
3cm
4cm
Wiskunde kwartet
Wiskunde kwartet
Wiskunde kwartet
Wiskunde kwartet
y  2 x 2  12 x  10 geeft direct
het snijpunt met de y-as 0,10
en een dalparabool.
y  2 xx  6  10 geeft direct
de punten 0,10 en 6,10 met
de as x  3 en top 3,8 .
y  2x  5x  1 geeft direct
de nulpunten 1,0 en 5,0
met de symmetrieas x  3 en
top 3,8 .
y  2x  3  8 geeft direct de
top 3,8 .
Wiskunde kwartet
Wiskunde kwartet
Wiskunde kwartet
Wiskunde kwartet
De functie stijgt steeds minder
over het interval ]−∞; −0,4]
In de top van de parabool die de
grafiek is van de ene functie, heeft
de grafiek van de andere functie
een buigpunt.
2
24
Wiskunde kwartet
Context: ‘als x 3 keer zo groot
wordt, dan wordt y 27 keer zo
groot’.
Wiskunde kwartet
x
y
1
4
Wiskunde kwartet
Context: ‘als x met eenzelfde getal
vermenigvuldigd wordt, neemt y
met een vast getal toe’
2
32
3
108
8
2048
Wiskunde kwartet
x
y
1
0
2
1
3
1,58
4
2
𝑦 = 4𝑥 3
9
2916
Wiskunde kwartet
Wiskunde kwartet
8
3
Wiskunde kwartet
Wiskunde kwartet
𝑦 = log 2 𝑥
De twee bovenstaande voorbeelden gaan over functies. In Noorwegen is een spel ontwikkeld ‘Functions’ dat erg lijkt op het kwartetspel. Kijk
op http://simplicatus.com.
25
4 Werken met film en (online) kranten of magazines.
De actualiteit kan soms bruikbaar zijn om in de les te brengen. Het gebeurt wel eens dat een
wiskundig onderwerp het nieuws haalt. Het kan ook zijn dat journalisten of ‘experten’ die men in de
media haalt fouten maken tegen de wiskunde. Als je hier alert op bent en dit snel ter sprake kan
brengen, geeft dit een meerwaarde en biedt het kansen om je leerlingen extra te boeien.
Veel artikels en nieuwsuitzendingen zijn online te vinden. Als je een interessant nieuwsitem ziet bij
de VRT, ga je best onmiddellijk naar de videozone op zoek naar het fragment. Je vindt onderaan
‘permalink’. Als je hierop klikt krijg je een link die je kunt blijven gebruiken om het fragment terug
op te roepen.
4.1 Het drie deuren probleem
Opdracht:
Je brengt 3 doosjes mee naar de klas. In één van de doosjes ligt een snoepje. Een leerling kiest een
doos. Jij opent één van de twee overige dozen (uiteraard de doos zonder snoepje). Je vertelt
hieromheen dat de leerling het snoepje krijgt als het toevallig in de doos zit die jij opent. Je opent
de doos maar spijtig genoeg zit het snoepje hier niet in. Er zijn nu nog twee gesloten dozen. De
leerling mag van doosje veranderen. Je waarschuwt wat veranderen of blijven kan betekenen m.b.t.
het snoepje. Zal de leerling veranderen? Laat de leerlingen zoeken op de beste strategie.
Ben Campbell legt in de film ‘21’ het ‘Monty Hall problem’ uit. Je vindt dit fragment op
http://www.youtube.com/watch?v=cXqDIFUB7YU&feature=related. Een andere animatie werkt met
geiten en een auto en vind je op https://www.youtube.com/watch?v=mhlc7peGlGg.
In Uitwiskeling jaargang 19 nummer 3 vind je de onderstaande werktekst waar de leerlingen
vertrekken van een krantenartikel om te leren over kansen in de genetica en het
driedeurenprobleem. De onderstaande versie is deze voor de leerkracht. De antwoorden geven we
er schuingedrukt bij in de tekst.
Lees het onderstaande krantenartikel eerst helemaal door.
