tentamen 200701
advertisement
Tentamen Optimalisering (WI2608)
Datum:
Docent:
29 januari 2007, 9.00 – 12.00.
Dr. J.B.M. Melissen
Veel succes!
Geef bij de volgende 10 meerkeuzevragen alle juiste antwoorden aan (het aantal juiste
antwoorden kan zijn: 0, 1, 2, 3 of 4). Een argumentatie mag, maar hoeft niet, en telt nooit
in negatieve zin mee. Per meerkeuzevraag kun je 3 punten halen.
M1. De complete beschrijving van het aantal optimale oplossingen dat voor kan komen in
BIP (binaire) problemen wordt gegeven door:
a. {0, 1, }.
b. {n Z | n 0}.
c. {n Z | n 0} {}.
d. {n Z | 0 ≤ n 2n}.
M1. Een BIP probleem heeft eindig veel variabelen met elk twee mogelijkheden, dus het
aantal optimale oplossingen is altijd eindig. In n dimensies is het maximale aantal
optimale oplossingen 2n. Voor elke oplossing is er een lineaire ongelijkheid te bedenken
(zie college) die alleen deze oplossing uitsluit, dus elk niet-negatief geheel getal is
mogelijk. Antwoord d is onjuist omdat n niet gegeven is. Antwoord b.
M2 Een LP probleem met n variabelen en k > n constraints heeft
a. minstens één CPF (Corner Point Feasible) oplossing.
b. minstens k CPF oplossingen.
c. mogelijk oneindig veel CPF oplossingen.
d. mogelijk geen CPF oplossingen.
M2. Er is een probleem zonder CPF oplossingen (Max x1, z.d.d. x1 j, j=1, 2, …, k), dus
a en b zijn onjuist. Er zijn altijd eindig veel hoekpunten, dus antwoord c is onjuist.
Antwoord d is juist.
M3. Het spil (pivot) element van een simplextableau is 0.
a. Dit betekent dat het probleem onbegrensd is.
b. Het toegelaten gebied dan is leeg.
c. Er treedt cycling op.
d. Dit kan niet.
M3. De spilrij wordt bepaald door uit de rijen met een positief element in de spilkolom de
rij met de kleinste ratio rechterlid/spilelement te nemen. Het spilelement is dus altijd
positief. Als er geen positieve getallen in de spilkolom staan is het probleem onbegrensd,
maar dan is er ook geen spilelement. Antwoord d.
M4. Het aantal iteraties dat het algoritme van Prim moet uitvoeren om in een
samenhangende graaf met n2 knopen een minimale opspannende boom te bepalen is
a. hoogstens n-1.
b. n- 1.
c. hoogstens n(n-1)/2.
d. n(n-1)/2.
M4. In elke iteratie wordt een tak toegevoegd. Een opspannende boom bevat n-1 takken
dus er zijn n-1 iteraties nodig. Omdat n(n-1)/2 n-1 zijn antwoorden b en c correct.
M5. De vereniging van twee niet-lege, convexe verzamelingen is
a. altijd convex en mogelijk niet-leeg.
b. mogelijk niet-convex en meestal niet-leeg.
c. niet altijd convex en altijd niet-leeg.
d. nooit convex en altijd niet-leeg.
M5. De vereniging van twee niet-lege verzamelingen is altijd niet-leeg. De vereniging van
twee convexe verzamelingen is meestal niet convex, maar kan dat wel zijn. Antwoord c.
M6. Alle optimale oplossingen van een transportprobleem zijn geheeltallig
a. als alle kosten geheeltallig en niet-negatief zijn.
b. als alle vraag- en aanbodaantallen geheeltallig en niet-negatief zijn.
c. als alle kosten én alle vraag- en aanbodaantallen geheeltallig en niet-negatief zijn.
d. in geen van de bovenstaande gevallen.
M6. Als alle vraag en aanbodgegevens geheeltallig en niet-negatief zijn, dan vindt de
simplexmethode een geheeltallige optimale oplossing. Als de optimale oplossing echter
niet uniek is, zijn er ook niet-geheeltallige optimale oplossingen. Antwoord d.
M7. Een toewijzingsprobleem is een speciaal geval van een
a. transportprobleem.
b. minimale kostenstromingsprobleem.
c. kortste pad probleem.
d. maximaal stromingsprobleem.
M7 Een toewijzingsprobleem is een speciaal geval van een transportprobleem (vraag =
aanbod = 1), dat weer een speciaal geval is van een minimale kostenstromingsprobleem.
Antwoord a en b.
M8. Voor een LP probleem wordt met de simplex methode een optimale oplossing
gevonden. In deze oplossing is een aantal constraints actief (gelijkheid wordt
aangenomen), en een aantal is dat niet. De niet-actieve constraints worden weggelaten
en het nieuwe probleem wordt weer opgelost met de simplexmethode.
a. De simplexmethode vindt op dezelfde manier dezelfde optimale oplossing.
b. De simplexmethode vindt dezelfde optimale oplossing, mogelijk op een andere manier.
c. De simplex methode vindt mogelijk een betere optimale oplossing.
d. De simplex methode vindt mogelijk een andere optimale oplossing.