Kans op Huntington verandert voor ouder na test van foetus. De Standaard 14/10/2002
Wim Köhler
ROTTERDAM -- De leerboeken genetica moeten
worden herschreven, want een klassiek geval
van kansberekening blijkt onjuist. Het gaat om
de ziekte van Huntington, en een aantal
erfelijke borst- en darmtumoren: dominant
overervende ziekten die vaak pas rond het
veertigste of vijftigste levensjaar uitbreken.
geaborteerd. Bij een aangedane foetus is het
zeker dat een van de ouders dat ziekmakende
gen ook heeft en ziek zal worden. Als de foetus
het ‘gezonde’ gen heeft, werd altijd gezegd dat
de ouder nog steeds 50% kans heeft om zelf
nog ziek te worden. Maar in werkelijkheid is de
ziektekans op dat moment verlaagd.
Kinderen van een patiënt hebben bij zo’n
dominant overervende ziekte 50% kans om
zelf ziek te worden, maar zijn vaak al
volwassen als de ziekte zich bij de ouder
openbaart. De kinderen kunnen zich laten
testen, maar willen dat vaak niet als er - zoals
bij de ziekte van Huntington - helemaal geen
therapie is.
Zodra het eerste kind gezond is, heeft de ouder
een kans van 66% om ook gezond te blijven.
Als de ouders ook hun tweede kind laten testen
en dat blijkt gezond, dan heeft de ouder al
80% kans dat hij of zij de ziekte ook nooit
krijgt. Na de derde test is de kans 90%, meldt
het vakblad Human Genetics.
De niet-testers willen vaak wel kinderen die de
ziekte niet krijgen. Als ze zwanger zijn laten ze
daarom
via
een
vlokkentest
of
vruchtwaterpunctie onderzoeken of de foetus
drager is van het ziekteveroorzakende gen. Als
de foetus is ‘aangedaan’ kan hij worden
De statistische dwaling in de leerboeken en bij
de voorlichting aan patiënten is ontdekt door
medisch psycholoog Benno Bonke van het
Erasmus Medisch Centrum in Rotterdam. Hij
liet zich inspireren door het zogeheten
driedeurenprobleem. Het probleem is het
volgende: stel u wint een tv-quiz en mag als
26
apotheose kiezen uit drie deuren. Achter een
van die deuren staat een extra grote
hoofdprijs. U kiest een deur, maar vooraleer de
deur te openen vraagt de quizmaster: ‘weet u
het zeker?’. Zij opent, omdat ze weet waar de
prijs is, vervolgens één van beide andere
deuren waarachter de prijs níet staat. ‘Wilt u
uw keus veranderen?’, vraagt ze dan.
U moet dan onverwijld van deur veranderen.
De kans dat de prijs aanwezig is achter de deur
die u oorspronkelijk koos is 33%. Maar de kans
dat de prijs staat achter de andere nog
ongeopende deur is nu - hoe vreemd het ook
mag lijken - gestegen tot 67%. (Als u het niet
gelooft, moet u het maar eens uitproberen:
laat een van uw huisgenoten voor quizmaster
spelen, speel het spelletje een keer of honderd
en hou bij hoe vaak u succes hebt door bij uw
oorspronkelijke deur te blijven en hoe vaak
door van deur te wisselen.)
Terug naar het voorbeeld over Huntington. De
onwetende ouder heeft van de vier betrokken
genen die zijn ouders (waarvan er één ziek
was) hadden ofwel twee gezonde genen (H/H)
ofwel een ziekmakend en een gezond gen
(H/h) geërfd. Maar er zijn vier genen in het
geding: H1 en H2 van de ene grootouder, H3
en h (ziekmakend) van de zieke grootouder.
Het nog ongeboren kind erft zeker één gen (H)
van de ouder die gezond is en een onbekend
gen van de onwetende ouder. Als de foetus
onaangedaan is, beschikt die over H1, H2 of H3
van de onwetende ouder. Wie de combinaties
natelt die de onwetende ouder nu nog kan
hebben (H1H3, H1h, H2H3, H2h, H3H1, H3H2)
ziet dat tweederde daarvan een gezonde ouder
oplevert. Wordt het volgende kind ook getest
dan is de redenering ingewikkelder, maar
volgens de Bayesiaanse statistiek is de formule
voor de kans om niet ziek te zijn 2n/(2n+1),
waarin n het aantal geteste foetussen is. Deze
wetenschap kan de keus om ook het derde of
vierde kind nog te laten testen beïnvloeden. De
kans om niet ziek te zijn stijgt, waardoor de
kans dat een volgend kind ook gezond is
eveneens stijgt. Maar de kans om de foetus
tijdens de test te verliezen ligt ergens tussen
de 1 en 2%.
We bekijken dit artikel nu wat van dichterbij. We maken eerst een kansboom bij het
probleem van de erfelijke ziekte. In de kansboom hieronder bedoelen we met ‘ouder’ de
onwetende ouder van de foetus. Voor de andere notaties verwijzen we naar het
krantenartikel.
1. Noteer de kansen bij de verschillende takken van de kansboom.
ouder = HH
foetus = HH
foetus = HH
ouder = Hh
foetus = Hh
2. Bereken de kans dat de ouder gezond (HH) is indien je weet dat de foetus gezond
(HH) is. Klopt dit met het cijfer uit het artikel?
1
𝑃(𝑂𝐻𝐻 𝑒𝑛 𝐹𝐻𝐻)
2
2∙1
|
𝑃(𝑂𝐻𝐻 𝐹𝐻𝐻) =
=
=
𝑃(𝑂𝐻𝐻 𝑒𝑛 𝐹𝐻𝐻) + 𝑃(𝑂𝐻ℎ 𝑒𝑛 𝐹𝐻𝐻) 1 ∙ 1 + 1 ∙ 1 3
2
2 2
De kans is inderdaad 2/3. Dit klopt, op een foutieve afronding na, met het
cijfer van de tekst.
3. In de laatste paragraaf van het artikel geeft de journalist een verklaring voor die 2/3.
Kun je deze redenering uitleggen?
De vier genen H1,H2, H3 en h van de grootouders, hebben alle vier even veel
kans om doorgegeven te worden aan het kleinkind. Aangezien het kleinkind
niet over het gen h beschikt, heeft het één van de drie gezonde genen geërfd.
H1 kan afkomstig zijn van H 1H3 of van H1h. Deze twee combinaties zijn even
waarschijnlijk. Analoog voor H2. Het gen H3 is afkomstig van H1H3 of van H2H3.
Van de 6 mogelijkheden zijn er 2 die betekenen dat de ouder de ziekte heeft.
27
4. Maak nu een nieuwe kansboom voor het tweede kind van dezelfde ouders als je weet
dat het eerste kind gezond was. Klopt dit met het cijfer uit het artikel?
𝑃(𝑂𝐻𝐻 𝑒𝑛 𝐹1𝐻𝐻 𝑒𝑛 𝐹2𝐻𝐻)
1
∙1∙1
2
111
∙1∙1+ ∙ ∙
2
222
𝑃(𝑂𝐻𝐻|𝐹1𝐻𝐻 𝑒𝑛 𝐹2 + 𝐻𝐻) = 𝑃(𝑂𝐻𝐻 𝑒𝑛 𝐹1𝐻𝐻 𝑒𝑛 𝐹2𝐻𝐻)+𝑃(𝑂𝐻ℎ 𝑒𝑛 𝐹1𝐻𝐻𝑒𝑛 𝐹2𝐻𝐻) = 1
4
=5
De kans is 4/5. Dit is in overeenstemming met de tekst.
5. Doe nu hetzelfde voor het derde kind als je weet dat de eerste twee gezond zijn.
Klopt dit met het cijfer uit het artikel?
De kans is 8/9. Dit klopt ongeveer met de tekst.
6. In het artikel wordt een formule gegeven voor de kans dat de ouder het gen niet
heeft na n geteste en gezonde foetussen. Klopt deze formule? Corrigeer deze formule
indien nodig.
De formule klopt niet. Ze moet zijn
2n .
2n  1
In het krantenartikel wordt verwezen naar het driedeurenprobleem.
7. Speel het driedeurenspel een aantal keer (ofwel doe je het echt, ofwel gebruik je het
simulatieprogramma op je rekentoestel). Leg de resultaten van winsten van de hele
klas samen. Wat is de beste strategie: wisselen of niet wisselen?