M8. De actieve constraints in een optimale oplossing bepalen een hoekpunt dat locaal
optimaal is, dus er is met alleen deze constraints geen beter oplossing mogelijk in termen
van doelwaarde. Het weglaten van constraints kan echter wel effect hebben op de
manier waarop de simplexmethode zijn optimale oplossing vindt, en het kan eventueel
dus ook een andere oplossing met dezelfde doelwaarde zijn. Antwoord d.
M9. De schaduwprijzen van een LP probleem kunnen worden geïnterpreteerd als de
marginale kosten van de grondstoffen in het LP probleem. Kan het zijn dat deze
schaduwprijzen niet uniek zijn?
a. Dit kan als het duale probleem niet—unieke optimale oplossingen heeft.
b. Dit kan als het primale probleem niet—unieke optimale oplossingen heeft.
c. Dit kan als zowel het primale als het duale probleem niet—unieke optimale
oplossingen heeft.
d. Dit is onmogelijk, de kosten liggen vast
M9. De schaduwprijzen zijn optimale oplossingen van het duale probleem. Als dit
probleem niet-unieke oplossingen heeft zijn de schaduwprijzen ook niet uniek. Antwoord
a.
M10. Het aantal sneden in een maximaal stromingsprobleem op een graaf met met n
knopen is.
a. 2n.
b. 2n-2.
c. n(n-1)/2.
d. afhankelijk van het aantal takken in de graaf.
M10. Afgezien van de in- en de uitvoerknoop bepaalt een snede aan welke kant elke
knoop ligt, dus er zijn 2n-2 mogelijkheden. Antwoord b
M11. Een project heeft een minimale doorlooptijd van 42 weken De projectleider wil deze
duur verkorten tot 40 weken door projectactiviteiten te crashen.
a. Hij kan twee activiteiten op het kritieke pad elk met een week verkorten.
b..Hij kan alle activiteiten met een week verkorten.
c. Hij kan een LP probleem opstellen waarmee de optimale crash wordt bepaald.
d. De projectleider is niet goed bij zijn hoofd.
M11. Antwoord c is correct. Het verkorten van activiteiten op het kritieke pad werkt alleen
als het kritieke pad uniek is en als er tijdens het verkorten geen andere kritieke paden
ontstaan en als de activiteiten inderdaad zover te verkorten zijn.
O1. In een MIP maximaliseringsprobleem bevat de doelfunctie de niet-lineaire term xy,
waarbij x een binaire variabele is en y een variabele waarvoor 0 y M.
a. (4 pt.) Bewijs dat de term xy kan worden vervangen door een variabele t, als de
volgende constraints worden toegevoegd: t 0, t Mx en t y.
b. (2 pt.) Leg uit waarom het probleem hiermee lineair gemaakt kan worden.
Een fabrikant van ministeck wil van een foto een ministeckpuzzel maken. Een
deelprobleem daarbij is het volgende. Een 2x2 vierkant bestaan uit vier 1x1 vierkantjes.
Op de middens van deze vierkantjes zijn (geheeltallige) grijswaarden gij gegeven i,j = 1,2.
Nu moet dit 2x2 vierkantjes worden gemaakt het twee puzzelstukjes: een 1x1 stukje met
grijswaarde h1 en een stukje dat bestaat uit de overige drie 1x1 vierkantjes met een
grijswaarde k3. De positie van het 1x1 vierkantje wordt beschreven door xij = 0,1 (i,j = 1,2)
en het andere stukje neemt de overige posities in. De grijswaarden k 1 en k3 zijn ook nog
onbekend. De som k1 + 3k3 moet zo groot mogelijk zijn en de waarden k1 en k3 mogen
niet groter zijn dan de oorspronkelijke grijswaarden van de plekken waar de
puzzelstukjes terecht komen.
c. (3 pt.) Formuleer dit probleem als een (mogelijk niet-lineair) geheeltallig
programmeringsprobleem.
d. (1 pt.) Formuleer dit probleem als een (lineair) IP probleem.
O2. Bekijk het volgende LP probleem:
Max
Z = x2 + x3 + 2x4
zodat
x1 + x2 + x3 + x4 5
x1 + x3 4
x1 + x2 – x3 – x4 = 3
en
x1 1, x2, x3, x4 0
a. (3 pt.) Vindt met behulp van de constraints een goede bovengrens voor Z.
b. (4 pt.) Herschrijf het LP probleem in de standaardvorm voor de simplexmethode.
c. (8 pt.) Los het probleem op met de simplexmethode (tableau 0 en 1 is voldoende).