8. Maak een kansboom en reken de kans op winst na.
De kansboom kan op verschillende manieren opgebouwd worden. Hier volgt
één manier. Veronderstel dat je deur A kiest. De prijs kan achter deur A, B of
C zitten. De kans op elk van deze mogelijkheden is 1/3. Daarna moet de
quizmaster een deur openen. Zijn keuze van de deur hangt af van waar de
prijs zich bevindt.
de prijs zit in
…
1/2
wat doet de
quizmaster?
quizmaster opent B
deur A
1/3
1/3
1/3
deur B
1/2
1
quizmaster opent
C
quizmaster
opent C
deur C
1
quizmaster opent B
Stel dat de quizmaster deur B opent. Dan is
P(prijsachter A en quizmaster opent B)
P(quizmaster opent B)
1 1

1
3 2


1 1 1
3
  1
3 2 3
P(prijsachter A quizmaster opent B)
Analoog kun je uitrekenen dat de kans dat je de prijs hebt als je wel wisselt
gelijk is aan
2
. Merk op dat de kans wijzigt indien de quizmaster in het geval
3
dat hij de keuze heeft, bv. systematisch de linkse deur opent.
9. Zie jij een verband tussen het driedeurenprobleem en het probleem van de erfelijke
ziekte?
Ik zie geen verband. Het gaat wel in de twee gevallen over voorwaardelijke
kans en je vindt tweemaal dezelfde kans, maar de teller en de noemer uit de
breuk die tot dat getal leiden, zijn totaal verschillend.
28
4.2 Aardbevingen en de schaal van Richter
In het nieuws van eind februari 2010 geven twee specialisten ter zake commentaar op de
aardbevingen in Chili en Haïti. De fragmenten duren 2’48 en 3’30. Beide experten
maakten fouten. Ook in de berichtgeving over Laundry Day (1’30) zat een fout. Het is
niet eenvoudig meer om deze oudere nieuwsfragmenten te vinden in de videozone van
de zenders. Deelnemers die de fragmenten graag gebruiken in hun les kunnen ze
aanvragen via [email protected]. Je krijgt ze dan in je mailbox.
In Haïti was de schok 7.0 op de schaal van Richter, in Chili 8.8. In het VRT nieuws legt
een seismoloog de schaal van Richter uit: "Elke toename met 1 op de schaal van Richter
is maal 10. Dus van 7,0 naar 8,8 is maal 18. De aardbeving in Chili is dus 18 keer sterker
dan die in Haiti." Een dag later komt een geoloog aan het woord op het VTM nieuws:
“Elke stap in de Richterschaal betekent dat er 32 meer energie vrijkomt. Dus een
aardbeving van 8 daar komt 32 keer meer energie vrij dan een van 7, een van 9 is bijna
1000 keer sterker.” De journalist is bij de pinken en herhaalt: “8.8 is tegenover 7 is 32 X
32 keer krachtiger dan die van Haïti dus bijna 1000 keer meer energie die vrijkomt.”
Beiden maken een fout tegen wat we noemen de lineariteitsillusie.
De schaal van Richter is een logaritmische schaal. 7 op de schaal van Richter betekent in
wezen 107 , 8 betekent 108 . Een toename met 1 op de schaal van Richter betekent dus
inderdaad in werkelijkheid ‘maal 10’. De aardbeving in Chili tekende echter 1,8 meer op
de schaal van Richter, wat een toename betekent met 101,8  63 . Ze was dus niet 18 keer
krachteriger maar 63 keer. Wat is bovendien een goede maat voor de ‘sterkte’ van een
aardbeving? Het grondtal 10 waar de schaal van Richter mee werkt is een getal dat
verwijst naar een amplitude op een seismograaf. Voor de energie die vrijkomt, zou het


1,5 1,8
 102,7 meer
energie vrijkomt. Dit is ruim 500. De 32 waar de geoloog naar verwijst is ongeveer 101,5 ,
grondtal 101,5 zijn. Een stijging met 1,8 zou dan betekenen dat er 10
de maat voor het vrijkomen van energie. Hij maakt echter opnieuw een fout tegen de
lineariteitsillusie een stijging met 1,8 betekent dus geen stijging met ongeveer 32  32 ,
maar een stijging met ongeveer 32  320,8  32  16  512 wat toch wel ver van 1000
verwijderd is. Maar: wie zegt dat de vrijgekomen energie een goede maat is voor de
"sterkte" van een aardbeving?
Belangrijk is dat als je dit in de klas brengt, je even een gepaste herhaling inlast om de
nodige kennis op te frissen. In het 6 de jaar behoort bijvoorbeeld de logaritmische schaal –
als ze al behandeld is in het 5 de – vaak niet meer tot de parate kennis. Voor dergelijke
oefeningen is een netwerk van wiskunde leerkrachten handig… in groep nadenken of
mailen over mogelijke fouten in de media geeft een sneller en rijker resultaat. Je kunt
eventueel het mailverkeer dat je met ‘experten’ voert in de klas brengen.
4.3 (Politieke) peilingen in de media.
Daar waar vroeger opiniepeilingen eerder met mondjesmaat de publieke opinie voedden,
en vooral het terrein waren van gereputeerde onderzoeksbureaus, krijgt de kiezer nu
quasi elke dag de resultaten van alweer een nieuwe peiling voorgeschoteld.
Via internet, in kranten en magazines, worden mensen om hun mening gevraagd over tal
van onderwerpen. Vele van deze onderzoeken die claimen ‘de Vlaming’ te
vertegenwoordigen, kunnen de toets van de wetenschappelijke kritiek echter niet
doorstaan. Dat is vaak ook niet het doel van degene die ze initiëren. Als hun
ondervragingen opmerkelijke of verbazende resultaten opleveren – wat al eens sneller
het geval is bij onbetrouwbare methoden – is airplay gegarandeerd ook in de ernstige
media. Het onderscheid tussen ernstige en minder ernstige tot ronduit manipulatieve
opiniepeilingen is zo soms moeilijk te maken. Mensen krijgen verschillende
29
boodschappen – die vaak tegenstrijdig zijn – en kunnen dus het bos door de bomen niet
meer zien. Dit draagt natuurlijk niet bij tot de reputatie van opiniepeilingen, laat staan
van het politiek onderzoek.
Een nieuwsbericht over een peiling kan een aanleiding zijn om de leerlingen te laten
opzoeken hoe de peiling precies is gebeurd. Op www.febelmar.be vindt men vaak
informatie over de peiling. Een mailtje naar de redactie van de nieuwsdienst levert
gewoonlijk de juiste link naar het onderzoeksbureau dat in hun opdracht werkte. Op deze
manier kan je met realistisch materiaal werken om je leerlingen tot kritische burgers op
te voeden.
De verkiezingen geven één van de mogelijkheden waarbij we zowel steekproef- als de
populatieresultaten kennen. Een nieuwsitem over een peiling n.a.v. de verkiezingen van
25
mei
2014
vind
je
via
de
volgende
permalink:
http://deredactie.be/permalink/2.33112?video=1.1950226. In Uitwiskeling jaargang30
nummer 4 vind je de onderstaande les.
Tijd
Doel
Werkvorm
Lesinhoud
5’
Herhaling
3 slides lezen cartoon
Correcte statistische uitspraak.
2’
Politieke peiling
introduceren
Videoclip nieuws bekijken
Verkiezingspeiling
mei 2010
5’
website Febelmar tonen
Demonstratie
Febelmar verenigt
marktonderzoeksbureaus
Peiling
analyseren
Groepswerk in duo.
Populatie, steekproef, eenheid, variabele,
populatie/steekproef proportie
5’
Vergelijk peiling met
verkiezingsuitslag
O(nderwijs)
L(eer)
G(esprek)
Populatieproportie
8’
Inleiding tot tabel met
fouten
Marges
OLG / DOC
Foutenmarges en betrouwbaarheidsniveau
5’-10’
Huiswerk: groepswerk,
agenda
Groepsindeling: individueel
of maximum met 4 lln.
Kritische analyse van statistisch onderzoek
in de pers
15’
Het materiaal (videoclip en gegevens van Febelmar) kan worden gebruikt om
verscheidene doelen te bereiken. De klassikale analyse is een voorbeeld om de leerlingen
op weg te zetten naar allerlei andere kritische analyses van statistisch onderzoek in de
pers.
Een mogelijke nawerking van de les is het volgende huiswerk.
Zoek een rapport van een recent statistisch onderzoek op het internet of in een
tijdschrift of krant. Analyseer het onderzoek en beantwoord de onderstaande vragen.
Presenteer je resultaten in een paper.