O3. In het bekende wolf-geit-kool probleem zit een boer opgescheept met een wolf, een
geit en een kool die hij een rivier over moet brengen. Het bootje is zo klein dat bij elke
overtocht slechts één van de drie met de boer mee kan. Een ander probleem is dat om
voor de hand liggende redenen de wolf niet met de geit alleen gelaten kan worden en de
geit niet met de kool.
a. (5 pt.) Dit probleem kan als volgt worden opgelost. Definiëer een (bipartiete) graaf met
8 knopen links en 8 knopen rechts. Elke mogelijke toestand waarin de wolf, de geit of de
kool telkens wel of niet op de linkeroever aanwezig zijn correspondeert met een knoop
links en ook met een knoop rechts. De boer vaart heen en weer tussen de knopen links
en rechts. Teken dit netwerk met daarin alle mogelijke verbindingen die toegelaten
toestanden verbinden.
b. (3 pt.) Leg uit hoe je het probleem kunt formuleren als een kortste pad probleem in dit
netwerk.
c. (5 pt.) Los het kortste pad probleem op met het algoritme van Dijkstra.
d. (2 pt.) Leg uit hoe je dit probleem als een LP probleem kunt formuleren en hoe en
waarom je via dit LP probleem het wolf-geit-kool probleem kunt oplossen.
O4. Een balletje wordt in het punt (0,1) losgelaten en rolt langs een rechte lijn naar het
punt (x,y), onder invloed van de zwaartekracht, die werkt in de negatieve y-richting (x en
y liggen tussen 0 en 1). Vanuit het punt (x,y) rolt het balletje door langs een rechte lijn
naar het punt (1,0). De lengtes van de twee lijnstukjes zijn
s1 x 2 (1 y ) 2
s 2 (1 x) 2 y 2
De versnelling van de zwaartekracht langs de twee lijnstukjes is (aangenomen dat de
versnelling van de zwaartekracht in de negatieve y-richting gelijk is aan 1):
1 y
y
g1
g2
s1
s2
2s1
het tijdstip is waarop het
g1
balletje in (x,y) aankomt. De tijd t2 die het balletje er over doet om van (x,y) naar (1,0) te
1
rollen voldoet aan s 2 v1t 2 g 2 t 22
2
De bedoeling is nu om het punt (x,y) zodanig te kiezen dat het balletje zo snel mogelijk in
het punt (1,0) aankomt.
a. (5 pt.) Formuleer dit probleem als een niet-lineair optimaliseringsprobleem.
b. (3 pt.) Beschrijf een iteratief algoritme om dit probleem op te lossen. Wat zou je kiezen
als startpunt?
c. (2 pt.) Is het mogelijk om dit probleem exact op te lossen? Zo ja, doe dit. Zo nee, leg
uit wat je zou moeten doen en waarom dit niet lukt.
De snelheid van het balletje in (x,y) is v1 g1t1 waarbij t1
O5. Bekijk het volgende probleem:
Max Z = -3x1 + 5x2
zodat 5x1 – 7x2 3
en
0 xj 3, voor j = 1,2
x1 en x2 zijn geheeltallig
a. (8 pt.) Los dit probleem op met Branch-and-bound. Los de gerelaxeerde LP problemen
grafisch op
b. (2 pt.) Herschrijf dit probleem met binaire representaties als een BIP probleem.
O3. Op een vaarroute A – B – C – D – E vindt transport van containers plaats. Een
containerschip vaart dagelijks van A naar E en weer terug naar A. Het kan in de
tussenliggende havens containers laden en/of lossen. Het schip heeft een capaciteit van
100 containers. Op een bepaalde dag staan de volgende aantallen containers te wachten
met daarbij de bestemmingen:
A D aantal: 70.
B D aantal: 40.
C E aantal: 30.
D C aantal: 60.
E B aantal: 50.
C A aantal: 40.
D A aantal: 80.
a. (6 pt.) Stel een LP model op dat ervoor zorgt dat in één heen-en-weer cyclus van het
schip zoveel mogelijk containers worden bezorgd (stoor je even niet aan de
geheeltalligheid van de containers).
b. (3 pt.) Leid een optimale oplossing af uit het model (je hoeft hiervoor geen LP
oplostechniek te gebruiken).
c. (3 pt.) De reder stelt voor om niet het aantal bezorgde containers te maximaliseren,
maar de gemiddelde beladingsgraad van het schip. Leg uit waarom dit wel of niet een
goed idee is.
d. (3 pt.) De afstanden tussen de havens zijn bekend. Doe een voorstel voor een
doelfunctie waarin ook deze afstanden zijn verwerkt.
O4. Een verzameling X R2 heet kloteconvex als er voor elk tweetal punten x, y X een
kloot K = {s Rn | |s-a| r} is zodanig dat x, y K en K X.
a. (4 pt.) Bewijs dat elke kloteconvexe verzameling ook convex is.
b. (3 pt.) Bewijs dat een convexe verzameling niet altijd kloteconvex is.
c. (3 pt.) Geef van de volgende verzamelingen in R2 aan of ze kloteconvex zijn (Bewijs is
niet nodig, geef wel een korte argumentatie): De lege verzameling. Het hele vlak. Een
cirkelschijf. Een halfvlak. Een lijnstuk. Een ellipsvormig gebied.