1. Wie voerde het onderzoek uit?
2. Wat was de beoogde populatie?
3. Hoe is de steekproef samengesteld en wat was de steekproefgrootte?
4. Wanneer en hoe is het onderzoek uitgevoerd?
5. Wat waren de vragen en hoe werden ze gesteld?
6. Wat waren de resultaten?
7. Beoordeel de kwaliteit van het onderzoek. Schrijf je beoordeling als perstekst die
in een kritisch blad zou kunnen verschijnen.
In een verkiezingsjaar gebeuren peilingen op regelmatige basis. Resultaten van
verschillende peilingen kunnen gebruikt worden om het begrip ‘variabiliteit’ te herhalen al
is de steekproef niet even groot en niet op hetzelfde moment afgenomen.
Ten slotte biedt dit materiaal de mogelijkheid om verder in te
betrouwbaarheidsintervallen. Vind hieronder mogelijke (examen)vragen:
zoomen
op
30
Nog brandend actueel… de verkiezingen van 25 mei 2014!
Het onderzoeksbureau TNS Media voerde tussen 7 en 19 april 2014 een opiniepeiling uit,
in opdracht van De Standaard en de VRT. 1030 Nederlandstalige stemgerechtigden uit
Vlaanderen werden telefonisch ondervraagd.
Om een netto-steekproef van 1030 respondenten te behalen, werden 3375 mensen
gecontacteerd (dit is een responsrate van ongeveer 30,5%).
Hierbij vind je in de linkse figuur de resultaten van de peiling en in de rechtse de
resultaten van de verkiezingen.
1. Bepaal het aantal mensen uit de steekproef dat aangaf voor Groen te stemmen.
2. Is het mogelijk dat de populatieproportie van Groen groter is dan deze van SP.A?
Verklaar je antwoord a.d.h.v. de leerstof uit de cursus Statistiek.
Voor het vervolg van deze vraag gaan we er, ondanks je mogelijke bezwaren in a., van
uit dat er met een EAS gewerkt is. We gebruiken de netto-steekproefgrootte van 1030
personen en werken met de steekproefproportie voor Groen van 10,5%.
3. Ga na of aan de noodzakelijke voorwaarden voldaan is om de steekproefverdeling
door de normale verdeling te benaderen.
4. In het VRT-nieuws deed Wim De Vilder de onderstaande uitspraak. Deze uitspraak is
statistisch niet correct. Leg uit waarom.
‘𝟏𝟎, 𝟓% van de Vlamingen geeft aan voor de partij van Wouter Van Besien te willen
kiezen.’
5. Volgens deze peiling zou Groen 10,5% halen. Stel een 90% betrouwbaarheidsinterval
op voor deze uitslag.
Een oude vraag n.a.v. de verkiezingen in 2010… de verkiezingen die de langste
regeringsvorming ooit inleidde. Toen haalde Groen! volgens de peilingen bij een netto
steekproef van 1021 personen 8,3% van de stemmen.
Ondertussen is de uitslag al meer dan een jaar geweten. Groen! haalde 6,9% van
de stemmen. Bij welk betrouwbaarheidsniveau zou het betrouwbaarheidsinterval,
bij
dezelfde
steekproefproportie,
nog
net
het
resultaat
6,9%
bevatten?
4.4 YouTube filmpjes.
Op YouTube vind je heel wat bruikbare filmpjes die leerlingen extra oefenmateriaal
kunnen geven of een visuele voorstelling.
Enkele voorbeelden:
 Oefeningen op de inhoud van omwentelingslichamen:
http://www.youtube.com/watch?v=Y4tHgy0XiUM
http://www.youtube.com/watch?v=E5OOMbz5jZk&feature=channel
 Uitleg over oppervlakte en de bepaalde integraal:
http://www.youtube.com/watch?v=LkdodHMcBuc&feature=fvwrel
 De oplossingen van een vierkantsvergelijking algemeen afleiden:
http://www.youtube.com/watch?v=WJrxr_MdkdI&feature=related
 Inhoud van een kegel:
http://www.youtube.com/watch?v=QnVr_x7c79w
31
4.5 Film in de handel en clips op het net.
Wiskunde vormt een inspiratie bron voor heel wat filmscenario’s. Er zijn de grote namen
zoals ‘Rainman’ met Dustin Hofman en Tom Cruise, of ‘A beautiful mind’ met Russel
Crowe, ‘{Proof}’ met Anthony Hopkins, ‘Good Will Hunting’… films die op het grote
scherm te zien waren. Numb3rs is een TV serie waarbij een wiskundige zijn broer die FBI
agent is, helpt met het oplossen van misdaden.
Wat ontspannende kortere filmpjes vind je op een site van een leerkracht uit Nederland:
www.nannings.org/wiskunde.
Het idee om in een wiskundeles een filmpje aan de leerlingen te tonen, is niet nieuw. De
BBC gaf al in de jaren 1970 Open University-uitzendingen, met lekker ouderwets ogende
Britse docenten en mooie visualisaties.
Een prima aanvulling bij lessen over perspectief is Geometry and perspective, waarin de
beroemde wiskundige Christopher Zeeman uitlegt wat perspectieftekenen is, bewijst dat
evenwijdige rechten in perspectief naar één zelfde vluchtpunt gaan en het
perspectiefexperiment van Brunelleschi (15de eeuw) overdoet. Het filmpje kan nog
besteld worden en bovendien staat een oudere versie online die je na registratie en
inloggen kan bekijken (www.rigb.org/contentControl?action=displayEvent&id=585).
Ook enkele mooie recente films zijn beschikbaar op het internet: The story of 1, de
geschiedenis van het getal 1 (en hiermee van een goed deel van de wiskunde), luchtig
gepresenteerd door Terry Jones, bekend van Monty Python. Het fragment over
Pythagoras past goed bij de lessen over de stelling van Pythagoras in het derde jaar.
Pythagoras doet een dramatische ontdekking: het lukt
niet om een gelijkbenige rechthoekige driehoek te
maken met gelijke (eenheids)stokjes. Je kunt deze film
bekijken op www.youtube.com/watch?v=RSpadYjnYl8 of
met Nederlandse ondertiteling in verschillende delen op:
www.youtube.com/watch?v=zgPa62GBjDU;
…/watch?v=mWHDVg5X9EU
en
…/watch?v=gH7frOt5f3g. Als de links niet werken, zoek
dan op het Youtube kanaal met de zoekterm ‘the story of
one canvas’.
De film Dimensions bevat een hoofdstuk over dimensie twee. Je kunt hem per hoofdstuk
bekijken op www.dimensions-math.org/Dim_NL.htm. Op deze site vind je bovendien
informatie bij de inhoud van de verschillende hoofdstukken.
En dan is er Flatland, the movie, de animatieverfilming van de beroemde roman van
Abbott over meetkundige wezens die in een plat vlak leven en ontdekken dat er een
derde dimensie kan bestaan. De film kan besteld worden via www.flatlandthemovie.com.
Schooltv in Nederland maakt filmpjes die een antwoord trachten te bieden op vragen als:
‘Wat kan je met wiskunde? In welke beroepen is wiskunde belangrijk? Welke rol speelt
wiskunde in de samenleving? Je kunt filmpjes bekijken en bestellen via:
www.schooltv.nl/beeldbank/vo/ of www.schooltv.nl/eigenwijzer/2157379/wiskunde/
De redactie van Uitwiskeling heeft zelf een aantal filmpjes gemaakt. Een cd met een deze
filmpjes vind je in Uitwiskeling jaargang 26 nummer 2.
32
5 Werken met regelmatige veelhoeken en wiskunst
Een regelmatig veelvlak is een veelvlak waarvan alle zijvlakken gelijke regelmatige
veelhoeken zijn en waarbij in elk hoekpunt evenveel zijvlakken samenkomen. Een goede
denkoefening is om na te gaan hoeveel regelmatige veelvlakken er zijn.
Hoe klein of groot ze ook zijn, leerlingen werken graag met materialen. Voor de
zoektocht naar regelmatige veelvlakken kan je o.a. gebruik maken van Polydron. Meer
informatie vind je op http://www.lekopro-polydron.nl/index1.html?target=d7.html en
http://www.polydron.co.uk/
Van vlakvullingen ruimtelijke figuren maken kan je door gebruik te maken van Leonardo
sticks. Deze kan je aankopen via www.rinusroelofs.nl.
33